第一篇：高等數學概率統計基礎部分典型例題解析

高等數學（2）概率統計基礎部分典型例題解析

第1章 隨機事件與概率

例1 填空題

（1）設A與B是兩個事件，則P(A)?P(AB)+。

（2）若P(A)?0.4,P(AB)?0.3，則P(A?B)?。

（3）設A,B互不相容，且P(A)?0，則P(BA)?

。解：（1）因為 A?AB?AB，且AB與AB互斥 所以 P(A)?P(AB)+P(AB)應該填寫： P(AB)（2）因為 A?AB?AB，P(AB)?P(A)?P(AB)?0.4?0.3?0.1

P(B)?P(AB)?P(AB)?0.1?0.3?0.4

所以

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.4?0.4?0.1?0.7 應該填寫：0.7（3）因為A,B互不相容，即P(AB)?0 所以 P(BA)?應該填寫： 0

例2 單項選擇題

（1）事件A?B又可表示為（）.A.AB

B.AB

C.A?AB

D.AB?AB

（2）擲兩顆均勻的骰子，事件“點數之和為3”的概率是（）A.***P(AB)P(A)?0

B.C.D.（3）若等式（）成立，則事件A,B相互獨立。

A.P(A?B)?P(A)?P(B)

B.P(AB)?P(A)P(BA)

C.P(B)?P(BA)

D.P(A)?1?P(B)

（4）設A與B是相互獨立的兩個事件，且P(A)?A.1212,P(B)?13，則P(A?B)?（）

B.56

C.23

D.34

解：（1）依定義，事件A?B表示A發生但B不發生，因此A?B也可以表示為A?AB.應該選擇：C（2）基本事件總數為36，點數之和為3的事件有（1，2）和（2，1），即事件數為2，故“點數之和為3”的概率是

236?118。

應該選擇：B（3）因為當式子P(B)?P(BA)時，由乘法公式P(AB)?P(A)P(BA)，得

P(AB)?P(A)P(B)

所以事件A,B相互獨立。應該選擇：C（4）因為A與B是相互獨立，所以由加法公式

P(A?B)?P(A)?P(B)?12?13?56。

應該選擇：B 例3 A,B為兩事件，已知P(A)?P(A?B)，P(AB)。

12,P(B)?13,P(BA)?12，求P(AB)，解 P(AB)?P(A)P(BA)?12?12?1412

?13?14?712P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?

1P(AB)?P(AB)3?4? 1P(B)43例4 已知兩個事件A，B相互獨立，且已知P(A)?0.6，P(B)?0.3，求P(A?B)． 解

由P(B)?0.3，得 P(B)?1?P(B)?1?0.3?0.7

所以 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

?P(A)?P(B)?P(A)P(B)

?0.6?0.7?0.6?0.7?0.88

例5 設P(A)?0.5，P(AB)?0.3，求P(BA)．

解

因為P(BA)?

P(AB)P(A)

A?A(B?B)?AB?AB

P(A)?P(AB)?P(AB)

P(AB)?P(A)?P(AB)

?0.5?0.3?0.2 P(AB)0.2所以 P(BA)???0.4

P(A)0.5

例6 某籃球運動員一次投籃投中籃框的概率為0.8，該運動員投籃4次，⑴ 求投中籃框不少于3次的概率； ⑵ 求至少投中籃框1次的概率。

解 設Ai?{第i次投中}的事件，i?1,2,3,4，P(Ai)?0.8，P(Ai)?0.2相互獨立（1）投中籃框不少于3次的事件可表為 A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4

其概率為

P(A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4)

=P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

=(0.8)4?4?0.2?(0.8)3?0.8192（2）因為，投籃4次均未投中的概率為

P(A1A2A3A4)?(0.2)4?0.0016

所以，至少投中籃框1次的概率為

1?P(A1A2A3A4)?1?0.0016?0.9984

第二篇：高考數學復習概率統計典型例題

高考數學復習概率統計典型例題

例1 下列命題：

(1)3，3，4，4，5，5，5的眾數是5；

(2)3，3，4，4，5，5，5的中位數是4.5；

(3)頻率分布直方圖中每一個小長方形的面積等于該組的頻率；

(4)頻率分布表中各小組的頻數之和等于1

以上各題中正確命題的個數是 [ ]．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

分析：回憶統計初步中眾數、中位數、頻數、頻率等概念，認真分析每個命題的真假．

解：(1)數據3，3，4，4，5，5，5中5出現次數最多3次，5是眾數，是真命題．

(2)數據3，3，4，4，5，5，5有七個數據，中間數據是4不是4.5，是假命題．

(3)由頻率分布直方圖中的結構知，是真命題．

(4)頻率分布表中各小組的頻數之和是這組數據的個數而不是1，是假命題．

所以正確命題的個數是2個，應選B．

例2 選擇題：

(1)甲、乙兩個樣本，甲的樣本方差是0.4，乙的樣本方差是0.2，那么 [ ]

A．甲的波動比乙的波動大；

B．乙的波動比甲的波動大；

C．甲、乙的波動大小一樣；

D．甲、乙的波動大小關系不能確定．

(2)在頻率直方圖中，每個小長方形的面積等于 [ ]

A．組距 B．組數

C．每小組的頻數 D．每小組的頻率

分析：用樣本方差來衡量一個樣本波動大小，樣本方差越大說明樣本的波動越大．

用心 愛心 專心

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解：(1)∵0.4＞0.2，∴甲的波動比乙的波動大，選A．

