第一篇：比推理14種典型例題解析+強化練習題

比推理14種典型例題解析+強化練習題

華圖網校論壇類比推理專項輔導系列： 1.首先搞清題干所給的兩個詞之間的關系。

2.注意各種關系之間的細微差別。詞與詞之間的關系是各種各樣的（在下面將有所敘述），其中有些關系是非常相近的，容易混淆，應注意區別。例如，對于整體與部分的關系和一般與特殊的關系，有些考生常常分辨不清。另外，一般來說，關系都是有順序的，整體與部分的關系就不可能是部分與整體的關系（參

見例題中“整體與其構成部分”）。

3.看完全題再答題。不少考生認為類比推理題比較簡單，往往題目還沒有看完，就匆忙選擇答案，這是不可取的（參見例題中“同一類屬性的兩個相互并列的概念部分”）。

典型例題解析

考生在做此種題目時，應該首先搞清題干所給的兩個詞之間的關系，常見的有：因果關系、工具與作用關系、工作與作用對象關系、物體與其運動空間關系、特定環境與專門人員的關系、整體與部分的關系、特殊與一般的關系等等。

1.原因與結果 【例題】努力：成功 正確選項為（）。

A.生根：發芽

B.耕耘：收獲 C.城市：鄉村

D.原告：被告

解析：答案為B。該題題干中的兩個詞具有某種條件（或因果）關系，即只有努力才能成功或者說努力是成功必不可少的原因之一。弄清了這一關系，就很容易找出正確答案。

2.工具與作用 【例題】汽車：運輸 正確選項為（）。

A.魚網：編織

B.編織：魚網 C.捕魚：魚網

D.魚網：捕魚

解析：答案為D。魚網的作用是捕魚。“編織”與“魚網”兩者的關系并不是“工具與作用”的關系。

3.物體與其運動空間 【例題】輪船：海洋 正確選項為（）。

A.飛機：海洋

B.海洋：鯨魚 C.海鷗：天空

D.河流：蘆葦

解析：答案為C。輪船航行于海洋之上是物體與其運動空間的關系，選項只有海鷗和天空是物體與其運動

空間的關系，故選C。

4.特定環境與專門人員 【例題】山野：獵手 正確選項為（）。

A.生豬：工廠

B.教室：學生 C.農民：阡陌

D.野獸：曠野

解析：答案為B。山野和獵手是特定環境與專門人員的關系，選項只有教室與學生是特定環境與專門人員的關系，故選B。

5.整體與其構成部分 【例題】水果：蘋果

正確選項為（）。

A.香梨：黃梨

B.樹木：樹枝 C.家具：桌子

D.天山：高山

解析：該題題干中“水果：蘋果”兩個詞之間是一般和特殊的關系，所以答案為選項C。選項B的兩個詞之間的關系是整體與部分的關系，選項D的兩個詞之間的關系是特殊與一般的關系。

