第一篇：小學奧數教案——簡單推理
教案
簡單推理
一 本講學習目標
初步認識推理，找到解決簡單推理的方法和心得。
二 重點難點考點分析
在小學階段，所謂推理符合邏輯，就是指在推理過程中要遵守一定的邏輯原則。應用一些推理的方法去解決實際問題，即應用歸納法、推理法、演繹法去解題。在許許多多的奧數題中，應用推理方法解題是非常常見的。在學習奧數或做奧數習題時應用推理方法，無論是哪種推理，推理的前提是必須真實，推理的每一步要符合邏輯原則，這樣才能得出正確的結論。
三 概念解析
推理就是由一個或幾個已知的判斷（前提），推導出一個未知的結論的思維過程。推理按推理過程的思維方向劃分，主要有演繹推理、歸納推理和類比推理。推理是由已知判斷推出未知判斷的思維形式，是形式邏輯。
四 例題講解
為表揚好人好事核實一件事，李老師找到了甲、乙、丙三人。甲說：是乙做的。乙說：不是我做的。丙說：不是我做的。
這三人只有一人說了實話，問這件好事是誰做的？
在一樁謀殺案中，有嫌疑犯甲、乙，另有四個證人在受訊。第一個證人說：“我只知道甲是無罪的。” 第二個證人說：“我只知道乙是無罪的。”
第三個證人說：“前面兩個證詞中至少有一個是真的。”
第四個證人說：“我可以肯定第三個證人的證詞是假的。”
經過調查：已經證實第四個人說了實話，請問誰是兇手？
李志明、張斌、王大為三個同學畢業后選擇了不同的職業，三人中一個當了記者。一次有人問起他們的職業，李志明說:“我是記者。”張斌說:“我不是記者。”王大為說:“李志明說了假話。”如果他們三人中只有一句是真的，那么誰是記者？
在甲、乙、丙三人中有一位教師，一位工人，一位戰士。已知丙比戰士年齡大，甲和工人不同歲，工人比乙年齡小，請你判斷誰是教師？
在國際飯店的宴會桌旁，甲、乙、丙、丁四位朋友進行有趣的交談，用了中、英、法、日四種語言，知道的情況如下:(1)甲、乙、丙各會兩種語言，丁只會一種語言；(2)有一種語言四人中有三人都會；(3)甲會日語，丁不會日語，乙不會英語；
(4)甲與丙、丙與丁不能直接交談，乙與丙可以直接交談；(5)沒有人即會日語，又會法語。
甲會_____，乙會______，丙會_______，丁會_______。
甲、乙、丙三人，他們在南寧、柳州、桂林工作，他們的職業是教師、醫生和工程師。已知下列情況:(1)甲不在桂林工作;(2)乙不在南寧工作;(3)在桂林工作的不是教師;(4)在南寧工作的是醫生;(5)乙不是工程師.根據上述情況判斷甲、乙、丙三人各在什么地方工作,職業是什么?
有一天，李強、王雷、丁紅、孫麗四名運動員圍坐在桌旁聊天。已知：
⑴ 丁紅的對面是足球運動員；⑵ 李強的左邊是籃球運動員；⑶ 孫麗的對面是王雷；⑷ 籃球運動員與乒乓球運動員不相鄰；⑸ 排球運動員的右邊是孫麗。根據上面的情況判斷，王雷是什么球類運動員？
在一列國際列車上，有A，B，C，D四位不同國籍的旅客，他們分別穿藍、黑、灰、褐色的大衣，面對面每邊兩人地坐在同一張桌子上。已知：
⑴ 英國旅客坐在B先生左側；⑵ A先生穿褐色大衣；⑶ 穿黑色大衣的坐在德國旅客右側；⑷ D先生的對面坐著美國旅客；⑸ 俄國旅客穿著灰色大衣。問：A，B，C，D分別是哪國人？分別穿著什么顏色的大衣？
北京至福州列車里坐著6位旅客:A、B、C、D、E、F,分別來自北京、天津、上海、揚州、南京和杭州.已知: ① A和北京人是醫生,E和天津人是教師,C和上海人是工程師.② A、B、F和揚州人參過軍,而上海人從來未參軍.③ 南京人比A歲數大,杭州人比B歲數大,F最年輕.④ B和北京人一起去杭州,C和南京人一起去廣州.試根據已知條件確定每個旅客的住址和職業.去韓國看世界杯的6位游客A、B、C、D、E、F分別來自北京、天津、上海、揚州、南京和杭州，已知：(1)A和北京人是醫生，E和天津人是教師，C和上海人是工程師；(2)A、B、F和揚州人沒出過國，而上海人到過韓國；(3)南京人比A歲數大；杭州人比B歲數大，F最年輕；
(4)B和北京人一起去光州，C和南京人一起去漢城。
則A是 人，職業是 ；B是 人，職業是 ；C是 人，職業是 ；D是 人，職業是 ；E是 人，職業是 ；F是 人，職業是。
五 課堂練習
要分配A、B、C、D、E五人中的某些人去執行一項任務,分別時要遵守下列規定:(1)如果A去,那么B一定要去;(2)D、E兩人中至少去一個;(3)B、C兩人中去且只去一人;(4)C、D兩人都去或者都不去;(5)如果E去,那么A、D都去.___________應該去.有甲、乙、丙、丁四人同住在一座四層的樓房里,他們之中有工程師、工人、教師和醫生.如果已知:(1)甲比乙住的樓層高,比丙住的樓層低,丁住第四層;(2)醫生住在教師的樓上,在工人樓下,工程師住最低層.試問:甲、乙、丙、丁各住在這座樓的幾層?各自的職業是什么?
六 勵志或學科小故事——居里夫人
