第一篇：小學奧數牛吃草問題教案(二)

奧數十三講

牛吃草問題二

典型的牛吃草問題的條件是假設草的生長速度固定不變，不同頭數的牛吃光同一片草地所需的天數各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由于吃的天數不同，草又是天天在生長，所以草的存量隨牛吃的天數不斷地變化。解決牛吃草問題常用的四個基本公式，分別是：

設定一頭牛一天吃草量為“1”

1草的生長速度=（對應的牛頭數×吃的較多的天數－相應的牛頭數×吃的較少的天數）÷（吃的較多的天數－吃得較少的天數）

2原有草量=牛頭數×吃的天數－草的生長速度×吃的天數 3吃的天數=原有草量÷（牛頭數－草的生長速度）4牛頭數=原有草量÷吃的天數+草的生長速度

由于牛在吃草的過程中，草是不斷生長的，所以解決消長問題的重點是要想辦法從變化中找到不變量。牧場上原有的草是不變的，新長的草雖然在變化，但由于是勻速生長，所以每天 新長出的草量應該是不變的。正由于這個不變量，才能導出上面的四個基本公式。牛吃草的問題經常給出不同頭數的牛吃同一片草地，這地既有原有的草，又有每天新長出的草。由于吃草的牛頭數不同，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。

解題的關鍵是弄清楚已知條件，進行對比分析，從而求出每日新長草的數量，再求出草地里原有的草量，進而解答問題。

這類題的基本數量關系是：

1（牛頭數×吃的較多的天數－相應的牛頭數×吃的較少的天數）÷（吃的較多的天數－吃得較少的天數）=草地每天新長出的草

2牛頭數×吃的天數－草的生長速度×吃的天數=原有草量 解決多塊草地的方法 多塊草地的“牛吃草”問題，一般情況下找多塊草地的最小公倍數，這樣可以減少運算難度，但如果數據較大時，我們一般把面積統一為“1”相對簡單些。

思維拓展 例5 有一牧場長滿牧草，牧草每天勻速生長，這個牧場可供17頭牛吃30天，可供19頭牛吃24天，現在有若干頭牛在吃草，6天后，4頭牛死亡，余下的牛吃了2天將草吃完，問原來有牛多少頭？

【分析】“牛吃草”問題的特點是隨時間的增長，所研究的量也等量地增加。解答時，要抓住這個關鍵問題，也就是要求出原來的量和每天增加的量各是多少。【思考5】一個牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供27頭牛吃6天，或供23頭牛吃9天，現有一群牛吃了4天后賣掉2頭，余下的牛又吃了4天將草吃完。這群牛原來有多少頭？

25頭。設每頭牛每天的吃草量為1份。每天新生的草量為：（23×9-27×6）÷（20-10）=15份，原有的草量為（27-15）×6=72份。如兩頭牛不賣掉，這群牛在4+4=8天內吃草量72+15×8+2×4=200份。所以這群牛原來有200÷8=25頭

例6 有三塊草地，面積分別為5公頃，6公頃和8公頃。每塊地每公頃的草量相同而且長的一樣快，第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。第三塊草地可供19頭牛吃多少天？ 【分析】由題目可知，這是三塊面積不同的草地，為了解決這個問題，首先要將這三塊草地的面積統一起來。鞏固練習1.一塊牧場長滿了草，每天均勻生長。這塊牧場的草可供10頭牛吃40天，供15頭牛吃20天。可供25頭牛吃＿＿天。（）

A.10 B.5 C.20 A 假設1頭牛1天吃草的量為1份。每天新生的草量為：(10×40-15×20)÷（40-20）=5（份）。那么愿草量為：10×40-40×5=200（份），安排5頭牛專門吃每天新長出來的草，這塊牧場可供25頭牛吃：200÷（25-5）=10（天）。

2.一塊草地上的草以均勻的速度生長，如果20只羊5天可以將草地上的草和新長出的草全部吃光，而14只羊則要10天吃光。那么想用4天的時間，把這塊草地的草吃光，需要＿＿只羊。（）

A.22 B.23 C.24 B假設1只羊1天吃草的量為1份。每天新生草量是：（14×10-20×5）÷（10-5）=8（份）原草量是：20×5-8×5＝60（份）安排8只羊專門吃每天新長出來的草，4天時間吃光這塊草地共需羊：60÷4+8＝23（只）

3．畫展9時開門，但早有人來排隊等候入場。從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數一樣多。如果開3個入場口，9點9分就不再有人排隊了，那么第一個觀眾到達的時間是8點＿＿分。（）

A.10 B.12 C.15 C假設每個人口每分鐘進入的觀眾量是1份。

每分鐘來的觀眾人數為（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5（份）到9時止，已來的觀眾人數為：3×9-0.5×9＝22.5（份）第一個觀眾來到時比9時提前了：22.5÷0.5＝45（分）所以第一個觀眾到達的時間是9時-45分=8時15分。

4.經測算，地球上的資源可供100億人生活100年，或 可供80億人生活300年。假設地球新生成的資源增長速度是一樣的。那么，為了滿足人類不斷發展的要求，地球最多只能養活（）億人。

設1億人1年所消耗的資源為1份

那么地球上每年新生成的資源量為：（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份）

只有當地球每年新生資源不少于消耗點的資源時，地球上的資源才不至于逐漸減少，才能滿足人類不斷發展的需要。所以地球最多只能養活：70÷1=70（億人）

5.快、中、慢三車同時從A地出發，追趕一輛正在行駛的自行車。三車的速度分別是每小時24千米、20千米、19千米。快車追上自行車用了6小時，中車追上自行車用了10小時，慢車追上自行車用（）小時。自行車的速度是：（20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米/小時）三車出發時自行車距A地：（24-14）×6==60（千米）慢車追上自行車所用的時間為：60÷（19-14）=12（小時）

6.一水池中原有一些水，裝有一根進水管，若干根抽水管。進水管不斷進水，若用24根抽水管抽水，6小時可以把池中的水抽干，那么用16根抽水管，（）小時可將可將水池中的水抽干。設1根抽水管每小時抽水量為1份。（1）進水管每小時卸貨量是：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份）（2）水池中原有的水量為：21×8-12×8＝72（份）

（3）16根抽水管，要將水池中的水全部抽干需：72÷（16-12）=18（小時）

7.某碼頭剖不斷有貨輪卸下貨物，又不斷用汽車把貨物運走，如用9輛汽車，12小時可以把它們運完，如果用8輛汽車，16小時可以把它們運完。如果開始只用3輛汽車，10小時后增加若干輛，再過4小時也能運完，那么后來增加的汽車是（）輛。設每兩汽車每小時運的貨物為1份。

（1）進水管每小時的進水量為：（8×16-9×12）÷（16-12）=5（份）（2）碼頭原有貨物量是：9×12-12×5＝48（份）

（3）3輛汽車運10小時后還有貨物量是：48+（5-3）×10=68（份）（4）后來增加的汽車輛數是：（68+4×5）÷4-3=19（輛）

8．有一片草地，每天都在勻速生長，這片草可供16頭牛吃20天，可供80只羊吃12天。如果一頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天？

8天

（1）按牛的吃草量來計算，80只羊相當于80÷4=20（頭）牛。（2）設1頭牛1天的吃草量為1份。

（3）先求出這片草地每天新生長的草量：（16×20-20×12）÷（20-12）=10（份）（4）再求出草地上原有的草量：16×20-10×20＝120（份）

（5）最后求出10頭牛與60只羊一起吃的天數：120÷（10+60÷4-10）=8（天）

9.某水庫建有10個泄洪閘，現在水庫的水位已經超過安全警戒線，上游的河水還在按一不變的速度增加。為了防洪，需開閘泄洪。假設每個閘門泄洪的速度相同，經測算，若打開一個泄洪閘，30小時水位降到安全線，若打開兩個泄洪閘，10小時水位降到安全線。現在抗洪指揮部要求在5.5小時內使水位降到安全線，問：至少要同時打開幾個閘門？

