第一篇：《函數的基本性質》知識總結大全

《函數的基本性質》知識總結

1.單調性

函數的單調性是研究函數在定義域內某一范圍的圖象整體上升或下降的變化趨勢，是研究函數圖象在定義域內的局部變化性質。

⑴函數單調性的定義

一般地，設函數y?f(x)的定義域為A，區間I?A．如果對于區間I

上是單調增函數，I稱為內的______兩個值x1，x2，當x1

x1，x2，當x1

?M,當x1?x2時，有f(x1)?f(x2)?0

f(x1)?f(x2)?y?(x1?x2)?[f(x1)?f(x2)]?0??0??0； x1?x2?x

②f(x)在區間M上是減函數??x1,x2?M,當x1?x2時，有f(x1)?f(x2)?0

f(x1)?f(x2)?y?0??0； ?(x1?x2)?[f(x1)?f(x2)]?0?x1?x2?x①f(x)在區間M上是增函數??x1,x2

⑵函數單調性的判定方法

①定義法；②圖像法；③復合函數法；④導數法；⑤特值法（用于小題），⑥結論法等.注意：

①定義法（取值——作差——變形——定號——結論）：設x1，x2?[a，b]且x1?x2，那么

f(x1)?f(x2)?0?f(x)在區間[a,b]上是增函數；x1?x2

f(x1)?f(x2)?0?f(x)在區間[a,b]上是減函數。(x1?x2)?[f(x1)?f(x2)]?0?x1?x2(x1?x2)?[f(x1)?f(x2)]?0?

②導數法（選修）：在反之，f(x)區間(a，b)內處處可導，若總有f'(x)?0（f'(x)?0），則f(x)在區間(a，b)內為增（減）函數；f(x)在區間(a，b)內為增（減）函數，且處處可導，則f'(x)?0（f'(x)?0）。請注意兩者之間的區別，可以“數形結合法”研究。

判定函數的單調性一般要將式子

單調性主要用定義法和導數法。

提醒求單調區間時，不忘定義域；多個單調性相同的區間不一定能用符號“?”連接；單調區間應該用區間表示，不能用集合或不等式表示。判定函數不具有單調性時，可舉反例。

⑶與函數單調性有關的一些結論 f(x1)?f(x2)進行因式分解、配方、通分、分子（分母）有理化處理，以利于判斷符號；證明函數的f(x)與g(x)同增（減），則f(x)＋g(x)為增（減）函數，f(g(x))為增函數；

②若f(x)增，g(x)為減，則f(x)－g(x)為增函數，g(x)－f(x)為減函數，f(g(x))為減函數；

1③若函數y?f(x)在某一范圍內恒為正值或恒為負值，則y?f(x)與y?在相同的單調區間上的單調性相反； f(x)

④函數y?f(x)與函數y?f(x)?k(k?0)具有相同的單調性和單調區間；

⑤函數y?f(x)與函數y?kf(x)(k?0)具有相同的單調性和單調區間，函數y?f(x)與函數y?kf(x)(k?0)具有相同單調區①若間上的單調性相反。

2.奇偶性

函數的奇偶性是研究函數在定義域內的圖象是否關于原點中心對稱，還是關于

⑴函數奇偶性的定義

一般地，設函數y軸成軸對稱，是研究函數圖象的結構特點； y?f(x)的定義域為A．如果對于_____的x?A，都有f(?x)?_____，那么函數y?f(x)是偶函數.一般地，設函數y?f(x)的定義域為A．如果對于_____的x?A，都有f(?x)?_____，那么函數y?f(x)是奇函數.如果函數y?f(x)是奇函數或偶函數，那么函數y?f(x)具有________.注意具有奇偶性的函數的定義域一定關于原點對稱，因此，確定函數奇偶性時，務必先判定函數定義域是否關于原點對稱。

⑵圖象特征

y?f(x)為奇（偶）函數?函數y?f(x)的圖象關于原點（y軸）成中心（軸）對稱圖形。

注意 定義域含0的偶函數圖象不一定過原點；定義域含0的奇函數圖象一定過原點；利用函數的奇偶性可以把研究整個函數問題轉化到函數一半區間上，簡化問題。

點評

①函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件.．．．．

②f(x)是奇函數?f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0?f(?x)??1.f(x)

