第一篇：第四講四點共圓問題

第四講四點共圓問題

“四點共圓”問題在數學競賽中經常出現，這類問題一般有兩種形式：一是以“四點共圓”作為證題的目的，二是以“四點共圓”作為解題的手段，為解決其他問題鋪平道路.判定“四點共圓”的方法，用得最多的是統編教材《幾何》二冊所介紹的兩種（即P89定理和P93例3），由這兩種基本方法推導出來的其他判別方法也可相機采用.“四點共圓”作為證題目的例1．給出銳角△ABC，以AB為直徑的圓與AB邊的高CC′及其延長線交于M，N.以AC為直徑的圓與

AC邊的高BB′及其延長線將于P，Q.求證：M，N，P，Q四點共圓.(第19屆美國數學奧林匹克)

分析：設PQ，MN交于K點，連接AP，AM.欲證M，N，P，Q四點共圓，須證 AMK·KN＝PK·KQ，Q即證(MC′-KC′)(MC′+KC′)C′＝(PB′-KB′)·(PB′+KB′)

2222或MC′-KC′=PB′-KB′.不難證明 AP=AM，從而有 B2222AB′+PB′=AC′+MC′.2222故 MC′-PB′=AB′-AC′

2222=(AK-KB′)-(AK-KC′)

22=KC′-KB′.②

由②即得①，命題得證.O例2．A、B、C三點共線，O點在直線外，O1O1，O2，O3分別為△OAB，△OBC，△OCA的外心.求證：O，O1，O2，O2O3四點共圓.3(第27屆莫斯科數學奧林匹克)

A分析：作出圖中各輔助線.易證O1O2垂直平分OB，O1O3垂直平分OA.觀察△OBC及其外接圓，立得∠BC

OO2O1=11∠OO2B=∠OCB.觀察△OCA及其外接圓，立得∠OO3O1=∠OO3A=∠OCA.22

由∠OO2O1=∠OO3O1?O，O1，O2，O3共圓.利用對角互補，也可證明O，O1，O2，O3四點共圓，請同學自證.以“四點共圓”作為解題手段

這種情況不僅題目多，而且結論變幻莫測，可大體上歸納為如下幾個方面.(1)證角相等

例3．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分別在AD，BC上，∠DAM＝∠CBK.求證：∠DMA＝∠CKB.CD（第二屆袓沖之杯初中競賽）

分析：易知A，B，M，K四點共圓.連接KM，有∠DAB＝∠CMK.∵∠DAB+∠ADC KM

＝180°，∴∠CMK+∠KDC＝180°.AB故C，D，K，M四點共圓?∠CMD＝∠DKC.但已證∠AMB＝∠BKA，∴∠DMA＝∠CKB.(2)證線垂直 例4．⊙O過△ABC頂點A，C，且與AB，BC交于K，N(K與N不同).△ABC外接圓和△BKN外接圓相交于B和

BM.求證：∠BMO=90°.(第26屆IMO第五題)分析：這道國際數學競賽題，曾使許多選手望而卻步.共圓”，問題是不難解決的.連接OC，OK，MC，MK，延長BM到G.易得∠GMC=

∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2·∠BAC=∠GMC+

∠BMK=180°-∠CMK，∴∠COK+∠CMK=180°?C，O，K，M四點共圓.在這個圓中，由

OC=OK? OC∠OMC=∠OMK.但∠GMC=∠BMK，故∠BMO=90°.(3)判斷圖形形狀

例5．四邊形ABCD內接于圓，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的內心依次記為IA，IB，IC，ID.試證：IAIBICID是矩形.(第一屆數學奧林匹克國家集訓選拔試題)

分析：連接AIC，AID，BIC，BID和DIB.易得

11∠ADB=90°+ 22

∠ACB=∠AIDB?A，B，ID，IC四點 ∠AICB=90°+

共圓.同理，A，D，IB，IC四點共圓.此時 IBAC1∠AICID=180°-∠ABID =180°-∠ABC，2

1∠AICIB=180°-∠ADIB=180°-∠ADC，2

∴∠AICID+∠AICIB A1(∠ABC+∠ADC)2

1=360°-×180°=270°.2=360°-故∠IBICID=90°.同樣可證IAIBICID其它三個內角皆為90°.該四邊形必為矩形.(4)計算

2例6．正方形ABCD的中心為O，面積為1989㎝.P為正方形內

一點，且∠OPB=45°，PA:PB=5:14.則PB=__________

(1989，全國初中聯賽)CD分析：答案是PB=42㎝.怎樣得到的呢？

連接OA，OB.易知O，P，A，B

四點共圓，有∠APB=∠AOB=90°.222故PA+PB=AB=1989.由于PA:PB=5:14，可求PB.BA(5)其他

例7．設有邊長為1的正方形，試在這個正方形的內接正三角形中找出面積最大的和一個面積最小的，并

求出這兩個面積(須證明你的論斷).(1978，全國高中聯賽)

