第一篇：極限的四則運(yùn)算教案

極限的四則運(yùn)算教案

教學(xué)目標(biāo)

1．熟練運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則，求數(shù)列的極限．

2．理解和掌握三個(gè)常用極限及其使用條件．培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化和分類討論的思想解決數(shù)列極限問(wèn)題的能力．

3．正確認(rèn)識(shí)極限思想和方法是從有限中認(rèn)識(shí)無(wú)限，從近似中認(rèn)識(shí)精確，從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種辯證唯物主義的思想．

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

使用極限四則運(yùn)算法則及3個(gè)常用極限時(shí)的條件． 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則求數(shù)列的極限

師：高中數(shù)學(xué)中的求極限問(wèn)題，主要是通過(guò)極限的四則運(yùn)算法則，把所求極限轉(zhuǎn)化成三個(gè)常用極限：

例1 求下列極限：

師：（1）中的式子如何轉(zhuǎn)化才能求出極限． 生：可以分子、分母同除以n3，就能夠求出極限．

師：（2）中含有冪型數(shù)，應(yīng)該怎樣轉(zhuǎn)化？

師：分子、分母同時(shí)除以3n-1結(jié)果如何？ 生：結(jié)果應(yīng)該一樣．

師：分子、分母同時(shí)除以2n或2n-1，能否求出極限？

（二）先求和再求極限 例2 求下列極限：

由學(xué)生自己先做，教師巡視．

判斷正誤．

生：因?yàn)闃O限的四則運(yùn)算法則只適用于有限個(gè)數(shù)列加、減、乘、除的情況．此題當(dāng)n→∞，和式成了無(wú)限項(xiàng)的和，不能使用運(yùn)算法則，所以解法1是錯(cuò)的． 師：解法2先用等差數(shù)列的求和公式，求出分子的和，滿足了極限四則運(yùn)算法則的條件，從而求出了極限．第（2）題應(yīng)該怎樣做？

生：用等比數(shù)列的求和公式先求出分母的和．

=12． 師：例2告訴我們不能把處理有限項(xiàng)和問(wèn)題的思路及方法隨意地搬到無(wú)限項(xiàng)和的問(wèn)題中去，要特別注意極限四則運(yùn)算法則的適用條件．

例3求下列極限：

師：本例也應(yīng)該先求出數(shù)列的解析式，然后再求極限，請(qǐng)同學(xué)觀察所給數(shù)列的特點(diǎn)，想出對(duì)策．

生：（1）題是連乘積的形式，可以進(jìn)行約分變形．

生：（2）題是分?jǐn)?shù)和的形式，可以用“裂項(xiàng)法”變形．

例4設(shè)首項(xiàng)為1，公比為q（q＞0）的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，師：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn怎樣表示？

師：看來(lái)此題要分情況討論了．

師：綜合兩位同學(xué)的討論結(jié)果，解法如下：

師：本例重點(diǎn)體現(xiàn)了分類討論思想的運(yùn)用能夠使復(fù)雜問(wèn)題條理化．同

（三）公比絕對(duì)值小于1的無(wú)窮等比數(shù)列前n項(xiàng)和的極限

師：利用無(wú)窮等比數(shù)列所有各項(xiàng)和的概念以及求極限的知識(shí)，我們已經(jīng)得到了公比的絕對(duì)值小于1的無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和的公式：

例5計(jì)算：

題目不難，可由學(xué)生自己做． 師：（1）中的數(shù)列有什么特點(diǎn)？

師：（2）中求所有奇數(shù)項(xiàng)的和實(shí)質(zhì)是求什么？

（1）所給數(shù)列是等比數(shù)列；（2）公比的絕對(duì)值小于1；

（四）利用極限的概念求數(shù)的取值范圍

師：（1）中a在一個(gè)等式中，如何求出它的值． 生：只要得到一個(gè)含有a的方程就可以求出來(lái)了．

師：同學(xué)能夠想到用方程的思想解決問(wèn)題非常好，怎樣得到這個(gè)方程？ 生：先求極限．

師：（2）中要求m的取值范圍，如何利用所給的等式？

|q|＜1，正好能得到一個(gè)含有m的不等式，解不等式就能求出m的范圍．

解得0＜m＜4．

師：請(qǐng)同學(xué)歸納一下本課中求極限有哪些類型？ 生：主要有三種類型：

（1）利用極限運(yùn)算法則和三個(gè)常用極限，求數(shù)列的極限；（2）先求數(shù)列的前n項(xiàng)和，再求數(shù)列的極限；（3）求公比絕對(duì)值小于1的無(wú)窮等比數(shù)列的極限． 師：求數(shù)列極限應(yīng)注意的問(wèn)題是什么？ 生甲：要注意公式使用的條件．

