第一篇：曲線積分與路徑無關的問題之證明

設平面上的單連通區域G內分別以A和B兩點為起點和終點的弧???

有連續向量函數F(x,y)?P(x,y)i?Q(x,y)j，要使該函數的曲線積分與路徑無關，就有?AFB，AEB和弧???AEBPdx?Qd?y??AFBP?dx,于Qdy是有

即?

??AEBPdx?Qdy???Pdx?Qdy?0,AFB?AEB?Pdx?Qdy???Pdx?Qdy?0,實際上弧?AEB和弧BFABFA構成了一封閉曲線L，上式等價為

內可以取??Pdx?Qdy?0L任意大小。，記L圍起的區域為D，D在G用格林公式

?Q?P(?)dxdy??Pdx?Qdy???L?x?yD，因為

???Q?PPdx?Qdy?0，得到??(?)dxdy?0，又因為L?x?yD

?Q?P?Q?P???0D可以取任意小，于是有，或者?x?y。這就得到了函數?x?y

曲面積分與路徑無關的條件。

第二篇：曲線積分與格林公式總結

一、對弧長的曲線積分的概念與性質

曲線形構件的質量?

設一曲線形構件所占的位置在xOy面內的一段曲線弧L上? 已知曲線形構件在點(x? y)處的線密度為?(x? y)? 求曲線形構件的質量?

把曲線分成n小段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn(?si也表示弧長)?

任取(?i ? ?i)??si? 得第i小段質量的近似值?(?i ? ?i)?si?

整個物質曲線的質量近似為M???(?i,?i)?si?

i?1n

令??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}?0? 則整個物質曲線的質量為

M?lim??(?i,?i)?si?

??0i?1n

這種和的極限在研究其它問題時也會遇到?

定義

設L為xOy面內的一條光滑曲線弧? 函數f(x? y)在L上有界? 在L上任意插入一點列M1? M2? ? ? ?? Mn?1把L分在n個小段.設第i個小段的長度為?si? 又(?i? ?i)為第i個小段上任意取定的一點? 作乘積f(?i? ?i)?si?(i?1? 2?? ? ?? n)? 并作和?f(?i,?i)?si? 如果當各小弧

i?1n段的長度的最大值??0? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數f(x? y)在曲線弧L上對弧長

n的曲線積分或第一類曲線積分? 記作

lim?f(?i,?i)?si?

?Lf(x,y)ds? 即?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x? y)叫做被積函數? L 叫做積分弧段?

設函數f(x? y)定義在可求長度的曲線L上? 并且有界?

將L任意分成n個弧段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn? 并用?si表示第i段的弧長?

在每一弧段?si上任取一點(?i? ?i)? 作和?f(?i,?i)?si?

i?1n

令??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}? 如果當??0時? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數f(x? y)在曲線弧L上對弧長的 曲線積分或第一類曲線積分? 記作

n?Lf(x,y)ds? 即

lim?f(?i,?i)?si?

?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x? y)叫做被積函數? L 叫做積分弧段?

曲線積分的存在性? 當f(x? y)在光滑曲線弧L上連續時? 對弧長的曲線積分是存在的?

以后我們總假定f(x? y)在L上是連續的?

?Lf(x,y)ds

根據對弧長的曲線積分的定義?曲線形構件的質量就是曲線積分

?L?(x,y)ds的值? 其中?(x? y)為線密度?

對弧長的曲線積分的推廣?

lim?f(?i,?i,?i)?si?

??f(x,y,z)ds???0i?1n

如果L(或?)是分段光滑的? 則規定函數在L(或?)上的曲線積分等于函數在光滑的各段上的曲線積分的和? 例如設L可分成兩段光滑曲線弧L1及L2? 則規定

?L?L12f(x,y)ds??f(x,y)ds??f(x,y)ds?

L1L

2閉曲線積分? 如果L是閉曲線? 那么函數f(x? y)在閉曲線L上對弧長的曲線積分記作

?Lf(x,y)ds?

對弧長的曲線積分的性質?

性質1 設c1、c2為常數? 則

?L[c1f(x,y)?c2g(x,y)]ds?c1?Lf(x,y)ds?c2?Lg(x,y)ds?

性質2 若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2? 則

?Lf(x,y)ds??Lf(x,y)ds??L1f(x,y)ds?

2性質3設在L上f(x? y)?g(x? y)? 則

?Lf(x,y)ds??Lg(x,y)ds?

?Lf(x,y)ds|??L|f(x,y)|ds 特別地? 有

|

二、對弧長的曲線積分的計算法

根據對弧長的曲線積分的定義? 如果曲線形構件L的線密度為f(x? y)? 則曲線形構件L的質量為

?Lf(x,y)ds?

x??(t)? y??(t)(??t??)?

另一方面? 若曲線L的參數方程為 則質量元素為

f(x,y)ds?f[?(t), ?(t)]曲線的質量為

即

??2(t)???2(t)dt?

???f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt?

f(x,y)ds??f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt?

???L

定理 設f(x? y)在曲線弧L上有定義且連續? L的參數方程為

x??(t)? y??(t)(??t??)?

其中?(t)、?(t)在[?? ?]上具有一階連續導數? 且??2(t)???2(t)?0? 則曲線積分且

?Lf(x,y)ds存在?

?Lf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt(?

??

證明（略）

應注意的問題? 定積分的下限?一定要小于上限??

討論?

(1)若曲線L的方程為y??(x)(a?x?b)? 則提示?

L的參數方程為x?x? y??(x)(a?x?b)?

?Lf(x,y)ds?? ?Lf(x,y)ds??f[x,?(x)]1???2(x)dx?

ab

(2)若曲線L的方程為x??(y)(c?y?d)? 則提示?

L的參數方程為x??(y)? y?y(c?y?d)?

?Lf(x,y)ds?? ?Lf(x,y)ds??cdf[?(y),y]??2(y)?1dy?

(3)若曲?的方程為x??(t)? y??(t)? z??(t)(??t??)?

則??f(x,y,z)ds??

提示? ??f(x,y,z)ds??f[?(t),?(t),?(t)]??2(t)???2(t)???2(t)dt?

??

例1 計算?Lyds? 其中L是拋物線y?x2上點O(0? 0)與點B(1? 1)之間的一段弧?

解 曲線的方程為y?x2(0?x?1)? 因此

?L11yds??x21?(x2)?2dx??x1?4x2dx?1(55?1)?

001

2例2 計算半徑為R、中心角為2?的圓弧L對于它的對稱軸的轉動慣量I(設線密度為??1)?

解 取坐標系如圖所示? 則I?

曲線L的參數方程為

x?Rcos?? y?Rsin?(????

于是

I???Ly2ds?

?Ly2ds??R2sin2?(?Rsin?)2?(Rcos?)2d?

??

?R3???sin2?d??R(??sin? cos?)?

3?

例3 計算曲線積分

??(x2?y2?z2)ds? 其中?為螺旋線x?acost、y?asint、z?kt上相應于t從0到達2?的一段弧?

解 在曲線?上有x2?y2?z2?(a cos t)2?(a sin t)2?(k t)2?a2?k 2t 2? 并且

ds?(?asint)2?(acost)2?k2dt?a2?k2dt?

于是

??(x2?y2?z2)ds??(a2?k2t2)a2?k2dt

02?

?2?a2?k2(3a2?4?2k2)?

3小結? 用曲線積分解決問題的步驟?

(1)建立曲線積分?

(2)寫出曲線的參數方程(或直角坐標方程)? 確定參數的變化范圍?

(3)將曲線積分化為定積分?

(4)計算定積分?

§10? 對坐標的曲線積分

一、對坐標的曲線積分的概念與性質

變力沿曲線所作的功?

設一個質點在xOy面內在變力F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j的作用下從點A沿光滑曲線弧L移動到點B? 試求變力F(x? y)所作的功?

用曲線L上的點A?A0? A1? A2? ? ? ?? An?1? An?B把L分成n個小弧段?

設Ak?(xk ? yk)? 有向線段AkAk?1的長度為?sk? 它與x軸的夾角為?k ? 則

AkAk?1?{cos?k,sin?k}?sk(k?0? 1? 2? ? ? ?? n?1)?

???顯然? 變力F(x? y)沿有向小弧段Ak Ak?1所作的功可以近似為

F(xk,yk)?AkAk?1?[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk? 于是? 變力F(x? y)所作的功

W??從而

W??[P(x,y)cos??Q(x,y)sin?]ds?

