第一篇：無界向量函數的第二型曲線積分問題

無界向量函數的第二型曲線積分問題

徐天棋

摘要：根據廣義積分的思想方法定義廣義的第二型曲線積分；舉例說明廣義的第二型曲線積

分在實際問題中的應用；給出廣義的第二型曲線積分的計算方法以及性質

關鍵詞：無界向量函數的第二型曲線積分

=

第二篇：數學分析教案 (華東師大版)第二十章曲線積分

《數學分析》教案

第二十章 曲線積分

教學目的：1.理解第一、二型曲線積分的有關概念；2.掌握兩種類型曲線積分的計算方法，同時明確它們的聯系。

教學重點難點：本章的重點是曲線積分的概念、計算；難點是曲線積分的計算。教學時數：10學時

§ 1 第一型曲線積分

一.第一型線積分的定義:

1.幾何體的質量: 已知密度函數 , 分析線段的質量 2.曲線的質量:

3.第一型線 積分的定義: 定義及記法.線積分,.4.第一型線積分的性質: P198

二.第一型線積分的計算:

1.第一型曲線積分的計算: 回顧“光滑曲線”概念.Th20.1 設有光滑曲線 義在上的連續(xù)函數.則

.(證)P199 ，.是定若曲線方程為 : , 則

.《數學分析》教案

, 即

.2.穩(wěn)流場通過曲線(從一側到另一側)的流量: 解釋穩(wěn)流場.(以磁場為例)..求在單位時間內通過曲線AB從左處的切向量為 , 設有流速場

側到右側的流量E.設曲線AB上點

(是切向量方向與X軸正向的夾角.切向量方向按如下方法確定: 法線方 向是指從曲線的哪一側到哪一側, 在我們現在的問題中是指從左側到右側的方向.切向量方向與法線向按右手法則確定, 即以右手拇指所指為法線方向, 則食指所指為切線方向.).在弧段

上的流量 ，.因此 ，.由 , 得

.于是通過曲線AB從左側到右側的總流量E為

.3.第二型曲線積分的定義: 閉路積分的記法.按這一定義 , 有

沿平面曲線 從點A到點B所作的功為 力場

《數學分析》教案

A , B;函數 和

在L上連續(xù), 則沿L的自然方向(即從點A到點B的方向)有

.(證略)例1 計算積分).積分從點A到點B或閉合, 路徑為

ⅰ> 直線段AB

ⅱ> 拋物線

ⅲ> A(1, 1)路徑.P205例1 例2 計算積分

ⅰ> 沿拋物線

ⅱ> 沿直線

;, L的兩個端點為A(1, 1), B(2 ，D(2 , 1)B(2 , 3)A(1, 1), 折線閉合, 這里L :

從點O(0 , 0)到點B(1 , 2);

從點O(0 , 0)到點B(1 , 2);ⅲ> 沿折線閉合路徑O(0,0)A(1,0)B(1,2)O(0,0).P205例1 , 其中L是螺 例3 計算第二型曲線積分 I = 旋線, 從

到 的一段.P207例3 例4 求在力場

ⅰ> 質點由點A

L :

第三篇：曲線積分與路徑無關的問題之證明

設平面上的單連通區(qū)域G內分別以A和B兩點為起點和終點的弧???

有連續(xù)向量函數F(x,y)?P(x,y)i?Q(x,y)j，要使該函數的曲線積分與路徑無關，就有?AFB，AEB和弧???AEBPdx?Qd?y??AFBP?dx,于Qdy是有

即?

??AEBPdx?Qdy???Pdx?Qdy?0,AFB?AEB?Pdx?Qdy???Pdx?Qdy?0,實際上弧?AEB和弧BFABFA構成了一封閉曲線L，上式等價為

內可以取??Pdx?Qdy?0L任意大小。，記L圍起的區(qū)域為D，D在G用格林公式

?Q?P(?)dxdy??Pdx?Qdy???L?x?yD，因為

???Q?PPdx?Qdy?0，得到??(?)dxdy?0，又因為L?x?yD

?Q?P?Q?P???0D可以取任意小，于是有，或者?x?y。這就得到了函數?x?y

曲面積分與路徑無關的條件。

第四篇：基于構造函數的放縮法證數列型不等式問題的教學設計

基于構造函數的放縮法證數列型不等式問題的教學設計

教學內容分析

證明數列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數列通項的結構，深入剖析其特征，抓住其內在的函數規(guī)律進行恰當地放縮.一、學生學習情況分析

