(2015·江蘇，7，易)不等式2x2－x<4的解集為________．
【解析】 2x2－x<4，即2x2－x<22，∴x2－x<2，即x2－x－2<0，∴(x－2)(x＋1)<0，解得－1 【答案】 {x|－1 1．(2013·北京，5，易)函數f(x)的圖象向右平移一個單位長度，所得圖象與曲線y＝ex關于y軸對稱，則f(x)＝() A．ex＋1 B．ex－1 C．e－x＋1 D．e－x－1 【答案】 D f(x)向右平移一個單位之后得到的函數應該是g(x)＝e－x，于是f(x)相當于g(x)向左平移一個單位的結果，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，選D.思路點撥：把握函數f(x)的圖象與函數y＝ex的圖象的關系是解題的關鍵． 2．(2011·山東，3，易)若點(a，9)在函數y＝3x的圖象上，則tan的值為() A．0 B.C．1 D.【答案】 D 由題意有3a＝9，則a＝2，所以tan＝tan＝.3．(2012·山東，3，易)設a＞0且a≠1，則“函數f(x)＝ax在R上是減函數”是“函數g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數”的() A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】 A 函數f(x)＝ax在R上是減函數，等價于0＜a＜1(符合a＞0且a≠1)； 函數g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數，等價于2－a＞0，又a＞0且a≠1，故0＜a＜1或1＜a＜2.故選A.4．(2012·浙江，9，難)設a＞0，b＞0.() A．若2a＋2a＝2b＋3b，則a＞b B．若2a＋2a＝2b＋3b，則a＜b C．若2a－2a＝2b－3b，則a＞b D．若2a－2a＝2b－3b，則a＜b 【答案】 A 設f(x)＝2x＋2x，則f(x)在(0，＋∞)上為增函數，由2a＋2a＝2b＋3b及b＞0，得2a＋2a＞2b＋2b，即f(a)＞f(b)，故有a＞b，即A正確，B錯誤． 對于命題C，D，令a＝2，則2b－3b＝0，即b為g(x)＝2x－3x的零點．而g(0)＝1＞0，g(2)＝－2＜0，g(4)＝4＞0，故0＜b＜2或b＞2，即0＜b＜a或b＞a，即命題C，D都是錯誤的，故選A.考向 指數函數的圖象與性質 1．指數函數的圖象與性質 0 a>1 圖象 性質 定義域：R 值域：(0，＋∞) 當x＝0時，y＝1，即過定點(0，1) 當x>0時，0 當x<0時，y>1 當x>0時，y>1； 當x<0時，0 在R上是減函數 在R上是增函數 2.指數函數圖象的特點 (1)任意兩個指數函數的圖象都是相交的，過定點(0，1)，底數互為倒數的兩個指數函數的圖象關于y軸對稱． (2)當a＞1時，指數函數的圖象呈上升趨勢； 當0＜a＜1時，指數函數的圖象呈下降趨勢． (3)指數函數在同一坐標系中的圖象的相對位置與底數大小關系如圖所示，其中0＜c＜d＜1＜a＜b，在y軸右側，圖象從上到下相應的底數由大變小，在y軸左側，圖象從下到上相應的底數由大變小，即無論在y軸的左側還是右側，底數按逆時針方向變大． 當指數函數的底數大于1時，底數越大，圖象上升越快；當底數大于0且小于1時，底數越小，圖象下降越快． (1)(2012·四川，5)函數y＝ax－(a>0，a≠1)的圖象可能是() (2)(2015·山東聊城模擬，12)若方程|3x－1|＝k有兩個解，則實數k的取值范圍是________． (3)(2012·山東，15)若函數f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值為4，最小值為m，且函數g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函數，則a＝________． 【思路導引】 解題(1)的方法是利用分類討論，即分a＞1和0＜a＜1兩種情況進行討論，然后逐項排除；解題(2)的關鍵是正確畫出y＝|3x－1|的圖象，然后數形結合求解；解題(3)的關鍵是結合a的不同取值情況分類討論函數的最值． 【解析】(1)函數y＝ax－由函數y＝ax的圖象向下平移個單位長度得到，A項顯然錯誤；當a＞1時，0＜＜1，平移距離小于1，所以B項錯誤；當0＜a＜1時，＞1，平移距離大于1，所以C項錯誤． (2)曲線y＝|3x－1|與直線y＝k的圖象如圖所示，由圖象可知，如果y＝|3x－1|與直線y＝k有兩個公共點，則實數k應滿足0＜k＜1.(3)當a>1時，有a2＝4，a－1＝m，∴a＝2，m＝，此時g(x)＝－在[0，＋∞)上為減函數，不合題意； 當0 與指數函數有關問題的解題思路 (1)求解指數型函數的圖象與性質問題 對指數型函數的圖象與性質問題(單調性、最值、大小比較、零點等)的求解往往利用相應指數函數的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象，然后數形結合使問題得解． (2)求解指數型方程、不等式問題 一些指數型方程、不等式問題的求解，往往利用相應指數型函數圖象數形結合求解． (3)求解與指數函數有關的復合函數問題時，首先，要熟知指數函數的定義域、值域、單調性等相關性質，其次，要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區間、最值等問題時，要借助“同增異減”這一性質分析判斷，最終將問題歸結為內層函數相關的問題加以解決． 指數函數的單調性是由底數a決定的，因此解題時通常對底數a按0＜a＜1和a＞1進行分類討論． (2014·山東濟寧三模，10)已知函數f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c且f(a)>f(c)>f(b)，則下列結論中，一定成立的是() A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b≥0，c＞0 C．2－a＜2c D．2a＋2c＜2 【答案】 D 作出函數f(x)＝|2x－1|的圖象，如圖． ∵a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，結合圖象知f(a)＜1，a＜0，c＞0，∴0＜2a＜1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a＜1，∴f(c)＜1，∴0＜c＜1.∴1＜2c＜2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1.又∵f(a)＞f(c)，∴1－2a＞2c－1，∴2a＋2c＜2，故選D.1．(2015·黑龍江哈爾濱模擬，5)函數f(x)＝的圖象() A．關于原點對稱 B．關于直線y＝x對稱 C．關于x軸對稱 D．關于y軸對稱 【答案】 D f(x)＝＝ex＋，∵f(－x)＝e－x＋＝ex＋＝f(x)，∴f(x)是偶函數，∴函數f(x)的圖象關于y軸對稱． 2．(2015·山東日照一模，5)若x∈(2，4)，a＝2x2，b＝(2x)2，c＝22x，則a，b，c的大小關系是() A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c 【答案】 B ∵b＝(2x)2＝22x，∴要比較a，b，c的大小，只要比較當x∈(2，4)時x2，2x，2x的大小即可．