第一篇：函數定義域的知識點

1．函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域．

能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數不小于零；(3)對數式的真數必須大于零；(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數為零底不可以等于零(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.函數的值域的求法：觀察法、配方法、換元法、利用多項式的除法、單調性法、判別式法、反函數法、數形結合法、不等式法等.無論用什么方法求函數的值域，都必須考慮函數的定義域.。

2.構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域

再注意：（1）由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等（或為同一函數）

（2）兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致(兩點必須同時具備)

3.常用的函數表示法:解析法： 圖象法： 列表法：

4.分段函數在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。

（1）分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數；

（2）分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．

5.函數解析式的求法：

（1）待定系數法，如果已知函數解析式的構造時，用待定系數法；

（2）換元法或配湊法，已知復合函數f［g(x)］的表達式可用換元法，當表達式較簡單時也可用配湊法；

（3）方程思想，若已知抽象的函數表達式，則用解方程組消參的方法求解f(x);

（4）賦值法，若已知抽象函數關系式，則用賦值法。

另外，在解題過程中經常用到分類討論、等價轉化等數學思想方法.

第二篇：高中函數定義域知識點

高一新生要根據自己的條件，以及高中階段學科知識交叉多、綜合性強，以及考查的知識和思維觸點廣的特點，那么接下來給大家分享一些關于高中函數定義域知識，希望對大家有所幫助。

高中函數定義域知識

定義域

(高中函數定義)設A，B是兩個非空的數集，如果按某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A--B為集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x)，x屬于集合A。其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數的定義域;

值域

名稱定義

函數中，應變量的取值范圍叫做這個函數的值域函數的值域，在數學中是函數在定義域中應變量所有值的集合常用的求值域的方法

(1)化歸法;(2)圖象法(數形結合);(3)函數單調性法;(4)配方法;(5)換元法;(6)反函數法(逆求法);(7)判別式法;(8)復合函數法;(9)三角代換法;(10)基本不等式法等

關于函數值域誤區

定義域、對應法則、值域是函數構造的三個基本“元件”。平時數學中，實行“定義域優先”的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或談化了，對值域問題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學生對函數的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當的，絕不能厚此薄皮，何況它們二者隨時處于互相轉化之中(典型的例子是互為反函數定義域與值域的相互轉化)。如果函數的值域是無限集的話，那么求函數值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質有時并不能奏效，還必須聯系函數的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函數的取值情況。才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難，實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利于對定義域內函的理解，從而深化對函數本質的認識。

“范圍”與“值域”相同嗎?

“范圍”與“值域”是我們在學習中經常遇到的兩個概念，許多同學常常將它們混為一談，實際上這是兩個不同的概念。“值域”是所有函數值的集合(即集合中每一個元素都是這個函數的取值)，而“范圍”則只是滿足某個條件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都滿足這個條件)。也就是說：“值域”是一個“范圍”，而“范圍”卻不一定是“值域”。

高一數學必修一函數知識點

1.函數的奇偶性

(1)若f(x)是偶函數，那么f(x)=f(-x);

(2)若f(x)是奇函數，0在其定義域內，則 f(0)=0(可用于求參數);

(3)判斷函數奇偶性可用定義的等價形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);

(4)若所給函數的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性;

(5)奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性;偶函數在對稱的單調區間內有相反的單調性;

2.復合函數的有關問題

(1)復合函數定義域求法：若已知的定義域為[a，b],其復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域(即 f(x)的定義域);研究函數的問題一定要注意定義域優先的原則。

(2)復合函數的單調性由“同增異減”判定;

3.函數圖像(或方程曲線的對稱性)

(1)證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;

(2)證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在C2上，反之亦然;

(3)曲線C1：f(x,y)=0,關于y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

(4)曲線C1:f(x,y)=0關于點(a,b)的對稱曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;

(5)若函數y=f(x)對x∈R時，f(a+x)=f(a-x)恒成立，則y=f(x)圖像關于直線x=a對稱;

(6)函數y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關于直線x= 對稱;

4.函數的周期性

(1)y=f(x)對x∈R時，f(x +a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數;

(2)若y=f(x)是偶函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數;

(3)若y=f(x)奇函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數;

(4)若y=f(x)關于點(a,0),(b,0)對稱，則f(x)是周期為2 的周期函數;

(5)y=f(x)的圖象關于直線x=a,x=b(a≠b)對稱，則函數y=f(x)是周期為2 的周期函數;

(6)y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，則y=f(x)是周期為2 的周期函數;

