第一篇：基本初等函數

基本初等函數

一、考點分析

函數是高中數學的主要內容，它把中學數學的各個分支緊密地聯系在一起，是中學數學全部內容的主線。在高考中，至少三個小題一個大題，分值在３０分左右。以指數函數、對數函數、生成性函數為載體結合圖象的變換（平移、伸縮、對稱變換）、四性問題（單調性、奇偶性、周期性、對稱性）、反函數問題常常是選擇題、填空題考查的主要內容，其中函數的單調性和奇偶性有向抽象函數發展的趨勢。函數與導數的結合是高考的熱點題型，文科以三次（或四次）函數為命題載體，理科以生成性函數（對數函數、指數函數及分式函數）為命題載體，以切線問題、極值最值問題、單調性問題、恒成立問題為設置條件，與不等式、數列綜合成題，是解答題試題的主要特點。

考點：函數的定義域和值域，了解并簡單應用分段函數，函數的單調性、最值及幾何意義、奇偶性，會利用函數圖像表示并分析函數的性質；理解指數函數、對數函數的概念以及運算

性質，會畫圖像并且了解相關性質。了解冪函數的概念，結合圖像了解變化情況。

易錯點：容易遺忘判斷單調性以及奇偶性的方法；容易遺忘指數、對數函數的圖像性質，以及相關的運算性質。

難點：函數的單調性、奇偶性，指數、對數函數的圖像性質以及運算性質。

二、知識分析

1．函數的三要素是什么？如何比較兩個函數是否相同？（定義域、對應法則、值域）

2．求函數的定義域有哪些常見類型？

例：函數

y?lgx?3的定義域是答：?0，2?3??3，4? ?2，3．如何求復合函數的定義域？

如：函數f(x)的定義域是?a，b?，b??a?0，則函數F(x)?f(x)?f(?x)的定義域是_____________。答：?a，?a?

4．求一個函數的解析式數時，注明函數的定義域了嗎？

如：f

令t?ex?x，求f（x)t?0，∴x?t2?1，∴f(t)?et

x2?12?1?t2?1，∴f(x)?e?x2?1?x?0?

5．如何用定義證明函數的單調性？（取值、作差、判正負）

如何判斷復合函數的單調性？，u??(x)（內層），則y?f??(x)? y?f(u)（外層）

當內、外層函數單調性相同時，f

??(x)?為增函數，否則f??(x)?為減函數

如：求y?log1?x2?2x的單調區間。

設u??x?2x，由u?0，則0?x?2且log1u?，u???x?1??1，如圖

??

當x?(0，1]時，u?，又log1u?，∴y?

當x?[1，2)時，u?，又log1u?，∴y?

∴……）

6．如何利用導數判斷函數的單調性？

在區間?a，b?內，若總有f'(x)?0，則f(x)為增函數。（在個別點上導數等于零，不影響函數的單調性），反之也對，若f'(x)?0呢？

如：已知a?0，函數f(x)?x3?ax在?1，???上是單調增函數，則a的最大值是 A．0

B．1C．2D．

3?x??0令f'(x)?3x?a?3?x?，則x?

x?，??

由已知f(x)在?1，????1，即a?3，∴a的最大值為3 7．函數f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？（f(x)定義域關于原點對稱）

若f(?x)??f(x)總成立?f(x)為奇函數?函數圖像關于原點對稱 若f(?x)?f(x)總成立?f(x)為偶函數?函數圖像關于y軸對稱 注意如下結論：

（1）在公共定義域內：兩個奇函數的乘積是偶函數；兩個偶函數的乘積是偶函數；一個偶函數與奇函數的乘積是奇函數。

（2）若f(x)是奇函數且定義域中有原點，則f(0)?0

a·2x?a?

2如：若f(x)?為奇函數，則實數a?

2x?