L這里???(x? y)? {cos?? sin?}是曲線L在點(x? y)處的與曲線方向一致的單位切向量?

n?1?F(xk,yk)?AkAk?1k?1n?1???[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk?

k?

1把L分成n個小弧段? L1?

L2? ? ? ??

Ln?

變力在Li上所作的功近似為?

F(?i? ?i)??si?P(?i? ?i)?xi?Q(?i? ?i)?yi ?

變力在L上所作的功近似為?

?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?

i?1nn

變力在L上所作的功的精確值?

W?lim??0?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?

i?1其中?是各小弧段長度的最大值?

提示?

用?si?{?xi??yi}表示從Li的起點到其終點的的向量? 用?si表示?si的模?

對坐標的曲線積分的定義?

定義 設函數f(x? y)在有向光滑曲線L上有界? 把L分成n個有向小弧段L1?

L2? ? ? ??

Ln? 小弧段Li的起點為(xi?1? yi?1)? 終點為(xi? yi)? ?xi?xi?xi?1? ?yi?yi?yi?1?(?i? ?)為Li上任意一點? ?為各小弧段長度的最大值?

如果極限lim??0?f(?i,?i)?xi總存在? 則稱此極限為函數

i?1n f(x? y)在有向曲線L上對坐標x的曲線積分? 記作

?Lf(x,y)dx? 即

lim?f(?i,?i)?xi? ?Lf(x,y)dx???0i?1

如果極限limn??0?f(?i,?i)?yi總存在? 則稱此極限為函數

i?1n f(x? y)在有向曲線L上對坐標x的曲線積分? 記作

?Lf(x,y)dy? 即

lim?f(?i,?i)?yi?

?Lf(x,y)dy???0i?1

設L為xOy面上一條光滑有向曲線? {cos?? sin?}是與曲線方向一致的單位切向量? 函數P(x? y)、Q(x? y)在L上有定義?

如果下列二式右端的積分存在? 我們就定義

n?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds?

?LQ(x,y)dy??LQ(x,y)sin?ds? 前者稱為函數P(x? y)在有向曲線L上對坐標x的曲線積分? 后者稱為函數Q(x? y)在有向曲線L上對坐標y的曲線積分? 對坐標的曲線積分也叫第二類曲線積分?

定義的推廣?

設?為空間內一條光滑有向曲線? {cos?? cos?? cos?}是曲線在點(x? y? z)處的與曲線方向一致的單位切向量? 函數P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)在?上有定義? 我們定義(假如各式右端的積分存在)

??P(x,y,z)dx???P(x,y,z)cos?ds?

??Q(x,y,z)dy???Q(x,y,z)cos?ds? ??R(x,y,z)dz???R(x,y,z)cos?ds?

nlim?f(?i,?i,?i)?xi?

?Lf(x,y,z)dx???0i?1lim?f(?i,?i,?i)?yi?

?Lf(x,y,z)dy???0i?1lim?f(?i,?i,?i)?zi? ?Lf(x,y,z)dz???0i?1對坐標的曲線積分的簡寫形式?

nn?LP(x,y)dx??LQ(x,y)dy??LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?

??P(x,y,z)dx???Q(x,y,z)dy???R(x,y,z)dz

??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?

?

對坐標的曲線積分的性質?

(1)如果把L分成L1和L2? 則

?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?

2(2)設L是有向曲線弧? ?L是與L方向相反的有向曲線弧? 則

??LP(x,y)dx?Q(x,y)d???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?

兩類曲線積分之間的關系?

設{cos?i? sin?i}為與?si同向的單位向量? 我們注意到{?xi? ?yi}??si? 所以 ?xi?cos?i??si? ?yi?sin?i??si?

lim?f(?i,?i)?xi ?Lf(x,y)dx???0i?1n

?limf(?i,?i)cos?i?si??f(x,y)cos?ds?

?L??0i?1nn

lim?f(?i,?i)?yi ?Lf(x,y)dy???0i??lim??0?f(?i,?i)sin?i?si??Lf(x,y)sin?ds?

i?1n即

?LPdx?Qdy??L[Pcos??Qsin?]ds?

?LA?dr??LA?tds? 或

其中A?{P? Q}? t?{cos?? sin?}為有向曲線弧L上點(x? y)處單位切向量? dr?tds?{dx? dy}?

類似地有

或

??Pdx?Qdy?Rdz???[Pcos??Qcos??Rcos?]ds?

??A?dr???A?tds???Atds?

其中A?{P? Q? R}? T?{cos?? cos?? cos?}為有向曲線弧?上點(x? y? z)處單們切向量? dr?Tds ?{dx? dy? dz }? A t為向量A在向量t上的投影?

二、對坐標的曲線積分的計算?

定理? 設P(x? y)、Q(x? y)是定義在光滑有向曲線 L? x??(t)? y??(t)?

上的連續函數? 當參數t單調地由?變到?時? 點M(x? y)從L的起點A沿L運動到終點B? 則

討論? 提示?

??LP(x,y)dx???P[?(t),?(t)]??(t)dt?

?LQ(x,y)dy??Q[?(t),?(t)]??(t)dt?

???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?？

?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt?

??

定理? 若P(x? y)是定義在光滑有向曲線

L?

x??(t)? y??(t)(??t??)上的連續函數? L的方向與t的增加方向一致? 則

??LP(x,y)dx???P[?(t),?(t)]??(t)dt?

簡要證明? 不妨設???? 對應于t點與曲線L的方向一致的切向量為{??(t)? ??(t)}? 所以cos????(t)?

22??(t)???(t)從而

?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds

?????P[?(t),?(t)]??(t)??2(t)???2(t)dt

??2(t)???2(t)

? ??P[?(t),?(t)]??(t)dt?

應注意的問題?

下限a對應于L的起點? 上限? 對應于L的終點? ?不一定小于? ?

例1?計算?Lxydx? 其中L為拋物線y?x上從點A(1? ?1)到點B(1? 1)的一段弧?

2解法一? 以x為參數? L分為AO和OB兩部分?

AO的方程為y??x? x從1變到0? OB 的方程為y?x? x從0變到1?

因此

?Lxydx??AOxydx??OBxydx

??1x(?10x)dx??xxdx?2?0113x2dx?4? 05

第二種方法? 以y為積分變量? L的方程為x?y2? y從?1變到1? 因此?

22?4xydx?yy(y)dy?2ydy??L??1??1

51例2? 計算?Ly2dx?

(1)L為按逆時針方向繞行的上半圓周x2+y2=a2 ?

(2)從點A(a? 0)沿x軸到點B(?a?

0)的直線段?

解

(1)L 的參數方程為 x?a cos?? y?a sin??

?從0變到??

因此

4a3?

22232ydx?asin?(?asin?)d??a(1?cos?)dcos????L?0?032?a??(2)L的方程為y?0? x從a變到?a?

因此

?Lydx??a0dx?0?

2例

3計算?L2xydx?x2dy?(1)拋物線y?x上從O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧?(2)拋物線x?y2上從O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧?(3)從O(0? 0)到A(1? 0)? 再到R(1? 1)的有向折線OAB ?

解

(1)L? y?x2? x從0變到1? 所以

?L2xydx?x2dy??(2x?x2?x2?2x)dx?4?x3dx?1?

0021211(2)L? x?y2? y從0變到1? 所以

?L2xydx?xdy??0(2y?y?2y?y)dy?5?y4dy?1 ?

041

(3)OA? y?0? x從0變到1? AB? x?1? y從0變到1?

?L2xydx?x2dy??OA2xydx?x2dy??AB2xydx?x2dy

?(2x?0?x2?0)dx?(2y?0?1)dy?0?1?1? ?01?01

例4? 計算??x3dx?3zy2dy?x2ydz? 其中?是從點A(3? 2? 1)到點B(0? 0? 0)的直線段AB?

解? 直線AB的參數方程為

x?3t? y?2t? x?t?

t從1變到0? 所以 所以

I?87?

3223[(3t)?3?3t(2t)?2?(3t)?2t]dt?87tdt???1?1400

例5? 設一個質點在M(x? y)處受到力F的作用? F的大小與M到原點O的距離成正比? F

x2?y2?1的方向恒指向原點?

