第一篇：中小學數學概率與統計中的抽屜原理

中小學數學概率與統計中的抽屜原理

基本介紹

抽屜原理的內容簡明樸素，易于接受，它在數學問題中有重要的作用。許多有關存在性的證明都可用它來解決。

抽屜原理-表述

抽屜原理的一種更一般的表述為：

“把多于kn+1個東西任意分放進n個空抽屜（k是正整數），那么一定有一個抽屜中放進了至少k+1個東西。”

利用上述原理容易證明：“任意7個整數中，至少有3個數的兩兩之差是3的倍數。”因為任一整數除以3時余數只有0、1、2三種可能，所以7個整數中至少有3個數除以3所得余數相同，即它們兩兩之差是3的倍數。

如果問題所討論的對象有無限多個，抽屜原理還有另一種表述：

“把無限多個東西任意分放進n個空抽屜（n是自然數），那么一定有一個抽屜中放進了無限多個東西。”

抽屜原理的內容簡明樸素，易于接受，它在數學問題中有重要的作用。許多有關存在性的證明都可用它來解決。

應用抽屜原理解題

例1：同年出生的400人中至少有2個人的生日相同。

解：將一年中的365天視為365個抽屜，400個人看作400個物體，由抽屜原理1可以得知：至少有2人的生日相同.400/365=1…35,1+1=2 又如：我們從街上隨便找來13人，就可斷定他們中至少有兩個人屬相相同。

“從任意5雙手套中任取6只，其中至少有2只恰為一雙手套。” “從數1，2，...，10中任取6個數，其中至少有2個數為奇偶性不同。”

例2： 幼兒園買來了不少白兔、熊貓、長頸鹿塑料玩具，每個小朋友任意選擇兩件，那么不管怎樣挑選，在任意七個小朋友中總有兩個彼此選的玩具都相同，試說明道理.解 ：從三種玩具中挑選兩件，搭配方式只能是下面六種：（兔、兔），（兔、熊貓），（兔、長頸鹿），（熊貓、熊貓），（熊貓、長頸鹿），（長頸鹿、長頸鹿）。把每種搭配方式看作一個抽屜，把7個小朋友看作物體，那么根據原理1，至少有兩個物體要放進同一個抽屜里，也就是說，至少兩人挑選玩具采用同一搭配方式，選的玩具相同.上面數例論證的似乎都是“存在”、“總有”、“至少有”的問題，不錯，這正是抽屜原則的主要

作用.（需要說明的是，運用抽屜原則只是肯定了“存在”、“總有”、“至少有”，卻不能確切地指出哪個抽屜里存在多少.抽屜原理雖然簡單，但應用卻很廣泛，它可以解答很多有趣的問題，其中有些問題還具有相當的難度。下面我們來研究有關的一些問題。

制造抽屜是運用原則的一大關鍵

例1 從2、4、6、…、30這15個偶數中，任取9個數，證明其中一定有兩個數之和是34。分析與解答 我們用題目中的15個偶數制造8個抽屜：

此抽屜特點：凡是抽屜中有兩個數的，都具有一個共同的特點：這兩個數的和是34。現從題目中的15個偶數中任取9個數，由抽屜原理（因為抽屜只有8個），必有兩個數可以在同一個抽屜中（符合上述特點）.由制造的抽屜的特點，這兩個數的和是34。

例2：從1、2、3、4、…、19、20這20個自然數中，至少任選幾個數，就可以保證其中一定包括兩個數，它們的差是12。

分析與解答在這20個自然數中，差是12的有以下8對：{20，8}，{19，7}，{18，6}，{17，5}，{16，4}，{15，3}，{14，2}，{13，1}。

另外還有4個不能配對的數{9}，{10}，{11}，{12}，共制成12個抽屜（每個括號看成一個抽屜）.只要有兩個數取自同一個抽屜，那么它們的差就等于12，根據抽屜原理至少任選13個數，即可辦到（取12個數：從12個抽屜中各取一個數（例如取1，2，3，…，12），那么這12個數中任意兩個數的差必不等于12）。

例3： 從1到20這20個數中，任取11個數，必有兩個數，其中一個數是另一個數的倍數。分析與解答 根據題目所要求證的問題，應考慮按照同一抽屜中，任意兩數都具有倍數關系的原則制造抽屜.把這20個數按奇數及其倍數分成以下十組，看成10個抽屜（顯然，它們具有上述性質）：

{1，2，4，8，16}，{3，6，12}，{5，10，20}，{7，14}，{9，18}，{11}，{13}，{15}，{17}，{19}。

從這10個數組的20個數中任取11個數，根據抽屜原理，至少有兩個數取自同一個抽屜.由于凡在同一抽屜中的兩個數都具有倍數關系，所以這兩個數中，其中一個數一定是另一個數的倍數。

例4：某校校慶，來了n位校友，彼此認識的握手問候.請你證明無論什么情況，在這n個校友中至少有兩人握手的次數一樣多。

分析與解答 共有n位校友，每個人握手的次數最少是0次，即這個人與其他校友都沒有握

過手；最多有n-1次，即這個人與每位到會校友都握了手.然而，如果有一個校友握手的次數是0次，那么握手次數最多的不能多于n-2次；如果有一個校友握手的次數是n-1次，那么握手次數最少的不能少于1次.不管是前一種狀態0、1、2、…、n-2，還是后一種狀態1、2、3、…、n-1，握手次數都只有n-1種情況.把這n-1種情況看成n-1個抽屜，到會的n個校友每人按照其握手的次數歸入相應的“抽屜”，根據抽屜原理，至少有兩個人屬于同一抽屜，則這兩個人握手的次數一樣多。

在有些問題中，“抽屜”和“物體”不是很明顯的，需要精心制造“抽屜”和“物體”.如何制造“抽屜”和“物體”可能是很困難的，一方面需要認真地分析題目中的條件和問題，另一方面需要多做一些題積累經驗。

例5：15個網球分成數量不同的4堆，數量最多的一堆至少有多少個球？ 分析與解答 此題實際是求出15可分拆多少種4個互不相同的整數之和，而15=1+2+3+9=1+2+4+8=1+2+5+7=1+3+4+7=1+3+5+6=2+3+4+6，所以最多一堆的球數可能是9、8、7、6，其中至少有6個。[1]

整除問題

把所有整數按照除以某個自然數m的余數分為m類，叫做m的剩余類或同余類，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一個類含有無窮多個數，例如[1]中含有1，m+1，2m+1，3m+1，….在研究與整除有關的問題時，常用剩余類作為抽屜.根據抽屜原理，可以證明：任意n+1個自然數中，總有兩個自然數的差是n的倍數。(證明：n+1個自然數被n整除余數至少有兩個相等（抽屜原理），不妨記為m=a1*n+b n=a2*n+b，則m-n整除n)。

例1 證明：任取8個自然數，必有兩個數的差是7的倍數。

分析與解答 在與整除有關的問題中有這樣的性質，如果兩個整數a、b，它們除以自然數m的余數相同，那么它們的差a-b是m的倍數.根據這個性質，本題只需證明這8個自然數中有2個自然數，它們除以7的余數相同.我們可以把所有自然數按被7除所得的7種不同的余數0、1、2、3、4、5、6分成七類.也就是7個抽屜.任取8個自然數，根據抽屜原理，必有兩個數在同一個抽屜中，也就是它們除以7的余數相同，因此這兩個數的差一定是7的倍數。