例3 為了了解中年人在科技隊伍中的比例，對某科研單位全體科技人員的年齡進行登記，結果如下(單位：歲)

44，40，31，38，43，45，56，45，46，42，55，41，44，46，52，39，46，47，36，50，47，54，50，39，30，48，48，52，39，46，44，41，49，53，64，49，49，61，48，47，59，55，51，67，60，56，65，59，45，28．

列出樣本的頻率分布表，繪出頻率分布直方圖．

解：按五個步驟進行：

(1)求數據最大值和最小值：

已知數據的最大值是67，最小值是28

∴最大值與最小值之差為67-28=39

(2)求組距與組數：

組距為5(歲)，分為8組．

(3)決定分點

(4)列頻分布表

用心 愛心 專心

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(5)繪頻率分布直方圖：

例4 某校抽檢64名學生的體重如下(單位：千克)．

列出樣本的頻率分布表，繪出頻率分布直方圖．

分析：對這組數據進行適當整理，一步步按規定步驟進行．

解：(1)計算最大值與最小值的差：48-29=19(千克)

(2)決定組距與組數

樣本容量是64，最大值與最小值的差是19千克，如果取組距為2千克，19÷2=9.5，分10組比較合適．

(3)決定分點，使分點比數據多取一位小數，第一組起點數定為28.5，其它分點見下表．

(4)列頻率分布表．

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(5)畫頻率分布直方圖(見圖3-1)

說明：

長方形的高與頻數成正比，如果設頻數為1的小長方形的高為h，頻數為4時，相應的小長方形的高就應該是4h．

例5 有一個容量為60的樣本，(60名學生的數學考試成績)，分組情況如下表：

(1)填出表中所剩的空格；

(2)畫出頻率分布直方圖．

分析：

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各組頻數之和為60

各組頻率之和為1

解：

因為各小組頻率之和=1

所以第4小組頻率=1-0.05-0.1-0.2-0.3=0.35

所以第4小組頻數=0.35×60=第5小組頻數=0.3×60=18

(2)

例6 某班學生一次數學考試成績的頻率分布直方圖，其中縱軸表示學生數，觀察圖形，回答：

(1)全班有多少學生？

用心 愛心 專心

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(2)此次考試平均成績大概是多少？

(3)不及格的人數有多少？占全班多大比例？

(4)如果80分以上的成績算優良，那么這個班的優良率是多少？

分析：根據直方圖的表示意義認真分析求解．

解：(1)29～39分1人，39～49分2人，49～59分3人，59～69分8人，69～79分10人，79～89分14人，89～99分6人．

共計 1+2+3+8+10+14+6=44(人)

(2)取中間值計算

(3)前三個小組中有1+2+3=6人不及格占全班比例為13.6%．

(4)優良的人數為14+6=20，20÷44=45.5%．

即優良率為45.5%．

說明：頻率分布表比較確切，但直方圖比較直觀，這里給出了直方圖，從圖也可以估計出一些數量的近似值，要學會認識圖形．

例7 回答下列問題：

用心 愛心 專心

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總是成立嗎？

(2)一組數據據的方差一定是正數嗎？

總是成立嗎？

(4)為什么全部頻率的累積等于1？

解：(1)證明恒等式的辦法之一，是變形，從較繁的一邊變到較簡單的一邊．這

可見，總是成立．

順水推舟，我們用類似的方法證明(3)；注意

那么有

(2)對任一組數x1，x2，?，xn，方差

這是因為自然數n＞0，而若干個實數的平方和為非負，那么S2是有可對等于0的

從而x1=x2=?=xn，就是說，除了由完全相同的數構成的數組以外，任何數組的方差定為正數．

用心 愛心 專心

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(4)設一個數組或樣本的容量為n，共分為m個組，其頻數分別為a1，a2，?，am，按規定，有

a1+a2+?+am=n，而各組的頻率分別a1／n，a2／n，?，am／n，因此，有

說明：在同一個問題里，我們處理了同一組數據x1，?，xn有關的兩個數組f1，f2，?，fk和a1，a2，?，am，前者是說：在這組數中，不同的只有k個，而每個出現的次數分別為f1，?，fk；后者則說明這組數所占的整個范圍被分成了m個等長的區間，出現在各個區間中的xi的個數分別為a1，?，am，可見，a1，?，an是f1，?fk的推廣，而前面說過的眾數，不過是其fi最大的那個數．

弄清研究數組x1，?，xn的有關數和概念間的聯系與區別，是很重要的．

例8 回答下列問題：

(1)什么是總體？個體？樣本？有哪些抽樣方法？

(2)反映樣本(或數據)數量水平的標志值有哪幾個？意義是什么？怎樣求？

(3)反映樣本(或數據)波動(偏差)大小的標志值有哪幾個？怎樣求？有什么區別？

(4)反映樣本(或數據)分布規律的數量指標和幾何對象是什么？獲得的一般步驟是什么？

解：這是一組概念題，我們簡略回答：

(1)在統計學里，把要考查對象的全體叫做總體；其中每個考查對象叫個體；從總體中抽出的一部分個體叫做總體的一個樣本；樣本中個體的數目，叫做樣本的容量．

應指出的是，這里的個體，是指反映某事物性質的數量指標，也就是數據，而不是事物本身，因此，總體的樣本，也都是數的集合．

抽樣方法通常有三種：隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣三種，基本原則是：力求排除主觀因素的影響，使樣本具有較強的代表性．

