第一篇：小學奧數教案——循環小數

小學奧數教案---循環小數

一 本講學習目標

1、掌握循環小數化分數的法則，還要掌握該法則的推導方法——錯位相減法；

2、會進行分數與循環小數的互化；

3、掌握分數與循環小數的混合計算

二 概念解析

循環小數可分為有限循環小數，如：1.123123123（不可添加省略號）和無限循環小數，如：1.123123123……（有省略號）。前者是有限小數，后者是無限小數。

一、把循環小數的小數部分化成分數的規則

①純循環小數小數部分化成分數：將一個循環節的數字組成的數作為分子，分母的各位都是9，9的個數與循環節的位數相同，最后能約分的再約分。

②混循環小數小數部分化成分數：分子是第二個循環節以前的小數部分的數字組成的數與不循環部分的數字所組成的數之差，分母的頭幾位數字是9，9的個數與一個循環節的位數相同，末幾位是0，0的個數與不循環部分的位數相同。

二、分數轉化成循環小數的判斷方法：

①一個最簡分數，如果分母中既含有質因數2和5，又含有2和5以外的質因數，那么這個分數化成的小數必定是混循環小數。

②一個最簡分數，如果分母中只含有2和5以外的質因數，那么這個分數化成的小數必定是純循環小數。

三 例題講解

純循環小數化分數

從小數點后面第一位就循環的小數叫做純循環小數。例 把純循環小數化分數：

從以上例題可以看出，純循環小數的小數部分可以化成分數，這個分數的分子是一個循環節表示的數，分母各位上的數都是9。9的個數與循環節的位數相同。能約分的要約分。

混循環小數化分數

不是從小數點后第一位就循環的小數叫混循環小數。例 把混循環小數化分數。

（2）先看小數部分0.353

由以上例題可以看出，一個混循環小數的小數部分可以化成分數，這個分數的分子是不循環部分和一個循環節的數字組成的數減去不循環部分的數字組成的數所得的差，分母就是按一個循環節的位數寫幾個9，再在后面按不循環部分的位數添寫幾個0組成的數．

循環小數的四則運算

循環小數化成分數后，循環小數的四則運算就可以按分數四則運算法則進行。從這種意義上來講，循環小數的四則運算和有限小數四則運算一樣，也是分數的四則運算。

例1 計算下面各題：

解：先把循環小數化成分數后再計算。

?的運算時，?錯寫作3.57，例2 在計算一個正數乘以3.57某同學誤將3.57結果與正確答案相差1.4．則正確的乘積結果是______．

解：設這個正數為x，依題意，得 ?x?3.57?1.4． 3.57??3?因為3.5757?552?3，90905257x?3x?1.4． 90100所以上述方程可化為3解得x?180．

所以正確的乘積結果應為

??180?322?180?644． 3.5790

例3 計算下面各題。

分析與解：（1）把循環小數化成分數，再按分數計算。

（2）可根據乘法分配律把1.25提出，再計算。

（3）把循環小數化成分數，根據乘法分配律和等差數列求和公式計算。

第二篇：小學奧數教案——循環小數

小學奧數教案---循環小數

一 本講學習目標

1、掌握循環小數化分數的法則，還要掌握該法則的推導方法——錯位相減法；

2、會進行分數與循環小數的互化；

3、掌握分數與循環小數的混合計算

二 概念解析

循環小數可分為有限循環小數，如：1.123123123（不可添加省略號）和無限循環小數，如：1.123123123……（有省略號）。前者是有限小數，后者是無限小數。

一、把循環小數的小數部分化成分數的規則

①純循環小數小數部分化成分數：將一個循環節的數字組成的數作為分子，分母的各位都是9，9的個數與循環節的位數相同，最后能約分的再約分。

②混循環小數小數部分化成分數：分子是第二個循環節以前的小數部分的數字組成的數與不循環部分的數字所組成的數之差，分母的頭幾位數字是9，9的個數與一個循環節的位數相同，末幾位是0，0的個數與不循環部分的位數相同。