例2：對于任意的五個自然數，證明其中必有3個數的和能被3整除.證明∵任何數除以3所得余數只能是0，1，2，不妨分別構造為3個抽屜： [0]，[1]，[2] ①若這五個自然數除以3后所得余數分別分布在這3個抽屜中(即抽屜中分別為含有余數為

0,1,2的數)，我們從這三個抽屜中各取1個(如1~5中取3,4,5)，其和(3+4+5=12)必能被3整除.②若這5個余數分布在其中的兩個抽屜中，則其中必有一個抽屜至少包含有3個余數（抽屜原理），即一個抽屜包含1個余數，另一個包含4個，或者一個包含2個余數另一個抽屜包含3個。從余數多的那個抽屜里選出三個余數，其代數和或為0，或為3，或為6，均為3的倍數，故所對應的3個自然數之和是3的倍數.③若這5個余數分布在其中的一個抽屜中，很顯然，從此抽屜中任意取出三個余數，同情況②，余數之和可被3整除，故其對應的3個自然數之和能被3整除.例2′：對于任意的11個整數，證明其中一定有6個數，它們的和能被6整除.證明：設這11個整數為：a1，a2，a3……a11 又6=2×3 ①先考慮被3整除的情形

由例2知，在11個任意整數中，必存在： 3|a1+a2+a3，不妨設a1+a2+a3=b1；

同理，剩下的8個任意整數中，由例2，必存在：3 | a4+a5+a6.設a4+a5+a6=b2； 同理，其余的5個任意整數中，有：3|a7+a8+a9，設：a7+a8+a9=b3 ②再考慮b1、b2、b3被2整除.依據抽屜原理，b1、b2、b3這三個整數中，至少有兩個是同奇或同偶，這兩個同奇（或同偶）的整數之和必為偶數.不妨設2|b1+b2 則：6|b1+b2，即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6 ∴任意11個整數，其中必有6個數的和是6的倍數.例3： 任意給定7個不同的自然數，求證其中必有兩個整數，其和或差是10的倍數.分析：注意到這些數除以10的余數即個位數字，以0，1，…，9為標準制造10個抽屜，標以[0]，[1]，…，[9].若有兩數落入同一抽屜，其差是10的倍數，只是僅有7個自然數，似不便運用抽屜原則，再作調整：[6]，[7]，[8]，[9]四個抽屜分別與[4]，[3]，[2]，[1]合并，則可保證至少有一個抽屜里有兩個數，它們的和或差是10的倍數.面積問題

例：九條直線中的每一條直線都將正方形分成面積比為2:3的梯形，證明：這九條直線中至少有三條經過同一點.證明：如圖，設直線EF將正方形分成兩個梯形，作中位線MN。由于這兩個梯形的高相等，故它們的面積之比等于中位線長的比，即|MH|:|NH|。于是點H有確定的位置（它在正方形一對對邊中點的連線上，且|MH|:|NH|=2:3）.由幾何上的對稱性，這種點共有四個（即圖中的H、J、I、K）.已知的九條適合條件的分割直線中的每一條必須經過H、J、I、K這四點中的一點.把H、J、I、K看成四個抽屜，九條直線當成9個物體，即可得出必定有3條分割線經過同一點.應該是 [(物體數-1)÷抽屜數]+1 染色問題

例1正方體各面上涂上紅色或藍色的油漆（每面只涂一種色），證明正方體一定有三個面顏色相同.證明：正方形有6個面 由最多[(m-1)÷n]+1 得出[(6-1)÷2]+1=[2.5]+1=3 例2 有5個小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.請你證明，這5個人中至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。

分析與解答 首先要確定3枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4種配組情況，看作4個抽屜.根據抽屜原理，至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色在同一個抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的。

例3：假設在一個平面上有任意六個點，無三點共線，每兩點用紅色或藍色的線段連起來，都連好后，問你能不能找到一個由這些線構成的三角形，使三角形的三邊同色？

解：首先可以從這六個點中任意選擇一點，然后把這一點到其他五點間連五條線段，如圖，在這五條線段中，至少有三條線段是同一種顏色，假定是紅色，現在我們再單獨來研究這三條紅色的線。這三條線段的另一端或許是不同顏色，假設這三條線段（虛線）中其中一條是紅色的，那么這條紅色的線段和其他兩條紅色的線段便組成了我們所需要的同色三角形，如果這三條線段都是藍色的，那么這三條線段也組成我們所需要的同色三角形。因而無論怎樣著色，在這六點之間的所有線段中至少能找到一個同色三角形。

例3′（六人集會問題）證明在任意6個人的集會上，或者有3個人以前彼此相識，或者有三個人以前彼此不相識。”

例3”：17個科學家中每個人與其余16個人通信，他們通信所討論的僅有三個問題，而任兩個科學家之間通信討論的是同一個問題。證明：至少有三個科學家通信時討論的是同一個問題。

解：不妨設A是某科學家，他與其余16位討論僅三個問題，由鴿籠原理知，他至少與其中的6位討論同一問題。設這6位科學家為B，C，D，E，F，G，討論的是甲問題。

若這6位中有兩位之間也討論甲問題，則結論成立。否則他們6位只討論乙、丙兩問題。這樣又由鴿籠原理知B至少與另三位討論同一問題，不妨設這三位是C，D，E，且討論的是乙問題。

若C，D，E中有兩人也討論乙問題，則結論也就成立了。否則，他們間只討論丙問題，這

樣結論也成立。

第二篇：[數學運算]抽屜原理

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8326127 抽屜原理一

把4只蘋果放到3個抽屜里去，共有4種放法，不論如何放，必有一個抽屜里至少放進兩個蘋果。

同樣，把5只蘋果放到4個抽屜里去，必有一個抽屜里至少放進兩個蘋果。

……

更進一步，我們能夠得出這樣的結論：把n＋1只蘋果放到n個抽屜里去，那么必定有一個抽屜里至少放進兩個蘋果。這個結論，通常被稱為抽屜原理。

利用抽屜原理，可以說明（證明）許多有趣的現象或結論。不過，抽屜原理不是拿來就能用的，關鍵是要應用所學的數學知識去尋找“抽屜”，制造“抽屜”，弄清應當把什么看作“抽屜”，把什么看作“蘋果”。

【例1】一個小組共有13名同學，其中至少有2名同學同一個月過生日。為什么？

【分析】每年里共有12個月，任何一個人的生日，一定在其中的某一個月。如果把這12個月看成12個“抽屜”，把13名同學的生日看成13只“蘋果”，把13只蘋果放進12個抽屜里，一定有一個抽屜里至少放2個蘋果，也就是說，至少有2名同學在同一個月過生日。

【例 2】任意4個自然數，其中至少有兩個數的差是3的倍數。這是為什么？

【分析與解】首先我們要弄清這樣一條規律：如果兩個自然數除以3的余數相同，那么這兩個自然數的差是3的倍數。而任何一個自然數被3除的余數，或者是0，或者是1，或者是2，根據這三種情況，可以把自然數分成3類，這3種類型就是我們要制造的3個“抽屜”。我們把4個數看作“蘋果”，根據抽屜原理，必定有一個抽屜里至少有2個數。換句話說，4個自然數分成3類，至少有兩個是同一類。既然是同一類，那么這兩個數被3除的余數就一定相同。所以，任意4個自然數，至少有2個自然數的差是3的倍數。