生乙：要注意有限項(xiàng)和與無(wú)限項(xiàng)和的區(qū)別與聯(lián)系．

上述問(wèn)答，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生回答的情況，及時(shí)進(jìn)行引導(dǎo)和必要的補(bǔ)充．

（五）布置作業(yè) 1．填空題：

2．選擇題：

則x的取值范圍是[

]． 的值是[

]．

A．2

B．-2

C．1

D．-1 作業(yè)答案或提示

（7）a． 2．選擇題：

（2）由于所給兩個(gè)極限存在，所以an與bn的極限必存在，得方程

以上習(xí)題教師可以根據(jù)學(xué)生的狀況，酌情選用． 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

1．掌握常用方法，深化學(xué)生思維．

數(shù)學(xué)中對(duì)解題的要求，首先是學(xué)生能夠按部就班地進(jìn)行邏輯推理，尋找最常見(jiàn)的解題思路，當(dāng)問(wèn)題解決以后，教師要引導(dǎo)學(xué)生立即反思，為什么要這么做？對(duì)常用方法只停留在會(huì)用是不夠的，應(yīng)該對(duì)常用方法所體現(xiàn)的思維方式進(jìn)行深入探討，內(nèi)化為自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，然后把這種思維方式加以運(yùn)用．例1的設(shè)計(jì)就是以此為目的的．

2．展示典型錯(cuò)誤，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)思維．

求數(shù)列極限的基本方法，學(xué)生并不難掌握，因此，例2采取讓學(xué)生自己做的方式，有針對(duì)性地展示出此類題目在解題中容易出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤，讓學(xué)生從正確與謬誤的對(duì)比中，辨明是非、正誤，強(qiáng)化求極限時(shí)應(yīng)注意的條件，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性．這種做法，會(huì)給學(xué)生留下難忘的印象，收到較好的教學(xué)效果．

3．貫穿數(shù)學(xué)思想，提高解題能力．

本課從始至終貫穿著轉(zhuǎn)化的思想．而例4中的分類討論思想，例6中的方程思想的應(yīng)用，都對(duì)問(wèn)題的解決，起到了決定性的作用，使復(fù)雜問(wèn)題條理化，隱藏的問(wèn)題明朗化．因此，只有培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，在教學(xué)過(guò)程中不斷滲透和深化數(shù)學(xué)思想方法，才能達(dá)到系統(tǒng)概括知識(shí)內(nèi)容，溝通各類知識(shí)的縱橫聯(lián)系，提高解題能力的要求．

第二篇：數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì)

極限的運(yùn)算

教學(xué)目標(biāo)

1．熟練運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則，求數(shù)列的極限．

2．理解和掌握三個(gè)常用極限及其使用條件．培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化和分類討論的思想解決數(shù)列極限問(wèn)題的能力．

3．正確認(rèn)識(shí)極限思想和方法是從有限中認(rèn)識(shí)無(wú)限，從近似中認(rèn)識(shí)精確，從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種辯證唯物主義的思想． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

使用極限四則運(yùn)算法則及3個(gè)常用極限時(shí)的條件． 教學(xué)過(guò)程

（一）運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則求數(shù)列的極限

師：高中數(shù)學(xué)中的求極限問(wèn)題，主要是通過(guò)極限的四則運(yùn)算法則，把所求極限轉(zhuǎn)化成三個(gè)常用極限：lim1=0，limC=C，limqn=0（|q|<1）來(lái)解決。

n??n??n??n例1：求下列極限：

7n3?3n2?n?(1)lim 3n??4n?1

師：（1）中的式子如何轉(zhuǎn)化才能求出極限．

生：可以分子、分母同除以n3，就能夠求出極限．

師：（2）中含有冪型數(shù)，應(yīng)該怎樣轉(zhuǎn)化？

師：分子、分母同時(shí)除以3n-1結(jié)果如何？ 生：結(jié)果應(yīng)該一樣．

師：分子、分母同時(shí)除以2或2，能否求出極限？

n

n-

1（二）先求和再求極限 例2 求下列極限：

由學(xué)生自己先做，教師巡視．

判斷正誤．

生：因?yàn)闃O限的四則運(yùn)算法則只適用于有限個(gè)數(shù)列加、減、乘、除的情況．此題當(dāng)n→∞，和式成了無(wú)限項(xiàng)的和，不能使用運(yùn)算法則，所以解法1是錯(cuò)的．