幾十年前，波蘭有個叫瑪妮雅的小姑娘，學習非常專心。不管周圍怎么吵鬧，都分散不了她的注意力。一次，瑪妮雅在做功課，她姐姐和同學在她面前唱歌、跳舞、做游戲。瑪妮雅就像沒看見一樣，在一旁專心地看書。姐姐和同學想試探她一下。她們悄悄地在瑪妮雅身后搭起幾張凳子，只要瑪妮雅一動，凳子就會倒下來。時間一分一秒地過去了，瑪妮雅讀完了一本書，凳子仍然豎在那兒。從此姐姐和同學再也不逗她了，而且像瑪妮雅一樣專心讀書，認真學習。瑪妮雅長大以后，成為一個偉大的的科學家。她就是居里夫人。
第二篇：小學數學奧數教案
小學奧數基礎教程（四年級）
小學奧數
第1講 歸一問題與歸總問題 第2講 年齡問題
第3講 雞兔同籠問題與假設法 第1講 歸一問題與歸總問題
在解答某些應用題時，常常需要先找出“單一量”，然后以這個“單一量”為標準，根據其它條件求出結果。用這種解題思路解答的應用題，稱為歸一問題。所謂“單一量”是指單位時間的工作量、物品的單價、單位面積的產量、單位時間所走的路程等。
例1 一種鋼軌，4根共重1900千克，現在有95000千克鋼，可以制造這種鋼軌多少根？（損耗忽略不計）
分析：以一根鋼軌的重量為單一量。
（1）一根鋼軌重多少千克？
1900÷4＝475（千克）。
（2）95000千克能制造多少根鋼軌？
95000÷475＝200（根）。
解：95000÷（1900÷4）＝200（根）。
答：可以制造200根鋼軌。
例2 王家養了5頭奶牛，7天產牛奶630千克，照這樣計算，8頭奶牛15天可產牛奶多少千克？
分析：以1頭奶牛1天產的牛奶為單一量。
（1）1頭奶牛1天產奶多少千克？
630÷5÷7＝18（千克）。
（2）8頭奶牛15天可產牛奶多少千克？
小學奧數基礎教程（四年級）
18×8×15＝2160（千克）。
解：（630÷5÷7）×8×15=2160（千克）。
答：可產牛奶2160千克。
例3 三臺同樣的磨面機2.5時可以磨面粉2400千克，8臺這樣的磨面機磨25600千克面粉需要多少時間？
分析與解：以1臺磨面機1時磨的面粉為單一量。
（1）1臺磨面機1時磨面粉多少千克？
2400÷3÷2.5=320（千克）。
（2）8臺磨面機磨25600千克面粉需要多少小時？
25600÷320÷8=10（時）。
綜合列式為
25600÷（2400÷3÷2.5）÷8=10（時）。
例4 4輛大卡車運沙土，7趟共運走沙土336噸。現在有沙土420噸，要求5趟運完。問：需要增加同樣的卡車多少輛？ 分析與解：以1輛卡車1趟運的沙土為單一量。
（1）1輛卡車1趟運沙土多少噸？
336÷4÷7=12（噸）。
（2）5趟運走420噸沙土需卡車多少輛？
420÷12÷5＝7（輛）。
（3）需要增加多少輛卡車？
7-4＝3（輛）。
綜合列式為
420÷（336÷4÷7）÷5-4＝3（輛）。
小學奧數基礎教程（四年級）
與歸一問題類似的是歸總問題，歸一問題是找出“單一量”，而歸總問題是找出“總量”，再根據其它條件求出結果。所謂“總量”是指總路程、總產量、工作總量、物品的總價等。
例5 一項工程，8個人工作15時可以完成，如果12個人工作，那么多少小時可以完成？
分析：（1）工程總量相當于1個人工作多少小時？
15×8＝120（時）。
（2）12個人完成這項工程需要多少小時？
120÷12＝10（時）。解：15×8÷12＝10（時）。
答：12人需10時完成。
例6 一輛汽車從甲地開往乙地，每小時行60千米，5時到達。若要4時到達，則每小時需要多行多少千米？
分析：從甲地到乙地的路程是一定的，以路程為總量。
（1）從甲地到乙地的路程是多少千米？
60×5=300（千米）。
（2）4時到達，每小時需要行多少千米？
300÷4＝75（千米）。
（3）每小時多行多少千米？
75－60＝15（千米）。
解：（60×5）÷4——60＝15（千米）。
答：每小時需要多行15千米。
例7 修一條公路，原計劃60人工作，80天完成。現在工作20天后，又增加了30人，這樣剩下的部分再用多少天可以完成？
小學奧數基礎教程（四年級）
分析：（1）修這條公路共需要多少個勞動日（總量）？
60×80＝4800（勞動日）。
（2）60人工作20天后，還剩下多少勞動日？
4800-60×20=3600（勞動日）。
（3）剩下的工程增加30人后還需多少天完成？
3600÷（60＋30）=40（天）。
解：（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。
答：再用40天可以完成。
練習11
1．2臺拖拉機4時耕地20公頃，照這樣速度，5臺拖拉機6時可耕地多少公頃？
2．4臺織布機5時可以織布2600米，24臺織布機幾小時才能織布24960米？
3．一種幻燈機，5秒鐘可以放映80張片子。問：48秒鐘可以放映多少張片子？
