第一篇：電磁感應現象典型例題解析

電磁感應現象·典型例題解析

【例1】

如圖17－1所示，P為一個閉合的金屬彈簧圓圈，在它的中間插有一根條形磁鐵，現用力從四周拉彈簧圓圈，使圓圈的面積增大，則穿過彈簧圓圈面的磁通量的變化情況________，環內是否有感應電流________．

解析：本題中條形磁鐵磁感線的分布如圖所示(從上向下看)．磁通量是穿過一個面的磁感線的多少，由于進去和出來的磁感線要抵消一部分，當彈簧圓圈的面積擴大時，進去的磁感條數增加，而出來的磁感線條數是一定的，故穿過這個面的磁通量減小，回路中將產生感應電流．

點撥：會判定合磁通量的變化是解決此類問題的關鍵． 【例2】

如圖17－2所示，線圈面積為S，空間有一垂直于水平面的勻強磁場，磁感強度為B特斯拉，若線圈從圖示水平位置順時針旋轉到與水平位置成θ角處(以OO’為軸)，線圈中磁通量的變化量應是________Wb，若旋轉180°，則磁通量的變化量又為________Wb．

解析：開始位置，磁感線垂直向上穿過線圈，Φ＝BS，轉過θ時，由B．S關系有Φ2＝BScosθ，故ΔΦ＝BS(1－cosθ)當轉過180°時，此時，Φ2＝BS，不過磁感線是從線圈另一面穿過∴ΔΦ＝2BS 點撥：有相反方向的磁場穿過某一回路時，計算磁通量必須考慮磁通量的正負．

【例3】

如圖17－3所示，開始時矩形線圈與磁場垂直，且一半在勻強磁場內，一半在勻強磁場外．若要線圈產生感應電流，下列方法可行的是

[

] A．將線圈向左平移一小段距離 B．將線圈向上平移

C．以ad為軸轉動(小于90°)D．以ab為軸轉動(小于60°)E．以dc為軸轉動(小于60°)點撥：線圈內磁通量變化是產生感應電流的條件 參考答案：ACD 【例4】

如圖17－4所示裝置，在下列各種情況中，能使懸掛在螺線管附近的銅質閉合線圈A中產生感應電流的是

[

] A．開關S接通的瞬間

B．開關S接通后，電路中電流穩定時

C．開關S接通后，滑線變阻器觸頭滑動的瞬間 D．開關S斷開的瞬間

點撥：電流變化時能引起它產生的磁場變化． 參考答案：ACD

跟蹤反饋

1．一個十分靈敏的電流表和一個線圈組成閉合電路，當把它們移近一個正在發光的電燈泡時，靈敏電流表的指針是否運動？

2．宇航員來到一個不熟悉的星球上，他想用已知靈敏電流計和一個線圈探測一個行星上是否有磁場，應該怎么做？ 3．如圖17－5所示，在垂直紙面向里的勻強磁場中，有兩條平行導軌MN、PQ，它們的一端接有一個電阻R，其間還有一個閉合導線框abcd且MN、PQ與abcd均在同一平面內，都與磁場方向垂直，當abcd向右滑動時(框與軌接觸良好)(1)在abcd中有無閉合的電流？(2)ad、bc有無感應電流？(3)有無電流通過電阻R，為什么？

4．在地球附近的磁感應強度大約為0.5×10-4T，將一個2m2的線框放在地面上，通過它的磁通量可能為

[

] A．1.0×10-4Wb B．0 C．0.5×10-4Wb D．2.0×10-4Wb

參考答案

1．擺動；2．將線圈與靈敏電流計構成回路，然后將線圈向各個方向來回擺動．若靈敏電流計指針擺動，則有磁場；3．(1)無；(2)有；(3)有；(4)ABC．

第二篇：比熱容 典型例題解析

比熱容

典型例題解析

【例1】下列說法正確的是

[

] A．質量相同的水和煤油，吸收相同的熱量后，煤油溫度升高的比水大

B．一杯水倒出一半后其質量減小為原來的小為原來的1212，則其比熱容也減

C．質量相同，溫度相同，吸收熱量多的物質比熱容大 D．比熱容大的物質吸收的熱量一定多

解析：根據比熱容是物質的一種性質，與物質的種類、物態有關，而與質量、體積、溫度的變化及吸收或放出熱量的多少無關，所以選項B和C都不對．又根據比熱的物理意義可知，在質量相同、溫度升高的度數相同時，比熱容大的物質吸收的熱量較多，而D選項中缺少條件，所以D不正確．由于水的比熱大于煤油的比熱容，根據上面分析可知A正確．

