第一篇：工程數學(線性代數與概率統計)復旦大學出版社,第二章典型例題分析

第 二 章

例1

11設A為三階方陣，A為其伴隨矩陣，A?，求(A)?1?10A*.23*

?1解：因為A可逆，定理3.1A?1**A,A?A?1AA,代入原式得，1?1(A)?10A*?3A?1?10A?1A??2A?1??8A?1??8*2??163

例2 ?32?nA???設，求A.03??解：由于A的主對角元素相同，故可以將A拆寫成?10??0?2A?3??????3E?B,且B?O(k?2,3,?)?01??00?K由于矩陣有與數一樣的二項式公式，因此有

An?(3E?B)n12?(3E)n?Cn(3E)n?1B?Cn(3E)n?2B2???Bn?n?33nE?n?3n?1B???00??02n?3n?1??3n????n??3??00??02n?3n?1?? n3?

例3

?2?1?100????001?10??C?B???0設?001?1?，????0?0001?T?1T程AC(E?BC)?2E?O,求A.120031204??3?1?, ?2?且矩陣A適合方解：解此類型題時應先將方程化簡，將所要求的矩陣A盡量用已知的T?1T矩陣來表示，AC(E?BC)?2E?O

TA(C?B)?2E,A?2[(C?B)T]?1, 可化簡成于是有

A?2[(C?B)]T?1?1?2??2?3??40123001200??0?0??1??1?1??2?2??1??0 01?21001?20??2??0???4?0??2??1??0002?42?420??0? 0??2?例4 ?11?1???A???111?*?1?1?11?,又AX?A?2X??，求

X。

*?1*A?AAAAX?E?2AX解:將方程兩邊左乘矩陣A，可得,又將

?1(AE?2A)X?EX?(AE?2A)代入，可得，所以,且由

?2?22??110?1?????1X?(4E?2A)??22?2???011?所以 A?4，4??222??101?????

?1例5 設A?(aij)n*n為n階非零矩陣，且對任意元素aij，都有aij?Aij，證明A可逆。

證明：（要證明A可逆，可證明A?0）

因為A?0,那么A中至少有一個元素不為零，記該元素為aij，則將A按第i行展開，可得

A?ai1Ai1?ai2Ai2???aijAij???ainAin，又

因為已知條件有aij?Aij，于是

AA?ai12?ai22???aij2???ain2?0，所以A?0，故可逆。例6 已知E?AB可逆，證明E?BA可逆，且(E?BA)?1?[E?B(E?AB)?1A].證明：

（要證明矩陣A可逆的方法通常就是找出一個矩陣B，使得AB=E）因為

(E?BA)[E?B(E?AB)?1A]?E?B(E?AB)?1A?BA?BAB(E?AB)?1A?E?BA?B(E?AB)(E?AB)?1A?E?BA?BA?E

所以E?BA可逆，且(E?BA)?1?[E?B(E?AB)?1A]

例7

?ab?b???ba?b??(n?2)討論n階方陣A的秩???。?????bb?a?解：要討論一個矩陣的秩，一般方法是對該矩陣進行初等行（列）變換，將矩陣變成階梯矩陣。對該方陣進行分析可發現該矩陣的每一行（列）各元素之和相等，因此可對該矩陣進行如下的初等行(列)變換。?ab?b??a?(n?1)bb?b????????????????C?C??ba?ba?(n?1)ba?bi??1???????i?2,3,?,n??????????bb?a??a?(n?1)bb?a?a?(n?1)bb?b???????????????? ??rj?r10a?b?0??????j?2,3,?,n???00?a?b??所以 當a?b且a??(n?1)b時r(A)?n；

當a?b?0時，此時A?0，r(A)?0； 當a?b?0時，r(A)?1； 當a??(n?1)b時，r(A)?n?1.例8 設方陣B為滿秩矩陣，證明r(BC)?r(C).證明：

由于方陣B為滿秩矩陣，由定理5.4可知存在有限個初等矩陣

B?PPP12?Pl1,P2,?,Pl，使得從而就有BC

是由C?PP,從這個式子可以看出來，BC12?PCl經過若干次初等行變換所得，由定理5.2，對矩陣實施初等變換，矩陣的秩是不變的，因此有r(BC)?r(C).證畢。

例9 設C?A?B,其中A是對稱矩陣，B為反對稱矩陣，證明下列三個條件是等價的。

(1)CTC?CCT;(2)AB?BA;(3)AB是反對稱矩陣.證明：

(1)?(2)