師：解法2先用等差數(shù)列的求和公式，求出分子的和，滿足了極限四則運(yùn)算法則的條件，從而求出了極限．第（2）題應(yīng)該怎樣做？

生：用等比數(shù)列的求和公式先求出分母的和．

=12． 師：例2告訴我們不能把處理有限項(xiàng)和問(wèn)題的思路及方法隨意地搬到無(wú)限項(xiàng)和的問(wèn)題中去，要特別注意極限四則運(yùn)算法則的適用條件．

例3求下列極限：

師：本例也應(yīng)該先求出數(shù)列的解析式，然后再求極限，請(qǐng)同學(xué)觀察所給數(shù)列的特點(diǎn)，想出對(duì)策．

生：（1）題是連乘積的形式，可以進(jìn)行約分變形．

生：（2）題是分?jǐn)?shù)和的形式，可以用“裂項(xiàng)法”變形．

例4設(shè)首項(xiàng)為1，公比為q（q＞0）的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，師：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn怎樣表示？

師：看來(lái)此題要分情況討論了．

師：綜合兩位同學(xué)的討論結(jié)果，解法如下：

師：本例重點(diǎn)體現(xiàn)了分類討論思想的運(yùn)用能夠使復(fù)雜問(wèn)題條理化．同

（三）公比絕對(duì)值小于1的無(wú)窮等比數(shù)列前n項(xiàng)和的極限 師：利用無(wú)窮等比數(shù)列所有各項(xiàng)和的概念以及求極限的知識(shí)，我們已經(jīng)得到了公比的絕對(duì)值小于1的無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和的公式：

例5計(jì)算：

題目不難，可由學(xué)生自己做． 師：（1）中的數(shù)列有什么特點(diǎn)？

師：（2）中求所有奇數(shù)項(xiàng)的和實(shí)質(zhì)是求什么？

（1）所給數(shù)列是等比數(shù)列；（2）公比的絕對(duì)值小于1；

（四）利用極限的概念求數(shù)的取值范圍

師：（1）中a在一個(gè)等式中，如何求出它的值． 生：只要得到一個(gè)含有a的方程就可以求出來(lái)了．

師：同學(xué)能夠想到用方程的思想解決問(wèn)題非常好，怎樣得到這個(gè)方程？ 生：先求極限．

師：（2）中要求m的取值范圍，如何利用所給的等式？

|q|＜1，正好能得到一個(gè)含有m的不等式，解不等式就能求出m的范圍．

解得0＜m＜4．

師：請(qǐng)同學(xué)歸納一下本課中求極限有哪些類型？ 生：主要有三種類型：

（1）利用極限運(yùn)算法則和三個(gè)常用極限，求數(shù)列的極限；（2）先求數(shù)列的前n項(xiàng)和，再求數(shù)列的極限；（3）求公比絕對(duì)值小于1的無(wú)窮等比數(shù)列的極限． 師：求數(shù)列極限應(yīng)注意的問(wèn)題是什么？ 生甲：要注意公式使用的條件．

生乙：要注意有限項(xiàng)和與無(wú)限項(xiàng)和的區(qū)別與聯(lián)系．

上述問(wèn)答，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生回答的情況，及時(shí)進(jìn)行引導(dǎo)和必要的補(bǔ)充．

（五）布置作業(yè) 1．填空題：

2．選擇題：

則x的取值范圍是[ ]． 的值是[ ]．

A．2 B．-2 C．1 D．-1 作業(yè)答案或提示

（7）a． 2．選擇題：

（2）由于所給兩個(gè)極限存在，所以an與bn的極限必存在，得方程

以上習(xí)題教師可以根據(jù)學(xué)生的狀況，酌情選用． 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