【例2】冬天，暖氣系統中往往用熱水慢慢地流過散熱器，利用水溫度降低時放出的熱來取暖，其中選用熱水而不選用其他液體的主要原因是

[

] A．水比其他液體流動性大 B．水比其他液體價格便宜 C．水比其他液體的比熱容大

D．水比其他液體來源廣、無污染

解析：水的比熱容是比較大的，其他液體的比熱容都比水的比熱容小．如果水的質量和其他液體質量相同，溫度變化相同時，比熱容較大的水放出的熱量多，取暖效果好．

【例3】0℃的水全部凝固成0℃的冰，則

[

] A．冰的熱量少

B．0℃的冰比0℃的水溫度低 C．水的熱量少

D．冰的比熱容比水小

點撥：一般在物質發生物態變化時，由于物質的內部結構發生了改變，物質的比熱容特性、密度特性也會相應地變化．

參考答案：D 【例4】在夏日陽光照射下，游泳池中的水較清涼，而池邊的水泥地卻被曬得燙人，其中一個重要原因是

[

] A．水泥地比較大 B．水的比熱容較大 C．水的比熱容較小 D．水泥地的熱量多

點撥：水的比熱容較大，質量初溫相同的水和水泥地面在吸收相同的熱量后，水的溫度升高較小．

參考答案：B

跟蹤反饋

1．關于比熱容，下列說法正確的是

A．物質的比熱容跟它吸收的熱量有關 B．物質的比熱容跟濕度有關

C．物質的比熱容跟它放出的熱量有關 D．物質的比熱容是物質本身的一種特性

2．沙漠地區為什么會有“早穿皮襖午披紗”的奇特現象．參考答案

1．D 2．沙石的比熱容小

[

]

第三篇：《電磁感應現象》說課稿

《電磁感應現象》說課稿

一、教材分析：

1、地位和作用。電磁感應現象是電工基礎第六章第一節內容，是本章的重點內容，本節內容是在學習了電流、磁場、電流的磁效應的基礎上編排的，既是電磁學的基礎知識，又為以后學習交變電流、變壓器奠定基礎。因此，本節課在內容的安排上起承上啟下的作用。此外，電磁感應現象還與人們的生產技術、科學研究有密切的聯系，所以，學習這節課具有廣泛的現實意義。

2、學生基礎：學生在初中物理已經學習過閉合電路的一部分導體在磁場中做切割磁感線運動會產生感應電流，為學習本節課打下了基礎。本節課對此不僅僅做簡單的重復和復習，重要的是在此基礎上擴展提高。

3、教材特點：本節課的一大特點是實驗多，通過實驗讓學生觀察、討論、分析、歸納、總結。我是這樣處理教材的：將本課實驗歸結成三部分，根據磁通發生變化的三種電路來展開教學活動。

4、教學目標：通過以上對學生的基礎和教材的特點的分析制定了以下教學目標。

知識目標：理解電磁感應現象，掌握感應電流產生的條件并熟練應用。

能力目標：培養學生觀察、分析、概括、總結能力，養成科學思維的方法。

5、重、難點：

本節課是在理解電磁感應現象的基礎上，分析、總結出感應電流產生的條件，所以把對電磁感應現象概念的理解和感應電流產生的條件作為本課重點，后者是本課的核心內容，學生獨立完成有一定難度，需要在教師的點撥下共同完成。因此，感應電流產生的條件也是本課的難點，教學時引導學生利用演示和講解，密切聯系舊有的知識，把突破難點的過程當成鞏固和加深對知識的理解應用過程，當成培養學生能力的過程，從而全面達到預期的教學目標。

二、教法

這節課我采用講解、啟發引導的教學方法，通過多媒體教學創設物理情景，激發學生的學習興趣。在整個過程中按照：提出問題—實驗演示—分析歸納—得出結論—鞏固練習的思路進行。教師的實驗的設計成功是關鍵，加上正確、有步驟的引導，使學生積極地發現問題、分析問題、總結問題，目的在于加深學生對重點知識的理解，最重要的是學生通過這個過程潛移默化的感受到“實踐—認識—再實踐—再認識”的認知規律，也充分體現了“教師主導，學生主體”的教學原則。

三、學法

本課所要闡述的內容比較簡單，在老師的引導、啟發下，學生形成觀察、分析、概括、總結的自我探究的學習方法，在最后一步通過三個小實驗總結出結論時，經過老師的點撥，學生要聯系舊有的知識，在此基礎上完成教學任務。

四、教學程序

1、導入：提出問題，設置懸念（從第五章學習了電流的磁效應，知道了電場能產生磁場，磁場能不能產生電場？）學生有了一定的物理基礎，可能已經知道結果了，但是過程怎樣呢？然后做小實驗釋疑。這個實驗現象直觀，學生一下就觀察到了磁場可以產生電場，于是引入新課。做這個小實驗的目的有兩點，1、激發學習興趣，創設物理情境。2、引入新課。接著簡單介紹電磁感應現象發現的歷史背景和重要意義，這樣既可以激發了學生的求知欲望，同時，也完成了本節課的第一個教學內容—電磁感應現象概念的理解。

2、教學目標

通過剛才的實驗學生在理解了概念的基礎上，向學生出示教學目標，讓他們明了本節課的學習目標和學習方法，頭腦中在原有知識的基礎上產生對新知識的渴望。

3、重、難點突破

感應電流產生的條件是本節課的第二個教學內容又是本節課的重點和難點，下面就通過三個實驗來解析重點，突破難點。

（1）微機演示實驗一：閉合電路的一部分導體作切割磁感線運動。

導體靜止、上下、左右運動，學生觀察實驗現象，得出實驗結論。

需要點撥的是：切割磁感線的概念，我是通過分析導體的運動方向與磁感線的位置關系來解釋的。

（2）微機演示實驗二：條形磁鐵相對線圈運動

當磁鐵插進或拔出線圈，靜止不動時觀察實驗現象，得出結論。

（3）微機演示實驗三：導體和磁場不發生相對運動，閉合電路中磁場發生變化。

學生觀察實驗現象，得出結論。

這三個結論很簡單，學生可以單獨完成，這個實驗也可讓學生動手操作。效果：增強他們的實踐操作能力，有利于充分發揮他們的主觀能動性。還可以讓他們感受一下收獲的喜悅。

三個實驗都產生相同的結果—有電流產生。那么感應電流產生的條件是什么？

我是這樣突破的：□它們在演示的過程中發生的共同的本質變化是什么？

這個問題難度較大，由于磁通概念比較抽象，又是前一章的內容，部分學生對磁通概念比較模糊，讓他們從電路圖一下子想到磁通的變化是不容易的，我就從磁感線的變化入手，讓學生比較分析三個實驗，觀察回路中磁感線如何變化，這時候學生思考：穿過某一面積上磁感線的條數用什么表示？自然過渡到磁通的變化。