TA?A,B??B，由A是對稱矩陣，B為反對稱矩陣可知

T從而C?A?B?A?B 由已知CTTTTC?CCT，代入得

(A?B)(A?B)?(A?B)(A?B)?AB?BA

(2)?(3)(要證明AB是反對稱矩陣，即證明(AB)T??AB)(AB)?BA??BA(2)?AB TTT(3)?(1)

CTC?(AT?BT)(A?B)?(AT?BT)(AT?BT)?A2?ATBT?BTAT?B2?A2?BA?AB?B2 ?(A?B)(A?B)?CCT

第二篇：工程數學(線性代數與概率統計)第三章典型例題分析

第三章

例1 設A為n階方陣，若存在正整數k和向量?，使Ak??0，且Ak?1??0.證明：向量組?,A?,?,Ak?1?線性無關.證明：（利用線性無關定義證明）假設有常數?1,?2,?,?k，使得

k?1????A????A??0（1）12k將（1）兩邊左乘Ak?1，可得

?1Ak?1???2Ak????kA2k?2??0

由已知條件A??0，可知上式從第二項全等于零，所以?1A又由條件Ak?1kk?1??0，??0，所以?1?0.類似地，將（1）兩邊左乘Ak?2，可得?2?0；

k?1類似地可證得?3??4????k?0，所以向量組?,A?,?,A?線性無關.例2 設向量組?1,?2,?3線性相關，向量組?2,?3,?4線性無關，問：

（1）?1能否由?2,?3線性表示？證明你的結論;（2）?4能否由?1,?2,?3線性表示？證明你的結論.解：（1）?1能由?2,?3線性表示.證明：由于向量組?2,?3,?4線性無關，那么其部分組?2,?3也線性無關。又由已知條件有?1,?2,?3線性相關，故?1能由?2,?3線性表示.(2)?4不能由?1,?2,?3線性表示.證明:假設?4能由?1,?2,?3線性表示,即存在不全為零的常數?1,?2,?3,使得

?4??1?1??2?2??3?3

由(1)的結論,我們可以設?1?k2?2?k3?3,代入上式,可得

?4?(?2??1k2)?2?(?3??1k3)?3

即?4可由?2,?3線性表示,從而?2,?3,?4線性相關,與已知條件矛盾.因此假設不成立, ?4不能由?1,?2,?3線性表示.例3 設兩向量組

(1)?1??1,2,?3?,?2??3,0,1?,?3??9,6,?7?(2)?1??0,1,1?,?2??a,2,1?,?3??b,1,0? TTTTTT已知兩向量組的秩相等,且?3能由?1,?2,?3線性表示,求a,b.解:令A?(?1,?2,?3),B?(?1,?2,?3)

由于矩陣A已知，可以先對A進行初等變換求秩.??139??????????139??139??????????2r1?r2?5????0?6?12?A??206?0?6?12r?r??323??3r?r??31?7?13?01020??00?0??????因此r(A)?2,且?1,?2為(1)的一個極大無關組.由已知條件兩向量組的秩相等,所以r(B)?2,從而B?0,即

0B?11所以aa21b1?a?b?0 03?b.又由條件?能由?,?,?線性表示而?1,?2為(1)的一

123個極大無關組.所以?3能由?1,?2線性表示,則?1?2?3?0,即

?13b???2b?10?0?1?2?3??201,解得 ????310???b?5,所以有a?b?5.例4 求向量組?1??1,?1,1,3?,?2???1,3,5,1?,TTTT?3???2,6,10,a?,?4??4,?1,6,10?, ?5??3,?2,1,c?的秩和一個極大無關組.解:對以?1,?2,?3,?4,?5為列構成的矩陣A,做初等變換

T?1??1A???1??3?1?1??02??00??00?1?2351?240a?2610a3??1?1?2???0??6?1??0??10c??043??13?1???0???7?7??0???8c?11??04?1264?1200?2412?240432431a?6?2a?203?1???4??c?9? 3??1???B1??c?3?當a=2且c=3時, r(B)?3,B中第1、2、4列線性無關，此時向量組的秩為3，?1,?2,?4是一個極大無關組；