(2)反映樣本(或數據)數量水平或集中趨勢的標志值有三個，即平均數、眾數和中位數．

有時寫成代換形式；

用心 愛心 專心

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有時寫成加權平均的形式：

其中，又有總體平均數(總體中所有個體的平均數)和樣本平均數(樣本中所有個體的平均數)兩種，通常，我們是用樣本平均數去估計總體平均數．且一般說來，樣本容量越大，對總體的估計也就越精確．

(ii)眾數，就是在一組數據中，出現次數最多的數．通常采用爬山法或計票畫“正”法去尋找．(爬山法是：看第一個數出現次數，再看第二、三、??有出現次數比它多的，有，則“爬到”這個數，再往后看??)．

(iii)中位數是當把數據按大小順序排列時，居于中間位置的一個數或兩個數的平均，它與數據的排列順序有關．

此外，還有去尾平均(去掉一個最高和一個最低的，然后平均)、總和等，也能反映總體水平．

(3)反映樣本(數據)偏差或波動大小的標志值有兩個：

(ii)標準差：一組數據方差的平方根：

標準差有兩個優點，一是其度量單位與原數據一致；二是緩解S2過大或過小的現象．方差也可用代換式簡化計算：

(4)反映數據分布規律的是頻率分布和它的直方圖，一般步驟是：

(i)計算極差=最大數-最小數；

用心 愛心 專心

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(iii)決定分點(可用比數據多一位小數的辦法)；

(v)畫頻率分布直方圖．

其中，分布表比較確切，直方圖比較直觀．

說明：此例很“大”，但是必要的，因為，當前大多數的中考題，很重視基本內容的表述，通過“填空”和“選擇”加以考查，我們要予以扎實．而更為重要的，這些概念和方法，正是通過偶然認識必然，通過無序把握有序，通過部分估計整體的統計思想在數學中的實現．

用心 愛心 專心

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第三篇：高等數學經典方法與典型例題歸納

2014年山東省普通高等教育專升本考試

2014年山東專升本暑期精講班核心講義

高職高專類

高等數學

經典方法及典型例題歸納

—經管類專業：會計學、工商管理、國際經濟與貿易、電子商務 —理工類專業：電氣工程及其自動化、電子信息工程、機械設計制造及其自動化、交通運輸、計算機科學與技術、土木工程

2013年5月17日星期五

曲天堯

編寫

一、求極限的各種方法

1．約去零因子求極限

x4?1例1：求極限lim

x?1x?1【說明】x?1表明x與1無限接近，但x?1，所以x?1這一零因子可以約去。

(x?1)(x?1)(x2?1)?lim(x?1)(x2?1)?6=4 【解】limx?1x?1x?12．分子分母同除求極限

x3?x2例2：求極限lim

x??3x3?1【說明】?型且分子分母都以多項式給出的極限,可通過分子分母同除來求。?1?1x3?x21x【解】lim ?lim?x??3x3?1x??3?13x3【注】(1)一般分子分母同除x的最高次方；

??0nn?1ax?an?1x???a0????

(2)limnmm?1x??bx?b???b0?amm?1xn??bnm?nm?n m?n3．分子(母)有理化求極限

例3：求極限lim(x?3?x???2x2?1)

【說明】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式。【解】lim(x?3?x???2x?1)?lim2(x2?3?x2?1)(x2?3?x2?1)x?3?x?122x???

?lim2x?3?x?122x????0

例4：求極限limx?01?tanx?1?sinx 3x2 【解】limx?01?tanx?1?sinxtanx?sinx ?limx?03x3x1?tanx?1?sinx1lim?limx?0tanx?sinx1tanx?sinx1?lim? 33x?0x?024xx1?tanx?1?sinx【注】本題除了使用分子有理化方法外，及時分離極限式中的非零因子是解題的關鍵 ．．．．．．．．．．．4．應用兩個重要極限求極限

sinx11?1和lim(1?)x?lim(1?)n?lim(1?x)x?e，兩個重要極限是lim第一個x?0x??n??x?0xxn重要極限過于簡單且可通過等價無窮小來實現。主要考第二個重要極限。

x1?x?1?例5：求極限lim??

x???x?1??【說明】第二個重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出１，再湊?1，最后湊指數部分。X2x?11??xx22?1??2?2??x?1??2?????lim1??lim1?1??e【解】lim? ?????x?1????x???x?1x???x???x?1?x?1?????2??????1???x?2a?例6：(1)lim?1?2?；(2)已知lim???8，求a。

x???x????x??x?a?xx5．用等價無窮小量代換求極限

【說明】

(1)常見等價無窮小有：

1?x)~e?1, 當x?0 時,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1?cosx~12bx,?1?ax??1~abx； 2x(2)等價無窮小量代換,只能代換極限式中的因式； ．．(3)此方法在各種求極限的方法中應作為首選。．．．．．xln(1?x)?

x?01?cosxxln(1?x)x?x【解】 lim?lim?2.x?01?cosxx?012x2sinx?x例8：求極限lim

x?0tan3x例7：求極限lim

2?1sinx?xsinx?xcosx?112x【解】lim ?lim?lim??lim??322x?0tan3xx?0x?0x?06x3x3x6．用洛必達法則求極限

lncos2x?ln(1?sin2x)例9：求極限lim 2x?0x?0或型的極限,可通過羅必塔法則來求。?0?2sin2xsin2x?2lncos2x?ln(1?sin2x)cos2x1?sinx 【解】lim?lim2x?0x?0x2x【說明】?limsin2x??21??????3 2x?02x?cos2x1?sinx?【注】許多變動上顯的積分表示的極限，常用洛必達法則求解