最后分組討論得出感應電流產生的條件，這樣很好地完成了本節的第二個知識目標。在此過程中也培養了學生觀察、分析、概括、總結的能力，同時也完成了本節課的能力目標。

4、課堂練習（微機顯示）

下面是我設計的一組練習。□□□，前2個習題是基礎性練習，第3個習題是應用性練習。這樣可以突出它的層次性，目的使學生在理解新知的基礎上，能夠正確地、熟練地應用，并使知識順利遷移，更好完成知識目標。

5、小結

小結中我充分體現了學生的主體地位，引導學生自己從知識、方法方面總結，既強化了知識，又培養了學生的歸納、概括能力。

6、布置作業

（在實驗中，當穿過閉合電路的磁通發生變化時，可以觀察到電路中電流表的指針，有時左偏，有時右偏，說明感應電流的方向不同，怎么判斷電流的方向呢？）

要求學生在課后探討，為下節課感應電流方向的判別埋下伏筆。

7、板書

板書的直觀性、全面性、系統性較強，在黑板上保留的時間較長，對學生的視覺刺激作用明顯，便于學生強化記憶。我在設計板書的時倏時候本著條理清晰、重點突出、藝術性強的原則，將板書以表格的形式展現出來。

以上是我對電磁感應現象教材的認識和教學過程的設計，教學中以電磁感應現象概念的理解為基礎，結合學生的思維特點，充分發揮教師的主導作用，以實驗為主線，運用多媒體教學，把傳授知識、培養能力和滲透方法有機地結合在一起，目的在于全方位地培養學生。

第四篇：電磁感應現象教案

電 磁 感 應 現 象

——探究感應電流的產生條件 【教學目標】

一、知識目標：

1、知道什么是電磁感應現象。

2、理解“不論用什么方法，只要穿過閉合電路的磁通量發生變化，閉合電路中就有電流產生”。

3、知道能量守恒定律依然適用于電磁感應現象。

4、了解生活中的電磁感應現象。

二、能力目標：

1、通過實驗的觀察和分析，培養學生運用所學知識，分析問題的能力．

2、培養學生的想象力，鼓勵學生在初中已有的知識基礎上，對可產生電磁現象進行猜想。

三、情感目標：

通過磁生成電實現的曲折道路和對法拉第歷時十年不懈努力終于摘取科學碩果精神的感悟，學習科學家們堅韌不拔和持之以恒的科學探索精神，豐富完善同學們的世界觀。

【教學重點和難點】

教學重點：電磁感應的概念和產生條件。

教學難點：電磁感應的實驗探究以及實驗之間的邏輯關系。【教學方法和手段】

教學方法：實驗探究法、分析法、圖示法。

教學手段：演示實驗、計算機多媒體教學，PPT課件。【課時安排】

1課時 【教具準備】

條形磁鐵、電流表、原副線圈、滑動變阻器、電源、電鍵、導線若干。【教學過程】

一、復習、引入課題 復習：

1、電和磁的知識。磁體周圍存在磁場，如條形磁鐵、U形磁鐵

2、磁感線。

3、磁通量：穿過單位面積上的磁感線條數。（強調：磁通量是表示穿過討論面的磁感線條數的多少．在今后的應用中往往根據穿過面的磁感線條數的多少定性判斷穿過該面的磁通量的大小．）

4、奧斯特實驗 電————磁 電磁效應 引入新課：

奧斯特實驗架起了一座連通電和磁的橋梁，此后人們對電能生磁已深信不疑，但磁能否生電呢？在這個問題上，英國物理學家法拉第堅信：自然界的事物都是相互聯系、相互作用的，電能產生磁，磁也應該能產生電，電與磁決不孤立，有著密切的聯系．為此，他做了許多實驗，把導線放在各種磁場中想得到電流需要一定的條件，他以堅韌不拔的意志歷時10年，終于找到了這個條件，從而開辟了物理學又一嶄新天地．

二、講授新課

1、復習實 驗:閉合電路的一部分導體做切割磁力線運動。

實驗現象分析：（課件展示）

提出問題：導體不動，磁場改變，會不會在電路中產生感應電流呢?