當a?2時，r(B)?4，B中第1、2、3、4列線性無關，此時向量組的秩為4，?1,?2,?3,?4是一個極大無關組；

當c?3，r(B)?4，B中第1、2、4、5列線性無關此時向量組的秩為4，?1,?2,?4,?5是一個極大無關組.例5設向量組（1）?1,?2,?3,?4的秩為3；向量組（2）?1,?2,?3,?5的秩為4，證明:向量組?1,?2,?3,?5??4的秩為4.證明：（要證明?1,?2,?3,?5??4的秩為4，可通過證明?1,?2,?3,?5??4線性無關來得到想要的結論）

由向量組（2）的秩為4，可知?1,?2,?3線性無關，又由向量組（1）?1,?2,?3,?4的秩為

3，可知?1,?2,?3,?4線性相關，從而?4可由?1,?2,?3線性表示，即存在不全為零的常數l1,l2,l3，使得?4?l1?1?l2?2?l3?3，不妨設k1?1?k2?2?k3?3?k4(?5??4)?0，將?4代入，可得

(k1?k4l1)?1?(k2?k4l2)?2?(k3?k4l3)?3?k4?5?0

由于?1,?2,?3,?5線性無關，所以

?k1?k4l1?0?k?kl?0?242?k1?k2?k3?k4?0? ?k3?k4l3?0??k4?0故?1,?2,?3,?5??4線性無關，從而該向量組的秩為4.例6 設向量組?1,?2,?,?m(m?1)的秩為?1,?2,?,?m的秩為r

r，?1??2??3????m，?2??1??3????m，?，?m??1??2????m?1，證明向量組

證明:(由推論等價的向量組有相同的秩，此題只需證明兩個向量組等價即可)由已知?1,?2,?,?m可由?1,?2,?,?m線性表示，且有下式成立

?1??2????m?(m?1)(?1??2????m)

從而?i??i??1??2????m?于是有?i?1(?1??2????m)，m?11(?1??2????m)??i，即?1,?2,?,?m也可由m?1?1,?2,?,?m，故向量組?1,?2,?,?m與向量組?1,?2,?,?m等價，從而他們的秩相等，從而向量組?1,?2,?,?m的秩為r.

第三篇：高考數學復習概率統計典型例題

高考數學復習概率統計典型例題

例1 下列命題：

(1)3，3，4，4，5，5，5的眾數是5；

(2)3，3，4，4，5，5，5的中位數是4.5；

(3)頻率分布直方圖中每一個小長方形的面積等于該組的頻率；

(4)頻率分布表中各小組的頻數之和等于1

以上各題中正確命題的個數是 [ ]．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

分析：回憶統計初步中眾數、中位數、頻數、頻率等概念，認真分析每個命題的真假．

解：(1)數據3，3，4，4，5，5，5中5出現次數最多3次，5是眾數，是真命題．

(2)數據3，3，4，4，5，5，5有七個數據，中間數據是4不是4.5，是假命題．

(3)由頻率分布直方圖中的結構知，是真命題．

(4)頻率分布表中各小組的頻數之和是這組數據的個數而不是1，是假命題．

所以正確命題的個數是2個，應選B．

例2 選擇題：

(1)甲、乙兩個樣本，甲的樣本方差是0.4，乙的樣本方差是0.2，那么 [ ]

A．甲的波動比乙的波動大；

B．乙的波動比甲的波動大；

C．甲、乙的波動大小一樣；

D．甲、乙的波動大小關系不能確定．

(2)在頻率直方圖中，每個小長方形的面積等于 [ ]

A．組距 B．組數

C．每小組的頻數 D．每小組的頻率

分析：用樣本方差來衡量一個樣本波動大小，樣本方差越大說明樣本的波動越大．

用心 愛心 專心

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解：(1)∵0.4＞0.2，∴甲的波動比乙的波動大，選A．

例3 為了了解中年人在科技隊伍中的比例，對某科研單位全體科技人員的年齡進行登記，結果如下(單位：歲)

44，40，31，38，43，45，56，45，46，42，55，41，44，46，52，39，46，47，36，50，47，54，50，39，30，48，48，52，39，46，44，41，49，53，64，49，49，61，48，47，59，55，51，67，60，56，65，59，45，28．