?例10：設函數f(x)連續，且f(0)?0，求極限limx?0x0(x?t)f(t)dtx0x?f(x?t)dt.【解】 由于?x0f(x?t)dt?x?t?u0?xf(u)(?du)??f(u)du,于是

0xx00xlimx?0?x0(x?t)f(t)dtx0x?f(x?t)dtx?limx?0x?f(t)dt??tf(t)dtx?f(u)du0x

?=limx?00f(t)dt?xf(x)?xf(x)?x=limx?0??x0x0f(t)dt

0f(u)du?xf(x)xf(u)du?xf(x)?=limx?00f(t)dtxx?f(x)=?x0f(u)duf(0)1?.f(0)?f(0)27．用對數恒等式求limf(x)g(x)極限

例11：極限lim[1?ln(1?x)]

x?02x2ln[1?ln(1?x)]x2x【解】 lim[1?ln(1?x)]=limex?0x?0=e4

2ln[1?ln(1?x)]x?0xlim?e2ln(1?x)x?0xlim?e2.【注】對于1型未定式limf(x)?g(x)的極限，也可用公式

limf(x)g(x)(1?)=elim(f(x)?1)g(x)

因為

limf(x)g(x)?elimg(x)ln(f(x))?elimg(x)ln(1?f(x)?1)?elim(f(x)?1)g(x)

1例12：求極限lim3x?0x??2?cosx?x?????1?.3???????2?cosx?xln??3??【解1】 原式?limx?0ex3?2?cosx?ln???13?? ?limx?0x21（??sinx）l（n2?cox）s?ln32?coxs

?lim ?lim2x?0x?0x2x11sixn1???

??lim2x?02?coxsx6e?2?cosx?xln??3??【解2】 原式?limx?0x3?2?cosx?ln???13?? ?lim2x?0xln（1?

?limx?0cosx?1）cosx?113?lim?? x?03x26x28．利用Taylor公式求極限

ax?a?x?2,(a?0).例13 求極限 lim2x?0xx22?1?xlna?lna??(x2)，2【解】 a?exxlna

a?xx22?1?xlna?lna??(x2);

2?x

a?ax?2?x2ln2a??(x2).5 ax?a?x?2x2ln2a??(x2)2?lim?lna.?

lim22x?0x?0xx例14 求極限limx?0【解】 limx?011(?cotx).xx111sinx?xcosx(?cotx)?lim x?0xxxxsinxx3x23x???(x)?x[1???(x2)]3!2!?lim 3x?0x113?)x??(x3)1?lim2!3!3?x?0x3.(9．數列極限轉化成函數極限求解

例15：極限lim?nsin??n???1?? n?n2【說明】這是1形式的的數列極限，由于數列極限不能使用洛必達法則，若直接求有一定難度，若轉化成函數極限，可通過7提供的方法結合羅必塔法則求解。

1??【解】考慮輔助極限lim?xsin?x???x??x2?limex???1??x2?xsin?1?x???lime?y?0?1?1?siny?1??2?yy???e

?161??所以，lim?nsin?n??n??n2?e

?1610．n項和數列極限問題

n項和數列極限問題極限問題有兩種處理方法(1)用定積分的定義把極限轉化為定積分來計算;(2)利用兩邊夾法則求極限.?111????例16：極限lim?22n???n2?22n2?n2?n?1?? ??【說明】用定積分的定義把極限轉化為定積分計算,是把f(x)看成［0,1］定積分。6 1??1?lim?f???n??n???n??2?f??????n?1?n??f????f(x)dx ??0?n????1?111????【解】原式＝lim?222n??n??1??2??n?1???1????1???nn?????n?????? ?????1012?1 dx??ln222?11?x?? ??1?111????例17：極限lim?2n???n2?2n2?n?n?1【說明】(1)該題遇上一題類似，但是不能湊成lim因而用兩邊夾法則求解；

1??1??f???n??n???n??2?f??????n??n??的形式，f?????n??

(2)兩邊夾法則需要放大不等式，常用的方法是都換成最大的或最小的。【解】lim??111????2n???n2?2n2?n?n?1?? ??因為 nn?n2?n1n?12?1n?2nn?122???1n?n2?nn?12

又

limn??n?n2?limn???1

??＝１ ???111????所以 lim?2n???n2?2n2?n?n?111．單調有界數列的極限問題

例18：設數列?xn?滿足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,?)（Ⅰ）證明limxn存在，并求該極限；

n??1?xn?1?xn2（Ⅱ）計算lim??.n???xn?

【分析】 一般利用單調增加有上界或單調減少有下界數列必有極限的準則來證明數列極限的存在.7 【詳解】

（Ⅰ）因為0?x1??，則0?x2?sinx1?1??.可推得 0?xn?1?sinxn?1??,n?1,2,?，則數列?xn?有界.于是 xn?1sinxnsinx?x）（因當x?0時，則有xn?1?xn，可見數列?xn?單??1，xnxnn??調減少，故由單調減少有下界數列必有極限知極限limxn存在.設limxn?l，在xn?1?sinxn兩邊令n??，得 l?sinl，解得l?0，即limxn?0.n??n??11?x?（Ⅱ）因 lim?n?1?n???xn?122xn?sinxn?xn2?，由（Ⅰ）知該極限為1型，?lim??n???xn?1?1??sinx?1?2xx??sinx?x2?1?xlimsinxe???lim?x?0??xx?0?1?lime?x?0x3?e

(使用了洛必達法則)