想一想，例2中4改為7，3改為6，結論成立嗎？

【例3】有規格尺寸相同的5種顏色的襪子各15只混裝在箱內，試問不論如何取，從箱中至少取出多少只就能保證有3雙襪子（襪子無左、右之分）？

【分析與解】試想一下，從箱中取出6只、9只襪子，能配成3雙襪子嗎？回答是否定的。

按5種顏色制作5個抽屜，根據抽屜原理1，只要取出6只襪子就總有一只抽屜里裝2只，這2只就可配成一雙。拿走這一雙，尚剩4只，如果再補進2只又成6只，再根據抽屜原理1，又可配成一雙拿走。如果再補進2只，又可取得第3雙。所以，至少要取6＋2＋2=10只襪子，就一定會配成3雙。

【例4】一個布袋中有35個同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種顏色球各有10個，另外還有3個藍色球、2個綠色球，試問一次至少取出多少個球，才能保證取出的球中至少有4個是同一顏色的球？

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【分析與解】從最“不利”的取出情況入手。

最不利的情況是首先取出的5個球中，有3個是藍色球、2個綠色球。

接下來，把白、黃、紅三色看作三個抽屜，由于這三種顏色球相等均超過4個，所以，根據抽屜原理2，只要取出的球數多于（4-1）×3=9個，即至少應取出10個球，就可以保證取出的球至少有4個是同一抽屜（同一顏色）里的球。

故總共至少應取出10＋5=15個球，才能符合要求。

思考：把題中要求改為4個不同色，或者是兩兩同色，情形又如何？

當我們遇到“判別具有某種事物的性質有沒有，至少有幾個”這樣的問題時，想到它——抽屜原理，這是你的一條“決勝”之路。

教練員提示語

抽屜原理還可以反過來理解：假如把n＋1個蘋果放到n個抽屜里，放2個或2個以上蘋果的抽屜一個也沒有（與“必有一個抽屜放2個或2個以上的蘋果”相反），那么，每個抽屜最多只放1個蘋果，n個抽屜最多有n個蘋果，與“n+1個蘋果”的條件矛盾。

運用抽屜原理的關鍵是“制造抽屜”。通常，可采用把n個“蘋果”進行合理分類的方法來制造抽屜。比如，若干個同學可按出生的月份不同分為12類，自然數可按被3除所得余數分為3類等等

抽屜原理二

這里我們講抽屜原理的另一種情況。先看一個例子：如果將13只鴿子放進6只鴿籠里，那么至少有一只籠子要放3只或更多的鴿子。道理很簡單。如果每只鴿籠里只放2只鴿子，6只鴿籠共放12只鴿子。剩下的一只鴿子無論放入哪只鴿籠里，總有一只鴿籠放了3只鴿子。這個例子所體現的數學思想，就是下面的抽屜原理2。

抽屜原理2：將多于m×n件的物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品的件數不少于m+1。

說明這一原理是不難的。假定這n個抽屜中，每一個抽屜內的物品都不到（m＋1）件，即每個抽屜里的物品都不多于m件，這樣，n個抽屜中可放物品的總數就不會超過m×n件。這與多于m×n件物品的假設相矛盾。這說明一開始的假定不能成立。所以至少有一個抽屜中物品的件數不少于m＋1。

從最不利原則也可以說明抽屜原理2。為了使抽屜中的物品不少于（m＋1）件，最不利的情況就是n個抽屜中每個都放入m件物品，共放入（m×n）件物品，此時再放入1件物品，無論放入哪個抽屜，都至少有一個抽屜不少于（m＋1）件物品。這就說明了抽屜原理2。

不難看出，當m＝1時，抽屜原理2就轉化為抽屜原理1。即抽屜原理2是抽屜原理1的推廣。

例1某幼兒班有40名小朋友，現有各種玩具122件，把這些玩具全部分給小朋友，是否會有小朋友得到4件或4件以上的玩具？

分析與解：將40名小朋友看成40個抽屜。今有玩具122件，122=3×40＋2。應用抽屜

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8326127 原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一個抽屜中放有4件或4件以上的玩具。也就是說，至少會有一個小朋友得到4件或4件以上的玩具。

例2一個布袋中有40塊相同的木塊，其中編上號碼1，2，3，4的各有10塊。問：一次至少要取出多少木塊，才能保證其中至少有3塊號碼相同的木塊？

分析與解：將1，2，3，4四種號碼看成4個抽屜。要保證有一個抽屜中至少有3件物品，根據抽屜原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少要取出9塊木塊，才能保證其中有3塊號碼相同的木塊。

例3六年級有100名學生，他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、二種或三種。問：至少有多少名學生訂閱的雜志種類相同？

分析與解：首先應當弄清訂閱雜志的種類共有多少種不同的情況。

訂一種雜志有：訂甲、訂乙、訂丙3種情況；

訂二種雜志有：訂甲乙、訂乙丙、訂丙甲3種情況；

訂三種雜志有：訂甲乙丙1種情況。

總共有3＋3＋1=7（種）訂閱方法。我們將這7種訂法看成是7個“抽屜”，把100名學生看作100件物品。因為100＝14×7＋2。根據抽屜原理2，至少有14＋1＝15（人）所訂閱的報刊種類是相同的。

例4籃子里有蘋果、梨、桃和桔子，現有81個小朋友，如果每個小朋友都從中任意拿兩個水果，那么至少有多少個小朋友拿的水果是相同的？

分析與解：首先應弄清不同的水果搭配有多少種。兩個水果是相同的有4種，兩個水果不同有6種：蘋果和梨、蘋果和桃、蘋果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（種）。將這10種搭配作為10個“抽屜”。

81÷10=8……1（個）。

根據抽屜原理2，至少有8＋1＝9（個）小朋友拿的水果相同。

例5學校開辦了語文、數學、美術三個課外學習班，每個學生最多可以參加兩個（可以不參加）。問：至少有多少名學生，才能保證有不少于5名同學參加學習班的情況完全相同？

分析與解：首先要弄清參加學習班有多少種不同情況。不參加學習班有1種情況，只參加一個學習班有3種情況，參加兩個學習班有語文和數學、語文和美術、數學和美術3種情況。共有1＋3＋3＝7（種）情況。將這7種情況作為7個“抽屜”，根據抽屜原理2，要保證不少于5名同學參加學習班的情況相同，要有學生