4．3臺抽水機8時灌溉水田48公頃，照這樣的速度，5臺同樣的抽水機6時可以灌溉水田多小公頃？
5．平整一塊土地，原計劃8人平整，每天工作7.5時，6天可以完成任務。由于急需播種，要求5天完成，并且增加1人。問：每天要工作幾小時？
6．食堂管理員去農貿市場買雞蛋，原計劃按每千克3.00元買35千克。結果雞蛋價格下調了，他用這筆錢多買了2.5千克雞蛋。問：雞蛋價格下調后是每千克多少元？
小學奧數基礎教程（四年級）
7．鍋爐房按照每天4.5噸的用量儲備了120天的供暖煤。供暖40天后，由于進行了技術改造，每天能節約0.9噸煤。問：這些煤共可以供暖多少天？
第2講 年齡問題
年齡問題是一類以“年齡為內容”的數學應用題。
年齡問題的主要特點是：二人年齡的差保持不變，它不隨歲月的流逝而改變；二人的年齡隨著歲月的變化，將增或減同一個自然數；二人年齡的倍數關系隨著年齡的增長而發生變化，年齡增大，倍數變小。
根據題目的條件，我們常將年齡問題化為“差倍問題”、“和差問題”、“和倍問題”進行求解。
例1 兒子今年10歲，5年前母親的年齡是他的6倍，母親今年多少歲？ 分析與解：兒子今年10歲，5年前的年齡為5歲，那么5年前母親的年齡為5×6＝30（歲），因此母親今年是
30＋5=35（歲）。
例2 今年爸爸48歲，兒子20歲，幾年前爸爸的年齡是兒子的5倍？ 分析與解：今年爸爸與兒子的年齡差為“48——20”歲，因為二人的年齡差不隨時間的變化而改變，所以當爸爸的年齡為兒子的5倍時，兩人的年齡差還是這個數，這樣就可以用“差倍問題”的解法。當爸爸的年齡是兒子年齡的5倍時，兒子的年齡是
（48——20）÷（5——1）＝7（歲）。
由20－7＝13（歲），推知13年前爸爸的年齡是兒子年齡的5倍。
小學奧數基礎教程（四年級）例3 兄弟二人的年齡相差5歲，兄3年后的年齡為弟4年前的3倍。問：兄、弟二人今年各多少歲？
分析與解：根據題意，作示意圖如下：
由上圖可以看出，兄3年后的年齡比弟4年前的年齡大5＋3＋4＝12（歲），由“差倍問題”解得，弟4年前的年齡為（5＋3＋4）÷（3－1）＝6（歲）。由此得到
弟今年6＋4＝10（歲），兄今年10＋5＝15（歲）。
例4 今年兄弟二人年齡之和為55歲，哥哥某一年的歲數與弟弟今年的歲數相同，那一年哥哥的歲數恰好是弟弟歲數的2倍，請問哥哥今年多少歲？ 分析與解：在哥哥的歲數是弟弟的歲數2倍的那一年，若把弟弟歲數看成一份，那么哥哥的歲數比弟弟多一份，哥哥與弟弟的年齡差是1份。又因為那一年哥哥歲數與今年弟弟歲數相等，所以今年弟弟歲數為2份，今年哥哥歲數為2＋1=3（份）（見下頁圖）。
由“和倍問題”解得，哥哥今年的歲數為
55÷(3+2)×3=33(歲)。
例5 哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等，哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲，請問二人今年各多少歲？
小學奧數基礎教程（四年級）分析與解：由“哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等”可知兄妹二人的年齡差為“4＋5”歲。由“哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲”，可知兄妹二人今年的年齡和為“97——2——8”歲。由“和差問題”解得，兄[（97——2——8）＋（4＋5）]÷2＝48（歲），妹[（97——2——8）-（4＋5）]÷2=39（歲）。
例6 1994年父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的4倍。2000年，父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的2倍。問：父親出生在哪一年？
分析與解：如果用1段線表示兄弟二人1994年的年齡和，則父親1994年的年齡要用4段線來表示（見下頁圖）。
父親在2000年的年齡應是4段線再加6歲，而兄弟二人在2000年的年齡之和是1段線再加2×6＝12（歲），它是父親年齡的一半，也就是2段線再加3歲。由
1段＋12歲=2段＋3歲，推知1段是9歲。所以父親1994年的年齡是9×4＝36（歲），他出生于
1994——36＝1958（年）。
例7今年父親的年齡為兒子的年齡的4倍，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍。問：父子今年各多少歲？
解法一：假設父親的年齡一直是兒子年齡的4倍，那么每過一年兒子增加一歲，父親就要增加4歲。這樣，20年后兒子增加20歲，父親就要增加80歲，比兒子多增加了80－20＝60（歲）。