用特殊值法，取x＝3，容易知x2＞2x＞2x，則a＞c＞b.3．(2015·河北邯鄲質檢，6)已知函數y＝kx＋a的圖象如圖所示，則函數y＝ax＋k的圖象可能是() 【答案】 B 由函數y＝kx＋a的圖象可得k＜0，0＜a＜1，又因為與x軸交點的橫坐標大于1，所以k>－1，所以－1 A．K的最大值為0 B．K的最小值為0 C．K的最大值為1 D．K的最小值為1 【答案】 D 根據題意可知，對于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，則f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可． 令2x＝t，則t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值為1，∴K≥1，故選D.5．(2014·吉林長春模擬，12)已知直線y＝mx與函數f(x)＝的圖象恰好有3個不同的公共點，則實數m的取值范圍是() A．(，4) B．(，＋∞) C．(，5) D．(，2) 【答案】 B(數形結合法)作出函數f(x)＝的圖象，如圖所示． 直線y＝mx的圖象是繞坐標原點旋轉的動直線．當斜率m≤0時，直線y＝mx與函數f(x)的圖象只有一個公共點；當m＞0時，直線y＝mx始終與函數y＝2－(x≤0)的圖象有一個公共點，故要使直線y＝mx與函數f(x)的圖象有三個公共點，必須使直線y＝mx與函數y＝x2＋1(x＞0)的圖象有兩個公共點，即方程mx＝x2＋1在x＞0時有兩個不相等的實數根，即方程x2－2mx＋2＝0的判別式Δ＝4m2－4×2＞0，解得m＞.故所求實數m的取值范圍是(，＋∞)．故選B.6．(2015·江蘇連云港一模，4)當x＞0時，函數y＝(a－8)x的值恒大于1，則實數a的取值范圍是________． 【解析】 由題意知，a－8＞1，解得a＞9.【答案】(9，＋∞) 7．(2015·河南信陽質檢，15)若不等式(m2－m)2x－＜1對一切x∈(－∞，－1]恒成立，則實數m的取值范圍是________． 【解析】(m2－m)2x－＜1可變形為m2－m＜＋.設t＝，則原條件等價于不等式m2－m＜t＋t2在t≥2時恒成立．顯然t＋t2在t≥2時的最小值為6，所以m2－m＜6，解得－2＜m＜3.【答案】(－2，3) 8．(2015·皖南八校聯考，15)對于給定的函數f(x)＝ax－a－x(x∈R，a＞0，a≠1)，下面給出五個命題，其中真命題是________．(只需寫出所有真命題的編號) ①函數f(x)的圖象關于原點對稱； ②函數f(x)在R上不具有單調性； ③函數f(|x|)的圖象關于y軸對稱； ④當0＜a＜1時，函數f(|x|)的最大值是0； ⑤當a＞1時，函數f(|x|)的最大值是0.【解析】 ∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數，f(x)的圖象關于原點對稱，①真；當a＞1時，f(x)在R上為增函數，當0＜a＜1時，f(x)在R上為減函數，②假；y＝f(|x|)是偶函數，其圖象關于y軸對稱，③真；當0＜a＜1時，y＝f(|x|)在(－∞，0)上為增函數，在[0，＋∞)上為減函數，∴當x＝0時，y＝f(|x|)的最大值為0，④真；當a＞1時，f(x)在(－∞，0)上為減函數，在[0，＋∞)上為增函數，∴當x＝0時，y＝f(x)的最小值為0，⑤假，綜上，真命題是①③④.【答案】 ①③④ 1．(2015·四川，8，易)設a，b都是不等于1的正數，則“3a>3b>3”是“loga3 A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】 B 由3a>3b>31，得a＞b>1，∴log3a＞log3b＞0.由換底公式得，＞＞0，即loga3＜logb3.而由loga3 2．(2015·浙江，12，中)若a＝log43，則2a＋2－a＝________． 【解析】 ∵a＝log43＝log23，∴2a＋2－a＝2log23＋2－log23＝(2log23)＋(2log23)－＝3＋3－＝＋＝.【答案】 3．(2015·福建，14，中)若函數f(x)＝(a>0，a≠1)的值域是[4，＋∞)，則實數a的取值范圍是________． 【解析】 當x≤2時，f(x)＝－x＋6，此時f(x)∈[4，＋∞)． ∴當x>2時，f(x)＝3＋logax的值域為[4，＋∞)的子集． ①當a<1時，不符合題意； ②當a>1時，需滿足3＋loga2≥4，∴loga2≥logaa，∴a≤2.綜上可得1 1．(2013·浙江，3，易)已知x，y為正實數，則() A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg (x＋y)＝2lg x·2lg y C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg (xy)＝2lg x·2lg y 【答案】 D 由指數、對數的運算法則得2lg(xy)＝2lg x＋lg y＝2lg x·2lg y，故選D.2．(2014·福建，4，易)若函數y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象如圖所示，則下列函數圖象正確的是() 【答案】 B 由題圖可知y＝logax過點(3，1)，∴loga3＝1，∴a＝3.對A，y＝在R上為減函數，錯誤； 對B，y＝x3，符合； 對C，y＝－x3在R上為減函數，錯誤； 對D，y＝log3(－x)在(－∞，0)上為減函數，錯誤． 3．(2013·課標Ⅱ，8，中)設a＝log36，b＝log510，c＝log714，則() A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 【答案】 D 由對數運算法則得a＝log36＝1＋log32，b＝1＋log52，c＝1＋log72，由對數函數圖象得log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c，故選D.4．(2014·四川，9，難)已知f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，x∈(－1，1)．現有下列命題： ①f(－x)＝－f(x)；②f ＝2f(x)；③|f(x)|≥2|x|.其中的所有正確命題的序號是() A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 【答案】 A ∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－[ln(1＋x)－ln(1－x)]＝－f(x)，∴①正確； ∵f ＝ln－ln ＝ln－ln，∵x∈(－1，1)，∴f ＝2ln(1＋x)－2ln(1－x) ＝2[ln(1＋x)－ln(1－x)]＝2f(x)，∴②正確； 當x∈[0，1)時，|f(x)|＝ln(1＋x)－ln(1－x)＝ln，2|x|＝2x，令g(x)＝ln－2x，則g′(x)＝≥0，∴g(x)在[0，1)上為增函數，∴g(x)≥g(0)＝0，即|f(x)|≥2|x|；當x∈(－1，0)時，|f(x)|＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－ln，2|x|＝－2x，令h(x)＝2x－ln，則h′(x)＝＜0，∴h(x)在(－1，0)上為減函數，∴h(x)＞0，即|f(x)|＞2|x|.