列出樣本的頻率分布表，繪出頻率分布直方圖．

解：按五個步驟進行：

(1)求數據最大值和最小值：

已知數據的最大值是67，最小值是28

∴最大值與最小值之差為67-28=39

(2)求組距與組數：

組距為5(歲)，分為8組．

(3)決定分點

(4)列頻分布表

用心 愛心 專心

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(5)繪頻率分布直方圖：

例4 某校抽檢64名學生的體重如下(單位：千克)．

列出樣本的頻率分布表，繪出頻率分布直方圖．

分析：對這組數據進行適當整理，一步步按規定步驟進行．

解：(1)計算最大值與最小值的差：48-29=19(千克)

(2)決定組距與組數

樣本容量是64，最大值與最小值的差是19千克，如果取組距為2千克，19÷2=9.5，分10組比較合適．

(3)決定分點，使分點比數據多取一位小數，第一組起點數定為28.5，其它分點見下表．

(4)列頻率分布表．

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(5)畫頻率分布直方圖(見圖3-1)

說明：

長方形的高與頻數成正比，如果設頻數為1的小長方形的高為h，頻數為4時，相應的小長方形的高就應該是4h．

例5 有一個容量為60的樣本，(60名學生的數學考試成績)，分組情況如下表：

(1)填出表中所剩的空格；

(2)畫出頻率分布直方圖．

分析：

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各組頻數之和為60

各組頻率之和為1

解：

因為各小組頻率之和=1

所以第4小組頻率=1-0.05-0.1-0.2-0.3=0.35

所以第4小組頻數=0.35×60=第5小組頻數=0.3×60=18

(2)

例6 某班學生一次數學考試成績的頻率分布直方圖，其中縱軸表示學生數，觀察圖形，回答：

(1)全班有多少學生？

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(2)此次考試平均成績大概是多少？

(3)不及格的人數有多少？占全班多大比例？

(4)如果80分以上的成績算優良，那么這個班的優良率是多少？

分析：根據直方圖的表示意義認真分析求解．

解：(1)29～39分1人，39～49分2人，49～59分3人，59～69分8人，69～79分10人，79～89分14人，89～99分6人．

共計 1+2+3+8+10+14+6=44(人)

(2)取中間值計算

(3)前三個小組中有1+2+3=6人不及格占全班比例為13.6%．

(4)優良的人數為14+6=20，20÷44=45.5%．

即優良率為45.5%．

說明：頻率分布表比較確切，但直方圖比較直觀，這里給出了直方圖，從圖也可以估計出一些數量的近似值，要學會認識圖形．

例7 回答下列問題：

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總是成立嗎？

(2)一組數據據的方差一定是正數嗎？

總是成立嗎？

(4)為什么全部頻率的累積等于1？

解：(1)證明恒等式的辦法之一，是變形，從較繁的一邊變到較簡單的一邊．這

可見，總是成立．

順水推舟，我們用類似的方法證明(3)；注意

那么有

(2)對任一組數x1，x2，?，xn，方差

這是因為自然數n＞0，而若干個實數的平方和為非負，那么S2是有可對等于0的

從而x1=x2=?=xn，就是說，除了由完全相同的數構成的數組以外，任何數組的方差定為正數．

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(4)設一個數組或樣本的容量為n，共分為m個組，其頻數分別為a1，a2，?，am，按規定，有

a1+a2+?+am=n，而各組的頻率分別a1／n，a2／n，?，am／n，因此，有

說明：在同一個問題里，我們處理了同一組數據x1，?，xn有關的兩個數組f1，f2，?，fk和a1，a2，?，am，前者是說：在這組數中，不同的只有k個，而每個出現的次數分別為f1，?，fk；后者則說明這組數所占的整個范圍被分成了m個等長的區間，出現在各個區間中的xi的個數分別為a1，?，am，可見，a1，?，an是f1，?fk的推廣，而前面說過的眾數，不過是其fi最大的那個數．

弄清研究數組x1，?，xn的有關數和概念間的聯系與區別，是很重要的．

例8 回答下列問題：

(1)什么是總體？個體？樣本？有哪些抽樣方法？

(2)反映樣本(或數據)數量水平的標志值有哪幾個？意義是什么？怎樣求？

(3)反映樣本(或數據)波動(偏差)大小的標志值有哪幾個？怎樣求？有什么區別？

(4)反映樣本(或數據)分布規律的數量指標和幾何對象是什么？獲得的一般步驟是什么？

解：這是一組概念題，我們簡略回答：

(1)在統計學里，把要考查對象的全體叫做總體；其中每個考查對象叫個體；從總體中抽出的一部分個體叫做總體的一個樣本；樣本中個體的數目，叫做樣本的容量．

應指出的是，這里的個體，是指反映某事物性質的數量指標，也就是數據，而不是事物本身，因此，總體的樣本，也都是數的集合．

抽樣方法通常有三種：隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣三種，基本原則是：力求排除主觀因素的影響，使樣本具有較強的代表性．