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事實上，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍，根據剛才的假設，多增加的60歲，正好相當于20年后兒子年齡的（4——2＝）2倍，因此，今年兒子的年齡為
（20×4－20）÷（4－2）－20＝10（歲），父親今年的年齡為10×4＝40（歲）。
解法二：如果用1段線表示兒子今年的年齡，那么父親今年的年齡要用4段線來表示（見下圖）。
20年后，父親的年齡應是4段線再加上20歲，而兒子的年齡應是1段線再加上20歲，是父親年齡的一半，也就是2段線再加上10歲。由
1段＋20=2段＋10，求得1段是10歲，即兒子今年10歲，從而父親今年40歲。例8 今年爺爺78歲，長孫27歲，次孫23歲，三孫16歲。問：幾年后爺爺的年齡等于三個孫子年齡之和？
分析：今年三個孫子的年齡和為27＋23＋16=66（歲），爺爺比三個孫子的年齡和多78——66＝12（歲）。每過一年，爺爺增加一歲，而三個孫子的年齡和卻要增加1＋1＋1＝3（歲），比爺爺多增加3－1＝2（歲）。因而只需求出12里面有幾個2即可。
解：[78－（27＋23＋16）]÷（1＋1＋1－1）＝6（年）。
答：6年后爺爺的年齡等于三個孫子年齡的和。
練習12
1．父親比兒子大30歲，明年父親的年齡是兒子年齡的3倍，那么今年兒子幾歲？
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2．王梅比舅舅小19歲，舅舅的年齡比王梅年齡的3倍多1歲。問：他們二人各幾歲？
3．小明今年9歲，父親39歲，再過多少年父親的年齡正好是小明年齡的2倍？
4．父親年齡是女兒的4倍，三年前父女年齡之和是49歲。問：父女兩人現在各多少歲？
5．一家三口人，三人年齡之和是74歲，媽媽比爸爸小2歲，媽媽的年齡是兒子年齡的4倍。問：三人各是多少歲？
6．今年老師46歲，學生16歲，幾年后老師年齡的2倍與學生年齡的5倍相等？
7．已知祖孫三人，祖父和父親年齡的差與父親和孫子年齡的差相同，祖父和孫子年齡之和為82歲，明年祖父的年齡恰好等于孫子年齡的5倍。問：祖孫三人各多少歲？
8．小樂問劉老師今年有多少歲，劉老師說：“當我像你這么大時，你才3歲；當你像我這么大時，我已經42歲了。”你能算出劉老師有多少歲嗎？
第3講 雞兔同籠問題與假設法
雞兔同籠問題是按照題目的內容涉及到雞與兔而命名的，它是一類有名的中國古算題。許多小學算術應用題，都可以轉化為雞兔同籠問題來加以計算。
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例1 小梅數她家的雞與兔，數頭有16個，數腳有44只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？
分析：假設16只都是雞，那么就應該有2×16＝32（只）腳，但實際上有44只腳，比假設的情況多了44-32＝12（只）腳，出現這種情況的原因是把兔當作雞了。如果我們以同樣數量的兔去換同樣數量的雞，那么每換一只，頭的數目不變，腳數增加了2只。因此只要算出12里面有幾個2，就可以求出兔的只數。
解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有雞16-6＝10（只）。
答：有6只兔，10只雞。
當然，我們也可以假設16只都是兔子，那么就應該有4×16＝64（只）腳，但實際上有44只腳，比假設的情況少了64－44＝20（只）腳，這是因為把雞當作兔了。我們以雞去換兔，每換一只，頭的數目不變，腳數減少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有幾個2，就可以求出雞的只數。
有雞（4×16-44）÷（4-2）=10（只），有兔16——10＝6（只）。
由例1看出，解答雞兔同籠問題通常采用假設法，可以先假設都是雞，然后以兔換雞；也可以先假設都是兔，然后以雞換兔。因此這類問題也叫置換問題。
例2 100個和尚140個饃，大和尚1人分3個饃，小和尚1人分1個饃。問：大、小和尚各有多少人？
分析與解：本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設法來解。
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假設100人全是大和尚，那么共需饃300個，比實際多300－140＝160（個）。現在以小和尚去換大和尚，每換一個總人數不變，而饃就要減少3——1＝2（個），因為160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有