∴當x∈(－1，1)時，|f(x)|≥2|x|，故③正確． 5．(2014·陜西，11，易)已知4a＝2，lg x＝a，則x＝________． 【解析】 ∵4a＝2，∴a＝，即lg x＝＝lg，∴x＝.【答案】 6．(2013·山東，16，難)定義“正對數”： ln＋x＝現有四個命題： ①若a＞0，b＞0，則ln＋(ab)＝bln＋a； ②若a＞0，b＞0，則ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b； ③若a＞0，b＞0，則ln＋≥ln＋a－ln＋b； ④若a＞0，b＞0，則ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2.其中的真命題有________．(寫出所有真命題的編號) 【解析】 對于①，當0＜ab＜1時，有 此時ln＋(ab)＝bln＋a＝0； 當ab＝1時，有 此時ln＋(ab)＝bln＋a＝0； 當ab＞1時，有 此時ln＋(ab)＝ln ab＝bln a，而bln＋a＝bln a＝ln＋(ab)，綜上，ln＋(ab)＝bln＋a，故①正確； 對于②，令a＝2，b＝，則ln＋(ab)＝ln＋＝0； 而ln＋a＋ln＋b＝ln 2＞0，故ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b不成立，故②錯誤； 對于③，當0＜＜1時，有 或或 經驗證，ln＋≥ln＋a－ln＋b成立； 當＞1時，有或 或 經驗證，ln＋≥ln＋a－ln＋b成立； 當＝1時，ln＋≥ln＋a－ln＋b成立，故③正確； 對于④，分四種情況進行討論： 若a＋b<1，則ln＋(a＋b)＝ln＋a＝ln＋b＝0，故ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2； 若a＋b≥1，則ln＋(a＋b)＝ln(a＋b)； 若a>1，0 2＝ln a＋ln 2＝ln 2a>ln＋(a＋b)＝ln(a＋b)； 若a>1，b>1，則ln＋a＋ln＋b＋ln 2＝ln a＋ln b＋ln 2＝ln 2ab，又(a＋b)－2ab＝a(1－b)＋b(1－a)<0，故a＋b<2ab，因此ln＋a＋ln＋b＋ln 2>ln＋(a＋b)＝ln(a＋b)． 綜上，ln＋a＋ln＋b＋ln 2≥ln＋(a＋b)，故④正確． 所以命題①③④為真命題． 【答案】 ①③④ 考向1 對數的運算 對數的性質、換底公式與運算性質 性質 ①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N(a＞0且a≠1) 換底公式 公式：logab＝(a，c均大于零且不等于1，b＞0).推論：①logab＝；②loganbn＝logab；③loganbm＝logab 運算性質 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 對數的運算性質以及有關公式都是在式子中所有的對數符號有意義的前提下才成立的，不能出現log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)等錯誤． (1)(2013·四川，11)lg＋lg的值是________． (2)(2014·安徽，11)＋log3＋log3＝________.【解析】(1)lg ＋lg＝lg＝lg 10＝1.(2)原式＝＋log3＝＋log31＝.【答案】(1)1(2) 對數運算的一般思路 (1)首先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后正用對數運算性質化簡合并． (2)將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算性質，轉化為同底對數真數的積、商、冪的運算． (2013·陜西，3)設a，b，c均為不等于1的正實數，則下列等式中恒成立的是() A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 【答案】 B 利用對數的換底公式進行驗證，logab·logca＝·logca＝logcb，故B正確． 考向2 對數函數的圖象與性質 1．對數函數的圖象與性質 a＞1 0＜a＜1 圖象 性質 定義域：(0，＋∞) 值域：R 過點(1，0)，即x＝1時，y＝0 當x＞1時，y＞0； 當0＜x＜1時，y＜0 當x＞1時，y＜0； 當0＜x＜1時，y＞0 是(0，＋∞)上的增函數 是(0，＋∞)上的減函數 2．對數函數圖象的特點 (1)當a＞1時，對數函數的圖象呈上升趨勢； 當0＜a＜1時，對數函數的圖象呈下降趨勢． (2)對數函數y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象過定點(1，0)，且過點(a，1)，函數圖象只在第一、四象限． (3)在直線x＝1的右側，當a＞1時，底數越大，圖象越靠近x軸；當0＜a＜1時，底數越小，圖象越靠近x軸，即“底大圖低”． 3．常見的結論 (1)函數y＝loga|x|的圖象關于y軸對稱； (2)函數y＝ax與y＝logax互為反函數，它們的圖象關于直線y＝x對稱． (1)(2013·湖南，5)函數f(x)＝2ln x的圖象與函數g(x)＝x2－4x＋5的圖象的交點個數為() A．3 B．2 C．1 D．0 (2)(2014·重慶，12)函數f(x)＝log2·log(2x)的最小值為________． 【思路導引】 題(1)畫出f(x)與g(x)的圖象，根據特殊點對應的函數值，判斷兩圖象的位置關系，從而判斷交點個數；題(2)利用對數的運算法則及性質，對函數解析式進行化簡，通過換元化歸為二次函數求最值． 【解析】(1)在同一直角坐標系下畫出函數f(x)＝2ln x與函數g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的圖象，如圖所示． ∵f(2)＝2ln 2＞g(2)＝1，∴f(x)與g(x)的圖象的交點個數為2.(2)依題意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝－≥－，當且僅當log2x＝－，即x＝時等號成立，因此函數f(x)的最小值為－.【答案】(1)B(2)－ 1.利用對數函數的圖象可求解的兩類問題 (1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數型函數，在求解其單調性(單調區間)、值域(最值)、零點時，常利用數形結合思想求解． (2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解． 2．與對數函數有關的復合函數問題的求解策略 利用對數函數的性質，求與對數函數有關的復合函數的值域和單調性問題，首先要確定函數的定義域，所有問題必須在定義域內討論；其次分析底數與1的大小關系，底數大于1與底數小于1的兩個函數的性質截然不同；最后考慮復合函數的構成，分析它是由哪些基本初等函數復合而成的． (2015·山東威海月考，13)已知a＞0且a≠1，若函數f(x)＝loga(ax2－x)在[3，4]上是增函數，則a的取值范圍是________． 