?16?x?故 lim?n?1?n???xn?2xn1??sinxn?xn2?lim??e6.?n???xn?1

二、常見不定積分的求解方法的討論

0.引言

不定積分是《高等數學》中的一個重要內容，它是定積分、廣義積分、狹積分、重積分、曲線積分以及各種有關積分的函數的基礎，要解決以上問題，不定積分的問題必須解決，而不定積分的基礎就是常見不定積分的解法。不定積分的解法不像微分運算時有一定的法則，它要根據不同題型的特點采用不同的解法，積分運算比起微分運算來，不僅技巧性更強，而且也已證明，有許多初等函數是“積不出來”的，就是說這些函數的原函數不能用初等函數來表示，例如

?1sinx2?xdxdxedx?22?1?ksinx（其中0?k?1）x；；?；lnx等。dx這一方面體現了積分運算的困難，另一方面也推動了微積分本身的發展。同時，同一道題也可能有多種解法，多種結果，所以，掌握不定積分的解法比較困難，下面將不定積分的各種求解方法分類歸納，以便于更好的掌握、運用。

1.不定積分的概念

定義：在某區間I上的函數的全體原函數記為

稱它是函數

f(x)，若存在原函數，則稱f(x)為可積函數，并將f(x)?f(x)dx，為積分符號，ff(x)在區間I內的不定積分，其中?(x)稱為被積函數，x稱為積分變量。

若F(x)為f(x)的原函數，則：

?f(x)dx=F(x)+C(C為積分常數)。

在這里要特別注意，不定積分是某一函數的全體原函數，而不是一個單一的函數，它的幾何意義是一簇平行曲線，也就是說：

d(?f(x)dx)和 dx?f?(x)dx

是不相等的，前者的結果是一個函數，而后者是無窮多個函數，所以，在書寫計算結果時一定不能忘記積分常數。性質：

1.微分運算與積分運算時互逆的。

注：積分和微分連在一起運算時：

d?——————>完全抵消。

?d ——————>抵消后差一常數。

?[f(x)?g(x)]dx=?f(x)dx±?g(x)dx。2.兩函數代數和的不定積分，等于它們各自積分的代數和，即：3.在求不定積分時，非零數可提到積分符號外面，即：

?kf(x)dx=k?f(x)dx(k≠0)。

在這里，給出兩個重要定理：

(1)導數為0的函數是常函數。

(2)若兩函數的導數處處相等，則兩函數相差一個常數。以便于更好的解決一些簡單的不定積分問題。

上面將不定積分的概念以及性質做了簡單的介紹，下面，我們開始討論不定積分的各種求解方法。

2.直接積分法(公式法)從解題方面來看，利用不定積分的定義來計算不定積分是非常不方便的，利用不定積分的運算性質和基本積分公式從而直接求出不定積分，這種方法就是直接積分法(另稱公式法)。

下面先給出基本求導公式：

???1()'??x(1)(kx)'?k

(2)x(3)(5)

11(lnx)'?

(4)(arctanx)'?1?x2 x11(arcsinx)'?(x)'?(6)logaxlna1?x

(7)(9)(11)(ex)'?ex

(8)(sinx)'?cosx

(cosx)'??sinx

(10)(tanx)'?sec2x

(cotx)'??csc2x。

根據以上基本求導公式，我們不難導出以下基本積分表：

10(1)?xdx?kdx?kx?C(k是常數)

(2)?x???1??1?C(???1)

(3)

1dx?x?lnx?C

(4)?1?x2dx?arctanx?C

1(5)1?x2xdx?arcsinx?C

(6)

ax?adx?lna?C

x(7)xdx?e?C

(8)?cosxdx?sinx?C

?e2sinxdx??cosx?C

(10)secxdx?tanx?C

?2csc?xdx??cotx?C。(9)

?(11)下面舉例子加以說明：

2(3x?4x?1)dx 例2.1：

求?解

原式=

=

23x?dx??4xdx??dx

3?x2dx?4?xdx??dx

32xx3(?)?4(?C2)?(x?C3)C

1=

=32x?2x?x?C

注意：這里三個積分常數都是任意的，故可寫成一個積分常數。所以對一個不定積分，只要在最后所得的式子中寫上一個積分常數即可，以后遇到這種情況不再說明。

例2.2：

求?xdx 2x?12dx(x2?1)?1dx=?dx??2解

原式=? 2x?1x?1

=x?arctanx?C

注：此處有一個技巧的方法，這里先稱作“加1減1”法，相當于是將多項式拆分成多個單項式，然后利用基本積分公式計算，下面的例題中還會遇到類似的題型，遇到時具體 11 講解。

直接積分法只能計算較簡單的不定積分，或是稍做變形就可用基本積分表解決的不定積分，對于稍微復雜一點的不定積分便無從下手，所以，下面我們將一一討論其他方法。

3.第一類換元法(湊微法)利用基本積分公式和積分性質可求得一些函數的原函數，但只是這樣遠不能解決問題，如

?sinxcosxdx

2就無法求出，必須將它進行變形，然后就可以利用基本積分公式求出其積分。

如果不定積分

作變量代換u?f(x)dx用直接積分法不易求得，但被積函數可分解為

f(x)?g[?(x)]??(x)，??(x)，并注意到??(x)dx?d?(x)，則可將關于變量x的積分轉化為關于u的積分，于是有

?f(x)dx??g[?(x)]??(x)dx??g(u)du.如果?g(u)du可以求出，不定積分?f(x)dx的計算問題就解決了，這就是第一類

?(x)?u，最后一個等號表示回代換元法(湊微分法)。

注：上述公式中，第一個等號表示換元u??(x).下面具體舉例題加以討論

10dx.(2x?1)例3.1：求?110(2x?1)?dx(2x?1)解

原式=?2110d(2x?1)(2x?1)

=?2

1101u111du???C(2x?1)?C 2x?1?u ?u u?2x?1

22221111對變量代換比較熟練后，可省去書寫中間變量的換元和回代過程。

1d(x).例3.2：求?2x?8x?25解

原式??111?d(x)d(x)22?2x?43(x?4)?9()?11?3?1x?4d()23x?4()?13

1x?4?arctan?C 33 dx例3.3：求?1?x211111??(?)解

? 21?x(1?x)(1?x)21?x1?x11d(1?x)d(1?x)?[???]

