第一篇：第四講直線植樹問題

第四講直線植樹問題

【例題求解】

例一五一班同學參加春季植樹的活動，要在一條長100米的馬路一邊植上樹，每兩棵樹之間的間隔都是4米。請你幫五一班同學算一算他們一共要植樹多少棵？

例

二、學校要在兩幢教學樓之間栽楊樹，每隔5米栽一棵楊樹，兩端不栽樹，一共栽了32棵楊樹。兩幢教學樓相距多少米？

例三、一條小路，同學在路的兩邊植樹，每個五米種一棵樹（兩端都要種）一共種了20棵樹苗，小路全長多少米？

例四 將一根圓木鋸成5分米長的小段共需10分。已知每鋸下一小段需要2分，問：這根圓木長多少分米？

例五 大人上樓的速度是小孩上樓的3倍，小孩從一樓到四樓要9分鐘。問：大人從一樓到八樓要多少分鐘？

【學力訓練】

1、有一段江堤全長600米，從頭到尾每隔6米栽一棵水杉樹，可栽多少棵水杉樹？

2、鶴壁市新修的一段路，路長720米，每隔3米種1棵樹，兩端都種。兩邊一共可種多少棵樹？

3、王大爺要在兩棵樹相距5米的玉米苗之間每隔2分米補一棵玉米苗，一共要補多少棵玉米

苗？

4、一條路的路邊每隔25米有1根電線桿，連兩端共有20根。算一算，這條路有多長？

5、在一條公路的兩側栽樹，從起點到終點一共栽了22棵，已知相鄰兩棵樹之間的距離是3米，你能求出這條路長多少密嗎？

6、木工師傅要把一根長10米的圓木鋸成6段，每鋸一段要用5分，木工師傅鋸完這根圓木需

要幾分？

7、甲、乙兩人比賽爬樓梯，甲跑到5層時，乙恰好跑到3層，照這樣計算，甲跑到17層時，乙跑到多少層？

8、有兩名同學比賽爬樓梯，甲同學爬到第六層時，乙同學爬到第九層，當甲同學爬到第十一層時，一同學應爬到第幾層？

9、解放軍一個連244人，排成四路縱隊，已知隊伍前后前后每排相距2米。求這支隊伍長多少

米？

10、在旅游節(jié)的開幕式上，參加表演的彩車車隊共有80輛車人，每輛車長6米，兩輛車前后相隔5米，這個彩車車隊全長多少米？

【課后作業(yè)】

1、在一條長30米的走廊兩邊，每隔5米放1盆花，兩端都放。一共需要放多少盆花？

2、兩棵楊樹相隔600米，計劃在這兩棵樹之間栽59棵小樹，每兩棵樹間隔相等。問：栽完后，每兩棵樹之間的間隔是多少米？

3、在一段公路的一旁栽了98棵樹，兩端都栽，每兩棵樹之間相距15米。問：這段公路長多少

米？

4、木工師傅要把一段木料鋸成5小段，每鋸下一小段需要15分，他從上午8時10分開始工作，鋸完時是幾時幾分？

5、豆豆爬樓梯，豆豆跑到4層時，用了60秒，照這樣計算，當豆豆跑到第16層時，一共用了

多少秒？

第二篇：第四講平均數(shù)問題(教案)

平均數(shù)問題

一、知識要點

平均數(shù)在我們的生活中經(jīng)常被用到，比如我們經(jīng)常用各科成績的平均分數(shù)來比較同學之間、班級之間成績的好壞。求各科成績的平均分數(shù)就是求平均數(shù)。平均數(shù)問題不僅用在求平均分數(shù)上，還應用在很多方面。比如由同年齡不同地區(qū)兒童的平均身高、平均體重來分析兒童生長發(fā)育的情況等。

在求平均數(shù)時，必須知道兩個條件：（1）被均分事物的總數(shù)量；（2）要均分的總份數(shù)。它們之間的關系是：

總數(shù)量 =平均數(shù)×總份數(shù)

我們看到，對于平均數(shù)、總數(shù)量、總份數(shù)這三個量，只要知道其中的任意兩個量就可以求出第三個量。

二、例題

例

1、樂樂參加數(shù)學考試，前兩次的平均分數(shù)是85分，后三次的平均分數(shù)是90分，問樂樂前后幾次考試的平均分數(shù)是多少？

分析：利用前兩次考試的平均分數(shù)可以求出前兩次考試的總分數(shù)，同理，也可以求出后三次考試的總分數(shù)，然后用前后幾次考試的總分數(shù)除以總次數(shù)就是所求的平均分數(shù)。

