第一篇：樣本估計總體及統計圖習題精選

樣本估計總體及統計圖習題精選

一、選擇題（共23小題）

1、（2010?梧州）為了估計水塘中的魚數，養魚者首先從魚塘中捕獲30條魚，在每一條魚身上做好幾號后把這些魚放歸魚塘．再從魚塘中打撈200條魚，如果在這200條魚中有5條魚是有記號的，則魚塘中魚的條數可估計為（）

A、3000條B、2200條C、1200條D、600條

2、（2010?南通）某紡織廠從10萬件同類產品中隨機抽取了100件進行質檢，發現其中有5件不合格，那么估計該廠這10萬件產品中合格品約為（）

A、9.5萬件B、9萬件 C、9500件D、5000件

3、（2008?張家界）我市屬國家珍稀動物“大鯢”保護地，科考人員某日在其中一個保護區捕撈6只大鯢，并在它們身上都做了標記后放回，幾天后，在該保護區又捕撈18只大鯢，其中2只身上有標記，據此估計該保護區約有大鯢多少只（）

A、54B、24C、32D、1084、（2008?蕪湖）為了解2008年6月1日“限塑令”實施情況，當天某環保小組對3600戶購物家庭隨機抽取600戶進行調查，發現其中有156戶使用了環保購物袋購物，據此可估計該3600戶購物家庭當日使用環保購物袋約有（）

A、936戶B、388戶C、1661戶D、1111戶

5、（2008?青島）一個口袋中有3個黑球和若干個白球，在不允許將球倒出來數的前提下，小明為估計其中的白球數，采用了如下的方法：從口袋中隨機摸出一球，記下顏色，然后把它放回口袋中，搖勻后再隨機摸出一球，記下顏色，…，不斷重復上述過程．小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根據上述數據，小明可估計口袋中的白球大約有（）

A、18個B、15個 C、12個D、10個

6、（2008?濟南）“迎奧運，我為先”聯歡會上，班長準備了若干張相同的卡片，上面寫的是聯歡會上同學們要回答的問題．聯歡會開始后，班長問小明：你能設計一個方案，估計聯歡會共準備了多少張卡片小明用20張空白卡片（與寫有問題的卡片相同），和全部寫有問題的卡片洗勻，從中隨機抽取10張，發現有2張空白卡片，馬上正確估計出了寫有問題卡片的數目，小明估計的數目是（）

A、60張B、80張 C、90張D、1107、（2006?茂名）為了估計湖中有多少條魚，先從湖中捕撈100條魚都做上記號，然后放回湖中去，經過一段時間，待有標記的魚完全混合于魚群后，第二次再捕撈100條魚，發現其中10條有標記，那么你估計湖中大約有（）魚．

A、500條B、600條 C、800條D、1000條

8、為估計某地區黃羊的只數，先捕捉20只黃羊給它們分別作上標志，然后放回，待有標志的黃羊完全混合于黃羊群后，第二次捕捉60只黃羊，發現其中2只有標志．由這些信息，我們可以估計該地區有黃羊（）

A、400只B、600只 C、800只D、1000只

9、某煙花爆竹廠從20萬件同類產品中隨機抽取了100件進行質檢，發現其中有5件不合格，那么你估計該廠這20萬件產品中合格品約為（）

A、1萬件B、19萬件 C、15萬件D、20萬件

10、光明中學的七年級學生對月球上是否有水的猜想，有35%的人認為有水，45%的人認為無水，20%的人不知道，該校現有七年級學生480人，則認為有水的學生有（）

A、96人B、216人 C、168人D、200人

11、某養豬場有1000頭豬，從中任意抽取15頭豬，對它們的體重檢測，知這15頭豬2250kg，則估計這1000頭豬共重（）

A、150000kgB、300000kg C、15000kgD、30000kg12、為了解某市初中生視力情況，有關部門進行了一次抽樣調查，數據如下表，若該市共有初中生15萬人，則全市視力不良的初中生的人數大約是（）

A、2160人B、7.2萬人

C、7.8萬人D、4500人

13、國際上通常用恩格爾系數（記作n）來衡量一個國家和地區人民的生活水平的狀況，它的計算公式：n=x/y（x：家庭食品支出總額；y：家庭消費支出總額）．各種家庭類型的n如下表：

已知王先生居住地2008年比2003年食品價格上升了25%，該家庭在2008年購買食品和2003年完全相同的情況下多支出2000元，并且y=2x+3600（單位：元），則該家庭2003年屬于（）