1．掌握常用方法，深化學(xué)生思維． 數(shù)學(xué)中對(duì)解題的要求，首先是學(xué)生能夠按部就班地進(jìn)行邏輯推理，尋找最常見(jiàn)的解題思路，當(dāng)問(wèn)題解決以后，教師要引導(dǎo)學(xué)生立即反思，為什么要這么做？對(duì)常用方法只停留在會(huì)用是不夠的，應(yīng)該對(duì)常用方法所體現(xiàn)的思維方式進(jìn)行深入探討，內(nèi)化為自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，然后把這種思維方式加以運(yùn)用．例1的設(shè)計(jì)就是以此為目的的．

2．展示典型錯(cuò)誤，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)思維． 第二課時(shí)

數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)：

1、掌握數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì)；會(huì)利用這些性質(zhì)計(jì)算數(shù)列的極限

2、掌握重要的極限計(jì)算公式：lim(1+1/n)n=e 教學(xué)過(guò)程：

一、數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì)

如果liman=A，limbn=B，那么

（1）lim(an+bn)= liman+ limbn =A+B（2）lim(an-bn)= liman-limbn =A-B（3）lim(an?bn)= liman? limbn =A?B（4）lim(an/bn)= liman/ limbn =A/B（B?0，bn?0）注意：運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí)，每個(gè)數(shù)列必須要有極限，在數(shù)列商的極限中，作為分母的數(shù)列的項(xiàng)及其極限都不為零。

數(shù)列的和的極限的運(yùn)算性質(zhì)可推廣為：如果有限個(gè)數(shù)列都有極限，那么這有限個(gè)數(shù)列對(duì)應(yīng)各項(xiàng)的和所組成的數(shù)列也有極限，且極限值等于這有限個(gè)數(shù)列的極限的和。類似地，對(duì)數(shù)列的積的極限的運(yùn)算性質(zhì)也可作這樣的推廣。注意：上述性質(zhì)只能推廣為有限個(gè)數(shù)列的和與積的運(yùn)算，不能推廣為無(wú)限個(gè)數(shù)列的和與積。

二、求數(shù)列極限

1、lim（5+1/n）=5

2、lim(n2-4)/n2=lim(1-4/n2)=1

3、lim(2+3/n)2=4

4、lim[(2-1/n)(3+2/n)+(1-3/n)(4-5/n)]=10

5、lim(3n2-2n-5)/(2n2+n-1)=lim(3-2/n-5/n2)/(2+1/n-1/n2)=3/2 分析：由于lim(3n2-2n-5)及l(fā)im(2n2+n-1)都不存在，因此不能直接應(yīng)用商的極限運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。為了能應(yīng)用極限的運(yùn)算性質(zhì)，可利用分式的性質(zhì)先進(jìn)行變形。在變形時(shí)分子、分母同時(shí)除以分子、分母中含n的最高次數(shù)項(xiàng)。

4、一個(gè)重要的數(shù)列極限

我們?cè)?jīng)學(xué)過(guò)自然對(duì)數(shù)的底e?2.718，它是一個(gè)無(wú)理數(shù)，它是數(shù)列(1+1/n)n的極限。lim(1+1/n)n =e（證明將在高等數(shù)學(xué)中研究）求下列數(shù)列的極限

lim(1+1/n)2n+1 =lim(1+1/n)n ?(1+1/n)n ?(1+1/n)=e?e?1=e2 lim(1+3/n)n =lim[(1+1/(n/3))n/3] 3=e3

分析：在底數(shù)的兩項(xiàng)中，一項(xiàng)為1，另一項(xiàng)為3/n，其中分子不是1，與關(guān)于e的重要極限的形式不相符合，為此需要作變形。其變形的目標(biāo)是將分子中的3變?yōu)?，而不改變分式的值。為此可在3/n的分子、分母中同時(shí)除以3，但這樣又出現(xiàn)了新的矛盾，即分母中的n/3與指數(shù)上的n以及取極限時(shí)n??不相一致，為此再將指數(shù)上的n改成n/3?3，又因?yàn)閚??與n/3??是等價(jià)的。