100－80＝20（人）。
同樣，也可以假設100人都是小和尚，同學們不妨自己試試。
在下面的例題中，我們只給出一種假設方法。
例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多少套？
分析與解：我們設想有一只“怪雞”有1個頭11只腳，一種“怪兔”有1個頭19只腳，它們共有16個頭，280只腳。這樣，就將買文化用品問題轉換成雞兔同籠問題了。
假設買了16套彩色文化用品，則共需19×16＝304（元），比實際多304——280＝24（元），現在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套少用19——11＝8（元），所以
買普通文化用品 24÷8=3（套），買彩色文化用品 16－3＝13（套）。
例4 雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少只？
分析：假設100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實際上只多20只，這說明假設的雞腳比兔腳多的數比實際上多200——20=180（只）。
現在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數中就會減少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，雞100——30＝70（只）。
解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），小學奧數基礎教程（四年級）
有雞100——30=70（只）。
答：有雞70只，兔30只。
例5 現有大、小油瓶共50個，每個大瓶可裝油4千克，每個小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。問：大、小瓶各有多少個？
分析：本題與例4非常類似，仿照例4的解法即可。解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（個），大瓶有50-30＝20（個）。
答：有大瓶20個，小瓶30個。
例6 一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？
分析：要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。
利用假設法，假設只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因為每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下4×36=144（噸）。根據條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9（輛）小卡車。這樣每輛小卡車能裝144÷9＝16（噸）。由此可求出這批鋼材有多少噸。解：4×36÷（45-36）×45＝720（噸）。
答：這批鋼材有720噸。
例7 樂樂百貨商店委托搬運站運送500只花瓶，雙方商定每只運費0.24元，但如果發生損壞，那么每打破一只不僅不給運費，而且還要賠償1.26元，結果搬運站共得運費115.5元。問：搬運過程中共打破了幾只花瓶？
分析：假設500只花瓶在搬運過程中一只也沒有打破，那么應得運費0.24×500=120（元）。實際上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。
小學奧數基礎教程（四年級）搬運站每打破一只花瓶要損失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。
解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。
答：共打破3只花瓶。
例8 小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？
分析與解：利用假設法，假設小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數減少了
12×（2＋3）＝60（下）。
可求出小樂每分鐘跳
（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），小樂一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小樂共多跳
780——270×2＝240（下）。練習13