1a·20?a?2

?0，∴a?1 ∵f(x)為奇函數，x?R，又0?R，∴f(0)?0，即0

2?12x

又如：f(x)為定義在(?11)，求f(x)在，上的奇函數，當x?(0，1)時，f(x)?x

4?1(?11)，上的解析式。

2?x

令x???10，?，則?x??01，?，f(?x)??x

4?12?x2x

??又f(x)為奇函數，∴f(x)???x

4?11?4x

?2x

0)??4x?1,x?(?1，??

又f(0)?0，∴f(x)??0,x?0

?2x

?x,x??0，1??4?1?

8．你熟悉周期函數的定義嗎？

（T?0）若存在實數T，在定義域內總有f?x?T??f(x)，則f(x)為周期函數，T是

一個周期。如：若f?x?a???f(x)，則答： T?2a為f(x)的一個周期。

又如：若f(x)圖像有兩條對稱軸x?a，x?b???即f(b?x)?f(b?x)，f(a?x)?f(a?x)，則f(x)是周期函數，2|a?b|為一個周期

如圖：

9．你掌握常用的圖象變換了嗎？

f(x)與f(?x)的圖像關于y軸對稱 f(x)與?f(x)的圖像關于x軸對稱 f(x)與?f(?x)的圖像關于原點對稱 ?將y?f(x)圖像??????右移a(a?0)個單位

左移a(a?0)個單位

y?f(x?a)上移b(b?0)個單位y?f(x?a)?b

??????? 下移b(b?0)個單位

y?f(x?a)y?f(x?a)?b

注意如下“翻折”變換：f(x)?|f(x)|,f(x)?f(|x|)

如：f(x)?log2?x?1?y=log2x

作出y?|log2?x?1?|及y?log2|x?1|的圖像

10．你熟練掌握常用函數的圖象和性質了嗎？

（1）一次函數：y?kx?b?k?0?（2）反比例函數：y?

kk

?k?0?推廣為y?b??k?0?是中心O'(a，b)的雙曲線。

xx?a

b?4ac?b2?

（3）二次函數y?ax?bx?c?a?0??a?x?的圖像為拋物線 ??

2a?4a?

?b4ac?b2?bx??頂點坐標為??，對稱軸 ?2a4a??2a

開口方向：a?0，向上，函數ymin

4ac?b2?

4a

a?0，向下，ymax

4ac?b2?

4a

應用：①“三個二次”（二次函數、二次方程、二次不

等式）的關系——二次方程ax?bx?c?0，??0時，兩根x1、x2為二次函數

也是二次不等式ax?bx?c?0(?0)解集的端y?ax2?bx?c的圖像與x軸的兩個交點，點值。

②求閉區間［m，n］上的最值。

③求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。④一元二次方程根的分布問題。

如：二次方程ax?bx?c?0的兩根都大于

???0

?b?k????k，一根大于k，一根小于k?f(k)?0

2a???f(k)?0

（4）指數函數：y?a

x

?a?0，a?1?

ax(a>1)

（5）對數函數：y?logax?a?0，a?1?

由圖象記性質！（注意底數的限定！）（6）“對勾函數”y?x?

(a?

0)，k

?k?0? x

1ap

11．你在基本運算上常出現錯誤嗎？

指數運算：a0?1(a?0)，a

?p

?

a?a?

0)，a

mn

?

mn

?

a?0)

對數運算：logaM·N?logaM?logaN?M?0，N?0?

loga

M

1?logaM?logaN，loga?logaM Nn

logax

對數恒等式：a

?x；對數換底公式：logab?

logcbn

?logambn?logab logcam

12．如何解抽象函數問題？（賦值法、結構變換法）

如：（1）x?R，f(x)滿足f(x?y)?f(x)?f(y)，證明f(x)為奇函數。先令x?y?0?f(0)?0，再令y??x，……

（2）x?R，f(x)滿足f(xy)?f(x)?f(y)，證明f(x)為偶函數。先令x?y??t?f[(?t)(?t)]?f(t?t)，∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)，∴f(?t)?f(t)……