【解析】 由已知可得ax2－x＞0在[3，4]上恒成立，故9a－3＞0，解得a＞.若0＜a＜1，則y＝logat在(0，＋∞)上單調遞減，由題意知t＝ax2－x在[3，4]上為減函數，故≥4，解得a≤，這與a＞矛盾，不合題意； 若a＞1，則y＝logat在(0，＋∞)上單調遞增，由題意知t＝ax2－x在[3，4]上為增函數，故≤3，解得a≥，因為a＞1，所以a的取值范圍是(1，＋∞)． 【答案】(1，＋∞) 考向3 指數函數、對數函數的綜合應用 (1)(2014·遼寧，3)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，則() A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a (2)(2012·課標全國，11)當0 A.B.C．(1，) D．(，2) 【思路導引】 解題(1)的關鍵是掌握比較實數大小的方法；解題(2)的關鍵是尋找臨界位置，畫出兩者圖象，數形結合求解． 【解析】(1)由于0<2－<20，所以0 又當x＝時，4＝2，即函數y＝4x的圖象過點，把點代入函數y＝logax，得a＝，若函數y＝4x的圖象在函數y＝logax圖象的下方，則需 當a>1時，不符合題意，舍去． 所以實數a的取值范圍是.【答案】(1)C(2)B 1.對數值大小比較的主要方法 (1)化同底數后利用函數的單調性； (2)化同真數后利用圖象比較； (3)借用中間量(0或1等)進行估值比較． 2．解決不等式有解或恒成立問題的方法 對于較復雜的不等式有解或恒成立問題，可借助函數圖象解決，具體做法為： (1)對不等式變形，使不等號兩邊對應兩函數f(x)，g(x)； (2)在同一坐標系下作出兩函數y＝f(x)及y＝g(x)的圖象； (3)比較當x在某一范圍內取值時圖象的上下位置及交點的個數來確定參數的取值或解的情況． (2013·課標Ⅰ，11)已知函數f(x)＝若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是() A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2，1] D．[－2，0] 【答案】 D ∵|f(x)|＝ ∴由|f(x)|≥ax，分兩種情況： ①恒成立，可得a≥x－2恒成立，則a≥(x－2)max，即a≥－2，排除選項A，B.②恒成立，根據函數圖象可知a≤0.綜合①②得－2≤a≤0，故選D.1．(2015·山東日照質檢，3)2lg 2－lg的值為() A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 B 2lg 2－lg＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2.2．(2015·浙江溫州三模，5)函數y＝的值域為() A．(0，3) B．[0，3] C．(－∞，3] D．[0，＋∞) 【答案】 D 當x＜1時，0＜3x＜3；當x≥1時，log2x≥log21＝0，所以函數的值域為[0，＋∞)． 3．(2015·江西吉安模擬，5)如果logx＜logy＜0，那么() A．y＜x＜1 B．x＜y＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x 【答案】 D 因為y＝logx在(0，＋∞)上為減函數，所以x＞y＞1.4．(2015·遼寧沈陽質檢，5)已知函數f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上單調遞增，則() A．f(3)＜f(－2)＜f(1) B．f(1)＜f(－2)＜f(3) C．f(－2)＜f(1)＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜f(－2) 【答案】 B 因為f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上單調遞增，所以a＞1，f(1)＜f(2)＜f(3)． 又函數f(x)＝loga|x|為偶函數，所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)＜f(－2)＜f(3)． 5．(2015·河北滄州一模，7)已知關于x的方程＝有正根，則實數a的取值范圍是() A．(0，1) B．(0.1，10) C．(0.1，1) D．(10，＋∞) 【答案】 C 當x＞0時，0＜＜1，∵關于x的方程＝有正根，∴0＜＜1，∴解得－1＜lg a＜0，∴0.1＜a＜1.故選C.6．(2014·廣東廣州一模，6)已知函數f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0且a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關系是() A．0＜a－1＜b＜1 B．0＜b＜a－1＜1 C．0＜b－1＜a＜1 D．0＜a－1＜b－1＜1 【答案】 A 令g(x)＝2x＋b－1，這是一個增函數，而由圖象可知函數f(x)＝loga[g(x)]是單調遞增的，所以必有a＞1.又由圖象知函數圖象與y軸交點的縱坐標介于－1和0之間，即－1＜f(0)＜0，所以－1＜logab＜0，故a－1＜b＜1，因此0＜a－1＜b＜1.故選A.方法點撥：已知對數型函數的圖象研究其解析式及解析式中所含參數的取值范圍問題，通常是觀察圖象，獲得函數的單調性、對稱性、奇偶性、經過的特殊點等，以此為突破口． 7．(2015·山西大同二模，13)若f(x)＝ax－，且f(lg a)＝，則a＝________.【解析】 f(lg a)＝alg a－＝＝，∴alg a＝(10a)，兩邊取常用對數，得(lg a)2＝(1＋lg a)，∴2(lg a)2－lg a－1＝0，解得lg a＝1或lg a＝－，∴a＝10或a＝.【答案】 10或 8．(2015·湖北十堰聯考，14)若函數f(x)＝loga(2－ax)(a＞0，a≠1)在區間(1，3)內單調遞增，則a的取值范圍是________． 【解析】 ∵f(x)＝loga(2－ax)，∴令y＝logat，t＝2－ax，∵a>0且a≠1，x∈(1，3)，∴t在(1，3)上單調遞減，∵f(x)＝loga(2－ax)在區間(1，3)內單調遞增，∴函數y＝logat是減函數，且2－ax＞0在(1，3)上恒成立，∴x 9．(2015·河南安陽模擬，15)已知函數f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則a＋b＋c的取值范圍為________． 【解析】 畫出函數f(x)的圖象，如圖． 不妨令a＜b＜c，由已知和圖象可知，0＜a＜1＜b＜e＜c＜e2.∵－ln a＝ln b，∴ab＝1.∵ln b＝2－ln c，∴bc＝e2，∴a＋b＋c＝b＋(1 10．(2014·安徽合肥模擬，13)若不等式x2－logax＜0在內恒成立，則a的取值范圍是________． 【解析】 ∵不等式x2－logax＜0，即x2 易錯點撥：本題易忽視≤loga中的等號而導致錯誤． 1．(2015·四川，9，中)如果函數f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在區間上單調遞減，那么mn的最大值為() A．