2、通過實驗，探索科學

［探究實驗1］磁鐵插入、抽出或停留在線圈中時，電路中是否產生感應電流？（書本圖4.2-2實驗）

實驗器材：線圈，電流表，導線。

研究對象：由線圈，電流表構成的閉合回路。

磁場提供：條形磁鐵。

觀察實驗，記錄結果。

結 論：條形磁鐵插入或取出時，可見電流表的指針發生偏轉，有感應電流產生；磁鐵與線圈相對靜止時，可見電流表指針不偏轉，無感應電流產生。

教 師：磁鐵靠近和離開線圈的過程中，穿過線圈的磁感線發生了怎樣的變化？ 學 生：（師生討論）對線圈回路，S未變，磁鐵的遠離和靠近，使穿過線圈的磁通量發生變化。當磁鐵靠近線圈的過程中，穿過線圈的磁通量增大；當磁鐵離開線圈的過程中，穿過線圈的磁通量減小。

提出問題：實驗當磁鐵靠近和離開線圈的過程中，穿過線圈的磁通量發生了變化。如果“磁場”和“部分導體”不發生“相對運動”，能不能讓穿過線圈的磁通量發生了變化，在電路中產生電流呢？（學生思考，繼續實驗。）

[探究實驗2］原、副線圈。用開關或滑動變阻器控制一個線圈中的電流，能否在另一個線圈中產生感應電流呢？（書本圖4.2-3實驗）

實驗器材：原、副線圈，電流表，電建，滑動變阻器，電源，導線。

研究對象：線圈B和電流表構成的閉合回路。磁場提供：通電線圈A。

結 論：移動變阻器滑片（或通斷開關），可見，電流表指針偏轉，有感應電流；當A中電流穩定時，電流表指針不偏轉，無感應電流。

教 師：對線圈B，滑片移動或開關通斷，引起A中電流變，則磁場變，穿過B的磁通變，故B中產生感應電流；當A中電流穩定時，磁場不變，磁通不變，則B中無感應電流。

介紹實驗：這是法拉第第一次獲得感應電流的實驗，他的發現具有偶然性。他當時的實驗目的是為了想讓一根通電導線在磁場作用下，使另一根導線中產生電流。為了加強電流的作用，把兩根直導線繞成螺旋線：為了加強電流的磁場作用，讓兩根螺旋導線，繞在一個鐵心上。

提出問題：以上實驗中能產生感應電流的電路有什么特點？學生思考。

產生感應電流條件之一：閉合的電路。

設 疑 ：三次實驗用不同的方法都使閉合電路中產生了感應電流，使閉合電路中產生感應電流的條件到底是什么呢？ 第三個實驗的結論能否解釋前面兩次實驗的現象？ 教

師：請大家思考以上幾個產生感應電流的實例，能否從本質上概括出產生感應電流的條件？（給予充分的時間，啟發學生積極思考，展開觀察、討論）

引導學生從磁通量變化分析：

實驗1中，部分導體切割磁感線，磁場不變，但電路面積變化，從而穿過電路的磁通量變化，從而產生感應電流；

實驗2中，導體插入、拔出線圈，線圈面積不變，但磁場變化，同樣導致磁通量變化，從而產生感應電流；

實驗3中，通斷電的瞬間，滑動變阻器的滑動片迅速滑動的瞬

間，都引起線圈A中電流的變化，最終導致線圈B中磁通量變化，從而產生感應電流。

綜上所述，不同的實驗，其共同處在于：產生感應電流的前提均為穿過

閉合回路的磁通量的變化，只不過引起磁通量變化的原因各不相同。當穿過閉合線圈的磁通量的變化時，閉合線圈中會有電流產生。

3、電磁感應現象和感應電流。

利用磁場產生電流的現象叫做電磁感應現象。由電磁感應現象產生的電流叫做感應電流。

結 論 ：產生感應電流的條件——穿過閉合電路的磁通量發生了變化，閉合電路中產生了感應電流。

教師小結: 只要穿過閉合電路的磁通量發生了變化，閉合電路中就會產生感應電流。

三、隨堂練習

例1：教材“問題與練習”第4題（變化）

矩形線圈ABCD位于通電長直導線附近，線圈與導線在一個平面內，線圈的兩個邊與導線平行。下列哪種情況線圈中產生感應電流？ 例2：列舉生活中應用的感應現象實例。

發電機、話筒、電話機等，都是利用電磁感應原理工作的。

教師補充：發電機，麥克風，磁帶錄音機，漏電保護開關，電磁灶，高頻焊接，磁懸浮列車，金屬探測器，變壓器，防抱死制動系ABS 電磁感應現象的發現，電磁規律認識不斷加深，產生了一系列重大的發明與發現，如：發電機、燈泡，輸電技術......引發了第二次工業革命，開辟了電氣化時代,給人類文明帶來深刻的影響。改變了人類的生活方式及生活質量。在生產和生活有廣泛的應用。