A、貧困B、溫飽

C、小康D、富裕

14、賓館有100間相同的客房，經過一段時間的經營，發現客房定價與客房的入住率之間有下表所示的關系，按照這個關系，要使客房的收入最高，每間客房的定價應為（）

A、300元B、280元

C、260元D、220元

15、（2010?南昌）某學生某月有零花錢a元，其支出情況如圖所示，那么下列說法不正確的是（）

A、該學生捐贈款為0.6a元B、捐贈款所對應的圓心角為240°

C、捐贈款是購書款的2倍D、其他消費占10%

16、（2010?江漢區）某校開展“了解傳統習俗，弘揚民族文化”為主題的實踐活動．實踐小組就“是

否知道端午節的來由”這個問題，對部分學生進行了調查，調查結果如圖，其中不知道的學

生有8人．下列說法不正確的是（）

A、被調查的學生共50人B、被調查的學生中“知道”的人數為32人 C、圖中“記不清”對應的圓心角為60° D、全校“知道”的人數約占全校人數的64%

17、（2009?湛江）沃爾瑪商場為了了解本商場的服務質量，隨機調查了本商場的100名顧客，調查的結果如圖所示，根據圖中給出的信息，這100名顧客中

對該商場的服務質量表示不滿意的有（）

A、6人B、11人

C、39人D、44人

18、（2007?徐州）九年級某班在一次考試中

對某道單選題的答題情況如圖所示：

根據以上統計圖，下列判斷中錯誤的是

（）

A、選A的人有8人

B、選B的人有4人

C、選C的人有26人

D、該班共有50人參加考試

19、（2007?黃岡）如圖，反映的是某中學七

（3）班學生外出乘車、步行、騎車的人數直方圖（部分）

和扇形分布圖，則下列說法不正確的是（）

A、七（3）班外出步行的有8人

B、七（3）班外出的共有40人

C、在扇形統計圖中，步行人數所占的圓心角度數為82°

D、若該校七年級外出的學生共有500人，那么估計全年級

外出騎車的約150人

20、（2008?旅順口區）如圖所示是某校九年級學生到校方式的條形統計圖，根據圖形可得出步行人數占總人數的（）

A、60%B、50%

C、30%D、20%

21、（2002?嘉興）圖甲、乙所示分別是我國1997～2000年全國初中在校生人

數和全國初中學校統計圖，由圖可知，從1997年到2000年，我國初中在校

生人數（）

A、逐年增加，學校數也逐年增加

B、逐年增加，學校數逐年減少

C、逐年減少，學校數也逐年減少

D、逐年減少，學校數逐年增加

22、如圖，所提供的信息正確的是（）

A、七年級學生最多

B、九年級的男生是女生的兩倍

C、九年級學生女生比男生多D、八年級比九年級的學生多

23、（2005?泰安）某人才市場2004年上半年應聘和招聘人數排名前5個

類別的情況如下圖所示，若用同一類別中應聘人數與招聘人數比值的大小

來衡量該類別的就業情況，則根據圖中信息，下列對就業形勢的判斷一定

正確的是（）

提示：請注意理解圖片是應聘和招聘人數排名前5個類別的情況．

A、醫學類好于營銷類B、金融類好于計算機類 C、外語類最緊張D、建筑類好于法律類

第二篇：用樣本的數字特征估計總體的數字特征反思

《用樣本的數字特征估計總體的數字特征》教學反思

上課前我認真研讀了教學大綱和課本，對統計這一部分知識有整體的認識，在此基礎上作了近年的高考題，并了解了學生的學習情況，認真準備了本節課。總的來說今天課堂上，不但發展了學生的智力因素，提高了學生在課堂40分鐘的學習效率，出色地完成教學任務。我從以下幾方面總結：

1、自身教學方面

通過自身努力，不斷用問題引導學生在知識、能力、技能、心理、思想品德等方面達到預定的目標，以提高學生的綜合素質。上課時目標展示速度合適，學生對整節課的學習內容有了整體把握；探究新知識時語速有點快；在學生練習時計算速度稍慢；對學生的回答都作出了評價，并且以鼓勵為主。

2、學生情況方面

學生回答問題時不夠踴躍；我設計了一個探究環節及4個練習題，探究時感覺學生聲音不大，討論不太熱烈。學生對知識掌握的還可以，通過小測和平時的做題可以看出學生掌握的還不錯。對學生在課堂上的表現，要及時加以總結，適當給予鼓勵，并處理好課堂的偶發事件，及時調整課堂教學。在教學過程中，教師要隨時了解學的對所講內容的掌握情況。如在講完一個概念后，讓學生復述；講完一個例題后，將解答擦掉，請中等水平學生上臺板演。有時，對于基礎差的學生，可以對他們多提問，讓他們有較多的鍛煉機會，同時教師根據學生的表現，及時進行鼓勵，培養他們的自信心，讓他們能熱愛數學，學習數學。