16 B．18 C．25 D.【答案】 B ∵f ′(x)＝(m－2)x＋(n－8)，要使f(x)在區間上單調遞減，需滿足f ′(x)≤0在上恒成立，則f ′(x)max≤0.當m≥2時，f ′(x)max＝2m－4＋n－8≤0恒成立，∴2m＋n≤12.∴mn＝×2mn≤×≤18，當且僅當2m＝n，2m＋n＝12，即m＝3，n＝6時，等號成立； 當0≤m＜2時，f ′(x)max＝(m－2)×＋(n－8)≤0恒成立，∴m＋2n≤18，∴mn＝×2mn≤×≤，當且僅當m＝2n，m＋2n＝18，即n＝，m＝9時，等號成立，而m＝9與0≤m＜2矛盾，故不符合題意． 綜上可知，mn的最大值為18.故選B.2．(2015·浙江，18，15分，中)已知函數f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，記M(a，b)是|f(x)|在區間[－1，1]上的最大值． (1)證明：當|a|≥2時，M(a，b)≥2； (2)當a，b滿足M(a，b)≤2時，求|a|＋|b|的最大值． 解：(1)證明：由f(x)＝＋b－，得對稱軸為直線x＝－.由|a|≥2，得≥1，故f(x)在[－1，1]上單調，所以M(a，b)＝max{|f(1)|，|f(－1)|}． 當a≥2時，由f(1)－f(－1)＝2a≥4，得max{f(1)，－f(－1)}≥2，即M(a，b)≥2.當a≤－2時，由f(－1)－f(1)＝－2a≥4，得max{f(－1)，－f(1)}≥2，即M(a，b)≥2.綜上，當|a|≥2時，M(a，b)≥2.(2)由M(a，b)≤2得 |1＋a＋b|＝|f(1)|≤2，|1－a＋b|＝ |f(－1)|≤2，故 |a＋b|≤3，|a－b|≤3.由|a|＋|b|＝得 |a|＋|b|≤3.當a＝2，b＝－1時，|a|＋|b|＝3，且|x2＋2x－1|在[－1，1]上的最大值為2，即M(2，－1)＝2.所以|a|＋|b|的最大值為3.1．(2013·重慶，3，易)(－6≤a≤3)的最大值為() A．9 B.C．3 D.【答案】 B 易知函數y＝(3－a)(a＋6)＝－a2－3a＋18的兩個零點是3，－6，對稱軸為a＝－，y＝－a2－3a＋18的最大值為f＝，則的最大值為，故選B.2．(2013·江蘇，13，難)在平面直角坐標系xOy中，設定點A(a，a)，P是函數y＝(x>0)圖象上一動點．若點P，A之間的最短距離為2，則滿足條件的實數a的所有值為________． 【解析】 設P，則 |PA|2＝(x－a)2＋ ＝－2a＋2a2－2，令t＝x＋≥2(x＞0，當且僅當x＝1時取“＝”)，則|PA|2＝t2－2at＋2a2－2.①當a≤2時，(|PA|2)min＝22－2a×2＋2a2－2＝2a2－4a＋2，由題意知，2a2－4a＋2＝8，解得a＝－1或a＝3(舍)． ②當a＞2時，(|PA|2)min＝a2－2a×a＋2a2－2＝a2－2.由題意知，a2－2＝8，解得a＝或a＝－(舍)． 綜上知a＝－1或.【答案】 －1或 3．(2014·遼寧，16，難)對于c＞0，當非零實數a，b滿足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大時，－＋的最小值為________． 【解析】 設2a＋b＝t，則2a＝t－b.由已知得關于b的方程(t－b)2－b(t－b)＋4b2－c＝0有解，即6b2－3tb＋t2－c＝0有解． 故Δ＝9t2－24(t2－c)≥0，所以t2≤c，所以|t|max＝，此時c＝t2，b＝t，2a＝t－b＝，所以a＝.故－＋＝－＋ ＝8＝8－2≥－2.【答案】 －2 思路點撥：先換元，利用方程的判別式求出|2a＋b|取最大值的條件，再消去字母，配方處理． 考向1 二次函數的圖象、性質及應用 1．二次函數解析式的三種形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)頂點式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)為拋物線頂點坐標． (3)兩點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是拋物線與x軸交點的橫坐標． 2．二次函數的圖象與性質 函數 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 圖象(拋物線) 定義域 R 值域 對稱軸 x＝－ 頂點坐標 奇偶性 當b＝0時是偶函數，當b≠0時是非奇非偶函數 單調性 在上是減函數； 在上是增函數 在上是增函數； 在上是減函數 最值 當x＝－時，當x＝－時，ymin＝ ymax＝ 二次函數、一元二次方程和一元二次不等式統稱為三個“二次”．它們常結合在一起，而二次函數又是其核心．因此，利用二次函數的圖象數形結合是探求這類問題的基本策略． (1)(2013·遼寧，12)已知函數f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.設H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的較大值，min{p，q}表示p，q中的較小值)．記H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則A－B＝() A．a2－2a－16 B．a2＋2a－16 C．－16 D．16 (2)(2012·福建，15)對于實數a和b，定義運算“*”：a*b＝設f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且關于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三個互不相等的實數根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是________． 【思路導引】 解題(1)的方法是數形結合，在同一坐標系中畫出函數的圖象，由圖象求解；解題(2)時注意數形結合思想方法的應用，同時注意二次函數圖象的對稱性及基本不等式的應用． 【解析】(1)令f(x)＝g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，即x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a＋2或x＝a－2.f(x)與g(x)的圖象如圖． 由圖象及H1(x)的定義知H1(x)的最小值是f(a＋2)，H2(x)的最大值為g(a－2)，∴A－B＝f(a＋2)－g(a－2)＝(a＋2)2－2(a＋2)2＋a2＋(a－2)2－2(a－2)2＋a2－8＝－16.(2)由定義可知，f(x)＝作出函數f(x)的圖象，如圖所示． 設y＝m與y＝f(x)圖象交點的橫坐標從小到大分別為x1，x2，x3.由y＝－x2＋x＝－＋得頂點坐標為.當y＝時，代入y＝2x2－x，得＝2x2－x，解得x＝(舍去正值)，∴x1∈.又∵y＝－x2＋x的對稱軸為x＝，∴x2＋x3＝1，且x2，x3＞0，∴0＜x2x3＜＝.又∵0＜－x1＜，∴0＜－x1x2x3＜，∴＜x1x2x3＜0.