lim(1+1/(n+1))n=lim(1+1/(n+1))(n+1)-1=lim(1+1/(n+1))n+1/lim(1+1/(n+1))=e

練習(xí)：計(jì)算下列數(shù)列的極限

lim(3-1/2n)=3

lim(1/n2+1/n-2)(3/n-5/2)=5

lim(-3n2-1)/(4n2+1)=-3/4 lim(n+3)(n-4)/(n+1)(2n-3)=1/2

lim(1+3/2n)2=1

lim(1+1/3n)2(2-1/(n+1)3=1?8=8 lim(1+1/n)3n+2=lim[(1+1/n)n] 3?(1+1/n)2=e3

lim(1+4/n)n=e4

lim(1+1/(n+2))n+1=e lim[(n+5)/(n+4)]n=lim(1+1/(n+4))n=e

lim(1+2/(n+1))n=e2

lim[(n+5)/(n+2)] n=lim[(1+3/(n+2))(n+2)/3] 3/(1+3/(n+2))2=e3

第三篇：數(shù)列極限教案

數(shù)列的極限教案

授課人：###

一、教材分析

極限思想是高等數(shù)學(xué)的重要思想。極限概念是從初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過(guò)渡所必須牢固掌握的內(nèi)容。

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列極限概念的理解及數(shù)列極限??N語(yǔ)言的刻畫(huà)。

教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限概念的理解及數(shù)列極限??N語(yǔ)言的刻畫(huà)，簡(jiǎn)單數(shù)列的極限進(jìn)行證明。

三、教學(xué)目標(biāo)

1、通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)列以及數(shù)列極限的概念，明白極限的思想。

2、通過(guò)學(xué)習(xí)概念，發(fā)現(xiàn)不同學(xué)科知識(shí)的融會(huì)貫通，從哲學(xué)的量變到質(zhì)變的思想的角度來(lái)看待數(shù)列極限概念。

四、授課過(guò)程

1、概念引入

例子一：(割圓術(shù))劉徽的割圓術(shù)來(lái)計(jì)算圓的面積。

.........內(nèi)接正六邊形的面積為A1，內(nèi)接正十二邊形的面積為A2......內(nèi)接正6?2n?1形的面積為An.A1,A2,A3......An......?圓的面積S.用圓的內(nèi)接正六n邊形來(lái)趨近，隨著n的不斷增加，內(nèi)接正六n邊形的面積不斷

1接近圓的面積。

例子二：莊子曰“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”。

第一天的長(zhǎng)度1第二天的剩余長(zhǎng)度 第二天的剩余長(zhǎng)度

第四天的剩余長(zhǎng)度 8

.....第n天的剩余長(zhǎng)度n?1.......2

隨著天數(shù)的增加，木桿剩余的長(zhǎng)度越來(lái)越短，越來(lái)越接近0。

這里蘊(yùn)含的就是極限的概念。

總結(jié)：極限是變量變化趨勢(shì)結(jié)果的預(yù)測(cè)。例一中，內(nèi)接正六n邊形的邊數(shù)不斷增加，多邊形的面積無(wú)限接近圓面積；例二中，隨著天數(shù)的不斷增加，木桿的剩余長(zhǎng)度無(wú)限接近0.在介紹概念之前看幾個(gè)具體的數(shù)列：

111?1?（1）??: 1，,......； 23n?n?

???1?n?1111:?1，?，?,......；（2）??n2345??

（3）n2:1,4,9,16,......；

（4）??1?:?1,1,?1,1,......,??1?,......； nn????

我們接下來(lái)討論一種數(shù)列?xn?，在它的變化過(guò)程中，當(dāng)n趨近于??時(shí)，xn不斷接近于某一個(gè)常數(shù)a。如隨著n的增大，（1），（2）中的數(shù)列越來(lái)越接近0；（3）

（4）中的數(shù)列卻沒(méi)有這樣的特征。

此處“n趨近于??時(shí)”，“xn無(wú)限接近于數(shù)a”主要強(qiáng)調(diào)的是“一個(gè)過(guò)程”和一種“接近”程度。

可是只憑定性的描述和觀察很難做到準(zhǔn)確無(wú)誤，所以需要精確的，定量的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)數(shù)列的概念。本節(jié)課的重點(diǎn)就是將數(shù)列的這樣一個(gè)特征用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)出來(lái)，并引入數(shù)列極限的概念。

2、內(nèi)容講授

（定義板書(shū)）設(shè)?xn?是一個(gè)數(shù)列，a是實(shí)數(shù)。如果對(duì)于任意給定的數(shù)??0，總存在一個(gè)正整數(shù)N，當(dāng)n?N時(shí)，都有xn?a??，我們稱a是數(shù)列?x

n?的極限，或者說(shuō)數(shù)列?xn?收斂且收斂于數(shù)a。

寫(xiě)作：limxn?a或xn?a?n????。

n???