5.方程k=f(x)有解 k∈D(D為f(x)的值域);

6.a≥f(x)恒成立 a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立 a≤[f(x)]min;

7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);(2)l og a N=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3)l og a b的符號由口訣“同正異負”記憶;(4)a log a N= N(a>0,a≠1,N>0);

8.判斷對應是否為映射時，抓住兩點：(1)A中元素必須都有象且;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

9.能熟練地用定義證明函數的單調性，求反函數，判斷函數的奇偶性。

10.對于反函數，應掌握以下一些結論：(1)定義域上的單調函數必有反函數;(2)奇函數的反函數也是奇函數;(3)定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數;(4)周期函數不存在反函數;(5)互為反函數的兩個函數具有相同的單調性;(5)y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數，設f(x)的定義域為A，值域為B，則有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).11.處理二次函數的問題勿忘數形結合;二次函數在閉區間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向;二看對稱軸與所給區間的相對位置關系;

12.依據單調性，利用一次函數在區間上的保號性可解決求一類參數的范圍問題

13.恒成立問題的處理方法：(1)分離參數法;(2)轉化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解;

高一數學必修一函數知識

一：集合的含義與表示

1、集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。

把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。

2、集合的中元素的三個特性：

(1)元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個集合是確定的：屬于或不屬于。

(2)元素的互異性：一個給定集合中的元素是的，不可重復的。

(3)元素的無序性:集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合3、集合的表示：{…}

(1)用大寫字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。

a、列舉法：將集合中的元素一一列舉出來{a,b,c……}

b、描述法：

①區間法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合。

{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}

②語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

③Venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。

4、集合的分類：

(1)有限集：含有有限個元素的集合(2)無限集：含有無限個元素的集合(3)空集：不含任何元素的集合5、元素與集合的關系：

(1)元素在集合里，則元素屬于集合，即：a?A

(2)元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：a￠A

注意：常用數集及其記法：

非負整數集(即自然數集)記作：N

正整數集N-或N+

整數集Z

有理數集Q

實數集R6、集合間的基本關系

(1).“包含”關系(1)—子集

定義：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合A是集合B的子集。

高中函數定義域知識點

第三篇：復合函數的定義域

復合函數的定義域

復合函數的計算

用極限的夾逼準則求極限

無窮小量與無窮大量

兩個重要極限

等價無窮小量 用洛必達法則或等價無窮小量求極限 用定義研究分段函數連續性

用定義研究分段函數連續性可導性 用連續函數零點定理證明函數等式 用導數的定義計算導數 冪指函數求極限及求導數 利用導數是平面曲線切線的斜率求切線方程 隱函數求微分 通過導數討論函數單調區間 利用函數的單調性證明函數不等式 通過導數討論函數的拐點 求函數的極值

原函數

用換元法計算不定積分 求三角函數的不定積分 用分部積分法求不定積分

第四篇：函數的定義域及概念

2．1映射、函數的概念及函數的定義域 【教學目標】了解映射的概念，掌握函數的概念、同一函數、函數解析式以及函數定義域的常見求法。【重、難點】映射、函數的概念、表示方法，函數定義域的常見求法。【 考 點 】映射、函數的概念、表示方法，函數定義域的常見求法。【知識回顧】： 1.映射：(1)映射的概念：設A、B 是兩個非空的集合，如果按照某一個確定對應關系f，對于集合A中的_____________，在集合B中_______________與之對應，那么就稱_________叫做從集合A到集合B的一個映射，記作f:A?B。(2)象和原象，給定一個從集合A到B的映射，且a?A,b?B，如果元素a 和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的______,元素a叫做元素b的_______.2.函數:（1）傳統定義：如果在某變化過程中有兩個變量x,y，并且對于x在某個范圍內的每一個______的值，按照某個對應法則f,y都有______的值和它對應，那么y就是x的函數，記為y=f(ｘ)．（2）近代定義：函數是由一個_______到另一個__________的映射。（3）函數的三要素：函數是由________、_________以及_________三部分組成的特殊的映射。（4）函數的表示法_______、_______、__________（5）同一函數：如果兩個函數的，并且。（6）常見求解析式的方法有：、、。（7）函數的定義域是指____________________________________________.（8）根據函數解析式求定義域的常用依據有 ①_________________________________，②_____________________________________，③_________________________________，④__________________________________。（9）已知f(x)的定義域是[a,b],求f[g(x)]的定義域，是指滿足__________ ___;已知f[g(x)]的定義域是[a,b]，求f(x)的定義域,是指x?[a,b]的條件下，求g(x)的值域。（10）實際問題或是幾何問題給出的函數的定義域:________________________________。（11）分段函數：若函數在其定義域的不同子集上，因 不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數，分段函數的定義域等于各段函數的定義域的，其值域等于各段函數的值域的，分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數．（12）求定義域的一般步驟：①________________________________________ ②_________________________________________ ③_________________________________________