6.同一類屬性的兩個相互并列的概念

【例題】綠豆：豌豆 正確選項為（）。

A.家具：燈具

B.猴子：樹木 C.鯊魚：鯨魚

D.香瓜：西瓜

解析：答案為D。對于此題，考生常常是看到哪里就選到哪里，尤其是選項C，其中的鯨魚其實不是魚，而

是哺乳動物。

7.同一事物的兩個不同稱謂

【例題】芙蕖：荷花 正確選項為（）。

A.兔子：月亮

B.住宅：府第 C.伽藍：寺廟

D.映山紅：杜蘅

解析：答案為C。因為芙蕖是荷花的書面別稱，而伽藍是寺廟的書面別稱。

8.事物的出處與事物 【例題】稻谷：大米 正確選項為（）。

A.核桃：桃仁

B.棉花：棉子 C.西瓜：瓜子

D.槍：子彈

解析：答案為B。因為稻谷是大米的惟一來源，而棉花是棉子的惟一來源。

9.工具與作用對象 【例題】剪刀：布匹 正確選項為（）。

A.玻璃：門窗

B.鋸子：木頭 C.衣服：縫紉機

D.門窗：玻璃

解析：答案為B。剪刀和布匹是工具與作用對象之間的關系，四個選項僅B項符合。

10.作者與作品

【例題】羅貫中：三國演義 正確選項為（）。

A.宋江：水滸傳

B.魯迅：少年閏土 C.王勃：長恨歌

D.吳承恩：西游記

解析：答案為D。羅貫中和《三國演義》是作者與作品之間的關系，宋江是《水滸傳》中人物，少年閏土是魯迅小說中的人物，《長恨歌》是白居易作品，故僅D項符合。

11.物品與制作材料 【例題】書籍：紙張 正確選項為（）。

A.毛筆：宣紙

B.文具：文具盒 C.菜肴：蘿卜

D.飛機：大炮

解析：答案為C。

12.專業人員與其面對的對象

【例題】作家：讀者 正確選項為（）。

A.售貨員：顧客

B.校長：教師

C.官員：改革

D.經理：營業員

解析：答案為A。作家與讀者是專業人員與其面對的對象之間的關系。選項中僅A符合。

13.作品中的人物與作品 【例題】豬八戒：西游記 正確選項為（）。

A.水滸傳：林沖

B.蒲松齡：聊齋志異 C.黃飛虎：封神演義

D.紅樓夢：林黛玉

解析：答案為C。豬八戒與西游記是作品中的人物與作品之間的對應關系，四個選項中，A、D次序顛倒，B

項《聊齋志異》是蒲松齡的作品。

14.特殊與一般 【例題】饅頭：食物 正確選項為（）。

A.食品：餅干

B.頭：身體 C.手：食指

D.鋼鐵：金屬

解析：答案為D。饅頭與食物是特殊與一般的關系，四個選項僅D符合。

強化練習題

1.圖書館∶讀者

A.發布會∶記者 B.鋼鐵∶刀劍 C.聯想∶方正 D.文件∶大綱

2.餐椅∶坐

A.孔子∶圣人 B.膠水∶粘貼 C.社會∶平均 D.興奮∶臉紅

3.《說岳全傳》∶岳飛

A.《駱駝祥子》∶周樸園 B.《理想國》∶柏拉圖 C.《暴風驟雨》∶郭全海 D.《國富論》∶亞當?斯密

4.宇航員∶飛船

A.朋友∶同事 B.法官∶法院 C.運輸∶司機 D.編輯∶文稿

5.錢鐘書∶《管錐篇》

A.小仲馬∶《巴黎圣母院》 B.歐?亨利∶《麥琪的禮物》

C.《女神》∶郭沫若 D.閏土∶《故鄉》

6.平型關大捷∶抗日戰爭時期

A.臺兒莊戰役∶第二次國內革命戰爭時期 B.汀泗橋戰役∶第一次國內革命戰爭時期

C.四渡赤水∶國民大革命時期 D.孟良崮戰役∶第二次世界大戰時期

7.曹雪芹∶晴雯

A.金庸∶李沉舟 B.老舍∶秀秀 C.張愛玲∶莎菲 D.曾樸∶大刀王五

8.禾苗∶田野

A.學生∶教室 B.大學∶碩士 C.皮膚∶神經元 D.醫院∶大夫

9.英國∶日本

A.中國∶韓國 B.德國∶荷蘭 C.美國∶法國 D.葡萄牙∶西班牙

10.割草機∶草

A.電腦∶數據 B.坩堝∶石墨 C.酒精燈∶炸藥 D.天平∶砝碼

11.溫度計∶煤油

A.發動機∶柴油 B.暖氣片∶水 C.衣服∶扣子 D.蓄電池∶硫酸

12.紙∶草

A.火藥∶硝石 B.磁石∶石頭 C.樹皮∶細胞 D.醬油∶蠶豆

13.壁畫∶裝飾

A.羽毛球∶球拍 B.鋼筆∶寫字 C.草坪∶踢足球 D.書籍∶閱讀

14.壓迫∶反抗

A.殺人∶坐牢 B.發燒∶生病 C.傷心∶悲哀 D.貿易∶傾銷

15.樓梯∶電梯

A.客輪∶漁船 B.汽車∶卡車 C.山道∶索道 D.筷子∶刀叉

16.森林∶群眾

A.頭∶身體 B.花∶梅花 C.書籍∶服裝 D.星星∶眼睛

17.窯∶陶瓷

A.唯物主義∶唯心主義 B.整數∶負整數

C.青年∶少年 D.烤箱∶面包

18.美國∶舊金山

A.地球∶恒星 B.印度∶仰光 C.香港∶世界貿易組織 D.中國∶淮河

19.絲線∶刺繡

A.中國∶國家 B.瓷磚∶鑲嵌 C.紙∶書 D.書∶書籍

20.紫竹∶植物學家

A.金屬∶工程師 B.直接經驗∶間接經驗 C.動物∶飼養員 D.蝴蝶∶昆蟲學家

1．林沖：《水滸傳》 正確選項為（）。

A．魯達：《三國演義》 B．崔鶯鶯：《紅樓夢》 C．祥林嫂：《阿Q正傳》 D．孫悟空：《西游記》

2．飛行員：女飛行員 正確選項為（）。

A．運動員：足球運動員 B．動產：財產 C．彎刀：刀 D．串肉扦：鉗子

3．下雨：路滑 正確選項為（）。

A．晴天：太陽 B．傷心：痛苦 C．失望：高興 D．播種：收獲

4．心地：善良 正確選項為（）。

A．干凈：皮膚 B．手指：多少 C．毛衣：絲綢 D．胸懷：寬廣

5．射擊：手槍 正確選項為（）。

A．匕首：刺傷 B．子彈：受傷 C．投擲：石頭 D．失敗：逃避

6．手表：時針自行車： 正確選項為（）。

A．車輪 B．汽車 C．道路 D．騎

7．電燈：照明 正確選項為（）。

A．勞動：手 B．走路：拐杖 C．吃飯：鏝頭 D．鉛筆：寫字

8．河鱸：鱈 正確選項為（）。

A．醬油：食鹽 B．樹棲動物：兩棲動物

C．雙輪馬車：手推車 D．房間：大廳

9．相信：信任 正確選項為（）。

A．真誠：誠懇 B．罪犯：犯罪 C．游戲：電視 D．語言：說話

10．兄：弟 正確選項為（）。

A．姐：妹 B．父：子 C．祖：孫 D．侄子：叔父

1.發奮：成功

A.啤酒：糧食

B.飲料：礦泉水 C.動物：猴子

D.自滿：失敗

2.火車：鐵路

A.飛機：航班

B.大橋：河流 C.汽車：公路

D.電話：通信

3.鳥：蛋

A.魚：卵

B.橡樹：楊樹 C.蕪菁：蘿卜

D.山楂：柿子

4.石家莊:烏魯木齊重慶：

A.河北

B.上海 C.印度

D.武漢

A.細菌：生物

C.糧食：玉米

5.馬：動物

蘋果：桃子 山羊：玩具

B.D.

