第一篇：淺談初中數(shù)學課堂中的變式訓練

淺談初中數(shù)學課堂中的變式訓練

摘 要：“變式訓練”是創(chuàng)新的重要途徑，也是一種有效的數(shù)學教學途徑，因而教師利用“變式訓練”，引導學生對數(shù)學問題多角度、多方位、多層次地進行討論和思考，使學生更深刻地理解數(shù)學知識，引導學生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規(guī)律，最終提高學生的思維能力和創(chuàng)新能力。

關鍵詞：變式訓練；類型方法；應用舉例

在初中數(shù)學教學中，常常會發(fā)現(xiàn)許多學生做題往往停留于機械模仿，不會獨立思考，當問題的形式或題目稍加變化，就束手無策。變式訓練類型方法應用舉例培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學思維是新課程理念下的重要目標。如何培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維呢？經(jīng)過教學實踐發(fā)現(xiàn)，合理利用變式訓練能有效激活學生數(shù)學思維。

中國所謂變式訓練就是保持原命題的本質不變，不斷變換原命題的條件、或結論、或圖形等產(chǎn)生新的情境，引導學生從不同的角度、用不同的思維去探究問題，采用變式方式進行技能與思維的訓練叫變式訓練。“變式訓練”是創(chuàng)新的重要途徑，也是一種有效的數(shù)學教學途徑，因而教師利用“變式訓練”，引導學生對數(shù)學問題多角度、多方位、多層次地進行討論和思考，使學生更深刻地理解數(shù)學知識，引導學生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規(guī)律，最終提高學生的思維能力和創(chuàng)新能力。

當然變式不是盲目的變，應抓住問題的本質特征，遵循學生認知心理發(fā)展，根據(jù)實際需要進行變式。從教學實踐中摸索，歸納、總結，我認為變式訓練主要有以下三種類型： 一、一題多變，舉一反三

教學中重視對例題和習題的“改裝”或引申，通過對這類習題的挖掘，最大可能的覆蓋知識點，把分散的知識點串成一條線，往往會起到意想不到的效果，也有利于知識的建構。

例如：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，求證：DE=AD-BE；

（3）當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問DE、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明。

由上面證明知道，當A，B在MN的同側時，有DE=AD+BE，當A，B在MN的異側時，有DE=AD-BE，DE=BE-AD此題表面上是證明三條線段的數(shù)量關系，實質上是證明兩個直角三角形全等這個不變的結論，就可以猜想到三條線段DE，AD，BE的大小關系了。

以上只是結合教學實例簡單地介紹了“變式訓練”的應用，其實在我們教學中處處存在變式，利用“變式訓練”提升教學實效性。極大地拓展了學生解題思路，提高了數(shù)學解題能力和探究能力。

二、多題一解，求同存異

許多數(shù)學練習看似不同，但它們的內在本質或者說是解題的思路，方法都是一樣的，教師在教學中重視對這類題目的收集，比較，引導學生尋求通法通解，并讓學生自己感悟它們之間的內在聯(lián)系，形成解題的數(shù)學思想方法。

例如：已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A（-3，0）、B（1，0）、C（0，-3）三點，求這個二次函數(shù)的解析式。

變式1：已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過一次函數(shù)y=-x-3的圖像與x軸、y軸的交點A、C，并且經(jīng)過點B（1，0），求這個二次函數(shù)的解析式。

變式2：已知拋物線經(jīng)過兩點B（1，0）、C（0，-3）。且對稱軸是直線x=-1，求這條拋物線的解析式。

變式3：已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（1，0），且在y軸上的截距是-1，它與二次函數(shù)的圖像相交于A（1，m）、B（n，4）兩點，又知二次函數(shù)的對稱軸是直線x=2，求這兩個函數(shù)的解析式。

變式題的教學，先讓學生議練，教師在知識的轉折點上提出一些關鍵性的問題進行點撥，在思路上為學生掃除障礙。三、一題多解，殊途同歸

一題多解是從不同的角度思考分析同一道題中的數(shù)量關系，用不同解法求得相同結果的思維過程。適當?shù)囊活}多解，可以溝通知識間的聯(lián)系，幫助學生加深對所學知識的理解，促進思維的靈活性，提高解決問題的能力，讓學生品嘗到學習成功的快樂。

例1：證明一條線段是另一條線段的2倍時，有如下一些途徑：

（一）作短線段的二倍線段，證明二倍線段等于長線段；

（二）取長線段的一半，證明一半的線段等于短線段；

（三）如果長線段是某直角三角形的斜邊是，取斜邊上的中線，證明斜邊的中線等于短線段；

（四）有四個以上的中點條件時，考慮能否通過三角形中位線定理來證明等等，當然對這些途徑，都應通過具體的例子來尋找。

這一題的設計體現(xiàn)了過程教學，體現(xiàn)了解決問題方法的多樣化，教師應充分利用教材進行有目的的教學。既可鞏固強化解題思想方法，又讓學生通過一解多題，抓住本質，觸一通類，培養(yǎng)學生的變通能力，收到以少勝多的效果。

