第一篇：典型例題

典型例題

一、填空題

1.教育是社會主義現代化建設的基礎，國家保障教育事業優先發展。全社會應當關心和支持教育事業的發展。全社會應當尊重教師。

2.新課程的三維目標是 知識與技能目標、過程與方法目標和情感態度與價值觀目標。

二、單項選擇題（下列所給的選項中，只有一個最符合題目要求）

1.《基礎教育課程改革綱要（試行）》中指出，國家課程標準（A）

A.是教學和命題的依據B.包括教學重點和難點

C.是大多數學生都能達到的最高要求D.是根據專家的意見編制的2.人們常說：“教學有法，而無定法”。這反映了教師勞動具有（B）

A.示范性B.創造性C.間接性D.主體性

三、判斷題（請判斷下列各題的觀點是否正確，正確的打“√”，錯誤的打“”。

1.學生評教是促進教師發展過程中惟一客觀的評價方式。（×）

2.新課程目標取向及精神內核就是以學生的發展為本。（√）

四、簡單題

1.中小學教師的職業道德規范主要涉及哪些方面？

答：愛國守法、愛崗敬業、關愛學生、教書育人、為人師表、終身學習。

2.《中華人民共和國未成年人保護法》規定學校應尊重未成年學生的哪些權利？

答：學校應當尊重未成年學生受教育的權利，關心、愛護學生，對品行有缺點、學習有困難的學生，應當耐心教育、幫助，不得歧視，不得違反法律和國家規定開除未成年學生。

五、案例分析題

學校規定初三學生必須在6點鐘到校參加早自修，作為任課教師第二天與學生一起參與早自修的我在班級中也強調了一下，可是第二天仍有許多學生遲到，我看到這一情況，下令讓遲到的學生在走廊罰站。到了第三天，再也沒有一個學生遲到。還有一次，初三（2）班的一位男同學老是不肯做一周一次的時政作業，每次問他為什么，總都有原因，上次他說忘了，這次又說要點評的報紙沒買，下次他會說作業本沒帶。這樣幾個星期下來，我光火了，不僅讓他在辦公室反思了一刻鐘，寫下保證書，還對他說，“下次再不交作業，甭來上課”，他這才有所收斂。

請從有關師德要求分析“我”的做法，并提出合理解決此類問題的建議。

答：本案主要反映了案例中的“我”以罰代教的教育方法，這明顯違反了新時期我國教師職業道德內容中關于“對待學生”的相應規定，違反了不準以任何借口體罰或變相體罰學生，不準因學生違反紀律而加罰與違反紀律無關的任務等。

這位教師的做法在我們的身邊也有可能出現。面對那些頑皮學生，有的教師可能無計可施。只得用“罰站”、“威脅”來對付他們，取得的效果看似有效，其實學生并非真正地接受，這不是真正的教育。雖然教師的出發點是好的，但這位教師的處理方法與《中小學教師職業道德規范》背道而馳。

教師對學生嚴格要求，要耐心教導，不諷刺、挖苦、歧視學生，不體罰或變相體罰學生，保護學生的合法權益。教師應該采用“說理”教育來對待那些頑皮學生，教師以朋友的身份心平氣和地找那些學生談心，尊重學生的人格，平等、公正地對待學生，多付出一點愛，多花時間在他們身上，當他們感受到老師在關心他們時，相信他們會改正缺點，努力做的更好。

第二篇：典型例題八

典型例題八

例8 設x、y為正數，求證x2?y2?x3?y3．

分析：用綜合法證明比較困難，可試用分析法．

證明：要證x2?y2?x3?y3，只需證(x2?y2)3?(x3?y3)2，即證x6?3x4y2?3x2y4?y6?x6?2x3y3?y6，化簡得3x4y2?3x2y4?2x3y3，x2y2(3x2?2xy?3y2)?0．