第二篇：比熱容 典型例題解析

比熱容

典型例題解析

【例1】下列說法正確的是

[

] A．質量相同的水和煤油，吸收相同的熱量后，煤油溫度升高的比水大

B．一杯水倒出一半后其質量減小為原來的小為原來的1212，則其比熱容也減

C．質量相同，溫度相同，吸收熱量多的物質比熱容大 D．比熱容大的物質吸收的熱量一定多

解析：根據比熱容是物質的一種性質，與物質的種類、物態有關，而與質量、體積、溫度的變化及吸收或放出熱量的多少無關，所以選項B和C都不對．又根據比熱的物理意義可知，在質量相同、溫度升高的度數相同時，比熱容大的物質吸收的熱量較多，而D選項中缺少條件，所以D不正確．由于水的比熱大于煤油的比熱容，根據上面分析可知A正確．

【例2】冬天，暖氣系統中往往用熱水慢慢地流過散熱器，利用水溫度降低時放出的熱來取暖，其中選用熱水而不選用其他液體的主要原因是

[

] A．水比其他液體流動性大 B．水比其他液體價格便宜 C．水比其他液體的比熱容大

D．水比其他液體來源廣、無污染

解析：水的比熱容是比較大的，其他液體的比熱容都比水的比熱容小．如果水的質量和其他液體質量相同，溫度變化相同時，比熱容較大的水放出的熱量多，取暖效果好．

【例3】0℃的水全部凝固成0℃的冰，則

[

] A．冰的熱量少

B．0℃的冰比0℃的水溫度低 C．水的熱量少

D．冰的比熱容比水小

點撥：一般在物質發生物態變化時，由于物質的內部結構發生了改變，物質的比熱容特性、密度特性也會相應地變化．

參考答案：D 【例4】在夏日陽光照射下，游泳池中的水較清涼，而池邊的水泥地卻被曬得燙人，其中一個重要原因是

[

] A．水泥地比較大 B．水的比熱容較大 C．水的比熱容較小 D．水泥地的熱量多

點撥：水的比熱容較大，質量初溫相同的水和水泥地面在吸收相同的熱量后，水的溫度升高較小．

參考答案：B

跟蹤反饋

1．關于比熱容，下列說法正確的是

A．物質的比熱容跟它吸收的熱量有關 B．物質的比熱容跟濕度有關

C．物質的比熱容跟它放出的熱量有關 D．物質的比熱容是物質本身的一種特性

2．沙漠地區為什么會有“早穿皮襖午披紗”的奇特現象．參考答案

1．D 2．沙石的比熱容小

[

]

第三篇：電磁感應現象典型例題解析

電磁感應現象·典型例題解析

【例1】

如圖17－1所示，P為一個閉合的金屬彈簧圓圈，在它的中間插有一根條形磁鐵，現用力從四周拉彈簧圓圈，使圓圈的面積增大，則穿過彈簧圓圈面的磁通量的變化情況________，環內是否有感應電流________．

解析：本題中條形磁鐵磁感線的分布如圖所示(從上向下看)．磁通量是穿過一個面的磁感線的多少，由于進去和出來的磁感線要抵消一部分，當彈簧圓圈的面積擴大時，進去的磁感條數增加，而出來的磁感線條數是一定的，故穿過這個面的磁通量減小，回路中將產生感應電流．

點撥：會判定合磁通量的變化是解決此類問題的關鍵． 【例2】

如圖17－2所示，線圈面積為S，空間有一垂直于水平面的勻強磁場，磁感強度為B特斯拉，若線圈從圖示水平位置順時針旋轉到與水平位置成θ角處(以OO’為軸)，線圈中磁通量的變化量應是________Wb，若旋轉180°，則磁通量的變化量又為________Wb．

解析：開始位置，磁感線垂直向上穿過線圈，Φ＝BS，轉過θ時，由B．S關系有Φ2＝BScosθ，故ΔΦ＝BS(1－cosθ)當轉過180°時，此時，Φ2＝BS，不過磁感線是從線圈另一面穿過∴ΔΦ＝2BS 點撥：有相反方向的磁場穿過某一回路時，計算磁通量必須考慮磁通量的正負．

【例3】

如圖17－3所示，開始時矩形線圈與磁場垂直，且一半在勻強磁場內，一半在勻強磁場外．若要線圈產生感應電流，下列方法可行的是

[

] A．將線圈向左平移一小段距離 B．將線圈向上平移

C．以ad為軸轉動(小于90°)D．以ab為軸轉動(小于60°)E．以dc為軸轉動(小于60°)點撥：線圈內磁通量變化是產生感應電流的條件 參考答案：ACD 【例4】

