第一篇：《初中數學習題變式訓練的研究》在教學中的應用

《初中數學習題變式訓練的研究》

在數學教學中的應用

鐵力三中初二數學組

對于在教學一線的大部分教師來說，工作勤勤懇懇，把自己的知識毫無保留的傳授給學生，但學生掌握知識的效果卻給我們以極大的反差：許多我們認為學生已掌握的知識，在考試中，只要對問題的背景或數量關系稍作演變，有的許多學生就無所適從。為解決如上的問題，我校申請了《初中數學習題變式訓練的研究》這一課題，它是鐵力市“十二五”教育科學規劃課題第一批課題，在2012年我們對這一課題進行了研究，在2012年的12月份申請了結題，并請進修校科研部的專家到校進行了結題驗收。

要改變現狀，提高學生的學習興趣，取得更佳的效果，關鍵是我們的數學課堂教法上要有所改變------變式教學是有效的、重要的教學手段，下面我結合教學實例，談談我的幾點體會：

一.變式教學對新概念教學的促進作用: 概念，在數學課中的比例較大。能否正確理解概念，是學生學好數學的關鍵。概念通常比較抽象，學生感覺枯燥，學習起來索然無味，對抽象概念的理解就顯得困難。通過變式等手段，不僅能有效的解決這一難題，使學生渡過難關，而且還可加深學生對概念內涵和外延的更深層次的理解。如在講分式的意義時，一個分式的值為零，是

X?3指分式的分子為零而分母不為零，因此對于分式2X?1的值為零時，在得到答案x=-3時。實際上學生對“分子為零而分母不為零”這個條件還不是很清晰，難以辨析出學生是否考慮了“分母不為零”這個條件，此時可以做如下變形：

X?3變式1：當X_____時，分式的值為零（此時X??3）2X-1X?3變式2： 當X_____時，分式的值為零（此時X??3）X-3

所以說，運用變式教學，不僅能加深學生對新知識的理解、解決難點，還能對概念內涵和外延的更深層次的理解，增加課堂思維量，提高課堂教學有效性。

二．變式教學有利于培養學生良好的思維品質。如變式教學中常用到的“一題多解，一題多變”的教學方法。其中，一題多解有利于啟迪思維，開闊視野，全方位思考問題，分析問題；有利于培養學生的發散思維能力和解題技巧。而采用一題多變的形式，可以訓練學生積極思維，觸類旁通，提高學生思維敏捷性、靈活性和深刻性。兩者都有利于將知識、能力和思想方法在更多的新情景、更高的層次中，不斷地反復地滲透，從而達到了螺旋式的再認識，再深化，乃至升華的效果．通過“一題多變、一題多解”的訓練，能激發學生的興趣和求知欲．不過，所有的變式都要鼓勵學生從多角度去分析，選最優的方法去解決．甚至將研究延伸到課下，每節課給學生留下回味的余地，給學生提供繼續研究的舞臺． 如（人教八年上課本P58 11題）

如圖，△ABD，△AEC都是等邊三角形．求證：BE＝DC DAEBC

A變式1：結論變式

ＤＥP

如圖，△ABD，△AEC都是等邊 三角形．BE與DC交于點P，求∠DPB的度數 變式2：條件變式

如圖，若B、A、C在一直線上，△ABD和△AEC都是等邊三角形，BE與DC相等嗎？

∠BPD的度數是多少？試說明理由。

ＤＥPＢCＢAC

本題經過下列各種演變，原來的結論仍保持不變．（1）B、E、A在一直線上．

DACBE（2）B、C、A在一直線上．

DCBEA

變式3 條件變式

如圖，△ABD，△AEC都是等邊三角形，設BE、DC的中點分別為M、N，連接AM、AN、MN，試判斷△AMN的形狀。

ＤAＥNMCＢA

DENPMCB

變式4 條件變式

△ABD與△AEC都改為頂角相等的

等腰三角形，即AD=AB，AC=AE，∠BAD =∠CAE． BE與DC相等嗎？∠BPD與∠BAD有什么關系？為什么？

若BE、CD中點分別為M、N，連接AM、AN、MN，試確定△AMN的形狀。

上面通過變式，轉換圖形，使學生對三角形全等的知識有了深刻的理解，使學生意識到： 只要抓住題中不變的量，不論如何變化都是可以解答的。從而提高思維的靈活性，深刻性，廣闊性。

