第一篇：證明四點(diǎn)共圓有下述一些基本方法

證明四點(diǎn)共圓有下述一些基本方法

證明四點(diǎn)共圓有下述一些基本方法：

方法1 從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．

方法2 把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個(gè)點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。）

方法3 把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．

方法4 把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．(根據(jù)托勒密定理的逆定理)

方法5 證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓．

上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點(diǎn)共圓的一種原因，因此當(dāng)要求證四點(diǎn)共圓的問題時(shí)，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點(diǎn)，在這六種基本方法中選擇一種證法，給予證明．

判定與性質(zhì)：

圓內(nèi)接四邊形的對角和為180度,并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對角。

如四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，延長AB和DC交至E，過點(diǎn)E作圓O的切線EF，AC、BD交于P，則A+C=180度，B+D=180度，角ABC=角ADC（同弧所對的圓周角相等）。

角CBE=角D（外角等于內(nèi)對角）

△ABP∽△DCP（三個(gè)內(nèi)角對應(yīng)相等）

AP*CP=BP*DP（相交弦定理）

EB*EA=EC*ED（割線定理）

EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割線定理）

（切割線定理，割線定理，相交弦定理統(tǒng)稱圓冪定理）

AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）

第二篇：四點(diǎn)共圓證明方法

：四點(diǎn)共圓的證明方法有以下五種，本例用的是第二種 方法1從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓． 方法2把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等），從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個(gè)點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。）方法3把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓． 方法4把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．(根據(jù)托勒密定理的逆定理)方法5證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓．既連成的四邊形三邊中垂線有交點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點(diǎn)共圓的一種原因，因此當(dāng)要求證四點(diǎn)共圓的問題時(shí)，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點(diǎn)，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明．

第三篇：證明四點(diǎn)共圓

方法1

從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓． 方法2 方法3

方法4 同側(cè)，若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等），從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個(gè)點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。）把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．

把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓（相交弦定理的逆定理）；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．（割線定理的逆定理）方法5

證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓．既連成的四邊形三邊中垂線有交點(diǎn)，可肯定這四點(diǎn)共圓．

上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點(diǎn)共圓的一種原因，因此當(dāng)要求證四點(diǎn)共圓的問題時(shí)，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點(diǎn)，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明

第四篇：如何證明四點(diǎn)共圓（定稿）

如何證明四點(diǎn)共圓

證明四點(diǎn)共圓的基本方法

證明四點(diǎn)共圓有下述一些基本方法：

方法

1從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓。

方法

2把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等），從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個(gè)點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。）

方法

3把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓。方法

4把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)相交弦定理的逆定理）；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓。（根據(jù)托勒密定理的逆定理）

方法

5證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓．既連成的四邊形三邊中垂線有交點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓． 上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點(diǎn)共圓的一種原因，因此當(dāng)要求證四點(diǎn)共圓的問題時(shí)，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點(diǎn)，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明． 判定與性質(zhì)：

圓內(nèi)接四邊形的對角和為180°,并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對角。

如四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，延長AB和DC交至E，過點(diǎn)E作圓O的切線EF，AC、BD交于P，則A+C=π，B+D=π，角DBC=角DAC（同弧所對的圓周角相等）。

角CBE=角ADE（外角等于內(nèi)對角）

△ABP∽△DCP（三個(gè)內(nèi)角對應(yīng)相等）

AP*CP=BP*DP（相交弦定理）

EB*EA=EC*ED（割線定理）

EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割線定理）

（切割線定理，割線定理，相交弦定理統(tǒng)稱圓冪定理）

AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）

弦切角定理

方法6

同斜邊的兩個(gè)RT三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，其斜邊為圓的直徑。

如何判定四點(diǎn)共圓

1、圓的內(nèi)接四邊形的兩對角和是180度，反之，如果四邊形的兩對角和是180，那么四點(diǎn)共圓。

2、在圓里，同弦角相等。設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)在圓上，明顯，AB弦所對的角∠ACB=∠ADB。反之，如果∠ACB=∠ADB，那四點(diǎn)共圓。常用的就是這兩個(gè)

第五篇：四點(diǎn)共圓的證明

證明四點(diǎn)共圓有下述一些基本方法：

方法1 從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．

方法2 把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個(gè)點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。）

方法3 把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．

方法4 把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．(根據(jù)托勒密定理的逆定理)

方法5 證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓．

上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點(diǎn)共圓的一種原因，因此當(dāng)要求證四點(diǎn)共圓的問題時(shí)，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點(diǎn)，在這六種基本方法中選擇一種證法，給予證明．

判定與性質(zhì)：

圓內(nèi)接四邊形的對角和為π,并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對角。

如四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，延長AB和DC交至E，過點(diǎn)E作圓O的切線EF，AC、BD交于P，則A+C=π，B+D=π。

角CBE=角ADC（外角等于內(nèi)對角）△ABP∽△DCP（三個(gè)內(nèi)角對應(yīng)相等）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）EB*EA=EC*ED（割線定理）

EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割線定理）（切割線定理，割線定理，相交弦定理統(tǒng)稱圓冪定理）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）

證明四點(diǎn)共圓基本方法：

方法1 把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．

方法2 把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．

四點(diǎn)共圓的判定是以四點(diǎn)共圓的性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行證明的。四點(diǎn)共圓的性質(zhì)：（1）同弧所對的圓周角相等（2）圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)

（3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角

以上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對弧的度數(shù)的一半進(jìn)行證明。

四點(diǎn)共圓的判定定理：

方法1 把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．（可以說成：若線段同側(cè)二點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)連線夾角相等，那末這二點(diǎn)和線段二端點(diǎn)四點(diǎn)共圓）

方法2 把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．

（可以說成：若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于其內(nèi)對角。那末這四點(diǎn)共圓）

我們 可都可以用數(shù)學(xué)中的一種方法；反證法開進(jìn)行證明。

現(xiàn)就“若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對角互補(bǔ)。那末這四點(diǎn)共圓”證明如下（其它畫個(gè)證明圖如后）已知：四邊形ABCD中，∠A+∠C=π

求證：四邊形ABCD內(nèi)接于一個(gè)圓（A，B，C，D四點(diǎn)共圓）

證明：用反證法

過A，B，D作圓O，假設(shè)C不在圓O上，剛C在圓外或圓內(nèi)，若C在圓外，設(shè)BC交圓O于C’，連結(jié)DC’，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠A+∠DC’B=π，∵∠A+∠C=π ∴∠DC’B=∠C

這與三角形外角定理矛盾，故C不可能在圓外。類似地可證C不可能在圓內(nèi)。

∴C在圓O上，也即A，B，C，D四點(diǎn)共圓。