分析：設△EFG為正方形ABCD 的一個內接正三角形，由于正三角形的三個頂點至少必落在正方形的三EA條邊上，所以不妨令F，GD·作正△EFG的高EK，易知E，K，G，D四點共圓?∠KDE=∠KGE=60°.同

理，∠KAE=60°.故△KAD也是一個正 FGK三角形，K必為一個定點.CB

又正三角形面積取決于它的邊長，當KF丄AB時，邊長為1，這時邊長最小，而面積S=

也最4

小.當KF通過B點時，邊長為2·2?3，這時邊長最大，面積S=23-3也最大.例8．NS是⊙O的直徑，弦AB丄NS于M，P為ANB上異于N的任一點，PS交AB于R，PM的延長線

交⊙O于Q.求證：RS＞MQ.(1991，江蘇省初中競賽)

分析：連接NP，NQ，NR，NR的延長線交⊙O于Q′.連接

MQ′，SQ′.易證N，M，R，P四點共圓，從而，∠SNQ′=∠MNR=

∠MPR=∠SPQ=∠SNQ.根據圓的軸對稱性質可知Q與Q′關于NS成軸對稱?MQ′=MQ.又易證M，S，Q′，R四點共圓，且RS是這個圓的直徑（∠RMS=90°)，MQ′是一條弦(∠MSQ′＜90°)，故RS＞MQ′.但MQ=MQ′，所以，RS＞MQ.練習題

1.⊙O1交⊙O2 于A，B兩點，射線O1A交⊙O2 于C點，射線O2A

交⊙O1 于D點.求證：點A是△BCD的內心.(提示：設法證明C，D，O1，B四點共圓，再證C，D，B，O2

四點共圓，從而知C，D，O1，B，O2五點共圓.)

2.△ABC為不等邊三角形.∠A及其外角平分線分別交對邊中垂線于A1，A2；同樣得到B1，B2，C1，C2.求證：A1A2=B1B2=C1C2.(提示：設法證∠ABA1與∠ACA1互補造成A，B，A1，C四點共圓；再證A，A2，B，C四點共圓，從而知A1，A2都是△ABC的外接圓上，并注意∠A1AA2=90°.)

3.設點M在正三角形三條高線上的射影分別是M1，M2，M3(互不重合).求證：△M1M2M3也是正三角形.4.在Rt△ABC中，AD為斜邊BC上的高，P是AB上的點，過A點作PC的垂線交過B所作AB的垂線于Q點.求證：PD丄QD.(提示：證B，Q，E，P和B，D，E，P分別共圓)

5.AD，BE，CF是銳角△ABC的三條高.從A引EF的垂線l1，從B引FD的垂線l2，從C引DE的垂線l3.求證：l1，l2，l3三線共點.(提示：過B作AB的垂線交l1于K，證：A，B，K，C四點共圓)

第二篇：證明四點共圓

方法1

從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓． 方法2 方法3

方法4 同側，若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等），從而即可肯定這四點共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑。）把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓．

把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓（相交弦定理的逆定理）；或把被證共圓的四點兩兩連結并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓．（割線定理的逆定理）方法5

證被證共圓的點到某一定點的距離都相等，從而確定它們共圓．既連成的四邊形三邊中垂線有交點，可肯定這四點共圓．

上述五種基本方法中的每一種的根據，就是產生四點共圓的一種原因，因此當要求證四點共圓的問題時，首先就要根據命題的條件，并結合圖形的特點，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明

第三篇：如何證明四點共圓（定稿）

如何證明四點共圓

證明四點共圓的基本方法

證明四點共圓有下述一些基本方法：

方法

1從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓。

方法

2把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等），從而即可肯定這四點共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑。）

方法

3把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓。方法

4把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓（根據相交弦定理的逆定理）；或把被證共圓的四點兩兩連結并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓。（根據托勒密定理的逆定理）