三． 運用變式教學，可以確保學生參與教學活動的持續的熱情。

課堂教學效果很大程度上取決于學生的參與情況，這就首先要加強學生在課堂教學中的參與意識，使學生真正成為課堂教學的主人，這也是現代數學教學的趨勢。而變式教學就注意到了教材前后知識的銜接，題目設計由易到難，形成一定的層次，循序漸進，通過對各題的分析，概括出各題中共同 的、本質的東西，以達到由一題向另一題的遷移、對一般原理的進一步認識的目的，讓我們的數學活動有層次的推進。給人以新鮮感，能夠喚起學生好奇心和求知欲，因而能夠產生主動參與的動力，保持其參與教學活動的興趣和熱情

四、問題或困惑

在研究的過程中，還存在著許多問題，比如我們并不是每節課都可以進行變式訓練的，因為要完成教學任務，還要照顧到所有的學生，因此對于這一方面的內容還是要加以研究的。

總之，數學變式教學要源于課本又要高于課本，要明確目的，遵循課標，要突出重點，以點帶面，在教學的過程中要針對實際，因人而異。著名的數學家波利亞曾形象的指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個?！睌祵W課堂教學中，變式教學就是數學教育家波利亞所說的“蘑菇”，它能夠充分調動學生的主觀能動性，使多向性、多層次的交互作用引進數學教學過程，教師通過變式教學，不但使學生能舉一反三，而且能使教學結構發生質的變化，使學生成為創造的主人。

第二篇：淺談初中數學習題變式訓練

淺談初中數學習題變式訓練

東營市利津縣陳莊鎮中學

閆如明

數學教學的最根本目的是培養學生能夠獨立思考問題、分析問題和解決問題的能力，培養學生的創新意識以及創造性的邏輯思維方式。數學教學不局限于一個狹隘的課本知識領域里，理解課本的內容知識不是教學的最終目的，更重要的是讓學生在學習中如何運用課本知識，通過課本例題起到“窺一斑知全貌”“舉一例能反三”的教學效果；因此調動學生學習的積極性和主動性，組織學生善于發揮自己的主觀意識，學會獨立自主的去探究和研究數學科學領域，是數學教師的首要任務，這就要求每位數學教師要善于去領會和研究課本例題和習題，設計出好的例題變式題。

翻閱歷年的中考試卷可以發現，歷年的中考試題都源于課本，都是課本習題的變式，那如何進行課本習題的變式教學？這是我們每一個數學教師必須認真思考的問題。我覺得教師所選用的習題應“源于課本”，然后對它進行變式，并緊扣考試說明，“以考為綱”，使它“高于課本”。這就要求教師們要善于利用變式教學，使數學教學“變教為誘，變學為思”。

一、變式教學在數學教學中所起的作用有如下幾個方面：

1.幫助克服思維定勢消極影響，培養思維的科學性。

思維定勢心理學解釋為是先于一定活動并指向一定活動的一種動力準備狀態。它表現為在認識活動的方向選擇上帶有“經驗型”的傾向性。其消極方面是受制于先前某種經驗影響，生搬硬套、因循守舊，形成思維的惰性，對知識掌握產生一種負遷移的不良作用。例如學生在學習不等式a>b，c>d，a+c>b+d的性質后學生容易產生a>b，c>d，a-c>b-d的錯誤認識。在教學中講解了正確推理a>b，c>d，a-c>b-d后，再通過語言變式把這一推理解釋為“大數少減就一定大于小數多減”，學生就能真正體會推理的含義，消除負遷移形成的錯誤認識。因此，數學教學中如能夠適當地運用變式教學，對防止此類不良定式的產生，克服思維定式的消極作用，使學生養成科學的思維習慣是十分有用的。

2.有利于培養發散和概括能力，提高思維的變通性。

變式教學在轉換事物非本質特征的時候呈現了事物表象的多樣性，使得我們可以動態地認識事物許多的鮮明特征，有助于拓展思維的寬度，培養思維的發散能力。但是變式教學的最終目的是為了突出事物本質的特征，舍棄問題的非本質因素，把復雜問題轉換成簡單問題，最后通過概括使認識達到新的高度。

3、豐富學生的感性經驗，提高學生對知識理解的準確性。

理解是指個體運用已有知識經驗去認識未知事物的聯系關系，直至揭露其本質和規律的一種思維活動。它通過教材的直觀和概括兩個認識環節實現，在直觀這一環節上，直觀對象變式對直觀效果有著重要的影響。數學教學中運用圖像變式、語言變式等手段適當變更對象非本質因素，這對抓住本質要素進行準確的概括是十分重要的。如講“角”的定義，若僅列舉銳角、直角、鈍角情形，學生就有可能形成角就是兩條直線的交叉的錯誤認識。若把平角、周角展示給學生，這就能使學生準確理解到“從一點出發的兩條射線組成圖形”的真正含義。4.排除非本質因素影響，培養思維的深刻性。