此質點由點A(a? 0)沿橢圓2按逆時針方向移動到點B(0? b)? 2ab求力F所作的功W?

x2?y2?1

例5? 一個質點在力F的作用下從點A(a? 0)沿橢圓2按逆時針方向移動到點

ab2B(0? b)? F的大小與質點到原點的距離成正比? 方向恒指向原點? 求力F所作的功W?

解? 橢圓的參數方程為x?acost? y?bsint ? t從0變到? ??

r?OM?xi?yj? F?k?|r|?(?其中k>0是比例常數?

r)??k(xi?yj)?

|r|?xdx?ydy?

于是

W??? ?kxdx?kydy??k?A ABB

??k

?02(?a2costsint?b2sintcost)dt

????k(a2?b2)02sintcostdt?k(a2?b2)?

三、兩類曲線積分之間的聯系

由定義? 得

?LPdx?Qdy??L(Pcos??Qsin?)ds ?L?L

?{P,Q}?{cos?,sin?}ds?F?dr?

其中F?{P? Q}? T?{cos?? sin?}為有向曲線弧L上點(x? y)處單位切向量? dr?Tds?{dx? dy}?

類似地有

??Pdx?Qdy?Rdz???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds ????

?{P,Q,R}?{cos?,cos?,cos?}ds?F?dr?

其中F?{P? Q? R}? T?{cos?? cos?? cos?}為有向曲線弧?上點(x? y? z)處單們切向量? dr?Tds ?{dx? dy? dz }?

一、格林公式

單連通與復連通區域?

設D為平面區域? 如果D內任一閉曲線所圍的部分都屬于D?

則稱D為平面單連通區域? 否則稱為復連通區域?

對平面區域D的邊界曲線L? 我們規定L的正向如下? 當觀察者沿L的這個方向行走時? D內在他近處的那一部分總在他的左邊?

區域D的邊界曲線L的方向?

定理1設閉區域D由分段光滑的曲線L圍成? 函數P(x? y)及Q(x? y)在D上具有一階連續偏導數? 則有

??(D?Q?P?)dxdy??Pdx?Qdy?

L?x?y其中L是D的取正向的邊界曲線?

簡要證明?

僅就D即是X－型的又是Y－型的區域情形進行證明?

設D?{(x? y)|?1(x)?y??2(x)? a?x?b}? 因為

?P連續? 所以由二重積分的計算法有 ?y?Pdxdy?b{?2(x)?P(x,y)dy}dx?b{P[x,?(x)]?P[x,?(x)]}dx?

21???y?a??1(x)?y?aD另一方面? 由對坐標的曲線積分的性質及計算法有

?LPdx??LPdx??LPdx??aP[x,?1(x)]dx??bP[x,?2(x)]dx

12ba

?{P[x,?1(x)]?P[x,?2(x)]}dx?

因此

??ab?Pdxdy?Pdx? ???y?LD

設D?{(x? y)|?1(y)?x??2(y)? c?y?d}? 類似地可證

?Q???xdxdy??LQdx?

D由于D即是X－型的又是Y－型的? 所以以上兩式同時成立? 兩式合并即得

??Q?P???dxdy??Pdx?Qdy?

???L?x?y?D?

應注意的問題?

對復連通區域D? 格林公式右端應包括沿區域D的全部邊界的曲線積分? 且邊界的方向對區域D來說都是正向?

設區域D的邊界曲線為L? 取P??y? Q?x? 則由格林公式得

2??dxdy??Lxdy?ydx? 或A???dxdy?2?Lxdy?ydx?

D1D

例1? 橢圓x?a cos? ? y?b sin? 所圍成圖形的面積A?

分析?

只要?Q?P?Q??1? 就有??(??P)dxdy???dxdy?A?

?x?y?x?yDD

解? 設D是由橢圓x=acos? ? y=bsin? 所圍成的區域?

令P??1y? Q?1x? 則?Q??P?1?1?1?

?x?y2222于是由格林公式?

A?1ydx?1xdy?1?ydx?xdy dxdy?????L222?LD

?2?112?(absin22??abcos?)d??ab?d???ab?

?0220

例2 設L是任意一條分段光滑的閉曲線? 證明

?L2xydx?x2dy?0?

?Q?P??2x?2x?0?

?x?y

證? 令P?2xy? Q?x2? 則因此? 由格林公式有?L2xydx?x2dy????0dxdy?0?(為什么二重積分前有“?”號？)

D2

例3? 計算??e?ydxdy? 其中D是以O(0? 0)? A(1? 1)? B(0? 1)為頂點的三角形閉區域?

D

分析? 要使?Q?P?y22??e? 只需P?0? Q?xe?y?

?x?y

2解? 令P?0? Q?xe?y? 則

?Q?P?y2??e? 因此? 由格林公式有 ?x?y?y2

??eD?y2dxdy?OA?AB?BO?xedy??xeOA?y2dy??xe?xdx?1(1?e?1)?

0212

例4 計算xdy?ydx?Lx2?y2? 其中L為一條無重點、分段光滑且不經過原點的連續閉曲線? L的方向為逆時針方向?

?y?Qy2?x2?Px22

解? 令P?2? Q?2? 則當x?y?0時? 有?

???x(x2?y2)2?yx?y2x?y2記L 所圍成的閉區域為D? 當(0? 0)?D時? 由格林公式得

xdy?ydx?Lx2?y2?0?

當(0? 0)?D時? 在D內取一圓周l? x2?y2?r 2(r>0)? 由L及l圍成了一個復連通區域D 1? 應用格林公式得

xdy?ydxxdy?ydx?Lx2?y2??lx2?y2?0?

其中l的方向取逆時針方向?

2?r2cos2??r2sin2?xdy?ydxxdy?ydxd??2?? ??22 ??于是?0Lx2?y2lx?yr2

解 記L 所圍成的閉區域為D?

當(0? 0)?D時? 由格林公式得

xdy?ydx?Q?P?(?Lx2?y2???x??y)dxdy?0?

D

當(0? 0)?D時? 在D內取一圓周l? x2?y2?r2(r?0)? 由L及l圍成了一個復連通區域D1? 應用格林公式得 xdy?ydx?Q?P?(?L?lx2?y2???x??y)dxdy?0?

D1即xdy?ydxxdy?ydx?Lx2?y2??lx2?y2?0?

其中l的方向取順時針方向?

于是

xdy?ydxxdy?ydx2?r2cos2??r2sin2?d??2?? ??Lx2?y2?l?x2?y2??0r2?y?Qy2?x2?Px22分析? 這里P?2? Q?2? 當x?y?0時? 有?

???x(x2?y2)2?yx?y2x?y2

第三篇：關于定積分、曲線積分與二重積分的簡單總結

關于定積分、曲線積分與二重積分的簡單總結

***

（吉首大學數學與計算機科學學院，湖南 吉首 416000）

摘要：微積分的內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用.在此主要討論和簡單總結一些有關定積分、曲線積分與二重積分的問題.關鍵詞：定積分 曲線積分 二重積分

英文部分

引言：

微積分是一套關于變化率的理論.積分學包括求積分運算，為定義和計算面積、體積提供了一套通用的方法.通常積分計算問題都涉及到天文、力學、幾何學等.這里主要通過有關定積分、曲線積分與二重積分的一些實例來對這些知識作一個回顧性總結.1、定積分

1(1?23?33???n3);4n??n1、1利用定積分求極限：lim

解：lim1333(1?2?3???n)n??n4

1?12n?=lim?()3?()3??()3? n??nnn??n

i1=lim?()3 n??ni?1nn

設f(x)?x3，則f(x)在[0,1]上連續且可積.取?xi?1i,?i?為區間nn

i?1i??xi?1,xi???,?的右端點,i=1,2…,n.所以上式為函數f(x)?x3在區間[0,1]??nn?

上的一個積分的極限，從而有

111411333lim4(1?2???n)??xdx?x?.0n??n40

4回顧分析：由定積分的定義知，若f(x)在[a,b]上可積，則可對[a,b]用某種特定的方法，并可取特殊的點，此時所得積分的極限就是f(x)在[a,b]上的定積分，因此本題可將和式化為某個可積函數的積分和，然后用定積分求此極限.定積分在物理中的某些應用1、2 有一等腰梯形閘門，它的上、下兩條邊各長為10米和6米，高為20米，計算當水面與上底邊相齊時閘門一側所受的靜壓力.解：考慮建立直角坐標系，這里B(0,5),C(20,3).1則BC的方程為：x+20y-50=0.即y=5-x.10

由于在相同深度處水的靜壓力相同?gx,故當?x很小時，閘門上從深度x到x+?x 這一狹條A上受的靜壓力為

1x)?x?x???g?dx.10

20202011p??dp??2?(5?x)?x?x???gdx??(10x2?x3)dx 000105

=14373.33(kN).1、3 設有半徑為r的半圓形導線，均勻帶點電荷密度為?，在圓心處有一單位E電荷，試求它們之間作用力的大小.解：同樣考慮坐標，取??所對應的一段導線，電荷電量為d????r?d?.，它圓心處電荷E在垂直方向上的引力為

sr??sin?ks???F?k??sin? rr2?p?dp?2?y?x?dx?x???g?2?(5?