3、在內容方面上

總的說整堂課進行的比較順利，也圓滿完成了本堂課的三個教學目標，學生接受的也沒問題；在知識上沒有知識體系的遺漏，并且關鍵的地方都有師生討論，去發現問題，去解決問題，掌握知識關鍵點在哪里。

4、我自身存在的不足

首先在教學方式：以后采用以學生為本，自主學習，自主探究，互幫互助，自己解決問題；真正意義上放手讓學生自己學，教師少講；此外，我們還可以結合課堂內容，靈活采用談話、讀書指導、作業、練習等多種教學方法。其次，為了讓學生明確本堂課的重點、難點，教師在上課開始時，可以在黑板的一角將這些內容簡短地寫出來，以便引起學生的重視。教師要通過聲音、手勢、板書等的變化或應用模型、投影儀等直觀教具，刺激學生的大腦，使學生能夠興奮起來，適當地還可以插入與此類知識有關的笑話，對所學內容在大腦中刻下強烈的印象，激發學生的學習興趣，提高學生對新知識的接受能力。再次多創設情景，像今天的課堂這樣多舉身邊的例子，多舉與生活息息相關的例子，激發他們的積極性，激發他們的興趣。

第三篇：第2課時 用樣本平均數估計總體平均數(教案)

第2課時 用樣本平均數估計總體平均數

【知識與技能】

1.掌握頻數分布表（或頻數分布直方圖）中求這組數據的平均數的方法.2.理解并掌握用樣本平均數對總體進行估計的思想方法.【過程與方法】

經歷探究、思考、推理與計算的過程，進一步加深學生對加權平均數中的權的理解，體驗統計中的思維方式與數學思維方式的不同，加深用樣本對總體進行估計的思想認識.【情感態度】

進一步認識數學與人類生活的密切聯系，增強數學應用意識和能力，激發學數學的熱情.【教學重點】

頻數分布中的平均數的計算及用樣本平均數估計總體平均數的思想.【教學難點】

頻數分布表（或直方圖）中數據的確定及相應權的意義.一、情境導入，初步認識

問題 下表是某班學生右眼視力的檢查結果：

你能求出該班學生右眼視力的平均水平嗎？與同伴交流.二、思考探究，獲取新知

在求n個數的算術平均數時，如果x1出現f1次，x2出現f2次，…，xk出現fk次（這里f1+f2+…fk=n）,那么這n個數的算術平均數x?x1f1?x2f2??xkfk叫x1,x2…xk這k個

f1?f2??fk數的加權平均數，其中f1,f2,…,fk分別叫做x1,x2…,xk的權.探究 為了解5路公共汽車的營運情況，公交部門統計了某天5路公共汽車每個運行班次的載客量，得到下表：

這天5路公共汽車平均每班的載客量是多少？

【教學說明】老師提問后，先讓學生自主探究，相互交流，然后教師給予指導，說明在不知道原始數據情況下，可以利用組中值和頻數近似地計算一組數據的平均數.如在1≤x＜21情況下，有3個班次，那么這3個班次的平均數為

1?

21=11，從而可以估計2這天5路公共汽車的載客量在1≤x＜21情況下的總數為11×3=33人；類似地可得到這天5路公共汽車載客總量應約為11×3+31×5+51×20+71×22+91×18+111×15,因而平均每個班次的載客量約為

11?3?31?5?51?20?71?22?91?18?111?15?73人.3?5?20?22?18?15試一試 為了綠化環境，柳蔭街引進一批法國梧桐，三年后這些樹的樹干的周長情況如圖所示，計算這批法國梧桐樹干的平均周長（精確到0.1cm）.【教學說明】學生自主探究.關注學生能否確定各組數據的組中值，能不能根據組中值來求這批梧桐樹干的平均周長.三、典例精析，掌握新知

例

某燈泡廠為了測量一批燈泡的使用壽命，從中抽查了100只燈泡，它們的使用壽命如下表所示：

這批燈炮的平均使用壽命是多少？

【分析】我們知道，當所考察對象很多，或考察對象帶有破壞性時，統計中常常用樣本的特征對總體進行估計，來獲得對總體的認識，因而要想了解這批燈泡的平均使用壽命，可通過抽取的100只燈泡的平均使用壽命來對總體進行估計.這里的組中值應分別為800，1200，1600，2000，2400，它們的權依次為10，19，25，34，12，利用加權平均數可得到樣本的平均使用壽命，并可用它當作這批燈泡的平均使用壽命.【教學說明】教師與學生一道分析后，應讓學生感受到用樣本估計總體的思想.解答過程由學生自己完成.試一試 種菜能手李大叔種植了一批新品種黃瓜.為了考察這種黃瓜的生長情況，李大叔抽查了部分黃瓜株上長出的黃瓜根數，得到下面的條形圖.請估計這個新品種黃瓜平均每株結多少根黃瓜.四、師生互動，課堂小結 1.本節中利用加權平均數求一組數據的平均數與上節有哪些不同？你是如何理解的？