(2)反映樣本(或數據)數量水平或集中趨勢的標志值有三個，即平均數、眾數和中位數．

有時寫成代換形式；

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有時寫成加權平均的形式：

其中，又有總體平均數(總體中所有個體的平均數)和樣本平均數(樣本中所有個體的平均數)兩種，通常，我們是用樣本平均數去估計總體平均數．且一般說來，樣本容量越大，對總體的估計也就越精確．

(ii)眾數，就是在一組數據中，出現次數最多的數．通常采用爬山法或計票畫“正”法去尋找．(爬山法是：看第一個數出現次數，再看第二、三、??有出現次數比它多的，有，則“爬到”這個數，再往后看??)．

(iii)中位數是當把數據按大小順序排列時，居于中間位置的一個數或兩個數的平均，它與數據的排列順序有關．

此外，還有去尾平均(去掉一個最高和一個最低的，然后平均)、總和等，也能反映總體水平．

(3)反映樣本(數據)偏差或波動大小的標志值有兩個：

(ii)標準差：一組數據方差的平方根：

標準差有兩個優點，一是其度量單位與原數據一致；二是緩解S2過大或過小的現象．方差也可用代換式簡化計算：

(4)反映數據分布規律的是頻率分布和它的直方圖，一般步驟是：

(i)計算極差=最大數-最小數；

用心 愛心 專心

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(iii)決定分點(可用比數據多一位小數的辦法)；

(v)畫頻率分布直方圖．

其中，分布表比較確切，直方圖比較直觀．

說明：此例很“大”，但是必要的，因為，當前大多數的中考題，很重視基本內容的表述，通過“填空”和“選擇”加以考查，我們要予以扎實．而更為重要的，這些概念和方法，正是通過偶然認識必然，通過無序把握有序，通過部分估計整體的統計思想在數學中的實現．

用心 愛心 專心

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第四篇：《線性代數與概率統計》作業題(答案)~2015.03[推薦]

《線性代數與概率統計》

作業題

第一部分 單項選擇題

1．計算x1?1x1?2?？（A）

x2?1x2?2

A．x1?x

2B．x1?x2

C．x2?x

1D．2x2?x1

12．行列式D??11111?？(B)?1?11A．3

B．4

C．5 D．6

?23?1??123??,B??112?，求1113．設矩陣A??AB=？(B)???????0?11???011??A．-1

B．0

C．1

D．2

??x1?x2?x3?0?4．齊次線性方程組?x1??x2?x3?0有非零解，則?=？（C）

?x?x?x?0?123A．-1

B．0

C．1 D．2

?0?5．設A???19766????0??0905???3?，B???53?，求AB=？（D）??76???A．??104110??6084??

B．??104111??6280??

C．??104111??6084??

D．??104111??6284??

6．設A為m階方陣，B為n階方陣，且A?a,B?b,C???0?BA．(?1)mab

B．(?1)nab

C．(?1)n?mab

D．(?1)nmab

?123?7．設A???221??，求A?1=？（D）??343??2

A?0??,則C=？（D）

??132?A．??3?35???22?? ?11?1????13?2? B．?35???3?

?22??11?1????13?2? C．?3?35??2??

?2?11?1????13?2??D．?3???35?22??

?11?1??