如圖17－4所示裝置，在下列各種情況中，能使懸掛在螺線管附近的銅質閉合線圈A中產生感應電流的是

[

] A．開關S接通的瞬間

B．開關S接通后，電路中電流穩定時

C．開關S接通后，滑線變阻器觸頭滑動的瞬間 D．開關S斷開的瞬間

點撥：電流變化時能引起它產生的磁場變化． 參考答案：ACD

跟蹤反饋

1．一個十分靈敏的電流表和一個線圈組成閉合電路，當把它們移近一個正在發光的電燈泡時，靈敏電流表的指針是否運動？

2．宇航員來到一個不熟悉的星球上，他想用已知靈敏電流計和一個線圈探測一個行星上是否有磁場，應該怎么做？ 3．如圖17－5所示，在垂直紙面向里的勻強磁場中，有兩條平行導軌MN、PQ，它們的一端接有一個電阻R，其間還有一個閉合導線框abcd且MN、PQ與abcd均在同一平面內，都與磁場方向垂直，當abcd向右滑動時(框與軌接觸良好)(1)在abcd中有無閉合的電流？(2)ad、bc有無感應電流？(3)有無電流通過電阻R，為什么？

4．在地球附近的磁感應強度大約為0.5×10-4T，將一個2m2的線框放在地面上，通過它的磁通量可能為

[

] A．1.0×10-4Wb B．0 C．0.5×10-4Wb D．2.0×10-4Wb

參考答案

1．擺動；2．將線圈與靈敏電流計構成回路，然后將線圈向各個方向來回擺動．若靈敏電流計指針擺動，則有磁場；3．(1)無；(2)有；(3)有；(4)ABC．

第四篇：排列典型例題解析(一)

排列典型例題解析

（一）【例1】寫出從4個不同元素a，b，c，d中任取3個元素的所有排列，并指出有多少種不同的排列.分析：列舉法是解排列組合題的常用方法.解：abc acb bca bac cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bdc cbd cdb dbc dcb共24種.說明：只有當元素完全相同，并且排列順序也完全相同時，才是同一排列，元素完全不同或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列都不是同一排列.【例2】計算下列各題.（1）A;(2)A;(3)21566An-1? An-mAn-1n-1m-1n?m;(4)1!+2·2!+3·3!+?+n·n!;(5)

12!?23!?34!?????n?1n!.分析：準確掌握好排列數公式是順利進行計算的關鍵.2解：（1）A15=15×14=210.(2)A6=6×5×4×3×2×1=720.6(3)原式==(n?1)!(n?m)!(n?1)![n?1?(m?1)]!·(n－m)!·

11(n?1)!

·(n－m)!·

(n?1)!=1.(4)原式=(2!－1!)+(3!－2!)+(4!－3!)+?+ [(n+1)!－n!]=(n+1)!－1!.(5)n?1n!11!=nn!－+1n!12!=

1(n?1)!－

1n!1，+?+

1(n?1)!原式=－12!－

13!+

13!－

4!－

1n!=1－

1n!.說明：本題（4）、（5）相當于數列求和問題，要根據通項靈活拆項，靈活運用下列公式： n!=n(n－1)!，n·n!=(n+1)!－n!，3【例3】解方程：A42x?1=140Ax.n?1n!=

1(n?1)!－

1n!，可以使問題解決得簡單快捷.分析：利用排列數公式將方程轉化為關于x的代數方程即可求解.解：根據原方程，x(x∈N*)應滿足?根據排列數公式，原方程化為

（2x+1)·2x·(2x－1)(2x－2)=140x·(x－1)·(x－2).∵x≥3，兩邊同除以4x(x－1)，得（2x+1)(2x－1)=35(x－2)，即4x2－35x+69=0.解得x=3或x=5∴原方程的解為x=3.說明：定義域是靈魂，對于排列數Amn要注意n、m∈N*，m≤n.34?2x?1?4,?x?3.解得x≥3.（因x為整數，應舍去）.xx?2【例４】解不等式：A9>6A9.分析：利用排列數公式將不等式轉化為關于x的不等式即可求解.解：原不等式即9!(9?x)!>

26?9!(9?x?2)!，其中2≤x≤9，x∈N*，即(11－x)(10－x)>6，∴x－21x+104>0.∴(x－8)(x－13)>0.∴x<8或x>13.但2≤x≤9，x∈N*，2≤x<8，x∈N*，故x=2，3，4，5，6，7.說明：有關以排列、組合（下一節將學到）公式形式給出的方程、不等式，應根據有關公式轉化為一般方程、不等式，再求解.但應注意其中的字母都必須是滿足條件的自然數，不要忽視這一點.【例5】6個人站成前后兩排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有（）A.30種

