第一篇：07年考研數學試題(線性代數)

07年考研數學試題（線性代數）

選擇題（每小題4分）

?2?1?1???1.（07010804、07021004、07030804、07040804）設矩陣A??12?1，?????1?12??

?100??，則A與B（）B??010????000??

（A）合同，且相似；（B）合同，但不相似；

（C）不合同，但相似；（D）合同，但不相似；

2.（07020904、07030704、07040704）設向量組?1,?2,?3線性無關，則下列向量組線性相關的是（）

（A）?1??2,?2??3,?3??1 ；（B）?1??2,?2??3,?3??1；

（C）?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 ；（D）?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1.二、填空題（每小題4分）

?0?03.（07011504、07021604、07030504、07041504）設矩陣A???0??0

秩為.三、解答題 100001000?0??，則 A3 的1??0?

?x1?x2?x3?0?4.（07012111、07022311、07032111、07042111）設線性方程組?x1?2x2?ax3?0①

?2?x1?4x2?ax3?0

與方程 x1+2x2+x3 = a-1② 有公共解，求a的值及所有公共解.5.（07012211、07022411、07032211、07042211）設3階對稱矩陣A的特征值為 λ1 = 1，λ2 =2，λ3 =-2 ；向量?1?(1,?1,1)是A的屬于λ1 的一個特征向量，記 T

B = A5-4A3 + E，其中E為3階單位矩陣.（Ⅰ）驗證?1是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；（Ⅱ）求矩陣B.

第二篇：考研數學一線性代數公式

1、行列式

1.n行列式共有n2個元素，展開后有n!項，可分解為2n行列式； 2.行列式的重要公式：

①、主對角行列式：主對角元素的乘積；

n(n?1)

②、副對角行列式：副對角元素的乘積??(?1)③、上、下三角行列式（④、?◤?

?◥???◣?

2；）：主對角元素的乘積；

n(n?1)

2和

?◢?

：副對角元素的乘積??(?1)

AC

OB?AO

CB

；、CB

AO

?OB

AC

?(?1)

m?n

⑤、拉普拉斯展開式：

?ABAB

⑥、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積； 3.證明

①、A?0的方法：

；③構造齊次方程組Ax

?0

A??A，證明其有非零解；④證明r(A)?

n

⑤證明0是其特征值；

2、矩陣

1.是n階可逆矩陣：

?A?0（是非奇異矩陣）；

A

??????

r(A)?n

A

（是滿秩矩陣）

有非零解；的行（列）向量組線性無關；

?0

齊次方程組Ax

?b?R

n，Ax

?b

總有唯一解；

A

與E等價；

可表示成若干個初等矩陣的乘積； 的特征值全不為0；

T

AA

????

AA

A

是正定矩陣；的行（列）向量組是Rn的一組基； 是Rn中某兩組基的過渡矩陣；

?AA?AE

*

A

2.對于n階矩陣A：AA*3.(A

?

1無條件恒成立；

?1)?(A)

T

T

**?1

(A

?1)

T

?(A)

*

*

T

(A)

*T

?(A)

?1

T*

?1

(AB)?BA

T

(AB)?BA

*

(AB)?B

?1

A

4.矩陣是表格，推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數值，可求代數和； 5.關于分塊矩陣的重要結論，其中均A、B可逆：

若

?A1?A??

???

A

2?

?????As?

?

1，則：Ⅰ、A?A1A2?As

；Ⅱ、A

?

1?A1???????

?1

?1

A

2?

As

??O?

?1?1

?1

???????；

?A

②、?

?O?A

④、?

?O

O??B?C??B?

?

1?A???OO??1?B??A

?1

?O

；（主對角分塊）③、?

?BCB

?

1?1

A??O?

?1

?O??

?1?A

?1

B

；（副對角分塊）

O??1?B?

?1

?A???O

?1

B

????A

；（拉普拉斯）⑤、?

?CO??B??A??

?1?

1??BCA

；（拉普拉斯）

3、矩陣的初等變換與線性方程組

1.一個m

?n

矩陣A，總可經過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的：F

?Er???OO??O?m?n；

等價類：所有與A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣； 對于同型矩陣A、B，若r(A)

?r(B)?????A?B；

2.行最簡形矩陣：

①、只能通過初等行變換獲得；②、每行首個非0元素必須為1；③、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0；

3.初等行變換的應用：（初等列變換類似，或轉置后采用初等行變換）

①、若(A?,?E)???(E?,?X)，則A可逆，且X②、對矩陣(A,B)做初等行變化，當

A

r

?A

E

?