4個 設1個泄洪閘1小時的泄水量為1份。

（1）水庫中每小時增加的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份）（2）水庫中原有的超過安全線的水量為：1×30-0.5×30＝15（份）（3）在5.5小時內共要泄出的水量是：15+0.5×5.5＝17.75（份）（4）至少要開的閘門個數為：17.75÷5.5≈4（個）（采用“進1”法取值）

10.現有速度不變的甲、乙兩車，如果甲車以現在速度的2倍去追乙車，5小時后能追上，如果甲車以現在的速度去追乙車，3小時后能追上。那么甲車以現在的速度去追，幾小時后能追上乙車？

15小時

設甲車現在的速度為每小時行單位“1”，那么乙車的速度為：（2×5-3×3）÷（5-3）=0.5 乙車原來與甲車的距離為： 2×5-0.5×5＝7.5 所以甲車以現在的速度去追，追及的時間為： 7.5÷（1-0.5）=15（小時）

1、有三塊草地，面積分別為5，6和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問：第三塊草地可供19頭牛吃多少天？2、3、4、5、6、7、牧場上的牧草每天均勻生長，這片草地可供17頭牛吃6天，可供13頭牛吃12天．問多少頭牛4天把草地的草吃完? 有－牧場，21頭牛20天可將草吃完，25頭牛則15天可將草吃完，現有牛若干頭，吃6天后賣了4頭，余下的牛再吃2天則將草吃完，問原有牛多少頭? 22頭牛，吃33公畝牧場的草54夭可吃盡，17頭牛吃同樣牧場28公畝的草，‘84天可吃盡．請問幾頭牛吃同樣牧場40公畝的草，24天可吃盡? 某火車站檢票口，在檢票開始前已有－些人排隊，檢票開始后每分鐘有10人前來排隊檢票，－個檢票口每分鐘能讓25人檢票進站．如果只有－個檢票口，檢票開始8分鐘后就沒有人排隊；如果有兩個檢票口，那么檢票開始后多少分鐘就沒有人排隊? 甲、乙、丙三個倉庫，各存放著同樣數量的大米，甲倉庫用皮帶輸送機－臺和12個工人5小時把甲倉庫搬空，乙倉庫用皮帶輸送機－臺和28個工人3小時把乙倉庫搬空．丙倉庫有皮帶輸送機2臺，如果要2小時把丙倉庫搬空，同時還需要多少名工人? 牧場上－片牧草，可供27只羊吃6天；或者供23只羊吃9天，如果牧草每周勻速生長，可供21只羊吃幾天?

8、－片牧草，每天生長的速度相同．現在這片牧草可供16頭牛吃20天，或者可供80只羊吃12天．如果l頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么lO頭牛與60只羊－起吃可以吃多少天? 陜北某村有－塊草場，假設每天草都均勻生長，這片草場經過測算可供100只羊吃200天，或可供150只羊吃100天．問：如果放牧250只羊可以吃多少天?放牧這么多羊對嗎?為防止草場沙化，這片草地最多可以放牧多少只羊?(注意：要防止草場沙化就應該使草場的草永遠吃不完)一塊草地可供58頭羊吃7天，或供50頭羊吃9天，如果這片草地的生長量每天相等，這片草地最多能養活多少頭羊？9、10、

第二篇：小學奧數牛吃草問題教案(二)

牛吃草問題二

典型的牛吃草問題的條件是假設草的生長速度固定不變，不同頭數的牛吃光同一片草地所需的天數各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由于吃的天數不同，草又是天天在生長，所以草的存量隨牛吃的天數不斷地變化。解決牛吃草問題常用的四個基本公式，分別是：

設定一頭牛一天吃草量為“1”

1草的生長速度=（對應的牛頭數×吃的較多的天數－相應的牛頭數×吃的較少的天數）÷（吃的較多的天數－吃得較少的天數）

2原有草量=牛頭數×吃的天數－草的生長速度×吃的天數 3吃的天數=原有草量÷（牛頭數－草的生長速度）4牛頭數=原有草量÷吃的天數+草的生長速度

由于牛在吃草的過程中，草是不斷生長的，所以解決消長問題的重點是要想辦法從變化中找到不變量。牧場上原有的草是不變的，新長的草雖然在變化，但由于是勻速生長，所以每天 新長出的草量應該是不變的。正由于這個不變量，才能導出上面的四個基本公式。牛吃草的問題經常給出不同頭數的牛吃同一片草地，這地既有原有的草，又有每天新長出的草。由于吃草的牛頭數不同，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。

解題的關鍵是弄清楚已知條件，進行對比分析，從而求出每日新長草的數量，再求出草地里原有的草量，進而解答問題。

這類題的基本數量關系是：

1（牛頭數×吃的較多的天數－相應的牛頭數×吃的較少的天數）÷（吃的較多的天數－吃得較少的天數）=草地每天新長出的草

2牛頭數×吃的天數－草的生長速度×吃的天數=原有草量 解決多塊草地的方法

鞏固練習1.一塊牧場長滿了草，每天均勻生長。這塊牧場的草可供10頭牛吃40天，供15頭牛吃20天。可供25頭牛吃＿＿天。（）

A.10 B.5 C.20 A 假設1頭牛1天吃草的量為1份。每天新生的草量為：(10×40-15×20)÷（40-20）=5（份）。那么愿草量為：10×40-40×5=200（份），安排5頭牛專門吃每天新長出來的草，這塊牧場可供25頭牛吃：200÷（25-5）=10（天）。

2.一塊草地上的草以均勻的速度生長，如果20只羊5天可以將草地上的草和新長出的草全部吃光，而14只羊則要10天吃光。那么想用4天的時間，把這塊草地的草吃光，需要＿＿只羊。（）

A.22 B.23 C.24 B假設1只羊1天吃草的量為1份。每天新生草量是：（14×10-20×5）÷（10-5）=8（份）原草量是：20×5-8×5＝60（份）安排8只羊專門吃每天新長出來的草，4天時間吃光這塊草地共需羊：60÷4+8＝23（只）

4.經測算，地球上的資源可供100億人生活100年，或 可供80億人生活300年。假設地球新生成的資源增長速度是一樣的。那么，為了滿足人類不斷發展的要求，地球最多只能養活（）億人。

設1億人1年所消耗的資源為1份

那么地球上每年新生成的資源量為：（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份）

只有當地球每年新生資源不少于消耗點的資源時，地球上的資源才不至于逐漸減少，才能滿足人類不斷發展的需要。所以地球最多只能養活：70÷1=70（億人）

5.快、中、慢三車同時從A地出發，追趕一輛正在行駛的自行車。三車的速度分別是每小時24千米、20千米、19千米。快車追上自行車用了6小時，中車追上自行車用了10小時，慢車追上自行車用（）小時。自行車的速度是：（20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米/小時）三車出發時自行車距A地：（24-14）×6==60（千米）慢車追上自行車所用的時間為：60÷（19-14）=12（小時）

6.一水池中原有一些水，裝有一根進水管，若干根抽水管。進水管不斷進水，若用24根抽水管抽水，6小時可以把池中的水抽干，那么用16根抽水管，（）小時可將可將水池中的水抽干。設1根抽水管每小時抽水量為1份。

（1）進水管每小時卸貨量是：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份）（2）水池中原有的水量為：21×8-12×8＝72（份）

（3）16根抽水管，要將水池中的水全部抽干需：72÷（16-12）=18（小時）

8．有一片草地，每天都在勻速生長，這片草可供16頭牛吃20天，可供80只羊吃12天。如果一頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天？