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7×（5-1）＋1＝29（名）。

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第三篇：抽屜原理在數學中的運用

抽屜原理在初等數學中的運用

摘要：抽屜原理也稱為鴿巢原理，它是組合數學中的一個最基本的原理.也是數學中的一個重要原理，抽屜原理的簡單形式可以描述為：“如果把n+1個球或者更多的球放進n個抽屜，必有一個抽屜至少有兩個球.”它的正確性十分明顯，很容易被并不具備多少數學知識的人所接受，如果將其靈活地運用，則可得到一些意想不到的效果.運用抽屜原理可以論證許多關于“存在”、“總有”、“至少有”的存在性問題。學習抽屜原理可以用來解決數學中的許多問題，也可以解決生活中的一些現象。如招生錄取、就業安排、資源分配、職稱評定等等，都不難看到抽屜原理的作用。在解決數學問題時有非常重要的作用.抽屜原理主要用于證明某些存在性問題及必然性題目，如幾何問題、涂色問題等.各種形式的抽屜原理在高等數學和初等數學中經常被采用，使用該原理的關鍵在于如何巧妙地構造抽屜，即如何找出合乎問題條件的分類原則，抽屜構造得好，可得出非常巧妙的結論.本文著重從抽屜的構造方法闡述抽屜原理在高等數學和初等數學（競賽題）中的應用,同時指出了它在應用領域中的不足之處.關鍵詞：抽屜原理；初等數學；應用

一、抽屜原理（鴿巢原理）

什么是抽屜原理？先舉個簡單的例子說明，就是將3個球放入2個籃子里，無論怎么放，必有一個籃子中至少要放入2個球，這就是抽屜原理.或者假定有五個鴿子籠，養鴿人養了6只鴿子，當鴿子飛回巢中，那么一定至少有一個鴿籠里有兩只鴿子，這就是著名的鴿巢原理.除了這種比較普遍的形式外，抽屜原理還經許多學者推廣出其他的形式.比如陳景林、閻滿富編著的中國鐵道出版社出版的《組合數學與圖論》一書中對抽屜原理給出了比較具體的定義，概括起來主要有下面幾種形式: 原理1 把多于n個的元素按任一確定的方式分成n個集合，則一定有一個集合中含有兩個或兩個以上的元素.原理2 把m個元素任意放到n(m>n)個集合里，則至少有一個集合里至少有k個元素，其中

原理3 把無窮個元素按任一確定的方式分成有窮個集合，則至少有一個集合中仍含無窮個元素.盧開澄在《組合數學》（第三版）中將抽屜原理（書中稱為鴿巢原理）又進行了推廣[2].鴿巢原理：設k和n都是任意正整數，若至少有kn+1只鴿子分配在n個鴿巢中，則至少存在一個鴿巢中有至少k+1只鴿子.二、抽屜的構造途徑

在利用抽屜原理解題時，首先要明確哪些是“球”，哪些是“抽屜”，而這兩者通常不會現成存在于題目中，尤其是“抽屜”，往往需要我們用一些巧妙的方法去構造。我們利用抽屜原理解題的關鍵,就在于怎樣設計“抽屜”.三、抽屜原理在初等數學中的應用

初等數學問題的特點：只給出一些相關的條件，或者即使給出一些數值條件，也不能利用這些條件進行計算、或代入求值、或列方程、或做圖、或證明等方法去解決，只能利用這些條件進行推理、判斷，從而解決問題.討論存在性問題是數學競賽中的一類常見問題。處理這類問題常用到抽屜原理。下面我們就列舉抽屜原理在初等數學(競賽)中的應用.例9 某次考試有5道選擇題，每題都有4個不同的答案供選擇，每人每題恰選1個答案.在2000份答卷中發現存在一個n,使得任何n份答卷中都存在4份，其中每2份的答案都至多3題相同.n的最小可能值.(2000，中國數學奧林匹克)解：將每道題的4種答案分別記為1，2，3，4，每份試卷上的答案記為(g,h,i,j,k)，其中g,h,i,j,k∈{1,2,3,4}，令{(1,h,i,j,k),(2,h,i,j,k),(3,h,i,j,k),(4,h,i,j,k)}，h,i,j,k=1，2，3，4，共得256個四元組.由于2000=256×7+208，故由抽屜原理知，有8份試卷上的答案屬于同一個四元組.取出這8份試卷后，余下的1992份試卷中仍有8份屬于同一個四元組，再取出這8份試卷，余下的1984份試卷中又有8份屬于同一個四元組.又取出這8份試卷.三次共取出24份試卷，在這24份試卷中，任何4份中總

有2份的答案屬于同一個四元組，不滿足題目的要求.所以，n下面證明n=25.令

≥25.}S={(g,h,i,j,k)|g+h+i+j+k≡0(mod4),g,h,i,j,k∈{1,2,3,4}.則S=256，且S中去掉6個元素，當余下的250種答案中的每種答案都恰有8人選用時，共得到2000份答案，其中的25份答案中，總有4份不相同.由于它們都在S中，當然滿足題目要求.這表明，n=25滿足題目要求.綜上可知，所求的n的最小可能值為25.先運用抽屜原理給出n的下界，然后用構造法給出例子.這是一道典型的運用構造法解題的好題目.在解題中合理構造抽屜往往會收到意想不到的效果.例10 任給7個實數，證明必存在兩個實數a,b滿足0≤3

(a-b)<1+ab.ππ證明：設七個實數為a1,a2,a3,?,a7，作Qi=arctgai(i=1,　2,　?　,7),顯然Qi∈(-,)，22ππππππππππππ把(-,)等分成六個區間：(-,-)，(-,-)，(-,0)，(0,)，(,)，(,)，222336666332由抽屜原理，Q1,Q2,?,Q7必有兩個屬于同一區間，不妨設為Qi,Qj,而不論Qi,Qj屬于哪個小Qi-Qj<區間都有0≤ππ1(*)，不，由正切函數的單調性可知，0

a-bab,b=tgQj，則tg(Qi-Qj)=妨記a=tgQ,而由(?)知0≤0(Qi>Qj),1+ab>0, 從而有0≤3(a-b)<1+ab.例11 從1-100的自然數中，任意取出51個數，證明其中一定有兩個數，它們中的一個是另一個的整數倍。

分析：要解決該題，就得找到其關鍵，其實就在于“兩個數”，他們的關系是“其中一個是另一個的整數倍”。我們要構造“抽屜”，就要在每個抽屜中任取兩個數，并且有一個數是另一個的整數倍，而只有把公比是正整數的整個等比數列都放在同一個抽屜才行，這里用得到一個自然數分類的基本知識：任何一個正整數都可以表示成一個奇數與2的方冪的積，即若m∈N,K∈N，n∈N,則m=(2k-1)·2，并且這種表示方式是唯一的，如1=1×2°，2=1×2，3=3×2°，?

+

+

n

證明：因為任何一個正整數都能表示成一個奇數乘2的方冪，并且這種表示方法是唯一的，所以我們可把1-100的正整數分成如下50個抽屜（因為1-100中共有50個奇數）：

（1）{1，1×2，1×2，1×2，1×2，1×2，1×2}；

（2）{3，3×2，3×2，3×2，3×2，3×2}；

（3）{5，5×2，5×2，5×2，5×2}；

（4）{7，7×2，7×2，7×2}；

（5）{9，9×2，9×2，9×2}；

??

（25）{49，49×2}；

（26）{51}；

??