解：（85×2+90×3）÷（2+3）

=440÷5

=88（分）

答：樂樂前后幾次考試的平均分數(shù)是88分。

練一練：萍姐姐去爬山，上山時的速度是每小時2千米，下山時的速度是每小時6千米，那么，她在上下山全過程中的平均速度是每小時多少千米？

分析：平均速度=總路程÷總時間。顯然，萍姐姐上下山的平均速度，等于萍姐姐上下山的總路程除以上下山所用時間的總和。而題目中沒有給出爬山的路程，也無法求出爬山路程。為此，我們可以假設山路為12千米，則上下山的路程為2×12千米。

解：2×12÷（12÷2+12÷6）

=24÷（6+2）

=24÷8

=3（千米/時）

答：萍姐姐上下山的平均速度是每小時3千米。

問：萍姐姐上下山的平均速度，像下面這樣計算可以嗎？為什么？

（2+6）÷2=4（千米/時）

（變式練習）：小明從甲地到乙地一半時間騎自行車，一半時間步行。步行速度為每小時8千米；騎車速度為每小時24千米。求此人從甲地到乙地的平均速度。

分析：題目中沒有給出總共行了多少時間，也沒有給出甲地到乙地的距離。不妨假設總共行了2小時，那么所行路程就可以簡單地計算出，相應的平均速度也可以求出來了。要是設共行

內(nèi)部資料 小時，6小時等，也同樣方便地算得同一結果。

解：（8×1+24×1）÷（1+1）=16（千米/時）答：此人從甲地到乙地的平均速度為16千米/時.問：此題的平均速度可以像下面這樣計算嗎？為什么？

（8+24）÷2=16（千米/時）

例

2、已知八個連續(xù)奇數(shù)的和是144，求這八個連續(xù)奇數(shù)。

分析：八個連續(xù)奇數(shù)的特點就是第一個和第八個的和、第二個和第七個的和、第三個和第六個的和、第四個和第五個的和都是相等的，也就是說，144是4個相同數(shù)的和。

解：每組數(shù)的和是：144÷4=36

中間兩個數(shù)是：（36－2）÷2=17

17+2=19

因此，這八個連續(xù)奇數(shù)分別是：11、13、15、17、19、21、23、25.答：這八個連續(xù)奇數(shù)分別是：11、13、15、17、19、21、23、25.練一練：5個數(shù)的平均數(shù)是102，如果把這5個數(shù)從小到大排列，那么前3個數(shù)的平均數(shù)是70，后3個數(shù)的和是390。問：中間的那個數(shù)是多少？

解：前3個數(shù)與后3個數(shù)的總和是：70×3+390=600；

5個數(shù)的和是：102×5=510；

中間那個數(shù)是：600－510=90

答：中間那個數(shù)是90.（變式練習）把自然數(shù)1，2，3，4，??，998，999分成三組，如果每一組數(shù)的平均數(shù)恰好相等，那么這三個平均數(shù)的和是多少？

分析：1，2，3，4，??，998，999是連續(xù)的自然數(shù)。從1開始的連續(xù)自然數(shù)的平均數(shù)是什么特點呢？我們把上述問題先化小到“把1，2，3，4，??，9這九個自然數(shù)分成三組，如果每一組的數(shù)平均數(shù)恰好相等，那么每一組的平均數(shù)是多少？”因為每一組的平均數(shù)都相等，所以這個平均數(shù)應該和總平均數(shù)相等。

這九個數(shù)的總平均數(shù)是：（1+2+3+4+?+9）÷9=45÷9=5，正好是這列數(shù)中間的一個數(shù)，可以用（1+9）÷2=5得到。由此可以推斷：從1開始的連續(xù)個自然數(shù)的平均數(shù)可以用（第一個數(shù)+最后一個數(shù)）÷2得到。如果是連續(xù)奇數(shù)個自然數(shù)，那么平均數(shù)就是這列數(shù)中間的那個數(shù)。

解：因為每一組的數(shù)平均數(shù)恰好相等，所以這個平均數(shù)應該和總平均數(shù)相等，并且這個平均數(shù)應該是：（1+999）÷2=500 三個平均數(shù)的和是500×3=1500 答：三個平均數(shù)的和是500×3=1500.例

3、有六個數(shù)排成一列，它們的平均數(shù)是27，前四個數(shù)的平均數(shù)是23，后三個數(shù)是34，求第四個數(shù)是多少？

分析：前四個數(shù)與后三個數(shù)中，第四個數(shù)重復計算，所以這七個數(shù)的總和比六個數(shù)的和多的數(shù)就是第四個數(shù)。