8天

（1）按牛的吃草量來計算，80只羊相當于80÷4=20（頭）牛。（2）設1頭牛1天的吃草量為1份。

（3）先求出這片草地每天新生長的草量：（16×20-20×12）÷（20-12）=10（份）（4）再求出草地上原有的草量：16×20-10×20＝120（份）

（5）最后求出10頭牛與60只羊一起吃的天數：120÷（10+60÷4-10）=8（天）

9.某水庫建有10個泄洪閘，現在水庫的水位已經超過安全警戒線，上游的河水還在按一不變的速度增加。為了防洪，需開閘泄洪。假設每個閘門泄洪的速度相同，經測算，若打開一個泄洪閘，30小時水位降到安全線，若打開兩個泄洪閘，10小時水位降到安全線。現在抗洪指揮部要求在5.5小時內使水位降到安全線，問：至少要同時打開幾個閘門？

4個 設1個泄洪閘1小時的泄水量為1份。

（1）水庫中每小時增加的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份）（2）水庫中原有的超過安全線的水量為：1×30-0.5×30＝15（份）（3）在5.5小時內共要泄出的水量是：15+0.5×5.5＝17.75（份）（4）至少要開的閘門個數為：17.75÷5.5≈4（個）（采用“進1”法取值）

1、牧場上的牧草每天均勻生長，這片草地可供17頭牛吃6天，可供13頭牛吃12天．問多少頭牛4天把草地的草吃完? 2

第三篇：小學奧數牛吃草問題教案(一)

奧數十二講 牛吃草問題

（一）牛吃草問題也叫牛頓問題或是消長問題，因由牛頓提出而得名，也有人稱這一類問題叫做牛吃草問題。英國著名的物理學家學家牛頓曾編過這樣一道數學題：牧場上有一片青草，每天都生長得一樣快。這片青草供給10頭牛吃，可以吃22天，或者供給16頭牛吃，可以吃10天，如果供給25頭牛吃，可以吃幾天？ 解題關鍵

牛頓問題，俗稱“牛吃草問題”，牛每天吃草，草每天在不斷均勻生長。解題環節主要有四步：

1、求出每天長草量；

2、求出牧場原有草量；

3、求出每天實際消耗原有草量(牛吃的草量--生長的草量= 消耗原有草量)；

4、最后求出可吃天數

想：這片草地天天以勻速生長是分析問題的難點。把10頭牛22天吃的總量與16頭牛10天吃的總量相比較，得到的10×22-16×10=60，是60頭牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5頭牛一天吃的草，也就是每天新長出的草。求出了這個條件，把所有頭牛分成兩部分來研究，用其中頭吃掉新長出的草，用其余頭數吃掉原有的草，即可求出全部頭牛吃的天數。

設一頭牛1天吃的草為一份。

那么10頭牛22天吃草為1×10×22=220份，16頭牛10天吃草為1×16×10=160份

（220-160）÷（22-10）=5份，說明牧場上一天長出新草5份。

220-5×22=110份，說明原有老草110份。

綜合式：110÷（25-5）=5.5天，算出一共多少天。牛頓曾提出的問題

牛頓在其著作《普遍的算術》(1707年出版)中提出如下問題：“12條公牛在四個星期內吃掉了三又三分之一由格爾的牧草；21條公牛在9星期吃掉10由格爾的牧草，問多少條公牛在18個星期內吃掉24由格爾的牧草？”

（由格爾是古羅馬的面積單位，1由格爾約等于2,500平方米）。這個著名的公牛問題叫做“牛頓問題”。牛頓曾說過：“如果我看得比別人更遠些，那是因為我站在巨人的肩膀上”。

牛頓的解法是這樣的：在牧草不生產的條件下，如果12條公牛在四星期內吃掉三又三分之一由格爾的牧草、則按比例36頭公牛四星期內，或16頭公牛九個星期內，或八頭公牛18星期內吃掉10由格爾的牧草，由于牧草在生長，所以21頭公牛9星期只吃掉10由格爾牧草，即在隨后的五周內，在10由格爾的草地上新長的牧草足夠21-16=5頭公牛吃9星期，或足夠5/2頭公牛吃18個星期，由此推得，14個星期（即18個星期減去初的四個星期）內新長的牧草可供7頭公牛吃18個星期，因為5：14=5/2：7。前已算出，如牧草不長，則10由格爾草地牧草可供八頭公牛吃18個星期，現考慮牧草生長，故應加上7頭，即10由格爾草地的牧草實際可供15頭公牛吃18個星期，由此按比例可算出。24由格爾草地的牧草實際可供36頭公牛吃18星期。

牛頓還給出代數解法：他設1由格爾草地一個星期內新長的牧草相當于面積為y由格爾，由于每頭公牛每個星期所吃牧草所占的面積看成是相等的，根據題意，設若所求的公牛頭數為x，則（10/3+10/3）*4y/(12*4)=(10+10*9y)/(21*9)=(24+24*18y)/18x

解得x=36 即36條公牛在18個星期內吃掉24由格爾的牧草。

還有一種方法就是使用方程式的解法。

例如有一塊牧場，可供9頭牛吃3天，或者5頭牛吃6天，請問多少牛能夠2天吃完？

我們做方程式：設牧場原有草量為y，每天新增加的牧草可供x頭牛食用，N頭牛能夠2天將草吃完，根據題目條件，我們列出方程式：

y=(9-x）×3

y=(5-x)×6

y=(N-x)×2

解方程組得x=1 y=24 N=13

其實這種牛吃草問題的核心公式是：原有草量=（牛數-單位時間長草量可供應的牛的數量）×天數

解法二：

牛吃草問題的關鍵點在于這個問題隱藏了一個基本的平衡在其中，那就是：假若每頭牛每天的吃草速率和吃草量都不相同，那么此題無解，為什么？因為很可能一頭牛心情好一天就能吃完這些草，也可能10頭牛食欲不佳一個月吃都不完這些草，因此每頭牛每天的吃草速率和數量必須都是相同的是這個問題成立并且能夠得到答案的充要條件。

得到這個結論后，我們就要開始確定一個平衡的方程式出來，如何確定？不難想到，可以是吃草量和草本身量之間的平衡，也就是吃草量=草總量。于是我們就可以假設一頭牛一天的吃草量為M，并假設第三種情況牛吃草的天數為N；接下來開始尋找平衡方程，我們可以看到，在問題提供的條件中，第一種情況的草地總量為10×M×22，第二種情況的草地總量為16×M×10，第三種情況的草地總量為25×M×N。

然后我們開始尋找方程的平衡：既然我們現在已經找到三種情況里草地的總量，那么不難想到方程的另一邊就要靠草的量來進行平衡，于是，我們假設原有草量為Y，草每天的生長量為X，得到如下方程組：

10×M×22=22X+Y

16×M×10=10X+Y

25×M×N=NX+Y

解此方程組，可得X=5，Y=110，N=5.5，因此25頭牛用五天半的時間就能吃完這些草。規律總結

牛頓問題的難點在于草每天都在不斷生長，草的數量都在不斷變化。解答這類題目的關鍵是想辦法從變化中找出不變量，我們可以把總草量看成兩部分的和，即原有的草量加新長的草量。顯而易見，原有的草量是一定的，新長的草量雖然在變，但如果是勻速生長，我們也能找到另一個不變量——每天（每周）新長出的草的數量。

方法指導：通常思路

①把每頭牛每天（周）的吃草量看作是“1”；②求出每天（周）的新生長的草量是多少；③求出原來的草量是多少；④假設幾頭牛專門去吃新生長的草，剩下的牛吃原來的草所用幾天（周）數即為所求。由于牛吃草的天數不同。