總之，在初中數(shù)學教學中，教師通過變式訓練，可以把一個看似孤立的問題從不同角度向外擴散，并形成一個有規(guī)律可循的系列，幫助學生在問題的解答過程中去尋找解類似問題的思路、方法，有意識地展現(xiàn)教學過程中教師與學生數(shù)學思維活動的過程，充分調動學生學習的積極性、主動地參與教學的全過程，培養(yǎng)學生獨立分析和解決問題的能力，以及大膽創(chuàng)新、勇于探索的精神，從而真正把學生能力的培養(yǎng)落到實處。同時，通過變式練習，學生不再需要大量、重復地做同一樣類型的題目，真正達到了教育界所倡導的“輕負高質”，同時讓學生領略到數(shù)學的和諧，奇異與美妙，收到極好的學習效果。

參考文獻：

1.張乃達.數(shù)學思維教育學.南京：江蘇教育出版社，1990

2.程松青，黃萍.中學數(shù)學.北京：人民教育出版社，2006

3.李玉琪.數(shù)學教育概論.北京：中國科學技術出版社，1994

（作者單位：江蘇省阜寧縣陳集中學）

第二篇：初中數(shù)學中“變式訓練

變式訓練案例分析

變式訓練是中學數(shù)學教學中的一種重要教學策略，在提高學生的學習興趣、培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和數(shù)學解題能力方面有著不可忽視的作用。通過變式訓練可以使教學內容變得更加豐富多彩，使學生的思路更加寬廣。所謂“變式訓練”，就是有針對性地設計一組題，采用一題多解，多題一解，多圖一題，一題多變，對此辨析，逆向運用等方法，對初始題目加以發(fā)展變化，從邏輯推理上演繹出幾個或一類問題的解法，通過對一類問題的研究，迅速將相關知識系統(tǒng)化、結構化、網(wǎng)絡化，提高解題能力。

教學案例：

（一）一題多圖

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

①當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，有DE=AD+BE，請說明為什么？ ②當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，有DE=AD－BE,請說明為什么？

①當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并說明理由。

感悟：

通過一題多圖可以讓學生掌握類比的數(shù)學思想。

（二）一題多變

一題多變主要在平面幾何中用應廣泛需要老師們認真總結練習。

1、（32-1）×（32+1）=。

2、（32-1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）=3、3×（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）=

4、（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）=

5、（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）＋9=

感悟：

通過一題多變培養(yǎng)學生尋找共性，克服困難的信心，將知識網(wǎng)路化、系統(tǒng)化。

（三）一題多解

如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，求證：AD垂直平分EF。

方法

1、兩次全等證明

方法

2、角平分線定理和一次全等綜合證明。

方法

3、線段垂直平分線逆定理證明。

方法

4、“三線合一”證明。

感悟：

通過一題多解培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力，使學生的能力大大提高。更能展現(xiàn)出教師的魅力。

變式訓練并不是一朝一夕就可以成熟的，需要我們認真鉆研大綱和教材把知識系統(tǒng)化、網(wǎng)路化用心對待！

第三篇：初中數(shù)學教學中的變式訓練教學

初中數(shù)學教學中的變式訓練教學

摘要：所謂數(shù)學變式訓練，即是指在數(shù)學教學過程中對概念、性質、定理、公式，以及問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條件或形式發(fā)生變化，而本質特征卻不變。數(shù)學教學，使學生理解知識僅僅是一個方面，更主要的是要培養(yǎng)學生的思維能力，掌握數(shù)學的思想和方法。

關鍵詞：數(shù)學課堂；變式訓練；方法；思維品質

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2015）07-0227-01

變式教學是指在教學過程中通過變更概念非本質的特征、改變問題的條件或結論、轉換問題的形式或內容，有意識、有目的地引導學生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質，從“不變”的本質中探究 “變”的規(guī)律的一種教學方式。數(shù)學變式教學是通過一個問題的變式來達到解決一類問題的目的，對引導學生主動學習，掌握數(shù)學“雙基”，領會數(shù)學思想，發(fā)展應用意識和創(chuàng)新意識，提高數(shù)學素養(yǎng)，形成積極的情感態(tài)度，養(yǎng)成良好的學習習慣，提高數(shù)學學習的能力都具有很好的積極作用。

1.變式訓練的方法

1.1類比變式。初中數(shù)學具有一定的抽象性，許多數(shù)學概念概括性比較強，學生理解非常困難；有些知識包含了隱性內容，有僅僅依靠老師的情景創(chuàng)設和知識講解學生可能無法全面理解數(shù)學的內涵的，所以需要運用更加豐富的教學手段幫助學生理解數(shù)學知識。

例如在學習“分式的意義”時，一個分式的值為零是包含兩層含義：（1）分式的分子為零，（2）分母不為零。因此，如果僅有“當x為何值時分式 的值為零”，此類簡單模仿性的問題，學生對“分子為零且分母不為零”這個條件還是很不清晰的，考慮“分母不為零” 意識還不會很強。但如果以下的變形訓練，通過分子，分母的不同差別，來體現(xiàn)分式的值為0，通過以上的變形，可以對概念的理解逐漸加深，對概念中本質的東西有個非常清晰的認識，因此，數(shù)學變式教學有助于養(yǎng)成學生深入反思數(shù)學問題的習慣，善于抓住數(shù)學問題的本質和規(guī)律，探索相關數(shù)學問題間的內涵聯(lián)系以及外延關系。