2.通過樣本的特征對總體進行估計的原因是什么？談談你的想法，并與同伴交流.1.布置作業：從教材“習題20.1”中選取.2.完成練習冊中本課時練習.上一課時的教學主要是對加權平均數的概念和求法以及內涵進行了探討.但在實際生活中，還需要注意根據統計圖求加權平均數的情況.所以本課時第一個內容是如何對一般條形統計圖和頻數分布表、頻數分布直方圖進行數據分析，求出加權平均數.第二個內容主要探討的是如何用樣本平均數估計總體平均數.在上述整個教學過程中，教師要注意向學生講解如何將“圖表”轉化為“數”，又為什么要用樣本平均數估計總體平均數.這樣學生在無形中更加深刻理解了“轉化”的重要性.

第四篇：高三數學第一輪復習課時作業(55)用樣本估計總體

課時作業(五十五)第55講 用樣本估計總體

時間：45分鐘分值：100分

基礎熱身

1．2011·福建四地六校聯考甲、乙、丙、丁四人參加奧運會射擊項目選拔賽，四人的平均成績和方差如下表所示：

A．甲B．乙C．丙D．丁

2．2011·福州質檢圖K55－1是歌手大獎賽中，七位評委為甲，乙兩名選手打出的分數的莖葉圖(其中m為數字0—9中的一個)，去掉一個最高分和一個最低分后，甲、乙兩名選手得分的平均數分別為a1，a2，則一定有()

A．a2a

1C．a1＝a2D．a1，a2的大小不確定

3．2011·皖北協作區模擬現有10個數，其平均數是4，且這10個數的平方和是200，那么這個數組的標準差是()

A．1B．2C．

3D．

4*能力提升

5．2012·豫南九校聯考一次選拔運動員，測得7名選手的身高(單位：cm)分布莖葉圖如圖K55－2如下，測得平均身高為177 cmx的值為()

A．5B．6C．7D．8

1222226．2011·瓊海一模已知一組正數x1，x2，x3，x4的方差為s(x1＋x2＋x3＋x4－16)，則數據x1＋2，x24

＋2，x3＋2，x4＋2的平均數為()

A．2B．3C．4D．6

7．袋中共有8個球，其中3個紅球、2個白球、3個黑球．若從袋中任取3個球，則所取3個球中至多有1個紅球的概率是()

937A.B.1456

395C.567

8．2011·西安八校聯考從生產線上每隔30分鐘取一產品，共取了n件，測得其尺寸后，畫得其頻率分布直方圖如圖K55－3，若尺寸在15,45內的頻數為46，則尺寸在20,25)內的產品個數為()

A．5B．10

C．15D．

9．如圖K55－4所示是一樣本的頻率分布直方圖．則由圖中的數據，可以估計眾數與中位數分別是（）

A．12.5,12.5B．12.5,13 C．13,12.5D．13,1

310．2011·九江六校三聯在某次法律知識競賽中，將來自不同學校的學生的成績繪制成如圖K55－5所示的頻率分布直方圖．已知成績在________人．

11．2012·大同調研將容量為n的樣本中的數據分為6組，繪制頻率分布直方圖，若第一組至第六組的數據的頻率之比為2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三組數據的頻數之和為27，則n＝________.12．2011·溫州二模世界衛生組織(WHO)證實，英國葛蘭素史克(GSK)藥廠生產的甲型流感疫苗在加拿大種植后造成多人出現過敏癥狀的情況，下面是加拿大五個地區有過敏癥狀人數(單位：個)的莖葉統計圖如圖K55－6，則該組數據的標準差為________.13．2011·浙江卷 某中學為了解學生數學課程的學習情況，在3000名學生中隨機抽取200名，并統計這200名學生的某次數學考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖(如圖K55－7)．根據頻率分布直方圖推測，推測這3000名學生在該次數學考試中成績小于60分的學生數是________．

圖K55－7

14．(10分)從某項綜合能力測試中抽取100人的成績，統計如表，求這100人成績的標準差．

15．(13分)某市教育行政部門為了對2010屆高中畢業生學業水平進行評價，從該市高中畢業生抽取1000名學生學業水平考試數學成績為樣本進行統計，已知該樣本中的每個值都是40,100中的整數，且頻率分布直方圖如圖K55－8所示．記這1000名學生學業水平考試數學平均成績的最小可能值為a，最大可能值為b.(1)求a，b的值；