8．設A,B均為n階可逆矩陣，則下列結論中不正確的是（B）

A．[(AB)T]?1?(A?1)T(B?1)T

B．(A?B)?1?A?1?B?1

C．(Ak)?1?(A?1)k（k為正整數）

D．(kA)?1?k?nA?1(k?0)（k為正整數）

9．設矩陣Am?n的秩為r，則下述結論正確的是（D）A．A中有一個r+1階子式不等于零

B．A中任意一個r階子式不等于零

C．A中任意一個r-1階子式不等于零 D．A中有一個r階子式不等于零

??1?3?10．初等變換下求下列矩陣的秩，A??32?2?131???705?1?的秩為？（??3

D）

A．0 B．1

C．2 D．3

11．寫出下列隨機試驗的樣本空間及下列事件的集合表示：擲一顆骰子，出現奇數點。（D）

A．樣本空間為??{1,2,3,4,5,6}，事件“出現奇數點”為{2,4,6}

B．樣本空間為??{1,3,5}，事件“出現奇數點”為{1,3,5}

C．樣本空間為??{2,4,6}，事件“出現奇數點”為{1,3,5} D．樣本空間為??{1,2,3,4,5,6}，事件“出現奇數點”為{1,3,5}

12．向指定的目標連續射擊四槍，用Ai表示“第i次射中目標”，試用Ai表示四槍中至少有一槍擊中目標（C）：

A．A1A2A3AB．1?A1A2A3A4

C．A1?A2?A3?A4

D．1

13．一批產品由8件正品和2件次品組成，從中任取3件，則這三件產品全是正品的概率為（B）

257 B．

15A． C．8

15D．

14．甲乙兩人同時向目標射擊，甲射中目標的概率為0.8，乙射中目標的概率是0.85，兩人同時射中目標的概率為0.68，則目標被射中的概率為（C）

3A．0.8

B．0.85

C．0.97 D．0.96

15．袋中裝有4個黑球和1個白球，每次從袋中隨機的摸出一個球，并換入一個黑球，繼續進行，求第三次摸到黑球的概率是（D）12517 B．

125108 C．

125109D．

125A．

16．設A，B為隨機事件，P(A)?0.2，P(B)?0.45，P(AB)?0.15，P(A|B)=(B)1 61 B．

C．

22D．

3A．

17．市場供應的熱水瓶中，甲廠的產品占50%，乙廠的產品占30%，丙廠的產品占20%，甲廠產品的合格率為90%，乙廠產品的合格率為85%，丙廠產品的合格率為80%,從市場上任意買一個熱水瓶，則買到合格品的概率為（D）

A．0.725

B．0.5

C．0.825 D．0.865

18．有三個盒子，在第一個盒子中有2個白球和1個黑球，在第二個盒子中有3個白球和1個黑球，在第三個盒子中有2個白球和2個黑球，某人任意取一個盒子，再從中任意取一個球，則取到白球的概率為（C）

A．3136

B．3236

C．2336

D．3436

19．觀察一次投籃，有兩種可能結果：投中與未投中。令X???1,投中；?0,未投中.試求X的分布函數F(x)。(C)??0,x?0?0,x?0A．F(x)???1?,0?x?1

B．F(x)???1,0?x?1

?2?1,x?1?2???1,x?1??0,x?0?0,x?0 C．F(x)???1?2,0?x?1

D．F(x)???12,0?x?1

??x?1??1,??1,x?1

20．設隨機變量X的分布列為P(X?k)?k15,k?1,2,3,4,5，則PX(?1或X?2)?A．11

5B．215

C．15

D．415

第二部分 計算題

?23?1?1．設矩陣A???111??123?,B????112?，求AB.???0?11????011??6

（C）？

?23?1??123??5611???112?＝?246? 111解：AB???????????0?11????011????10?1??61156＝0 |AB|?246＝??(?1)4624?10?1 56112?51?37?12．已知行列式4?615?92值．

224，寫出元素a43的代數余子式A43，并求A43的27?527解：A43?(?1)4?3M43???3474?34?374??(2?(?5)?2)

?62424?6?62＝54

?1?03．設A???0??0?1?02解：A=AA???0??0

1100110000?00??，求A2.10??2?1?00??1?000???10??0??2?1??0110000??1?000????10??0??2?1??0210000100?0?? 0??1??2?54．求矩陣A???1??4

?5?8?7?1354124221?3??的秩.0??3?7

解：

?5321??1?2?8543?r1???r3???????r2???r4?4?7420????1123??5?2?5A???1??4?7420?2?1?74r2?2r1?09?5?2?5321?r3?4r1??????r4?5r1?027?15?6?1123????8543??027?15?60?1??3??3???1?7420????r3?3r209?5?21?r4?3r2?????00000??00000??

所以，矩陣的秩r(A)=2

?x1?x2?35．解線性方程組?x3?1?3x?1?x2?3x3?1.?x1?5x2?9x3?0解： 用初等變換將增廣矩陣（A，B）化為行階梯矩陣

?1?31?A?(A,B)??1?3?1?31??11?31??1r2?3r1??r??10????r3?r1?0?46?2???3?r2?5?9??????04?6?1?1?0?2r2???0?1?00????r1?r2??1?0?23?1???000?3???