（50）{99}。

這樣，1-100的正整數就無重復，無遺漏地放進這50個抽屜內了。從這100個數中任取51個數，也即從這50個抽屜內任取51個數，根據抽屜原則，其中必定至少有兩個數屬于同一個抽屜，即屬于（1）-（25）號中的某一個抽屜，顯然，在這25個抽屜中的任何同一個抽屜內的兩個數中，一個是另一個的整數倍。

說明：（1）從上面的證明中可以看出，本題能夠推廣到一般情形：從1-2n的自然數中，任意取出n+1個數，則其中必有兩個數，它們中的一個是另一個的整數倍。想一想，為什么？因為1-2n中共含1，3，?，2n-1這n個奇數，因此可以制造n個抽屜，而n+1＞n，由抽屜原則，結論就是必然的了。給n以具體值，就可以構造出不同的題目。例2中的n取值是50，還可以編制相反的題目，如：“從前30個自然數中最少要（不看這些數而以任意方式地）取出幾個數，才能保證取出的數中能找到兩個數，其中較大的數是較小的數的倍數？”

（2）如下兩個問題的結論都是否定的（n均為正整數）想一想，為什么？

①從2，3，4，?，2n+1中任取n+1個數，是否必有兩個數，它們中的一個是另一個的整數倍？

②從1，2，3，?，2n+1中任取n+1個數，是否必有兩個數，它們中的一個是另一個的整數倍？

你能舉出反例，證明上述兩個問題的結論都是否定的嗎？

（3）如果將（2）中兩個問題中任取的n+1個數增加1個，都改成任取n+2個數，則它們的結論是肯定的還是否定的？你能判斷證明嗎？

例12（第6屆國際中學生數學奧林匹克試題）17名科學家中每兩名科學家都和其他科學家通信，在他們通信時，只討論三個題目，而且任意兩名科學家通信時只討論一個題目，證明：其中至少有三名

科學家，他們相互通信時討論的是同一個題目。

證明：視17個科學家為17個點，每兩個點之間連一條線表示這兩個科學家在討論同一個問題，若討論第一個問題則在相應兩點連紅線，若討論第2個問題則在相應兩點連條黃線，若討論第3個問題則在相應兩點連條藍線。三名科學家研究同一個問題就轉化為找到一個三邊同顏色的三角形。（本例同第十二講染色問題例4）

考慮科學家A，他要與另外的16位科學家每人通信討論一個問題，相應于從A出發引出16條線段，將它們染成3種顏色，而16=3×5+1，因而必有6=5+1條同色，不妨記為AB1，AB2，AB3，AB4，AB5，AB6同紅色，若Bi（i=1，2，?，6）之間有紅線，則出現紅色三角線，命題已成立；否則B1，B2，B3，B4，B5，B6之間的連線只染有黃藍兩色。

考慮從B1引出的5條線，B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B1B6，用兩種顏色染色，因為5=2×2+1，故必有3=2+1條線段同色，假設為黃色，并記它們為B1B2，B1B3，B1B4。這時若B2，B3，B4之間有黃線，則有黃色三角形，命題也成立，若B2，B3，B4，之間無黃線，則△B2，B3，B4，必為藍色三角形，命題仍然成立。

說明：（1）本題源于一個古典問題--世界上任意6個人中必有3人互相認識，或互相不認識。（美國普特南數學競賽題）。

（2）將互相認識用紅色表示，將互相不認識用藍色表示，（1）將化為一個染色問題，成為一個圖論問題：空間六個點，任何三點不共線，四點不共面，每兩點之間連線都涂上紅色或藍色。求證：存在三點，它們所成的三角形三邊同色。

（3）問題（2）可以往兩個方向推廣：其一是顏色的種數，其二是點數。

本例便是方向一的進展，其證明已知上述。如果繼續沿此方向前進，可有下題：

在66個科學家中，每個科學家都和其他科學家通信，在他們的通信中僅僅討論四個題目，而任何兩個科學家之間僅僅討論一個題目。證明至少有三個科學家，他們互相之間討論同一個題目。

（4）回顧上面證明過程，對于17點染3色問題可歸結為6點染2色問題，又可歸結為3點染一色問題。反過來，我們可以繼續推廣。從以上（3，1）→（6，2）→（17，3）的過程，易發現

6=（3-1）×2+2，17=（6-1）×3+2，66=（17-1）×4+2，同理可得（66-1）×5+2=327，（327-1）×6+2=1958?記為r1=3，r2=6，r3=17，r4=66，r5=327，r6=1958，?

我們可以得到遞推關系式：rn=n(rn-1-1)+2，n=2,3,4?這樣就可以構造出327點染5色問題，1958點染6色問題，都必出現一個同色三角形。

參考文獻

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[2]曹汝成.組合數學.廣州：華南理工大學出版社,2001.170-173 [3]忘向東,周士藩等.高等代數常用方法.山西：高校聯合出版社,1989.64-66 [4]劉否南.華夏文集.太原：高校聯合出版社,1995.88-90 [6]嚴示健.抽屜原則及其它的一些應用.數學通報,1998,4.10-11 [7]丁一鳴《中學數學教學》，1988年第02期 [8] 楊忠.《中學生數學》，2010年第08期

[9]石立葉，于娜，劉文涵.《抽屜原理及其應用》，2009，4.11 [10]《數學教學通訊》，1987年第03期 [11]《中學生數學》，2005年第18期

第四篇：統計與概率教案

第1課時 統計與概率（1）

【教學內容】 統計表。

【教學目標】

使學生進一步認識統計的意義，進一步認識統計表，掌握整理數據、編制統計表的方法，學會進行簡單統計。【重點難點】

讓學生系統掌握統計的基礎知識和基本技能。【教學準備】 多媒體課件。

【情景導入】 1.揭示課題

提問：在小學階段，我們學過哪些統計知識？為什么要做統計工作？ 2.引入課題

在日常生活和生產實踐中，經常需要對一些數據進行分析、比較，這樣就需要進行統計。在進行統計時，又經常要用統

計表、統計圖，并且常常進行平均數的計算。今天我們開始復習簡單的統計，這節課先復習如何設計調查表，并進行調

查統計。

【整理歸納】

收集數據，制作統計表。

教師：我們班要和希望小學六（2）班建立“手拉手”班級，你想向“手拉手”的同學介紹哪些情況？ 學生可能回答：（1）身高、體重（2）姓名、性別（3）興趣愛好

為了清楚記錄你的情況，同學們設計了一個個人情況調查表。課件展示：

為了幫助和分析全班的數據，同學們又設計了一種統計表。六（2）班學生最喜歡的學科統計表

組織學生完善調查表，怎樣調查？怎樣記錄數據?調查中要注意什么問題？ 組織學生議一議，相互交流。指名學生匯報，再集體評議。

組織學生在全班范圍內以小組形式展開調查，先由每個小組整理數據，再由每個小組向全班匯報。填好統計表。【課堂作業】

教材第96頁例3。【課堂小結】

通過本節課的學習，你有什么收獲？ 【課后作業】

完成練習冊中本課時的練習。

第1課時 統計與概率（1）（1）統計表

（2）統計圖：折線統計圖 條形統計圖 扇形統計圖

第2課時 統計與概率（2）

【教學內容】

統計與概率（2）。【教學目標】

1.使學生初步掌握把原始數據分類整理的統計方法 2.滲透統計意識。【重點難點】

能根據統計圖提供的信息，做出正確的判斷或簡單預測。【教學準備】 多媒體課件。

【情景導入】

上節課我們復習了如何設計調查表，今天我們來一起整理一下制作統計圖的相關知識。

【歸納整理】 統計圖

1.你學過幾種統計圖？分別叫什么統計圖？各有什么特征？ 條形統計圖（清楚表示各種數量多少）折線統計圖（清楚表示數量的變化情況）扇形統計圖（清楚表示各種數量的占有率）教師：結合剛才的數據例子，議一議什么類型的數據用什么樣的統計圖表示更合適？