(2)從這1000名學生中任取1人，試根據直方圖估計其成績位于a，b中的概率(假設各小組數據平均分布在相應區間內的所有整數上)．

難點突破

16．(12分)2011·惠州調研某高校在2011年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，(1)

(2)為了能選拔出最優秀的學生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試？

(3)在(2)的前提下，學校決定在6名學生中隨機抽取2名學生接受A考官進行面試，求第4組至少有一名學生被考官A面試的概率？

課時作業(五十五)

【基礎熱身】

1．C 解析 由表格可知，丙的平均成績最高，且丙的方差最小，所以最佳人選是丙，故選C.2．B 解析 由莖葉圖，甲、乙選手去掉一個最高分和一個最低分后，為中間的5個數據，則

5＋4＋5＋5＋14＋4＋6＋4＋7

a1＝80＋＝84，a2＝80＝85，故選B.5

53．B 解析 由標準差公式，得

s＝

1222

2x1＋x2＋…＋x10－10x)＝ 10

(200－10×4)＝2，故選B.10

4．0.7 解析 由樣本容量為20，得x＋y＝9，則【能力提升】

5＋x＋y1

4＝0.7.2020

5．D 解析 由莖葉圖，得x＝(180×2＋1＋170×5＋x＋20)＝177，解得x＝8，故選D.7122222

6．C 解析 由方差公式，s＝(x1＋x2＋…＋xn－nx)，得x＝2，則所求平均數為

n

x1＋2)＋(x2＋2)＋(x3＋2)＋(x4＋2)＝x＋2＝4，故選C.4

7．D 解析 至多有一個紅球的事件是沒有紅球和只有一個紅球這兩個互斥事件的和，根據互斥事件的概率

312

C5C3C5405

加法公式得所求的概率是＋.C8C8567

8．B 解析 由直方圖，得數據在10,15)的頻率為0.016×5＝0.08，則數據在15,45內的頻率為1－0.08

＝0.92，則0.92，解得n＝50，n

則尺寸在20,25)內的產品個數為0.04×5×50＝10，故選B.0.5－0.2

9．B 解析 眾數是區間10,15)的中點，中位數是10＋＝13.0.110．25 解析 設總人數為x，則有0.04×10x＝40，得x＝100，故成績在70,80)的人數為0.015×10×100＝15，成績在80,90)的人數為0.01×10×100＝10，所以成績在70,90)的有25人．

2＋3＋49

11．60 解析 由已知，得·n＝27，即n＝27，解得n＝60.2＋3＋4＋6＋4＋12012．2 解析 由莖葉圖，得該組數據的平均數為x＝90，則該組數據的標準差為

s＝

22222

－90)＋(87－90)＋(90－90)＋(91－90)＋(93－90)5＝2.13．600 解析 設滿足所求條件的學生人數為x名，由頻率分布直方圖可知200名學生中60分以下學生為

x40

200×(0.002＋0.006＋0.012)×10＝40(名)．又＝x＝600.3000200

100＋40＋90＋60＋10

14．解答 ∵x＝＝3，100

12222

∴s＝(x1－x)＋(x2－x)＋…＋(xn－x)

n

＝＝

12222

20×2＋10×1＋30×1＋10×2 100

1608210

＝?s＝10055

15．解答(1)a＝0.05×40＋0.1×50＋0.25×60＋0.35×70＋0.15×80＋0.1×90＝67.5，b＝0.05×50＋0.1×60＋0.25×70＋0.35×80＋0.15×90＋0.1×100＝77.5.28

(2)由于成績是整數，故成績為68,69的頻率是×0.25，成績為70,71，…，76,77×0.35，1010

故成績在a，b上的頻率是×0.250.35＝0.33，以樣本的這個頻率估計總體分布的概率得出，從這1000

1010

名學生中任取1人，根據直方圖估計其成績位于a，b中的概率為0.33.【難點突破】

16．解答(1)由題可知，第2組的頻數為0.35×100＝35人，30

第3組的頻率為＝0.300，100

頻率分布直方圖如下：

(2)因為第3、4、5組共有606名學生，每組分別為：第3302010

組：6＝3(人)，第4組：×6＝2(人)，第5組：6＝1(人)，606060所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人．

(3)設第3組的3位同學為A1，A2，A3，第4組的2位同學為B1、B2，第5組的1位同學為C1，則從6位同學中抽兩位同學有15種可能如下：

(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，第4組至少有一位同學入選的有：

(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，9種可能．

所以其中第4組的2位同學至少有一位同學入選的概率為.155

第五篇：高中數學第一章統計1.5.2估計總體的數字特征教案

5.2 估計總體的數字特征

整體設計

教學分析

教科書通過現實生活的例子,引導學生認識到：只描述平均位置的特征是不夠的,還需要描述樣本數據離散程度的特征.通過對如何描述數據離散程度的探索,使學生體驗創造性思維的過程.三維目標