??21?x21?x1?x

?1[ln1?x?ln1?x]?C 2

11?x?ln?C 21?x3

dx在這里做一個小結，當遇到形如：?ax2?bx?c的不定積分，可分為以下中情況：

??ax2?bx?c的：

①?大于0時。可將原式化為(x?x1)(x?x2)，2a其中，x、x為x?bx?c?0的兩個解，則原不定積分為： 113 dx1d(x?x1)d(x?x2)?(x?x1)(x?x2)?(x2?x1)[?(x?x1)??(x?x2)]

1x?x1?ln?C

(x2?x1)x?x2

②?等于0時。可利用完全平方公式，然后可化成?(x?k)?2d(x?k)。然后根據?小于0時。形如例4，可先給分母進行配方。然后可根據基本積分公式(4)便可求基本微分公式(2)便可求解。

③解。例3.4： 求?secxdx

dxcosxdxdsinx????1?sin2x 2cosxcosx解

原式??

dsinx??(1?sinx)(1?sinx)

1dsinxdsinx?[???]

2(1?sinx)(1?sinx)

11?sinx?ln?C 21?sinx2

該題也可利用三角函數之間的關系求解：

x?secxtanxsecdx

原式??secx?tanx

1??d(secx?tanx)secx?tanx

?lnsecx?tanx?C.雖然兩種解法的結果不同，但經驗證均為secx的原函數，這也就體現了不定積分的2xdx.cos例3.5：求?解法以及結果的不唯一性。

解

1?cos2x1?cosxdx??2dx?2(?dx??cos2xdx)2

?11dx?cos2xd(2x)??24xsin2x???C 24例3.6：求6sec?xdx.6解

22xdx?secsec??(secx)xdx??(1?tan2x)d(tanx)

24??(1?2tanx?tanx)d(tanx)

2315?tanx?tanx?tanx?C

35注：當被積函數是三角函數的乘積時，拆開奇次項去湊微分。當被積函數為三角函數的偶數次冪時，常用半角公式通過降低冪次的方法來計算；若為奇次，則拆一項去湊微，剩余的偶次用半角公式降冪后再計算。

xdx.100例3.7：求?(x?1)x?1?1dx?解

原式?(x?1)100 22x?11??[?]dx

99100

(x?1)(x?1)x?1?21??[?]dx

99100

(x?1)(x?1)121??[??]d(x?1)9898100(x?1)(x?1)(x?1)15 111?97?98??(x?1)?(x?1)?(x?1)?99?C 974999注：這里也就是類似例2所說的方法，此處是“減1加1”法。

4.第二類換元法

如果不定積分替換?f(x)dx用直接積分法或第一類換元法不易求得，但作適當的變量x??(t)后，所得到的關于新積分變量t的不定積分

?f[?(t)]??(t)dt

可以求得，則可解決設函數?f(x)dx的計算問題，這就是所謂的第二類換元(積分)法。

x??(t)是單調、可導函數，且??(t)?0，又設f[?(t)]??(t)具有原F(t)，則

?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt?F(t)?C?F[?(x)]?C，其中?(x)是x??(t)的反函數。

注：由此可見，第二類換元積分法的換元與回代過程與第一類換元積分法的正好相反。例4.1：求不定積分

?22a?xdx(a?0).解

令2x?asint，則dx?acostdt，t?(??2,?2)，所以

22a(1?cos2t)dt ?2?221aa?(t?sin2t)?C?(t?sintcots)?C

222為將變量t還原回原來的積分變量x，由x?asint作直角三角形，可知a?xdx??acost?acostdt?cost?22a?x，代入上式，得 a?

xxa22?arcsin????C ax?dxax2a22216

2a t 22a?x x 注：對本題，若令x?acost，同樣可計算。

例4.2：求不定積分

?1x?a22dx(a?0).2x?atantdx?att?(??2,?2)，所以 解

令，則sectd，?12dx??atdt??sectdt sec22asectx?a ?lnsect?tant?C1

22?lnx??xa?C

例4.3：求不定積分

?122x?adx(a?0).解

令x?asect，則dx?asect?tantdt，t?(0,?2)，所以

1?asect?tantdx?dt??sectdt 22atantx?a

?lnsect?tant?C1

22?lnx???C xa

注：以上幾例所使用的均為三角代換，三角代換的目的是化掉根式，其一般規律如下：若果被積函數中含有函數中含有

22a?x時，可令x?asint，t?(??2,?2)；如果被積22x?a，可令x?atant，t?(??2,?2)；如果被積函數中含有22x?a；可令x??asect，t?(0,?2).dx例4.4：求不定積分?x?xe?ex

dtdx?解

令t?e(t?0)，則x?lnt，所以，t。

dx??ex?e?x

11??tdt?dt

211?tt?t??arctatn?C

x?arcta?C.en

例4.5：求不定積分

?xdx2?3x2.解

?1dx2??222?3x2?3x2xdx(變形).222?t222??tdt ?令t?2?3x(t?0)，? x.dx33111122??2?3??dt?(?tdt)x?C 原式??32t33關于第二類換元法，就舉些例子說明，具體要多做大量的習題，這樣才能找到該怎么樣換元的感覺，才能更好的掌握這種方法。