第二篇：函數的基本性質測試二

函數的基本性質測試二

(本章測試共18題,滿分100分,時間90分鐘)日期姓名得分

一、填空題:(共十小題,每題4分,共40分)

11.函數y?{?2x?4,x?4的值域是____________________.1x?6,x?42

12.函數y?f(x?1)的定義域是[?2,3]，則y?f(2x?1)的定義域為____________________.13.函數f(x)?x2?6|x|?5的值恒小于0，則該函數的定義域為____________________.14.函數f(x)?a|x|?b(a,b為常數)，且①f(?2)?0;②f(x)有兩個單調遞增區間，則同時滿足上述條件的一個有x

序對(a,b)為___________.二、選擇題：（共四小題，每題4分，共16分）

1.如果奇函數f(x)在區間[3,7]上是增函數，且最小值為5，那么f(x)在區間[?3,?7]上是（）

A.增函數且最大值為?5B.增函數且最小值為?5C.減函數且最小值為?5D.減函數且最大值為?5

三、解答題：（共四小題，第15題8分，第16題10分，第17題，18題13分，共44分）

四、設函數f(x)?ax2?bx?1(a,b?Z).（1）若f(?1)?0，且對任意實數均有f(x)?0成立，求f(x)的表達式；

（2）在（1）的條件下，當x?[?2,2]時，g(x)?f(x)?kx是單調函數，求實數k的取值范圍.五、已知函數f(x)?x|x?a|，其中a?R.（1）判斷函數f(x)的奇偶性；

（2）解關于x的不等式：f(x)?2a2；

（3）設集合M是滿足下列性質的函數f(x)的全體：存在非零常數k，對任意x?R，有f(x?k)?kf(x)成立，問是否存在實數a，使得f(x)?x|x?a|屬于集合M.若存在，求出實數a的取值范圍；若不存在，說明理由.

第三篇：函數基本性質典型習題課教案

函數基本性質典型習題課教案

教學目標：

1、掌握函數的基本性質；

2、能靈活運用函數單調性、奇偶性解部分中等難度題目 教學重點：能用函數單調性、奇偶性解部分中等難度題目 教學難點：靈活運用函數的單調性、奇偶性 教學方法：講練結合 教學過程：

一、復習

1、增函數、減函數的定義，如何判斷一個函數的單調性？步驟是什么？

2、如何求一個函數的最值？

3、奇函數、偶函數的定義，如何判斷一個函數的奇偶性？步驟是什么？

4、奇函數、偶函數的性質分別是什么？

二、典例析評

例

1、設函數f(x)是R上的偶函數，在區間(-?,0)上遞增，且有f(8)-f(3a2-2a)?0求a的取值范圍。

解：?f(8)-f(3a2-2a)?0

?f(8)?f(3a2-2a)

又函數f(x)在R上的偶函數，在區間(-?,0)上遞增

2?-8?3a-2a?8

得a?-或a?2

43評：根據題意和偶函數的定義大致畫出函數f(x)的圖像，然后再解不等式

例

2、證明函數f(x)?x?ax(a?0)在（0，a）上是減函數，在（a，??）上是增函數.證明：任取x1,x2?(0,a),令x1?x2，則

f(x1)-f(x2)?(x1?aaaa)-(x2?)?(x1-x2)?(-)x1x2x1x2a)x1x2a?0 x1x

2=(x1-x2)(1-

?0?x1?x2?a

?x1-x2?01-

?(x1-x2)(1-a)>0

即f(x1)?f(x2)x1x2ax

故函數f(x)?x?