∵??4y2?4?3?3y2?0，∴3x2?2xy?3y2?0．

∴x2y2(3x2?2xy?3y2)?0．

∴原不等式成立．

說明：1．本題證明易出現以下錯誤證法：x?y?2xy，x?y?22333

2x23y2，然后分(1)x?y?1；(2)x?y?1；(3)x?1且0?y?1；(4)y?1且0?x?1來討論，結果無效．

2．用分析法證明數學問題，要求相鄰兩步的關系是A?B，前一步是后一步的必要條件，后一步是前一步的充分條件，當然相互為充要條件也可以．

第三篇：JAVA典型例題

一、編寫一個Java類，顯示個人信息 要求：1.類名為：MyInformation。

2.該類具有屬性：學號、姓名、性別、年齡、家庭住址，并且每個屬性的數據類型如下所示。

String String String int

id;

//學生的學號 //學生的姓名 //學生的性別 //學生的年齡

name;sex;age;

String address;//學生的家庭住址

3.在主方法中根據你的個人信息給該類中相應的屬性賦值，并輸出你的個人信息。舉例：

圖1 個人信息顯示界面

二、制作一個簡單的用戶登錄窗體 要求：1.類名為：Login 2.用戶在指定區域輸入用戶名、密碼，單擊“登錄”按鈕提交。如果正確，則輸出“登錄成功，歡迎您的到來”，如果用戶名或密碼不正確，則輸出“對不起，您的用戶名或密碼錯誤”。

3.單擊“重置”按鈕，則清空輸入框及提示信息，用戶可以重新輸入。4.用戶名：szitu，密碼：123456。

5.密碼文本框中的字符以“*”的形式顯示。

6.窗體的標題為“用戶登錄框”，窗體的大小設置為300*200。并對窗體上

的各類控件進行合理布局。

圖2 “用戶登錄框”效果圖

圖3 登錄成功提示信息框

圖4 登錄失敗提示信息框

三、制作一個簡單的帶有菜單的學生信息管理系統主界面 要求：1.類名為StudentFrame 2.菜單應包含用戶管理、信息管理、信息查詢和幫助等。

3.“用戶管理”菜單含有“增加用戶”、“修改用戶”、“刪除用戶”、“退出系統”4個菜單項。

4.“信息管理”菜單含有“增加信息”、“修改信息”、“刪除信息”3個菜單項。

5.“信息查詢”菜單含有“按學號查詢”、“按姓名查詢”2個菜單項。6.“幫助”菜單含有“關于?”1個菜單項。

7.用“分割線”將“用戶管理”中的“退出系統”與其他菜單項分隔開。

8.窗體的標題為“學生信息管理系統主界面”，程序不要求實現每個菜單選．．．項的功能。

圖5 “學生信息管理系統主界面”效果圖

第四篇：《輕重》典型例題

典型例題

例．看圖觀察圖意，誰輕誰重？

分析：首先觀察第一幅圖，一條魚的重量等于兩只螃蟹的重量，可以知道魚比螃蟹重；再觀察第二幅圖，一條魚的重量等于5只蝦的重量，所以魚比蝦重；所以魚是最重的．那么，螃蟹和蝦比較又是誰重誰輕呢？我們可以分析一下，根據“一條魚的重量等于兩只螃蟹的重量”和“一條魚的重量等于5只蝦的重量”，可以推斷出“兩只螃蟹的重量等于5只蝦的重量”，所以螃蟹比蝦要重．

解：魚最重，螃蟹其次，蝦最輕．

選題角度：本題實際上滲透了等量代換的思想，通過練習，可以培養學生初步的推理能力。

第五篇：排列組合典型例題

典型例題一

例1 用0到9這10 個數字．可組成多少個沒有重復數字的四位偶數？

分析：這一問題的限制條件是：①沒有重復數字；②數字“0”不能排在千位數上；③個位數字只能是0、2、4、6、8、，從限制條件入手，可劃分如下：

如果從個位數入手，四位偶數可分為：個位數是“0”的四位偶做，個位數是 2、4、6、8的四位偶數（這是因為零不能放在千位數上）．由此解法一與二．

如果從千位數入手．四位偶數可分為：千位數是1、3、5、7、9和千位數是2、4、6、8兩類，由此得解法三．

如果四位數劃分為四位奇數和四位偶數兩類，先求出四位個數的個數，用排除法，得解法四．

解法1：當個位數上排“0”時，千位，百位，十位上可以從余下的九個數字中任選3個來排列，故有A9個；

當個位上在“2、4、6、8”中任選一個來排，則千位上從余下的八個非零數字中任選一個，百位，十位上再從余下的八個數字中任選兩個來排，按乘法原理有A4?A8?A8（個）．