則導線與電荷作用力為??

0k?sin?2k? ??rr

回顧分析：據以上例題可知，在解決積分實際問題中，確定積分區域是解決問題的關鍵，另外對于定積分我們還應注意以下幾點：

⑴周期函數的定積分，其積分上下限可任意改變，只要積分區間的長度始終等于周期，則定積分的值不變。

⑵定積分存在的兩個條件：

①積分區間有限;②被積函數有界

⑶對于定積分f(x)可積，則加上絕對值也一定可積，若其絕對值可積，但去掉絕對值卻不一定可積.2、曲線積分2、1第一型曲線積分2、1、1證明：若函數f(x,y)在光滑曲線L:x=x(t),y=y(t),t?[?,?]上連續,則存在點((x0,y0)?L使得?f(x,y)ds?f(x0,y0)?L l

其中?L為L的弧長 證明：因為?f(x,y)ds??f(x(t),y(t))x?(t)2?y?(t)2dt l??

記F(t)?f(x(t),y(t)),G(t)?x?(t)2?y?(t)2

由已知條件知F(t)在??,??上連續,G(t)在??,??上連續且非負（不變號），則根據推廣的定積分第一中值定理知，存在t0???,??,對應點(x0,y0)?(x(t0),y(t0)), 使?f(x,y)ds?f(x(t0),y(t0))?lx?(t)2?y?(t)2dt?f(x0,y0)?L

回顧分析:運用推廣的定積分第一中值定理是證明此題的關鍵.2、2第二型曲線積分

2.2.1求?y2dx?z2dy?x2dz，其中，L是維維安尼曲線x2?y2?z2?a2，L

x2?y2?ax(z?0,a?0)若從軸正向看去，L是沿逆時針方向進行的.解：選擇好參數方程確定好積分區域正是解此題的關鍵.將 x2?y2?z2?a2表示為 ?2?a2，x2?y2?ax

表示為r2?ax 或 r?ax

令 x?acos2? 則 y?asin??cos?,z?a?cos2??asin?，于是L:x?acos2?,y?asin??cos?,z?a?cos2?

??

2????

2,所以

?Ly2dx?z2dy?x2dz

?

??2?[a2sin2?cos2?(?2acos?sin?)?a2(1?cos2?)?a(cos2???2

sin?)?acos?acos?sin?(1?cos?)]d?

?2242?12

?2a3?2(sin2?cos2??sin4?)d?0

3351?a3[?(,)??(,)]2222

???

4a

3通過以上實例分析可知，曲線積分有著較為廣泛和重要的作用.因此對于曲線積分，我們應注意以下幾點：

⑴第一型曲線積分：第一型曲線積分上限、一定要大于積分下限； ⑵第二型曲線積分：

①曲線和有方向，方向改變后第二型曲線積分二值就要反向，即變號；

②第二型曲線積分的計算，在化為定積分時，積分上限可以小于積分下限，起點即為下限，終點即為上限.⑶曲線積分是定積分的推廣.⑷對?ds,即表示L的弧長，即f(x,y)=1.l

3.二重積分3、1計算??(x?y)2d?，其中D??0,1???0,1?.，D

解：應用定理即：設f(x,y)在矩形區域D??a,b???c,d?.上可積，且對每個x??a,b?積分?d

cf(x,y)dy存在，則累次積分

bd?badx?f(x,y)dy也存在，且cd??f(x,y)d???dx?Dacf(x,y)dy 有??f(x,y)d???dx?(x?y)2dx?

D00117 6

回顧分析：對于一般區域，通常可以分解為如下兩類區域來進行計算.稱平面點集D?{(x,y)y1(x)?y?y2(x),a?x?b}為x型區域

稱平面點集D?{(x,y)x1(y)?x?x2(y),c?y?d}為y型區域.3、2關于x型區域的實例3、2、1計算二重積分??d?，其中D為由直線y=2x,x=2y及x+y=3所圍的三角

D

形區域.解：把D看作x型區域時，相應的?2x,0?x?1x ,y1(x)?, y2(x)??2?3?x,1?x?2

???dx???d????d???dxxdy??dxxdy DD1D2021212x23?x

12xx??(2x?)dx??(3?x?)dx0122

3?3?3????x2???3x?x2??4?12?4?0?123、2、2關于x,y混合型區域的實例

求由坐標平面x=2,y=3,x+y+z=4所圍二角柱體的體積.解：

V???zdxdy???(4?x?y)dxdy

DD

??dx?(4?x?y)dy??dx?0011324?x0(4?x?y)dy

?55

6回顧分析：

對于二重積分應注意以下幾點：

⑴ 二重積分化為累次積分，積分上限一定要大于積分下限.⑵ 二重積分的許多性質與定積分的幾乎完全相同.⑶ n(n?2)重積分的計算都是轉化為定積分的計算.⑷ 掌握型區域和型區域的二重積分的計算是計算一般平面上二重積分的基礎.⑸ 解決了x型區域或y型區域上二重積分的計算問題，那么一般區域上二重積分的計算問題也就得到了解決.參考文獻：

【1】 華東師范大學數學系編.數學分析（上、下）[M].第三版.北京:高等教育出版社.2001

【1】 林益等編數學分析習題詳解（上、下）[M].武漢 華中科技大學出版社.2005

第四篇：曲線積分與曲面積分重點總結+例題

高等數學教案

曲線積分與曲面積分

第十章

曲線積分與曲面積分

【教學目標與要求】

1.理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系。2.掌握計算兩類曲線積分的方法。

3.熟練掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求全微分的原函數。4.了解第一類曲面積分的概念、性質，掌握計算第一類曲面積分的方法。

【教學重點】

1.兩類曲線積分的計算方法； 2.格林公式及其應用；

3.第一類曲面積分的計算方法；

【教學難點】

1.兩類曲線積分的關系及第一類曲面積分的關系； 2.對坐標的曲線積分與對坐標的曲面積分的計算； 3.應用格林公式計算對坐標的曲線積分； 6.兩類曲線積分的計算方法；

7.格林公式及其應用格林公式計算對坐標的曲線積分；

【參考書】

[1]同濟大學數學系.《高等數學（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同濟大學數學系.《高等數學學習輔導與習題選解》，第六版.高等教育出版社.[3] 同濟大學數學系.《高等數學習題全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

§11.1 對弧長的曲線積分

一、對弧長的曲線積分的概念與性質

曲線形構件的質量?

設一曲線形構件所占的位置在xOy面內的一段曲線弧L上? 已知曲線形構件在點(x? y)處的線密度為?(x? y)? 求曲線形構件的質量?

把曲線分成n小段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn(?si也表示弧長)?

任取(?i ? ?i)??si? 得第i小段質量的近似值?(?i ? ?i)?si?

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曲線積分與曲面積分

整個物質曲線的質量近似為M???(?i,?i)?si?

i?1n

令??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}?0? 則整個物質曲線的質量為

M?lim??(?i,?i)?si?

??0i?1n

這種和的極限在研究其它問題時也會遇到?

定義

設函數f(x? y)定義在可求長度的曲線L上? 并且有界?，將L任意分成n個弧段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn? 并用?si表示第i段的弧長? 在每一弧段?si上任取一點(?i? ?i)? 作和?f(?i,?i)?si? 令??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}? 如果當??0時? 這和的極限總存在? 則稱此i?1n極限為函數f(x? y)在曲線弧L上對弧長的 曲線積分或第一類曲線積分? 記作

?Lf(x,y)ds? 即

n

lim?f(?i,?i)?si?

?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x? y)叫做被積函數? L 叫做積分弧段?

曲線積分的存在性? 當f(x? y)在光滑曲線弧L上連續時? 對弧長的曲線積分?Lf(x,y)ds是存在的?

以后我們總假定f(x? y)在L上是連續的?