二、分數轉化成循環小數的判斷方法：

①一個最簡分數，如果分母中既含有質因數2和5，又含有2和5以外的質因數，那么這個分數化成的小數必定是混循環小數。

②一個最簡分數，如果分母中只含有2和5以外的質因數，那么這個分數化成的小數必定是純循環小數。

三 例題講解

純循環小數化分數

從小數點后面第一位就循環的小數叫做純循環小數。例 把純循環小數化分數：

從以上例題可以看出，純循環小數的小數部分可以化成分數，這個分數的分子是一個循環節表示的數，分母各位上的數都是9。9的個數與循環節的位數相同。能約分的要約分。

混循環小數化分數

不是從小數點后第一位就循環的小數叫混循環小數。例 把混循環小數化分數。

（2）先看小數部分0.353

由以上例題可以看出，一個混循環小數的小數部分可以化成分數，這個分數的分子是不循環部分和一個循環節的數字組成的數減去不循環部分的數字組成的數所得的差，分母就是按一個循環節的位數寫幾個9，再在后面按不循環部分的位數添寫幾個0組成的數．

循環小數的四則運算

循環小數化成分數后，循環小數的四則運算就可以按分數四則運算法則進行。從這種意義上來講，循環小數的四則運算和有限小數四則運算一樣，也是分數的四則運算。

例1 計算下面各題：

解：先把循環小數化成分數后再計算。

例2 在計算一個正數乘以3.57的運算時，某同學誤將3.57錯寫作3.57，結果與正確答案相差1.4．則正確的乘積結果是______．

解：設這個正數為x，依題意，得 3.57x?3.57?1.4．

因為3.57?3?57?552?3，90905257x?3x?1.4． 90100所以上述方程可化為3解得x?180．

所以正確的乘積結果應為

3.57?180?322?180?644． 90

例3 計算下面各題。

分析與解：（1）把循環小數化成分數，再按分數計算。

（2）可根據乘法分配律把1.25提出，再計算。

（3）把循環小數化成分數，根據乘法分配律和等差數列求和公式計算。

大家都來到荷塘，挖蓮藕抓魚蝦，捉泥鰍撿螃蟹，人聲鼎沸，笑語歡聲，相互談說著要如何弄出一頓頓可口的美味。光是蓮藕的吃法就有很多：熬湯燉肉八寶釀、清炒生吃蜜餞糖，還可以磨成藕粉，加入砂糖或蜂蜜，在溫水里一泡，就是一杯清涼清甜的解暑飲料。用鮮蓮葉來熬粥，蒸飯蒸雞，或蒸其它肉類味道都是極鮮美的，做出來的食物均帶著一股淡淡的蓮葉清香。人們那么喜歡荷花，不單單是因為它的芳香美麗潔凈高雅，更因為它全身是寶，每一處都可食可藥可用。我最喜歡的是生鮮蓮子羹。把剝好的蓮子對半打開去芯，蓮子芯很苦，可以藥用，沒有芯的蓮子是甜的，正好用它熬糖水。把足量的生蓮子洗凈，和著一小片生姜一片鮮蓮葉，放進清水鍋里，蓋著蓋子大火燒滾，轉小火熬二十分鐘，撈起蓮葉，加入冰糖，小火慢熬，邊熬邊攪拌，十五分鐘后，一款既清香甘美又消暑解渴的蓮子羹就做成了。這樣的湯水，在炎熱的夏季里，只要喝過一次都不會忘記。

第三篇：小學奧數教案——循環小數完整

循環小數

一 本講學習目標

1、掌握循環小數化分數的法則，還要掌握該法則的推導方法——錯位相減法；

2、會進行分數與循環小數的互化；

3、掌握分數與循環小數的混合計算

二 概念解析

循環小數可分為有限循環小數，如：1.123123123（不可添加省略號）和無限循環小數，如：1.123123123……（有省略號）。前者是有限小數，后者是無限小數。

一、把循環小數的小數部分化成分數的規則

①純循環小數小數部分化成分數：將一個循環節的數字組成的數作為分子，分母的各位都是9，9的個數與循環節的位數相同，最后能約分的再約分。

②混循環小數小數部分化成分數：分子是第二個循環節以前的小數部分的數字組成的數與不循環部分的數字所組成的數之差，分母的頭幾位數字是9，9的個數與一個循環節的位數相同，末幾位是0，0的個數與不循環部分的位數相同。

二、分數轉化成循環小數的判斷方法：

①一個最簡分數，如果分母中既含有質因數2和5，又含有2和5以外的質因數，那么這個分數化成的小數必定是混循環小數。

②一個最簡分數，如果分母中只含有2和5以外的質因數，那么這個分數化成的小數必定是純循環小數。

三 例題講解

1．真分數

a化為小數后，如果從小數點后第一位的數字開始連續若干個數字之和是1992，那么a是多少? 7?乘以一個數a時，把1.23?誤看成1.23，使乘積比正確結果減少0.3．則正確結果該是多2．某學生將1.23少?