1．雞、兔共有頭100個，腳350只，雞、兔各有多少只？
2．學校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個學生進行活動。問：象棋與跳棋各有多少副？
3．班級購買活頁簿與日記本合計32本，花錢74元。活頁簿每本1.9元，日記本每本3.1元。問：買活頁簿、日記本各幾本？
4．龜、鶴共有100個頭，鶴腿比龜腿多20只。問：龜、鶴各幾只？
5．小蕾花40元錢買了14張賀年卡與明信片。賀年卡每張3元5角，明信片每張2元5角。問：賀年卡、明信片各買了幾張？
小學奧數基礎教程（四年級）
6．一個工人植樹，晴天每天植樹20棵，雨天每天植樹12棵，他接連幾天共植樹112棵，平均每天植樹14棵。問：這幾天中共有幾個雨天？
7．振興小學六年級舉行數學競賽，共有20道試題。做對一題得5分，沒做或做錯一題都要扣3分。小建得了60分，那么他做對了幾道題？
8．有一批水果，用大筐80只可裝運完，用小筐120只也可裝運完。已知每只大筐比每只小筐多裝運20千克，那么這批水果有多少千克？
9．蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀。現有三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀。問：每種小蟲各有幾只？ 10．雞、兔共有腳100只，若將雞換成兔，兔換成雞，則共有腳92只。問：雞、兔各幾只？
高冠軍，所以由（1）知乙不是數學博士。將上面的結論依次填入上表，便得到下表：
所以，甲是小畫家和歌唱家，乙是短跑健將和跳高冠軍，丙是數學博士和大作家。
例4張明、席輝和李剛在北京、上海和天津工作，他們的職業是工人、農民和教師，已知：（1）張明不在北京工作，席輝不在上海工作；
（2）在北京工作的不是教師；
（3）在上海工作的是工人；
（4）席輝不是農民。
問：這三人各住哪里？各是什么職業？
小學奧數基礎教程（四年級）分析與解：與前面的例題相比，這道題的關系要復雜一些，要求我們通過推理，弄清人物、工作地點、職業三者之間的關系。三者的關系需要兩兩構造三個表，即人物與地點，人物與職業，地點與職業三個表。
我們先將題目條件中所給出的關系用下面的表來表示，由條件（1）得到表1，由條件（4）得到表2，由條件（2）（3）得到表3。
因為各表中，每行每列只能有一個“√”，所以表（3）可填全為表（4）。
因為席輝不在上海工作，在上海工作的是工人，所以席輝不是工人，他又不是農民，所以席輝是教師。再由表4知，教師住在天津，即席輝住在天津。至此，表1可填全為表5。
對照表5和表4，得到：張明住在上海是工人，席輝住在天津是教師，李剛住在北京是農民。
第三篇：小學數學奧數教案
綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
小學奧數基礎教程
第1講 速算與巧算
（一）第2講 速算與巧算
（二）第3講 高斯求和
第4講 4，8，9整除的數的特征 第5講 棄九法
第6講 數的整除性
（二）第7講 找規律
（一）第8講 找規律
（二）第9講 數字謎
（一）第10講 數字謎
（二）第11講 歸一問題與歸總問題 第12講 年齡問題
第13講 雞兔同籠問題與假設法 第14講 盈虧問題與比較法
（一）第15講 盈虧問題與比較法
（二）第16講 數陣圖
（一）第17講 數陣圖
（二）第18講 數陣圖
（三）第19將 乘法原理 第20講 加法原理
（一）第21講 加法原理
（二）第22講 還原問題
（一）第23講 還原問題
（二）第24講 頁碼問題 第25講 智取火柴 第26講 邏輯問題
（一）第27講 邏輯問題
（二）第28講 最不利原則 第29講 抽屜原理
（一）第30講 抽屜原理
（二）綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程第1講 速算與巧算
（一）計算是數學的基礎，小學生要學好數學，必須具有過硬的計算本領。準確、快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓練，既能提高計算效率、節省計算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進思維和智力的發展。
我們在三年級已經講過一些四則運算的速算與巧算的方法，本講和下一講主要介紹加法的基準數法和乘法的補同與同補速算法。
例1 四年級一班第一小組有10名同學，某次數學測驗的成績（分數）如下：
86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。
求這10名同學的總分。