(a?0)在（0，a）上是減函數 同理：函數f(x)在(a,??)上是增函數

例

3、已知函數f(x),g(x)在R上是減函數，求證函數 f（g(x))在R上也是增函數。

證明：任取x1,x2?R,令x1?x2

?g(x)在R上是減函數

?g(x1)?g(x2)

又?f(x)在R上是減函數

?f(g(x1))?f(g(x2))

?函數f（g(x))在R上也是增函數

評：定義法是證明函數單調性的常用方法，對于復合函數求單調性就有“同增異減” 變式：

1、已知函數f(x),g(x)在R上都是增函數，求證函數f(g(x))在R上也是增函數。

2、已知函數f(x)在R上是減函數,g(x)在R上都是增函數，求證函數f(g(x))在R上是減函數。

3、已知函數f(x)在R上是增函數,g(x)在R上都是減函數，求證函數f(g(x))在R上是減函數。

例

4、已知函數f(x),g(x)都是奇函數，則f(x)g(x)是什么函數？

解：?f(x)是奇函數

?f(-x)?-f(x)

同理：g(-x)?-g(x)

?f(-x)g(-x)?f(x)g(x)故f(x)g(x)是偶函數

例

5、已知函數f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則f(x)g(x)是什么函數？ 解：略

例

6、已知函數f(x),g(x)都是偶函數，則f(x)g(x)是什么函數？ 解：略

三、課堂練習

1、已知f(x)?ax2?bx?3a?b是R上的偶函數，且定義域為[a-1,2a]，則a?b?

<1>

32、判斷下列函數的奇偶性

1-x2(1)f(x)?

(2)f(x)?1-x2?x2-1

2-x?2

(3)f(x)?x?1?x-

1(4)f(x)?xx?[-1, 4]

參考答案：(1)奇函數；(2)既是奇函數又是偶函數

(3)偶函數(4)非奇非偶函數 評：判斷函數的奇偶性首先要判斷定義域是否關于原點成中心對稱，然后判斷f(-x)是否與-f(x)相等或是否互為相反數。

四、課堂小結

?本節課復習了函數的基本性質的概念 ②用定義法證明或判斷函數的單調性或奇偶性以及解題步驟

五、課后作業

第四篇：函數的基本性質教學設計解讀

函數的基本性質教學設計

廣東封開江口中學高一數學組

卓益聲

函數是高中數學中一個重要的內容，在各年各地的高考中都是命題的重點與熱點，高一的函數概念及其基本性質是函數的基礎內容，對后續課程內容的影響意義重大，因此，如何抓好這一塊內容的教學，成為每一位數學老師關心的問題。下面就我個人的經驗，對本部分內容進行簡單教學設計，并在最后附加部分高考真題，供同行們參考，有許多不足之處，希望各位同仁多加指導。

第1課時： 函數的單調性

一 教學目標：理解增函數,減函數,單調區間的概念；掌握運用定義、圖像對一些簡單函數的單調性進行判斷、證明的方法 二 教學重點：函數的單調性應用及證明

三 教學難點：增函數，減函數的概念的理解及應用 四 教學內容： 1.教學增函數，減函數概念：①給出函數實例（解析式，圖像，函數值對應表格）；②結合實例請學生描述函數值y隨自變量x的變化特點；③得出增函數概念、增區間概念；④增函數的圖象特征；⑤學生仿照增函數的學習自學減函數、減區間。

2.函數單調性的簡單應用

3.以實例講解運用定義證明函數單調性并總結一般步驟：①取值②作差③變形④判斷（定號）⑤得結論。

五 教材中蘊含的數學思想方法：

1、特殊到一般；

2、數形結合；

3、比較大小的方法：作差法 六 備選典型題目：

1、作下列函數的圖像，并指出函數的增、減區間：①f(x)?3x?2,x?(?1,2] ②f(x)?|x?1| ③f(x)?2x2?4x?2 2.已知函數f(x)是R上的減函數，試比較下列值的大小：f(3)__f(?2)

f(?5)___f(?4)；如果f(a)?f(b)，比較大小 a___b ；解關于x的不等式：f(x)?f(2x?1)

3.證明函數f(x)?2x?1在(??,??)上是增函數； 證明函數f(x)?x2在1在(0,??)上是減函數 x第2課時：函數的最大值、最小值

一 教學目標：掌握應用數形結合方法求有范圍限制的二次函數的最值；能應用單調性求一些函數的最值 二 教學重點：函數最值的求法

三 教學難點：應用單調性求一些函數的最值 四 教學內容

1.結合實例教學函數最大值、最小值概念；(??,0)上是減函數； 證明函數f(x)? 1 2.二次函數最值求法；

3.利用單調性求函數最值的方法(先證明單調性再求最值)。

五 教材中蘊含的數學思想方法：

1、函數模型應用思想；

2、數形結合思想； 六 備選典型題目：

1、求下列函數的最大值或最小值：①f(x)?2x?1,x?[?1,2]（可變換多種定義域練習）②f(x)??x2?2x?2,x?R（結合課本例3講解此練習，還可變換定義域：x?(?2,0]，x?[0,2]，x?(?2,1]等等）變形：求函數f(x)?21,x?[2,6]（也可變換定義域再求）的最大值；③f(x)?x?11?x(1?x)第3課時：函數的奇偶性