∴ 沒有重復數字的四位偶數有

1123?2296

A9?A4?A8?A8?504?1792個．

解法2：當個位數上排“0”時，同解一有A9個；當個位數上排2、4、6、8中之一時，千位，百位，十位上可從余下9個數字中任選3個的排列數中減去千位數是“0”排列數得：13A4?(A9?A82)個

3311

2∴

沒有重復數字的四位偶數有

A9?A4?(A9?A8)?504?1792?2296個．

解法3：千位數上從1、3、5、7、9中任選一個，個位數上從0、2、4、6、8中任選一個，百位，十位上從余下的八個數字中任選兩個作排列有

A5?A5?A8個

干位上從2、4、6、8中任選一個，個位數上從余下的四個偶數中任意選一個（包括0在內），百位，十位從余下的八個數字中任意選兩個作排列，有

11A4?A4?A82個 11231

32∴ 沒有重復數字的四位偶數有

A5?A5?A8?A4?A4?A8?2296個．

解法4：將沒有重復數字的四位數字劃分為兩類：四位奇數和四位偶數．

沒有重復數字的四位數有A10?A9個．

其中四位奇數有A5(A9?A8)個

/ 13

***∴ 沒有重復數字的四位偶數有

4313333A10?A9?A5(A9?A82)?10?A9?A9?5A9?5A82

3?4A9?5A82

?36A82?5A82

?41A82

?2296個

說明：這是典型的簡單具有限制條件的排列問題，上述四種解法是基本、常見的解法、要認真體會每種解法的實質，掌握其解答方法，以期靈活運用．

典型例題二

例2 三個女生和五個男生排成一排

（1）如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？

（2）如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？

（3）如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？

（4）如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？

解：（1）（捆綁法）因為三個女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同五個男生合一起共有六個元素，然成一排有A6種不同排法．對于其中的每一種排法，三個女生之間又都有A3對種不同的排法，因此共有A6?A3?4320種不同的排法．

（2）（插空法）要保證女生全分開，可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空檔．這樣共有4個空檔，加上兩邊兩個男生外側的兩個位置，共有六個位置，再把三個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰．由于五個男生排成一排有A5種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個位置中選出三個來讓三個女生插入都有A6種方法，因此共有A5?A6?14400種不同的排法．

（3）解法1：（位置分析法）因為兩端不能排女生，所以兩端只能挑選5個男生中的2個，有A5種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有A6種排法，所以共有6A52?A6?14400種不同的排法． 2635353636

解法2：（間接法）3個女生和5個男生排成一排共有A8種不同的排法，從中扣除女生排在首位的A3?A7種排法和女生排在末位的A3?A7種排法，但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時被扣去一次，在扣除女生排在未位的情況時又被扣去一次，所以還需加一次回來，由于兩端都是女生有A3?A6種不同的排法，所以共有

2617178 2 / 1 8176A8?2A3A7?A32A6?14400種不同的排法．

解法3：（元素分析法）從中間6個位置中挑選出3個來讓3個女生排入，有A6種不同的排法，對于其中的任意一種排活，其余5個位置又都有A5種不同的排法，所以共有35A6?A5?14400種不同的排法，53（4）解法1：因為只要求兩端不都排女生，所以如果首位排了男生，則未位就不再受條件限制了，這樣可有A5?A7種不同的排法；如果首位排女生，有A3種排法，這時末位就只能排男生，有A5種排法，首末兩端任意排定一種情況后，其余6位都有A6種不同的排法，這樣可有A3?A5?A6種不同排法．因此共有A5?A7?A3?A5?A6?36000種不同的排法．