例題：例1 牧場上長滿牧草，每天都勻速生長。這片牧場可供27頭牛吃6天或23頭牛吃9天。問可供21頭牛吃幾天？

【分析】這片牧場上的牧草的數量每天在變化。解題的關鍵應找到不變量——即原來的牧草數量。因為總草量可以分成兩部分：原有的草與新長出的草。新長出的草雖然在變，但應注意到它是勻速生長的，因而這片牧場每天新長出飛草的數量也是不變的。從這道題我們看到，草每天在長，牛每天在吃，都是在變化的，但是也有不變的，都是什么不變啊？草是以勻速生長的，也就是說每天長的草是不變的;，同樣，每天牛吃草的量也是不變的，對吧？這就是我們解題的關鍵。這里因為未知數很多，我教大家一種巧妙的設未知數的方法，叫做設“1”法。我們設牛每天吃草的數量為1份，具體1份是多少我們不知道，也不用管它，設草每天增長的數量是a份，設原來的草的數量為b份，那么我們可以列方程了：27*6=b+6a；23*9=b+9a 【思考1】一片草地，每天都勻速長出青草，如果可供24頭牛吃6天，或20頭牛吃10天，那么可供18頭牛吃幾天？

15天．設1頭牛1天吃的草為1份。則每天新生的草量是（20×10-24×6）÷(10-6)=14份，原來的草量是（24-14）×6=60份。可供18頭牛吃60÷（18-14）=15天

例2 因天氣寒冷，牧場上的草不僅不生長，反而每天以均勻的速度在減少。已知牧場上的草可供33頭牛吃5天，可供24頭牛吃6天，照此計算，這個牧場可供多少頭牛吃10天? 【分析】與例1不同的是，不但沒有新長出的草，而且原有的草還在勻速減少，但是，我們同樣可以用類似的方法求出每天減少的草量和原來的草的總量 【思考2】由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天以固定的速度在減少，經計算，牧場上的草可供20頭牛 吃5天，或可供16頭牛吃6天。那么，可供11頭牛吃幾天？

8天，設一頭牛一天吃的草量為一份。牧場每天減少的草量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4份，原來的草量：（20+4）× 5=120份，可供11頭牛吃120÷(11+4)=8天。

總結：想辦法從變化中找到不變的量。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，但是因為是勻速生長，所以每天新長出的草量也是不變的。正確計算草地上原有的草及每天新長出的草，問題就會迎刃而解。

知識衍變 牛吃草基本問題就先介紹到這，希望大家掌握這種方法，以后出現樣吃草問題，驢吃草問題也知道怎么做，甚至，以下這些問題都可以應用牛吃草問題解決方法 例3 自動扶梯以均勻速度由下往上行駛，小明和小麗從扶梯上樓，已知小明每分鐘走25級臺階，小麗每分鐘走20級臺階，結果小明用了5分鐘，小麗用了6分鐘分別到達樓上。該扶梯共有多少級臺階？

【分析】在這道題中，“總的草量”變成了“扶梯的臺階總級數”，“草”變成了“臺階”，“牛”變成了“速度”,所以也可以看成是“牛吃草”問題來解答。【思考3】兩只蝸牛同時從一口井的井頂爬向井底。白天往下爬，兩只蝸牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑，兩只蝸牛滑行的速度卻是相同的，結果一只蝸牛恰好用了5個晝夜到達井底，另一只恰好用了6個晝夜到達井底。那么，井深多少米？

大家說這里什么是牛？什么是草？都什么是不變的？

15米。

蝸牛每夜下降：（20×5-15×6）÷（6-5）=10分米 所以井深：（20+10）×5=150分米=15米

例4 一條船有一個漏洞，水以均勻的速度漏進船內，待發現時船艙內已進了一些水。如果用12人舀水，3小時舀完。如果只有5個人舀水，要10小時才能舀完。現在要想在2小時舀完，需要多少人？

【分析】典型的“牛吃草”問題，找出“牛”和“草”是解題的關鍵 【思考4】一個水池，池底有泉水不斷涌出，用10部抽水機20小時可以把水抽干，用15部相同的抽水機10小時可把水抽干。那么用25部這樣的抽水機多少小時可以把水抽干？

5小時。設一臺抽水機一小時抽水一份。則每小時涌出的水量是：（20×10-15×10）÷(20-10)=5份，池內原有的水是：（10-5）×20=100份.所以,用25部抽水機需要:100÷(25-5)=5小時1、2、牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天？

一個水池裝一個進水管和三個同樣的出水管。先打開進水管，等水池存了一些水后，再打開出水管。如果同時打開2個出水管，那么8分鐘后水池空；如果同時打開3個出水管，那么5分鐘后水池空。那么出水管比進水管晚開多少分鐘？

3、4、由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？ 自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級梯級，女孩每分鐘走15級梯級，結果男孩用了5分鐘到達樓上，女孩用了6分鐘到達樓上。問：該扶梯共有多少級？

5、

第四篇：牛吃草問題教案

牛吃草問題

牛吃草問題量的關系：

例1：一片草地長滿了勻速生長的牧草，可供10頭牛吃20天，15頭牛吃10天，問可供25頭牛吃多少天？ 1：先求每天新生長的草量： 2：再求這片草地原有的草量： 3：最后求可供25頭牛吃幾天： 【學以致用】

1、一片牧草，每天生長的速度相同，這片牧草可供10頭牛吃20天，或供15頭牛吃10天，問可供30頭牛吃多少天？

2、有一片牧場，已知牛27頭，6天把草吃盡，牛23頭，9天把草吃盡，如果有牛21頭，幾天能把草吃盡？

3、一片牧場長滿草，每天勻速生長，這片牧場可供5頭牛吃8天，或供14頭牛吃2天，問可供10頭牛吃幾天？

4、有三塊草地長滿了草，每公頃草量都相同且每天勻速生長，第一塊草地有10公頃，可供220只羊吃10天，第二塊草地有12公頃，可供240只羊吃14天，第三塊草地16公頃，可供380只羊吃多少天？

例2：博物館開門前就有參觀的觀眾排隊等候，每分鐘來參觀的人數一樣多，打開4道門讓人們進館參觀，30分鐘就不再有排隊的現象，打開5道門時，20分鐘就不再有排隊的現象，如果同時打開7道門，需要幾分鐘不再有排隊的現象？ 1：先求每分鐘進來的觀眾量： 2：原來排隊的觀眾量：

3：同時打開7道門，需要幾分鐘： 【學以致用】

1、一水池有一根進水管，有若干根抽水管，進水管不斷進水，若用24根抽水管抽水，6小時可以把池中的水抽干，若用21根抽水管抽水，8小時可將池中的水抽干，那么用16根抽水管多少小時可將水池中的水抽干？

2、某火車站的檢票口，在檢票開始前已有一些人排隊，檢票開始后每分鐘有10人前來排隊檢票，一個檢票口每分能讓25人檢票進站，如果只有一個檢票口，檢票開始8分后就沒有人排隊，如果有兩個檢票口，那么檢票后多少分就沒有人排隊？

3、畫展9時開門，但早有人來排隊等候入場，從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數一樣多，如果開3個入場口，9點9分就不再有人排隊，如果開5個入場口，9點5分就沒有人排隊，那么第一個觀眾到達的時間是幾點？

例3：一個水塘原有水量一定，有流水每天均勻的流入池塘內，用5臺抽水機20天可以抽干，用6臺同樣的抽水機15天可以抽干，若要6天抽干，需要多少臺同樣的抽水機？

1：水塘每天流入的水量： 2：水塘原有水量：

3：需要多少臺同樣的抽水機： 【學以致用】

1、一塊草地上的草以均勻的速度生長，如果20只羊5天可以將草地上的草和新長出的草全部吃光，而14只羊則要10天吃光，那么想用4天時間把這塊草地的草吃光，需要多少只羊？

2、有一只船有一個漏洞，水以均勻的速度進入船內，發現漏洞時船內已經進了一些水，如果用12個人淘水，3小時可以淘完，如果只有5個人淘水，要10小時才能淘完，現在想2小時淘完，需要多少人？

3、飼料廠除原有的一批飼料外，每天都生產相同數量的飼料供應周圍的養雞場，現在用5輛汽車拉廠里的飼料10天可以拉完，如果再增加7輛汽車，3天可以拉完，現在要求在2天內拉完所有的飼料，需要多少輛汽車？

4、某海港貨場不斷有外洋輪船卸下貨物，又不斷用汽車把貨物運走，如果用9輛汽車，12小時可以清場，如果用8輛汽車，16小時可以清場，該場開始只用3輛汽車，10小時后增加了若干輛，再過4小時就已清場，那么后來增加的汽車是多少輛？

第五篇：六年級下冊奧數試題——牛吃草問題（含答案）人教版.