解：23×4+34×3－27×6

=92＋102－162 內(nèi)部資料

=32 答：第四個數(shù)是32.練一練：阿呆、樂樂和丫丫3人，阿呆、樂樂的年齡之和是24歲，阿呆、丫丫的年齡和是20歲，樂樂、丫丫的年齡和是16歲。問：阿呆、樂樂和丫丫3人的平均年齡是多少歲？

解：由題目可知，24+20+16得到的數(shù)是2個阿呆、2個樂樂和2個丫丫的年齡之和，因此將該數(shù)除以2就得到阿呆、樂樂和丫丫三人的年齡之和。

（24+20+16）÷2÷3=10（歲）

答：阿呆、樂樂和丫丫3人的平均年齡是10歲。

（變式練習）丫丫期末考試語文、數(shù)學、常識平均成績是85分，外語成績公布后，她的平均成績提高了2分。問：丫丫外語考了多少分？

分析：要求出外語考了多少分，必須先分別求出3門功課和4門功課的總分數(shù)。由三門功課平均分數(shù)85分，可以求出三門功課的總分數(shù)85×3=225（分），又由外語成績公布后，他的平均分提高了2分，可得他四門功課的總分數(shù)是：（82+2）×4=348（分），因此，總分之差就是外語成績了。

解：（82+2）×4－85×3

=348－255

=93（分）

答：丫丫外語考了93分。

例

4、為了支援西部，1班班長小明和2班班長小紅帶了同樣多的錢買了同一種書44本，錢全部用完。小明要了26本書，小紅要了18本書?；匦：?，小明補給小紅28元。問：小明、小紅各帶了多少元？每本書的價格是多少？

分析：因為兩人帶了同樣多的錢，剛好買了同一種書44本，因此，每人的錢恰好能買這種書的數(shù)目是：44÷2=22（本）。小明補為小紅的28元錢，是小明多買的書的價錢，也就是4本書的價錢。

解：每本書的價格為：28÷（26－44÷2）=7（元）

小明、小紅各帶的錢數(shù)：44×7÷2=154（元）

答：小明、小紅各帶了154元，每本書的價格為7元。

練一練：一個旅游團租車出游，平均每人應付車費40元。后來又增加了8人，這樣每人應付的車費是35，問：租車費是多少元？

解：后來增加的8人所付的總費用為：35×8=280（元）

增加8人后，每人應付的車費減少了：40－35=5（元）

后來增加的8人所付的總費用應與原人數(shù)所少付的總費用相等，因此：

原有人數(shù)為：280÷5=56（人）

租車費為：40×56=2240（元）答：租車費為2240元。

（變式練習）今年前5個月，小明共存錢21元，從6月起，他每月儲蓄6元錢，那么從哪個月起小明的平均儲蓄超過5元？ 內(nèi)部資料 解：前5個月，小明每月平均存錢：21÷5=4.2（元）

若要平均儲蓄超過5元，則需要從后幾個月的儲蓄中挪出一部分給前5個月，且需要挪（5－4.2）×5=4（元）；而從5月起，每個月儲蓄6元錢，6－5=1（元），即每個月可以拿出1元補給前5個月，4÷1=4（個），所以從5+4+1=10月起，小明的平均儲蓄超過5元。

例

5、某商場食品部將10千克巧克力糖，12千克奶糖，8千克水果糖合成一種混合糖。已知巧克力糖每千克18元，奶糖每千克12元，水果糖每千克6元，求混合糖平均每千克多少元？

解：混合糖的總價錢是：10×18+12×12+8×6=372（元）

混合糖重：10+12+8=30（千克）

混合糖平均每千克的價錢是：327÷30=12.4（元）答：混合糖每千克的價錢是12.4千克。

練一練：牛奶糖每千克17.8元，巧克力糖每千克21元，牛奶糖5千克與巧克力糖多少千克混合后，平均每千克19元？

解：每千克牛奶糖的價錢比混合后每千克的價錢少：19－17.8=1.2（元）

5千克牛奶糖的價錢比混合后5千克的價錢少：1.2×5=6（元）

每千克巧克力糖的價錢比混合后每千克的價錢多：21－19=2（元）

要想混合后平均每千克19元，則需要巧克力糖：6÷2=3（千克）答：需要巧克力糖3千克。

（變式練習）商店用相同的費用，買進甲、乙兩袋不同的糖果，已知甲袋糖果每千克需要6元，乙袋糖果每千克需要4元，如果把兩袋糖果混合在一起，那么這種混合糖每千克的成本是多少元？