B.360種

C.720種

D.1440種 分析：本題是排列問題，表面上看似乎帶有附加條件，但實際上這和六個人站成一排照相一共有多少種不同排法的問題完全相同.解：不同的排法總數為A6=6×5×４×3×2×1=720(種）.6說明：我們要從事件的本質入手，抓住模型本質，不能只看表象.【例6】a，b，c，d，e，f六人排一列縱隊，限定a要排在b的前面（a與b可以相鄰，也可以不相鄰），求共有幾種排法.對這個題目，A、B、C、D四位同學各自給出了一種算式： A的算式是121111144A66；B的算式是（A1+A2+A3+A4+A5）A4；C的算式是A6；D的算式是15A44.上面四個算式是否正確？正確的加以解釋；不正確的說明理由.分析：解答排列題往往是一人一法，我們要從多角度思考，從不同角度分析問題.解：A中很明顯，“a在b前的六人縱隊”的排隊數目與“b在a前的六人縱隊”排隊數目相等，而“六人縱隊”的排法數目應是這二者數目之和.這表明A的算式正確.B中把六人排隊這件事劃分為a占位，b占位，其他四人占位這樣三個階段，然后用乘法求出總數，注意到“占位的狀況決定了b占位的方法數，第一階段，當a占據第一個位置時，b占位的方法數是A15，當a占據第2個位置時，b占位的方法數是A14，??當a占據第5個位置時，b占位的方法數是A1b占位后，再排其他四人，他們有A41，當a、4種排法，可見B的算式是正確的.4C中的A6可理解為從6個位置中選4個位置讓c，d，e，f占據.這時，剩下的兩個位置依前后順序應是a，b的.因此C的算式也正確.D中把6個位置先圈定兩個位置的方法數為C6；這兩個位置讓a、b占據，顯然，a、b占據這兩個圈定的位置的方法只有一種（a要在b的前面），這時，再排其余四人，又有A44種排法.可見，D的算式是對的.（下一節組合學完后，可回過頭來學習D的解法）上面四個算式都正確.說明：解答排列、組合題要注意一題多解的練習.【例7】八個人分兩排坐，每排四人，限定甲必須坐在前排，乙、丙必須坐在同一排，共有多少種安排辦法？

分析：對于排列問題我們往往直接考慮“甲必須坐在前排，乙、丙必須坐在同一排”，也可以間接考慮其反面.解法一：可分為“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙坐在后排，甲坐在前排的八人坐法”兩類情況.應當使用加法原理，在每類情況下，劃分“乙、丙坐下”“甲坐下”“其他五人坐下”三個步驟，又要用到分步計數原理，這樣可有如下算法：A2A1A5+A2A1A5=8640（種）.425445解法二：采取“總方法數減去不合題意的所有方法數”的算法.把“甲坐在第一排的八人坐法數，看成“總方法數”，這個數目是A1A7；在這種前提下，不合題意的方法是“甲47坐第一排，且乙、丙分坐兩排的八人坐法”.這個數目是A1C1A13A1A5.其中第一個因數4245A1表示甲坐在第一排的方法數，C1表示從乙、丙中任選一人的方法數，A13表示把選出的42這個人安排在第一排的方法數，下一個A14則表示乙、丙中尚未安排的那個人坐在第二排的方法數，A55就是其他五人的坐法數，于是總的方法數為

711115A14A7－A4C2A3A4A5=8640（種）.說明:直接法與間接法是我們考慮問題的兩種常見思維方式，我們要根據情況合理選擇.【例8】某一天的課程表要排入政治、語文、數學、物理、體育、美術共六節課，如果第一節不排體育，最后一節不排數學，那么共有多少種不同排課程表的方法？

分析：對于“第一節不排體育，最后一節不排數學”這一限制條件，正難則反，適合用間接法考慮.解法一：6門課總的排法是A6其中不符合要求的可分為：體育排在第一節有A56，5種排法，如圖10－2－4中Ⅰ；數學排在最后一節有A55種排法，如圖10－2－4中Ⅱ，但這兩種方法，都包括體育排在第一節，數學排在最后一節，如圖10－2－4中Ⅲ，這種情況有A44種

54排法.因此符合條件的排法應是A66－2A5+A4=504（種）.Ⅰ ⅢⅡ 圖10－2－4 說明：解答排列、組合題用間接法要注意不重復也不遺漏.【例9】三個女生和五個男生排成一排，（1）如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？（2）如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？

（3）如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？

（4）如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？

分析：解決排列、組合（組合下一節將學到，由于規律相同，順便提及，以下遇到也同樣處理）應用問題最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法.若以位置為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其他位置.有兩個以上約束條件，往往先考慮一個約束條件的同時要兼顧其他條件.若以元素為主，需先滿足特殊元素的要求，再處理其他的元素.解：（1）（捆綁法）因為三個女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同五個男生合在一起共有六個元素，排成一排有A6種不同排法.對于其中的每一種排法，6三個女生之間又都有A3種不同的排法，因此共有A6·A3=4320種不同的排法.363（2）（插空法）要保證女生全分開，可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空擋，這樣共有4個空擋，加上兩邊兩個男生外側的兩個位置，共有六個位置，再把三個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰.由于五個男生排成一排有A5種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個位置553中選出三個來讓三個女生插入都有A36種方法，因此共有A5·A6=14400種不同的排法.（3）法一：（位置分析法）因為兩端不能排女生，所以兩端只能挑選5個男生中的22個，有A5種不同排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有A66種排法，所以共有2A5·A66=14400種不同的排法.法二：（間接法）3個女生和5個男生排成一排共有A8從中扣除女生排8種不同的排法，17在首位的A13A77種排法和女生排在末位的A3A7種排法，但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時被扣去一次，在扣除女生排在末位的情況時又被扣去一次，所以還需加一次回來.由于兩端都是女生有A262A13A77+A3A6=14400種不同的排法.23A