1.2模仿變式。數(shù)學方法是數(shù)學學習的一個重要內容，而這些數(shù)學方法的掌握往往需要通過適當改變問題的背景或者提問方式，通過模仿訓練來熟悉。所以，在教學中通過精心設計變式問題，或挖掘教材自身的資源可以更快地幫助學生熟悉數(shù)學的基本方法。

1.3階梯變式。初中數(shù)學內容的形式化趨勢比較明顯，而學生的對形式化的數(shù)學知識理解普遍感到困難，對某些規(guī)律的形式化的歸納往往更是無從下手，所以，適當?shù)貜膶W生的實際出發(fā)，設計變式教學環(huán)節(jié)，讓學生從變式問題中“變化量”的相互關系中，幫助學生總結數(shù)學規(guī)律。

1.4拓展變式。數(shù)學知識之間的聯(lián)系往往不是十分明顯，經(jīng)常隱藏于例題或習題之中，教學中如果重視對課本例題和習題的“改裝”或引申，進行必要的挖掘，即通過一個典型的例題進行拓展，最大可能的覆蓋知識點，把分散的知識點串成一條線，往往會起到意想不到的效果，有利于學生知識的建構。

1.5背景變式。在解題教學的思維訓練中，通過改變問題背景進行變式訓練是一種很有效的方法。通過從不同角度去改變題目，通過解題后的反思，歸納出同一類問題的解題思維的形成過程與方法的采用，通過改變條件，可以讓學生對滿足不同條件的情況作出正確的分析，通過改變結論等培養(yǎng)學生推理、探索的思維能力，使學生的思維更加靈活性和嚴密性。

2.利用變式訓練培養(yǎng)學生良好的思維品質

眾所周知，發(fā)展智力，培養(yǎng)能力的關鍵是培養(yǎng)學生良好的思維品質，而運用變式手法恰好是訓練和培養(yǎng)學生思維的有效途經(jīng)。

2.1利用興趣培養(yǎng)學生思維主動性積極性，在教學中，教師有意識的運用興趣變式來誘發(fā)學生的好奇心，激發(fā)他們主動鉆研，積極思考，可以克服惰性，培養(yǎng)思維主動積極性。

2.2利用反例變式，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性和批判性。教學時，通過反例變式的訓練有意識的設置一些陷阱，去刺激學生讓其產(chǎn)生“吃一塹，長一智”。

2.3利用一題多解培養(yǎng)學生思維的靈活性，在教學中教師利用解題過程的變式訓練，引導學生善于運用新觀點，從多用度去思考問題，用自由聯(lián)想的方式，使學生廣泛建立聯(lián)系，多用度地認識事物和解決問題，打破那種“自古華山一條路”的思維定勢，使他們開動腦筋，串聯(lián)有關知識，養(yǎng)成靈活的思維習慣。

2.4運用逆向變式培養(yǎng)逆向思維能力。在教學中培養(yǎng)學生的雙向思維習慣，這種訓練要保持經(jīng)常性和多樣性，逐步優(yōu)化他們的思維品質。

2.5采用對一題多變和開放性題目的探討，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性。教學中，在加強雙基訓練的前提下，運用一題多變和將結論變?yōu)殚_放性的方式來引導學生獨立思考，變重復性學習為創(chuàng)造性學習。創(chuàng)造性思維是對學生進行思維訓練的歸宿與新的起點，是思維的高層次化。實踐證明，教學中經(jīng)常改變例題結論，引導學生自編一些開放性題目，對激發(fā)學生興趣，培養(yǎng)其研究探索能力，發(fā)展創(chuàng)造性思維大有益處。

3.進行變式訓練需注意

3.1變式教學需要重視知識的基礎性。學生的各種能力都是建立在基礎知識之上的，基礎知識是綜合能力的載體，因此，初中數(shù)學教師在運用變式教學方法時，應該落實與鞏固數(shù)學課本上的基本概念和理論知識，教師應該引導學生轉換角度進行思考，例如復習三角形和特殊的三角形時，應該創(chuàng)設多種練習題，幫助學生掌握概念的內涵與外延，將三角形的概念理解透徹。

3.2變式教學應該重視層次性。初中生由于受到認知水平的影響，一個班級的學生對數(shù)學概念的理解水平也存在一定的差異，針對某個知識點進行訓練時，應該設置多個問題，從簡到難循序漸進地進行訓練，這樣的習題訓練能夠幫助認知水平較差的學生更好地理解，幫助認知水平較高的學生鞏固記憶。

3.3變式教學應該重視訓練的靈活性。數(shù)學知識和數(shù)學題型是多種多樣的，并且條件的變化會引起結論的變化，通過設置不同類型的變式，能夠獲得不同的效果，一題多變式能夠強化學生們對定義、概念的理解，一題多解式能夠訓練學生的發(fā)散思維，培養(yǎng)學生探索新知的能力，因此，初中數(shù)學教師在運用變式教學方法時，應該重視方式訓練的靈活性與多樣性。