思維的深刻性是教學中追求的目標之一，在掌握知識的應用階段尤為明顯。要不被千變萬化的表象所迷惑，抓住本質的東西，變式教學是一種可以運用于教學的有效辦法。通過利用練習變式訓練學生的思維，使學生在多變的問題中受到磨練，舉一反三，加深理解。

變式教學作為教學的方法之一，在實際工作中有重要作用，這是應該肯定的，那如何對習題進行變式教學呢？習題變式教學應遵守哪些原則呢？

二、習題變式訓練應遵守以下3個原則：

1.針對性原則

習題變式教學，不同于習題課的教學，它貫穿于新授課、習題課和復習課，與新授課、習題課和復習課并存，一般情況下不單獨成課。因此對于不同的授課，對習題的變式也應不同。例如：新授課的習題變式應服務于本節課的教學目的；習題課的習題變式應以本章節內容為主，適當滲透一些數學思想和數學方法。復習課的習題變式不但要滲透數學思想和數學方法還要進行縱向與橫向的聯系，同時變式習題要緊扣考綱。在習題變式教學時，要根據教學目標和學生的學習現狀，切忌隨意性和盲目性。2.可行性原則

選擇課本習題進行變式，不要“變”得過于簡單，過于簡單的變式題，會讓學生認為是簡單的“重復勞動”，影響學生思維的質量；難度“變”大的變式習題易挫傷學生的學習積極性，使學生難以獲得成功的喜悅，長此以往，將使學生喪失信心，因此，在選擇課本習題變式時，要變的有“度”。3.參與性原則

在習題變式教學中，教師要讓學生主動參與，不要總是教師“變”，學生“練”。要鼓勵學生大膽的“變”，培養學生的創新意識和創新精神。

三、實施“變式”教學三步曲

1.課前預習，強化自學

例題的變式教學，預習是必不可少的重要環節，是提出疑問、獨立思考、提高分析和解決問題能力的環節；讓學生帶著疑問學習，是要求預習的根本目的，通過對新課的全面預習，提高了學生的自覺能力和實踐能力，促進課堂效益，為例題變式教學的實施起著不可忽視的作用；因此，教師必須重視學生的預習，做好預習筆記，正確引導學生課前預習，“巧立名目”，精心設疑，讓不同層次的學生在“山窮水疑無路”的時候，忽然“柳暗花明又一村”，激發學生的學習興趣。

2.課堂初試牛刀

課堂教學是學生得以“解惑”的主渠道，是教師與學生進行溝通、傳播知識的重要途徑，是例題變式教學的關鍵；學生經歷了預習，新課內容已胸有成竹，教師在教學中起好主導的作用，循循善誘，引導學生在錯綜復雜的數量關系，千頭萬緒的理論辨證中尋覓，總結科學的解題經驗。

3.練習變式，借題發揮：

例題畢竟有限，要進一步提高“變”的魅力，練習題正是學生用武之地，練習變式是例題變式教學的最后環節。將練習題自由演變，一題多變，借題發揮，提升學生的思維能力和解題能力，鞏固記憶，完善自我的應變能力、應試技巧。使整節課前后貫通，緊密相連，形成一個知識網絡體系。

四、結束語：

變式教學是對數學中的問題進行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式，以暴露問題的本質特征，揭示不同知識點的內在聯系的一種教學設計方法。通過變式教學，使一題多解，多題重組，常給人以新鮮感，能喚起學生的好奇心和求知欲，因而能產生主動參與的動力，保持其參與教學過程的興趣和熱情。若能重視對課本習題進行變式訓練，不但可以抓好雙基，便于搞清問題的內涵和外延，而且還可以提高數學能力?？傊谡n堂教學中，通過變式教學引導學生通過多側面、多角度、多渠道的思考問題，讓學生多探討、多爭論，能有效的訓練學生思維的完整性、深刻性和創造性，大大的激發學生的興趣，從而培養學生的創新能力。我們應在理論和實踐中努力的探索，勇于進取，努力使變式教學不斷走向深入，走向成功。

第三篇：初中數學中“變式訓練

變式訓練案例分析

變式訓練是中學數學教學中的一種重要教學策略，在提高學生的學習興趣、培養學生的數學思維和數學解題能力方面有著不可忽視的作用。通過變式訓練可以使教學內容變得更加豐富多彩，使學生的思路更加寬廣。所謂“變式訓練”，就是有針對性地設計一組題，采用一題多解，多題一解，多圖一題，一題多變，對此辨析，逆向運用等方法，對初始題目加以發展變化，從邏輯推理上演繹出幾個或一類問題的解法，通過對一類問題的研究，迅速將相關知識系統化、結構化、網絡化，提高解題能力。