組織學生議一議，相互交流。2.教學例4 課件出示教材第97頁例4。

（1）從統計圖中你能得到哪些信息？ 小組交流。重點匯報。

如：從扇形統計圖可以看出，男、女生占全班人數的百分率； 從條形統計圖可以看出，男、女生分別喜歡的運動項目的人數；

從折線統計圖可以看出，同學們對自己的綜合表現滿意人數的情況變化趨勢。（2）還可以通過什么手段收集數據？ 組織學生議一議，并相互交流。

如：問卷調查，查閱資料，實驗活動等。

（3）做一項調查統計工作的主要步驟是什么？ 組織學生議一議，并相互交流。

指名學生匯報，并集體訂正，使學生明確并板書： a.確定調查的主題及需要調查的數據； b.設計調查表或統計表； c.確定調查的方法； d.進行調查，予以記錄； e.整理和描述數據；

f.根據統計圖表分析數據，作出判斷和決策。【課堂作業】

教材第98頁練習二十一第2、3題。【課堂小結】

通過本節課的學習，你有什么收獲？ 【課后作業】

完成練習冊中本課時的練習。

第2課時 統計與概率（2）

做一項調查統計工作的主要步驟： ①確定調查的主題及需要調查的數據； ②設計調查表或統計表； ③確定調查的方法； ④進行調查，予以記錄； ⑤整理和描述數據；

⑥根據統計圖表分析數據，作出判斷和決策。

第3課時 統計與概率（3）

【教學內容】

平均數、中位數和眾數的整理和復習。【教學目標】

1.使學生加深對平均數、中位數和眾數的認識。體會三個統計量的不同特征和使用范圍。

2.使學生經歷解決問題的過程，發展初步的推理能力和綜合應用意識。3.靈活運用數學知識解決實際問題，激發學生的學習興趣。【重點難點】

進一步認識平均數、中位數和眾數，體會三個統計量的不同特征和使用范圍。【教學準備】 多媒體課件。

【情境導入】

教師：CCTV-3舉行青年歌手大獎賽，一歌手演唱完畢，評委亮出的分數是： 9.87,9.65,9.84,9.78,9.75,9.72,9.90,9.83，要求去掉一個最高分，一個最低分，那么該選手的最后得分是多少？

學生獨立思考，然后組織學生議一議，然后互相交流。指名學生匯報解題思路。由此引出課題：

平均數、中位數、眾數 【復習回顧】 1.復習近平均數

教師：什么是平均數？它有什么用處？ 組織學生議一議，并相互交流。

指名學生匯報，并組織學生集體評議。使學生明確：平均數能直觀、簡明地反映一組數據的一般情況，用它可以進行不

同數據的比較，看出組與組之間的差別。課件展示教材第97頁例5兩個統計表。

①提問：從上面的統計表中你能獲取哪些信息？ 學生思考后回答

②小組合作學習。（課件出示思考的問題）a.在上面兩組數據中，平均數是多少？

b.不用計算，你能發現上面兩組數據的平均數大小嗎？ c.用什么統計量表示上面兩組數據的一般水平比較合適？ ③小組匯報。

第一組數據：平均數是（1.40＋1.43×3＋1.46×5＋1.49×10＋1.52×12＋1.55×6＋1.58×3）÷（1+3+5+10+12+6+3）≈1.50（m）

第二組數據：平均數是（30×2+33×4+36×5+39×12+42×10+45×4+48×3）÷40=39.6（kg）

④用什么統計量表示上面兩組數據的一般水平比較合適？為什么？ 組織學生議一議，相互交流。

學生匯報：上面數據的一般水平用平均數比較合適。因為它與這組數據中的每個數據都有關系。2.復習中位數、眾數

（1）教師：什么是中位數？什么是眾數？它們各有什么特征？ 組織學生議一議，并相互交流。指名學生匯報。

使學生明白:在一組數據中出現次數最多的數叫做這組數據的眾數。將一組數據按大小依次排列，把處在最中間位置上 的一個數（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數。

（2）課件展示教材第97頁例5的兩個統計表，提問：你能說說這兩組數據的中位數和眾數嗎？

學生認真觀察統計表，思考并回答。指名學生匯報，并進行集體評議。【歸納小結】

1.教師：不用計算，你能發現上面每組數據的平均數、中位數、眾數之間的大小關系嗎？

組織學生議一議，并相互交流。指名學生匯報并進行集體評議。

2.教師：用什么統計量表示兩組數據的一般水平比較合適？ 組織學生議一議，并相互交流。指名學生匯報。師生共同評議。師根據學生的回答進行板書。【課堂作業】

教材第98頁練習二十一第4、5題，學生獨立完成，集體訂正。答案：

第4題：（1）不合理，因為從進貨量和銷售量的差來看，尺碼是35、39、40三種型號的鞋剩貨有些多。

（2）建議下次進貨時適當降低35、39、40三種型號鞋的進貨量，根據銷貨量的排名來看，每種型號的鞋的進貨量的比

例總體上不會有大的變化。第5題：（1）平均數：（9.8+9.7×2＋9.6×4＋9.5＋9.4×2+9.1）÷11≈9.55（分）（2）有道理，因為平均數與一組

數據中的每個數據都有關系，但它易受極端數據的影響，所以為了減小這種影響，在評分時就采取“去掉一個最高分和

一個最低分”，再計算平均數的方法，這樣做是合理的。平均分：（9.7×2+9.6×4+9.5+9.4×2）÷9≈9.57（分）【課堂小結】

通過這節課的學習活動，你有什么收獲？學生談談學到的知識及掌握的方法。

【課后作業】

完成練習冊中本課時的練習。

第3課時 統計與概率（3）

平均數：能較充分的反映一組數據的“平均水平”，但它容易受極端值的影響。

中位數：部分數據的變動對中位數沒有影響

眾數：一組數據的眾數可能不止一個，也可能沒有。

第4課時 統計與概率（4）

【教學內容】

可能性的整理與復習。【教學目標】 1.使學生加深認識事件發生的可能性和游戲規則的公平性，會求簡單事件發生的可能性，并會對事件發生的可能性作出

預測。

2.培養學生依據數據和事件分析并解決問題，作出判斷、預測和決策的能力。3.使學生體驗到用數學知識可以解決生活中的實際問題，激發學生的學習興趣。【重點難點】

認識事件發生的可能性和游戲規則的公平性，會求簡單事件發生的可能性，并會對事件發生的可能性作出預測，掌握用

分數表示可能性大小的方法。【教學準備】 多媒體課件。

【情景導入】

1.教師出示情境圖。表哥：我想看足球比賽。表弟：我想看動畫片。表妹：我想看電視劇。

教師：3個人只有一臺電視，他們都想看自己喜歡的節目，那么如何決定看什么節目呢？必須想出一個每個人都能接受 的公平的辦法來決定看什么節目。

提問：你能想出什么公平的辦法確定誰有權決定看什么節目嗎？ 學生：抽簽、擲骰子。2.揭示課題。

教師：同學們想出的方法都不錯。這節課我們來復習可能性的有關知識。（板書課題）

【復習講授】

1.教師：說一說學過哪些有關可能性的知識。（板書：一定、可能、不可能）

2.教師：在我們的生活中，同樣有些事情是一定會發生的，有些事情是可能發生的，還有些事情是不可能發生的。下面

舉出了幾個生活中的例子，請用“一定”“可能”或“不可能”來判斷這些事例的可能性。課件展示：

（1）我從出生到現在沒吃一點東西。（2）吃飯時，有人用左手拿筷子。（3）世界上每天都有人出生。組織學生獨立思考，并相互交流。指名學生匯報，并進行集體評議。3.解決問題，延伸拓展