???，結果保留三位小數． 3．計算：0.1+0.125+0.3+0.16

??0.12??0.23??0.34??0.78??0.89? 4．計算：0.01

??與0.179672??相乘，取近似值，要求保留一百位小數，那么該近似值的最后一5．將循環小數0.027位小數是多少?

6.將下列分數約成最簡分數：

7.將下列算式的計算結果寫成帶分數：

8．計算:7

9．計算：

16666666666

666666666640.5?236?59

***56÷÷1 ***111111?????? ***03240648128

10．計算：

11．計算: 41.2×8.1+11×9

12．計算：(9

13．計算:

14.(1)已知等式0.126×79+12153?219??(4.85??3.6?6.15?3)??5.5?1.75?(1?)? 4185?321?1+537×0.19 42255?7)?(?)79791?2?3?2?4?6?4?8?12?7?14?21

1?3?5?2?6?10?4?12?20?7?21?3533×□-6÷25=10.08，那么口所代表的數是多少? 510(2)設上題答案為a．在算式（1993.81+a)×○的○內，填入一個適當的一位自然數，使乘積的個位數字達到最小值．問○內所填的數字是多少?

15．求下述算式計算結果的整數部分：(?

1211111????)?385 3571113

第四篇：小學奧數：循環小數化分數概念

小學奧數：循環小數化分數概念

無限循環小數是有理數，既然是有理數就可以化成分數。

循環小數分為混循環小數、純循環小數兩大類。

混循環小數可以*10^n(n為小數點后非循環位數)，所以循環小數化為分數都可以最終通過純循環小數來轉化。

方法1.無限循環小數，先找其循環節(即循環的那幾位數字)，然后將其展開為一等比數列、求出前n項和、取極限、化簡。

例如：0.333333……

循環節為3

則0.3=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+……

前n項和為：30.1(1-(0.1)^(n))/(1-0.1)

當n趨向無窮時(0.1)^(n)=0

因此0.3333……=0.3/0.9=1/3

注意：m^n的意義為m的n次方。

方法2：設0.3333......，三的循環為x，10x=3.3333.......10x-x=3.3333.......-0.3333......(注意：循環節被抵消了)

9x=3 3x=1 x=1/3 第二種：如，將3.305030503050..........(3050為循環節)化為分數。解：設：這個數的小數部分為a，這個小數表示成3+a

10000a-a=3050

9999a=3050

a=3050/9999

算到這里后，能約分就約分，這樣就能表示循環部分了。再把整數部分乘分母加進去就(3×9999+3050)/9999

=33047/9999

還有混循環小數轉分數

如0.1555.....循環節有一位，分母寫個9，非循環節有一位，在9后添個0

分子為非循環節+循環節(連接)-非循環節+15-1=14是

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約分后為7/45

第五篇：小學奧數1-3-3 循環小數計算．教師版

循環小數的計算

教學目標

循環小數與分數的互化，循環小數之間簡單的加、減運算，涉及循環小數與分數的主要利用運算定律進行簡算的問題．

知識點撥

1.的“秘密”，,…,2.推導以下算式

⑴；；；；

⑵；；；

⑶；

以為例，推導．

設，將等式兩邊都乘以100，得：；

再將原等式兩邊都乘以10000，得：，兩式相減得：，所以．

3.循環小數化分數結論

純循環小數

混循環小數

分子

循環節中的數字所組成的數

循環小數去掉小數點后的數字所組成的數與

不循環部分數字所組成的數的差

分母

n個9，其中n等于循環節所含的數字個數

按循環位數添9，不循環位數添0，組成分母，其中9在0的左側；

；；，……

例題精講

模塊一、循環小數的認識

【例

1】

在小數上加兩個循環點，能得到的最小的循環小數是_______(注：公元2007年10月24日北京時間18時05分，我國第一顆月球探測衛星“嫦娥一號”由“長征三號甲”運載火箭在西昌衛星發射中心升空，編寫此題是為了紀念這個值得中國人民驕傲的時刻。)