（3）證明單調性：f(x2)?f???x2?x1??x2???…… 13．掌握求函數值域的常用方法了嗎？

（二次函數法（配方法），換元法，均值定理法，利用函數單調性法，導數法等。）

三、習題

第二篇：基本初等函數教學反思

初中我們學習了一次函數、二次函數、反比例函數三類初等函數，必修一中我們又要學習另外三種初等函數----指數函數、對數函數、冪函數。在前兩章中我們已經學習了函數的概念、函數的基本性質——單調性、奇偶性，我在教學學過程中就將這些性質和初中學習的函數進行結合，分析討論這些函數的相關性質。指數函數、對數函數、冪函數的研究也是以這些基本性質為出發點，來進行研究的。實質是對函數性質研究的延續。我主要談一下我在教學對數函數的圖像和性質方面的感受。

指數函數和對數函數間有著密不可分的關系，它們的性質有好多的相似指處，因此在教學過程中，我比較注重培養學生運用對比、類比的數學思想去學習對數函數函數。；同時從數形結合的角度去感性認識對數函數的性質，這樣可以把函數的抽象性以更為直觀的形式表現出來；在教學過程中，我還適時運用肢體語言讓同學們感知函數圖像，從而比較自然地使學生能盡快記住函數圖像的樣子，有了圖像性質全部寫在圖上。數形結合這種重要的數學思想貫穿整個高中數學，應該逐漸使學生養成運用意識。學生對函數性質的把握還是不錯的。

但是，對于新知的理解和接受需要一個過程，就像我們人與人之間的交往一樣，新朋友的熟悉需要一個認識的過程。由于課程時間安排比較緊，我們不可能停下來認識，一個學期或一個學年后發現好多學生已經將對數函數、指數函數的性質忘記了，碰到了和陌生的一樣。我覺得這和我們平時的月考內容安排有關系，我們的月考內容應該是之前的全部學習內容，非本學期的前面的知識要占一定比例，但是我們的安排都是本月學習什么只考什么，前面的根本不涉及。這樣前面的東西就慢慢忘了。我們應該在這方面改進一下。

第三篇：基本初等函數的極限

基本初等函數在其定義域內極限值等于函數值.c?c 常函數 y?c limx

指數函數 y?ax?a?0,a?1?

a?1 limax??? limax?0；0?a?1 limax?0 limax??? x???x???x???x???對數函數 y?logax?a?0,a?1?

logax???；0?a?1limlogax???，limlogax??? a?1limlogax???，lim??x???x?0x???x?0

三角函數

y?tanx lim

?x??k???2?????tanx??? lim?x??k???2?????tanx???

y?cotx lim?cotx??? lim?cotx??? x??k??x??k??

反三角函數

x???limarctanx??2arctanx??；limarccotx?0 limarccotx??xlimx???x??????2?

冪函數 y?x?

x2??定義域為R,例如y?x2，limx??

1/21/21/2limx???limx?0（定義域內的點）0,??定義域為?，例如，y?x??x???x?0?

x?1?0，limx?1?? 定義域為???,0???0,???，例如y?x?1，limx??x?0

x?1/2?0，limx?1/2??? 定義域為?0,???，例如y?x?1/2，xlim???x?0?

注：不管?的取值，定義域都包括?0,???

???0，limx????，lim?x??0；??0，limx??0，limx??? ?x???x?0x???x?0

第四篇：函數與基本初等函數2.6冪函數(作業)

響水二中高三數學（理）一輪復習作業 第二編 函數與基本初等函數Ⅰ

主備人

張靈芝

總第9期

§2.6冪函數

一、填空題 1.設α∈{-1,1,12α ,3}，則使函數y=x定義域為R且為奇函數的所有的α值為.α2.冪函數f(x)=x(α是有理數）的圖象過點（2，m2?m?214），則f(x)的一個單調遞減區間是.3.如果冪函數y=（m-3m+3）x