教學案例：

（一）一題多圖

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

①當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，有DE=AD+BE，請說明為什么？ ②當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，有DE=AD－BE,請說明為什么？

①當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并說明理由。

感悟：

通過一題多圖可以讓學生掌握類比的數學思想。

（二）一題多變

一題多變主要在平面幾何中用應廣泛需要老師們認真總結練習。

1、（32-1）×（32+1）=。

2、（32-1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）=3、3×（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）=

4、（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）=

5、（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）＋9=

感悟：

通過一題多變培養學生尋找共性，克服困難的信心，將知識網路化、系統化。

（三）一題多解

如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，求證：AD垂直平分EF。

方法

1、兩次全等證明

方法

2、角平分線定理和一次全等綜合證明。

方法

3、線段垂直平分線逆定理證明。

方法

4、“三線合一”證明。

感悟：

通過一題多解培養學生的發散思維和創新能力，使學生的能力大大提高。更能展現出教師的魅力。

變式訓練并不是一朝一夕就可以成熟的，需要我們認真鉆研大綱和教材把知識系統化、網路化用心對待！

第四篇：初中數學教學中的變式訓練教學

初中數學教學中的變式訓練教學

摘要：所謂數學變式訓練，即是指在數學教學過程中對概念、性質、定理、公式，以及問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條件或形式發生變化，而本質特征卻不變。數學教學，使學生理解知識僅僅是一個方面，更主要的是要培養學生的思維能力，掌握數學的思想和方法。

關鍵詞：數學課堂；變式訓練；方法；思維品質

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2015）07-0227-01

變式教學是指在教學過程中通過變更概念非本質的特征、改變問題的條件或結論、轉換問題的形式或內容，有意識、有目的地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究 “變”的規律的一種教學方式。數學變式教學是通過一個問題的變式來達到解決一類問題的目的，對引導學生主動學習，掌握數學“雙基”，領會數學思想，發展應用意識和創新意識，提高數學素養，形成積極的情感態度，養成良好的學習習慣，提高數學學習的能力都具有很好的積極作用。

1.變式訓練的方法

1.1類比變式。初中數學具有一定的抽象性，許多數學概念概括性比較強，學生理解非常困難；有些知識包含了隱性內容，有僅僅依靠老師的情景創設和知識講解學生可能無法全面理解數學的內涵的，所以需要運用更加豐富的教學手段幫助學生理解數學知識。

例如在學習“分式的意義”時，一個分式的值為零是包含兩層含義：（1）分式的分子為零，（2）分母不為零。因此，如果僅有“當x為何值時分式 的值為零”，此類簡單模仿性的問題，學生對“分子為零且分母不為零”這個條件還是很不清晰的，考慮“分母不為零” 意識還不會很強。但如果以下的變形訓練，通過分子，分母的不同差別，來體現分式的值為0，通過以上的變形，可以對概念的理解逐漸加深，對概念中本質的東西有個非常清晰的認識，因此，數學變式教學有助于養成學生深入反思數學問題的習慣，善于抓住數學問題的本質和規律，探索相關數學問題間的內涵聯系以及外延關系。

1.2模仿變式。數學方法是數學學習的一個重要內容，而這些數學方法的掌握往往需要通過適當改變問題的背景或者提問方式，通過模仿訓練來熟悉。所以，在教學中通過精心設計變式問題，或挖掘教材自身的資源可以更快地幫助學生熟悉數學的基本方法。

1.3階梯變式。初中數學內容的形式化趨勢比較明顯，而學生的對形式化的數學知識理解普遍感到困難，對某些規律的形式化的歸納往往更是無從下手，所以，適當地從學生的實際出發，設計變式教學環節，讓學生從變式問題中“變化量”的相互關系中，幫助學生總結數學規律。

1.4拓展變式。數學知識之間的聯系往往不是十分明顯，經常隱藏于例題或習題之中，教學中如果重視對課本例題和習題的“改裝”或引申，進行必要的挖掘，即通過一個典型的例題進行拓展，最大可能的覆蓋知識點，把分散的知識點串成一條線，往往會起到意想不到的效果，有利于學生知識的建構。

1.5背景變式。在解題教學的思維訓練中，通過改變問題背景進行變式訓練是一種很有效的方法。通過從不同角度去改變題目，通過解題后的反思，歸納出同一類問題的解題思維的形成過程與方法的采用，通過改變條件，可以讓學生對滿足不同條件的情況作出正確的分析，通過改變結論等培養學生推理、探索的思維能力，使學生的思維更加靈活性和嚴密性。