分析與解：通常的做法是將這10個數直接相加，但這些數雜亂無章，直接相加既繁且易錯。觀察這些數不難發現，這些數雖然大小不等，但相差不大。我們可以選擇一個適當的數作“基準”，比如以“80”作基準，這10個數與80的差如下：
6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”號表示這個數比80小。于是得到
總和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-6+12-11+4-5）
＝800＋9＝809。
實際計算時只需口算，將這些數與80的差逐一累加。為了清楚起見，將這一過程表示如下：
通過口算，得到差數累加為9，再加上80×10，就可口算出結果為809。
例1所用的方法叫做加法的基準數法。這種方法適用于加數較多，而且所有的加數相差不大的情況。作為“基準”的數（如例1的80）叫做基準數，各數與基準數的差的和叫做累計差。由例1得到：
總和數=基準數×加數的個數+累計差，平均數=基準數+累計差÷加數的個數。
在使用基準數法時，應選取與各數的差較小的數作為基準數，這樣才容易計算累計差。同時考慮到基準數與加數個數的乘法能夠方便地計算出來，所以基準數應盡量選取整
十、整百的數。
例2 某農場有10塊麥田，每塊的產量如下（單位：千克）：
462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每塊麥田的產量。解：選基準數為450，則
累計差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11
＝50，平均每塊產量=450＋50÷10＝455（千克）。
答：平均每塊麥田的產量為455千克。
求一位數的平方，在乘法口訣的九九表中已經被同學們熟知，如7×7＝49（七七四十九）。對于兩位數的平方，大多數同學只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。有沒有什么竅門，能夠迅速算出兩位數的平方呢？這里向同學們介紹一種方法——湊整補零法。所謂湊整補零法，就是用所求數與最接近的整十數的差，通過移多補少，將所求數轉化成一個整十數乘以另一數，再加上零頭的平方數。下面通過例題來說明這一方法。例3 求292和822的值。解：292=29×29
＝（29＋1）×（29-1）＋12
＝30×28＋1
＝840+1
＝841。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
822＝82×82
＝（82－2）×（82＋2）＋2＝80×84＋4
＝6720+4
＝6724。
由上例看出，因為29比30少1，所以給29“補”1，這叫“補少”；因為82比80多2，所以從82中“移走”2，這叫“移多”。因為是兩個相同數相乘，所以對其中一個數“移多補少”后，還需要在另一個數上“找齊”。本例中，給一個29補1，就要給另一個29減1；給一個82減了2，就要給另一個82加上2。最后，還要加上“移多補少”的數的平方。
由湊整補零法計算352，得
35×35＝40×30＋52=1225。這與三年級學的個位數是5的數的平方的速算方法結果相同。
這種方法不僅適用于求兩位數的平方值，也適用于求三位數或更多位數的平方值。例4 求9932和20042的值。解：9932=993×993
＝（993＋7）×（993-7）+72
＝1000×986＋49
＝986000＋49
＝986049。
20042=2004×2004
＝（2004-4）×（2004+4）＋42
＝2000×2008＋16
＝4016000＋16
＝4016016。
下面，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。
請看下面的算式：
66×46，73×88，19×44。
這幾道算式具有一個共同特點，兩個因數都是兩位數，一個因數的十位數與個位數相同，另一因數的十位數與個位數之和為10。這類算式有非常簡便的速算方法。例5 88×64＝？
分析與解：由乘法分配律和結合律，得到
88×64
＝（80＋8）×（60＋4）
＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4
＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4
＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4
＝80×（60＋6＋4）＋8×4
＝80×（60＋10）＋8×4
＝8×（6＋1）×100+8×4。
于是，我們得到下面的速算式：