2的圖象不過原點，則m的取值是.4.如圖所示，曲線是冪函數y=xn在第一象限的圖象，已知n取±

2、±C3，C4的n值依次為.2??1?x,5.設函數f(x)=?2??x?x?2,312四個值，則相應的曲線C1，C2，x?1,x?1，則f（1)的值為.f(2)6.設f(x)=x+x,則對任意實數a，b，“a+b≥0”是“f(a)+f(b)≥0”的 條件.127.當0

2121D上封閉.若定義域D=（0，1），則函數①f(x)=3x-1;②f(x)=-x-22

12x+1;③f3(x)=1-x;④ f4(x)=x,12其中在D上封閉的是.（填序號即可）

二、解答題 9.求函數y=x

1m2?m?1(m∈N)的定義域、值域，并判斷其單調性.

10.已知f(x)=x ?n2?2n?3（n=2k,k∈Z）的圖象在［0，+∞）上單調遞增，解不等式f(x-x)>f(x+3). 17

x2?4x?5211.指出函數f（x）=2的單調區間，并比較f（-?）與f(-)的大小.

x?4x?42

12.已知函數f(x)=x?x513?13，g(x)=

x?x513?13.

（1）證明f(x)滿足f(-x)=-f(x),并求f(x）的單調區間；

（2）分別計算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函數f(x)和g(x)的對所有 不等于零的實數x都成立的一個等式，并加以證明.

第五篇：高一數學必修一基本初等函數教案

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基本初等函數

一．【要點精講】 1．指數與對數運算（1）根式的概念：

①定義：若一個數的n次方等于a(n?1,且n?N?)，則這個數稱a的n次方根。即若xn?a，則x稱a的n次方根n?1且n?N?)，1）當n為奇數時，a的n次方根記作na；

2）當n為偶數時，負數a沒有n次方根，而正數a有兩個n次方根且互為相反數，記作?na(a?0)

②性質：1）(na)n?a；2）當n為奇數時，na?a； 3）當n為偶數時，na?|a|??（2）．冪的有關概念

①規定：1）an?a?a???a(n?N；2）a0?1(a?0)；

*

n?a(a?0)。

??a(a?0)n個 3）a?p1?p(p?Q，4）an?nam(a?0,m、n?N* 且n?1)arsr?srsr?s；2）(a)?a(a?0,r、s? Q）；(a?0,r、s?Q）

m②性質：1）a?a?arrr3）(a?b)?a?b(a?0,b?0,r? Q）。（注）上述性質對r、s?R均適用。（3）．對數的概念

b①定義：如果a(a?0,且a?1)的b次冪等于N，就是a?N，那么數b稱以a為底N的對數，記作logaN?b,其中a稱對數的底，N稱真數

1）以10為底的對數稱常用對數，log10N記作lgN；

2）以無理數e(e?2.71828?)為底的對數稱自然對數，logeN，記作lnN； ②基本性質：

1）真數N為正數（負數和零無對數）；2）loga1?0； 3）logaa?1；4）對數恒等式：alogaN?N。

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③運算性質：如果a?0,a?0,M?0,N?0,則1）loga(MN)?logaM?logaN； 2）logaM?logaM?logaN；3）logaMn?nlogaM(n?R）N④換底公式：logaN?logmN(a?0,a?0,m?0,m?1,N?0)，logmanlogab。mn1）logab?logba?1；2）logamb?2．指數函數與對數函數（1）指數函數：

①定義：函數y?ax(a?0,且a?1)稱指數函數，1）函數的定義域為R；2）函數的值域為(0,??)；

3）當0?a?1時函數為減函數，當a?1時函數為增函數。②函數圖像：自己作圖，注意兩種情況。1）指數函數的圖象都經過點（0，1），且圖象都在第一、二象限；

2）指數函數都以x軸為漸近線（當0?a?1時，圖象向左無限接近x軸，當a?1時，圖象向右無限接近x軸）；

3）對于相同的a(a?0,且a?1)，函數y?ax與y?a?x的圖象關于y軸對稱 ③函數值的變化特征：看圖像可得。自己總結。

（2）對數函數：

①定義：函數y?logax(a?0,且a?1)稱對數函數，1）函數的定義域為(0,??)；2）函數的值域為R；

3）當0?a?1時函數為減函數，當a?1時函數為增函數；

4）對數函數y?logax與指數函數y?a(a?0,且a?1)互為反函數 ②函數圖像：自己作圖，注意兩種情況。1）對數函數的圖象都經過點（0，1），且圖象都在第一、四象限；