【考點】循環小數的認識

【難度】2星

【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，1試

【解析】

因為要得到最小的循環小數，首先找出小數部分最小的數為0，再看0后面一位上的數字，有05、02、00、07，00最小，所以得到的最小循環小數為

【答案】

【鞏固】

給下列不等式中的循環小數添加循環點：0.19980.19980.19980.1998

【考點】循環小數的認識

【難度】3星

【題型】計算

【解析】

根據循環小數的性質考慮，最小的循環小數應該是在小數點后第五位出現最小數字1的小數，因此一定是，次小的小數在小數點后第五位出現次小數字8，因此一定是．其后添加的循環點必定使得小數點后第五位出現9，因此需要考慮第六位上的數字，所以最大的小數其循環節中在9后一定還是9，所以最大的循環小數是，而次大數為，于是得到不等式：

【答案】

【例

2】

真分數化為小數后，如果從小數點后第一位的數字開始連續若干個數字之和是1992，那么是多少?

【考點】循環小數的認識

【難度】3星

【題型】計算

【解析】，，，．因此，真分數化為小數后，從小數點第一位開始每連續六個數字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因為1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以，即．

【答案】

【鞏固】

真分數化成循環小數之后，從小數點后第1位起若干位數字之和是，則是多少？

【考點】循環小數的認識

【難度】3星

【題型】計算

【解析】

我們知道形如的真分數轉化成循環小數后，循環節都是由1、2、4、5、7、8這6個數字組

成，只是各個數字的位置不同而已，那么就應該由若干個完整的和一個不完整組成。，而，所以最后一個循環節中所缺的數字之和為6，經檢驗只有最后兩位為4，2時才符合要求，顯然，這種情況下完整的循環節為“”，因此這個分數應該為，所以。

【答案】

【鞏固】

真分數化成循環小數之后，小數點后第2009位數字為7，則是多少？

【考點】循環小數的認識

【難度】3星

【題型】計算

【解析】

我們知道形如的真分數轉化成循環小數后，循環節都是由6位數字組成，因此只需判斷當為幾時滿足循環節第5位數是7，經逐一檢驗得。

【答案】

【鞏固】

（2009年學而思杯4年級第6題）所得的小數，小數點后的第位數字是

．

【考點】循環小數的認識

【難度】3星

【題型】計算

【解析】

……個數一循環，……5，是4

【答案】4

【例

3】

寫出下面等式右邊空白處的數，使等式能夠成立：0.6+0.06+0.006+……=2002÷______。

【考點】循環小數的認識

【難度】3星

【題型】計算

【關鍵詞】小希望杯，4年級

【解析】

0.6+0.06+0.006+……===2002÷3003

【答案】

【例

4】

下面有四個算式：

①0.6+0.②0.625=；

③+===；

④3×4=14；

其中正確的算式是（）.（A）①和②

(B)

②和④

(C)

②和③

(D)

①和④

【考點】循環小數的認識

【難度】3星

【題型】選擇

【關鍵詞】華杯賽，初賽

【解析】

對題中的四個算式依次進行檢驗：

①

0.6+0.133=0.6+0.133133=0.733133，所以①不正確；

②

0.625=是正確的；

③

兩個分數相加應該先進行通分，而非分子、分母分別相加，本算式通過﹥即可判斷出其不正確；

④

×=×==，所以④不正確。

那么其中正確的算式是②和④，正確答案為B。

【答案】

【例

5】

在混合循環小數的某一位上再添上一個表示循環的圓點，使新產生的循環小數盡可能大，請寫出新的循環小數。

【考點】循環小數的認識

【難度】3星

【題型】計算

【關鍵詞】華杯賽，初賽

【解析】

小數點后第7位應盡可能大，因此應將圈點點在8上，新的循環小數是。

【答案】

【例

6】

將化成小數等于0.5，是個有限小數；將化成小數等于0.090…，簡記為，是純循環小數；將化成小數等于0.1666……，簡記為，是混循環小數。現在將2004個分數，，…，化成小數，問：其中純循環小數有多少個？

【考點】循環小數的認識

【難度】3星

【題型】計算

【關鍵詞】華杯賽，總決賽，二試

【解析】

凡是分母的質因數僅含2和5的，化成小數后為有限小數，凡是分母的質因數不含2和5的，化成小數后為有限小數后為純循環小數，所以本題實際上是問從2到2005的2004個數中，不含質因數2或5的共有多少個.這2004個數中，含質因數2的有2004÷2＝1002個，含質因數5的有2005÷5＝401個，既含2又含5的有2000÷10＝200個，所以可以化成純循環小數的有2004－1002－401＋200＝801個.【答案】