2.利用變式訓練培養學生良好的思維品質

眾所周知，發展智力，培養能力的關鍵是培養學生良好的思維品質，而運用變式手法恰好是訓練和培養學生思維的有效途經。

2.1利用興趣培養學生思維主動性積極性，在教學中，教師有意識的運用興趣變式來誘發學生的好奇心，激發他們主動鉆研，積極思考，可以克服惰性，培養思維主動積極性。

2.2利用反例變式，培養學生思維的嚴謹性和批判性。教學時，通過反例變式的訓練有意識的設置一些陷阱，去刺激學生讓其產生“吃一塹，長一智”。

2.3利用一題多解培養學生思維的靈活性，在教學中教師利用解題過程的變式訓練，引導學生善于運用新觀點，從多用度去思考問題，用自由聯想的方式，使學生廣泛建立聯系，多用度地認識事物和解決問題，打破那種“自古華山一條路”的思維定勢，使他們開動腦筋，串聯有關知識，養成靈活的思維習慣。

2.4運用逆向變式培養逆向思維能力。在教學中培養學生的雙向思維習慣，這種訓練要保持經常性和多樣性，逐步優化他們的思維品質。

2.5采用對一題多變和開放性題目的探討，培養思維的創造性。教學中，在加強雙基訓練的前提下，運用一題多變和將結論變為開放性的方式來引導學生獨立思考，變重復性學習為創造性學習。創造性思維是對學生進行思維訓練的歸宿與新的起點，是思維的高層次化。實踐證明，教學中經常改變例題結論，引導學生自編一些開放性題目，對激發學生興趣，培養其研究探索能力，發展創造性思維大有益處。

3.進行變式訓練需注意

3.1變式教學需要重視知識的基礎性。學生的各種能力都是建立在基礎知識之上的，基礎知識是綜合能力的載體，因此，初中數學教師在運用變式教學方法時，應該落實與鞏固數學課本上的基本概念和理論知識，教師應該引導學生轉換角度進行思考，例如復習三角形和特殊的三角形時，應該創設多種練習題，幫助學生掌握概念的內涵與外延，將三角形的概念理解透徹。

3.2變式教學應該重視層次性。初中生由于受到認知水平的影響，一個班級的學生對數學概念的理解水平也存在一定的差異，針對某個知識點進行訓練時，應該設置多個問題，從簡到難循序漸進地進行訓練，這樣的習題訓練能夠幫助認知水平較差的學生更好地理解，幫助認知水平較高的學生鞏固記憶。

3.3變式教學應該重視訓練的靈活性。數學知識和數學題型是多種多樣的，并且條件的變化會引起結論的變化，通過設置不同類型的變式，能夠獲得不同的效果，一題多變式能夠強化學生們對定義、概念的理解，一題多解式能夠訓練學生的發散思維，培養學生探索新知的能力，因此，初中數學教師在運用變式教學方法時，應該重視方式訓練的靈活性與多樣性。

總之，在數學課堂教學中，遵循學生認知發展規律，根據教學內容和目標加強變式訓練，對鞏固基礎、培養思維、提高能力有著重要的作用。特別是，變式訓練能培養培養學生敢于思考，敢于聯想，敢于懷疑的品質，培養學生自主探究能力與創新精神。當然，課堂教學中的變式題最好以教材為源，以學生為本，體現出“源于課本，高于課本”，并能在日常教學中滲透到學生的學習中去。讓學生也學會“變題”，使學生自己去探索、分析、綜合，以提高學生的數學素質。

第五篇：淺談初中數學教學中的變式訓練

淺談初中數學教學中的變式訓練

松江區茸一中學 沈菊華

素質教育是以培養具有創造性思維和創造能力的人才為目標而進行的創新教育為歸宿的教育。在課堂教學中落實素質教育，就要貫穿“學生為主體，訓練為主線，能力為主攻”的原則?，F代數學課程標準指出：數學教學不僅僅要使學生獲得數學基礎知識,基本技能，更要獲得數學思想和觀念，形成良好的數學思維品質,要通過各種途徑，讓學生體會數學思考和創造的過程，增強學習的興趣和自信心,不斷提高自主學習的能力。所以加強在教學中注重變式訓練，可以促使學生的思維向多層次、多方向發散，幫助學生在問題的解答過程中去尋找解類似問題的思路、方法，有意識地展現教學過程中教師與學生數學思維活動的過程，充分調動學生學習的積極性、主動地參與教學的全過程，培養學生獨立分析和解決問題的能力，以及大膽創新、勇于探索的精神，從而真正把學生能力的培養落到實處。