例3：教材P7“做一做”──理想實驗：《搖繩能發電嗎？》（提 示）電流是有能量的。請問“搖繩”中的電能從哪來？

（知識拓展）電磁感應現象中的能量守恒

能量守恒定律是一個普遍定律，同樣適合于電磁感應現象．電磁感應現象中產生的電能不是憑空產生的，它們或者是其它形式的能轉化為電能，或者是電能在不同電路中的轉移．

五、課堂小結：

法拉第的科學實踐告訴我們，任何一位要想獲得成功的科學家和科學工作者，要經得住連續失敗的考驗，要有百折不撓的堅強意志，要堅信這樣一條真理：失敗是成功之母。

六、布置作業：

上網查閱發電機的相關資料。

[課外探究] 閉合電路中有電源就有電流；閉合電路中發生磁通量變化就有電流。從這兩句話中，我們得到什么啟示？！

板書設計

電 磁 感 應 現 象

——探究感應電流的產生條件

一、電磁感應現象和感應電流

二、產生感應電流的條件：

1、演示實驗

結論：

2、演示實驗 結論：

3、演示實驗

結論：

三、驗證性實驗

學 案 電 磁 感 應 現 象

——探究感應電流的產生條件 【教學目標】

一、知識目標：

1、知道什么是電磁感應現象。

2、理解“不論用什么方法，只要穿過閉合電路的磁通量發生變化，閉合電路中就有電流產生”。

3、知道能量守恒定律依然適用于電磁感應現象。

4、了解生活中的電磁感應現象。

二、能力目標：

1、通過實驗的觀察和分析，培養學生運用所學知識，分析問題的能力．

2、培養學生的想象力，鼓勵學生在初中已有的知識基礎上，對可產生電磁現象進行猜想。

三、情感目標：

通過磁生成電實現的曲折道路和對法拉第歷時十年不懈努力終于摘取科學碩果精神的感悟，學習科學家們堅韌不拔和持之以恒的科學探索精神，豐富完善同學們的世界觀。

【教學重點和難點】

教學重點：電磁感應的概念和產生條件。

教學難點：電磁感應的實驗探究以及實驗之間的邏輯關系。［復習鞏固］

1、磁體。

2、磁感線。

3、磁通量。

4、奧斯特實驗 [隨堂練習] 例1：教材“問題與練習”第4題（變化）

矩形線圈ABCD位于通電長直導線附近，線圈與導線在一個平面內，線圈的兩個邊與導線平行。下列哪種情況線圈中產生感應電流？

例2：列舉生活中應用電磁感應現象實例。[達標練習］ 問題與練習: 1、2、5

第五篇：排列典型例題解析(一)

排列典型例題解析

（一）【例1】寫出從4個不同元素a，b，c，d中任取3個元素的所有排列，并指出有多少種不同的排列.分析：列舉法是解排列組合題的常用方法.解：abc acb bca bac cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bdc cbd cdb dbc dcb共24種.說明：只有當元素完全相同，并且排列順序也完全相同時，才是同一排列，元素完全不同或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列都不是同一排列.【例2】計算下列各題.（1）A;(2)A;(3)21566An-1? An-mAn-1n-1m-1n?m;(4)1!+2·2!+3·3!+?+n·n!;(5)

12!?23!?34!?????n?1n!.分析：準確掌握好排列數公式是順利進行計算的關鍵.2解：（1）A15=15×14=210.(2)A6=6×5×4×3×2×1=720.6(3)原式==(n?1)!(n?m)!(n?1)![n?1?(m?1)]!·(n－m)!·

11(n?1)!

·(n－m)!·

(n?1)!=1.(4)原式=(2!－1!)+(3!－2!)+(4!－3!)+?+ [(n+1)!－n!]=(n+1)!－1!.(5)n?1n!11!=nn!－+1n!12!=

1(n?1)!－

1n!1，+?+

1(n?1)!原式=－12!－

13!+

13!－

4!－

1n!=1－

1n!.說明：本題（4）、（5）相當于數列求和問題，要根據通項靈活拆項，靈活運用下列公式： n!=n(n－1)!，n·n!=(n+1)!－n!，3【例3】解方程：A42x?1=140Ax.n?1n!=

1(n?1)!－

1n!，可以使問題解決得簡單快捷.分析：利用排列數公式將方程轉化為關于x的代數方程即可求解.解：根據原方程，x(x∈N*)應滿足?根據排列數公式，原方程化為

（2x+1)·2x·(2x－1)(2x－2)=140x·(x－1)·(x－2).∵x≥3，兩邊同除以4x(x－1)，得（2x+1)(2x－1)=35(x－2)，即4x2－35x+69=0.解得x=3或x=5∴原方程的解為x=3.說明：定義域是靈魂，對于排列數Amn要注意n、m∈N*，m≤n.34?2x?1?4,?x?3.解得x≥3.（因x為整數，應舍去）.xx?2【例４】解不等式：A9>6A9.分析：利用排列數公式將不等式轉化為關于x的不等式即可求解.解：原不等式即9!(9?x)!>

26?9!(9?x?2)!，其中2≤x≤9，x∈N*，即(11－x)(10－x)>6，∴x－21x+104>0.∴(x－8)(x－13)>0.∴x<8或x>13.但2≤x≤9，x∈N*，2≤x<8，x∈N*，故x=2，3，4，5，6，7.說明：有關以排列、組合（下一節將學到）公式形式給出的方程、不等式，應根據有關公式轉化為一般方程、不等式，再求解.但應注意其中的字母都必須是滿足條件的自然數，不要忽視這一點.【例5】6個人站成前后兩排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有（）A.30種