【答案】(1)C(2) 與二次函數圖象有關問題的求解策略 (1)識別二次函數的圖象主要從開口方向、對稱軸、特殊點對應的函數值這幾個方面入手． (2)用數形結合法解決與二次函數圖象有關的問題時，要盡量規范作圖，尤其是圖象的開口方向、頂點、對稱軸及與兩坐標軸的交點要標清楚，這樣在解題時才不易出錯． (2015·河南鶴壁質檢，6)如圖是二次函數y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點A(－3，0)，對稱軸為x＝－1.給出下面四個結論：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正確的是() A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 【答案】 B 因為圖象與x軸有兩個交點，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正確； 對稱軸為x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②錯誤； 結合圖象，當x＝－1時，y＞0，即a－b＋c＞0，③錯誤； 由對稱軸為x＝－1知，b＝2a.又函數圖象開口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正確． 考向2 二次函數在給定區間上的最值 (2015·山西陽泉模擬，17，12分)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值． 【思路導引】 解本題的關鍵是判斷二次函數的對稱軸與所在區間的關系，然后結合二次函數的圖象與性質求解． 【解析】 ①當a＝0時，f(x)＝－2x在[0，1]上遞減，∴f(x)min＝f(1)＝－2.②當a>0時，f(x)＝ax2－2x的圖象的開口方向向上，且對稱軸為x＝.當≤1，即a≥1時，f(x)＝ax2－2x的圖象的對稱軸在[0，1]內，∴f(x)在上遞減，在上遞增． ∴f(x)min＝f ＝－＝－.當>1，即0 ∴f(x)min＝f(1)＝a－2.③當a<0時，f(x)＝ax2－2x的圖象的開口方向向下，且對稱軸x＝<0，在y軸的左側，∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上遞減． ∴f(x)min＝f(1)＝a－2.綜上所述，f(x)min＝ 求二次函數在給定區間上最值的方法 二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(不妨設a>0)在區間[m，n]上的最大或最小值的求法如下： (1)當－∈[m，n]，即對稱軸在所給區間內時，f(x)的最小值在對稱軸處取得，其最小值是f ＝；若－≤，f(x)的最大值為f(n)；若－≥，f(x)的最大值為f(m)． (2)當－?[m，n]，即給定的區間在對稱軸的一側時，f(x)在[m，n]上是單調函數．若－ (3)當不能確定對稱軸－是否屬于區間[m，n]時，則需分類討論，以對稱軸與區間的關系確定討論的標準，然后轉化為上述(1)(2)兩種情形求最值． 若將典型例題2中的函數改為f(x)＝x2－2ax，其他不變，應如何求解？ 解：∵f(x)＝x2－2ax＝(x－a)2－a2，對稱軸為x＝a.①當a＜0時，f(x)在[0，1]上是增函數，∴f(x)min＝f(0)＝0.②當0≤a≤1時，f(x)min＝f(a)＝－a2.③當a＞1時，f(x)在[0，1]上是減函數，∴f(x)min＝f(1)＝1－2a.綜上所述，f(x)min＝ 考向3 冪函數的圖象、性質及應用 1．五種冪函數的圖象 2．五種冪函數的性質 函數 特征 性質 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定義域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 單調性 增 當x∈[0，＋∞) 時，增； 當x∈(－∞，0] 時，減 增 增 當x∈(0，＋∞) 時，減； 當x∈(－∞，0) 時，減 定點 (0，0)，(1，1) (1，1) (1)(2014·浙江，7)在同一直角坐標系中，函數f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax的圖象可能是() (2)(2011·北京，13)已知函數f(x)＝若關于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根，則實數k的取值范圍是__________． 【思路導引】 解題(1)的關鍵是掌握冪函數、對數函數圖象的特征及性質；解題(2)的方法是作出函數圖象，利用數形結合的思想求解． 【解析】(1)因為a＞0，所以f(x)＝xa在(0，＋∞)上為增函數，故A不符合；在B中，由f(x)的圖象知a＞1，由g(x)的圖象知0＜a＜1，矛盾，故B不符合；在C中，由f(x)的圖象知0＜a＜1，由g(x)的圖象知a＞1，矛盾，故C不符合；在D中，由f(x)的圖象知0＜a＜1，由g(x)的圖象知0＜a＜1，相符． (2)作出函數y＝f(x)的圖象如圖． 則當0＜k＜1時，關于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根． 【答案】(1)D(2)(0，1) 冪函數的圖象與性質問題的解題策略 (1)關于圖象辨識問題，關鍵是熟悉各類冪函數的圖象特征，如過特殊點、凹凸性等． (2)關于比較冪值大小問題，結合冪值的特點利用指數冪的運算性質化成同指數冪，選擇適當的冪函數，借助其單調性進行比較或應用． (3)在解決冪函數與其他函數的圖象的交點個數、對應方程根的個數及近似解等問題時，常用數形結合的思想方法，即在同一坐標系下畫出兩函數的圖象，數形結合求解． (2014·山東濰坊模擬，13)當0＜x＜1時，函數f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小關系是________． 【解析】 如圖所示為函數f(x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的圖象，由此可知，h(x)＞g(x)＞f(x)． 【答案】 h(x)＞g(x)＞f(x) 1．(2015·四川成都一模，5)方程|x2－2x|＝a2＋1(a∈(0，＋∞))的解有() A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】 B ∵a∈(0，＋∞)，∴a2＋1＞1，∴y＝|x2－2x|的圖象與直線y＝a2＋1總有兩個交點，∴方程有兩解，故選B.2．(2015·河北衡水二模，10)函數y＝x－x的圖象大致為() 【答案】 A 由題意知函數為奇函數，圖象關于原點對稱，所以排除C，D；當x＝1時，y＝0，當x＝8時，y＝8－＝8－2＝6＞0，排除B，故選A.3．(2015·江西九江模擬，6)已知函數f(x)＝ax2＋2ax＋b(1＜a＜3)，且x1＜x2，x1＋x2＝1－a，則下列說法正確的是() A．f(x1)＜f(x2) B．f(x1)＞f(x2) C．f(x1)＝f(x2) D．f(x1)與f(x2)的大小關系不能確定 【答案】 A ∵1 4．(2015·甘肅蘭州模擬，6)已知冪函數f(x)的圖象經過點，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＜x2)是函數圖象上的任意不同兩點，給出以下結論： ①x1 f (x1)＞x2 f (x2)；②x1 f (x1)＜x2f (x2)； ③＞；④＜.