所謂數學變式訓練，即是指在數學教學過程中對概念、性質、定理、公式，以及問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條件或形式發生變化，而本質特征卻不變。數學教學，使學生理解知識僅僅是一個方面，更主要的是要培養學生的思維能力，掌握數學的思想和方法。.變式其實就是創新。當然變式不是盲目的變，應抓住問題的本質特征，遵循學生認知心理發展，根據實際需要進行變式。實施變式訓練應抓住思維訓練這條主線，恰當的變更問題情境或改變思維角度，培養學生的應變能力，引導學生從不同途徑尋求解決問題的方法。通過多問、多思、多用等激發學生思維的積極性和深刻性。下面本人結合理論學習和數學課堂教學的實踐，談談在數學教學中如何進行變式訓練培養學生的思維能力。

一、在形成數學概念的過程中，利用變式啟發學生積極參與觀察、分析、歸納，培養學生正確概括的思維能力。

從培養學生思維能力的要求來看，形成數學概念，提示其內涵與外延，比數學概念的定義本身更重要。在形成概念的過程中，可以利用變式引導學生積極參與形成概念的全過程，讓學生自己去“發現”、去“創造”，通過多樣化的變式提高學生學習的積極性，培養學生的觀察、分析以及概括能力。

如在講分式的意義時，一個分式的值為零是指分式的分子為零而分母不為零，因此對于分式x?1的值為零時，在得到答案x??1時，實際上學生對“分2x?3子為零而分母不為零”這個條件還不是很清晰，難以辨析出學生是否考慮了“分母不為零”這個條件，此時可以做如下變形：

x2?1變形1：當x__________時，分式的值為零？（分子為零時x=?1）

2x?3x2?1變形2：當x__________時，分式的值為零？（x?1時分母為零因此要舍

x?1去）

x2?3x?4變形3：當x__________時，分式2的值為零？（此時分母可以因式分

x?5x?6解為(x?6)(x?1)，因此x的取值就不能等于6且不能等于-1）

通過以上的變形，可以對概念的理解逐漸加深，對概念中本質的東西有個非常清晰的認識，因此教師在以后的練習中也明確類似知識點的考查方向，防止教師盲目出題，學生盲目練習，在有限的時間內使得效益最大化。

二、在理解定理和公式的過程中，利用變式使學生深刻認知定理和公式中概念間的多種聯系，從而培養學生多向變通的思維能力。

數學思維的發展，還賴于掌握、應用定理和公式，去進行推理、論證和演算。由于定理和公式的實質，也是人們對于概念之間存在的本質聯系的概括，所以掌握定理和公式的關鍵在于明確理解定理和公式中概念的聯系，對于這種聯系的任何形式的機械的理解，是不能熟練、靈活應用定理和公式的根源，它是缺乏多向變通思維能力的結果。因此在定理和公式的教學中，也可利用變式，展現相關定理和公式之間的聯系以及定理、公式成立依附的條件，培養學生辨析與定理和公式有關的判斷，運用。

如在初一學習垂徑定理時：學生對定理“如果圓的直徑平分弦（這條弦不 是直徑），那么這條直徑垂直這條弦，并平分這條弦所對的弧”理解不透，經常在判斷中出錯，甚至到了初三時還會發生錯誤，實際上學生的錯誤是可以理解的，而教師卻要去思考學生出錯的根源是什么？我認為是學生沒有理解這句話中幾個關鍵字或詞：直徑、平分、不是直徑，因此我們可以通過變式給出如下語句讓學生去判斷，并在錯誤的判斷中給出反例，讓學生理解錯誤的原因。

（1）平分弦的直線垂直這條弦（×）見圖1（2）平分弦的直徑垂直這條弦（×）見圖2（3）平分弦的半徑垂直這條弦（×）見圖3

圖1圖3圖2

通過上述三個小判斷，指出直徑與直線的區別，弦是直徑時對結論的影響等，理解了為什么要附加條件：這條弦不是直徑，學生的辨析能力得到提高，思維更加縝密。

可以通過變式來繼續提問學生：在“如果圓的直徑垂直于弦，那么這條直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的弧”這條性質中“如果圓的直徑垂直于弦”后面沒有附加條件，這是為什么？

圖4圖5

（4）垂直于弦的直線平分這條弦（×）見圖4（5）不與直徑垂直的弦，不可能被該直徑平分（×）見圖5 通過以上變式訓練，是要防止形式地、機械地背誦、套用公式和定理提高學生變通思考問題和靈活應用概念、公式以及定理的能力。