根據對弧長的曲線積分的定義?曲線形構件的質量就是曲線積分中?(x? y)為線密度?

對弧長的曲線積分的推廣?

?L?(x,y)ds的值? 其

lim?f(?i,?i,?i)?si?

??f(x,y,z)ds???0i?1n

如果L(或?)是分段光滑的? 則規定函數在L(或?)上的曲線積分等于函數在光滑的各段上的曲線積分的和? 例如設L可分成兩段光滑曲線弧L1及L2? 則規定

?L?L12f(x,y)ds??f(x,y)ds??f(x,y)ds?

L1L

2閉曲線積分? 如果L是閉曲線? 那么函數f(x? y)在閉曲線L上對弧長的曲線積分記作

?Lf(x,y)ds?

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曲線積分與曲面積分

對弧長的曲線積分的性質?

性質1 設c1、c2為常數? 則

?L[c1f(x,y)?c2g(x,y)]ds?c1?Lf(x,y)ds?c2?Lg(x,y)ds?

性質2 若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2? 則

?Lf(x,y)ds??Lf(x,y)ds??L1f(x,y)ds?

2性質3設在L上f(x? y)?g(x? y)? 則

特別地? 有

|?Lf(x,y)ds??Lg(x,y)ds?

?Lf(x,y)ds|??L|f(x,y)|ds

二、對弧長的曲線積分的計算法

根據對弧長的曲線積分的定義? 如果曲線形構件L的線密度為f(x? y)? 則曲線形構件L的質量為 ?Lf(x,y)ds?

x??(t)? y??(t)(??t??)?

另一方面? 若曲線L的參數方程為 則質量元素為

f(x,y)ds?f[?(t), ?(t)]曲線的質量為

即

??2(t)???2(t)dt?

???f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt?

f(x,y)ds??f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt?

???L

定理 設f(x? y)在曲線弧L上有定義且連續? L的參數方程為 x??(t)? y??(t)(??t??)?

其中?(t)、?(t)在[?? ?]上具有一階連續導數? 且??2(t)???2(t)?0? 則曲線積分在? 且

應注意的問題? 定積分的下限?一定要小于上限??

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?Lf(x,y)ds存?Lf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt(?

??高等數學教案

曲線積分與曲面積分

討論?

(1)若曲線L的方程為y??(x)(a?x?b)? 則提示?

L的參數方程為x?x? y??(x)(a?x?b)?

?Lf(x,y)ds?? ?Lf(x,y)ds??f[x,?(x)]1???2(x)dx?

ab

(2)若曲線L的方程為x??(y)(c?y?d)? 則提示?

L的參數方程為x??(y)? y?y(c?y?d)?

?Lf(x,y)ds?? ?Lf(x,y)ds??f[?(y),y]??2(y)?1dy?

cd

(3)若曲?的方程為x??(t)? y??(t)? z??(t)(??t??)?

則??f(x,y,z)ds??

提示? ??f(x,y,z)ds??f[?(t),?(t),?(t)]??2(t)???2(t)???2(t)dt?

??

例1 計算?Lyds? 其中L是拋物線y?x2上點O(0? 0)與點B(1? 1)之間的一段弧?

解 曲線的方程為y?x2(0?x?1)? 因此

?L11yds??x21?(x2)?2dx??x1?4x2dx?1(55?1)?

001

2例2 計算半徑為R、中心角為2?的圓弧L對于它的對稱軸的轉動慣量I(設線密度為??1)?

解 取坐標系如圖所示? 則I??Ly2ds?

曲線L的參數方程為

x?Rcos?? y?Rsin?(????

于是

I??Ly2ds??R2sin2?(?Rsin?)2?(Rcos?)2d?

???

?R3???sin2?d??R(??sin? cos?)? 3?

例3 計算曲線積分??(x2?y2?z2)ds? 其中?為螺旋線x?acost、y?asint、z?kt上相應于t從0到達2?的一段弧?

解 在曲線?上有x2?y2?z2?(a cos t)2?(a sin t)2?(k t)2?a2?k 2t 2? 并且

ds?(?asint)2?(acost)2?k2dt?a2?k2dt?

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高等數學教案

曲線積分與曲面積分

于是

?22z2)ds??2??(x?y?0(a2?k2t2)a2?k2dt

?23?a2?k2(3a2?4?2k2)?

小結

用曲線積分解決問題的步驟?

(1)建立曲線積分?

(2)寫出曲線的參數方程(或直角坐標方程)? 確定參數的變化范圍?

(3)將曲線積分化為定積分?

(4)計算定積分?

教學方式及教學過程中應注意的問題

在教學過程中要注意曲線積分解決問題的步驟，要結合實例，反復講解。

師生活動設計

1.已知橢圓L:x2y2??1周長為a，求?(2xy?3x2?4y243)ds。L2.設C是由極坐標系下曲線r?a,??0及???4所圍成區域的邊界，I??ex2?y2ds

C講課提綱、板書設計

作業 P190: 3（1）（3）（5）（7）

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求高等數學教案

曲線積分與曲面積分

§11? 對坐標的曲線積分

一、對坐標的曲線積分的概念與性質

變力沿曲線所作的功?

設一個質點在xOy面內在變力F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j的作用下從點A沿光滑曲線弧L移動到點B? 試求變力F(x? y)所作的功?

用曲線L上的點A?A0? A1? A2? ? ? ?? An?1? An?B把L分成n個小弧段?

設Ak?(xk ? yk)? 有向線段AkAk?1的長度為?sk? 它與x軸的夾角為?k ? 則

AkAk?1?{cos?k,sin?k}?sk(k?0? 1? 2? ? ? ?? n?1)?

???顯然? 變力F(x? y)沿有向小弧段Ak Ak?1所作的功可以近似為

F(xk,yk)?AkAk?1?[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk? 于是? 變力F(x? y)所作的功

W??從而

W??[P(x,y)cos??Q(x,y)sin?]ds?

L這里???(x? y)? {cos?? sin?}是曲線L在點(x? y)處的與曲線方向一致的單位切向量?

把L分成n個小弧段? L1?

L2? ? ? ??

Ln?變力在Li上所作的功近似為?

F(?i? ?i)??si?P(?i? ?i)?xi?Q(?i? ?i)?yi ?

變力在L上所作的功近似為?

n?1?F(xk,yk)?AkAk?1k?1n?1???[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk?

k?1?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?

i?1nn

變力在L上所作的功的精確值?

W?lim ??0?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?

i?1高等數學課程建設組 高等數學教案

曲線積分與曲面積分

其中?是各小弧段長度的最大值?

提示?

用?si?{?xi??yi}表示從Li的起點到其終點的的向量? 用?si表示?si的模?

對坐標的曲線積分的定義?

定義 設函數f(x? y)在有向光滑曲線L上有界? 把L分成n個有向小弧段L1?

L2? ? ? ??

Ln? 小弧段Li的起點為(xi?1? yi?1)? 終點為(xi? yi)? ?xi?xi?xi?1? ?yi?yi?yi?1?(?i? ?)為Li上任意一點? ?為各小弧段長度的最大值?

如果極限lim??0?f(?i,?i)?xi總存在? 則稱此極限為函數f(x? y)在有向曲線L上對坐標i?1nx的曲線積分? 記作

lim?f(?i,?i)?xi? ?Lf(x,y)dx? 即?Lf(x,y)dx???0i?1n

設L為xOy面上一條光滑有向曲線? {cos?? sin?}是與曲線方向一致的單位切向量? 函數P(x? y)、Q(x? y)在L上有定義?

如果下列二式右端的積分存在? 我們就定義

?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds?

?LQ(x,y)dy??LQ(x,y)sin?ds?

前者稱為函數P(x? y)在有向曲線L上對坐標x的曲線積分? 后者稱為函數Q(x? y)在有向曲線L上對坐標y的曲線積分? 對坐標的曲線積分也叫第二類曲線積分?

定義的推廣?

設?為空間內一條光滑有向曲線? {cos?? cos?? cos?}是曲線在點(x? y? z)處的與曲線方向一致的單位切向量? 函數P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)在?上有定義? 我們定義(假如各式右端的積分存在)

??P(x,y,z)dx???P(x,y,z)cos?ds?

??Q(x,y,z)dy???Q(x,y,z)cos?ds? ??R(x,y,z)dz???R(x,y,z)cos?ds?

nnlim?f(?i,?i,?i)?xi? ?f(x,y,z)dy?lim?f(?i,?i,?i)?yi?