1.正確理解樣本數據標準差的意義和作用,學會計算數據的標準差；能根據實際問題的需要合理地選取樣本,從樣本數據中提取基本的數字特征（如平均數、標準差）,并作出合理的解釋；會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征，形成對數據處理過程進行初步評價的意識.2.在解決統計問題的過程中,進一步體會用樣本估計總體的思想,理解數形結合的數學思想和邏輯推理的數學方法；會用隨機抽樣的方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題,認識統計的作用,能夠辯證地理解數學知識與現實世界的聯系.重點難點

教學重點：根據實際問題從樣本數據中提取基本的數字特征并作出合理解釋,估計總體的基本數字特征；體會樣本數字特征具有隨機性.教學難點：用樣本平均數和標準差估計總體的平均數與標準差；能應用相關知識解決簡單的實際問題.課時安排 1課時

教學過程

導入新課

思路1.平均數為我們提供了樣本數據的重要信息,但是,有時平均數也會使我們作出對總體的片面判斷.某地區的統計顯示,該地區的中學生的平均身高為176 cm,給我們的印象是該地區的中學生生長發育好,身高較高.但是,假如這個平均數是從五十萬名中學生中抽出的五十名身高較高的學生計算出來的話,那么,這個平均數就不能代表該地區所有中學生的身體素質.因此,只有平均數難以概括樣本數據的實際狀態.所以我們學習從另外的角度來考察樣本數據的統計量——標準差.(教師板書課題)思路2.在一次射擊選拔比賽中,甲、乙兩名運動員各射擊10次,命中環數如下： 甲運動員：7,8,6,8,6,5,8,10,7,4;乙運動員：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.我們知道x甲=7，x乙=7,兩個人射擊的平均成績是一樣的,那么,是否兩個人就沒有水平差距呢？

圖1 從圖1直觀上看,還是有差異的.很明顯,甲的成績比較分散,乙的成績相對集中,因此這 節課我們從另外的角度來考察這兩組數據,引入課題：標準差.推進新課 新知探究 提出問題

(1)如何通過頻率分布直方圖估計數字特征（中位數、眾數、平均數）？

2(2)有甲、乙兩種鋼筋,現從中各抽取一個標本（如下表）檢查它們的抗拉強度（單位：kg/mm）,通過計算發現,兩個樣本的平均數均為125.甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 哪種鋼筋的質量較好？

(3)某種子公司為了在當地推行兩種新水稻品種,對甲、乙兩種水稻進行了連續7年的種植對比實驗,年畝產量分別如下：(千克)甲：600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均773);乙：800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均787).請你用所學統計學的知識,說明選擇哪種品種推廣更好?(4)全面建設小康社會是我們黨和政府的工作重心,某市按當地物價水平計算,人均年收入達到1.5萬元的家庭即達到小康生活水平.民政局對該市100戶家庭進行調查統計,它們的人均收入達到了1.6萬元,民政局即宣布該市民生活水平已達到小康水平,你認為這樣的結論是否符合實際?(5)如何考查樣本數據的離散程度的大小呢?把數據在坐標系中刻畫出來,是否能直觀地判斷數據的離散程度? 討論結果：

(1)利用頻率分布直方圖估計眾數、中位數、平均數：

估計眾數：頻率分布直方圖面積最大的方條的橫軸中點數字（最高矩形的中點）.估計中位數：中位數把頻率分布直方圖分成左右兩邊面積相等.估計平均數：頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和.(2)

圖2 由圖2可以看出,乙樣本的最小值100低于甲樣本的最小值110,乙樣本的最大值145高于甲樣本的最大值135,這說明乙種鋼筋沒有甲種鋼筋的抗拉強度穩定.我們把一組數據的最大值與最小值的差稱為極差（range）.由上圖可以看出,乙的極差較大,數據點較分散；甲的極差小,數據點較集中,這說明甲比乙穩定.運用極差對兩組數據進行比較,操作簡單方便,但如果兩組數據的集中程度差異不大時,就不容易得出結論.(3)選擇的依據應該是,產量高且穩產的品種,所以選擇乙更為合理.(4)不符合實際.樣本太小,沒有代表性.若樣本里有個別高收入者與多數低收入者差別太大.在統計學里,對統計數據的分析,需要結合實際,側重于考察總體的相關數據特征.比如,市民平均收入問題,都是考察數據的離散程度.(5)把問題(3)中的數據在坐標系中刻畫出來.我們可以很直觀地知道,乙組數據比甲組數據更集中在平均數的附近,即乙的離散程度小, 如何用數字去刻畫這種離散程度呢? 考察樣本數據的離散程度的大小,最常用的統計量是方差和標準差.標準差：