由于r(A)=3 r(A)=2 r(A)≠r(A)故原線性方程無解

???x1?2x2?x3?4x4?06．.解齊次線性方程組??2x1?3x2?4x3?5x4?0?x1?4x2?13x3?14x.4?0??x1?x2?7x3?5x4?0解：對增廣矩陣A作初等變換，化成行最簡形階形矩陣

1?3?23001??1??3???

??1?2A?(A,O)???1??1?12?r1?01?r2????r3?6r2??00r4?3r2??0040???1?r2?2r1??50?r3?r1?0?????4?13140?r4?r1?0???1?750??0?1?40??10?5??2?30?r1?2r2?012?????000000???000??000?231?4?2?1?6?32?3000??0??12180???690?

0??0?0??0?1?243系數矩陣的秩r(A)= r(A)=2＜4=n,所以原方程組有無窮多組解，與原方程組同解的方程組為：

?x1?5x3?2x4?0 ??x2?2x3?3x4?0所以：方程組的一般解為

?x1?5x3?2x4（其中x3、x4為自由變量）?x??2x?3x34?27．袋中有10個球，分別編有號碼1到10，從中任取一球，設A={取得球的號碼是偶數}，B={取得球的號碼是奇數}，C={取得球的號碼小于5}，問下列運算表示什么事件：

（1）A+B；（2）AB；（3）AC；（4）AC；（5）B?C；（6）A-C.解：（1）?；（2）?；（3）{2，4}；（4）{1，3，5，6，7，8，9，10}；（5）{6，8，10}；（6）{6，8，10}；

8．一批產品有10件，其中4件為次品，現從中任取3件，求取出的3件產品中有次品的概率。

3解：樣本點總數n?C10.設A={取出的3件產品中有次品}.3C65P(A)?1?P(A)?1?3?.C106

19．設A，B，C為三個事件，P(A)=P(B)=P(C)=，P(AB)?P(BC)?0，41P(AC)?，求事件A，B，C至少有一個發生的概率。

8ABC?AB解：

?0?P(ABC)?P(AB)?0所以P(ABC)=0

故所求的概率為

P(ABC)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)

=1/4+1/4+1/4-0-0-1/8+0 =5/8

10．一袋中有m個白球，n個黑球，無放回地抽取兩次，每次取一球，求：

（1）在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的條件概率；

（2）在第一次取到黑球的條件下，第二次取到白球的條件概率。解：用A表示“第一次取到白球”，B表示“第二次取到白球”。

（1）袋中原有m+n個球，其中m個白球。第一次取到白球后，袋中還有m+n-1球，其中m-1個為白球。故

m?1?

P(B|A)； m?n?

1（2）袋中原有m+n個球，其中m個白球，第一次取到黑球后，袋中還有m+n-1個球，其中m個為白球。故

m

P(B|A)?.m?n?1

11．設A，B是兩個事件，已知P(A)?0.5，P(B)?0.7，P(A?B)?0.8，試求：P(A?B)與P(B?A)。

解：P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?0.4?P(A?B)?P(A)?P(AB)?0.1

P(B?A)?P(B)?P(AB)?0.3.12．某工廠生產一批商品，其中一等品點

1，每件一等品獲利3元；二等品211占，每件二等品獲利1元；次品占，每件次品虧損2元。求任取1件商品獲36利X的數學期望E(X)與方差D(X)。

111解：EX?3??1??(?2)??1.5

236D(X)?E[X?E(X)]??(Xk?E(X))2Pk

2k?1310

311171?()2??(?)2??(?)2?=39/12 222326

13.某工廠采用三種方法生產甲乙丙丁四種產品，各種方案生產每種產品的數量如下列矩陣所示：

甲 乙 丙 丁?5 9 7 4?方法一?方法二 A??7 8 9 6????4 6 5 7??方法三若甲乙丙丁四種產品的單位成本分別為10、12、8、15（萬元），銷售單位價格分別為15、16、14、17（萬元），試用矩陣運算計算用何種方法進行生產獲利最大？

?10??15??12??16?解：設單位成本矩陣C???，銷售單價矩陣為P???，則單位利潤矩陣為

?8??14?????15???17??5??5?5 9 7 4???4??4??111??????133?，于是可知，B?P?C???，從而獲利矩陣為L?AB??7 8 9 6???6????6?????4 6 5 7??????88???2??2?采用第二種方法進行生產，工廠獲利最大。