?Lf(x,y,z)dx??L?0??0i?1i?1高等數學課程建設組

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曲線積分與曲面積分

lim?f(?i,?i,?i)?zi? ?Lf(x,y,z)dz???0i?1對坐標的曲線積分的簡寫形式?

n?LP(x,y)dx??LQ(x,y)dy??LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?

??P(x,y,z)dx???Q(x,y,z)dy???R(x,y,z)dz

??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?

?對坐標的曲線積分的性質?

(1)如果把L分成L1和L2? 則

?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?

2(2)設L是有向曲線弧? ?L是與L方向相反的有向曲線弧? 則

??LP(x,y)dx?Q(x,y)d???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?

兩類曲線積分之間的關系?

設{cos?i? sin?i}為與?si同向的單位向量? 我們注意到{?xi? ?yi}??si? 所以 ?xi?cos?i??si? ?yi?sin?i??si?

lim?f(?i,?i)?xi ?Lf(x,y)dx???0i?1n

?lim??0?f(?i,?i)cos?i?si??Lf(x,y)cos?ds?

i?1nn

lim?f(?i,?i)?yi ?Lf(x,y)dy???0i??lim??0?f(?i,?i)sin?i?si??Lf(x,y)sin?ds?

i?1n即

?LPdx?Qdy??L[Pcos??Qsin?]ds?

?LA?dr??LA?tds?

高等數學課程建設組 或

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曲線積分與曲面積分

其中A?{P? Q}? t?{cos?? sin?}為有向曲線弧L上點(x? y)處單位切向量? dr?tds?{dx? dy}?

類似地有

或

??Pdx?Qdy?Rdz???[Pcos??Qcos??Rcos?]ds?

??A?dr???A?tds???Atds?

其中A?{P? Q? R}? T?{cos?? cos?? cos?}為有向曲線弧?上點(x? y? z)處單們切向量? dr?Tds ?{dx? dy? dz }? A t為向量A在向量t上的投影?

二、對坐標的曲線積分的計算?

定理? 設P(x? y)、Q(x? y)是定義在光滑有向曲線L? x??(t)? y??(t)? 上的連續函數? 當參數t單調地由?變到?時? 點M(x? y)從L的起點A沿L運動到終點B? 則

??L?LP(x,y)dx??P[?(t),?(t)]??(t)dt?

?Q(x,y)dy??Q[?(t),?(t)]??(t)dt?

??討論?

提示?

?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?？

???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt?

定理? 若P(x? y)是定義在光滑有向曲線 L?

x??(t)? y??(t)(??t??)上的連續函數? L的方向與t的增加方向一致? 則

??LP(x,y)dx??P[?(t),?(t)]??(t)dt?

?

簡要證明? 不妨設???? 對應于t點與曲線L的方向一致的切向量為{??(t)? ??(t)}?

所以

cos????(t)?

22??(t)???(t)從而

?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds

????P[?(t),?(t)]??(t)??2(t)???2(t)dt

??2(t)???2(t)高等數學課程建設組

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曲線積分與曲面積分

?

?應注意的問題? ??P[?(t),?(t)]??(t)dt?

下限a對應于L的起點? 上限? 對應于L的終點? ?不一定小于? ?

討論?

若空間曲線?由參數方程x??t)? y =?(t)? z??(t)給出? 那么曲線積分

如何計算？提示?

???P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?？

??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz

? ?{P[?(t),?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t),?(t)]??(t)?R[?(t),?(t),?(t)]??(t)}dt? ?其中?對應于?的起點? ?對應于?的終點?

例題?

例1?計算?Lxydx? 其中L為拋物線y?x上從點A(1? ?1)到點B(1? 1)的一段弧?

2例2? 計算?Ly2dx?

(1)L為按逆時針方向繞行的上半圓周x2+y2=a2 ?

(2)從點A(a? 0)沿x軸到點B(?a?

0)的直線段?

例3 計算?L2xydx?x2dy?(1)拋物線y?x2上從O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧?(2)拋物線x?y2上從O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧?(3)從O(0? 0)到A(1? 0)? 再到R(1? 1)的有向折線OAB ?

例4? 計算??x3dx?3zy2dy?x2ydz? 其中?是從點A(3? 2? 1)到點B(0? 0? 0)的直線段AB?

例5? 設一個質點在M(x? y)處受到力F的作用? F的大小與M到原點O的距離成正比? F

x2?y2?1的方向恒指向原點?

此質點由點A(a? 0)沿橢圓2按逆時針方向移動到點B(0? b)? 2ab求力F所作的功W?

小結

1.第二類曲線積分的定義；

高等數學課程建設組

高等數學教案

曲線積分與曲面積分

2.第二類曲線積分的計算方法。

教學方式及教學過程中應注意的問題

在教學過程中要注意第二類曲線積分的定義和計算方法，要結合實例，反復講解。

師生活動設計

1.已知?為折線ABCOA，計算I?dx?dy?ydz

??講課提綱、板書設計 作業 P200: 3（1）（3）（5）（7），4

§11?3 格林公式及其應用

一、格林公式

單連通與復連通區域?

設D為平面區域? 如果D內任一閉曲線所圍的部分都屬于D?

則稱D為平面單連通區域? 否則稱為復連通區域?

對平面區域D的邊界曲線L? 我們規定L的正向如下? 當觀察者沿L的這個方向行走時? D內在他近處的那一部分總在他的左邊?

區域D的邊界曲線L的方向?

定理1設閉區域D由分段光滑的曲線L圍成? 函數P(x? y)及Q(x? y)在D上具有一階連續偏導數? 則有

??(D?Q?P?)dxdy??Pdx?Qdy?

L?x?y其中L是D的取正向的邊界曲線?

簡要證明? 僅就D即是X－型的又是Y－型的區域情形進行證明?

設D?{(x? y)|?1(x)?y??2(x)? a?x?b}? 因為

?P連續? 所以由二重積分的計算法有 ?y?Pdxdy?b{?2(x)?P(x,y)dy}dx?b{P[x,?(x)]?P[x,?(x)]}dx?

21???y?a??1(x)?y?aD另一方面? 由對坐標的曲線積分的性質及計算法有

?Pdx??Pdx??Pdx??P[x,?1(x)]dx??P[x,?2(x)]dx

LL1L2abba

?{P[x,?1(x)]?P[x,?2(x)]}dx?

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?ab高等數學教案

曲線積分與曲面積分

因此

??Pdxdy?Pdx?

???y?LD

設D?{(x? y)|?1(y)?x??2(y)? c?y?d}? 類似地可證

?Q???xdxdy??LQdx?

D由于D即是X－型的又是Y－型的? 所以以上兩式同時成立? 兩式合并即得

??Q?P???dxdy??Pdx?Qdy?

???L?x?y?D?

應注意的問題?

對復連通區域D? 格林公式右端應包括沿區域D的全部邊界的曲線積分? 且邊界的方向對區域D來說都是正向?

設區域D的邊界曲線為L? 取P??y? Q?x? 則由格林公式得

21xdy?ydx? dxdy?xdy?ydx? 或A?dxdy????L???L2DD

例1? 橢圓x?a cos? ? y?b sin? 所圍成圖形的面積A?

分析?

只要?Q?P?Q??1? 就有??(??P)dxdy???dxdy?A?

?x?y?x?yDD

例2 設L是任意一條分段光滑的閉曲線? 證明

?L2xydx?x2dy?0?

??e?ydxdy? 其中D是以O(0? 0)? A(1? 1)? B(0? 1)為頂點的三角形閉區域?

D

2例3? 計算

分析? 要使?Q?P?y22??e? 只需P?0? Q?xe?y?

?x?y

例4 計算xdy?ydx?Lx2?y2? 其中L為一條無重點、分段光滑且不經過原點的連續閉曲線?

L的方向為逆時針方向?

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曲線積分與曲面積分

?y?Qy2?x2?Px2

2解? 令P?2? Q?2? 則當x?y?0時? 有?

???x(x2?y2)2?yx?y2x?y2記L 所圍成的閉區域為D? 當(0? 0)?D時? 由格林公式得

xdy?ydx?Lx2?y2?0?

當(0? 0)?D時? 在D內取一圓周l? x2?y2?r 2(r>0)? 由L及l圍成了一個復連通區域D 1? 應用格林公式得

xdy?ydxxdy?ydx?Lx2?y2??lx2?y2?0?