第五篇：函數的解析式與定義域 教案

課題：函數的解析式及定義域

知識要點

1函數解析式:函數的解析式就是用數學運算符號和括號把數和表示數的字母連接而成的式子叫解析式，解析式亦稱“解析表達式”或“表達式”，簡稱“式”。

2函數的定義域：要使函數有意義的自變量x的取值的集合。3 求解析式的常用方法

（1）定義法（拼湊法）（2）換元法（3）待定系數法（4）函數方程法（5）參數法（6）實際問題 4求函數定義域（1）主要依據

①分式分母不為零

②偶次方根的被開放數不小于零 零的零次方沒有意義 ③對數函數的真數必須大于零

④指數函數和對數函數的底數必須大于零且不等于1 ⑤如果函數是由一些基本函數通過四則運算得到，那么它的定義域是由各基本函數的定義域的交集組成。（2）幾類問題

①給出函數解析式的：函數的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合;②實際問題：函數的定義域的求解除要考慮解析式有意義外，還應考慮使實際問題有意義;③已知f(x)的定義域求f[g(x)]的定義域或已知f[g(x)]的定義域求f(x)的定義域 典例解析

例1.已知函數f(x)=

1?x的定義域為A，函數y=f[f(x)]的定義域為1-xB，則

（D）（A）A∪B=B（B）A?B（C）A=B（D）A∩B=B 解法要點：A={x︱x≠1}，y=f[f(x)]=f(令-1+

1?x2)=f(-1+)1-x1-x2≠且x≠1，故B={x︱x≠1}∩｛x︱x≠0｝.1-x11例2.（1）已知f(x?)=x3 +3，求f(x);

xx2

（2）已知f(?1)=lgx求f(x);

x（3）已知f(x)是一次函數，滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+1，求f(x)；

1x1111解：（1）∵f(x?)=x3 +3=(x?)3-3(x?)，xxxx（4）已知f(x)滿足2f(x)+f()=3x,求f(x).∴f(x)= x3-3x（2）令f(x)=lg222?1=t（t>1）,則x=, ∴f(t)=lg,∴xt?1t?12(x>1)x?1（3）設f(x)=ax+b(a≠0)，則3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17, ∴a=2,b=7,∴f(x)=2x+7.（4）2f(x)+f()=3x ①，把①中的x換成，得2f()+f(x)= 331 ②，①×2-②得3f(x)=6x-∴f(x)=2x-.xxx

1x1x1x例3.設函數f(x)=㏒2x?1+㏒2(x-1)+ ㏒2(p-x),求其定義域。x?1?x?1??0?x?1??x?1??解：由?x?1?0?，解得??? ①

x?p???p?x?0?????當p≤1時，①不等式解集為?；

當p＞1時，①不等式解集為｛x︱1＜x＜p｝，∴f(x)的定義域為(1,p)(p＞1).例4.已知函數y=f(x)是定義在R上的周期函數，周期T=5，函數y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函數.又知y=f(x)在[0,1]上是一次函數，在[1,4]上是二次函數，且在x=2時函數取得最小值-5,f(1)+f(4)=0.① 求y=f(x),x∈[1,4]的解析式；②求y=f(x)在[4,9]上的解析式.解：①當x∈[1,4]時，由題意可設f(x)=a(x-2)2-5(a＞0)，由f(1)+f(4)=0得a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0,∴a=2，∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4).②∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函數, ∴f(0)=0, 又知y=f(x)在[0,1]上是一次函數，可設f(x)=kx(0≤x≤1),而f(1)= 2(x-2)2-5=-3∴k=-3,∴當0≤x≤1時，f(x)=-3x, 從而當-1≤x≤0時，f(x)=-f(-x)=-3x,故-1≤x≤1時，f(x)=-3x.當4≤x≤6時，有-1≤x-5≤1，f(x)=f(x-5)=-3x+15.當6＜x≤9時，-1≤x-5≤4，∴f(x)=f(x-5)=2(x-7)2-5.∴f(x)=???3x?15, 4?x?6 6＜x?9?2(x-7)-5，2