一 教學目標：掌握奇函數、偶函數概念，能利用概念判斷函數的奇偶性，能應用概念解決簡單的奇偶性問題

二 教學重點：利用概念判斷函數的奇偶性，奇偶性質的簡單應用 三 教學難點：函數的奇偶性概念的理解及判斷應用 四 教學內容

1.奇函數、偶函數概念教學：①給出函數實例（解析式，圖像，函數值對應表格）②結合實例請學生描述當自變量成相反數時函數值y值的特點；③得出偶函數概念；④偶函數的圖象特征；⑤學生仿照偶函數的學習自學奇函數；⑥結合練習介紹非奇非偶函數，既奇又偶函數；

2.利用定義判斷函數奇偶性并總結方法：①求函數定義域；②判斷定義域是否關于原點對稱，如果不對稱，函數是非奇非偶函數，如果對稱，進入③；③檢驗：若f(?x)?f(x)，則函數是偶函數；若f(?x)??f(x)，則函數是奇函數； 3.函數奇偶性質的簡單應用

五 教材中蘊含的數學思想方法：

1、數形結合；

2、判斷函數奇偶性的方法 六 備選典型題目：

1、判斷函數奇偶性：①f(x)?x3?x ②f(x)?2x4?x2 ③f(x)?x3?x2 ④f(x)?0 ⑤f(x)?x?2?2?x ⑥f(x)?|x?1|

2、高考真題中 第1題，第4題，第8題，第9題，第13題 可直接選用

第4課時：函數的單調性與奇偶性綜合

一 教學目標：復習鞏固增函數、減函數、奇函數、偶函數概念及性質特征，能解決函數性質的綜合問題

二 教學重點：解決函數性質綜合問題 三 教學內容

1.函數的基本性質復習；

2.函數的基本性質綜合問題舉例

四 涉及到的數學思想方法：

1、數形結合法；

2、分類討論法

五 備選典型題目：

1、若奇函數f(x)在[3,5]上是增函數，且最小值是1，則f(x)在[?5,?3]上是___函數(填“增”或“減”)且有最____值(填“大”或“小”)是 _____（填寫數值）。（此題可進行多種變形）；

2、定義在[?2,2]上的偶函數f(x)，當x?0時，f(x)單調遞減，若f(a?1)?f(a)求a的取值范圍；

3、函數f(x)是奇函數，當x?0時，f(x)?x(1?x)；求x?0時f(x)的解析式。第5課時：函數的基本性質（習題課）一 教學目標：鞏固函數基本性質知識，加強、提高應用能力 二 教學重點：函數單調性，函數奇偶性的判斷及它們的綜合應用 三 教學難點：函數單調性與奇偶性知識的區分 四 教學內容：

1.復習利用定義證明函數單調性的方法，判斷函數奇偶性的方法 2.函數的基本性質問題應用舉例

五 涉及到的數學思想方法：

1、分類討論思想；

2、轉換思想

六 備選典型題目：

1、已知函數f(x)是偶函數，而且在(0,??)上是減函數，判斷f(x)在(??,0)上是增函數還是減函數，并加以證明；（可變為奇函數，變區間進行練習）；

2、已知函數f(x)?x2?2ax?1在[?1,2]上是增函數，求實數（此題也可變為減函數，單調函數，變區間后再練習）；

a的取值范圍。

3、判斷函數f(x)?{

x2?x,x?0?x?x,x?02的奇偶性；

函數的基本性質高考真題選：

1．（07廣東）若函數f(x)?x3(x?R)，則函數y?f(?x)在其定義域上是

（）A、單調遞減的偶函數

B、單調遞減的奇函數

C、單調遞增的偶函數

D、單調遞增的奇函數

2．.（06廣東）下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是

（）

1A、y??x3,x?R

B、y?sinx,x?R

C、y?x,x?R

D、y?()x,x?R

23．（07遼寧）函數y?log1(x2?5x?6)的單調增區間為（）

255A、(,??)

