第三章達標檢測卷

一、選擇題(每題3分，共30分)

1．下列函數中不屬于二次函數的是()

A．y＝5x2

B．y＝(x＋1)2

C．y＝2(x＋2)2－2x2

D．y＝1－x2

2．一個正方形的邊長為5

cm，若邊長減少x

cm，則面積減少y

cm2．下列說法正確的是()

A．邊長是自變量，面積減少量是因變量

B．邊長是自變量，面積是因變量

C．y與x之間的函數關系式為y＝(5－x)2

D．y與x之間的函數關系式為y＝52－(5－x)2

3．拋物線y＝－2(x－2)2－5的頂點坐標是()

A．(－2，5)

B．(2，5)

C．(－2，－5)

D．(2，－5)

4．拋物線y＝x2－2是由拋物線y＝x2()

A．向下平移2個單位長度得到的B．向上平移2個單位長度得到的C．向左平移2個單位長度得到的D．向右平移2個單位長度得到的5．二次函數y＝x2－2x－3的圖象如圖所示，當y＜0時，自變量x的取值范圍是()

A．－1＜x＜3

B．x＜－1

C．x＞3

D．x＜－1或x＞3

6．點P1(－0．5，y1)，P2(2．5，y2)，P3(－5，y3)均在二次函數y＝－x2＋2x的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是()

A．y3＞y2＞y1

B．y3＞y1＝y2

C．y1＞y2＞y3

D．y1＝y2＞y3

7．已知某汽車剎車后行駛的距離y(單位：m)與行駛的時間t(單位：s)之間近似滿足函數關系y＝－6t2＋15t，則該汽車剎車后到停下來所用的時間約為()

A．1.25

s

B．2.25

s

C．0.25

s

D．0.75

s

8．一人一盔安全守規，一人一帶平安常在！某商店銷售一批頭盔，每頂頭盔的售價為80元，每月可售出200頂．在“創建文明城市”期間，計劃將頭盔降價銷售，經調查發現：每頂頭盔的售價每降低1元，每月可多售出20頂．已知每頂頭盔的進價為50元，則該商店每月獲得最大利潤時，每頂頭盔的售價為()

A．60元

B．65元

C．70元

D．75元

9．已知一次函數y＝x＋c的圖象如圖所示，則二次函數y＝ax2＋bx＋c在平面直角坐標系中的圖象可能是()

10．如圖，拋物線y＝－x2＋x＋2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，若點P是線段BC上方的拋物線上一動點，當△BCP的面積取得最大值時，點P的坐標是()

A．(2，3)

B．

C．(1，3)

D．(3，2)

二、填空題(每題4分，共24分)

11．在函數y＝中，自變量x的取值范圍是______________．

12．如圖，已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交于A(1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C(0，3)，則二次函數的圖象的頂點坐標是________．

13．若函數y＝mx2＋(m＋2)x＋m＋1的圖象與x軸只有一個交點，那么m的值為________．

14．從地面豎直向上拋出一小球，小球距地面的高度h(m)與小球的運動時間t(s)之間的函數關系如圖所示．當h＝30時，則t＝________．

15．如圖，拋物線y＝－2x2＋2與x軸交于點A，B，其頂點為E．把這條拋物線在x軸及其上方的部分記為C1，將C1向右平移得到C2，C2與x軸交于點B，D，C2的頂點為F，連接EF，則圖中陰影部分的面積為________．

16．如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于點A，B，頂點為C，對稱軸為直線x＝1，給出下列結論：①abc＜0；②若點C的坐標為(1，2)，則△ABC的面積可以等于2；③M(x1，y1)，N(x2，y2)是拋物線上的兩點(x1＜x2)，若x1＋x2＞2，則y1＜y2;

④若拋物線經過點(3，－1)，則方程ax2＋bx＋c＋1＝0的兩根為－1，3．其中正確結論的序號有________．

三、解答題(17題8分，18，19題每題10分，20，21題每題12分，22題14分，共66分)