解法2：3個女生和5個男生排成一排有A8種排法，從中扣去兩端都是女生排法A3?A6種，就能得到兩端不都是女生的排法種數．

因此共有A8?A3?A6?36000種不同的排法．

說明：解決排列、組合（下面將學到，由于規律相同，順便提及，以下遇到也同樣處理）應用問題最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法．

若以位置為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位置，有兩個以上約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時要兼顧其它條件．

若以元素為主，需先滿足特殊元素要求再處理其它的元素．

間接法有的也稱做排除法或排異法，有時用這種方法解決問題來得簡單、明快．

捆綁法、插入法對于有的問題確是適用的好方法，要認真搞清在什么條件下使用． ***6171典型例題三

例3 排一張有5個歌唱節目和4個舞蹈節目的演出節目單。

（1）任何兩個舞蹈節目不相鄰的排法有多少種？

（2）歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的方法有多少種？

解：（1）先排歌唱節目有A5種，歌唱節目之間以及兩端共有6個位子，從中選4個放入舞蹈節目，共有A6中方法，所以任兩個舞蹈節目不相鄰排法有：A5A6＝43200.（2）先排舞蹈節目有A4中方法，在舞蹈節目之間以及兩端共有5個空位，恰好供5個歌唱節目放入。所以歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的排法有：A4A5＝2880種方法。

說明：對于“間隔”排列問題，我們往往先排個數較少的元素，再讓其余元素插空排列。否則，若先排個數較多的元素，再讓其余元素插空排時，往往個數較多的元素有相鄰情況。

4545454 3 / 1 如本題（2）中，若先排歌唱節目有A5，再排舞蹈節目有A6，這樣排完之后，其中含有歌唱節目相鄰的情況，不符合間隔排列的要求。

54典型例題四

例4 某一天的課程表要排入政治、語文、數學、物理、體育、美術共六節課，如果第一節不排體育，最后一節不排數學，那么共有多少種不同的排課程表的方法．

分析與解法1：6六門課總的排法是A6，其中不符合要求的可分為：體育排在第一書有A5種排法，如圖中Ⅰ；數學排在最后一節有A5556種排法，如圖中Ⅱ；但這兩種排法，都包括體育排在第一書數學排在最后一節，如圖中Ⅲ，這種情況有A4種排法，因此符合條件的排法應是：

A6?2A5?A4?504（種）．

分析與解法2：根據要求，課程表安排可分為4種情況：

（1）體育、數學既不排在第一節也不排在最后一節，這種排法有A4?A4種；

（2）數學排在第一節但體育不排在最后一節，有排法A4?A4種；

（3）體育排在最后一節但數學不排在第一節，有排法A4?A4種；

（4）數學排在第一節，體育排在最后一節，有排法A這四類排法并列，不重復也不遺漏，故總的排法有：

A4?A4?A4?A4?A4?A4?504（種）．

分析與解法3：根據要求，課表安排還可分下述4種情況：

（1）體育，數學既不在最后也不在開頭一節，有A4?12種排法；

（2）數學排在第一節，體育不排在最后一節，有4種排法；

（3）體育在最后一書，數學木在第一節有4種排法；

（4）數學在第一節，體育在最后一節有1種排法．

上述 21種排法確定以后，僅剩余下四門課程排法是種A4，故總排法數為21A4?504（種）．

下面再提出一個問題，請予解答．

問題：有6個人排隊，甲不在排頭，乙不在排尾，問并肩多少種不同的排法．

請讀者完成此題．

說明：解答排列、組合問題要注意一題多解的練習，不僅能提高解題能力，而且是檢驗所解答問題正確與否的行之有效的方法．

***46544 4 / 1

3典型例題五

例5 現有3輛公交車、每輛車上需配1位司機和1位售票員．問3位司機和3位售票員，車輛、司機、售票員搭配方案一共有多少種？

分析：可以把3輛車看成排了順序的三個空：，然后把3名司機和3名售票員分別填入．因此可認為事件分兩步完成，每一步都是一個排列問題．

解：分兩步完成．第一步，把3名司機安排到3輛車中，有A3?6種安排方法；第二步把3名售票員安排到3輛車中，有A3?6種安排方法．故搭配方案共有

33A3?A3?36種．

33說明：許多復雜的排列問題，不可能一步就能完成．而應分解開來考慮：即經適當地分類成分或分步之后，應用分類計數原理、分步計數原理原理去解決．在分類或分步時，要盡量把整個事件的安排過程考慮清楚，防止分類或分步的混亂．