66種不同的排法，所以共有A

88－法三：（元素分析法）從中間6個位置中挑選出3個來讓3個女生排入，有A36種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余5個位置又都有A55種不同的排法，所以共有5A36A5=14400種不同的排法.（4）法一：因為只要求兩端不都排女生，所以如果首位排了男生，則末位就不再受條

1件限制了，這樣可有A15A77種不同的排法；如果首位排女生，有A3種排法，這時末位就只

17116能排男生，這樣可有A13A15A66種不同的排法，因此共有A5A7+A3A5A6=36000種不同的排法.2法二：3個女生和5個男生排成一排有A8種排法，從中扣去兩端都是女生的排法A3A6862種，就能得到兩端不都是女生的排法種數A8－A3A6=36000種不同的排法.86說明：間接法有的也稱做排除法或排異法，有時用這種方法解決問題簡單、明快.捆綁法、插入法對于有的問題確是適當的好方法，要認真搞清在什么條件下使用，相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插入法.【例10】排一張有5個歌唱節目和4個舞蹈節目的演出節目單.（1）任何兩個舞蹈節目不相鄰的排法有多少種？（2）歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的方法有多少種？ 分析：本題有限制條件，是“不相鄰”，可以采用插空法.解：（1）先排歌唱節目有A5種，歌唱節目之間以及兩端共有6個空位，從中選4個放544入舞蹈節目，共有A6種方法，所以任兩個舞蹈節目不相鄰的排法有A5·A6=43200種方5法.（2）先排舞蹈節目有A44種方法，在舞蹈節目之間以及兩端共有5個空位，恰好供

545個歌唱節目放入有A55種方法，所以歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的排法有A4·A5=2880種方法.說明：對于“不相鄰”排列問題，我們往往先排無限制條件元素，再讓有限制元素插空排列.否則，若先排有限制元素，再讓無限制條件元素插空排時，往往有限制元素有相鄰情

4況.如本題（2）中，若先排歌唱節目有A55，再排舞蹈節目有A6，這樣排完之后，其中含有歌唱節目相鄰的情況，不符合間隔排列的要求.【例11】用0到9這十個數字，可組成多少個沒有重復數字的四位偶數？

分析：這一問題的限制條件是：①沒有重復數字;②數字“0”不能排在千位數上;③個位數字只能是0、2、4、6、8.從限制條件入手，可劃分如下：

如果從個位數入手，四位偶數可分為：個位數是“0”的四位偶數；個位數是2、4、6、8的四位偶數.這是因為零不能放在千位數上，由此得解法一和解法二.如果從千位數入手，四位偶數可分為：千位數是1、3、5、7、9和千位數是2、4、6、8兩類，由此得解法三.如果四位數劃分為四位奇數和四位偶數兩類，先求出四位奇數的個數，用排除法，得解法四.解法一：當個位數上排“0”時，千位、百位、十位上可以從余下的九個數字中任選三個來排列，故有A39個；

當個位上在“2、4、6、8”中任選一個來排，則千位上從余下的八個非零數字中任意選

12一個，百位、十位上再從余下的八個數字中任選兩個來排，按分步計數原理有A14A8A8個.112沒有重復數字的四位偶數有A39+A4A8A8=504+1792=2296（個）.解法二：當個位數字排0時，同解法一有A3個；當個位數字是2、4、6、8之一時，9千位、百位、十位上可從余下的九個數字中任選三個的排列中減去千位數是“0”的排列數，2得A1（A3－A8）個.492沒有重復數字的四位偶數有A3+A1（A3－A8）=504+1792=2296（個）.949解法三：千位數上從1、3、5、7、9中任選一個，個位數上從0、2、4、6、8中任選一

2個，百位、十位上從余下的八個數字中任選兩個作排列，有A15A15A8個；

千位數上從2、4、6、8中任選一個，個位數上從余下的四個偶數中任選一個（包括0

2在內），百位、十位上從余下的八個數字中任意選兩個作排列，有A1A1A8個.4422沒有重復數字的四位偶數有A15A15A8+A1A1A8=2296（個）.44解法四：將沒有重復數字的四位數劃分為兩類：四位奇數和四位偶數.沒有重復數字的4四位數有A10－A3個.92411其中四位奇數有A15（A13－A8）個，沒有重復數字的四位偶數有A10－A39－A5（A32－A8）=2296（個）.說明：這是典型的簡單具有條件的排列問題，上述四種解法是最基本、常見的解法，要認真體會每種解法的實質，掌握其解答方法，以期靈活運用.【例12】在3000與8000之間，（1）有多少個沒有數字重復且能被5整除的奇數？（2）有多少個沒有數字重復的奇數？

分析：本題關鍵是按所求條件進行準確分類.解：（1）能被5整除的奇數，個位上只能是5，按條件千位上可以是3、4、6、7中的2任意一個，其余兩個數字可以是余下數字中的任意兩個，共有4×A8=224（個）.（2）法一：按題目要求，個位可以是1、3、5、7、9中的任意一個，千位上可以是3、4、5、6、7中的任意一個.因為個位數字與千位數字不能重復，所以可分以下兩類：