（1）教師：用“一定”“不可能”“可能”各說一句話，在小組內討論交流。指名學生匯報并進行集體評議。（2）課件展示買彩票的片段。

組織學生看完這些片段，提問：你有什么想法嗎？

你想對買彩票的爸爸、媽媽、叔叔、阿姨說點什么呢？ 【課堂作業】 1.填空。（1）袋子里放了10個白球、5個黃球和2個紅球，這些球除顏色外其它均一樣，若從袋子里摸出一個球來，則摸到（）色球的可能性最大，摸到（）色球的可能性最小。

（2）一個盒子里裝有數量相同的紅、白兩種顏色的球，每個球除了顏色外都相同，摸到紅球甲勝，摸到白球乙勝，若

摸球前先將盒子里的球搖勻，則甲、乙獲勝的機會（）。2.選擇。

（1）用1、2、3三個數字組成一個三位數，組成偶數的可能性為（）。A.B.C.D.（2）一名運動員連續射靶10次，其中兩次命中十環，兩次命中九環，六次命中八環，針對某次射擊，下列說法正確的

是（）。

A.命中十環的可能性最大 B.命中九環的可能性最大 C.命中八環的可能性最大 D.以上可能性均等

3.有一個均勻的正十二面體的骰子，其中1個面標有“1”，2個面標有“2”，3個面標有“3”，2個面標有“4”，1個

面標有“5”，其余面標有“6”，將這個骰子擲出。（1）“6”朝上的可能性占百分之幾？（2）哪些數字朝上的可能性一樣？ 答案：

1.（1）白 紅（2）相等 2.（1）A（2）D 3.（1）25％（2）標有“1”和“5”，標有“2”與“4”，標有“3”和“6”的可能性一樣。【課堂小結】

通過這節課的學習，你有哪些收獲？學生暢談學到的知識和掌握的方法。【課后作業】

完成練習冊中本課時的練習。

第4課時統計與概率（4）

一定 可能 不可能 必然發生 可能發生 不會發生

第五篇：統計與概率總結

“統計與概率”課題實施總結

一年多來，我校課題組全體成員解放思想，勇于創新，以推進素質教育為出發點，認真學習相關理論，圍繞《統計與概率》課堂教學改革和課題的實驗工作，認真分析課堂案例，調查研究，收集材料，努力探究《統計與概率》課堂教學的有效模式，對照課題實驗方案，順利地完成了各項教育教學任務和課題研究的階段工作。下面就這近一年來的課題研究工作總結如下。

一、做好課題研究的準備工作。

1、在課題實施之前，我們積極主動的收集和學習相關知識和理論，我們深入課堂，了解、分析我校《統計與概率的教學現狀，找出教學中存在的各種問題，確定本課題的研究內容。

（1）關于小學數學統計與概率部分教學現狀、存在問題的調查研究；

（2）對于人教版小學數學教材關于統計與概率部分內容的分布、與原有教材對比變化、教學難點及其編寫特點的分析研究；

（3）在統計知識教學中，強化學生數據的收集、記錄和整理能力的培養，促進學生關于數據的分析、處理并由此作出解釋、推斷與決策的能力，對數據和統計信息有良好的判斷能力的教學策略改進，加強目標設定與目標達成的實驗研究；

（4）培養小學生用數據表示可能性的大小并對事件作出合理推斷和預測的能力的教法研究；（5）在統計和概率部分教學中，創設教學情境，促進教學有效性的研究；

（6）進行統計與概率部分的課堂教學有效模式的研究。

2、落實好課題組人員，成員如下：

組 長：陳 麗

副 組 長：陳萬江 吳學峰

核 心 成 員：馬玉鳳 王立波 李天鳳 陳維 李玉靜 孫曉慧 薛麗華

二、加強對課題組的管理，進一步發揮課題的作用。

1、嚴格按計劃實施研究，積極開展課題研究活動。

課題立項之后，我們集中大家認真學習了《統計與概率》課題研究方案，制定了課題的研究計劃，對組內教師合理分工，在管理上做到定計劃、定時間、定地點、定內容，讓實驗老師們深刻理解了《人教版小學數學教材“統計與概率”課堂教學有效性研究》課題中研究項目的主要內容和意義，進一步增強科研能力，樹立科研信心每次的校本教研既有骨干教師的教學論壇，也有年青教師的課堂展示，有理論學習，也有實際的課堂點評。

2、優化聽課制度，促進課題實驗

學校教導處規定，每周的周三各備課組進行集體備課，下一周的周一課題組成員走進課堂聽課，一方面是為課題組成員搭建相互交流的平臺，另一方面也是驗證前一周集體備課設計方案的可行性，這樣有利于及時、靈活地掌握課題實施情況和課堂教學情況，有效地促進教師上課改課、上優質課，從而真正地把課題理念落實到每一節課堂教學之中；同時，課題組還要求聽課者帶著一定的目的從多個角度進行聽課，并對收集到的事實材料進行多角度詮釋、解讀和分析，有針對性地提出討論的問題和改進的建議。聽課制度的優化，有效地避免形式主義的聽課、評課活動，對促進課題研究和實驗起到了很大的作用。

三、課題研究的實施過程

課題申報后，課題組成員就著手調查我校《統計與概率》的教學現狀以及存在的問題。

1、人教版小學數學各冊教材使用中，關于統計與可能性部分教學問題及其改進策略的調查研究。

教學現狀：課堂教學多數“照本宣科”，教學目標定位不準，教師和學生都不很重視這一領域的教和學。原因有如下幾點：一是教師專業知識不能適應新課程的教學需要；二是《統計與概率》這一領域里的可學習和參考的案例較少，教師看得不多，所以課堂改革的水平提高不快；三是在小學階段，關于《統計與概率》的考試內容相對較少，且難度不大，所以教師和學生重視不夠。

存在問題：統計教學中，教師只按教材幫助學生收集、整理數據，而忽視了對數據的分析和運用；概率教學中比較突出的問題是重結果、輕過程，沒有把學生隨機意識的培養放在重要的位置。比如，有一個老師在執教二年級《可能性》一課時，沒有充分地讓學生感受確定現象和不確定現象，而是把訓練的重點放在讓學生用“一定”“可能”和“不可能”的說話訓練上，把數學課當作了語文課來上。再如，有一個老師在執教《用分數表示可能性的大小》時，始終把重點放在學生的計算訓練上，而忽視了學生對事件發生的可能性從感性描述到定量刻畫的過程訓練上。