5.分部積分法

前面所介紹的換元積分法雖然可以解決許多積分的計算問題，但有些積分，如xxe?dx、?xcosxdx等，利用換元法就無法求解.接下來要介紹另一種基本積分法——分部積分法.設函數u?u(x)和v?v(x)具有連續導數，則d(uv)?vdu?udv移項得到udv?d(uv)?vdu，所以有

?udv?uv??vdu，或

?uv?dx?uv??u?vd.上面兩個式子稱為分部積分公式.利用分部積分公式求不定積分的關鍵在于如何將所給積分

?f(x)dx化成?udv的形式，使它更容易計算.所采用的主要方法就是湊微分法，例如，xxxxxxexdx?xxd?x?dx?x??C?(x?1)?Ceeeeee???

利用分部積分法計算不定積分，選擇好u,v非常關鍵，選擇不當將會使積分的計算變得更加復雜。下面將通過例題介紹分部積分法的應用。

例5.1：求不定積分解

令

?xcosxdx.u?x，cosxdx?dsinx?dv，則

?xcosxdx??xdsinx?xsinx??sinxdx?xsinx?cosx?C

有些函數的積分需要連續多次應用分部積分法。

例5.2：求不定積分

?x2edx.xx2dv?u?解

令edx，則 x和

xx?xd?2xdxeedx.?xe2x?對后面的不定積分再用分部積分法，xxxx?xd?x??C xdxeeee??(運算熟練后，式子中不再指出u和v了)，代入前式即得

2xdx?(?2x?2)?C.xexe?2x注：若被積函數是冪函數(指數為正整數)與指數函數或正(余)弦函數的乘積，可設冪函數為u，而將其余部分湊微分進入微分符號，使得應用分部積分公式后，冪函數的冪次降低一次(冪指相碰冪為u)。

例5.3：求不定積分

?xarctan2xdx2.xxdx?dn，解

令u?arctax2,則

2?xarctanxdx?

xarctanx?xd(arctanx)?22211x?arctanx???(1?)dx

2221?x21x?arctaxn?(x?arctax)n?C

2注：若被積函數是冪指函數與對數函數或反三角函數的乘積,可設對數函數或反三角函數為u，而將冪函數湊微分進入微分號，使得應用分部積分公式后，對數函數或反三角函數消失(冪對角(反三角函數)，對角u).xsinxdx.e例5.4：求不定積分?xsinxdx?sinxde(取三角函數為u)?e?x解

?exsinx??exd(sinx)?exsinx??excosxdx

?exsinx??cosxdex(再取三角函數為u)?exsinx?(excosx??exdcosx)?ex(sinx?cosx)??exsinxdx

x

解得

ex?esinxdx?2(sinx?cosx)?C

注：若被積函數是指數函數與正(余)弦函數的乘積時，u,dv可隨意選取，但在兩次分部積分中，必須選用同類型的u，以便經過兩次分部積分后產生循環式，從而解出所求積分 20(指正余，隨意選).下面將分部積分法關于u,dv的選擇總結成一個表，以便于更好學習，如下：

分類 I

II

III 不定積分類型 u和??的選擇

?p(x)sinxdx

nu?pn(x),???sinx

u?pn(x),???cosx ?p(x)cosxdx

n

xp(x)edx n?

u?pn(x),???ex

?p(x)lnxdx

nu?lnx,???pn(x)u?arcsinx,???pn(x)?p(x)arcsinxdx

n?p(x)arccosxdx

nu?arccosx,???pn(x)

u?arctanx,???pn(x)?p(x)arctannxdx

xe?sinxdx xe?cosxdx

u?sinx,???ex或u?ex,???sinx u?cosx,???ex或u?ex,???cosx

6.結論

上面所介紹的都是常見不定積分的求解方法，根據不同的題的特點采取上述不同的方法，好多題要經過適當變形后才能應用上述方法，有的題經過不同的變形，應用不同的方法，計算結果就會不同。因此，不定積分的計算靈活性很強，必須熟練掌握上述方法，而這就與做大量的練習是密不可分了，題做得多了，自己也就會積累更多的經驗，這樣解起題來才能得心應手，才能熟練自如的應用，而且，定積分、廣義積分、狹積分、重積分、曲線積分以及各種有關積分的函數的各種問題也能迎刃而解。

曲天堯

2013年5月17日于濟南

山東財經大學（燕山校區）

第四篇：應用統計典型例題

關于矩估計與極大似然估計的典型例題 例1，設總體X 具有分布律

23??1X~???22?(1??)(1??)2??

??其中0???1為未知參數。已經取得了樣本值x1?1,x2?2,x3?1，試求參數?的矩估計與極大似然估計。

解：（i）求矩估計量，列矩方程（只有一個未知參數）

E(X)??2?2?2?(1??)?3?(1??)2?3?2??X 43?3?X3?x53??? 得 ?矩?2226（ii）求極大似然估計，寫出似然函數，即樣本出現的概率

L(?)?P(X1?x1,X2?x2,X3?x3)

?P(X1?1,X2?2,X3?1)

?P(X1?1)?P(X2?2)?P(X3?1)??2?2?(1??)??2?2?5(1??)