2第一類：個位是1、9，千位可以是3、4、5、6、7中的任意一個，這樣的奇數有5A8A12=560（個）；

第二類：個位是3、5、7，千位是4、6或3、5、7中與個位不重復的數字中的任意一

2個，滿足上述條件的奇數有3A12A8=672（個）.212由分步計數原理，知所求奇數為5A8A12+3 A2A8=560+672=1232.法二：按千位數字分類：第一類：千位是4、6中的一個，那么個位可以是1、3、5、7、129中的任一個，這樣的奇數有A1； 4A5A8=560（個）第二類：千位是3、5、7中的任意一個，個位可以是1、3、5、7、9中與千位數字不重

2復的四個數中的一個，這樣的奇數有A13A1A8=672（個）.422滿足條件的奇數個數為A1A15A8+ A13A1A8 =560+672=1232（個）.44說明：在解答排列、組合問題時，確定不同的分類標準，就會有不同的分類方法，不管怎樣分類，要盡量做到不重不漏.【例13】 一條鐵路原有n個車站，為了適應客運需要，新增加了m個車站(m>1)，客運車票增加了62種，問原有多少個車站？現有多少個車站？

分析：首先由題意列出方程，再根據m、n為整數求出即可.解：原有車站n個，原有客運車票A2種，又現有(n+m)個車站，現有客運車票A2種.n?mn∵A2－A2=62，∴(n+m)(n+m－1)－n(n－1)=62.n?mn∴n=31m－212(m－1)>0，2即62>m－m，∴m－m－62<0.又m>1，從而得出1

1?2249.∴1

當m=3、4、5、6、7、8時，n均不為整數.故只有n=15時，m=2，即原有15個車站，現有17個車站.說明：上題雖是常用解法，但運算量較大，應根據m、n為整數利用整除性來解決.∵(n+m)(n+m－1)－n(n－1)=62，∴m2+2mn－m=62.∴m（m+2n－1)=62.把62分解為1×62（舍去），2×31，由題意知??m?2,?m?2n?1?31或??m?31,?m?2n?1?2.解得??m?2,?m?31,（舍去）.?n?15,n??14??【例14】用0、1、2、3、4五個數字組成沒有重復數字的五位數，并把它們從小到大排列.問23140是第幾個數？

分析：把這些五位數從小到大排列，可先求出比23140小的萬位與千位為1×、20、21的入手，再排萬位與千位為23的.解：分以下幾類：

3①1××××型的五位數有A44=24個;②20×××型的五位數有A3=6個;③21×××型的五位數有A33=6個.這樣，這三類數共36個.在型如23×××的數中，按從小到大的順序分別是：23014、23041、23104、?，可見23140在這一類中，位居第4位.故從小到大算23140是第40個數.說明：本題是一個計數問題，需要按要求細心排列.【例15】用數字0、1、2、3、4、5，（1）可以組成多少個數字不重復的六位數？

（2）試求這些六位數的和.分析：本題關鍵是如何合理安排程序求出這些六位數的和.解：（1）因為0不能作首位，故分兩步，得5A5=600（個），或A6－A5=720－120=600565（個）（即六個元素的全排列，再減去首位是0余下五個元素的全排列）.（2）求這些六位數的和，當然不能把600個數一個一個寫出，再求它們的和，應該像小學生做豎式加法一樣，先個位相加，再十位相加，等等.個位是1的數有4×A4個； 4個位是2的數有4×A4個； 4與上同樣，個位是3、4、5的數均有4×A4個;4個位為0的數有A5個； 5??

個位數字之和為（1+2+3+4+5）·4·A4與上同樣，十位之和為（1+2+3+4+5）·4·A4 4，4，百位數字之和為（1+2+3+4+5）·4·A44，5最高位（十萬位）各數字之和為（1+2+3+4+5）·A55=15·A5.這些六位數的和為

15·A5100000+（1+2+3+4+5）·4·A4=15·A5100000+15 5·4（1+10+100+1000+10000）5··4A44·11111.說明：數字排列是一類典型排列，多掌握些數字排列問題，對其他排列就容易理解了.【例16】從數字0，1，3，5，7中取出不同的三個作系數，可組成多少個不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有實數根的有幾個？

分析：（1）二次方程要求a不為0，故a只能在1，3，5，7中選，b、c沒有限制.（2）二次方程要有實數根，需Δ=b2－4ac≥0，再對c分類討論.2解：a只能在1，3，5，7中選一個有A14種，b、c可在余下的4個中任取2個，有A42種，故可組成二次方程的個數為A14·A4=48個，方程要有實根，需Δ=b2－4ac≥0，c=0，a，b可在1，3，5，7中任取2個，有A24種；c≠0，b只能取5、7，b取5時，a、c只能

2取1、3，共有A22個；b取7時，a、c可取1、3或1、5，有2A2個，故有實根的二次方程22共有A24+A2+2A2=18個.說明：本題第（1）問要注意一元二次方程中二次項系數不為零的限制.本題第（2）問要分c=0和c≠0進行討論，c≠0時，再對b的取值進行二級討論，多次分類討論是排列問題中較高的能力要求.【例17】（2004年遼寧）有兩排座位，前排11個座位，后排 12個座位，現安排2人就座，規定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數是（）A.234