典型例題六

例6 下是表是高考第一批錄取的一份志愿表．如果有4所重點院校，每所院校有3個專業是你較為滿意的選擇．若表格填滿且規定學校沒有重復，同一學校的專業也沒有重復的話，你將有多少種不同的填表方法？

學 校 1 2 3 1 1 1 專 業 2 2 2

分析：填寫學校時是有順序的，因為這涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的問題；同一學校的兩個專業也有順序，要區分出第一專業和第二專業．因此這是一個排列問題．

解：填表過程可分兩步．第一步，確定填報學校及其順序，則在4所學校中選出3所并加排列，共有A4種不同的排法；第二步，從每所院校的3個專業中選出2個專業并確定其順序，其中又包含三小步，因此總的排列數有A3?A3?A3種．綜合以上兩步，由分步計數原理得不同的填表方法有：A4?A3?A3?A3?5184種．

說明：要完成的事件與元素的排列順序是否有關，有時題中并未直接點明，需要根據實際情景自己判斷，特別是學習了后面的“組合”之后這一點尤其重要．“選而且排”（元素之間有順序要求）的是排列，“選而不排”（元素之間無順序要求）的是組合．另外，較復雜的事件應分解開考慮．

32222223典型例題七

/ 1

3例5 7名同學排隊照相．

(1)若分成兩排照，前排3人，后排4人，有多少種不同的排法？

(2)若排成兩排照，前排3人，后排4人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法？

(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？(4)若排成一排照，7人中有4名男生，女生不能相鄰，有多少種不面的排法？ 3名女生，分析：(1)可分兩步完成：第一步，從7人中選出3人排在前排，有A7種排法；第二步，剩下的4人排在后排，有A4種排法，故一共有A7?A4?A7種排法．事實上排兩排與排成一排一樣，只不過把第4~7個位子看成第二排而已，排法總數都是A7，相當于7個人的全排列．(2)優先安排甲、乙．(3)用“捆綁法”．(4)用“插空法”． 解：(1)A7?A4?A7?5040種．

(2)第一步安排甲，有A3種排法；第二步安排乙，有A4種排法；第三步余下的5人排在剩下的5個位置上，有A5種排法，由分步計數原理得，符合要求的排法共有115A3?A4?A5?1440種．

5***(3)第一步，將甲、乙、丙視為一個元素，有其余4個元素排成一排，即看成5個元素的全排列問題，有A5種排法；第二步，甲、乙、丙三人內部全排列，有A3種排法．由分步計數原理得，共有A5?A3?720種排法．

(4)第一步，4名男生全排列，有A4種排法；第二步，女生插空，即將3名女生插入4名男生之間的5個空位，這樣可保證女生不相鄰，易知有A5種插入方法．由分步計數原理得，符合條件的排法共有：A4?A5?1440種．

說明：(1)相鄰問題用“捆綁法”，即把若干個相鄰的特殊元素“捆綁”為一個“大元素”，與其他普通元素全排列；最后再“松綁”，將這些特殊元素進行全排列．(2)不相鄰問題用“插空法”，即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間．