B、(3,??)

C、(??,)

D、(??,2)

224．（07遼寧）已知函數y?f(x)為奇函數，若f(3)?f(2)?1，則f(?2)?f(?3)?__________;

15．（07福建）已知f(x)為R上的減函數，則滿足f()?f(1)的實數x的取值范

x圍是

（）

A、(??,?1)

B、(1,??)

C、(??,0)?(0,1)

D、(??,0)?(1??)6．（07重慶）已知對任意實數x，有f(?x)??f(x),g(?x)?g(x)，且x?0時，f'(x)?0,g'(x)?0，則x?0時

（）

A、f'(x)?0,g'(x)?0

B、f'(x)?0,g'(x)?0

C、f'(x)?0,g'(x)?0

D、f'(x)?0,g'(x)?0 7．(07重慶)函數f(x)?x2?2x?2x2?5x?4的最小值是_________。

8．（07寧夏）設函數f(x)?(x?1)(x?a)為偶函數，則a?________ 9．（06遼寧）設f(x)是R上的任意函數，則下列敘述正確的是

（）

A、f(x)f(?x)是奇函數

B、f(x)|f(?x)|是奇函數 Cf(x)?f(?x)是偶函數

D、f(x)?f(?x)是偶函數 10．（07江蘇）設f(x)?lg(（）

A、(?1,0)

B、(0,1)

C、(??,0)

D、(??,0)?(1,??)

11．（07安徽）定義在R上的函數f(x)既是奇函數，又是周期函數，T是它的一個正周期，若將方程f(x)?0在閉區間[?T,T]上的根的個數記為n，則n可能為

（）

A、0

B、1

C、3

D、5

a12．（07上海）已知函數f(x)?x2?(x?0,常數a?R)，討論函數f(x)的奇偶

x性，并說明理由。

113．（06全國）已知函數f(x)?a?x，若f(x)為奇函數，則a?______

2?114．（07全國）設a?1，函數f(x)?logax在區間[a,2a]上的最大值與最小值之1差為，則a?（）

A、B、2

C、2

2D、4 22?a)是奇函數。則使f(x)?0的x的取值范圍是 1?x15．（07天津）設f(x)是定義在R上的奇函數，且當x?0時，f(x)?x2。若對任意的x?[t,t?2]，不等式f(x?t)?2f(x)恒成立，則實數t的取值范圍是（）A、[2,??)

B、[2,??)

C、(0,2]

D、[?2,?1]?[2,3]

第五篇：必修一 函數的基本性質 教案

必修一

1．3 函數的基本性質

教案

1．3．1 單調性與最大（小）值

1、引入

觀察如下函數圖象，說說它們的圖象是單調上升，還是單調下降，有沒有最大值或最小值。P27

2、研究函數單調性

函數圖象的單調上升或是單調下降，我們統稱為這是函數的單調性。那么我們怎樣研究判斷函數的單調性？

首先，研究一次函數f(x)=x和二次函數f(x)=x的單調性。P27 如圖所示

由圖，可觀察到函數f(x)=x的圖象由左到右是上升的；而函數f(x)=x的圖象在對稱軸左側是下降的，在對稱軸右側是上升的。所說的圖象“上升”或“下降”反映的就是函數的單調性，那么，如何描述函數圖象的“上升”“下降”呢？

以二次函數f(x)=x為例，結合圖象，不難發現，圖象在對稱軸左側是“下降”的，也就是在區間（-?，0

222?內，隨著x的增大，相應的f(x)（即y值）反而減小；相反地，在對稱軸的右側圖象是“上升”的，也就是在區間?0，???內，隨著x的增大，相應的f(x)（即y值）也隨著增大。

那么該如何去描述“在區間?0，隨著x的增大，相應的f(x)（即y值）也隨著增大”？ ???內，描述如下：在區間?0，任取兩個x1,x2，并且x1?x2，得到f(x1)=x1，f(x2)=x2，???內，22有f(x1)