解：假設商店分別用了12元買來甲、乙兩袋糖果，則

甲袋糖果有：12÷6=2（千克）

乙袋糖果有：12÷4=3（千克）

混合糖每千克的成本：12×2÷（2＋3）=4.8（元）答：這種混合糖每千克的成本是4.8元。

內(nèi)部資料

第三篇：第四講四點共圓問題

第四講四點共圓問題

“四點共圓”問題在數(shù)學競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，這類問題一般有兩種形式：一是以“四點共圓”作為證題的目的，二是以“四點共圓”作為解題的手段，為解決其他問題鋪平道路.判定“四點共圓”的方法，用得最多的是統(tǒng)編教材《幾何》二冊所介紹的兩種（即P89定理和P93例3），由這兩種基本方法推導出來的其他判別方法也可相機采用.“四點共圓”作為證題目的例1．給出銳角△ABC，以AB為直徑的圓與AB邊的高CC′及其延長線交于M，N.以AC為直徑的圓與

AC邊的高BB′及其延長線將于P，Q.求證：M，N，P，Q四點共圓.(第19屆美國數(shù)學奧林匹克)

分析：設PQ，MN交于K點，連接AP，AM.欲證M，N，P，Q四點共圓，須證 AMK·KN＝PK·KQ，Q即證(MC′-KC′)(MC′+KC′)C′＝(PB′-KB′)·(PB′+KB′)

2222或MC′-KC′=PB′-KB′.不難證明 AP=AM，從而有 B2222AB′+PB′=AC′+MC′.2222故 MC′-PB′=AB′-AC′

2222=(AK-KB′)-(AK-KC′)

22=KC′-KB′.②

由②即得①，命題得證.O例2．A、B、C三點共線，O點在直線外，O1O1，O2，O3分別為△OAB，△OBC，△OCA的外心.求證：O，O1，O2，O2O3四點共圓.3(第27屆莫斯科數(shù)學奧林匹克)

A分析：作出圖中各輔助線.易證O1O2垂直平分OB，O1O3垂直平分OA.觀察△OBC及其外接圓，立得∠BC

OO2O1=11∠OO2B=∠OCB.觀察△OCA及其外接圓，立得∠OO3O1=∠OO3A=∠OCA.22

由∠OO2O1=∠OO3O1?O，O1，O2，O3共圓.利用對角互補，也可證明O，O1，O2，O3四點共圓，請同學自證.以“四點共圓”作為解題手段

這種情況不僅題目多，而且結論變幻莫測，可大體上歸納為如下幾個方面.(1)證角相等

例3．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分別在AD，BC上，∠DAM＝∠CBK.求證：∠DMA＝∠CKB.CD（第二屆袓沖之杯初中競賽）

分析：易知A，B，M，K四點共圓.連接KM，有∠DAB＝∠CMK.∵∠DAB+∠ADC KM

＝180°，∴∠CMK+∠KDC＝180°.AB故C，D，K，M四點共圓?∠CMD＝∠DKC.但已證∠AMB＝∠BKA，∴∠DMA＝∠CKB.(2)證線垂直 例4．⊙O過△ABC頂點A，C，且與AB，BC交于K，N(K與N不同).△ABC外接圓和△BKN外接圓相交于B和

BM.求證：∠BMO=90°.(第26屆IMO第五題)分析：這道國際數(shù)學競賽題，曾使許多選手望而卻步.共圓”，問題是不難解決的.連接OC，OK，MC，MK，延長BM到G.易得∠GMC=

∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2·∠BAC=∠GMC+

∠BMK=180°-∠CMK，∴∠COK+∠CMK=180°?C，O，K，M四點共圓.在這個圓中，由

OC=OK? OC∠OMC=∠OMK.但∠GMC=∠BMK，故∠BMO=90°.(3)判斷圖形形狀

例5．四邊形ABCD內(nèi)接于圓，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的內(nèi)心依次記為IA，IB，IC，ID.試證：IAIBICID是矩形.(第一屆數(shù)學奧林匹克國家集訓選拔試題)

分析：連接AIC，AID，BIC，BID和DIB.易得

11∠ADB=90°+ 22

∠ACB=∠AIDB?A，B，ID，IC四點 ∠AICB=90°+

共圓.同理，A，D，IB，IC四點共圓.此時 IBAC1∠AICID=180°-∠ABID =180°-∠ABC，2

1∠AICIB=180°-∠ADIB=180°-∠ADC，2

∴∠AICID+∠AICIB A1(∠ABC+∠ADC)2

1=360°-×180°=270°.2=360°-故∠IBICID=90°.同樣可證IAIBICID其它三個內(nèi)角皆為90°.該四邊形必為矩形.(4)計算