1；

就變成A

?1

變為時，B

B，即：(A,B)???(E,A?1B)；

r

c

③、求解線形方程組：對于n個未知數n個方程Ax

?b，如果(A,b)?(E,x)，則A可逆，且x

?A

?

1b；

4.初等矩陣和對角矩陣的概念：

①、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；

??1?

②、???

???

?

2?

??????n?，左乘矩陣A，?i乘A的各行元素；右乘，?i乘A的各列元素；

③、對調兩行或兩列，符號E(i,5.矩陣秩的基本性質：

①、0?r(Am?n)?min(m

⑥、r(A?

j)，且E(i,j)

?

1??

?E(i,j)，例如：1

???

???1??

?1

?

??1???

???1??；,n)；②、r(A)?r(A)

T；③、若A

?B，則r(A)?r(B)；④、若P、Q可逆，則

；（※）

r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)

；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）⑤、max(r(A),r(B))?；（※）⑦、r(AB)?

min(r(A),r(B))

r(A,B)?r(A)?r(B)

B)?r(A)?r(B)

?n

；（※）

⑧、如果A是m矩陣，B是n?s矩陣，且AB

?0

n

?0，則：（※）

Ⅰ、B的列向量全部是齊次方程組AXⅡ、r(A)?r(B)?

解（轉置運算后的結論）；；

⑨、若A、B均為n階方陣，則r(AB)?

r(A)?r(B)?n

6.三種特殊矩陣的方冪：

①、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）?行矩陣（向量）的形式，再采用結合律；

?1?

②、型如?0

?0?

a10

c??b?1??的矩陣：利用二項展開式；③、利用特征值和相似對角化：

7.伴隨矩陣：

?n

?

①、伴隨矩陣的秩：r(A*)??

1??0

r(A)?n?????r(A)?n?1r(A)?n?1

*

?1

*；

②、伴隨矩陣的特征值：

A

?

??(AX??X,A?AA???AX?

A

?

X)

；③、A*

?AA

?

1、A

*

?A

n?

18.關于A矩陣秩的描述：

①、r(A)?n，A中有n階子式不為0，n?1階子式全部為0；（兩句話）

②、r(A)?

n，A中有n階子式全部為0；③、r(A)?

n，A中有n階子式不為0；

9.線性方程組：Ax?b，其中A為m?n矩陣，則：

①、m與方程的個數相同，即方程組Ax?b有m個方程；

②、n與方程組得未知數個數相同，方程組Ax

?b

為n元方程；

10.線性方程組Ax?b的求解：

①、對增廣矩陣B進行初等行變換（只能使用初等行變換）；②、齊次解為對應齊次方程組的解；

③、特解：自由變量賦初值后求得；

4、向量組的線性相關性

11.①、向量組的線性相關、無關 ?Ax?0有、無非零解；（齊次線性方程組）

②、向量的線性表出?Ax?b是否有解；（線性方程組）③、向量組的相互線性表示 ?AX?B是否有解；（矩陣方程）

12.矩陣Am?n與Bl?n行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組Ax?0和Bx?0同解；(P101例14)13.14.r(AA)?r(A)

n

T

；(P101例15)

???0

維向量線性相關的幾何意義：

；③、?,?,?線性相關 ?

?,?,?

①、?線性相關

②、?,?線性相關

共面；

??,?

坐標成比例或共線（平行）；

15.線性相關與無關的兩套定理：

若?1,?2,?,?s線性相關，則?1,?2,?,?s,?s?1必線性相關；

若?1,?2,?,?s線性無關，則?1,?2,?,?s?1必線性無關；（向量的個數加加減減，二者為對偶）若r維向量組A的每個向量上添上n

?r

個分量，構成n維向量組B：

若A線性無關，則B也線性無關；反之若B線性相關，則A也線性相關；（向量組的維數加加減減）簡言之：無關組延長后仍無關，反之，不確定；

16.向量組A（個數為r）能由向量組B（個數為s）線性表示，且A線性無關，則r

向量組A能由向量組B線性表示，則r(A)?向量組A能由向量組B線性表示?

AX?B

r(B)

?s

(二版P74定理7)；

；（P86定理3）

r(A)?r(A,B)

有解；?