總之，在數(shù)學課堂教學中，遵循學生認知發(fā)展規(guī)律，根據(jù)教學內容和目標加強變式訓練，對鞏固基礎、培養(yǎng)思維、提高能力有著重要的作用。特別是，變式訓練能培養(yǎng)培養(yǎng)學生敢于思考，敢于聯(lián)想，敢于懷疑的品質，培養(yǎng)學生自主探究能力與創(chuàng)新精神。當然，課堂教學中的變式題最好以教材為源，以學生為本，體現(xiàn)出“源于課本，高于課本”，并能在日常教學中滲透到學生的學習中去。讓學生也學會“變題”，使學生自己去探索、分析、綜合，以提高學生的數(shù)學素質。

第四篇：淺談初中數(shù)學教學中的變式訓練

淺談初中數(shù)學教學中的變式訓練

松江區(qū)茸一中學 沈菊華

素質教育是以培養(yǎng)具有創(chuàng)造性思維和創(chuàng)造能力的人才為目標而進行的創(chuàng)新教育為歸宿的教育。在課堂教學中落實素質教育，就要貫穿“學生為主體，訓練為主線，能力為主攻”的原則。現(xiàn)代數(shù)學課程標準指出：數(shù)學教學不僅僅要使學生獲得數(shù)學基礎知識,基本技能，更要獲得數(shù)學思想和觀念，形成良好的數(shù)學思維品質,要通過各種途徑，讓學生體會數(shù)學思考和創(chuàng)造的過程，增強學習的興趣和自信心,不斷提高自主學習的能力。所以加強在教學中注重變式訓練，可以促使學生的思維向多層次、多方向發(fā)散，幫助學生在問題的解答過程中去尋找解類似問題的思路、方法，有意識地展現(xiàn)教學過程中教師與學生數(shù)學思維活動的過程，充分調動學生學習的積極性、主動地參與教學的全過程，培養(yǎng)學生獨立分析和解決問題的能力，以及大膽創(chuàng)新、勇于探索的精神，從而真正把學生能力的培養(yǎng)落到實處。

所謂數(shù)學變式訓練，即是指在數(shù)學教學過程中對概念、性質、定理、公式，以及問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條件或形式發(fā)生變化，而本質特征卻不變。數(shù)學教學，使學生理解知識僅僅是一個方面，更主要的是要培養(yǎng)學生的思維能力，掌握數(shù)學的思想和方法。.變式其實就是創(chuàng)新。當然變式不是盲目的變，應抓住問題的本質特征，遵循學生認知心理發(fā)展，根據(jù)實際需要進行變式。實施變式訓練應抓住思維訓練這條主線，恰當?shù)淖兏鼏栴}情境或改變思維角度，培養(yǎng)學生的應變能力，引導學生從不同途徑尋求解決問題的方法。通過多問、多思、多用等激發(fā)學生思維的積極性和深刻性。下面本人結合理論學習和數(shù)學課堂教學的實踐，談談在數(shù)學教學中如何進行變式訓練培養(yǎng)學生的思維能力。

一、在形成數(shù)學概念的過程中，利用變式啟發(fā)學生積極參與觀察、分析、歸納，培養(yǎng)學生正確概括的思維能力。

從培養(yǎng)學生思維能力的要求來看，形成數(shù)學概念，提示其內涵與外延，比數(shù)學概念的定義本身更重要。在形成概念的過程中，可以利用變式引導學生積極參與形成概念的全過程，讓學生自己去“發(fā)現(xiàn)”、去“創(chuàng)造”，通過多樣化的變式提高學生學習的積極性，培養(yǎng)學生的觀察、分析以及概括能力。

如在講分式的意義時，一個分式的值為零是指分式的分子為零而分母不為零，因此對于分式x?1的值為零時，在得到答案x??1時，實際上學生對“分2x?3子為零而分母不為零”這個條件還不是很清晰，難以辨析出學生是否考慮了“分母不為零”這個條件，此時可以做如下變形：

x2?1變形1：當x__________時，分式的值為零？（分子為零時x=?1）

2x?3x2?1變形2：當x__________時，分式的值為零？（x?1時分母為零因此要舍

x?1去）

x2?3x?4變形3：當x__________時，分式2的值為零？（此時分母可以因式分

x?5x?6解為(x?6)(x?1)，因此x的取值就不能等于6且不能等于-1）

通過以上的變形，可以對概念的理解逐漸加深，對概念中本質的東西有個非常清晰的認識，因此教師在以后的練習中也明確類似知識點的考查方向，防止教師盲目出題，學生盲目練習，在有限的時間內使得效益最大化。

二、在理解定理和公式的過程中，利用變式使學生深刻認知定理和公式中概念間的多種聯(lián)系，從而培養(yǎng)學生多向變通的思維能力。

數(shù)學思維的發(fā)展，還賴于掌握、應用定理和公式，去進行推理、論證和演算。由于定理和公式的實質，也是人們對于概念之間存在的本質聯(lián)系的概括，所以掌握定理和公式的關鍵在于明確理解定理和公式中概念的聯(lián)系，對于這種聯(lián)系的任何形式的機械的理解，是不能熟練、靈活應用定理和公式的根源，它是缺乏多向變通思維能力的結果。因此在定理和公式的教學中，也可利用變式，展現(xiàn)相關定理和公式之間的聯(lián)系以及定理、公式成立依附的條件，培養(yǎng)學生辨析與定理和公式有關的判斷，運用。