B.360種

C.720種

D.1440種 分析：本題是排列問題，表面上看似乎帶有附加條件，但實際上這和六個人站成一排照相一共有多少種不同排法的問題完全相同.解：不同的排法總數為A6=6×5×４×3×2×1=720(種）.6說明：我們要從事件的本質入手，抓住模型本質，不能只看表象.【例6】a，b，c，d，e，f六人排一列縱隊，限定a要排在b的前面（a與b可以相鄰，也可以不相鄰），求共有幾種排法.對這個題目，A、B、C、D四位同學各自給出了一種算式： A的算式是121111144A66；B的算式是（A1+A2+A3+A4+A5）A4；C的算式是A6；D的算式是15A44.上面四個算式是否正確？正確的加以解釋；不正確的說明理由.分析：解答排列題往往是一人一法，我們要從多角度思考，從不同角度分析問題.解：A中很明顯，“a在b前的六人縱隊”的排隊數目與“b在a前的六人縱隊”排隊數目相等，而“六人縱隊”的排法數目應是這二者數目之和.這表明A的算式正確.B中把六人排隊這件事劃分為a占位，b占位，其他四人占位這樣三個階段，然后用乘法求出總數，注意到“占位的狀況決定了b占位的方法數，第一階段，當a占據第一個位置時，b占位的方法數是A15，當a占據第2個位置時，b占位的方法數是A14，??當a占據第5個位置時，b占位的方法數是A1b占位后，再排其他四人，他們有A41，當a、4種排法，可見B的算式是正確的.4C中的A6可理解為從6個位置中選4個位置讓c，d，e，f占據.這時，剩下的兩個位置依前后順序應是a，b的.因此C的算式也正確.D中把6個位置先圈定兩個位置的方法數為C6；這兩個位置讓a、b占據，顯然，a、b占據這兩個圈定的位置的方法只有一種（a要在b的前面），這時，再排其余四人，又有A44種排法.可見，D的算式是對的.（下一節組合學完后，可回過頭來學習D的解法）上面四個算式都正確.說明：解答排列、組合題要注意一題多解的練習.【例7】八個人分兩排坐，每排四人，限定甲必須坐在前排，乙、丙必須坐在同一排，共有多少種安排辦法？

分析：對于排列問題我們往往直接考慮“甲必須坐在前排，乙、丙必須坐在同一排”，也可以間接考慮其反面.解法一：可分為“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙坐在后排，甲坐在前排的八人坐法”兩類情況.應當使用加法原理，在每類情況下，劃分“乙、丙坐下”“甲坐下”“其他五人坐下”三個步驟，又要用到分步計數原理，這樣可有如下算法：A2A1A5+A2A1A5=8640（種）.425445解法二：采取“總方法數減去不合題意的所有方法數”的算法.把“甲坐在第一排的八人坐法數，看成“總方法數”，這個數目是A1A7；在這種前提下，不合題意的方法是“甲47坐第一排，且乙、丙分坐兩排的八人坐法”.這個數目是A1C1A13A1A5.其中第一個因數4245A1表示甲坐在第一排的方法數，C1表示從乙、丙中任選一人的方法數，A13表示把選出的42這個人安排在第一排的方法數，下一個A14則表示乙、丙中尚未安排的那個人坐在第二排的方法數，A55就是其他五人的坐法數，于是總的方法數為

711115A14A7－A4C2A3A4A5=8640（種）.說明:直接法與間接法是我們考慮問題的兩種常見思維方式，我們要根據情況合理選擇.【例8】某一天的課程表要排入政治、語文、數學、物理、體育、美術共六節課，如果第一節不排體育，最后一節不排數學，那么共有多少種不同排課程表的方法？

分析：對于“第一節不排體育，最后一節不排數學”這一限制條件，正難則反，適合用間接法考慮.解法一：6門課總的排法是A6其中不符合要求的可分為：體育排在第一節有A56，5種排法，如圖10－2－4中Ⅰ；數學排在最后一節有A55種排法，如圖10－2－4中Ⅱ，但這兩種方法，都包括體育排在第一節，數學排在最后一節，如圖10－2－4中Ⅲ，這種情況有A44種

54排法.因此符合條件的排法應是A66－2A5+A4=504（種）.Ⅰ ⅢⅡ 圖10－2－4 說明：解答排列、組合題用間接法要注意不重復也不遺漏.【例9】三個女生和五個男生排成一排，（1）如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？（2）如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？

（3）如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？

（4）如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？

分析：解決排列、組合（組合下一節將學到，由于規律相同，順便提及，以下遇到也同樣處理）應用問題最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法.若以位置為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其他位置.有兩個以上約束條件，往往先考慮一個約束條件的同時要兼顧其他條件.若以元素為主，需先滿足特殊元素的要求，再處理其他的元素.解：（1）（捆綁法）因為三個女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同五個男生合在一起共有六個元素，排成一排有A6種不同排法.對于其中的每一種排法，6三個女生之間又都有A3種不同的排法，因此共有A6·A3=4320種不同的排法.363（2）（插空法）要保證女生全分開，可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空擋，這樣共有4個空擋，加上兩邊兩個男生外側的兩個位置，共有六個位置，再把三個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰.由于五個男生排成一排有A5種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個位置553中選出三個來讓三個女生插入都有A36種方法，因此共有A5·A6=14400種不同的排法.（3）法一：（位置分析法）因為兩端不能排女生，所以兩端只能挑選5個男生中的22個，有A5種不同排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有A66種排法，所以共有2A5·A66=14400種不同的排法.法二：（間接法）3個女生和5個男生排成一排共有A8從中扣除女生排8種不同的排法，17在首位的A13A77種排法和女生排在末位的A3A7種排法，但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時被扣去一次，在扣除女生排在末位的情況時又被扣去一次，所以還需加一次回來.由于兩端都是女生有A262A13A77+A3A6=14400種不同的排法.23A

66種不同的排法，所以共有A

88－法三：（元素分析法）從中間6個位置中挑選出3個來讓3個女生排入，有A36種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余5個位置又都有A55種不同的排法，所以共有5A36A5=14400種不同的排法.（4）法一：因為只要求兩端不都排女生，所以如果首位排了男生，則末位就不再受條