43353534典型例題八

例8 從2、3、4、5、6五個數字中每次取出三個不同的數字組成三位數，求所有三位數的和．

分析：可以從每個數字出現的次數來分析，例如“2”，當它位于個位時，即形如

/ 1 的數共有A4個（從

3、，當這些數相加時，由“2”4、5、6四個數中選兩個填入前面的兩個空）所產生的和是A4?2．當2位于十位時，即形如

222的數也有A4，那么當這些數相加時，2由“2”產生的和應是A4?2?10．當2位于面位時，可同理分析．然后再依次分析3、4、5、6的情況．

解：形如2的數共有A4個，當這些數相加時，由“2”產生的和是A4?2；形如

222的數也有A4個，當這些數相加時，由“2”產生的和是A4?2?10；形如

2的數也有A42個，當這些數相加時，由“2”產生的和應是A4?2?100．這樣在所有三位數的和中，由“2”產生的和是A4?2?111．同理由3、4、5、6產生的和分別是A4?3?111，A4?4?111，222?111?(2?3?4?5?6)?26640． A4?5?111，A4?6?111，因此所有三位數的和是A4222說明：類似于這種求“數字之和”的問題都可以用分析數字出現次數的辦法來解決．如“由1,4,5,x四個數字組成沒有重復數字的四位數，若所有這些四位數的各數位上的數字之和為288，求數x”．本題的特殊性在于，由于是全排列，每個數字都要選用，故每個數字均出現了A4?24次，故有24?(1?4?5?x)?288，得x?2． 4典型例題九

例9 計算下列各題：

m?1n?mAn?A?1n?m(1)A；

(2)A；

(3)； n?1An?121566(4)1!?2?2!?3?3!???n?n!

(5)

123n?1????? 2!3!4!n!解：(1)A15?15?14?210；(2)A6?6!?6?5?4?3?2?1?720;(3)原式?62(n?1)!1?(n?m)!?

[n?1?(m?1)!](n?1)!(n?1)!1?(n?m)!??1；

(n?m)!(n?1)!?(4)原式?(2!?1)?(3!?2!)?(4!?3!)???[(n?1)!?n!]

/ 1 ?(n?1)!?1；

(5)∵n?111，??n!(n?1)!n!123n?1 ?????2!3!4!n!?111111111??????????1?． 1!2!2!3!3!4!(n?1)!n!n!∴說明：準確掌握好排列公式是順利進行計算的關鍵．

本題計算中靈活地用到下列各式：

n!?n(n?1)!；nn!?(n?1)!?n!；

n?111??；使問題解得簡單、快捷． n!(n?1)!n!典型例題十

例10 a,b,c,d,e,f六人排一列縱隊，限定a要排在b的前面（a與b可以相鄰，也可以不相鄰），求共有幾種排法．對這個題目，A、B、C、D四位同學各自給出了一種算式：A的算式是161111144?A2?A3?A4?A5)?A4；C的算式是A6； A6；B的算式是(A124．上面四個算式是否正確，正確的加以解釋，不正確的說明理由． D的算式是C62?A4解：A中很顯然，“a在b前的六人縱隊”的排隊數目與“b在a前的六人縱隊”排隊數目相等，而“六人縱隊”的排法數目應是這二者數目之和．這表明：A的算式正確．

B中把六人排隊這件事劃分為a占位，b占位，其他四人占位這樣三個階段，然后用乘法求出總數，注意到a占位的狀況決定了b占位的方法數，第一階段，當a占據第一個位置時，b占位方法數是A5；當a占據第2個位置時，b占位的方法數是A4；??；當a占據第5個位置時，b占位的方法數是A1，當a，b占位后，再排其他四人，他們有A4種排法，可見B的算式是正確的．

1411C中A64可理解為從6個位置中選4個位置讓c,d,e,f占據，這時，剩下的兩個位置依前后順序應是a,b的．因此C的算式也正確．

這兩個位置讓a,b占據，顯然，a,b占D中把6個位置先圈定兩個位置的方法數C62，據這兩個圈定的位置的方法只有一種（a要在b的前面），這時，再排其余四人，又有A4種排法，可見D的算式是對的． 8 / 1 說明：下一節組合學完后，可回過頭來學習D的解法．

典型例題十一

例11 八個人分兩排坐，每排四人，限定甲必須坐在前排，乙、丙必須坐在同一排，共有多少種安排辦法？

解法1：可分為“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”兩類情況．應當使用加法原理，在每類情況下，劃分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三個步驟，又要用到分步計數原理，這樣可有如下算法：

215215A4?A2?A5?A4?A4?A5?8640(種)．

解法2：采取“總方法數減去不命題意的所有方法數”的算法．把“甲坐在第一排的八人坐法數”看成“總方法數”，這個數目是A4?A7．在這種前提下，不合題意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐兩排的八人坐法．”這個數目是A4?C2?A3?A4?A5．其中第一個因數