2）對數函數都以y軸為漸近線（當0?a?1時，圖象向上無限接近y軸；當a?1時，圖象向下無限接近y軸）；

4）對于相同的a(a?0,且a?1)，函數y?logax與y?log1x的圖象關于x軸對稱。

ax③函數值的變化特征：看圖像可得。自己總結。（3）冪函數

1）掌握5個冪函數的圖像特點。指數分別為-1，1，1,2,3.22）a>0時，冪函數在第一象限內恒為增函數，a<0時在第一象限恒為減函數

3）過定點（1，1）當冪函數為偶函數過（-1,1）,當冪函數為奇函數時過（-1，-1）

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當a>0時過（0，0）。4）冪函數一定不經過第四象限 四．【典例解析】 題型1：指數運算

??3?4例1．（1）計算：[(3)3(5)0.5?(0.008)3?(0.02)2?(0.32)2]?0.06250.25；

892211解：；2。912?12例2．（1）已知x?x21.x?x○?3，求○

?1x2?x?2?2x?x32?32的值 7,3

?3題型2：對數及冪運算

（2）冪函數y?f(x)的圖象經過點(?2,?1)，則滿足f(x)＝27的x的值是.81答案 3例3．計算

（1）(lg2)?lg2?lg50?lg25； 解： 2；

題型3：指數、對數方程 2?2x?b例4．已知定義域為R的函數f(x)?x?1是奇函數.2?a（1）求a,b的值；

（2）若對任意的t?R，不等式f(t2?2t)?f(2t2?k)?0恒成立，求k的取值范圍.題型4：指數函數的概念與性質

x?1??2e,x＜2，則f(f(2))的值為（）例5．設f(x)??2??log3(x?1)，x?2.題型5：指數函數的圖像與應用

|1?x|?m的圖象與x軸有公共點，則m的取值范圍是（）例6．若函數y?()。12題型6：對數函數的概念與性質 例7．（1）函數y?log2x?2的定義域是（）

yo1例8．當a>1時，函數y=logax和y=(1－a)x的圖象只可能是()yo1yxAyo1xBxCo1xD

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【思維總結】

1．nN?a,a?N,logaN?b（其中N?0,a?0,a?1）是同一數量關系的三種不同表示形式，因此在許多問題中需要熟練進行它們之間的相互轉化，選擇最好的形式進行運算.在運算中，根式常常化為指數式比較方便，而對數式一般應化為同應化為同底；

2．要熟練運用初中學習的多項式各種乘法公式；進行數式運算的難點是運用各種變換技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆項、添項、換元等等，這些都是經常使用的變換技巧，必須通過各種題型的訓練逐漸積累經驗；

3．解決含指數式或對數式的各種問題，要熟練運用指數、對數運算法則及運算性質，更關鍵是熟練運用指數與對數函數的性質，其中單調性是使用率比較高的知識；

4．指數、對數函數值的變化特點是解決含指數、對數式的問題時使用頻繁的關鍵知識，要達到滾瓜爛熟，運用自如的水平，在使用時常常還要結合指數、對數的特殊值共同分析；

5．含有參數的指數、對數函數的討論問題是重點題型，解決這類問題的最基本的分類方案是以“底”大于1或小于1分類；

6．在學習中含有指數、對數的復合函數問題大多數都是以綜合形式出現，如與其它函數（特別是二次函數）形成的復合函數問題，與方程、不等式、數列等內容形成的各類綜合問題等等，因此要努力提高綜合能力

b 4