牛吃草

教學目標

1.理解牛吃草這類題目的解題步驟，掌握牛吃草問題的解題思路.2.初步了解牛吃草的變式題，會將一些變式題與牛吃草問題進行區別與聯系

知識精講

英國科學家牛頓在他的《普通算術》一書中，有一道關于牛在牧場上吃草的問題，即牛在牧場上吃草，牧場上的草在不斷的、均勻的生長．后人把這類問題稱為牛吃草問題或叫做“牛頓問題”．

“牛吃草”問題主要涉及三個量：草的數量、牛的頭數、時間．難點在于隨著時間的增長，草也在按不變的速度均勻生長，所以草的總量不定．“牛吃草”問題是小學應用題中的難點．

解“牛吃草”問題的主要依據：

①

草的每天生長量不變；

②

每頭牛每天的食草量不變；

③

草的總量草場原有的草量新生的草量，其中草場原有的草量是一個固定值

④

新生的草量每天生長量天數．

同一片牧場中的“牛吃草”問題，一般的解法可總結為：

⑴設定1頭牛1天吃草量為“1”；

⑵草的生長速度(對應牛的頭數較多天數對應牛的頭數較少天數)(較多天數較少天數)；

⑶原來的草量對應牛的頭數吃的天數草的生長速度吃的天數；

⑷吃的天數原來的草量(牛的頭數草的生長速度)；

⑸牛的頭數原來的草量吃的天數草的生長速度．

“牛吃草”問題有很多的變例，像抽水問題、檢票口檢票問題等等，只有理解了“牛吃草”問題的本質和解題思路，才能以不變應萬變，輕松解決此類問題．

例題精講

板塊一、一塊地的“牛吃草問題”

【例

1】

青青一牧場，牧草喂牛羊；

放牛二十七，六周全吃光。

改養廿三只，九周走他方；

若養二十一，可作幾周糧？

（注：“廿”的讀音與“念”相同。“廿”即二十之意。）

【解說】題目翻譯過來是：一牧場長滿青草，27頭牛6個星期可以吃完，或者23頭牛9個星期可以吃完。若是21頭牛，要幾個星期才可以吃完？（注：牧場的草每天都在生長）

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，27頭牛吃6周共吃了份；23頭牛吃9周共吃了份．第二種吃法比第一種吃法多吃了份草，這45份草是牧場的草周生長出來的，所以每周生長的草量為，那么原有草量為：．

供21頭牛吃，若有15頭牛去吃每周生長的草，剩下6頭牛需要(周)可將原有牧草吃完，即它可供21頭牛吃12周．

【鞏固】

牧場上長滿牧草，每天牧草都勻速生長．這片牧場可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天．供25頭牛可吃幾天？

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，10頭牛吃20天共吃了份；15頭牛吃10天共吃了份．第一種吃法比第二種吃法多吃了份草，這50份草是牧場的草天生長出來的，所以每天生長的草量為，那么原有草量為：．

供25頭牛吃，若有5頭牛去吃每天生長的草，剩下20頭牛需要(天)可將原有牧草吃完，即它可供25頭牛吃5天．

【鞏固】

倉庫里原有一批存貨，以后繼續運貨進倉，且每天運進的貨一樣多。用同樣的汽車運貨出倉，如果每天用4輛汽車，則9天恰好運完；如果每天用5輛汽車，則6天恰好運完。倉庫里原有的存貨若用1輛汽車運則需要多少天運完？

【解析】

設輛汽車天運貨為“”，進貨速度為，原有存貨為，倉庫里原有的存貨若用1輛汽車運則需要（天）

【例

2】

牧場上有一片勻速生長的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周，那么它可供多少頭牛吃18周？

【解析】

設1頭牛1周的吃草量為“1”，草的生長速度為，原有草量為，可供（頭）牛吃18周【鞏固】

有一塊勻速生長的草場，可供12頭牛吃25天，或可供24頭牛吃10天．那么它可供幾頭牛吃20天？

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，那么天生長的草量為，所以每天生長的草量為；原有草量為：．

20天里，草場共提供草，可以讓頭牛吃20天．

【鞏固】

(湖北省“創新杯”)

牧場有一片青草，每天長勢一樣，已知70頭牛24天把草吃完，30頭牛60天把草吃完，則

頭牛96天可以把草吃完．

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天新生長的草量為，牧場原有草量為，要吃96天，需要(頭)牛．

【鞏固】

一牧場放牛58頭，7天把草吃完；若放牛50頭，則9天吃完．假定草的生長量每日相等，每頭牛每日的吃草量也相同，那么放多少頭牛6天可以把草吃完?

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為1個單位，則每天生長的草量為：，原有草量為：，(頭)

【鞏固】

林子里有猴子喜歡吃的野果，23只猴子可在9周內吃光，21只猴子可在12周內吃光，問如果要4周吃光野果，則需有多少只猴子一起吃？（假定野果生長的速度不變）

【解析】

設一只猴子一周吃的野果為“”，則野果的生長速度是，原有的野果為，如果要4周吃光野果，則需有只猴子一起吃

【鞏固】

一水庫原有存水量一定，河水每天均勻入庫.5臺抽水機連續20天可抽干；6臺同樣的抽水機連續15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少臺同樣的抽水機？

【解析】

水庫原有的水與20天流入的水可供多少臺抽水機抽1天？(臺).水庫原有的水與15天流入的水可供多少臺抽水機抽1天？(臺).每天流入的水可供多少臺抽水機抽1天？

(臺).原有的水可供多少臺抽水機抽1天？

(臺).若6天抽完，共需抽水機多少臺？

(臺).【例

3】

由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不生長，反而以固定的速度在減少．已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天．照此計算，可以供多少頭牛吃10天？

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天自然減少的草量為：，原有草量為：；10天吃完需要牛的頭數是：(頭)．

【鞏固】

由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長，反而以固定的速度在減少。如果某塊草地上的草可供25頭牛吃4天，或可供16頭牛吃6天，那么可供多少頭牛吃12天？

【解析】

設1頭牛1天吃的草為“1”。牧場上的草每天自然減少；

原來牧場有草，12天吃完需要牛的頭數是：(頭)或（頭）。

【例

4】

由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天以均勻的速度減少．經計算，牧場上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天．那么，可供11頭牛吃幾天？

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，天自然減少的草量為，原有草量為：．

若有11頭牛來吃草，每天草減少；所以可供11頭牛吃(天)．

【鞏固】

由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長，反而以固定的速度在減少。如果某塊草地上的草可供25頭牛吃4天，或可供16頭牛吃6天，那么可供10頭牛吃多少天？

【解析】

設1頭牛1天吃的草為“1”。牧場上的草每天自然減少

原來牧場有草

可供10頭牛吃的天數是：(天)。

【例

5】

一塊勻速生長的草地，可供16頭牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一頭牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么這塊草地可供10頭牛和75只羊一起吃多少天？

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，由于一頭牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊吃12天相當于20頭牛吃12天．那么每天生長的草量為，原有草量為：．

10頭牛和75只羊1天一起吃的草量，相當于25頭牛一天吃的草量；25頭牛中，若有10頭牛去吃每天生長的草，那么剩下的15頭牛需要天可以把原有草量吃完，即這塊草地可供10頭牛和75只羊一起吃8天．

【鞏固】

（希望杯六年級二試試題）

有一片草場，草每天的生長速度相同。若14頭牛30天可將草吃完，70只羊16天也可將草吃完(4只羊一天的吃草量相當于1頭牛一天的吃草量)。那么，17頭牛和20只羊多少天可將草吃完?