17．已知二次函數的圖象的頂點坐標為A(1，－4)，且經過點B(3，0)．

(1)求該二次函數的表達式；

(2)判斷點C(2，－3)是否在該函數的圖象上，并說明理由．

18．如圖，拋物線y＝x2＋2與直線y＝－x＋4相交于B，C兩點，拋物線、直線分別與y軸交于A，D兩點．

(1)求點A，D的坐標；

(2)求△ABC的面積．

19．某產品每件的成本是120元，試銷階段，每件產品的銷售價x(元)與產品的日銷售量y(件)的部分對應值如下表，已知產品的日銷售量y(件)是每件產品的銷售價x(元)的一次函數，設每日獲得的利潤為P元．

x/元

130

150

165

y/件

(1)求y與x之間的函數關系式．

(2)求P與x之間的函數關系式．

(3)當每件產品的銷售價為多少元時，才能使每日獲得的利潤最大？最大利潤為多少？

20．已知拋物線y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常數．

(1)求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；

(2)若該拋物線的對稱軸為直線x＝．

①求該拋物線的表達式；

②把該拋物線沿y軸向上平移多少個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點？

21．如圖，有一條雙向公路隧道，其截面由拋物線和矩形的三邊組成，隧道的最高點距地面4.9

m，AB＝10

m，BC＝2.4

m．現把隧道的截面放在直角坐標系中，若有一輛高為4

m、寬為2

m的裝有集裝箱的汽車要通過隧道，如果不考慮其他因素，汽車的右側離隧道的右壁至少超過多少米，汽車才不會碰到隧道頂部？(拋物線部分為隧道頂部，AO，BC為石壁)

22．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝－2x－6與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝x2＋bx＋c經過A，B兩點．點P是位于直線AB下方拋物線上的一個動點．

(1)求拋物線的表達式；

(2)當點P到AB的距離最大時，求出點P的坐標；

(3)在(2)的條件下，連接BP，點M是x軸上一點，點N是拋物線上一動點，是否存在點N，使得以點B，P，M，N為頂點，以BP為一邊的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

答案

一、1．C　2．D　3．D　4．A　5．A　6．D

7．A　8．C　9．C

10．A　點撥：對于y＝－x2＋x＋2，令y＝0，則－x2＋x＋2＝0，解得x＝－1或x＝4，令x＝0，則y＝2，∴點A，B，C的坐標分別為(－1，0)，(4，0)，(0，2)，∴OB＝4．

如圖，過點P作y軸的平行線交BC于點H，設直線BC的表達式為y＝kx＋b，將B(4，0)，C(0，2)的坐標代入，得解得

∴直線BC的表達式為y＝－x＋2，由題意設點P的坐標為，則點H的坐標為，∴S△BCP＝S△PHB＋S△PHC＝OB·

PH＝×4×＝－m2＋4m＝－(m－2)2＋4，易知0＜m＜4，∴當m＝2時，△BCP的面積取得最大值，此時－m2＋m＋2＝3，∴點P的坐標為(2，3)．

二、11．x≥－1且x≠2　12．(2，－1)

13．0或2或－2　14．1.5或4.5　15．4

16．①④　點撥：①∵拋物線的對稱軸在y軸右側，∴－＞0，∴a，b異號，即ab＜0，∵拋物線與y軸的正半軸相交，∴c＞0，∴abc＜0，故①正確；

②易知△ABC的面積＝AB·yC，假設△ABC的面積為2，∵C(1，2)，∴AB×2＝2，解得AB＝2，設A(xA，0)，B(xB，0)，則AB＝xB－xA＝2．①

∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴xA＋xB＝2．②

由①②得，xA＝0，xB＝2，∴A(0，0)，此時c＝0，與圖象不符，故②錯誤；

③令x2＞x1＞1，此時x1＋x2＞2，由圖象知當x＞1時，y隨x的增大而減小，∴y1＞y2，故③錯誤；

④拋物線y＝ax2＋bx＋c向上平移1個單位長度可得拋物線

y＝ax2＋bx＋c＋1．

∵拋物線y＝ax2＋bx＋c經過點(3，－1)，對稱軸為直線x＝1，∴拋物線y＝ax2＋bx＋c＋1經過點(3，0)，對稱軸為直線x＝1，∴拋物線y＝ax2＋bx＋c＋1也經過點(－1，0)，∴方程ax2＋bx＋c＋1＝0的兩根為－1，3，故④正確．故答案為①④．

三、17．解：(1)設的表達式為y＝a(x－h)2＋k，∵圖象的頂點坐標為A(1，－4)，∴y＝a(x－1)2－4．

∵圖象經過點B(3，0)，∴0＝a(3－1)2－4，解得a＝1，∴該的表達式為y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3．