其中l的方向取逆時針方向?

于是

2?r2cos2??r2sin2?xdy?ydxxdy?ydx?d??2?? ? 2?Lx2?y2?lx2?y2?0r記L 所圍成的閉區域為D?

當(0? 0)?D時? 由格林公式得

xdy?ydx?Q?P?(?Lx2?y2???x??y)dxdy?0?

D?y?Qy2?x2?Px22分析? 這里P?2? Q?2? 當x?y?0時? 有?

???x(x2?y2)2?yx?y2x?y2

二、平面上曲線積分與路徑無關的條件

曲線積分與路徑無關?

設G是一個開區域? P(x? y)、Q(x? y)在區域G內具有一階連續偏導數? 如果對于G內任意指定的兩個點A、B以及G內從點A到點B的任意兩條曲線L

1、L 2? 等式

?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy

12恒成立? 就說曲線積分

設曲線積分的曲線? 則有

?LPdx?Qdy在G內與路徑無關? 否則說與路徑有關?

1和?LPdx?Qdy在G內與路徑無關? L

L 2是G內任意兩條從點A到點B?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?

12高等數學課程建設組 高等數學教案

曲線積分與曲面積分

因為

?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?0

121

2??LPdx?Qdy??L1?2Pdx?Qdy?0??L1?(L2?)Pdx?Qdy?0?

所以有以下結論?

曲線積分?LPdx?Qdy在G內與路徑無關相當于沿G內任意

?LPdx?Qdy等于零? 閉曲線C的曲線積分

定理2 設開區域G是一個單連通域? 函數P(x? y)及Q(x? y)在G內具有一階連續偏導數? 則曲線積分?LPdx?Qdy在G內與路徑無關（或沿G內任意閉曲線的曲線積分為零）

?P??Q ?y?x的充分必要條件是等式

在G內恒成立?

充分性易證?

若?P??Q? 則?Q??P?0? 由格林公式? 對任意閉曲線L? 有

?y?x?x?y

??Q?P?Pdx?Qdy???dxdy?0?

?L????x?y?D?

必要性?

假設存在一點M0?G? 使?Q?P?Q?P????0? 不妨設?>0? 則由?的連續性? 存在?x?y?x?y?Q?P???? 于是沿鄰域U(M0, ?)邊界l 的?x?y2M0的一個? 鄰域U(M0, ?)? 使在此鄰域內有閉曲線積分

?Pdx?Qdy?lU(M0,?)??(?Q?P??)dxdy????2?0?

?x?y2高等數學課程建設組

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曲線積分與曲面積分

這與閉曲線積分為零相矛盾? 因此在G內 應注意的問題?

?Q?P??0?

?x?y

定理要求? 區域G是單連通區域? 且函數P(x? y)及Q(x? y)在G內具有一階連續偏導數?

如果這兩個條件之一不能滿足? 那么定理的結論不能保證成立?

破壞函數P、Q及?P?Q、連續性的點稱為奇點?

?y?x

例5 計算?L2xydx?x2dy? 其中L為拋物線y?x2上從O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧?

解? 因為?P??Q?2x在整個xOy面內都成立?

?y?x所以在整個xOy面內? 積分

?L2xydx?x2dy與路徑無關?

?L2xydx?x2dy??OA2xydx?x2dy??AB2xydx?x2dy

?12dy?1? ?01討論?

設L為一條無重點、分段光滑且不經過原點的連續閉曲線? L的方向為逆時針方向? 問xdy?ydx?Lx2?y2?0是否一定成立？

?yx在點(0? 0)不連續?

Q?和x2?y2x2?y2提示? 這里P??Qy2?x2?P因為當x?y?0時? ? 所以如果(0? 0)不在L所圍成的區域內? 則結論???x(x2?y2)2?y22成立? 而當(0? 0)在L所圍成的區域內時? 結論未必成立?三、二元函數的全微分求積

曲線積分在G內與路徑無關? 表明曲線積分的值只與起點從點(x0? y0)與終點(x? y)有關?

如果

(x,y)?LPdx?Qdy與路徑無關? 則把它記為?(x0,y0)Pdx?Qdy

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曲線積分與曲面積分

(x,y)

即 ?L0Pdx?Qdy??(x0,y0)Pdx?Qdy?

若起點(x0? y0)為G內的一定點? 終點(x? y)為G內的動點? 則

u(x? y)??(x,y)Pdx?Qdy

0(x,y)為G內的的函數?

二元函數u(x? y)的全微分為du(x? y)?ux(x? y)dx?uy(x? y)dy?

表達式P(x? y)dx+Q(x? y)dy與函數的全微分有相同的結構? 但它未必就是某個函數的全微分? 那么在什么條件下表達式P(x? y)dx+Q(x? y)dy是某個二元函數u(x? y)的全微分呢？當這樣的二元函數存在時怎樣求出這個二元函數呢？

定理3 設開區域G是一個單連通域? 函數P(x? y)及Q(x? y)在G內具有一階連續偏導數? 則P(x? y)dx?Q(x? y)dy 在G內為某一函數u(x? y)的全微分的充分必要條件是等式

?P??Q ?y?x在G內恒成立?

簡要證明?

必要性? 假設存在某一函數u(x? y)? 使得du?P(x? y)dx?Q(x? y)dy?

則有 ?P??(?u)??2u? ?Q??(?u)??2u? 因為?2u??P、?2u??Q連續?

?y?y?x?x?y?x?x?y?y?x?x?y?y?y?x?x22?Q?u??u?

即?P?所以?

?y?x?x?y?y?x

充分性? 因為在G內?P??Q? 所以積分P(x,y)dx?Q(x,y)dy在G內與路徑無關?

?L?y?x在G內從點(x0? y0)到點(x? y)的曲線積分可表示為 u(x? y)?因為

u(x? y)?

?所以

y?(x,y)P(x,y)dx?Q(x,y)dy?

00(x,y)?(x,y)P(x,y)dx?Q(x,y)dy

00(x,y)?yQ(x0,y)dy??xP(x,y)dx?

00x?u??yQ(x,y)dy??xP(x,y)dx?P(x,y)? 0?x?x?y0?x?x0高等數學課程建設組

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曲線積分與曲面積分

類似地有數的全微分? ?u?Q(x,y)? 從而du ?P(x? y)dx?Q(x? y)dy? 即P(x? y)dx?Q(x? y)dy是某一函?y

求原函數的公式?

u(x,y)?

u(x,y)?

u(x,y)?

例6 驗證?數?

解? 這里P??(x,y)P(x,y)dx?Q(x,y)dy?

00(x,y)?xx0P(x,y0)dx??Q(x,y)dy?

y0x0y?yQ(x0,y)dy??xP(x,y)dx?

0yxdy?ydx在右半平面(x>0)內是某個函數的全微分? 并求出一個這樣的函x2?y2?yx?

Q??

x2?y2x2?y

2因為P、Q在右半平面內具有一階連續偏導數? 且有

?Qy2?x2?P

?

???x(x2?y2)2?y所以在右半平面內? xdy?ydx是某個函數的全微分?

22x?y

取積分路線為從A(1? 0)到B(x? 0)再到C(x? y)的折線? 則所求函數為

u(x,y)??(1, 0)(x,y)yxdyxdy?ydxy?0??

?arctan?0x2?y2x2?y2x問? 為什么(x0? y0)不取(0? 0)?

例7 驗證? 在整個xOy面內? xy2dx?x2ydy是某個函數的全微分? 并求出一個這樣的函數?

解

這里P?xy2? Q?x2y?

因為P、Q在整個xOy面內具有一階連續偏導數? 且有

?Q?2xy??P?

?x?y高等數學課程建設組

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曲線積分與曲面積分

所以在整個xOy面內? xy2dx?x2ydy是某個函數的全微分?

取積分路線為從O(0? 0)到A(x? 0)再到B(x? y)的折線? 則所求函數為

u(x,y)?(x,y)yy?(0, 0)xydx?xydy?0??0x222ydy?x2?0x2y2ydy??

2思考與練習?

1?在單連通區域G內? 如果P(x? y)和Q(x? y)具有一階連續偏導數? 且恒有

?Q?P?? 那么 ?x?y(1)在G內的曲線積分?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否與路徑無關? ?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否為零?

?Q?P?? ?x?y(2)在G內的閉曲線積分(3)在G內P(x? y)dx?Q(x? y)dy是否是某一函數u(x? y)的全微分?