三、在解題教學中，利用變式來改變題目的條件或結論，揭示條件、目標間的聯系，解題思路中的方法之間的聯系與規律，從而培養學生聯想、轉化、推理、歸納、探索的思維能力。

（一）、多題一解，適當變式，.培養學生求同存異的思維能力。

許多數學習題看似不同，但它們的內在本質（或者說是解題的思路、方法是一樣的），這就要求教師在教學中重視對這類題目的收集、比較，引導學生尋求通法通解，并讓學生自己感悟它們之間的內在聯系，形成數學思想方法。如：題1：如圖A是CD上一點，?ABC、?ADE都是正三角形，求證CE=BD 題2：如圖，?ABD、?ACE都是正三角形，求證CD=BE 題3：如圖，分別以?ABC的邊AB、AC為一邊畫正方形AEDB和正方形ACFG，連接CE、BG，求證BG=CE

題4：如圖，有公共頂點的兩個正方形ABCD、BEFG，連接AG、EC，求證AG=EC 題5：如圖，P是正方形ABCD內一點，?ABP繞點B順時針方向旋轉能與?CBP’重合，若PB=3，求PP’

上述五題均利用正三角形、正方形的性質，為證明全等三角形創造條件，并利用全等三角形的性質進行進一步的計算或證明。教師要把這類題目成組展現給學生，讓學生在比較中感悟它們的共性。

（二）、一題多解，觸類旁通，培養學生發散思維能力，培養學生思維的靈活性。

一題多解的實質是以不同的論證方式，反映條件和結論的必然本質聯系。在教學中教師應積極地引導學生從各種途徑，用多種方法思考問題。這樣，既可暴露學生解題的思維過程，增加教學透明度，又能使學生思路開闊，熟練掌握知識的內在聯系。這方面的例子很多，尤其是幾何證明題。通過一題多解，讓學生從不同角度思考問題、解決問題，可以引起學生強烈的求異欲望，培養學生思維的靈活性。

例如在教學等腰三角形的判定時，例2是這樣的已知：如圖，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，∠1=∠2 求證：三角形等腰三角形

AD12EBC

這題學生一般想到利用兩個三角形全等來證明AB=AC利用等腰三角形的定義得到三角形ABC是等腰三角形，教師繼續引導學生思考能否有其它的方法證明，并適時提問還有沒有其他方法證明△ABC是等腰三角形，學生馬上想到

剛學的在一個三角形中等角對等邊的知識，于是把問題轉化到如何證明∠ABC=∠ACB，通過學生討論得到兩種證明角的方法，一利用等角的余角相等，二利用外角或三角形內角之和為180度得到兩個角相等。又如在講解“求解相交兩圓的圓心距”的問題時學生往往會犯得出一個解而丟掉另一個解的錯誤。我先用運動的觀點向學生解釋兩圓相交的形成，當兩圓相切時，如果一圓的圓心繼續向另一圓的圓心靠攏，當兩圓有兩個公共點時叫兩圓相交。然后我在黑板上畫出了圓心在公共弦兩側的相交兩圓，待學生根據已知求出圓心距以后，讓一圓的圓心繼續向另一圓的圓心靠攏，當兩圓的圓心在公共弦的同側時，再讓學生計算兩圓的圓心距，這時學生發現在相同已知條件下兩種情況算得的結果并不相同。由此得出兩圓相交有圓心在公共弦的兩側或同側兩種情況的結論。這兩題題從不同的角度進行多向思維，把各個知識點有機地聯系起來，發展了學生的多向思維能力。

（三）、一題多變，總結規律，培養學生思維的探索性和深刻性。通過變式教學，不是解決一個問題，而是解決一類問題，遏制“題海戰術”，開拓學生解題思路，培養學生的探索意識，實現“以少勝多”。

伽利略曾說過“科學是在不斷改變思維角度的探索中前進的”。故而課堂教學要常新、善變，通過原題目延伸出更多具有相關性、相似性、相反性的新問題，深刻挖掘例習題的教育功能。

譬如書本上有這樣一道題，求證：順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。教師可以不失時機地進行變式，調動起學生的思維興趣。變式（1）順次連接矩形各邊中點所得四邊形是什么圖形？變式（2）順次連接菱形各邊中點所得四邊形是什么圖形？變式（3）順次連接正方形各邊中點所得四邊形是什么圖形？做完這四個練習，教師還可以進一步引導學生概括影響組成圖形形狀的本質的東西是原來四邊形的對角線所具有的特征。

又如應用題教學是初中教學中的一個難點，在教學中就可以把同類型的題目通過變式的方式展現給學生，把學生的思維逐步引向深刻。

例如在講解一元一次方程的實踐和探究這節課時，教師從奧運冠軍孟關良訓練為題材編了一題關于追及問題的應用題，一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了20米孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學們，請你想一想他如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？然后教師可