其中正確結論的序號是() A．①② B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】 D 設函數f(x)＝xα，由點在函數圖象上得＝，解得α＝.故f(x)＝x.故g(x)＝xf(x)＝x為(0，＋∞)上的增函數，故①錯誤，②正確；而h(x)＝＝x－為(0，＋∞)上的減函數，故③正確，④錯誤． 5．(2014·湖北武漢質檢，7)設函數f(x)＝則不等式f(x)＞f(1)的解集是() A．(－3，1)∪(3，＋∞) B．(－3，1)∪(2，＋∞) C．(－1，1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，3) 【答案】 A 方法一(分類討論)：∵f(1)＝12－4×1＋6＝3，∴? ?0≤x＜1或x＞3； ??－3＜x＜0.∴f(x)＞f(1)的解集為(－3，1)∪(3，＋∞)，故選A.方法二(圖象法)：∵f(1)＝3，畫出f(x)的圖象，如圖所示，易知f(x)＝3時，x＝－3，1，3.故f(x)＞f(1)?－3＜x＜1或x＞3.6．(2015·天津質檢，13)當x∈(1，2)時，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，則m的取值范圍是________． 【解析】 方法一：設f(x)＝x2＋mx＋4，當x∈(1，2)時，f(x)＜0恒成立???m≤－5.方法二：∵不等式x2＋mx＋4＜0對x∈(1，2)恒成立，∴mx＜－x2－4對x∈(1，2)恒成立，即m＜－對x∈(1，2)恒成立，令y＝x＋，則函數y＝x＋在(1，2)上是減函數，∴4＜y＜5，∴－5＜－＜－4，∴m≤－5.【答案】(－∞，－5] 7．(2015·河南南陽質檢，16)已知對于任意的自然數n，拋物線y＝(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1與x軸相交于An，Bn兩點，則|A1B1|＋|A2B2|＋|A3B3|＋…＋|A2 014B2 014|＝________.【解析】 令(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1＝0，則x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AnBn|＝ ＝＝ ＝－，因此|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2 014B2 014|＝＋＋…＋＝1－＝.【答案】 思路點撥：解題時可先利用根與系數的關系和兩點間距離公式，求出|AnBn|，再利用裂項法求和． (時間：90分鐘__分數：120分) 一、選擇題(共10小題，每小題5分，共50分) 1．(2014·天津，4)設a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，則() A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a 【答案】 C ∵π＞2，∴log2π＞1.∵π＞1，∴b＝logπ＜0.又π＞1，∴0＜π－2＜1，即0＜c＜1，∴a＞c＞b.思路點撥：利用指數函數與對數函數的性質判斷出a，b，c的取值范圍，然后再比較大小． 2．(2012·安徽，3)(log29)·(log34)＝() A.B.C．2 D．4 【答案】 D(log29)·(log34)＝2(log23)·2(log32)＝4log23·log32＝4.3．(2014·四川，7)已知b＞0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，則下列等式一定成立的是() A．d＝ac B．a＝cd C．c＝ad D．d＝a＋c 【答案】 B ∵log5b＝a，lg b＝c，∴5a＝b，b＝10c.又5d＝10，∴5a＝b＝10c＝(5d)c＝5dc，∴a＝cd.4．(2015·河北唐山質檢，5)已知函數h(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上是單調函數，則k的取值范圍是() A．(－∞，40] B．[160，＋∞) C．(－∞，40]∪[160，＋∞) D．? 【答案】 C 函數h(x)的對稱軸為x＝，要使h(x)在[5，20]上是單調函數，應有≤5或≥20，即k≤40或k≥160，故選C.5．(2015·遼寧沈陽模擬，6)函數f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的圖象恒過點A，下列函數中圖象不經過點A的是() A．y＝ B．y＝|x－2| C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x) 【答案】 A 函數f(x)＝ax－1的圖象恒過點A(1，1)，對函數y＝來說，當x＝1時，y＝0，即圖象不經過點A(1，1)，其余函數圖象均過點(1，1)． 6．(2015·河南洛陽模擬，4)下面給出4個冪函數的圖象，則圖象與函數的大致對應是() A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1 D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1 【答案】 B ②的圖象關于y軸對稱，②應為偶函數，故排除選項C，D.①由圖象知，在第一象限內，圖象下凸，遞增的較快，所以冪函數的指數大于1，故排除A.選B.7．(2015·廣東深圳三模，7)已知函數g(x)是偶函數，f(x)＝g(x－2)，且當x≠2時其導函數f ′(x)滿足(x－2) f ′(x)＞0.若1＜a＜3，則() A．f(4a)＜f(3)＜f(log3a) B．f(3)＜f(log3a)＜f(4a) C．f(log3a)＜f(3)＜f(4a) D．f(log3a)＜f(4a)＜f(3) 【答案】 B ∵(x－2)f ′(x)＞0，∴x＞2時，f ′(x)＞0，x＜2時，f ′(x)＜0.∴f(x)在(2，＋∞)上遞增，在(－∞，2)上遞減．∵g(x)是偶函數，∴g(x－2)關于x＝2對稱，即f(x)關于x＝2對稱．∵1＜a＜3，∴f(3)＜f(log3a)＜f(4a)． 8．(2015·山東德州聯考，8)若函數f(x)，g(x)分別為R上的奇函數，偶函數，且滿足f(x)－g(x)＝ex，則有() A．f(2)＜f(3)＜g(0) B．g(0)＜f(3)＜f(2) C．f(2)＜g(0)＜f(3) D．g(0)＜f(2)＜f(3) 【答案】 D ∵f(x)－g(x)＝ex且f(x)，g(x)分別為R上的奇函數，偶函數，∴f(－x)－g(－x)＝e－x，即－f(x)－g(x)＝e－x，解得f(x)＝，g(x)＝－.易知f(x)在[0，＋∞)上是增函數，∴f(3)＞f(2)＞f(0)＝0.又g(0)＝－1，∴g(0)＜f(2)＜f(3)，故選D.9．(2014·湖北黃岡一模，9)已知函數f(x)＝|log2x|，正實數m，n滿足m＜n，且f(m)＝f(n)．若f(x)在區間[m2，n]上的最大值為2，則m，n的值分別為() A.