14．某市場零售某蔬菜，進貨后第一天售出的概率為0.7，每500g售價為10元；進貨后第二天售出的概率為0.2，每500g售價為8元；進貨后第三天售出的概率為0.1，每500g售價為4元，求任取500g蔬菜售價X元的數學期望E(X)與方差D(X)。

解：E(X)?10*0.7?8*0.2?4*0.1 ?9

D(X)?(10?9)2*0.7?(8?9)2*0.2?(4?9)2*0.1?3.4

第五篇：高等數學概率統計基礎部分典型例題解析

高等數學（2）概率統計基礎部分典型例題解析

第1章 隨機事件與概率

例1 填空題

（1）設A與B是兩個事件，則P(A)?P(AB)+。

（2）若P(A)?0.4,P(AB)?0.3，則P(A?B)?。

（3）設A,B互不相容，且P(A)?0，則P(BA)?

。解：（1）因為 A?AB?AB，且AB與AB互斥 所以 P(A)?P(AB)+P(AB)應該填寫： P(AB)（2）因為 A?AB?AB，P(AB)?P(A)?P(AB)?0.4?0.3?0.1

P(B)?P(AB)?P(AB)?0.1?0.3?0.4

所以

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.4?0.4?0.1?0.7 應該填寫：0.7（3）因為A,B互不相容，即P(AB)?0 所以 P(BA)?應該填寫： 0

例2 單項選擇題

（1）事件A?B又可表示為（）.A.AB

B.AB

C.A?AB

D.AB?AB

（2）擲兩顆均勻的骰子，事件“點數之和為3”的概率是（）A.***P(AB)P(A)?0

B.C.D.（3）若等式（）成立，則事件A,B相互獨立。

A.P(A?B)?P(A)?P(B)

B.P(AB)?P(A)P(BA)

C.P(B)?P(BA)

D.P(A)?1?P(B)

（4）設A與B是相互獨立的兩個事件，且P(A)?A.1212,P(B)?13，則P(A?B)?（）

B.56

C.23

D.34

解：（1）依定義，事件A?B表示A發生但B不發生，因此A?B也可以表示為A?AB.應該選擇：C（2）基本事件總數為36，點數之和為3的事件有（1，2）和（2，1），即事件數為2，故“點數之和為3”的概率是

236?118。

應該選擇：B（3）因為當式子P(B)?P(BA)時，由乘法公式P(AB)?P(A)P(BA)，得

P(AB)?P(A)P(B)

所以事件A,B相互獨立。應該選擇：C（4）因為A與B是相互獨立，所以由加法公式

P(A?B)?P(A)?P(B)?12?13?56。

應該選擇：B 例3 A,B為兩事件，已知P(A)?P(A?B)，P(AB)。

12,P(B)?13,P(BA)?12，求P(AB)，解 P(AB)?P(A)P(BA)?12?12?1412

?13?14?712P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?

1P(AB)?P(AB)3?4? 1P(B)43例4 已知兩個事件A，B相互獨立，且已知P(A)?0.6，P(B)?0.3，求P(A?B)． 解

由P(B)?0.3，得 P(B)?1?P(B)?1?0.3?0.7

所以 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

?P(A)?P(B)?P(A)P(B)

?0.6?0.7?0.6?0.7?0.88

例5 設P(A)?0.5，P(AB)?0.3，求P(BA)．

解

因為P(BA)?

P(AB)P(A)

A?A(B?B)?AB?AB

P(A)?P(AB)?P(AB)

P(AB)?P(A)?P(AB)

?0.5?0.3?0.2 P(AB)0.2所以 P(BA)???0.4

P(A)0.5

例6 某籃球運動員一次投籃投中籃框的概率為0.8，該運動員投籃4次，⑴ 求投中籃框不少于3次的概率； ⑵ 求至少投中籃框1次的概率。

解 設Ai?{第i次投中}的事件，i?1,2,3,4，P(Ai)?0.8，P(Ai)?0.2相互獨立（1）投中籃框不少于3次的事件可表為 A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4

其概率為

P(A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4)

=P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

=(0.8)4?4?0.2?(0.8)3?0.8192（2）因為，投籃4次均未投中的概率為

P(A1A2A3A4)?(0.2)4?0.0016

所以，至少投中籃框1次的概率為

1?P(A1A2A3A4)?1?0.0016?0.9984