如在初一學習垂徑定理時：學生對定理“如果圓的直徑平分弦（這條弦不 是直徑），那么這條直徑垂直這條弦，并平分這條弦所對的弧”理解不透，經(jīng)常在判斷中出錯，甚至到了初三時還會發(fā)生錯誤，實際上學生的錯誤是可以理解的，而教師卻要去思考學生出錯的根源是什么？我認為是學生沒有理解這句話中幾個關鍵字或詞：直徑、平分、不是直徑，因此我們可以通過變式給出如下語句讓學生去判斷，并在錯誤的判斷中給出反例，讓學生理解錯誤的原因。

（1）平分弦的直線垂直這條弦（×）見圖1（2）平分弦的直徑垂直這條弦（×）見圖2（3）平分弦的半徑垂直這條弦（×）見圖3

圖1圖3圖2

通過上述三個小判斷，指出直徑與直線的區(qū)別，弦是直徑時對結論的影響等，理解了為什么要附加條件：這條弦不是直徑，學生的辨析能力得到提高，思維更加縝密。

可以通過變式來繼續(xù)提問學生：在“如果圓的直徑垂直于弦，那么這條直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的弧”這條性質中“如果圓的直徑垂直于弦”后面沒有附加條件，這是為什么？

圖4圖5

（4）垂直于弦的直線平分這條弦（×）見圖4（5）不與直徑垂直的弦，不可能被該直徑平分（×）見圖5 通過以上變式訓練，是要防止形式地、機械地背誦、套用公式和定理提高學生變通思考問題和靈活應用概念、公式以及定理的能力。

三、在解題教學中，利用變式來改變題目的條件或結論，揭示條件、目標間的聯(lián)系，解題思路中的方法之間的聯(lián)系與規(guī)律，從而培養(yǎng)學生聯(lián)想、轉化、推理、歸納、探索的思維能力。

（一）、多題一解，適當變式，.培養(yǎng)學生求同存異的思維能力。

許多數(shù)學習題看似不同，但它們的內在本質（或者說是解題的思路、方法是一樣的），這就要求教師在教學中重視對這類題目的收集、比較，引導學生尋求通法通解，并讓學生自己感悟它們之間的內在聯(lián)系，形成數(shù)學思想方法。如：題1：如圖A是CD上一點，?ABC、?ADE都是正三角形，求證CE=BD 題2：如圖，?ABD、?ACE都是正三角形，求證CD=BE 題3：如圖，分別以?ABC的邊AB、AC為一邊畫正方形AEDB和正方形ACFG，連接CE、BG，求證BG=CE

題4：如圖，有公共頂點的兩個正方形ABCD、BEFG，連接AG、EC，求證AG=EC 題5：如圖，P是正方形ABCD內一點，?ABP繞點B順時針方向旋轉能與?CBP’重合，若PB=3，求PP’

上述五題均利用正三角形、正方形的性質，為證明全等三角形創(chuàng)造條件，并利用全等三角形的性質進行進一步的計算或證明。教師要把這類題目成組展現(xiàn)給學生，讓學生在比較中感悟它們的共性。

（二）、一題多解，觸類旁通，培養(yǎng)學生發(fā)散思維能力，培養(yǎng)學生思維的靈活性。

一題多解的實質是以不同的論證方式，反映條件和結論的必然本質聯(lián)系。在教學中教師應積極地引導學生從各種途徑，用多種方法思考問題。這樣，既可暴露學生解題的思維過程，增加教學透明度，又能使學生思路開闊，熟練掌握知識的內在聯(lián)系。這方面的例子很多，尤其是幾何證明題。通過一題多解，讓學生從不同角度思考問題、解決問題，可以引起學生強烈的求異欲望，培養(yǎng)學生思維的靈活性。

例如在教學等腰三角形的判定時，例2是這樣的已知：如圖，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，∠1=∠2 求證：三角形等腰三角形

AD12EBC

這題學生一般想到利用兩個三角形全等來證明AB=AC利用等腰三角形的定義得到三角形ABC是等腰三角形，教師繼續(xù)引導學生思考能否有其它的方法證明，并適時提問還有沒有其他方法證明△ABC是等腰三角形，學生馬上想到