如果數(shù)列沒(méi)有極限，就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的。

注意：（1）理解定義中的“任意給定”?：?是代表某一個(gè)正數(shù)，但是這個(gè)數(shù)在選取時(shí)是任意的，選定以后就是固定的。不等式xn?a??是表示xn與a的接近程度，所以?可以任意的小。

（2）N的選取是與任意給定的?有關(guān)的。1?1?以數(shù)列??為例，欲若取??，則存在N?100，當(dāng)n?Nxn?a??； 100n??

若取??1，則存在N?1000，當(dāng)n?N時(shí)，xn?a??。1000

數(shù)列極限的??N語(yǔ)言：

limx

n???n?a????0,?N,n?Nxn?a??.數(shù)列極限的幾何解釋：

3、例題講解

n?2??1??1。例題1用數(shù)列極限的定義證明limn??nn

n?2??1?證明：設(shè)xn?，因?yàn)?nn

n?2??1?2??1?2???xn?1?nnnnn

???0，欲使xn???，只要22??即n?，n?

?2?我們?nèi)????1，當(dāng)n?N時(shí)，???

n?2??1?22?????.nnNn

n?2??1?所以lim?1.n??nn

?2?注：N的取法不是唯一的，在此題中，也可取N????10等。???

例題2 設(shè)xn?C（C為常數(shù)），證明limxn?C。n??

證明：任給的??0，對(duì)于一切正整數(shù)n，xn?C?C?C?0??，所以limxn?C。n??

小結(jié)：用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定?尋找N,但不必要求最小的N.五、課后作業(yè)

第四篇：高三數(shù)學(xué)函數(shù)極限的運(yùn)算法則2

函數(shù)極限的運(yùn)算法則（4月30日）

教學(xué)目標(biāo)：掌握函數(shù)極限的運(yùn)算法則，并會(huì)求簡(jiǎn)單的函數(shù)的極限

教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用函數(shù)極限的運(yùn)算法則求極限

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限法則的運(yùn)用

教學(xué)過(guò)程：

一、引入：

一些簡(jiǎn)單函數(shù)可從變化趨勢(shì)找出它們的極限，如lim1?0,limx?xo.若求極限的函數(shù)比x??xx?xo

較復(fù)雜，就要分析已知函數(shù)是由哪些簡(jiǎn)單函數(shù)經(jīng)過(guò)怎樣的運(yùn)算結(jié)合而成的，已知函數(shù)的極限與這些簡(jiǎn)單函數(shù)的極限有什么關(guān)系，這樣就能把復(fù)雜函數(shù)的極限計(jì)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單函數(shù)的極限的計(jì)算.二、新課講授

也就是說(shuō)，如果兩個(gè)函數(shù)都有極限，那么這兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商組成的函數(shù)極限，分別等于這兩個(gè)函數(shù)的極限的和、差、積、商（作為除數(shù)的函數(shù)的極限不能為0）.說(shuō)明：當(dāng)C是常數(shù)，n是正整數(shù)時(shí)，lim[Cf(x)]?Climf(x)x?xox?xo

x?xolim[f(x)]n?[limf(x)]n x?xo

這些法則對(duì)于x??的情況仍然適用.三 典例剖析

例1 求lim(x?3x)x?2

22x3?x2?1例2 求lim x?1x?

1x2?16

例3 求lim

x?4x?

4x2?16

分析：當(dāng)x?4時(shí)，分母的極限是0，不能直接運(yùn)用上面的極限運(yùn)用法則.注意函數(shù)y?

x?4

在定義域x?4內(nèi)，可以將分子、分母約去公因式x?4后變成x?4，由此即可求出函數(shù)的極

限.3x2?x?

3例4 求lim 2x??x?