111A4表示甲坐在第一排的方法數，C2表示從乙、丙中任選出一人的辦法數，A3表示把選出

1111517的這個人安排在第一排的方法數，下一個A4則表示乙、丙中沿未安排的那個人坐在第二排的方法數，A5就是其他五人的坐法數，于是總的方法數為

1711115A4?A7?A4?C2?A3?A4?A5?8640(種)． 51說明：解法2可在學完組合后回過頭來學習．

典型例題十二

例12 計劃在某畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且不彩畫不放在兩端，那么不同陳列方式有（）．

A．A4?A

5B．A3?A4?A5

C．C3?A4?A5

D．A2?A4?A5

解：將同一品種的畫“捆”在一起，注意到水彩畫不放在兩端，共有A2種排列．但4幅油畫、5幅國畫本身還有排列順序要求．所以共有A2?A4?A5種陳列方式．

∴應選D．

說明：關于“若干個元素相鄰”的排列問題，一般使用“捆綁”法，也就是將相鄰的若干個元素“捆綁”在一起，看作一個大元素，與其他的元素進行全排列；然后，再“松綁”，將被“捆綁”的若干元素，內部進行全排列．本例題就是一個典型的用“捆綁”法來解答的問題．

***典型例題十三

/ 1

3例13 由數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的六位數，其中個位數字小于十位數的個數共有（）．

A．210

B．300

C．46

4D．600 解法1：（直接法）：分別用1,2,3,4,5作十萬位的排列數，共有5?A5種，所以其中個位數字小于十位數字的這樣的六位數有

515?5?A5?300個． 265解法2：（間接法）：取0,1,?,5個數字排列有A6，而0作為十萬位的排列有A5，所以其中個位數字小于十位數字的這樣的六位數有

165(A6?A5)?300(個)． 2∴應選B．

說明：(1)直接法、間接法是解決有關排列應用題的兩種基本方法，何時使用直接法或間接法要視問題而定，有的問題如果使用直接法解決比較困難或者比較麻煩，這時應考慮能否用間接法來解．

(2)“個位數字小于十位數字”與“個位數字大于十位數字”具有對稱性，這兩類的六位數個數一樣多，即各占全部六位數的一半，同類問題還有6個人排隊照像時，甲必須站在乙的左側，共有多少種排法．

典型例題十四

例14 用1,2,3,4,5，這五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有（）． A．24個

B．30個

C．40個

D．60個

分析：本題是帶有附加條件的排列問題，可以有多種思考方法，可分類，可分步，可利用概率，也可利用本題所提供的選擇項分析判斷．

解法1：分類計算．

將符合條件的偶數分為兩類．一類是2作個位數，共有A4個，另一類是4作個位數，也有A4個．因此符合條件的偶數共有A4?A4?24個．

解法2：分步計算．

先排個位數字，有A2種排法，再排十位和百位數字，有A4種排法，根據分步計數原理，三位偶數應有A2?A4?24個．

解法3：按概率算．

用1?5這5個數字可以組成沒有重復數字的三位數共有A5?60個，其中偶點其中的32222121222．因此三位偶數共有60??24個． 55解法4：利用選擇項判斷．

/ 1 用1?5這5個數字可以組成沒有重復數字的三位數共有A5?60個．其中偶數少于奇數，因此偶數的個數應少于30個，四個選擇項所提供的答案中，只有A符合條件． ∴應選A．

3典型例題十五

例15(1)計算A1?2A2?3A3???8A8．

(2)求Sn?1!?2!?3!???n!(n?10)的個位數字．

分析：本題如果直接用排列數公式計算，在運算上比較困難，現在我們可以從和式中項的特點以及排列數公式的特點兩方面考慮．在(1)中，項可抽象為nnnnn?1nnAn?(n?1?1)An?(n?1)An?nAn?An?1?An1238，(2)中，項為n!?n(n?1)(n?2)?3?2?1，當n?5時，乘積中出現5和2，積的個位數為0，在加法運算中可不考慮．

解：(1)由nAn?(n?1)!?n!