剛學的在一個三角形中等角對等邊的知識，于是把問題轉化到如何證明∠ABC=∠ACB，通過學生討論得到兩種證明角的方法，一利用等角的余角相等，二利用外角或三角形內角之和為180度得到兩個角相等。又如在講解“求解相交兩圓的圓心距”的問題時學生往往會犯得出一個解而丟掉另一個解的錯誤。我先用運動的觀點向學生解釋兩圓相交的形成，當兩圓相切時，如果一圓的圓心繼續(xù)向另一圓的圓心靠攏，當兩圓有兩個公共點時叫兩圓相交。然后我在黑板上畫出了圓心在公共弦兩側的相交兩圓，待學生根據(jù)已知求出圓心距以后，讓一圓的圓心繼續(xù)向另一圓的圓心靠攏，當兩圓的圓心在公共弦的同側時，再讓學生計算兩圓的圓心距，這時學生發(fā)現(xiàn)在相同已知條件下兩種情況算得的結果并不相同。由此得出兩圓相交有圓心在公共弦的兩側或同側兩種情況的結論。這兩題題從不同的角度進行多向思維，把各個知識點有機地聯(lián)系起來，發(fā)展了學生的多向思維能力。

（三）、一題多變，總結規(guī)律，培養(yǎng)學生思維的探索性和深刻性。通過變式教學，不是解決一個問題，而是解決一類問題，遏制“題海戰(zhàn)術”，開拓學生解題思路，培養(yǎng)學生的探索意識，實現(xiàn)“以少勝多”。

伽利略曾說過“科學是在不斷改變思維角度的探索中前進的”。故而課堂教學要常新、善變，通過原題目延伸出更多具有相關性、相似性、相反性的新問題，深刻挖掘例習題的教育功能。

譬如書本上有這樣一道題，求證：順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。教師可以不失時機地進行變式，調動起學生的思維興趣。變式（1）順次連接矩形各邊中點所得四邊形是什么圖形？變式（2）順次連接菱形各邊中點所得四邊形是什么圖形？變式（3）順次連接正方形各邊中點所得四邊形是什么圖形？做完這四個練習，教師還可以進一步引導學生概括影響組成圖形形狀的本質的東西是原來四邊形的對角線所具有的特征。

又如應用題教學是初中教學中的一個難點，在教學中就可以把同類型的題目通過變式的方式展現(xiàn)給學生，把學生的思維逐步引向深刻。

例如在講解一元一次方程的實踐和探究這節(jié)課時，教師從奧運冠軍孟關良訓練為題材編了一題關于追及問題的應用題，一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了20米孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學們，請你想一想他如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？然后教師可

對本例作以下變式。

變式1：一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了20秒，孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學們，請你想一想他如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？（從先行20米改為先行了20秒）

變式2：我們學校有一塊300米的跑道在比賽跑步時經(jīng)常會涉及到相遇問題和追及問題

現(xiàn)有甲、乙兩人比賽跑步，甲的速度是10米/秒，乙的速度是8米/秒，他們兩人同地出發(fā)

（1）兩人同時相向而行經(jīng)過幾秒兩人相遇。（2）兩人同時同向而行經(jīng)過幾秒兩第一次相遇。

（3）乙先出發(fā)5秒，然后甲開始出發(fā)，問甲經(jīng)過幾秒兩人第一次相遇。這題該為平時學生熟悉的操場環(huán)形跑道，這里三題也是一組變式題，（1）、（2）是同時同地出發(fā)的相遇和追及問題，（3）是不同時出發(fā)相遇和追及問題，這題還蘊涵著分類討論的思想。

變式3：一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了10秒，教練要求他用45秒追上快艇，孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，他以每秒6米的速度劃行，劃了5秒后他發(fā)現(xiàn)用這樣的速度不能在規(guī)定的時間內追上，請問他的想法用45秒不能追上快艇對不對？如果他要追上請你算一算孟關良后來要用多少速度才能在規(guī)定的時間內追上快艇？

這樣的變式覆蓋了同時出發(fā)相遇問題、不同時出發(fā)相遇問題、同時出發(fā)和不同時出發(fā)的追及問題等行程問題的基本類型。這樣通過一個題的練習既解決了一類問題，又歸納出各量之間最本質的東西，今后碰到類似問題學生思維指向必定準確，很好培養(yǎng)了學生思維的深刻性。學生也不必陷于題海而不能自拔。

（三）、一題多問，通過變式引申發(fā)展，擴充、發(fā)展原有功能，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和探究、概括能力

牛頓說過：“沒有大膽的猜想就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”中學生的想象力豐富，因此，可以通過例題所提供的結構特點，鼓勵、引導學生大膽地猜想，以培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散思維。

教學中要特別重視對課本例題和習題的“改裝”或引申。數(shù)學的思想方法都

隱藏在課本例題或習題中，我們在教學中要善于對這類習題進行必要的挖掘，即通過一個典型的例題，最大可能的覆蓋知識點，把分散的知識點串成一條線，往往會起到意想不到的效果，有利于知識的建構。如，八年級第二學期練習冊中有這樣一個習題：

如圖

（一）在?ABC中，?B=?C，點D是邊BC上的一點，DE?AC，DF?AB，垂足分別是E、F，AB=10cm，DE=5cm，DF=3 cm，求（1）S?ABC。（2）AB上的高。

上題通過連接AD分割成兩個以腰為底的三角形即可求解S?ABC=40 cm2 ；借助于添加AB上的高CH，利用面積公式和第一題的結論，不難求的AB上的高為8cm.我在教學中并未把求得結論作為終極目標，而是繼續(xù)問：3+5=8，在此題中是否是一個巧合？探究DE、DF、CH之間的內在聯(lián)系，（學生猜想CH=DE+DF）。