B.346

C.350 分析：本題考查有限制條件的排列組合問題.D.363 解：前后兩排共23個座位，有3個座位不能坐，故共有20個座位兩人可以坐，包括兩人相鄰的情況，共有A2種排法；考慮兩人左右相鄰的情況，若兩人均坐后排，采用捆綁法，20把兩人看成一體，共有11A2種坐法;若兩人坐前排，因中間3個座位不能坐，故只能坐左邊24個或右邊4個座位，共有2×3×A2種坐法.故題目所求的排法種數共有A2－11A2－2×20223×A2=346(種).2答案:B

第五篇：硬水與軟水典型例題解析

硬水與軟水典型例題解析

山東張春蓮

例

1、硬水和軟水的本質區別是（）

A．硬水渾濁，軟水澄清

B．硬水含雜質多，軟水含雜質少

C．硬水是不純凈水，軟水是純凈水

D．硬水含有較多的可溶鈣、鎂化合物，軟水不含或含較少的可溶性鈣鎂化合物 解析：硬水是含有較多可溶性鈣、鎂化合物的水；軟水是不含或含較少可溶性鈣、鎂化合物的水。二者的根本區別是可溶性鈣、鎂化合物的含量。

答案：D

例

2、純水清澈透明、不含雜質，而硬水含較多可溶性鈣和鎂的化合物。現有兩瓶無色液體，分別為純水和硬水，請你參與小雯同學對水的探究，并回答有關問題：

⑴利用吸附、沉淀、過濾和蒸餾等方法可凈化水，其中能降低水的硬度的是⑵區別純水和硬水的方法有多種。小雯采用的方法是：分別取樣于蒸發皿中，加熱蒸干，有固體析出的是硬水。請您設計另一種方法（簡述步驟、現象和結論）。

⑶小雯在做實驗時，發現硬水在加熱的過程中，產生了少量氣體并得到一種難溶性的固體。

【提出猜想】產生氣體可能是二氧化碳；難溶性的固體可能是碳酸鈣。

【設計實驗】

①將生成的氣體通入____________中，觀察到____________的現象，證明產生的氣體是二氧化碳；寫出發生的化學式表達式。

②向這種難溶性的固體中滴入____________，觀察到有大量的氣泡產生，則這種固體可能是碳酸鈣；若這種固體是碳酸鈣，寫出該反應的化學式表達式__________；

【反思】人們在生產、生活中不宜使用硬水，請舉一例說明使用硬水能造成的危害。【反饋與應用】通過上述實驗得到啟發：在工廠里可用除去鍋爐內壁上的水垢。

解析：⑴硬水變軟水即減少水中的可溶性鈣、鎂化合物，其方法有煮沸、暴曬、蒸餾。⑵硬水中的鈣、鎂化合物多，加熱蒸發時會析出較多的固體雜質；同時加肥皂水時也不易起泡。所以，可以用加熱蒸發比較析出固體的多少來區分硬水和軟水，也可以用加肥皂水比較泡沫多少來區分硬水和軟水。①檢驗二氧化碳的方法是將氣體通入澄清石灰水中，若澄清石灰水變渾濁則證明是二氧化碳。②檢驗碳酸根時可加入稀鹽酸觀察是否有氣泡產生，若有再通入澄清石灰水中，若石灰水變渾濁則證明含碳酸根，否則不含。

【反思】硬水中含有較多的鈣、鎂鹽，在加熱時易形成沉淀物，所以水壺底部易結水垢，工石鍋爐若結過多的水垢有發生爆炸的危險；用硬水洗過的衣服會發硬。【反饋與應用】由上述實驗知，水垢的成分中有碳酸鹽，可用稀鹽酸除去。食醋含有醋酸，能和碳酸鹽發生反應，所以家用水壺的水垢可以用食醋浸泡除去。

答案：⑴蒸餾

⑵分別取樣各少量于燒杯中，分別加入少量肥皂水，產生泡沫較多的是純水，無或氣泡較少的是硬水。

⑶ ①澄清石灰水變渾濁CO2+Ca(OH)2→CaCO3+H2O

②稀鹽酸 CaCO3+HCl → CaCl2+H2O+CO2

【反思】：水壺底部的水垢、工廠鍋爐發生爆炸、用硬水洗過的衣服發硬等。

【反饋與應用】：稀鹽酸

例

3、肥皂的主要成分為硬脂酸鈉（C17H35COONa），它與水中的Ca2＋、Mg2＋起反應生

成硬脂酸鈣和硬脂酸鎂沉淀而不能起泡。現有肥皂水溶液和四種等體積的待測溶液：

①蒸餾水；②0.1% CaCl2溶液；③1% CaCl2溶液；④1% MgCl2溶液。試回答：檢驗

這四種溶液應選用的方法是

解析：依據題目提示，若溶液中的Ca2＋、Mg2＋多，則需消耗較多的肥皂才能產生氣泡，若不含或含較少的Ca2＋、Mg2＋則產生氣泡時消耗的肥皂少。

答案：將肥皂水分別逐滴滴入這四種待測溶液并振蕩，根據肥皂水滴入后開始產生泡沫時的不同滴數來區分。