考察樣本數據的離散程度的大小,最常用的統計量是標準差(standard deviation).標準差是樣本數據到平均數的一種平均距離,一般用s表示.所謂“平均距離”,其含義可作如下理解：

假設樣本數據是x1,x2,?,xn,x表示這組數據的平均數.xi到x的距離是 |xi?x|(i=1,2,?,n).于是,樣本數據x1,x2,?,xn到x的“平均距離”是 s=|x1?x|?|x2?x|???|xn?x|.n由于上式含有絕對值,運算不太方便,因此,通常改用如下公式來計算標準差： s=1[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2].n意義：標準差用來表示穩定性,標準差越大,數據的離散程度就越大,也就越不穩定;標準差越小,數據的離散程度就越小,也就越穩定.從標準差的定義可以看出,標準差s≥0,當s=0時,意味著所有的樣本數據都等于樣本平均數.標準差還可以用于對樣本數據的另外一種解釋.例如, 在關于居民月均用水量的例子中,平均數x=1.973，標準差s=0.868，所以 x+s=2.841,x+2s=3.709； x-s=1.105,x-2s=0.237.這100個數據中，在區間［x-2s,x+2s］=［0.237,3.709］外的只有4個，也就是說，［x-2s,x+2s］幾乎包含了所有樣本數據.2從數學的角度考慮，人們有時用標準差的平方s——方差來代替標準差，作為測量樣本數據離散程度的工具,其中s=

21222

［(x1-x)+(x2-x)+?+(xn-x)］.n顯然，在刻畫樣本數據的離散程度上，方差與標準差是一樣的.但在解決實際問題時，一般多采用標準差.需要指出的是,現實中的總體所包含的個體數往往是很多的,總體的平均數與標準差是不知道的.如何求得總體的平均數和標準差呢?通常的做法是用樣本的平均數和標準差去估計總體的平均數與標準差.這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的.只要樣本的代表性好,這樣做就是合理的,也是可以接受的.兩者都是描述一組數據圍繞平均數波動的大小,實際應用中比較廣泛的是標準差.應用示例

思路1 例1 畫出下列四組樣本數據的條形圖,說明它們的異同點.(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.分析：先畫出數據的條形圖,根據樣本數據算出樣本數據的平均數,利用標準差的計算公式即 可算出每一組數據的標準差.解：四組樣本數據的條形圖如圖3：

圖3 四組數據的平均數都是5.０,標準差分別是：0.00,0.82,1.49,2.83.它們有相同的平均數,但它們有不同的標準差,說明數據的離散程度是不一樣的.例2 甲、乙兩人同時生產內徑為25.40 mm的一種零件.為了對兩人的生產質量進行評比,從他們生產的零件中各抽出20件,量得其內徑尺寸如下(單位：mm)： 甲

25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39 乙

25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 25.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48 從生產的零件內徑的尺寸看，誰生產的質量較高? 分析：每一個工人生產的所有零件的內徑尺寸組成一個總體.由于零件的生產標準已經給出(內徑25.40 mm),生產質量可以從總體的平均數與標準差兩個角度來衡量.總體的平均數與內徑標準尺寸25.40 mm的差異大時質量低,差異小時質量高;當總體的平均數與標準尺寸很接近時,總體的標準差小的時候質量高,標準差大的時候質量低.這樣,比較兩人的生產質量,只要比較他們所生產的零件內徑尺寸所組成的兩個總體的平均數與標準差的大小即可.但是,這兩個總體的平均數與標準差都是不知道的,根據用樣本估計總體的思想,我們可以通過抽樣分別獲得相應的樣本數據,然后比較這兩個樣本的平均數、標準差,以此作為兩個總體之間差異的估計值.解：用計算器計算可得x甲≈25.401,x乙≈25.406;s甲≈0.037,s乙≈0.068.從樣本平均數看,甲生產的零件內徑比乙的更接近內徑標準(25.40 mm),但是差異很小;從樣本標準差看,由于s甲

某地區全體九年級的3 000名學生參加了一次科學測試,為了估計學生的成績,從不同學校的不同程度的學生中抽取了100名學生的成績如下：

100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.請根據以上數據估計該地區3 000名學生的平均分、合格率（60或60分以上均屬合格）.解：運用計算器計算得：

100?12?90?30?80?18?70?24?60?12?50?4=79.40，100(12+30+18+24+12)÷100=96%，所以樣本的平均分是79.40分,合格率是96%,由此來估計總體3 000名學生的平均分是79.40分,合格率是96%.思路2