1分析：當(dāng)x??時(shí)，分子、分母都沒(méi)有極限，不能直接運(yùn)用上面的商的極限運(yùn)算法則.如果分子、分母都除以x，所得到的分子、分母都有極限，就可以用商的極限運(yùn)用法則計(jì)算。

總結(jié)：limC?C,limx?xo(k?N),x?xo

x?xo

k

k

*

limC?C,lim

x??

?0(k?N*)kx??x

2x2?x?

4例5 求lim

3x??3x?x2?

1分析：同例4一樣，不能直接用法則求極限.如果分子、分母都除以x，就可以運(yùn)用法則計(jì)算了。

四 課堂練習(xí)（利用函數(shù)的極限法則求下列函數(shù)極限）

（1）lim(2x?3)；（2）lim(2x?3x?1)

x?

2x?2

2x2?

1（3）lim[(2x?1)(x?3)]；（4）lim2

x?4x?13x?4x?1

x2?1x2?5x?6

（5）lim（6）lim 2x?3x??1x?1x?9

2x2?x?22y2?y

（7）lim3（8）lim

3x??3x?3x2?1y??y?

5五 小結(jié)有限個(gè)函數(shù)的和（或積）的極限等于這些函數(shù)的和（或積）；函數(shù)的運(yùn)算法則成立的前提條件是函數(shù)f(x),g(x)?的極限存在，在進(jìn)行極限運(yùn)算時(shí)，要特別注意這一點(diǎn).3 兩個(gè)（或幾個(gè)）函數(shù)的極限至少有一個(gè)不存在時(shí)，他們的和、差、積、商的極限不一定不存在.在求幾個(gè)函數(shù)的和（或積）的極限時(shí)，一般要化簡(jiǎn)，再求極限.六 作業(yè)（求下列極限）

2xx2?5

（1）lim(2x?3x?4)（2）lim2（3）lim2

x??1x?1x?x?1x?2x?3

x2?3x?1x2?33x3?x2

?1)（5）4（4）lim(（6）lim5 242x?0x?0x?3x?4x?x?1x?3x?2x

x?2x?1x3?3x2?2x

（7）lim2（8）lim2（9）lim

x?2x?4x??1x?1x??2x2?x?6

11(x?m)2?m2x2?1

（10）lim（11）lim(2??2)（12）lim2

x??x?0x??2x?2x?1xxx

x3?x2x3?123x2?11x?6)（15）lim2（13）lim4（14）lim(3

2x??x?3x?1

（16）lim3x2?11x?6x??2x2?5x?3x?23x?217）limx?x2?6x3x?02x?5x2?3x3

x?12x?5x?3

x?x2?6x3

18）limx??2x?5x2?3x3（（

第五篇：極限的四則運(yùn)算教案

2.4 極限的四則運(yùn)算

（一）古浪五中---姚祺鵬 【教學(xué)目標(biāo)】

（一）知識(shí)與技能

1．掌握函數(shù)極限四則運(yùn)算法則；

2．會(huì)用極限四則運(yùn)算法則求較復(fù)雜函數(shù)的極限；

3．提高問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力，體會(huì)事物之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的關(guān)系；

（二）過(guò)程與方法

1.掌握極限的四則運(yùn)算法則，并能使用它求一些復(fù)雜數(shù)列的極限.2.從函數(shù)極限聯(lián)想到數(shù)列極限，從“一般”到“特殊”.（三）情態(tài)與價(jià)值觀

1.培養(yǎng)學(xué)習(xí)進(jìn)行類比的數(shù)學(xué)思想

2.培養(yǎng)學(xué)習(xí)總結(jié)、歸納的能力，學(xué)會(huì)從“一般”到“特殊”，從“特殊”到“一般”轉(zhuǎn)化的思想.同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，加強(qiáng)學(xué)生的的實(shí)踐能力。(四)高考闡釋：

高考對(duì)極限的考察以選擇題和填空題為主，考察基本運(yùn)算，此類題目的特點(diǎn)在于需要進(jìn)行巧妙的恒等變形，立足課本基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法 【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】

重點(diǎn)：掌握函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則； 難點(diǎn)：難點(diǎn)是運(yùn)算法則的應(yīng)用（會(huì)分析已知函數(shù)由哪些基本函數(shù)經(jīng)過(guò)怎樣的運(yùn)算結(jié)合而成的）． 【教學(xué)過(guò)程】