【解析】

“4只羊一天的吃草量相當于1頭牛一天的吃草量”，所以可以設一只羊一天的食量為1，那么14頭牛30天吃了單位草量，而70只羊16天吃了單位草量，所以草場在每天內增加了草量，原來的草量為草量，所以如果安排17頭牛和20只羊，即每天食草88草量，經過天，可將草吃完。

【鞏固】

一片牧草，每天生長的速度相同。現在這片牧草可供20頭牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如果1頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12頭牛與88只羊一起吃可以吃幾天？

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，只羊的吃草量等于頭牛的吃草量，只羊的吃草量等于頭牛的吃草量，所以草的生長速度為，原有草量為，12頭牛與88只羊一起吃可以吃（天）

【鞏固】

一片茂盛的草地，每天的生長速度相同，現在這片青草16頭牛可吃15天，或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相當于l頭牛的吃草量，那么8頭牛與48只羊一起吃，可以吃多少天?

【解析】

設１頭牛１天的吃草量為“１”，摘錄條件，將它們轉化為如下形式方便分析

16頭牛

15天

16×15＝240：原有草量＋15天生長的草量

100只羊（25頭牛）

6天

25×6＝150：

原有草量＋6天生長的草量

從上易發現：1天生長的草量＝10；那么原有草量：150－10×6＝90；

8頭牛與48只羊相當于20頭牛的吃草量，其中10頭牛去吃新生草，那么剩下的10頭牛吃原有草，90只需9天，所以8頭牛與48只羊一起吃，可以吃9天。

【例

6】

有一牧場，17頭牛30天可將草吃完，19頭牛則24天可以吃完．現有若干頭牛吃了6天后，賣掉了4頭牛，余下的牛再吃兩天便將草吃完．問：原來有多少頭牛吃草(草均勻生長)？

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天生長的草量為，原有草量為：．

現有若干頭牛吃了6天后，賣掉了4頭牛，余下的牛再吃兩天便將草吃完，如果不賣掉這4頭牛，那么原有草量需增加才能恰好供這些牛吃8天，所以這些牛的頭數為(頭)．

【鞏固】

一片草地，可供5頭牛吃30天，也可供4頭牛吃40天，如果4頭牛吃30天，又增加了2頭牛一起吃，還可以再吃幾天？

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天生長的草量為，原有草量為：．如果4頭牛吃30天，那么將會吃去30天的新生長草量以及90原有草量，此時原有草量還剩，而牛的頭數變為6，現在就相當于：“原有草量30，每天生長草量1，那么6頭牛吃幾天可將它吃完？”易得答案為：(天)．

【例

7】

一片勻速生長的牧草，如果讓馬和牛去吃，15天將草吃盡；如果讓馬和羊去吃，20天將草吃盡；如果讓牛和羊去吃，30天將草吃盡．已知牛和羊每天的吃草量的和等于馬每天的吃草量．現在讓馬、牛、羊一起去吃草，幾天可以將這片牧草吃盡？

【解析】

設1匹馬1天吃草量為“1”，根據題意，有：

15天馬和牛吃草量原有草量天新生長草量……⑴

20天馬和羊吃草量原有草量天新生長草量……⑵

30天牛和羊(等于馬)吃草量原有草量天新生長草量……⑶

由可得：30天牛吃草量原有草量，所以：牛每天吃草量原有草量；

由⑶可知，30天羊吃草量天新生長草量，所以：羊每天吃草量每天新生長草量；設馬每天吃的草為份

將上述結果帶入⑵得：原有草量，所以牛每天吃草量．

這樣如果同時放牧牛、羊、馬，可以讓羊去吃新生長的草，牛和馬吃原有的草，可以吃：(天)．

【鞏固】

現在有牛、羊、馬吃一塊草地的草，牛、馬吃需要45天吃完，于是馬、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度為馬吃草的速度，求馬、牛、羊一起吃，需多少時間?

【解析】

牛、馬45天吃了

原有天新長的草①

牛、馬90天吃了2原有天新長的草⑤

馬、羊60天吃了

原有天新長的草②

牛、羊90天吃了

原有天新長的草③

馬

90天吃了

原有天新長的草④

所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再結合③知，羊吃了90天，吃了90天新長的草，所以，可以將羊視為專門吃新長的草．

所以，②知馬60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草．

現在將牛、馬、羊放在一起吃；還是讓羊吃新長的草，牛、馬一起吃原有的草.所需時間為天.所以，牛、羊、馬一起吃，需36天．

板塊二、多塊地的“牛吃草問題”

【例

8】

東升牧場南面一塊2000平方米的牧場上長滿牧草，牧草每天都在勻速生長，這片牧場可供18頭牛吃16天，或者供27頭牛吃8天．在東升牧場的西側有一塊6000平方米的牧場，可供多少頭牛吃6天？

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，那么2000平方米的牧場上天生長的草量為，即每天生長的草量為．那么2000平方米的牧場上原有草量為：．

則6000平方米的牧場每天生長的草量為；原有草量為：．6天里，該牧場共提供牧草，可以讓(頭)牛吃6天．

【鞏固】

有甲、乙兩塊勻速生長的草地，甲草地的面積是乙草地面積的3倍．30頭牛12天能吃完甲草地上的草，20頭牛4天能吃完乙草地上的草．問幾頭牛10天能同時吃完兩塊草地上的草？

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，由于甲草地的面積是乙草地面積的3倍，把甲草地分成面積相等的3塊，那么每塊都與乙草地的面積相等．由于30頭牛12天能吃完甲草地上的草，相當于每塊上的草由10頭牛12天吃完．那么條件轉換為“10頭牛12天能吃完乙草地上的草，20頭牛4天也能吃完乙草地上的草”，可知每天乙草地長草量為，乙草地原有草量為：；則甲、乙兩塊草地每天的新生長草量為，原有草量為：．要10天同時吃完兩塊草地上的草，需要(頭)牛．

【鞏固】

有一塊1200平方米的牧場，每天都有一些草在勻速生長，這塊牧場可供10頭牛吃20天，或可供15頭牛吃10天，另有一塊3600平方米的牧場，每平方米的草量及生長量都與第一塊牧場相同，問這片牧場可供75頭牛吃多少天？

【解析】

設１頭牛１天的吃草量為“１”，摘錄條件，將它們轉化為如下形式方便分析

10頭牛

20天

10×20＝200

：原有草量＋20天生長的草量

15頭牛

10天

15×10＝150

：原有草量＋10天生長的草量

從上易發現：1200平方米牧場上20－10＝10天生長草量＝200－150＝50，即1天生長草量＝50÷10＝5；

那么1200平方米牧場上原有草量：200－5×20＝100或150－5×10＝100。

則3600平方米的牧場1天生長草量＝5×（3600÷1200）＝15；

原有草量：100×（3600÷1200）＝300.75頭牛里，若有15頭牛去吃每天生長的草，剩下60頭牛需要300÷60＝5（天）可將原有草吃完，即它可供75頭牛吃5天。