2例1 甲、乙兩種水稻試驗品種連續5年的平均單位面積產量如下（單位：t/hm）,試根據這組數據估計哪一種水稻品種的產量比較穩定.品種 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 解：甲品種的樣本平均數為10,樣本方差為

22222［（9.8-10）+（9.9-10）+（10.1-10）+（10-10）+（10.2-10）］÷5=0.02.乙品種的樣本平均數也為10,樣本方差為

22222［（9.4-10）+（10.3-10）+（10.8-10）+（9.7-10）+（9.8-10）］÷5=0.24.因為0.24>0.02,所以,由這組數據可以認為甲種水稻的產量比較穩定.例2 為了保護學生的視力,教室內的日光燈在使用一段時間后必須更換.已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數如下,試估計這種日光燈的平均使用壽命和標準差.151—18181—21211—24241—27271—30301—33331—36361—39天數

0 0 0 0 0 0 0 0 燈泡數 1 11 18 20 25 16 7 2 分析：用每一區間內的組中值作為相應日光燈的使用壽命,再求平均壽命.解：各組中值分別為165,195,225,255，285,315,345,375,由此算得平均數約為165×1%+195×11%

+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天).這些組

中

值

2的方

2差為

11002

×［1×(165-268)+11×(195-268)+18×(225-268)+20×(255-268)+25 22222×(285-268)+16×(315-268)+7×(345-268)+2×(375-268)］=2 128.60(天).故所求的標準差約為2128.60≈46（天）.答：估計這種日光燈的平均使用壽命約為268天,標準差約為46天.知能訓練（1）在一次歌手大獎賽上,七位評委為歌手打出的分數如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數據的平均值和方差分別為___________.2（2）若給定一組數據x1,x2,?,xn,方差為s,則ax1,ax2,?,axn的方差為___________.(3)在相同條件下對自行車運動員甲、乙兩人進行了6次測試,測得他們的最大速度(單位：m/s)的數據如下：

甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 試判斷選誰參加某項重大比賽更合適？

22答案：（1）9.5,0.016（2）as(3)x甲=33,x乙=33,s甲=

247237＞s乙=,乙的成績比甲穩定,應選乙參加比賽更合適.33拓展提升

某養魚專業戶在一個養魚池放入一批魚苗,一年以后準備出售,為了在出售以前估計賣掉魚后有多少收入,這個專業戶已經了解到市場的銷售價是每千克15元,請問,這個專業戶還應該了解什么？怎樣去了解？請你為他設計一個方案.解：這個專業戶應了解魚的總重量,可以先捕出一些魚（設有x條）,作上標記后放回魚塘,過一段時間再捕出一些魚（設有a條）,觀察其中帶有標記的魚的條數,作為一個樣本來估計總體,則a條魚中帶有標記的條數魚塘中所有帶有標記的魚的條數(x)?.a魚塘中魚的總條數 這樣就可以求得總條數,同時把第二次捕出的魚的平均重量求出來,就可以估計魚塘中的平均重量,進而估計全部魚的重量,最后估計出收入.課堂小結

1.用樣本的數字特征估計總體的數字特征分兩類：

用樣本平均數估計總體平均數,平均數對數據有“取齊”的作用,代表一組數據的平均水平.用樣本標準差估計總體標準差.樣本容量越大,估計就越精確,標準差描述一組數據圍繞平均數波動的大小,反映了一組數據變化的幅度.2.用樣本估計總體的兩個手段（用樣本的頻率分布估計總體的分布；用樣本的數字特征估計總體的數字特征）,需要從總體中抽取一個質量較高的樣本,才能不會產生較大的估計偏差,且樣本容量越大,估計的結果也就越精確.作業

習題1—5 3.設計感想

統計學科,最大的特點就是與現實生活的密切聯系,也是新教材的亮點.僅僅想借助“死記硬背一些概念及公式,簡單模仿課本例題”來學習,是絕對不行的.用樣本估計總體時,如果抽樣的方法比較合理,那么樣本可以反映總體的信息,但從樣本得到的信息會有偏差,其原因在于樣本的隨機性.這種偏差是不可避免的.雖然我們從樣本數據得到的分布、均值和標準差并不是總體的真正分布、均值和標準差,而只是總體的一個估計,但這種估計是合理的,特別是當樣本的容量很大時,它們確實反映了總體的信息.教師建議：親身經歷“提出問題,收集數據,分析數據,并作出合理決策”過程,在此過程中不僅可以加深對概念等知識的深刻理解,更重要的是發展了思維,培養了分析及解決問題能力,同時在情感、意志等領域也得到了協調發展,這才是學校學習的科學而全面的目標,習題設置有層次,盡量源于教材,又高于教材,這也是高考命題原則.