∴原式?2!?1!?3!?2!???9!?8!?9!?1!?362879．(2)當n?5時，n!?n(n?1)(n?2)?3?2?1的個位數為0，∴Sn?1!?2!?3!???n!(n?10)的個位數字與1!?2!?3!?4!的個位數字相同． 而1!?2!?3!?4!?33，∴Sn的個位數字為3．

說明：對排列數公式特點的分析是我們解決此類問題的關鍵，比如：求證： n123n1??????1?，我們首先可抓等式右邊的 2!3!4!(n?1)!(n?1)!nn?1?1n?1111?????，(n?1)!(n?1)!(n?1)!(n?1)!n!(n?1)!∴左邊?1?111111???????1??右邊． 2!2!3!n!(n?1)!(n?1)!典型例題十六

例16 用0、組成無重復數字的自然數，(1)可以組成多少個1、2、3、4、5共六個數字，無重復數字的3位偶數？(2)可以組成多少個無重復數字且被3整除的三位數？

/ 1 分析：3位偶數要求個位是偶數且首位數字不能是0，由于個位用或者不用數字0，對確定首位數字有影響，所以需要就個位數字用0或者用

2、一個自然數能被3整4進行分類．除的條件是所有數字之和是3的倍數，本題可以先確定用哪三個數字，然后進行排列，但要注意就用與不用數字0進行分類．

解：(1)就個位用0還是用2、2、3、4中任取兩4分成兩類，個位用0，其它兩位從

1、數排列，共有A4?12(個)，個位用2或4，再確定首位，最后確定十位，共有22?4?4?32(個)，所有3位偶數的總數為：12?32?44(個)．

(2)從0、1、2、3、4、5中取出和為3的倍數的三個數，分別有下列取法：(012)、(015)、(024)、(045)、(123)、(135)、(234)、(345)，前四組中有0，后四組中沒有0，用它們排成三位數，如果用前4組，共有4?2?A2?16(個)，如果用后四組，共有4?A3?24(個)，所有被3整除的三位數的總數為16?24?40(個)． 32典型例題十七

例17 一條長椅上有7個座位，4人坐，要求3個空位中，有2個空位相鄰，另一個空位與2個相鄰空位不相鄰，共有幾種坐法？

分析：對于空位，我們可以當成特殊元素對待，設空座梯形依次編號為1、2、3、4、5、6、7．先選定兩個空位，可以在1、2號位，也可以在2、3號位?共有六種可能，再安排另一空位，此時需看到，如果空位在1、2號，則另一空位可以在4、5、6、7號位，有4種可能，相鄰空位在6、7號位，亦如此．如果相鄰空位在2、3號位，另一空位可以在5、6、7號位，只有3種可能，相鄰空位在3、4號，4、5號，5、6號亦如此，所以必須就兩相鄰空位的位置進行分類．本題的另一考慮是，對于兩相鄰空位可以用合并法看成一個元素與另一空位插入已坐人的4個座位之間，用插空法處理它們的不相鄰．

解答一：就兩相鄰空位的位置分類：

若兩相鄰空位在1、2或6、7，共有2?4?A4?192(種)坐法．

若兩相鄰空位在2、3，3、4，4、5或5、6，共有4?3?A4?288(種)不同坐法，所以所有坐法總數為192?288?480(種)．

解答二：先排好4個人，然后把兩空位與另一空位插入坐好的4人之間，共有4A4?A52?480(種)不同坐法．

44解答三：本題還可采用間接法，逆向考慮在所有坐法中去掉3個空位全不相鄰或全部相

/ 13

鄰的情況，4個人任意坐到7個座位上，共有A7種坐法，三個空位全相鄰可以用合并法，直接將三個空位看成一個元素與其它座位一起排列，共有A5種不同方法．三個空位全不相鄰仍用插空法，但三個空位不須排列，直接插入4個人的5個間隔中，有A4?10種不同方法，所以，所有滿足條件的不同坐法種數為A7?A5?10A4?480(種)．

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