23、增函數、減函數的定義

一般地，設函數f(x)的定義域為I：

如果對于定義域I內某個區間D上任取的兩個值x1,x2，當x1?x2時，都有f(x1)

相反地，如果對于定義域I內某個區間D上任取的兩個值x1,x2，當x1?x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數f(x)在區間D上是減函數。這時區間D就叫單調減區間。

4、例題

P29 例1

例2 鞏固練習

P32 練習1，2，3，4

1、已知函數f(x)=2x-mx+3，當x???2,???時是增函數，當x????,?2?時是減函數，則f(1)等于（）

A．-3

B．13

C．7

D．含有m的變量

22、如果函數f(x)＝ax＋2x－3在區間(－∞，4)上是單調遞增的，則實數a的取值范圍是

2__________．

5、函數的最值

再次觀察P27 圖1.3-2兩個圖象，我們發現函數f(x)=x的圖象上有一個最低點（0，0），即對于任意的x?R，都有f(x)?f(0)。當一個函數的圖象有最低點時，我們就說函數f(x)有最小值，這時的f(0)就是函數的最小值。那么f(x)=x有最低點嗎？有最小值嗎？

同樣地，當一個函數的圖象有最高點（a,b），也就是在定義域內，任意的一個x，都有

2f(x)?f(a)，就說函數f(x)有最大值，這時的f(a)就是函數的最大值。

6、例題

P30 例3 例4 鞏固練習： P32 練習5

1．3．2 奇偶性

1、觀察P33 兩圖，討論以下問題：（1）兩函數圖象關于什么對稱？

（2）相應的兩個函數值對應表是如何體現這些特征的？ 發現兩個函數的圖象都關于y軸對稱。那么，如何利用函數解析式描述這兩函數圖象的這個特征呢？ 從函數值對應表可以看到，當自變量x取一對相反數時，相應的兩個函數值相等。

例如：對于函數f(x)=x，有：

f(-3)=9=f(3)；

f(-2)=9=f(2)；

f(-1)=9=f(1)。

也就是，對于函數f(x)=x定義域R內任意的一個x，都有f(-x)=（-x）=x=f(x)。這時我們稱函數f(x)=x為偶函數。

2、偶函數定義

一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數。

問：例如：P34，圖1.3-8 兩個函數也都是偶函數，它們的函數圖象都關于什么對稱？ 所以偶函數圖象關于y軸對稱。

3、觀察P34，圖1.3-9 兩函數f(x)=x和f(x)=222221的圖象，并完成下面兩個函數值的對應表，你能x發現這兩函數圖象關于什么對稱？兩函數值對應表又是怎樣體現這一特征的？

發現，兩函數的圖象都關于原點對稱，由函數值對應表發現，當自變量x取一對相反數，相應的函數值f(x)也是一對相反數。

例如：對于函數f(x)=x，有：

f(-3)=－3=－f(3)；

f(-2)=－2=－f(2)；

f(-1)=－1=－f(1)。

也就是，對于函數f(x)=x定義域R內任意一個x，都有f(-x)=－x=－f(x)，這時我們稱函數f(x)=x為奇函數。

4、奇函數定義

一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(-x)=－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數。奇函數關于原點對稱。

思考：若奇函數定義域中有0，則其圖象必過原點，即f(0)=0。這句話對嗎？

5、利用奇偶函數定義判斷函數奇偶性

P35 例5 判斷下列函數的奇偶性：

小結：要判斷函數的奇偶性，首先，函數定義域必須是成對的相反數也，也就是定義域必須關于原點對稱，然后根據f(-x)=f(x)或f(-x)=－f(x)來判斷其奇偶性。

練習：P36 練習1

6、利用函數奇偶性比較函數值大小

如圖，給出了偶函數y=f(x)的局部圖象，試比較f(1)與f(3)的大小。

7、利用函數奇偶性求函數解析式

（-?，??）

已知，函數f(x)是定義在上的奇函數，當x>0時，f(x)=x（1?3x)，求：

（1）f(?8)；

（2）當x<0時，f(x)的解析式。

8、函數奇偶性與單調性的綜合利用