（P85定理2）

向量組A能由向量組B等價??r(A)?①、矩陣行等價：A~

cr

r(B)?r(A,B)

（P85定理2推論）

?P1P2?Pl

17.方陣A可逆?存在有限個初等矩陣P1,P2,?,Pl，使A

B?PA?B；

?0

（左乘，P可逆）?

Ax?0

與Bx同解

18.19.20.21.②、矩陣列等價：A~B?AQ?B（右乘，Q可逆）；③、矩陣等價：A~B?PAQ?B（P、Q可逆）； 對于矩陣Am?n與Bl?n：

①、若A與B行等價，則A與B的行秩相等；

②、若A與B行等價，則Ax?0與Bx?0同解，且A與B的任何對應的列向量組具有相同的線性相關性； ④、矩陣A的行秩等于列秩； 若Am?sBs?n?Cm?n，則：

①、C的列向量組能由A的列向量組線性表示，B為系數矩陣；

②、C的行向量組能由B的行向量組線性表示，AT為系數矩陣；（轉置）

齊次方程組Bx?0的解一定是ABx?0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；

①、ABx?0 只有零解???Bx?0只有零解；②、Bx?0 有非零解???ABx?0一定存在非零解； 設向量組Bn?r:b1,b2,?,br可由向量組An?s:a1,a2,?,as線性表示為：（P110題19結論）

（B?AK）

其中K為s?r，且A線性無關，則B組線性無關?r(K)?r；（B與K的列向量組具有相同線性相關性）（必要性：?r?r(B)?r(AK)?r(K),r(K)?r,?r(K)?r；充分性：反證法）

(b1,b2,?,br)?(a1,a2,?,as)K

?m

注：當r?s時，K為方陣，可當作定理使用； 22.①、對矩陣Am?n，存在Qn?m，AQ?Em ?r(A)

②、對矩陣Am?n，存在Pn?m，PA

?En、Q的列向量線性無關；（P87）、P的行向量線性無關；

?r(A)?n

23.若?*為Ax

?b的一個解，?1,?2,?,?n?r為Ax

?0的一個基礎解系，則?*,?1,?2,?,?n?r線性無關

5、相似矩陣和二次型

1.正交矩陣?

AA?E

T

或A?

1?A

T

（定義），性質：

?1???0

i?ji?j

(i,j?1,2,?n)

①、A的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即aiTaj②、若A為正交矩陣，則A?

1?A

T；

也為正交陣，且

A??1；

③、若A、B正交陣，則AB也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化； 2.施密特正交化：(a1,a2,?,ar)

b1?a1；

b2?a2?

[b1,a2][b1,b1]

?b

1???

[b1,ar][b1,b1]

?b1?

[b2,ar][b2,b2]

?b2???

[br?1,ar][br?1,br?1]

?br?1

br?ar?

;

3.對于普通方陣，不同特征值對應的特征向量線性無關；對于實對稱陣，不同特征值對應的特征向量正交； 4.①、A與B等價 ?A經過初等變換得到B；

?PAQ?B，P、Q可逆； ?r(A)?r(B)，A、B同型； ②、A與B合同 ?CTAC?B，其中可逆；

TT

?xAx與xBx有相同的正、負慣性指數； ③、A與B相似 ?P?1AP?B； 5.相似一定合同、合同未必相似；

若C為正交矩陣，則CTAC?B?A?B，（合同、相似的約束條件不同，相似的更嚴格）； 6.n元二次型xTAx為正定：

T

?A的正慣性指數為n?A與E合同，即存在可逆矩陣C，使CAC?E?A的所有特征值均為正數；?A的各階順序主子式均大于0?aii?0,A?0；(必要條件)

第三篇：2014福州大學線性代數考研命題規律

2014福州大學線性代數考研命題規律

2014考研數學復習的時間越來越短了，如何能夠在短時間內把知識點復習好，需要系統的安排復習計劃和復習時間，當然針對考研數學來講，線性代數也是一門重點，如何在短時間內做最后一次復習，需要從一些知識點考察題型來分析，下面是思遠福大考研網分享的線性代數每年每種知識點對應的考察題型。