引出變式題（1）如圖

（二）在?ABC中，?B=?C，點D是邊BC上的任一點，DE?AC，DF?AB，CH?AB，垂足分別是E、F、H，求證：CH=DE+DF 在計算例題的基礎上，學生已經(jīng)具有了用面積的不同求法把各條垂線段聯(lián)系起來的意識，此題的證明很容易解決。

在學生思維的積極性充分調動起來的此時，我又借機給出變式（2）如圖

（三）在等邊?ABC中，P是形內任意一點，PD?AB于D，PE?BC于E，PF?AC于F，求證PD+PE+PF是一個定值。

通過這組變式訓練，面積法在幾何計算和證明中的應用得到了很好的體現(xiàn)，同時這一組變式訓練經(jīng)歷了一個特殊到一般的過程，有助于深化、鞏固知識，學生猜想、歸納能力也有了進一步提高，更重要的是培養(yǎng)學生的問題意識和探究意識。

總之，在數(shù)學課堂教學中，遵循學生認知發(fā)展規(guī)律，根據(jù)教學內容和目標加強變式訓練，對鞏固基礎、培養(yǎng)思維、提高能力有著重要的作用。特別是，變式訓練能培養(yǎng)培養(yǎng)學生敢于思考，敢于聯(lián)想，敢于懷疑的品質，培養(yǎng)學生自主探究能力與創(chuàng)新精神。當然，課堂教學中的變式題最好以教材為源，以學生為本，體現(xiàn)出“源于課本，高于課本”，并能在日常教學中滲透到學生的學習中去。讓學生也學會“變題”，使學生自己去探索、分析、綜合，以提高學生的數(shù)學素質。

參考文獻：

1、中小學數(shù)學（2004第4期）

2、《數(shù)學教育改革與研究》2004年3月

3、上海市普通中小學數(shù)學課程標準

4、《全國中小學教師繼續(xù)教育》

5、《數(shù)學教育概論》，李玉琪著，中國科學技術出版社

第五篇：淺談初中數(shù)學習題變式訓練

淺談初中數(shù)學習題變式訓練

東營市利津縣陳莊鎮(zhèn)中學

閆如明

數(shù)學教學的最根本目的是培養(yǎng)學生能夠獨立思考問題、分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識以及創(chuàng)造性的邏輯思維方式。數(shù)學教學不局限于一個狹隘的課本知識領域里，理解課本的內容知識不是教學的最終目的，更重要的是讓學生在學習中如何運用課本知識，通過課本例題起到“窺一斑知全貌”“舉一例能反三”的教學效果；因此調動學生學習的積極性和主動性，組織學生善于發(fā)揮自己的主觀意識，學會獨立自主的去探究和研究數(shù)學科學領域，是數(shù)學教師的首要任務，這就要求每位數(shù)學教師要善于去領會和研究課本例題和習題，設計出好的例題變式題。

翻閱歷年的中考試卷可以發(fā)現(xiàn)，歷年的中考試題都源于課本，都是課本習題的變式，那如何進行課本習題的變式教學？這是我們每一個數(shù)學教師必須認真思考的問題。我覺得教師所選用的習題應“源于課本”，然后對它進行變式，并緊扣考試說明，“以考為綱”，使它“高于課本”。這就要求教師們要善于利用變式教學，使數(shù)學教學“變教為誘，變學為思”。

一、變式教學在數(shù)學教學中所起的作用有如下幾個方面：

1.幫助克服思維定勢消極影響，培養(yǎng)思維的科學性。

思維定勢心理學解釋為是先于一定活動并指向一定活動的一種動力準備狀態(tài)。它表現(xiàn)為在認識活動的方向選擇上帶有“經(jīng)驗型”的傾向性。其消極方面是受制于先前某種經(jīng)驗影響，生搬硬套、因循守舊，形成思維的惰性，對知識掌握產(chǎn)生一種負遷移的不良作用。例如學生在學習不等式a>b，c>d，a+c>b+d的性質后學生容易產(chǎn)生a>b，c>d，a-c>b-d的錯誤認識。在教學中講解了正確推理a>b，c>d，a-c>b-d后，再通過語言變式把這一推理解釋為“大數(shù)少減就一定大于小數(shù)多減”，學生就能真正體會推理的含義，消除負遷移形成的錯誤認識。因此，數(shù)學教學中如能夠適當?shù)剡\用變式教學，對防止此類不良定式的產(chǎn)生，克服思維定式的消極作用，使學生養(yǎng)成科學的思維習慣是十分有用的。

2.有利于培養(yǎng)發(fā)散和概括能力，提高思維的變通性。

變式教學在轉換事物非本質特征的時候呈現(xiàn)了事物表象的多樣性，使得我們可以動態(tài)地認識事物許多的鮮明特征，有助于拓展思維的寬度，培養(yǎng)思維的發(fā)散能力。但是變式教學的最終目的是為了突出事物本質的特征，舍棄問題的非本質因素，把復雜問題轉換成簡單問題，最后通過概括使認識達到新的高度。