任教的學生在年段屬中上程度，學生學習興趣較高，已經掌握了基本的數列求解問題的技巧，對于構造函數這方法，知道大致思路，但是不明確如何有效合理的構造能幫助解題，計算能力不是太過硬.二、設計思想

建構主義學習理論認為，建構就是認知結構的組建，其過程一般是引導學生從身邊的、生活中的實際問題出發(fā)，發(fā)現問題，思考如何解決問題，進而聯系所學的舊知識，首先明確問題的實質，然后總結出新知識的有關概念和規(guī)律，形成知識點，把知識點按照邏輯線索和內在聯系，串成知識線，再由若干條知識線形成知識面，最后由知識面按照其內容、性質、作用、因果等關系組成綜合的知識體。也就是以學生為主體，強調學生對知識的主動探索、主動發(fā)現以及學生對所學知識意義的主動建構。基于以上理論，本節(jié)課遵循引導發(fā)現，循序漸進的思路，采用問題探究式教學，運用多媒體，投影儀輔助，倡導“自主、合作、探究”的學習方式。具體流程如下：

創(chuàng)設情景（課前準備、引入實例）→授新設疑→質疑問難、論爭辯難（進一步加深理解→突破難點）→溝通發(fā)展（反饋練習→歸納小結）→布置作業(yè)

四、教學目標

理解構造函數的功能，通過模仿、操作、探索，學習構造函數達到放縮的目的，以此來解決問題，發(fā)展有條理的思考與表達的能力，提高邏輯思維能力；能運用構造函數的放縮法解決數列型不等式問題，增強學生的創(chuàng)新能力和應用數學的意識.五、教學重點與難點

重點：理解構造函數的目的，厘清構造函數與問題所需放縮的方向，最終完成合理構造 難點：如何構造出符合題情的函數，如何放縮

六、教學過程設計

第一部分——問題引入

求證：ln2?ln3?ln4???ln3?3n?5n?6(n?N*).n23436n【師生互動】：師生一起觀察本例，試圖確定本題所考查的知識點(數列、不等式、函數等)，所考查的數學思想方法（化歸與轉化的思想、函數的思想、特殊與一般的思想等），所考查的具體解題方法（放縮法等）；還有引導學生能不能把問題簡化，或者換一種方式方法來表 達，我以為理解題目不應只局限于“未知量是什么？已知數據是什么？條件是什么？”，而應體現在學生是否能用自己的語言復述題目，或者能用一幅圖、一條線段圖、一些符號來表示對題意的理解。

【設計意圖】：高三學生已經具有相當的數列和函數知識，因此選擇這個中檔問題為例，以期能喚起學生解答題目的欲望，應該有助于學生對本節(jié)知識的發(fā)生發(fā)展的理解，以期揭示此類問題的解法本質.第二部分——回顧放縮法

【師生互動】：根據此前師生一起探討出來的此題可能要用到的放縮法，教師讓學生按分組自行探討回憶，竟可能的梳理出平時有涉及到的放縮的一些結論，或者方法技巧，或者相關的典型例題等，經過師生努力后得到如下常用結論或者是已證過的例子：（1）1441??1???2???； 222n4n4n?1?2n?12n?1?（2）2(n?1?n)?1?2(n?n?1)； n（3）1?n?n?1(n?2)；

n(n?1)n?1（4）22n12n?2?2?(3?1)?2?3?3(2?1)?2?2?1??n?；

32?13nnnnnn（5）(1?)?1?1?例（1）求?k?1n1n1115????? 等.2?13?2n(n?1)224k?12的值;（2）求證:

?kk?1n12?5.3附：解:（1）因為24n2?1?211??，(2n?1)(2n?1)2n?12n?1?1?12n ?2n?12n?1所以?4kk?1n22?1（2）因為1141??1???2???, 221n4n?1?2n?12n?1?n2?4所以 ?kk?1n1211?25?11?1?2???????1?? ?2n?12n?1?33?35【設計意圖】：通過對放縮法的回顧與整理，讓學生盡量找到解題的“題感”，數學題的“數 感”，盡量引導學生把已有的知識，解題思路跟現在所需求解的問題掛鉤，由已知想未知，由未知想需知，為突破本節(jié)教學重難點埋下伏筆.第三部分——回顧如何建模——構造函數