第一章 行列式

【考點關鍵詞】重點是行列式的計算，主要有數值型和抽象型兩類行列式的計算。

歷年考查情況：2006、2008、2010、2012年的真題中均有抽象行列式的計算問題，而且均是以填空題的形式出現的，個別的還出現在了大題的第一問中。

第二章 矩陣

【考點關鍵詞】重點在矩陣的秩、逆、伴隨、初等變換以及初等矩陣、分塊矩陣。

歷年考查情況：這一章概念和運算較多，考點也較多，而且考點以填空和選擇為主，當然也會結合其他章節的知識考大題。2006、2009、2011、2012年均考了一個小題是有關初等變換與矩陣乘法之間的關系，2010年考了一個小題關于矩陣的秩，2008年考了一道抽象矩陣求逆的問題。

第三章 向量

【考點關鍵詞】可以分為三個重點，第一個是向量組的線性表示，第二個是向量組的線性相關性，第三個是向量組的秩及極大線性無關組。

歷年考查情況：這一章無論是大題還是小題都特別容易出考題，2006年以來每年都有一道考題，不是向量組的線性表示就是向量組的線性相關性的判斷，2010年還考了一道向量組秩的問題。

第四章 線性方程組

【考點關鍵詞】有三個重點。第一個是線性方程組解的判定問題，第二個是解的性質問題，第三個是解的結構問題。

歷年考查情況：2006年以來只有2011年沒有出大題，其他幾年的考題均是含參方程的求解或者是解的判定問題。

第五章 矩陣的特征值與特征向量

【考點關鍵詞】分三個重點。第一個是特征值與特征向量的定義、性質以及求法。第二個為矩陣的相似對角化問題，第三是實對稱矩陣的性質以及正交相似對角化的問題。

歷年考查情況：實對稱矩陣的性質與正交相似對角化問題可以說每年必考，2012年、2011年、2010年2009年都考了。

第六章 二次型

【考點關鍵詞】有兩個重點。第一個是化二次型為標準形，同學們必須掌握兩種方法，第一個是配方法，第二個是正交變換法;第二個重點是正定二次型的判定。

歷年考查情況：2011年考的一個小題，用通過正交變換法將二次型化為標準形，2012年、2011年、2010年均以大題的形式出現，但主要用的是正交變換化二次型為標準形。

第四篇：2013線性代數考研復習建議

2013考研線性代數復習建議

2013考研備考已經開始了，網校老師結合往年考研復習情況，也2013年考研的學生們一點建議。線性代數一共是5道考題，兩個選擇題，一個填空題，兩個解答題，兩個解答題是22分，今年這兩道大題主要是計算題，只有數學一21題第二問是證明A是正定矩陣的，而這個證明也是很簡單的。因為同學害怕的是線性代數的證明題，今年兩個都是計算題，所以從這個角度來說，線性代數的考題并不難。但是相對于12年的線性代數題目來說，今年的線性代數題目比12年的題目個別題目要略微難一些，因為12年的兩道大題都是比較常規的計算，一個是具體的非齊次線性方程組的求解和證明線性無關，另一個是求二次型所對應矩陣的特征值，這兩個題目都是比較常規的題目，今年的兩個大題中，數

一、數

二、數三都考察了一個帶參數線性方程組的求解，這道題涉及到了參數的問題以及非齊次線性方程組解的結構，比12年的具體的非齊次線性方程組的求解稍微靈活一些，對于第二道大題，數一考察的是已知二次型在正交變換x=Qy下的標準形以及Q的第三列，反求A的問題，這是一個抽象的問題，比12年具體的二次型要稍微有些難度，并且計算量有點大，所以說，從這個角度來說，今年的線性代數題的兩道大題應當比12年的線性代數題要略微難一些。從今年出題的情況來看，考得很全面，六章，每一章都考到了，章章都有考的出題點，題目還是有一些靈活性的。

從大綱的角度來看，現在數

一、數

二、數三的考試大綱幾乎完全一樣，數一的同學多一個知識點，多一個向量空間，而今年正好在這兒考了一道小的題目，考察了向量空間的維數。線性代數今年這五道題來說，兩道解答題，數

二、數三完全一樣，數一有一道和數

二、數三的不一樣，只是換了一個出題方法，考的出題點還是同樣的。從這幾年考試的特點來看，線性代數題考得很基本，而線性代數題本身比較靈活，一道題往往有多種解法，基于這樣的情況，作為2013年的考生，如果要準備線性代數的復習的話，還是應該按照考研題的特點，重視基礎，把概念搞清楚，把基本的東西搞清楚。像今年數一考的一道題，考的矩陣的秩，這道考題實際上涉及到的兩個基本的知識點，一個是矩陣乘積的秩，即r（AB）<=r（A），r（A