3、豐富學生的感性經(jīng)驗，提高學生對知識理解的準確性。

理解是指個體運用已有知識經(jīng)驗去認識未知事物的聯(lián)系關系，直至揭露其本質和規(guī)律的一種思維活動。它通過教材的直觀和概括兩個認識環(huán)節(jié)實現(xiàn)，在直觀這一環(huán)節(jié)上，直觀對象變式對直觀效果有著重要的影響。數(shù)學教學中運用圖像變式、語言變式等手段適當變更對象非本質因素，這對抓住本質要素進行準確的概括是十分重要的。如講“角”的定義，若僅列舉銳角、直角、鈍角情形，學生就有可能形成角就是兩條直線的交叉的錯誤認識。若把平角、周角展示給學生，這就能使學生準確理解到“從一點出發(fā)的兩條射線組成圖形”的真正含義。4.排除非本質因素影響，培養(yǎng)思維的深刻性。

思維的深刻性是教學中追求的目標之一，在掌握知識的應用階段尤為明顯。要不被千變萬化的表象所迷惑，抓住本質的東西，變式教學是一種可以運用于教學的有效辦法。通過利用練習變式訓練學生的思維，使學生在多變的問題中受到磨練，舉一反三，加深理解。

變式教學作為教學的方法之一，在實際工作中有重要作用，這是應該肯定的，那如何對習題進行變式教學呢？習題變式教學應遵守哪些原則呢？

二、習題變式訓練應遵守以下3個原則：

1.針對性原則

習題變式教學，不同于習題課的教學，它貫穿于新授課、習題課和復習課，與新授課、習題課和復習課并存，一般情況下不單獨成課。因此對于不同的授課，對習題的變式也應不同。例如：新授課的習題變式應服務于本節(jié)課的教學目的；習題課的習題變式應以本章節(jié)內容為主，適當滲透一些數(shù)學思想和數(shù)學方法。復習課的習題變式不但要滲透數(shù)學思想和數(shù)學方法還要進行縱向與橫向的聯(lián)系，同時變式習題要緊扣考綱。在習題變式教學時，要根據(jù)教學目標和學生的學習現(xiàn)狀，切忌隨意性和盲目性。2.可行性原則

選擇課本習題進行變式，不要“變”得過于簡單，過于簡單的變式題，會讓學生認為是簡單的“重復勞動”，影響學生思維的質量；難度“變”大的變式習題易挫傷學生的學習積極性，使學生難以獲得成功的喜悅，長此以往，將使學生喪失信心，因此，在選擇課本習題變式時，要變的有“度”。3.參與性原則

在習題變式教學中，教師要讓學生主動參與，不要總是教師“變”，學生“練”。要鼓勵學生大膽的“變”，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。

三、實施“變式”教學三步曲

1.課前預習，強化自學

例題的變式教學，預習是必不可少的重要環(huán)節(jié)，是提出疑問、獨立思考、提高分析和解決問題能力的環(huán)節(jié)；讓學生帶著疑問學習，是要求預習的根本目的，通過對新課的全面預習，提高了學生的自覺能力和實踐能力，促進課堂效益，為例題變式教學的實施起著不可忽視的作用；因此，教師必須重視學生的預習，做好預習筆記，正確引導學生課前預習，“巧立名目”，精心設疑，讓不同層次的學生在“山窮水疑無路”的時候，忽然“柳暗花明又一村”，激發(fā)學生的學習興趣。

2.課堂初試牛刀

課堂教學是學生得以“解惑”的主渠道，是教師與學生進行溝通、傳播知識的重要途徑，是例題變式教學的關鍵；學生經(jīng)歷了預習，新課內容已胸有成竹，教師在教學中起好主導的作用，循循善誘，引導學生在錯綜復雜的數(shù)量關系，千頭萬緒的理論辨證中尋覓，總結科學的解題經(jīng)驗。

3.練習變式，借題發(fā)揮：

例題畢竟有限，要進一步提高“變”的魅力，練習題正是學生用武之地，練習變式是例題變式教學的最后環(huán)節(jié)。將練習題自由演變，一題多變，借題發(fā)揮，提升學生的思維能力和解題能力，鞏固記憶，完善自我的應變能力、應試技巧。使整節(jié)課前后貫通，緊密相連，形成一個知識網(wǎng)絡體系。

四、結束語：

變式教學是對數(shù)學中的問題進行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式，以暴露問題的本質特征，揭示不同知識點的內在聯(lián)系的一種教學設計方法。通過變式教學，使一題多解，多題重組，常給人以新鮮感，能喚起學生的好奇心和求知欲，因而能產(chǎn)生主動參與的動力，保持其參與教學過程的興趣和熱情。若能重視對課本習題進行變式訓練，不但可以抓好雙基，便于搞清問題的內涵和外延，而且還可以提高數(shù)學能力。總之，在課堂教學中，通過變式教學引導學生通過多側面、多角度、多渠道的思考問題，讓學生多探討、多爭論，能有效的訓練學生思維的完整性、深刻性和創(chuàng)造性，大大的激發(fā)學生的興趣，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。我們應在理論和實踐中努力的探索，勇于進取，努力使變式教學不斷走向深入，走向成功。