2例6．正方形ABCD的中心為O，面積為1989㎝.P為正方形內(nèi)

一點，且∠OPB=45°，PA:PB=5:14.則PB=__________

(1989，全國初中聯(lián)賽)CD分析：答案是PB=42㎝.怎樣得到的呢？

連接OA，OB.易知O，P，A，B

四點共圓，有∠APB=∠AOB=90°.222故PA+PB=AB=1989.由于PA:PB=5:14，可求PB.BA(5)其他

例7．設有邊長為1的正方形，試在這個正方形的內(nèi)接正三角形中找出面積最大的和一個面積最小的，并

求出這兩個面積(須證明你的論斷).(1978，全國高中聯(lián)賽)

分析：設△EFG為正方形ABCD 的一個內(nèi)接正三角形，由于正三角形的三個頂點至少必落在正方形的三EA條邊上，所以不妨令F，GD·作正△EFG的高EK，易知E，K，G，D四點共圓?∠KDE=∠KGE=60°.同

理，∠KAE=60°.故△KAD也是一個正 FGK三角形，K必為一個定點.CB

又正三角形面積取決于它的邊長，當KF丄AB時，邊長為1，這時邊長最小，而面積S=

也最4

小.當KF通過B點時，邊長為2·2?3，這時邊長最大，面積S=23-3也最大.例8．NS是⊙O的直徑，弦AB丄NS于M，P為ANB上異于N的任一點，PS交AB于R，PM的延長線

交⊙O于Q.求證：RS＞MQ.(1991，江蘇省初中競賽)

分析：連接NP，NQ，NR，NR的延長線交⊙O于Q′.連接

MQ′，SQ′.易證N，M，R，P四點共圓，從而，∠SNQ′=∠MNR=

∠MPR=∠SPQ=∠SNQ.根據(jù)圓的軸對稱性質可知Q與Q′關于NS成軸對稱?MQ′=MQ.又易證M，S，Q′，R四點共圓，且RS是這個圓的直徑（∠RMS=90°)，MQ′是一條弦(∠MSQ′＜90°)，故RS＞MQ′.但MQ=MQ′，所以，RS＞MQ.練習題

1.⊙O1交⊙O2 于A，B兩點，射線O1A交⊙O2 于C點，射線O2A

交⊙O1 于D點.求證：點A是△BCD的內(nèi)心.(提示：設法證明C，D，O1，B四點共圓，再證C，D，B，O2

四點共圓，從而知C，D，O1，B，O2五點共圓.)

2.△ABC為不等邊三角形.∠A及其外角平分線分別交對邊中垂線于A1，A2；同樣得到B1，B2，C1，C2.求證：A1A2=B1B2=C1C2.(提示：設法證∠ABA1與∠ACA1互補造成A，B，A1，C四點共圓；再證A，A2，B，C四點共圓，從而知A1，A2都是△ABC的外接圓上，并注意∠A1AA2=90°.)

3.設點M在正三角形三條高線上的射影分別是M1，M2，M3(互不重合).求證：△M1M2M3也是正三角形.4.在Rt△ABC中，AD為斜邊BC上的高，P是AB上的點，過A點作PC的垂線交過B所作AB的垂線于Q點.求證：PD丄QD.(提示：證B，Q，E，P和B，D，E，P分別共圓)

5.AD，BE，CF是銳角△ABC的三條高.從A引EF的垂線l1，從B引FD的垂線l2，從C引DE的垂線l3.求證：l1，l2，l3三線共點.(提示：過B作AB的垂線交l1于K，證：A，B，K，C四點共圓)

第四篇：第四講盈虧問題教案

第四講：盈虧問題

第一課時

教學時間：

教學內(nèi)容：教學例1 教學目標：初步感知盈虧問題，了解解決盈虧問題的一般方法。重點難點：培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力。教學過程：

一、導入，初步感知盈虧問題。

在日常生活中，我們常常要分配東西。已知兩種分配方法，按一種方法分配，東西有余（稱作“盈”），而按另一種方法分配，東西不足（稱作“虧”），求參加分配的人數(shù)及被分配的總量。我們稱這樣的算術應用題為盈虧問題。解盈虧問題，常常通過比較法。