對數似然

lnL(?)?ln2?5ln??ln(1??)

dlnL(?)51???0 d??1??得極大似然估計為

5??極? 6

例2，某種電子元件的壽命（以

h記）X服從雙參數指數分布，其概率密度為

?1?exp[?(x??)/?],x??f(x)???

?0,其他?其中?，??0均為未知參數，自一批這種零件中隨機抽取n件進行壽命試驗，xx,?,xn.設它們的失效時間分別為1,2（1）求（2）求?，?的最大似然估計量； ?，?的矩估計量。

n解：（1）似然函數，記樣本的聯合概率密度為

L(?，?)?f(x1,x2,?,xn;?，?)??f(xi)

i?1?n1??exp[?(xi??)/?],x1,x2,?,xn????i?1? ?0,其他?n?1?nexp(?(?xi?n?)/?),??x(1)???i?1 ?0,??x(1)?在求極大似然估計時，L(?，?)?0肯定不是最大值的似然函數值，不考

n慮這部分，只考慮另一部分。

取另一部分的對數似然函數

lnL(?,?)??nln??(?xi?n?)/?,??x(1)

i?1

n?xi?n????lnL(?,?)ni?1?????02????? ??lnL(?,?)n??0?????可知關于?，?的駐點不存在，但能判定單調性

?lnL(?,?)n??0知 由???lnL(?,?)??nln??(?xi?n?)/?,??x(1)，i?1n關于?是增函數，故

?極?x(1)??lnL(?,?)n???將之代入到????x?n?ii?1n?2?0中得

??極?x?x(1)

????x?則極(1)，極?x?x(1)一定能使得似然函數達到最大，故?，?的極大似然估計為

????極?x?x(1)? ???x??極(1)

（2）列矩方程組（兩個未知參數）

??1?E(X)??xexp[?(x??)/?]dx?????X?????n??2112222?E(X)?xexp[?(x??)/?]dx?(???)????Xi????ni?1?解出

n?12???(X?X)?矩?ini?1??1n??2??X?(X?X)?i?矩ni?1? 例3，設總體X~U[0,?]，其中??0為未知參數，X1,X2,?,Xn為來自總體X的一組簡單隨機樣本，12大似然估計。

解：似然函數，即樣本的聯合概率密度

nx,x,?,xn為樣本觀察值，求未知參數?的極

?1?n,0?x1,x2,?,xn??L(?)?f(x1,x2,?,xn;?)??f(xi)??? i?1??0,elseL(?)?0肯定不是最大值，考慮另一部分的最大值，取對數似然

lnL(?)??nln?,??x(n)

dlnL(?)n???0 d??知lnL(?)??nln?在??x(n)內是單調遞減的，故?的極大似然估計值為

取x(n)能使得似然函數達到最大，則???x，極大似然估計量為???X ?(n)(n)極極

第五篇：比熱容 典型例題解析

比熱容

典型例題解析

【例1】下列說法正確的是

[

] A．質量相同的水和煤油，吸收相同的熱量后，煤油溫度升高的比水大

B．一杯水倒出一半后其質量減小為原來的小為原來的1212，則其比熱容也減

C．質量相同，溫度相同，吸收熱量多的物質比熱容大 D．比熱容大的物質吸收的熱量一定多

解析：根據比熱容是物質的一種性質，與物質的種類、物態有關，而與質量、體積、溫度的變化及吸收或放出熱量的多少無關，所以選項B和C都不對．又根據比熱的物理意義可知，在質量相同、溫度升高的度數相同時，比熱容大的物質吸收的熱量較多，而D選項中缺少條件，所以D不正確．由于水的比熱大于煤油的比熱容，根據上面分析可知A正確．

【例2】冬天，暖氣系統中往往用熱水慢慢地流過散熱器，利用水溫度降低時放出的熱來取暖，其中選用熱水而不選用其他液體的主要原因是

[

] A．水比其他液體流動性大 B．水比其他液體價格便宜 C．水比其他液體的比熱容大

D．水比其他液體來源廣、無污染

解析：水的比熱容是比較大的，其他液體的比熱容都比水的比熱容小．如果水的質量和其他液體質量相同，溫度變化相同時，比熱容較大的水放出的熱量多，取暖效果好．

【例3】0℃的水全部凝固成0℃的冰，則

[

] A．冰的熱量少

B．0℃的冰比0℃的水溫度低 C．水的熱量少

D．冰的比熱容比水小

點撥：一般在物質發生物態變化時，由于物質的內部結構發生了改變，物質的比熱容特性、密度特性也會相應地變化．

參考答案：D 【例4】在夏日陽光照射下，游泳池中的水較清涼，而池邊的水泥地卻被曬得燙人，其中一個重要原因是

[

] A．水泥地比較大 B．水的比熱容較大 C．水的比熱容較小 D．水泥地的熱量多

點撥：水的比熱容較大，質量初溫相同的水和水泥地面在吸收相同的熱量后，水的溫度升高較小．

參考答案：B

跟蹤反饋

1．關于比熱容，下列說法正確的是

A．物質的比熱容跟它吸收的熱量有關 B．物質的比熱容跟濕度有關

C．物質的比熱容跟它放出的熱量有關 D．物質的比熱容是物質本身的一種特性

2．沙漠地區為什么會有“早穿皮襖午披紗”的奇特現象．參考答案

1．D 2．沙石的比熱容小

[

]