2?在區域G內除M0點外? 如果P(x? y)和Q(x? y)具有一階連續偏導數? 且恒有G1是G內不含M0的單連通區域? 那么(1)在G 1內的曲線積分?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否與路徑無關? ?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否為零?(2)在G 1內的閉曲線積分(3)在G 1內P(x? y)dx?Q(x? y)dy是否是某一函數u(x? y)的全微分?

3? 在單連通區域G內? 如果P(x? y)和Q(x? y)具有一階連續偏 導數? ?P??Q? 但?Q??P非常簡單? 那么 ?y?x?x?y(1)如何計算G內的閉曲線積分?(2)如何計算G內的非閉曲線積分?(3)計算?L(exsiny?2y)dx?(excosy?2)dy? 其中L為逆時針方向的

上半圓周(x?a)2?y2?a 2? y?0?

小結

Pdx?Qdy?1.格林公式 L

2.格林公式中的等價條件。???Q?P???D???x??y??dxdy??教學方式及教學過程中應注意的問題

高等數學課程建設組

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曲線積分與曲面積分

在教學過程中要注意格林公式和其中的等價條件，要結合實例，反復講解。

師生活動設計

講課提綱、板書設計

作業 P214: 2(1);3;4(3);5(1),(4);6(2),(5)

§11? 4 對面積的曲面積分

一、對面積的曲面積分的概念與性質

物質曲面的質量問題? 設?為面密度非均勻的物質曲面? 其面密度為?(x? y? z)? 求其質量?

把曲面分成n個小塊? ?S1? ?S2 ? ? ? ?? ?Sn(?Si也代表曲面的面積)?求質量的近似值?

??(?i,?i,?i)?Sii?1nn((?i? ?i? ?i)是?Si上任意一點)? 取極限求精確值?

M?lim??(?i,?i,?i)?Si(?為各小塊曲面直徑的最大值)?

??0i?

1定義

設曲面?是光滑的? 函數f(x? y? z)在?上有界? 把?任意分成n小塊? ?S1? ?S2 ? ? ? ?? ?Sn(?Si也代表曲面的面積)? 在?Si上任取一點(?i? ?i? ?i)? 如果當各小塊曲面的直徑的最大值??0時? 極限lim?f(?i,?i,?i)?Si總存在? 則稱此極限為函數f(x? y? z)在曲面?上對??0i?1n面積的曲面積分或第一類曲面積分? 記作n??f(x,y,z)dS? 即

?

lim?f(?i,?i,?i)?Si? ??f(x,y,z)dS???0i?1?其中f(x? y? z)叫做被積函數? ?叫做積分曲面?

對面積的曲面積分的存在性?

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曲線積分與曲面積分

我們指出當f(x? y? z)在光滑曲面?上連續時對面積的曲面積分是存在的? 今后總假定f(x? y? z)在?上連續?

根據上述定義面密度為連續函數?(x? y? z)的光滑曲面?的質量M可表示為?(x? y? z)在?上對面積的曲面積分?

M???f(x,y,z)dS

?如果?是分片光滑的我們規定函數在?上對面積的曲面積分等于函數在光滑的

各片曲面上對面積的曲面積分之和? 例如設?可分成兩片光滑曲面?1及?2(記作???1??2)就規定

?1??2??f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS?

?1?

2對面積的曲面積分的性質?

(1)設c

1、c 2為常數? 則

??[c1f(x,y,z)?c2g(x,y,z)]dS?c1??f(x,y,z)dS?c2??g(x,y,z)dS?

???

(2)若曲面?可分成兩片光滑曲面?1及?2? 則

??f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS?

??1?

2(3)設在曲面?上f(x? y? z)?g(x? y? z)? 則

(4)??f(x,y,z)dS???g(x,y,z)dS?

????dS?A? 其中A為曲面?的面積?

?

二、對面積的曲面積分的計算

面密度為f(x? y? z)的物質曲面的質量為M?lim?f(?i,?i,?i)?Si???0i?1n??f(x,y,z)dS?

?另一方面? 如果?由方程z?z(x? y)給出? ?在xOy面上的投影區域為D ? 那么 曲面的面積元素為

2dA?1?zx(x,y)?z2y(x,y)dxdy?

質量元素為

高等數學課程建設組

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曲線積分與曲面積分

2f[x,y,z(x,y)]dA?f[x,y,z(x,y)]1?zx(x,y)?z2y(x,y)dxdy?

根據元素法? 曲面的質量為

M?y(x,y)dxdy?

??f[x,y,z(x,y)]1?zx2(x,y)?z2D因此

y(x,y)dxdy?

??f(x,y,z)dS???f[x,y,z(x,y)]1?zx2(x,y)?z2?D

化曲面積分為二重積分? 設曲面?由方程z?z(x? y)給出? ?在xOy面上的投影區域為Dxy? 函數z?z(x? y)在Dxy上具有連續偏導數? 被積函數f(x? y? z)在?上連續? 則

y(x,y)dxdy?

??f(x,y,z)dS???f[x,y,z(x,y)]1?zx2(x,y)?z2?Dxy

如果積分曲面?的方程為y?y(z? x)? Dzx為?在zOx面上的投影區域? 則函數f(x? y? z)在?上對面積的曲面積分為

??f(x,y,z)dS???f[x,y(z,x),z]?Dzx221?yz(z,x)?yx(z,x)dzdx?

如果積分曲面?的方程為x?x(y? z)? Dyz為?在yOz面上的投影區域? 則函數f(x? y? z)在?上對面積的曲面積分為

22f(x,y,z)dS?f[x(y,z),y,z]1?x(y,z)?x(y,z)dydz? yz?????Dyz

例1 計算曲面積分1dS? 其中?是球面x2?y2?z2?a2被平面 ??z?z?h(0?h?a)截出的頂部?

解 ?的方程為z?a2?x2?y2? Dxy ?

x2?y2?a2?h2?

因為

zx??y?x? zy??

222222a?x?ya?x?yadxdy?

222a?x?y高等數學課程建設組 dS?1?zx?z2ydxdy? 高等數學教案

曲線積分與曲面積分

所以

1dS?a??z??a2?x2?y2dxdy

?Dxy

?a提示? ?02?d??a2?h20rdr1ln(a2?r2)]a2?h2?2?alna?

?2?a[?0a2?r2h221?zx?z2y2y2xa?1?222?222??

222a?x?ya?x?ya?x?y

例2 計算邊界曲面?

??xyzdS? 其中?是由平面x?0? y?0? z?0及x?y?z?1所圍成的四面體的整個?

解 整個邊界曲面?在平面x?0、y?0、z?0及x?y?z?1上的部分依次記為?

1、?

2、?3及?4? 于是

??xyzdS???xyzdS???xyzdS???xyzdS???xyzdS

??1?2?3??0?0?0???xyzdS????43xy(1?x?y)dxdy

1Dxy

?3xdx提示? ?4? z?1?x?y? ?021?01?x(1?x)3dx?3?

y(1?x?y)dy?3?x?06120

dS?1?z?

y3dxd?yx?z?ydxd?2小結

1.對面積的曲面積分的定義和計算

2.格林公式中的等價條件。

教學方式及教學過程中應注意的問題

在教學過程中要注意利用球面坐標、柱面坐標、對稱性、重心公式，簡化計算的技巧.，要結合實例，反復講解。

師生活動設計

課后習題：1，3，7 講課提綱、板書設計

作業 P218: 4(3);5(2);6(1),(3),(4);8

高等數學課程建設組

第五篇：直線與曲線聯立問題

四棱錐P?ABCD中，底面為矩形，PA?底，E為PD中點（1）證明：PB||面AEC

(2)AP?1,AD?,VP?ABD?

4,求A到面PBD的距離

弦長公式：|AB|??k2|x2?x1|??k2(x21?x2)?4x1x2

21.直線y??x?1與曲線xy2

3?2

?1相交于A,B兩點，求|AB| 85

2.直線y?k(x?1)(k?0)與曲線

x

?y2?1相交，求x1?x2

3.??y?2?k(x?2)

y2?4x

?

?y?k(x?1)4.???

x2?4

?y23?1

2x2y2

5.過點（1,0）且斜率為5?4

?1交于A,B兩點，O為坐標

原點，則?OAB的面積53

6.已知一直線與曲線4x2?9y2?36相交于A,B兩點，AB的中點坐標為（1,1）

求直線AB的方程

4x?9y?13?0