例如：學校春游，租了幾條船讓學生劃，每條船坐3人，有16人沒船劃，如果每條船坐5人，則有一條船上差4人，問共有學生多少人？共租了多少條船？

在題目中，無論如何分配，學生的人數(shù)與船的條數(shù)是不變的。比較兩種分配方法，第一種和第二種分配方法中人數(shù)一多一少相差4＋16=20（人）。相差的原因在于兩種方法的分配數(shù)不同，兩次分配每條船相差 5－3=2（人）。每條船相差2人，那么多少條船會相差20人？ 由此可求出船的條數(shù)，20÷2=10（條），所以學生總人數(shù)可列式計算：3×10＋16=46（人）

或列式5×10-4=46（人）算出。

列綜合算式：

（4＋16）÷（5－3）=10（條）

3×10＋16=46（人）

答：共有學生46人，共租了10條船。

二、通過分析，我們知道解盈虧問題的關鍵在于確定兩次分配數(shù)的差與盈虧的總額（盈數(shù)＋虧數(shù)）。解題時要注意：（1）要認真審題，仔細分析，確定用盈虧總額÷兩次分配數(shù)之差得到的是題目中的哪個量，不能張冠李戴。

（2）兩種分配方法不一定總是一“盈”一“虧”，還可能是兩個都“盈”，兩個都“虧”，或者是一個“不盈不虧”，另一個“盈”或“虧”等情況。

二、教學例1

1、出示例題

例1：學校春游，租了幾條船讓學生劃，每條船坐3人，則有20人沒船劃，如果每條船坐5人，恰恰安排好，問共有學生多少人？共租了多少條船？

2、學生嘗試解答。

3、說一說題中的兩種分配方法 第一種分配“盈”20人 第二種分配“不盈虧”

4、分析與解

盈虧總額為20＋0=20，又可知每條船相差5－3=2（人），所以： 有船：20÷（5－3）=10（條）有學生：5×10=50（人）

答：共有學生50人，共租了10條船。

三、及時練習

學雷鋒小組參加植樹活動，如果每人栽5棵，還剩12棵樹；如果每人栽7棵，就缺4棵樹。問這個小組有多少人？一共要栽多少棵樹？

四、質疑

說一說你在本節(jié)課遇到的困難，師生共同解惑。

五、課堂小結

1、提問：這節(jié)課你學到了什么？

2、引導學生說一說解決盈虧問題的關鍵和方法。

第二課時

教學時間：

教學內(nèi)容：教學例2 教學目標：讓學生在理解的基礎上，熟練的解決盈虧問題。重點難點：弄清盈虧。

教學過程：

一、說一說，你知道盈虧問題有多少。

二、提問：盈虧問題里的兩種分配方法一定是一盈一虧嗎？

三、出示例2 例

2、學校春游，租了幾條船讓學生劃，每條船坐3人，則空2人的位置，如果每條船坐5人，則空出16人的位置，問共有學生多少人？共租了多少條船？

1、學生讀題，說一說兩種分配方法有什么不一樣。

2、學生獨立完成解決問題。看誰做得又對又快。

3、請學生說解題過程，教師板書

有船：

（16－2）÷（5－3）=7（條）有學生： 3×7-2=19（人）

答：共有學生19人，共租了7條船。

四、鞏固練習

1、學校用一批書獎勵“三好學生”，若每人獎5本，則多80本；若每人獎7本，則多20本。共有多少名“三好學生”？多少本書？

2、四

（一）班學生參加植樹，分成若干組，如果10人一組，正好分完，如果12人一組，差10人。參加植樹的有多少人？

3、一幼兒園給小朋友分糖果，如果每個小朋友分10顆，則有兩個小朋友沒有分到，如果每個小朋友分8顆，則剛好分完，有多少顆糖果？多少個小朋友？

五、課堂小結

通過這節(jié)課的學習，你發(fā)現(xiàn)自己有哪些進步。

第三課時

教學時間：

教學內(nèi)容：教學例3 教學目標：較復雜盈虧問題的求解。

重點難點：

1、學會分析這一類型題的數(shù)量間的關系。

2、能靈活運用盈虧問題的解題方法來解決問題。教學過程：

一、教學例3 例

3、用繩子測池水深，繩子兩折時，多余60厘米，繩子三折時，還差40厘米，求繩長和池水深。

1、學生讀題，教師用實物演示兩折、三折。

2、小組討論交流

3、小組匯報想法

4、分析與解

繩子二折時，繩子多余的長度是

60×2=120（厘米）

繩子三折時，繩子不夠的長度是

40×3=120（厘米）所以“盈虧總額”為120＋120=240（厘米）。根據(jù)盈虧問題計算公式： 池水深：（120＋120）÷（3－2）=240（厘米）繩長：（240＋60）×2=600（厘米）