1件限制了，這樣可有A15A77種不同的排法；如果首位排女生，有A3種排法，這時末位就只

17116能排男生，這樣可有A13A15A66種不同的排法，因此共有A5A7+A3A5A6=36000種不同的排法.2法二：3個女生和5個男生排成一排有A8種排法，從中扣去兩端都是女生的排法A3A6862種，就能得到兩端不都是女生的排法種數A8－A3A6=36000種不同的排法.86說明：間接法有的也稱做排除法或排異法，有時用這種方法解決問題簡單、明快.捆綁法、插入法對于有的問題確是適當的好方法，要認真搞清在什么條件下使用，相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插入法.【例10】排一張有5個歌唱節目和4個舞蹈節目的演出節目單.（1）任何兩個舞蹈節目不相鄰的排法有多少種？（2）歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的方法有多少種？ 分析：本題有限制條件，是“不相鄰”，可以采用插空法.解：（1）先排歌唱節目有A5種，歌唱節目之間以及兩端共有6個空位，從中選4個放544入舞蹈節目，共有A6種方法，所以任兩個舞蹈節目不相鄰的排法有A5·A6=43200種方5法.（2）先排舞蹈節目有A44種方法，在舞蹈節目之間以及兩端共有5個空位，恰好供

545個歌唱節目放入有A55種方法，所以歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的排法有A4·A5=2880種方法.說明：對于“不相鄰”排列問題，我們往往先排無限制條件元素，再讓有限制元素插空排列.否則，若先排有限制元素，再讓無限制條件元素插空排時，往往有限制元素有相鄰情

4況.如本題（2）中，若先排歌唱節目有A55，再排舞蹈節目有A6，這樣排完之后，其中含有歌唱節目相鄰的情況，不符合間隔排列的要求.【例11】用0到9這十個數字，可組成多少個沒有重復數字的四位偶數？

分析：這一問題的限制條件是：①沒有重復數字;②數字“0”不能排在千位數上;③個位數字只能是0、2、4、6、8.從限制條件入手，可劃分如下：

如果從個位數入手，四位偶數可分為：個位數是“0”的四位偶數；個位數是2、4、6、8的四位偶數.這是因為零不能放在千位數上，由此得解法一和解法二.如果從千位數入手，四位偶數可分為：千位數是1、3、5、7、9和千位數是2、4、6、8兩類，由此得解法三.如果四位數劃分為四位奇數和四位偶數兩類，先求出四位奇數的個數，用排除法，得解法四.解法一：當個位數上排“0”時，千位、百位、十位上可以從余下的九個數字中任選三個來排列，故有A39個；

當個位上在“2、4、6、8”中任選一個來排，則千位上從余下的八個非零數字中任意選

12一個，百位、十位上再從余下的八個數字中任選兩個來排，按分步計數原理有A14A8A8個.112沒有重復數字的四位偶數有A39+A4A8A8=504+1792=2296（個）.解法二：當個位數字排0時，同解法一有A3個；當個位數字是2、4、6、8之一時，9千位、百位、十位上可從余下的九個數字中任選三個的排列中減去千位數是“0”的排列數，2得A1（A3－A8）個.492沒有重復數字的四位偶數有A3+A1（A3－A8）=504+1792=2296（個）.949解法三：千位數上從1、3、5、7、9中任選一個，個位數上從0、2、4、6、8中任選一

2個，百位、十位上從余下的八個數字中任選兩個作排列，有A15A15A8個；

千位數上從2、4、6、8中任選一個，個位數上從余下的四個偶數中任選一個（包括0

2在內），百位、十位上從余下的八個數字中任意選兩個作排列，有A1A1A8個.4422沒有重復數字的四位偶數有A15A15A8+A1A1A8=2296（個）.44解法四：將沒有重復數字的四位數劃分為兩類：四位奇數和四位偶數.沒有重復數字的4四位數有A10－A3個.92411其中四位奇數有A15（A13－A8）個，沒有重復數字的四位偶數有A10－A39－A5（A32－A8）=2296（個）.說明：這是典型的簡單具有條件的排列問題，上述四種解法是最基本、常見的解法，要認真體會每種解法的實質，掌握其解答方法，以期靈活運用.【例12】在3000與8000之間，（1）有多少個沒有數字重復且能被5整除的奇數？（2）有多少個沒有數字重復的奇數？

分析：本題關鍵是按所求條件進行準確分類.解：（1）能被5整除的奇數，個位上只能是5，按條件千位上可以是3、4、6、7中的2任意一個，其余兩個數字可以是余下數字中的任意兩個，共有4×A8=224（個）.（2）法一：按題目要求，個位可以是1、3、5、7、9中的任意一個，千位上可以是3、4、5、6、7中的任意一個.因為個位數字與千位數字不能重復，所以可分以下兩類：

2第一類：個位是1、9，千位可以是3、4、5、6、7中的任意一個，這樣的奇數有5A8A12=560（個）；

第二類：個位是3、5、7，千位是4、6或3、5、7中與個位不重復的數字中的任意一

2個，滿足上述條件的奇數有3A12A8=672（個）.212由分步計數原理，知所求奇數為5A8A12+3 A2A8=560+672=1232.法二：按千位數字分類：第一類：千位是4、6中的一個，那么個位可以是1、3、5、7、129中的任一個，這樣的奇數有A1； 4A5A8=560（個）第二類：千位是3、5、7中的任意一個，個位可以是1、3、5、7、9中與千位數字不重