B）<=r（B）；另一個是矩陣的秩的一個性質，即若A為m*n矩陣，則r（A）<=m，r（A）<=n，由這兩個知識點我們就可以得到相應的結論，而11年數一的一道大題同樣考的是矩陣秩的性質，這兩道題用到了相同的知識點；同樣的，今年數

一、數

二、數三都涉及到的一道題，已知A為四階實對稱矩陣，且r（A）=3，求A相似于什么樣的對角陣，這道題實際上就是求A的特征值，而02年數三就有一道基本上一模一樣的大題，所以說歷年真題在考研復習中起到了一定的作用，在復習中要引起充分的重視。另外，線性代數的題目比較靈活，今年其他幾道題也是一樣的，出得很靈活。所以這就要求同學們在復習過程當中，在這方面一定要注意，注意知識點之間內部的聯系。

以上我們從考試知識點方面對2012年考研數學試題線性代數部分考點進行了分析。從歷年的數學考題來看，命題組的專家都是緊緊扣住三基本，“基本概念、基本理論、基本方法”，試卷中基礎知識的考查占有相當大的比例，所以對準備2013年考試的考生來說，復習時首先應該注重基本概念、基本原理的理解，弄懂、弄通教材，打一個堅實的數學基礎，書本上每一個概念、每一個原理都要理解到位，切不可開始就看復習資料而放棄課本的復習。在第一次的全面復習中，還要扎扎實實的把每個大綱要求的知識點都過一遍，查漏補缺；其次，注重公式的記憶，方法的掌握和應用。在研讀教材時要重視習題，不要求每個概念都背下來，但一定要熟習它是如何反映在題目中的；最后，要注意綜合。今年解答題主要是考察綜合能力，我們這種綜合能力不是簡單的一個知識點、兩個知識點，都是跨章節的，涉及多個知識點的綜合題。不管是線性代數還是概率論與數理統計，還是微積分，一定要加強綜合、加強訓練。你只有一步一個腳印，方法得當，一定能取得好成績。

第五篇：2018考研數學線性代數三大規律歸納

凱程考研輔導班，中國最權威的考研輔導機構

2018考研數學線性代數三大規律歸納

70%以上的學生認為線性代數試題難度低，容易取得高分，線性代數的得分率總體比高等數學和概率論高5%左右，而且線性代數側重的是方法的考查，考點比較明確，系統性更強。下面就和大家分享一下線代的復習小技巧。

2018考研數學線性代數三大規律探究

?考研數學線性代數相比較高等數學和概率論而言，呈現明顯不同的學科特點——概念多、定理多、符號多、運算規律多、內容縱橫交錯以及知識點前后緊密聯系。

如果說高等數學的知識點算“條”的話，那么概率論就應該算“塊”，而線性代數就是“網”!具體來看，線性代數這整張網，又是由行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量以及二次型這6張小網相互交叉聯結而成。而其中向量和線性方程組這兩張網又在其中起著承前啟后、上下銜接的關鍵作用。

通過上面的分析，大家是不是發現——向量和線性方程組是線性代數的重難點內容，也是考研的重點和難點之一?這一點也可以從歷年真題的出題規律上得到驗證。

關于

凱程考研輔導班，中國最權威的考研輔導機構

組的線性相關性(無關性)的一些重要性質和定理結合反證法來做。同時會考慮用向量組的線性相關性(無關性)與齊次線性方程組有非零解(只有零解)之間的聯系和用矩陣的秩與向量組的秩之間的聯系來做。

?線性方程組——解的結構和(不)含參量線性方程組的求解

要解決線性方程組解的結構和求法的問題，首先應考慮線性方程組的基礎解系，然后再利用基礎解系的線性無關性、與矩陣的秩之間的聯系等一些重要性質來解決線性方程組解的結構和含參量的線性方程組解的討論問題，同時用線性方程組解結構的幾個重要性質求解(不)含參量線性方程組的解。

即使是多么令童鞋聞風喪膽的數學，其實都有一定的規律可循。通過考試來分析整體情況，這樣有重點復習，相信同學們一定會抓住數學，決勝數學!2 頁 共 2 頁