5、你知道還可以怎樣求繩長嗎？

6、小組交流

解決這道題要注意什么？

7、引導學生總結方法

二、及時練習

1、用一根繩子測量橋的高度，如果繩子兩折時，多5米；如果繩子3折時，差4米，求繩子長和橋高？

3、一根繩吊一重物測水深，水面上還留6米，如果把這根繩子對折起來，再接上3米的繩子，可達水底。問繩子和水深各是多少米？

三、自編一道這一類型的題，同桌之間相互解答。

第四課時

教學時間：

教學內(nèi)容：教學例

4、例5 教學目標：較復雜盈虧問題的求解。

重點難點：在題目沒有直接清楚的告訴盈虧的情況下弄清盈虧。并準確熟練的解答。教學過程：

一、教學例4 學校組織乘汽車外出旅游，如果每車坐65人，則有15人乘不上車。如果每車多坐5人，恰好多余了一輛車。問一共有幾輛汽車，有多少學生？ 分析與解

每車多坐5人，也就是每車坐5＋65=70（人），恰好多余一輛車，說明還差一輛車的人，即70人。

因而，原問題轉化為： 如果每車坐65人，則有15人乘不上車，如果每車坐70人，則還差70人。求有多少輛汽車？有多少學生？

轉化成了典型的盈虧問題

（15＋70）÷（70－65）=17（輛）65×17＋15=1120（人）

答：一共有17輛汽車，1120名學生。

二、及時練習

1、某校有若干個學生寄宿學校，若每一間宿舍住6人，則多出34人；若每間宿舍住7人，則多出4間宿舍。問宿舍有多少間？寄宿學生有多少人？

2、學校分配學生宿舍。如果每個房間住6人，則少2間宿舍；如果每個宿舍住9人，則空出2個房間。問學生宿舍有多少間？住宿學生有多少人？

三、學生聽故事，解決問題。例5 解放軍某部調(diào)動一批戰(zhàn)士分乘一批車輛趕往汛地抗洪。原計劃每輛汽車乘32人，則多出5人，他們被安排乘坐在其中的某輛車上，行進中由于緊急任務調(diào)走一輛車，這時只好重新只能派每輛車乘35人，這樣多出7人，他們被安排在其中某輛車上。問原來有多少輛車？共派出多少名戰(zhàn)士？

1、組討論交流

2、學生列式解答

3、說一說解題過程。汽車數(shù)：（35－7＋5）÷（35－32）=11（輛）戰(zhàn)士數(shù)：32×11＋5=357（人）

答：原來有11輛車，有戰(zhàn)士357人。

四、課堂小結

談談本節(jié)課的收獲。

第五篇：第一講__植樹問題講義

植樹問題 講義

植樹問題

知識概要

解答植樹問題要考慮植樹的方式，通常有兩種情況：

1、在不封閉的路線上植樹，①兩端都植樹，那么植樹的棵樹=間隔數(shù)+1；②一端植樹，一端不植樹，棵樹=間隔數(shù)；③兩端都不植樹，棵樹=間隔數(shù)?1。

2、在封閉的路線上植樹，棵樹=間隔數(shù)。

植樹問題中常用的數(shù)量關系式：

總長=間距×間隔數(shù)間隔數(shù)=總長÷間距間距=總長÷間隔數(shù)

例題講解

例

1、植樹節(jié)快到了，三（1）班的同學在一條長30米的小路的一邊栽樹，每隔5米栽一棵。如果兩端都栽樹，需要栽多少棵？

例

2、學校鼓號隊參加區(qū)秋季運動會開幕式，打大鼓的和打小鼓的有64人，打叉的有24人，吹號的有32人。他們每8人站成一行，前后兩行間隔2米，他們以每分鐘20米的速度通過長30米的主席臺需要多少分鐘？