，2 B.，4 C.，D.，4 【答案】 A(數形結合求解)f(x)＝|log2x|＝ 根據f(m)＝f(n)(m＜n)及f(x)的單調性，知mn＝1且0＜m＜1，n＞1.又f(x)在[m2，n]上的最大值為2，由圖象知：f(m2)＞f(m)＝f(n)，∴f(x)max＝f(m2)，x∈[m2，n]． 故f(m2)＝2，易得n＝2，m＝.10．(2015·安徽六安高三調研，10)若直角坐標平面內的兩個不同點M，N滿足條件： ①M，N都在函數y＝f(x)的圖象上； ②M，N關于原點對稱． 則稱點對[M，N]為函數y＝f(x)的一對“友好點對”．(注：點對[M，N]與[N，M]為同一“友好點對”) 已知函數f(x)＝此函數的“友好點對”有() A．0對 B．1對 C．2對 D．3對 【答案】 C 由題意，當x>0時，將f(x)＝log3x的圖象關于原點對稱后可知，g(x)＝－log3(－x)(x<0)的圖象與x≤0時f(x)＝－x2－4x的圖象存在兩個交點，如圖所示，故“友好點對”的數量為2，故選C.二、填空題(共4小題，每小題5分，共20分) 11．(2015·湖北鄂州統考，13)已知2a＝5b＝，則＋＝________.【解析】 ∵2a＝5b＝，∴a＝log2，b＝log5，∴＋＝＋＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2.【答案】 2 12．(2015·湖南株洲模擬，13)已知函數f(x)＝則f(log23)的值為________． 【解析】 ∵log23＜log24＝2，∴f(log23)＝f(1＋log23)＝f(log26)＝log26＝.【答案】 13．(2015·山東臨沂一模，13)已知函數f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，則b的取值范圍是________． 【解析】 ∵f(a)＞－1，∴g(b)＞－1，∴－b2＋4b－3＞－1，∴b2－4b＋2＜0，∴2－＜b＜2＋.【答案】(2－，2＋) 14．(2014·陜西咸陽模擬，14)已知函數f(x)＝關于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實根，則實數a的取值范圍是________． 【解析】 方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實根，等價于函數y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象有且只有一個交點．結合下面函數圖象可知a＞1.【答案】(1，＋∞) 三、解答題(共4小題，共50分) 15．(12分)(2015·湖北十校聯考，17)已知函數f(x)＝b·ax(其中a，b為常量，且a＞0，a≠1)的圖象經過點A(1，6)，B(3，24)． (1)求f(x)的表達式； (2)若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]時恒成立，求實數m的取值范圍． 解：(1)∵f(x)的圖象過點A(1，6)，B(3，24)，∴ ∴a2＝4.又a＞0，∴a＝2，∴b＝3.∴f(x)＝3·2x.(2)由(1)知a＝2，b＝3，則x∈(－∞，1]時，＋－m≥0恒成立，即m≤＋在x∈(－∞，1]時恒成立． 又∵y＝與y＝均為減函數，∴y＝＋也是減函數，∴當x＝1時，y＝＋有最小值，所以m≤，即m的取值范圍是.16．(12分)(2015·湖南長沙模擬，18)已知奇函數f(x)的定義域為[－1，1]，當x∈[－1，0)時，f(x)＝－.(1)求函數f(x)在[0，1]上的值域； (2)若x∈(0，1]，g(x)＝f2(x)－f(x)＋1的最小值為－2，求實數λ的值． 解：(1)設x∈(0，1]，則－x∈[－1，0)，∴f(－x)＝－＝－2x.又f(x)為奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，∴當x∈(0，1]時，f(x)＝－f(－x)＝2x，∴f(x)∈(1，2]．又f(0)＝0，∴當x∈[0，1]時，函數f(x)的值域為(1，2]∪{0}． (2)由(1)知，當x∈(0，1]時，f(x)∈(1，2]，∴f(x)∈.令t＝f(x)，則＜t≤1，g(t)＝f2(x)－f(x)＋1＝t2－λt＋1 ＝＋1－.①當≤，即λ≤1時，g(t)＞g，無最小值． ②當＜≤1，即1＜λ≤2時，g(t)min＝g＝1－＝－2，解得λ＝±2(舍去)． ③當＞1，即λ＞ 2時，g(t)min＝g(1)＝2－λ＝－2，解得λ＝4.綜上所述λ＝4.17．(12分)(2014·安徽阜陽高三聯考，18)某工廠某種產品的年固定成本為250萬元，每生產x千件，需另投入成本為C(x)，當年產量不足80千件時，C(x)＝x2＋10x(萬元)；當年產量不小于80千件時，C(x)＝51x＋－1 450(萬元)．每件商品售價為0.05萬元．通過市場分析，該廠生產的商品能全部售完． (1)寫出年利潤L(x)(萬元)關于年產量x(千件)的函數解析式； (2)年產量為多少千件時，該廠在這種商品的生產中所獲利潤最大？ 解：(1)因為每件商品售價為0.05萬元，則x千件商品銷售額為0.05×1 000x萬元，依題意得，當0 000x)－x2－10x－250＝－x2＋40x－250.當x≥80時，L(x)＝(0.05×1 000x)－51x－＋1 450－250＝1 200－.所以L(x)＝ (2)當0 當x≥80時，L(x)＝1 200－ ≤1 200－2 ＝1 200－200＝1 000.此時，當x＝，即x＝100時，L(x)取得最大值1 000萬元．因為950<1 000，所以，當年產量為100千件時，該廠在這種商品的生產中所獲利潤最大，最大利潤為1 000萬元． 18．(14分)(2015·福建泉州模擬，20)已知函數g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在區間[2，3]上的最大值為4，最小值為1，f(x)＝g(|x|)． (1)求實數a，b的值； (2)若不等式f(log2k)>f(2)成立，求實數k的取值范圍； (3)定義在[p，q]上的一個函數m(x)，用分法T： p＝x0 |m(xi)－m(xi－1)|≤M恒成立，則稱函數m(x)為[p，q]上的有界變差函數．試判斷函數f(x)是否為[1，3]上的有界變差函數．若是，求M的最小值；若不是，請說明理由.解：(1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，因為a>0，所以g(x)在區間[2，3]上是增函數，故解得 (2)由已知可得f(x)＝g(|x|)＝x2－2|x|＋1為偶函數，所以不等式f(log2k)>f(2)可化為|log2k|>2，解得k>4或0 (3)函數f(x)為[1，3]上的有界變差函數．因為函數f(x)在[1，3]上單調遞增，且對任意劃分T： 1＝x0 |f(xi)－f(xi－1)|＝f(x1)－f(x0)＋f(x2)－f(x1)＋…＋f(xn)－f(xn－1)＝f(xn)－f(x0)＝f(3)－f(1)＝4，所以存在常數M≥4，使得|f(xi)－f(xi－1)|≤M成立，所以M的最小值為4.
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