【師生互動】：根據上述回顧，觀察到不等式左側結構齊整，聯想到某個函數的模型，因此，老師引導學生回顧如何構造函數，如何構造跟不等式有關的函數模型，經過師生努力后得到如下常用結論：（1）ex?x?1；

（2）x?ln(x?1)或其變形x?lnx?1 ；（3）當0?x??2時，sinx?x?tanx等.【設計意圖】：通過對放縮法進一步整理，讓學生找到跟函數有關的放縮方向，盡量引導學生努力地把握此題的方向，向最后的解題方案擬定而努力.第四部分——擬定方案 【師生互動】：

lnx得結構，再結合第三部分所回顧的常用結論，故可先構造函xlnx1?1?, 數有x?lnx?1?x?x?1?xx（1）由需證不等式左側有（2）根據以上構造的函數以及所證問題的左邊，可得：

ln2ln3ln4ln3n111?????n?3n?1?(????n)2343233n（3）尋找3?1?(?1115n?6???n)與右邊式子3n?的關系，故只需證出 23361115n????n?即可.2336（4）結合第二部分所回顧的常見結論及例子聯想可知需將左側式子分解，然后求和，然后繼續(xù)放縮：

111?11??111111?11??1????n????????????????n?n???n? 233?23??456789?3??22?1?3n?15?33??99?3n?1?5n??????????????n?? n?16?69??1827?2?33?6?【設計意圖】：方案的核心就是構造了函數模型x?lnx?1，突破了本節(jié)的重難點，從理解題目到構思解題方案是一個漫長而曲折的過程.因為對于本題，學生即使做到了理解，但仍 會感到無從下手.波利亞啟發(fā)我們說“好的思路大多來源于過去的經驗和以前獲得的知識.”因此我們不妨引導學生思考“你知道一道與它有關的題目嗎？”我想，這個有關，并不一定就是一個曾經求解過的與當前題目緊密相關的題，而更可能是通過變化、轉換或修改敘述方式，找到與某個題目的聯系點，從而“重新敘述這道題目”擬定一個有可能解決問題的方案.第五部分——執(zhí)行方案

【師生互動】：教師根據第四部分的分析，按照所你定的方案邊講解邊板書呈現出完整的解題過程：

解:先構造函數有x?lnx?1?x?x?1?lnx1?1?,從而將2,3,4?3n代入、相加可xxln2ln3ln4ln3n111?????n?3n?1?(????n)得：2343233由于111?11??111111?11??1????n????????????????n?n???n?233?23??456789?3??22?1?3n?15?33??99?3n?1?5n??????????????n?? n?16?69??1827?3?6?2?3ln2ln3ln4ln3n5n5n?6?????n?3n?1??3n?所以.234366【設計意圖】： 假如這個方案是學生主動獲得的，則不容易遺忘，反之，學生則很容易找不到來時的路了.因此，教師必須堅持讓學生檢查每一個步驟，以使學生真正確信每一步的正確性,而且通過教師的板書示范，使學生能更好的模仿訓練，以至鞏固.第六部分——回顧、反思

【師生互動】：教師根據第五部分的解答，提醒學生再次回顧之前所擬定的方案，檢查是否都按既定的方案徹底的執(zhí)行了，或者在執(zhí)行的過程中是否有需要進一步做合理調整的，或者有沒需要驗證的；最后反思整理，一起努力總結出本題的解題思路、策略：理解題意——回顧相關知識點或者方法——擬定方案——執(zhí)行方案——回顧、反思.【設計意圖】：讓學生養(yǎng)成自我檢查、反思的好習慣，達到對問題的舉一反三,提高學生的分析問題，解決問題的能力.第七部分——鞏固、整理

【師生互動】：教師給出以下例子，讓學生分組限時練習（考慮到時間關系，一組一題），答案在學生解題過程用投影儀呈現出來后板書出，或者時間不夠，就借用PPT呈現，然后點評 學生的作業(yè)的優(yōu)缺點.練習1.證明: ln2ln3ln4lnnn(n?1)??????(n?N*,n?1)345n?14 證明:構造函數f(x)?ln(x?1)?(x?1)?1(x?1),求導,可以得到: ' f(x)?12?x?1?,令f'(x)?0有1?x?2,令f'(x)?0有x?2, x?1x?1 所以f(x)?f(2)?0,所以ln(x?1)?x?2,令x?n2?1有, lnn2?n2?1

lnnn?1ln2ln3ln4lnnn(n?1)???????(n?N*,n?1),所以n?12345n?1411)an?n.證明an?e2.練習2.已知a1?1,an?1?(1?2n?n2 所以證明: an?1?(1?1111)an?n?(1??n)an, n(n?1)2n(n?1)2然后兩邊取自然對數,可以得到lnan?1?ln(1?然后運用ln(1?x)?x和裂項可以得到答案： 放縮思路：an?1?(1?11?n)?lnan

n(n?1)21111?)a?lna?ln(1??)?lnan?