模塊二、循環小數計算

【例

7】

計算：（結果寫成分數形式）

【考點】循環小數計算

【難度】2星

【題型】計算

【關鍵詞】希望杯，五年級，一試

【解析】

原式。

【答案】

【鞏固】

計算：0．3+0．=_____(結果寫成分數)。

【考點】循環小數計算

【難度】2星

【題型】計算

【關鍵詞】希望杯，五年級，一試

【解析】

原式=

【答案】

【鞏固】

請將算式的結果寫成最簡分數．

【考點】循環小數計算

【難度】2星

【題型】計算

【關鍵詞】華杯賽，初賽

【解析】

原式.【答案】

【例

8】

計算:

（結果用最簡分數表示）

【考點】循環小數計算

【難度】2星

【題型】計算

【關鍵詞】華杯賽，總決賽，一試

【解析】

原式＝

【答案】

【例

9】

將的積寫成小數形式是____.【考點】循環小數計算

【難度】2星

【題型】計算

【關鍵詞】華杯賽，初賽

【解析】

【答案】

【例

10】

計算：

【考點】循環小數計算

【難度】2星

【題型】計算

【解析】

方法一：

=

方法二：

【答案】

【鞏固】

計算

（1）

（2）

【考點】循環小數計算

【難度】2星

【題型】計算

【解析】

（1）原式

（2）原式

【答案】（1）

（2）

【例

11】

⑴

⑵

【考點】循環小數計算

【難度】2星

【題型】計算

【解析】

⑴

法一：原式．

法二：將算式變為豎式：

可判斷出結果應該是，化為分數即是．

⑵

原式

【答案】⑴

⑵

【鞏固】

⑴計算：

⑵________．

【考點】循環小數計算

【難度】2星

【題型】計算

【關鍵詞】香港圣公會，希望杯，六年級，1試

【解析】

⑴

原式；

⑵

原式．

【答案】⑴

⑵

【鞏固】

⑴；

⑵

(結果表示成循環小數)

【考點】循環小數計算

【難度】2星

【題型】計算

【解析】

⑴原式

⑵，所以，【答案】⑴

⑵

【例

12】

（）。

【考點】循環小數計算

【難度】2星

【題型】計算

【關鍵詞】中環杯，五年級，決賽

【解析】，所以括號中填

【答案】

【例

13】

計算

(結果表示為循環小數)

【考點】循環小數計算

【難度】4星

【題型】計算

【解析】

由于，所以，而，所以，【答案】

【例

14】

某學生將乘以一個數時，把誤看成1.23，使乘積比正確結果減少0.3.則正確結果該是多少?

【考點】循環小數計算

【難度】3星

【題型】計算

【解析】

由題意得：，即：，所以有：．解得，所以

【答案】

【例

15】

計算：，結果保留三位小數．

【考點】循環小數計算

【難度】2星

【題型】計算

【解析】

方法一：

方法二：

【答案】

【例

16】

將循環小數與相乘，取近似值，要求保留一百位小數，那么該近似值的最后一位小數是多少?

【考點】循環小數計算

【難度】3星

【題型】計算

【解析】

×

循環節有6位，100÷6=16……4，因此第100位小數是循環節中的第4位8，第10l位是5．這樣四舍五入后第100位為9．

【答案】9

【例

17】

有8個數，，,是其中6個，如果按從小到大的順序排列時，第4個數是，那么按從大到小排列時，第4個數是哪一個數?

【考點】循環小數計算

【難度】3星

【題型】計算

【解析】，,顯然有即，8個數從小到大排列第4個是，所以有．(“□”，表示未知的那2個數).所以，這8個數從大到小排列第4個數是．

【答案】

【例

18】

和化成循環小數后第100位上的數字之和是_____________.【考點】循環小數計算

【難度】2星

【題型】計算

【關鍵詞】走美杯，初賽，六年級，第14題

【解析】

如果將和轉化成循環小數后再去計算第100位上的數字和比較麻煩，通過觀察計算我們發現，而，則第100位上的數字和為9.【答案】9

【例

19】

將循環小數與相乘，小數點后第位是。

【考點】循環小數計算

【難度】3星

【題型】計算

【關鍵詞】走美杯，6年級，決賽

【解析】，所以乘積為，所以第位是。

【答案】