(2)點C(2，－3)在該函數的圖象上．

理由：當x＝2時，y＝22－2×2－3＝－3，∴點C在該函數的圖象上．

18．解：(1)將x＝0代入y＝x2＋2，得y＝2，∴點A的坐標為(0，2)．

將x＝0代入y＝－x＋4，得y＝4，∴點D的坐標為(0，4)．

(2)解

得或

∴點B的坐標為(1，3)，點C的坐標為(－2，6)，由A(0，2)，D(0，4)，得AD＝2，∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝×2×1＋×2×2＝3．

19．解：(1)設y與x之間的函數關系式為y＝kx＋b．

將x＝130，y＝70；x＝150，y＝50分別代入，得

解得∴y與x之間的函數關系式為y＝－x＋200．

(2)由題意知P＝(x－120)(－x＋200)＝－x2＋320x－24

000(120≤x≤200)．

(3)∵P＝－x2＋320x－24

000＝－(x－160)2＋1

600，120≤x≤200，∴當x＝160時，P取最大值，為1

600．

∴當每件產品的銷售價為160元時，才能使每日獲得的利潤最大，最大利潤為1

600元．

20．(1)證明：∵y＝(x－m)2－(x－m)＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m，∴Δ＝[－(2m＋1)]2－4(m2＋m)＝1＞0，∴不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點．

(2)解：①由(1)知拋物線的對稱軸為直線x＝－＝，∴m＝2，∴該拋物線的表達式為y＝x2－5x＋6．

②設把該拋物線沿y軸向上平移k個單位長度，則平移后拋物線的表達式為y＝x2－5x＋6＋k，∵拋物線y＝x2－5x＋6＋k與x軸只有一個公共點，∴Δ＝(－5)2－4(6＋k)＝0，∴k＝，∴把該拋物線沿y軸向上平移個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點．

21．解：由題意得拋物線的頂點坐標為(5，2．5)，且過點C(10，0)，易求出拋物線的函數表達式為y＝－x2＋x．如圖，用矩形DEFG表示汽車的截面，設BD＝m，DG交x軸于M，延長DG交拋物線于H，則AD＝(10－m)m，∴HM＝m．

∴HD＝m．

由題意得－(10－m)2＋12.4－m＞4，化簡得(m－2)(m－8)＜0，∴2＜m＜8．

易知m≤3，∴2＜m≤3．

答：汽車的右側離隧道右壁至少超過2

m，汽車才不會碰到隧道頂部．

22．解：(1)對于y＝－2x－6，令x＝0，得y＝－6，令y＝0，得x＝－3，∴A(－3，0)，B(0，－6)，把A(－3，0)，B(0，－6)的坐標分別代入y＝x2＋bx＋c，得解得

∴拋物線的表達式為y＝x2＋x－6．

(2)如圖，過點P作PH⊥AB于點H，PD⊥x軸于點D，交AB于點Q，則∠ADQ＝∠PHQ＝90°．

∴∠PQH＝∠AQD＝90°－∠DAQ，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO＝90°－∠DAQ，∴∠PQH＝∠ABO．

又∵∠PHQ＝∠AOB＝90°，∴△PHQ∽△AOB，∴＝，∵A(－3，0)，B(0，－6)，∴OA＝3，OB＝6，∴AB＝＝3

．

∴＝，∴PH＝PQ，∴當PQ最大時，PH最大．

設P(t，t2＋t－6)，則Q(t，－2t－6)，∴PQ＝(－2t－6)－(t2＋t－6)＝－t2－3t＝－＋，易知－3＜t＜0，∴當t＝－時，PQ取得最大值，此時PH最大．

當t＝－時，t2＋t－6＝－，∴點P的坐標為．

(3)存在，由題意知點M的縱坐標為0．設N(n，n2＋n－6)，由(1)(2)知B(0，－6)，P．

①若平行四邊形的對角線為MB，NP，則MB的中點也是NP的中點，∴0－6＝n2＋n－6－，解得n＝或n＝，∴點N的坐標為

或

．

②若平行四邊形的對角線為MP，NB，則MP的中點也是NB的中點，∴0－＝n2＋n－6－6，解得n＝或n＝，∴點N的坐標為

或．

綜上所述，點N的坐標為或

或

或

．