2復的四個數中的一個，這樣的奇數有A13A1A8=672（個）.422滿足條件的奇數個數為A1A15A8+ A13A1A8 =560+672=1232（個）.44說明：在解答排列、組合問題時，確定不同的分類標準，就會有不同的分類方法，不管怎樣分類，要盡量做到不重不漏.【例13】 一條鐵路原有n個車站，為了適應客運需要，新增加了m個車站(m>1)，客運車票增加了62種，問原有多少個車站？現有多少個車站？

分析：首先由題意列出方程，再根據m、n為整數求出即可.解：原有車站n個，原有客運車票A2種，又現有(n+m)個車站，現有客運車票A2種.n?mn∵A2－A2=62，∴(n+m)(n+m－1)－n(n－1)=62.n?mn∴n=31m－212(m－1)>0，2即62>m－m，∴m－m－62<0.又m>1，從而得出1

1?2249.∴1

當m=3、4、5、6、7、8時，n均不為整數.故只有n=15時，m=2，即原有15個車站，現有17個車站.說明：上題雖是常用解法，但運算量較大，應根據m、n為整數利用整除性來解決.∵(n+m)(n+m－1)－n(n－1)=62，∴m2+2mn－m=62.∴m（m+2n－1)=62.把62分解為1×62（舍去），2×31，由題意知??m?2,?m?2n?1?31或??m?31,?m?2n?1?2.解得??m?2,?m?31,（舍去）.?n?15,n??14??【例14】用0、1、2、3、4五個數字組成沒有重復數字的五位數，并把它們從小到大排列.問23140是第幾個數？

分析：把這些五位數從小到大排列，可先求出比23140小的萬位與千位為1×、20、21的入手，再排萬位與千位為23的.解：分以下幾類：

3①1××××型的五位數有A44=24個;②20×××型的五位數有A3=6個;③21×××型的五位數有A33=6個.這樣，這三類數共36個.在型如23×××的數中，按從小到大的順序分別是：23014、23041、23104、?，可見23140在這一類中，位居第4位.故從小到大算23140是第40個數.說明：本題是一個計數問題，需要按要求細心排列.【例15】用數字0、1、2、3、4、5，（1）可以組成多少個數字不重復的六位數？

（2）試求這些六位數的和.分析：本題關鍵是如何合理安排程序求出這些六位數的和.解：（1）因為0不能作首位，故分兩步，得5A5=600（個），或A6－A5=720－120=600565（個）（即六個元素的全排列，再減去首位是0余下五個元素的全排列）.（2）求這些六位數的和，當然不能把600個數一個一個寫出，再求它們的和，應該像小學生做豎式加法一樣，先個位相加，再十位相加，等等.個位是1的數有4×A4個； 4個位是2的數有4×A4個； 4與上同樣，個位是3、4、5的數均有4×A4個;4個位為0的數有A5個； 5??

個位數字之和為（1+2+3+4+5）·4·A4與上同樣，十位之和為（1+2+3+4+5）·4·A4 4，4，百位數字之和為（1+2+3+4+5）·4·A44，5最高位（十萬位）各數字之和為（1+2+3+4+5）·A55=15·A5.這些六位數的和為

15·A5100000+（1+2+3+4+5）·4·A4=15·A5100000+15 5·4（1+10+100+1000+10000）5··4A44·11111.說明：數字排列是一類典型排列，多掌握些數字排列問題，對其他排列就容易理解了.【例16】從數字0，1，3，5，7中取出不同的三個作系數，可組成多少個不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有實數根的有幾個？

分析：（1）二次方程要求a不為0，故a只能在1，3，5，7中選，b、c沒有限制.（2）二次方程要有實數根，需Δ=b2－4ac≥0，再對c分類討論.2解：a只能在1，3，5，7中選一個有A14種，b、c可在余下的4個中任取2個，有A42種，故可組成二次方程的個數為A14·A4=48個，方程要有實根，需Δ=b2－4ac≥0，c=0，a，b可在1，3，5，7中任取2個，有A24種；c≠0，b只能取5、7，b取5時，a、c只能

2取1、3，共有A22個；b取7時，a、c可取1、3或1、5，有2A2個，故有實根的二次方程22共有A24+A2+2A2=18個.說明：本題第（1）問要注意一元二次方程中二次項系數不為零的限制.本題第（2）問要分c=0和c≠0進行討論，c≠0時，再對b的取值進行二級討論，多次分類討論是排列問題中較高的能力要求.【例17】（2004年遼寧）有兩排座位，前排11個座位，后排 12個座位，現安排2人就座，規定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數是（）A.234

B.346

C.350 分析：本題考查有限制條件的排列組合問題.D.363 解：前后兩排共23個座位，有3個座位不能坐，故共有20個座位兩人可以坐，包括兩人相鄰的情況，共有A2種排法；考慮兩人左右相鄰的情況，若兩人均坐后排，采用捆綁法，20把兩人看成一體，共有11A2種坐法;若兩人坐前排，因中間3個座位不能坐，故只能坐左邊24個或右邊4個座位，共有2×3×A2種坐法.故題目所求的排法種數共有A2－11A2－2×20223×A2=346(種).2答案:B