【例

9】

一個農夫有面積為2公頃、4公頃和6公頃的三塊牧場．三塊牧場上的草長得一樣密，而且長得一樣快．農夫將8頭牛趕到2公頃的牧場，牛5天吃完了草；如果農夫將8頭牛趕到4公頃的牧場，牛15天可吃完草．問：若農夫將這8頭牛趕到6公頃的牧場，這塊牧場可供這些牛吃幾天？

【解析】

(法1)設1頭牛1天吃草量為“1”，可以將不同的公頃數統一轉化為單位量1公頃來解決．

把2公頃牧場分割成2塊，每塊1公頃，每塊可供4頭牛吃5天；

把4公頃牧場分割成4塊，每塊1公頃，每塊可供2頭牛吃15天．

那么1公頃牧場每天新生長的草量為，1公頃牧場原有草量為．那么6公頃牧場每天新生長的草量為，原有草量為．

8頭牛里，若有6頭牛去吃每天新生長的草，剩下2頭牛需要(天)可將原有草吃完，即它可供8頭牛吃45天．

(法2)題中3塊牧場面積不同，要解決這個問題，可以將3塊牧場的面積統一起來．

設1頭牛1天吃草量為“1”．將8頭牛趕到2公頃的牧場，牛5天吃完了草，相當于12公頃的牧場可供48頭牛吃5天；將8頭牛趕到4公頃的牧場，牛15天可吃完草，相當于12公頃的牧場可供24頭牛吃15天．所以12公頃的牧場每天新生長的草量為：，12公頃牧場原有草量為．那么12公頃牧場可供16頭牛吃(天)，板塊三、“牛吃草問題”的變形

【例

10】

一只船發現漏水時，已經進了一些水，水勻速進入船內.如果10人淘水，3小時淘完；如5人淘水，8小時淘完.如果要求2小時淘完，要安排多少人淘水？

【解析】

設1人1小時淘出的水量是“1”，淘水速度是，原有水量，要求2小時淘完，要安排人淘水

【鞏固】

一只船發現漏水時，已經進了一些水，現在水勻速進入船內，如果3人淘水40分鐘可以淘完；6人淘水16分鐘可以把水淘完，那么，5人淘水幾分鐘可以把水淘完？

【解析】

設1人1分鐘淘出的水量是“1”，分鐘的進水量為，所以每分鐘的進水量為，那么原有水量為：．5人淘水需要(分鐘)把水淘完．

【例

11】

假設地球上新生成的資源增長速度是一定的，照此計算，地球上的資源可供110億人生活90年；或供90億人生活210年。為了使人類能夠不斷繁衍，地球上最多能養活多少人？

【解析】

億人。

【例

12】

畫展8:30開門，但早有人來排隊入場，從第一個觀眾來到時起，若每分鐘來的觀眾一樣多，如果開3個入場口，9點就不再有人排隊；如果開5個入場口，8點45分就沒有人排隊。求第一個觀眾到達的時間。

【解析】

設每分鐘1個入口進入的人數為1個單位。

8:30到9:00

共30分鐘

3個入口共進入。8:30到8:45

共15分鐘

5個入口共進入，15分鐘到來的人數，每分鐘到來。8：30以前原有人。

所以應排了（分鐘），即第一個來人在7：30

?

畫展9點開門，但早有人來排隊入場，從第一個觀眾來到時起，若每分鐘來的觀眾一樣多，如果開3個入場口，9點9分就不再有人排隊；如果開5個入場口，9點5分就沒有人排隊．求第一個觀眾到達的時間．

?

如果把入場口看作為“牛”，開門前原有的觀眾為“原有草量”，每分鐘來的觀眾為“草的增長速度”，那么本題就是一個“牛吃草”問題．

u

設每一個入場口每分鐘通過“1”份人，那么4分鐘來的人為，即1分鐘來的人為，原有的人為：．這些人來到畫展，所用時間為(分)．所以第一個觀眾到達的時間為8點15分．

u

點評：從表面上看這個問題與“牛吃草”問題相離很遠，但仔細體會，題目中每分鐘來的觀眾一樣多，類似于“草的生長速度”，入場口的數量類似于“牛”的數量，問題就變成“牛吃草”問題了．解決一個問題的方法往往能解決一類問題，關鍵在于是否掌握了問題的實質．

?

早晨6點，某火車進口處已有945名旅客等候檢票進站，此時，每分鐘還有若干人前來進口處準備進站．這樣，如果設立4個檢票口，15分鐘可以放完旅客，如果設立8個檢票口，7分鐘可以放完旅客．現要求5分鐘放完，需設立幾個檢票口?

?

設1個檢票口1分鐘放進1個單位的旅客．

u

1分鐘新來多少個單位的旅客

l

u

檢票口開放時已有多少個單位的旅客在等候，l

4×１５－×15=52

u

5分時間內檢票口共需放進多少個單位的旅客

l

52+×5=55

u

設立幾個檢票口

l

(個)

?

在地鐵車站中，從站臺到地面有一架向上的自動扶梯．小強乘坐扶梯時，如果每秒向上邁一級臺階，那么他走過20級臺階后到達地面；如果每秒向上邁兩級臺階，那么走過30級臺階到達地面．從站臺到地面有

級臺階．

?

本題非常類似于“牛吃草問題”，如將題目改為：

u

“在地鐵車站中，從站臺到地面有一架向上的自動扶梯．小強乘坐扶梯時，如果每秒向上邁一級臺階，那么他走過20秒后到達地面；如果每秒向上邁兩級臺階，那么走過15秒到達地面．問：從站臺到地面有多少級臺階？”

u

采用牛吃草問題的方法，電梯秒內所走的階數等于小強多走的階數：階，電梯的速度為階/秒，扶梯長度為（階）。

?

兩個頑皮的孩子逆著自動扶梯行駛的方向行走，男孩每秒可走3級梯級，女孩每秒可走2級梯級，結果從扶梯的一端到達另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。問：該扶梯共有多少級梯級？

?

本題與牛吃草問題類似，其中扶梯的梯級總數相當于原有草量；而自動扶梯運行的速度則相當于草的增長速度。并且上樓的速度要分成兩部分︰一部分是孩子自己的速度，另一部分是自動扶梯的速度。

u

自動扶梯的速度（女孩每秒走的梯級×女孩走的時間－男孩每秒走的梯級×男孩走的時間）÷（女孩走的時間－男孩走的時間），自動扶梯的梯級總數＝女孩每秒走的梯級×女孩走的時間－自動扶梯的速度×女孩走的時間

u

（級）所以自動扶梯共有150級的梯級。

?

自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒向上走1梯級，女孩每3秒鐘走2梯級。結果男孩用50秒到達樓上，女孩用60秒到達樓上。該樓梯共有多少級？

n

該題屬于草勻速減少的情況，扶梯的運行速度：。自動扶梯的梯級總數：(級)

?

小明從甲地步行去乙地，出發一段時間后，小亮有事去追趕他，若騎自行車，每小時行15千米，3小時可以追上；若騎摩托車，每小時行35千米，1小時可以追上；若開汽車，每小時行45千米，分鐘能追上。

?

本題是“牛吃草”和行程問題中的追及問題的結合．小明在小時內走了千米，那么小明的速度為(千米/時)，追及距離為(千米)．汽車去追的話需要：(小時)(分鐘)．

?

快、中、慢三車同時從地出發沿同一公路開往地，途中有騎車人也在同方向行進，這三輛車分別用7分鐘、8分鐘、14分鐘追上騎車人．已知快車每分鐘行800米，慢車每分鐘行600米，中速車的速度是多少？

?

可以將騎車人與三輛車開始相差的距離看成原有草量，騎車人的速度看成草生長的速度，所以騎車人速度是：(米/分)，開始相差的路程為：（米），所以中速車速度為：(米／分)．

?