例

3、一個池塘的周長為900米，村民準備在它的周圍每隔6米栽一棵柳樹，應該準備多少棵柳樹才夠栽？

例

4、王師傅把一根木頭鋸成3段用了8分鐘，如果這根木頭鋸成8段，需要多少分鐘？

例

5、小紅從一樓爬到四樓要6分鐘，小軍爬樓的速度是小紅的2倍，請問小軍從一樓爬到五樓要幾分鐘？

拓展訓練

1、學校舉行田徑運動會，要在跑道的一側從頭到尾每隔4米插一面彩旗，已知學校跑道長100米，需要插多少面小旗？

2、人民南路兩邊從頭到尾共有路燈184盞，每相鄰的兩盞燈之間相距20米，人民南路長多少米？

3、一個圓形的花壇，周長為160米，每隔8米種一株月季，每相鄰的兩株月季之間均勻的栽三株牡丹?？梢栽远嗌僦昴档?？

4、一根鋼管，鋸成5段要用12分鐘，把另外同樣的一根鋼管以同樣的速度鋸成10段，共要幾分鐘？

5、爸爸和小芳一同上樓。小芳從一樓到五樓花了8分鐘，爸爸上樓的速度是小芳的3倍，那么爸爸從一樓到七樓要多少分鐘？

能力檢測

1、在一條長300米的街道上，如果每隔6米栽一棵樹，兩端都不栽、兩端都栽，各需要多少棵樹？

2、為了慶祝國慶節(jié)，學校在校門口的大道兩邊從頭到尾一共掛了50個紅燈籠，每兩個燈籠之間相距5米，這條大道長多少米？

3、有一臺掛鐘，在3點整時敲了3下，6秒鐘敲完，那么這臺掛鐘在12點整時敲12下，需要幾秒鐘敲完？

4、蓉蓉和明明比賽爬樓梯，明明爬到4樓時，蓉蓉恰好爬到3樓。照這樣計算，當明明爬到16樓時，蓉蓉爬到幾樓？

5、園林管理處在一個湖泊的周圍鋪了一條長1800米的小路，小路邊每隔6米栽一棵樟樹，然后每隔5棵樟樹安放一張長椅，湖邊一共載了多少棵樟樹？一共安放了幾張長椅？

6、學校舉行運動會入場式，三年級的同學參加隊列表演，有60人參加，每4人一行，前后兩行間隔3米，主席臺長8米。他們以每分鐘10米的速度通過主席臺，需要多少分鐘？

7、一根300厘米長的小棒，如果每鋸一次要2分鐘，那么把這根木棒鋸成15厘米的小棒，共需要多少分鐘？

8、一個時鐘4點鐘敲4下，9秒鐘敲完，那么8點鐘敲8下，幾秒鐘敲完？

9、物業(yè)公司計劃在小區(qū)里的一條道路的一旁栽175棵桂花樹。相鄰的兩棵樹相隔8米，后來決定只栽117棵。問：現(xiàn)在相鄰的兩棵桂花樹應相距多少米？

10、有一根180厘米長的繩子，從一端開始每3厘米做一個記號，每隔5厘米也做一個記號，然后將標有記號的地方剪斷，繩子共被剪成了多少段？

練習

一、填空題

1.一塊三角形地,三邊之長分別為156米、234米、186米,要在三邊上植樹,株距6米,三個角上各有一棵,共植樹棵.2.一條馬路長440米,在路的兩旁每隔8米種一棵樹,兩端都種,共種棵樹.3.兩棵柳樹相距408米,計劃在這兩棵柳樹之間補栽小樹23棵,每兩棵樹間隔相等,則樹的間隔米.4.公路的每邊相隔7米有一棵槐樹,芳芳乘電車3分鐘看到公路的一邊有槐樹151棵,電車的速度是每分鐘米.5.國慶節(jié)接受檢閱的一列車隊共52輛,每輛車長4米,前后每輛車相隔6米,車隊每分鐘行駛105米.這列車隊要通過536米長的檢閱場地,要分鐘.6.在相距100米的兩樓之間栽樹,每隔10米栽1棵,共栽了棵樹.7.圓形滑冰場周長400米,每隔20米裝一盞燈,共要裝盞燈.8.一段公路長3600米,在公路兩旁每隔9米栽一棵梧桐樹,兩端都栽,共栽梧桐樹棵.9.一個湖泊周長1800米,沿湖泊周圍每隔3米栽一棵柳樹,每兩棵柳樹中間栽一棵桃樹,湖泊周圍栽柳樹棵,栽桃樹棵.二、解答題

11.一人以相等的速度在小路上散步,從第一棵樹走到第12棵樹用了11分鐘,如果這個人走了25分鐘,應走到的第幾棵樹.12.在一個正方形的場地四周種樹,四個頂點都有一棵,這樣每邊都種有24棵,四周共種多少棵樹.13.參加閱兵的戰(zhàn)士有1200人,平均分成5個大隊,隊距是7.5米.每隊6人為一排,排距是2米.整個隊伍的總長有多少米.14.鋸一條4米長的圓柱形的鋼條,鋸5段耗時1小時20分.如果把這樣的鋼條鋸成半米長的小段,需要多少分鐘.