1．提問(wèn)復(fù)習(xí)，引入新課 對(duì)簡(jiǎn)單函數(shù)，我們可以根據(jù)它的圖象或通過(guò)分析函數(shù)值的變化趨勢(shì)直接寫(xiě)出它們的極限．如． 讓學(xué)生求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）對(duì)于復(fù)雜一點(diǎn)的函數(shù)，如何求極限呢？例如計(jì)算即，顯然通過(guò)畫(huà)圖或分析函數(shù)值的變化趨勢(shì)找出它的極限值是不方便的．因此、我們有必要探討有關(guān)極限的運(yùn)算法則，通過(guò)法則，把求復(fù)雜函數(shù)的極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求簡(jiǎn)單函數(shù)的極限． 板書(shū)課題：極限的四則運(yùn)算．

2．特殊探路，發(fā)現(xiàn)規(guī)律 考察完成下表：

0.9 0.99

0.999 1

1.001 1.01 1.1

根據(jù)計(jì)算（用計(jì)算器）和極限概念，得出，與對(duì)比發(fā)現(xiàn)：． 由此得出一般結(jié)論：函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則： 如果，那么

特別地:（1）（C為常數(shù)）（2）

（3）這些法則對(duì)的情況仍然成立．（4）兩個(gè)常用極限，3．應(yīng)用舉例，熟悉法則 例1 求 問(wèn)：已知函數(shù)中含有哪些簡(jiǎn)單函數(shù)？它是經(jīng)過(guò)怎樣的運(yùn)算結(jié)合而成的？是否適用法則？適用哪一條法則？師生共同分析，邊問(wèn)邊答規(guī)范寫(xiě)出解答過(guò)程． 解：

（1）講解時(shí)注意提問(wèn)每一步的依據(jù)，做到“言必有據(jù)”，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S．

（2）書(shū)寫(xiě)時(shí)，由于極限符號(hào)“”有運(yùn)算意義，因此在未求出極限值時(shí)，丟掉符號(hào)是錯(cuò)誤的． 點(diǎn)評(píng)：例1說(shuō)明，求某些函數(shù)（到底是哪些函數(shù)，學(xué)了2.6節(jié)就知道了．激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，為講連續(xù)函數(shù)埋下伏筆）在某一點(diǎn)處的極限值時(shí)，只要把代入函數(shù)解析式中就可得到極限值，此種求極限值的方法不妨叫代入法 鞏固練習(xí)：教科書(shū)第88頁(yè)第1題． 例2 求．

問(wèn)：本題還能用代入法求其極限值嗎？為什么？引導(dǎo)分析：如果把直接代入中，那么分子、分母都為零．雖然分子、分母的極限都存在，但不適合用商的法則（為什么？），不能簡(jiǎn)單用代入法求這個(gè)極限．根據(jù)極限概念和思想，所求極限只取決于點(diǎn)處附近的點(diǎn)（即可認(rèn)為），故可把分子、分母分解因式后約去公因式，從而轉(zhuǎn)化為可用代入法求極限的情形．通過(guò)本例，不僅對(duì)法則的適用條件加深了理解，而且進(jìn)一步深化了對(duì)極限概念和思想本質(zhì)的認(rèn)識(shí)． 解：原式

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)在某一點(diǎn)的極限，考察的是函數(shù)值的變化趨勢(shì)，與函數(shù)在這一點(diǎn)是否有定義、是否等于在這一點(diǎn)的函數(shù)值無(wú)關(guān)，故本例可約去公因式． 鞏固練習(xí)：教科書(shū)第88頁(yè)練習(xí)第2題 4．歸納小結(jié)，掌握通法

（1）函數(shù)極限四則運(yùn)算法則．

（2）一般地，中學(xué)階段接觸到的函數(shù)，若要求其在某一點(diǎn)處的極限值，通常可直接用代入法，或者是先變形（主要是約去公因式），轉(zhuǎn)化為可用代入法求極限的情形． 5.布置作業(yè)

教科書(shū)習(xí)題2.5第1題．

思考題：已知，求常數(shù)a、b的值． 6.板書(shū)設(shè)計(jì)