有固定速度行駛的甲車和乙車，如果甲車以現在速度的2倍追趕乙車，5小時后甲車追上乙車；如果甲車以現在速度的3倍追趕乙車，3小時后甲車追上乙車，那么如果甲車以現在的速度去追趕乙車，問：幾個小時后甲車追上乙車？

?

分析知道甲車相當于“牛”，甲追趕乙的追及路程相當于“原有草量”，乙車相當于“新生長的草”．

u

設甲車的速度為“1”，那么乙車小時走的路程為，所以乙的速度為，追及路程為：．

u

如果甲以現在的速度追趕乙，追上的時間為：(小時)．

?

甲、乙、丙三車同時從地出發到地去．甲、乙兩車的速度分別是每小時60千米和每小時48千米．有一輛卡車同時從地迎面開來，分別在它們出發后6小時、7小時、8小時先后與甲、乙、丙車相遇，求丙車的速度．

?

相遇問題可以看成是草勻速減少的過程，全程看成是原有草量，卡車速度看成是草勻速減少的速度。所以卡車速度為：（千米/時），全程：（千米），丙車速度為：（千米/時）

?

小新、正南、妮妮三人同時從學校出發到公園去．小新、正南兩人的速度分別是每分鐘20米和每分鐘16米．在他們出發的同時，風間從公園迎面走來，分別在他們出發后6分鐘、7分鐘、8分鐘先后與小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度．

n

當小新和風間相遇時，正南落后小新(米)，依題意知正南和風間走這24

米需要(分鐘)，正南和風間的速度和為：(米／分)，風間的速度為：(米／分)，學校到公園的距離為：(米)．所以妮妮的速度為：(米／分)．

?

一個裝滿了水的水池有一個進水閥及三個口徑相同的排水閥，如果同時打開進水閥及一個排水閥，則分鐘能把水池的水排完，如果同時打開進水閥及兩個排水閥，則分鐘把水池的水排完．問：關閉進水閥并且同時打開三個排水閥，需要多少分鐘才能排完水池的水？

?

設一個排水閥1分鐘排水量為“1”，那么進水閥1分鐘進水量為，水池原有水量為．關閉進水閥并且同時打開三個排水閥，需要(分鐘)才能排完水池的水．

?

一個蓄水池有1個進水口和15個出水口，水從進水口勻速流入．當池中有一半的水時，如果打開9個出水口，9小時可以把水排空．如果打開7個出水口，18小時可以把水排空．如果是一滿池水，打開全部出水口放水，那么經過

時

分水池剛好被排空．

?

本題是牛吃草問題的變形．

u

設每個出水口每小時的出水量為1，則進水口每小時的進水量為：，半池水的量為：，所以一池水的量為72．

u

如果打開全部15個出水口，排空水池所需要的時間為小時，即7小時12分鐘．

?

北京密云水庫建有個泄洪洞，現在水庫的水位已經超過安全線，并且水量還在以一個不變的速度增加，為了防洪，需要調節泄洪的速度，假設每個閘門泄洪的速度相同，經測算，若打開一個泄洪閘，個小時以后水位降至安全線；若同時打開兩個泄洪閘，個小時后水位降至安全線．根據抗洪形勢，需要用個小時使水位降至安全線以下，則至少需要同時打開泄洪閘的數目為多少個？

?

此題是牛吃草問題的變形，假設每個泄洪洞每小時泄洪的量為1，則水庫每小時增加的水量為，原有的水量超過安全線的部分有．

如果要用個小時使水位降至安全線以下，至少需要開個泄洪閘．

【鞏固】

(“希望杯”五年級二試)有一個蓄水池裝了根相同的水管，其中一根是進水管，其余根是出水管．開始時，進水管以均勻的速度不停地向蓄水池注水．后來，想打開出水管，使池內的水全部排光．如果同時打開根出水管，則小時可排盡池內的水；如果僅打開根出水管，則需小時才能排盡池內的水．若要在小時內排盡池內的水，那么應當同時打開多少根出水管？

【解析】

設1根出水管1小時排水的量為“1”，那么進水管每小時進水量為，池內原有水量為．要在小時內排盡池內的水，應當同時打開根出水管．

【鞏固】

一個蓄水池裝有9根水管，其中1根為進水管，其余8根為相同的出水管。開始進水管以均勻的速度不停地向這個蓄水池蓄水。池內注入了一些水后，有人想把出水管也打開，使池內的水再全部排光。如果把8根出水管全部打開，需要3小時可將池內的水排光；而若僅打開3根出水管，則需要18小時。問如果想要在8小時內將池中的水全部排光，最少要打開幾根出水管？

【解析】

設根排水管小時排水為“”，進水速度為，原有水量為，如果想要在小時內將池中的水全部排光，最少要打開根出水管，每根出水管1小時排水1份，又出水管的根數是整數，故最少要打開5根出水管。

【鞏固】

由于環境惡化、氣候變暖，官廳水庫的水在勻速減少，為了保證水庫的水量，政府決定從上游的壺流河水庫以及冊田水庫分別向官廳水庫進行調水，已知這兩個水庫的每個閘門放水量是相同的，如果同時打開壺流河水庫的5個閘門30小時可以使官廳水庫水量達到原來的標準，如果同時打開冊田水庫的4個閘門40小時可以使官廳水庫水量達到原來的標準，如果24小時使官廳水庫水量達到原來的標準，問需同時打開兩個水庫的幾個閘門?

【解析】

設1個閘門1小時的放水量為“1”，那么每小時自然減少的水量為：，實際注入水量為：；24小時蓄水需要打開的閘門數是：(個)．

【鞏固】

（“陳省身杯”國際青少年五年級數學邀請賽）有一個水池，池底存了一些水，并且還有泉水不斷涌出。為了將水池里的水抽干，原計劃調來臺抽水機同時工作。但出于節省時間的考慮，實際調來了臺抽水機，這樣比原計劃節省了小時。工程師們測算出，如果最初調來臺抽水機，將會比原計劃節省小時。這樣，將水池的水抽干后，為了保持池中始終沒有水，還應該至少留下

臺抽水機。

【解析】

設每臺抽水機每小時抽個單位的水，原計劃需要小時抽完

則原計劃個小時抽的水量為，臺抽水機時抽水量為

臺抽水機時抽水量為

所以，個小時的出水量為，個小時的出水量為，而泉水的出水速度是一定的，所以，解得，所以每小時出水量為，所以需要留下臺抽水機。

【例

13】

甲、乙、丙三個倉庫，各存放著數量相同的面粉，甲倉庫用一臺皮帶輸送機和12個工人，5小時可將甲倉庫內面粉搬完；乙倉庫用一臺皮帶輸送機和28個工人，3小時可將倉庫內面粉搬完；丙倉庫現有2臺皮帶輸送機，如果要用2小時把丙倉庫內面粉搬完，同時還要多少個工人？(每個工人每小時工效相同，每臺皮帶輸送機每小時工效也相同，另外皮帶輸送機與工人一起往外搬運面粉)

【解析】

設1人1小時搬運的份數為“1”，那么一臺皮帶運輸機1小時的工作量為，每個倉庫存放的面粉總量為：．那么,丙倉庫現有2臺皮帶輸送機，如果要用2小時把丙倉庫內面粉搬完，需要(人)．

【例

14】

小方用一個有洞的杯子從水缸里往三個同樣的容積的空桶中舀水。第一個桶距水缸有1米，小方用3次恰好把桶裝滿；第二個桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶裝滿。第三個桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它裝滿（假設小方走路的速度不變，水從杯中流出的速度也不變）

【解析】

小方裝第二個桶比第一個桶多用了一杯水，同時多走了米路，所以從杯中流出的速度是（杯/米），于是1桶水原有水量等于杯水，所以小方要次才能把第三個桶裝滿。

【解析】