方法

5證被證共圓的點到某一定點的距離都相等，從而確定它們共圓．既連成的四邊形三邊中垂線有交點，即可肯定這四點共圓． 上述五種基本方法中的每一種的根據，就是產生四點共圓的一種原因，因此當要求證四點共圓的問題時，首先就要根據命題的條件，并結合圖形的特點，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明． 判定與性質：

圓內接四邊形的對角和為180°,并且任何一個外角都等于它的內對角。

如四邊形ABCD內接于圓O，延長AB和DC交至E，過點E作圓O的切線EF，AC、BD交于P，則A+C=π，B+D=π，角DBC=角DAC（同弧所對的圓周角相等）。

角CBE=角ADE（外角等于內對角）

△ABP∽△DCP（三個內角對應相等）

AP*CP=BP*DP（相交弦定理）

EB*EA=EC*ED（割線定理）

EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割線定理）

（切割線定理，割線定理，相交弦定理統稱圓冪定理）

AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）

弦切角定理

方法6

同斜邊的兩個RT三角形的四個頂點共圓，其斜邊為圓的直徑。

如何判定四點共圓

1、圓的內接四邊形的兩對角和是180度，反之，如果四邊形的兩對角和是180，那么四點共圓。

2、在圓里，同弦角相等。設A、B、C、D四點在圓上，明顯，AB弦所對的角∠ACB=∠ADB。反之，如果∠ACB=∠ADB，那四點共圓。常用的就是這兩個

第四篇：四點共圓證明方法

：四點共圓的證明方法有以下五種，本例用的是第二種 方法1從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓． 方法2把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等），從而即可肯定這四點共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑。）方法3把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓． 方法4把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓；或把被證共圓的四點兩兩連結并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓．(根據托勒密定理的逆定理)方法5證被證共圓的點到某一定點的距離都相等，從而確定它們共圓．既連成的四邊形三邊中垂線有交點，即可肯定這四點共圓．上述五種基本方法中的每一種的根據，就是產生四點共圓的一種原因，因此當要求證四點共圓的問題時，首先就要根據命題的條件，并結合圖形的特點，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明．

第五篇：四點共圓的證明

證明四點共圓有下述一些基本方法：

方法1 從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓．

方法2 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑。）

方法3 把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓．

方法4 把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓；或把被證共圓的四點兩兩連結并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓．(根據托勒密定理的逆定理)

方法5 證被證共圓的點到某一定點的距離都相等，從而確定它們共圓．

上述五種基本方法中的每一種的根據，就是產生四點共圓的一種原因，因此當要求證四點共圓的問題時，首先就要根據命題的條件，并結合圖形的特點，在這六種基本方法中選擇一種證法，給予證明．

判定與性質：

圓內接四邊形的對角和為π,并且任何一個外角都等于它的內對角。

如四邊形ABCD內接于圓O，延長AB和DC交至E，過點E作圓O的切線EF，AC、BD交于P，則A+C=π，B+D=π。

角CBE=角ADC（外角等于內對角）△ABP∽△DCP（三個內角對應相等）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）EB*EA=EC*ED（割線定理）

EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割線定理）（切割線定理，割線定理，相交弦定理統稱圓冪定理）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）

證明四點共圓基本方法：

方法1 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓．

方法2 把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓．

四點共圓的判定是以四點共圓的性質的基礎上進行證明的。四點共圓的性質：（1）同弧所對的圓周角相等（2）圓內接四邊形的對角互補

（3）圓內接四邊形的外角等于內對角

以上性質可以根據圓周角等于它所對弧的度數的一半進行證明。

四點共圓的判定定理：

方法1 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓．（可以說成：若線段同側二點到線段兩端點連線夾角相等，那末這二點和線段二端點四點共圓）

方法2 把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓．

（可以說成：若平面上四點連成四邊形的對角互補或一個外角等于其內對角。那末這四點共圓）

我們 可都可以用數學中的一種方法；反證法開進行證明。

現就“若平面上四點連成四邊形的對角互補。那末這四點共圓”證明如下（其它畫個證明圖如后）已知：四邊形ABCD中，∠A+∠C=π

求證：四邊形ABCD內接于一個圓（A，B，C，D四點共圓）

證明：用反證法

過A，B，D作圓O，假設C不在圓O上，剛C在圓外或圓內，若C在圓外，設BC交圓O于C’，連結DC’，根據圓內接四邊形的性質得∠A+∠DC’B=π，∵∠A+∠C=π ∴∠DC’B=∠C

這與三角形外角定理矛盾，故C不可能在圓外。類似地可證C不可能在圓內。

∴C在圓O上，也即A，B，C，D四點共圓。