改進策略：（1）加強教師的專業知識的學習和培訓。要求課題組的成員認真學習新課標并深刻領會其主要精神，同時督促教師學習《統計與概率》的相關理論，聘請教學骨干做專題講座，提高教師的理論素養；（2）定期召開研討會，選擇有典型的課例進行會課或教學比賽，有的是采取同課異構的形式進行多層次的研究；（3）圍繞某一難點進行針對性討論，反復研究，取得了較為顯著的成效。如，在教學《等可能性》時，多數教師都遇到了一個較為棘手的問題：當袋子里放有相同數量的黃球和白球，啟發學生猜想：從中任意摸40次，摸到黃球和白球的可能性怎樣？學生很容易猜想并認可結果：摸到黃球和白球的可能性相等。可是，學生實驗后，立刻質疑并迅速推翻自己的猜想。此時教師無所適從，只好自圓其說：同學們，當實驗的次數越多，摸到黃球的次數和摸到白球的次數就越接近。針對上述存在的問題，我們開展了一次又一次的研究，最終按照“現實情境—猜想—實驗—驗證猜想—分析原因”的步驟，緊緊抓住“任意”關鍵詞，培養學生的隨機意識，讓學生真切地感到：袋子里放有相同數量的黃球和白球，任意去摸若干次，摸到黃球的可能性和白球的可能性相等，但結果是隨機的，即摸到黃球的次數和白球的次數不一定相等。

2、創設教學情境對于小學統計與概率教學效果的作用與影響的研究。

良好的教學情境，能使學生積極主動地、充滿自信的參與到學習之中，使學生的認知活動與情感活動有機地結合，從而促進學生非智力因素的發展和健康人格的形成。比如我們在研究一年級下冊第98頁的《統計》這一內容時，就歷經了“沒有教學情境—一創設有教學情境——創設有效的教學情境”的過程，研究中我們發現教學效果差異較大。

??反復的實踐和研究使我們深深地體會到：教學情境對教學效果的影響較大。只有創設有效的教學情境，創設貼近學生生活實際的教學情境，才能把學生真正地帶入到具體的情境中去，使學生對數學產生一種親近感，使學生感到數學是活生生的，感受到數學源于生活，生活中處處有數學。

3、“統計與概率”有效教學模式研究

課題研究之前，多數教師反映《統計與概率》的教學有著一定的困難，教學時也只是“照本宣科”，根本談不上有效和優化。為此，我們通過典型引路，反復研究，不斷實踐，在數次的實踐中摸索了“統計與概率”的教學模式：創設情境――猜想探究――驗證概括――實踐運用。

“創設情境”旨在把學生帶入到具體的生活情境中，一方面是為了幫助學生借助已有的生活經驗自主探究新知，另一方面也可以讓學生初步感悟統計與概率在生活中的作用，從而調動學生學習數學的興趣；“猜想探究” 就是先鼓勵學生大膽猜想結果，然后引領學生探究新知，這樣可以充分發揮學生的主體作用，把學習的主動權交個學生，讓學生真正成為學習的主人，在具體的學習過程中鍛煉學生的學習能力，同時也能讓學生體驗自主探究新知的快樂；“驗證概括”就是運用多種手段幫助學生驗證自己的猜想，從而使學生獲得成就感，增強學生學習的自信心，同時把剛剛獲得的新知高度、凝練地概括出一般的規律，培養學生分析問題的能力和嚴謹的思維品質“實踐運用”就是將所學的知識運用于實際，體現了數學源于生活、服務生活的思想。

通過改革實驗，我們高興地發現課堂成效發生了較為顯著的變化。課堂的教學結構完整了，教學板塊清晰了教學目標定位準確而又全面，教師經過了迷茫無奈－有條有理－精心設計教學環節的過程。學生從被動學習－主動探究，學習方式的轉變，使課堂氣氛活躍了許多，也大大提高了課堂教學效率。

四、課題研究的成效

1、對課題研究的意義的理解和認識。

21世紀的數學課程改革，把《統計與概率》作為一個單獨的領域，進入小學數學課程，這是一個重大的舉措具有里程碑的意義。因為在信息社會，收集、整理、描述、展示和解釋數據，根據情報作出決定和預測，已成為公民日益重要的技能。加強《統計與概率》課題的研究，可以強化學生數據的收集、記錄和整理能力的培養，提高學生分析、處理數據并由此作出解釋、推斷與決策的能力。

2、重視學生學習過程的研究，把學習的主動權還給了學生

新課標明確指出：學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。所以我們在數學課題的研究中，非常關注學生學習過程的研究，注重在具體的情境中對隨機現象的體驗，而不是單純地只獲取結論結合學生生活的實際，精心創設教學情境，使學生主動地投入到學習的狀態，提出關鍵的問題；搜集、整理數據分析數據，作出推測，并用一種別人信服的方式交流信息。不僅讓學生親身經歷統計與實驗的過程，而且還讓學生在實踐中自我感悟信息的價值。根據獲取的信息作出合理的推斷，培養學生分析問題和解決問題的能力。

3、營造教研氛圍，提高研究實效

我們以課題研究為契機，開展形式多樣的教研活動，旨在增強教師的教科研意識，營造良好的教研氛圍，豐富教師的科研素養，提高課堂教學效率。一年來，我們召開了《統計與概率》的專題研討會，舉行了課題研討會課比賽，開展了教師百花獎比賽、課堂教學擂臺賽等全校性教學教研活動，收到了較好的效果，得到了老師們的認可，兄弟學校的積極參與，社會的肯定。每次活動，我們堅持“實踐、思考、再實踐、再思考”的基本方法，確立一個研究主題，本著“學有所獲，研有所果”的原則，發動每個教師全程參與，45周歲以下的教師必須參與課堂展示或設計，年老的教師參與課堂點評，實實在在的教研活動，不僅調動了校內教師的教研熱情，也吸引了區內兄弟學校老師的加盟，他們積極參與了我們的課題研究。

五、今后的思考

雖然在課題的前期研究過程中，我們取得了初步的成效，但我們深知我們的課題研究工作還有許多不盡如人意的地方。為了進一步做好下一階段課題的研究工作，我們想從以下幾個方面力求突破：

1、細化分工，明確職責。根據課題的研究內容和前期的研究進展，我們決定對后期的研究工作作一些適當的調整，更加細化分工，各負其責，確保課題的研究工作順利進行。通過課堂教學研究，提高學生收集、整理數據的能力，重點培養學生推斷與決策的能力，體會數學的價值。以課堂教學為主陣地，重點研究概率教學，培養學生的隨機意識，提高學生分析問題和預測未來的能力。

2、加強理論學習，提高研究水平。前期的研究工作我們主要把精力放在課堂教學研究上，了解《統計與概率》的教學現狀、教學困惑，尋找課堂教學的有效模式，應該說在實際層面探討的比較多。接下來的課題研究工作我們 將在關注課堂教學的同時，重視理論學習，把目光聚焦在理論層面的研究上，遵循理論結合實際的原則，用理論豐富研究成果。

3、全面總結經驗，推廣研究成果。2010年下半年我們打算召開一次“課題經驗總結暨成果展示會”，旨在進一步加強和深入課題的研究工作，提升我們課題的研究水平，同時通過總結、展示，來推廣我們的研究成果，改進和優化今后的課堂教學。