nn?12n2nn?n2n?n21111lnan?1?lnan?2?n于是lnan?1?lnan?2?n，n?n2n?n211?()n?1n?1n?1111112(lna?lna)?(?)?lna?lna?1???2??n?2.??i?1in12i1i?i2nn2i?1i?11?2 即lnan?lna1?2?an?e2.11111?????ln(n?1)?1???? 23n?12nn?1n2n?1n?????ln?ln???ln2 證明:提示: ln(n?1)?lnnn?11nn?11函數構造形式: lnx?x,lnx?1? yx練習3.求證: 當然本題的證明還可以運用積分放縮

如圖,取函數f(x)?n1, xnEFDC首先: SABCF111BAO??,從而, ?i???lnx|nn-iln(nn?i)n?i?lnn?xnxn?in?i5

x 1?lnn?ln(n?1), n1111?ln(n?1)?lnn,相加所以有?ln2, ?ln3?ln2,?, ?lnn?ln(n?1), 32nn?1111?ln(n?1)后可以得到: ????23n?1取i?1有, 另一方面SABDE取i?1有，111??,從而有?i???lnx|nn?i?lnn?ln(n?i)

xn?ixn?in?inn1?lnn?ln(n?1), n?11111111?ln(n?1)?1???? 所以有l(wèi)n(n?1)?1????,所以綜上有????2n23n?12n練習4.已知函數f(x)?xlnx.若a?0,b?0,證明:f(a)?(a?b)ln2?f(a?b)?f(b).證明:設函數g(x)?f(x)?f(k?x),(k?0)

?f(x)?xlnx,?g(x)?xlnx?(k?x)ln(k?x), ?0?x?k.?g?(x)?lnx?1?ln(k?x)?1?lnx, k?x令g?(x)?0,則有k2x2x?kk?1??0??x?k.k?xk?x2k2k2∴函數g(x)在[,k）上單調遞增，在(0,]上單調遞減.∴g(x)的最小值為g()，即總有g(x)?g().而g()?f()?f(k?)?kln k2k2k2k2k?k(lnk?ln2)?f(k)?kln2, 2?g(x)?f(k)?kln2,即f(x)?f(k?x)?f(k)?kln2.令x?a,k?x?b,則k?a?b.?f(a)?f(b)?f(a?b)?(a?b)ln2.?f(a)?(a?b)ln2?f(a?b)?f(b).【設計意圖】：自己解決問題，提高學生學習的熱情和動力，使學生體驗到成功的愉悅感，變“要我學”為“我要學”，“我要研究”的主動學習,點評時的師生互動，增強了師生感情，一起構造了和諧、智慧的課堂.七、教學反思

《怎樣解題》是美國著名數學家波利亞所著的一本關于數學解題方法的書籍，雖然這本書編寫的年代距今已很久遠了,但書中所講述的數學思維的新方法卻具有極強的現實意義.首先看他對教師教學目的的解讀.他認為教師最重要的任務之一是幫助學生，以使學生獲得盡可能多的獨立工作的經驗.如今課改所提倡的動手實踐、自主探究的學習方式不正暗合了這一思想嗎？但是波利亞也提出了有關幫助的度的問題，即不能少，學生完全沒有方向，就根本不會有提高;也不宜多，學生沒有思考的空間，同樣不會有進步.最好的辦法是教師把自己放在學生的位置上，根據學生的情況，努力去理解學生的想法，然后提出一個問題或指 出一個步驟.看到這里，我不禁想起了課標對于數學活動的詮釋---教師應激發(fā)學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者.其次，進一步理解了怎樣解題的四個階段（1、理解題目;

2、擬定方案;、執(zhí)行方案;

4、回顧.）波利亞所概括的這四個階段，在以往的教學中本人雖或多或少的都有所體現，但相對于波利亞論述中所要達到的層次，還是有許多欠缺的.