對本例作以下變式。

變式1：一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了20秒，孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學們，請你想一想他如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？（從先行20米改為先行了20秒）

變式2：我們學校有一塊300米的跑道在比賽跑步時經常會涉及到相遇問題和追及問題

現有甲、乙兩人比賽跑步，甲的速度是10米/秒，乙的速度是8米/秒，他們兩人同地出發

（1）兩人同時相向而行經過幾秒兩人相遇。（2）兩人同時同向而行經過幾秒兩第一次相遇。

（3）乙先出發5秒，然后甲開始出發，問甲經過幾秒兩人第一次相遇。這題該為平時學生熟悉的操場環形跑道，這里三題也是一組變式題，（1）、（2）是同時同地出發的相遇和追及問題，（3）是不同時出發相遇和追及問題，這題還蘊涵著分類討論的思想。

變式3：一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了10秒，教練要求他用45秒追上快艇，孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，他以每秒6米的速度劃行，劃了5秒后他發現用這樣的速度不能在規定的時間內追上，請問他的想法用45秒不能追上快艇對不對？如果他要追上請你算一算孟關良后來要用多少速度才能在規定的時間內追上快艇？

這樣的變式覆蓋了同時出發相遇問題、不同時出發相遇問題、同時出發和不同時出發的追及問題等行程問題的基本類型。這樣通過一個題的練習既解決了一類問題，又歸納出各量之間最本質的東西，今后碰到類似問題學生思維指向必定準確，很好培養了學生思維的深刻性。學生也不必陷于題海而不能自拔。

（三）、一題多問，通過變式引申發展，擴充、發展原有功能，培養學生的創新意識和探究、概括能力

牛頓說過：“沒有大膽的猜想就做不出偉大的發現?！敝袑W生的想象力豐富，因此，可以通過例題所提供的結構特點，鼓勵、引導學生大膽地猜想，以培養學生的創造性思維和發散思維。

教學中要特別重視對課本例題和習題的“改裝”或引申。數學的思想方法都

隱藏在課本例題或習題中，我們在教學中要善于對這類習題進行必要的挖掘，即通過一個典型的例題，最大可能的覆蓋知識點，把分散的知識點串成一條線，往往會起到意想不到的效果，有利于知識的建構。如，八年級第二學期練習冊中有這樣一個習題：

如圖

（一）在?ABC中，?B=?C，點D是邊BC上的一點，DE?AC，DF?AB，垂足分別是E、F，AB=10cm，DE=5cm，DF=3 cm，求（1）S?ABC。（2）AB上的高。

上題通過連接AD分割成兩個以腰為底的三角形即可求解S?ABC=40 cm2 ；借助于添加AB上的高CH，利用面積公式和第一題的結論，不難求的AB上的高為8cm.我在教學中并未把求得結論作為終極目標，而是繼續問：3+5=8，在此題中是否是一個巧合？探究DE、DF、CH之間的內在聯系，（學生猜想CH=DE+DF）。

引出變式題（1）如圖

（二）在?ABC中，?B=?C，點D是邊BC上的任一點，DE?AC，DF?AB，CH?AB，垂足分別是E、F、H，求證：CH=DE+DF 在計算例題的基礎上，學生已經具有了用面積的不同求法把各條垂線段聯系起來的意識，此題的證明很容易解決。

在學生思維的積極性充分調動起來的此時，我又借機給出變式（2）如圖

（三）在等邊?ABC中，P是形內任意一點，PD?AB于D，PE?BC于E，PF?AC于F，求證PD+PE+PF是一個定值。

通過這組變式訓練，面積法在幾何計算和證明中的應用得到了很好的體現，同時這一組變式訓練經歷了一個特殊到一般的過程，有助于深化、鞏固知識，學生猜想、歸納能力也有了進一步提高，更重要的是培養學生的問題意識和探究意識。

總之，在數學課堂教學中，遵循學生認知發展規律，根據教學內容和目標加強變式訓練，對鞏固基礎、培養思維、提高能力有著重要的作用。特別是，變式訓練能培養培養學生敢于思考，敢于聯想，敢于懷疑的品質，培養學生自主探究能力與創新精神。當然，課堂教學中的變式題最好以教材為源，以學生為本，體現出“源于課本，高于課本”，并能在日常教學中滲透到學生的學習中去。讓學生也學會“變題”，使學生自己去探索、分析、綜合，以提高學生的數學素質。

參考文獻：

1、中小學數學（2004第4期）

2、《數學教育改革與研究》2004年3月

3、上海市普通中小學數學課程標準

4、《全國中小學教師繼續教育》

5、《數學教育概論》，李玉琪著，中國科學技術出版社