由上式看出，積的末兩位數是兩個因數的個位數之積，本例為8×4；積中從百位起前面的數是“個位與十位相同的因數”的十位數與“個位與十位之和為10的因數”的十位數加1的乘積，本例為8×（6＋1）。例6 77×91＝？
解：由例3的解法得到 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
由上式看出，當兩個因數的個位數之積是一位數時，應在十位上補一個0，本例為7×1＝07。
用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數的乘法計算。練習1
1.求下面10個數的總和：
165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。
2.農業科研小組測定麥苗的生長情況，量出12株麥苗的高度分別為（單位：厘米）：
26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求這批麥苗的平均高度。
3.某車間有9個工人加工零件，他們加工零件的個數分別為：
68，91，84，75，78，81，83，72，79。
他們共加工了多少個零件？
4.計算：
13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。
5.計算下列各題：
（1）372；（2）532；（3）912；
（4）682：（5）1082；（6）3972。
6.計算下列各題：
（1）77×28；（2）66×55；（3）33×19；（4）82×44；（5）37×33；（6）46×99。
練習1 答案
1.1596。2.26厘米。
3.711個。4.147。
5.（1）1369；（2）2809；（3）8281；
（4）4624；（5）11664；（6）157609。
6.（1）2156；（2）3630；（3）627；
（4）3608；（5）1221；（6）4554。第2講 速算與巧算
（二）上一講我們介紹了一類兩位數乘法的速算方法，這一講討論乘法的“同補”與“補同”速算法。
兩個數之和等于10，則稱這兩個數互補。在整數乘法運算中，常會遇到像72×78，26×86等被乘數與乘數的十位數字相同或互補，或被乘數與乘數的個位數字相同或互補的情況。72×78的被乘數與乘數的十位數字相同、個位數字互補，這類式子我們稱為“頭相同、尾互補”型；26×86的被乘數與乘數的十位數字互補、個位數字相同，這類式子我們稱為“頭互補、尾相同”型。計算這兩類題目，有非常簡捷的速算方法，分別稱為“同補”速算法和“補同”速算法。
例1（1）76×74＝？（2）31×39＝？
分析與解：本例兩題都是“頭相同、尾互補”類型。
（1）由乘法分配律和結合律，得到 76×74 ＝（70＋6）×（70+4）
＝（70＋6）×70＋（70＋6）×4＝70×70＋6×70＋70×4＋6×4 ＝70×（70＋6＋4）＋6×4 ＝70×（70＋10）＋6×4 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程＝7×（7+1）×100＋6×4。于是，我們得到下面的速算式：
（2）與（1）類似可得到下面的速算式：
由例1看出，在“頭相同、尾互補”的兩個兩位數乘法中，積的末兩位數是兩個因數的個位數之積（不夠兩位時前面補0，如1×9＝09），積中從百位起前面的數是被乘數（或乘數）的十位數與十位數加1的乘積。“同補”速算法簡單地說就是： 積的末兩位是“尾×尾”，前面是“頭×（頭+1）”。
我們在三年級時學到的15×15，25×25，?，95×95的速算，實際上就是“同補”速算法。
例2（1）78×38＝？（2）43×63＝？
分析與解：本例兩題都是“頭互補、尾相同”類型。（1）由乘法分配律和結合律，得到
78×38 ＝（70＋8）×（30＋8）
＝（70＋8）×30＋（70＋8）×8 ＝70×30+8×30＋70×8＋8×8 ＝70×30＋8×（30＋70）＋8×8 ＝7×3×100＋8×100＋8×8 ＝（7×3＋8）×100＋8×8。于是，我們得到下面的速算式：
（2）與（1）類似可得到下面的速算式：
由例2看出，在“頭互補、尾相同”的兩個兩位數乘法中，積的末兩位數是兩個因數的個位數之積（不夠兩位時前面補0，如3×3＝09），積中從百位起前面的數是兩個因數的十位數之積加上被乘數（或乘數）的個位數。“補同”速算法簡單地說就是： 積的末兩位數是“尾×尾”，前面是“頭×頭+尾”。
例1和例2介紹了兩位數乘以兩位數的“同補”或“補同”形式的速算法。當被乘數和乘數多于兩位時，情況會發生什么變化呢？
我們先將互補的概念推廣一下。當兩個數的和是10，100，1000，?時，這兩個數互為補數，簡稱互補。如43與57互補，99與1互補，555與445互補。
在一個乘法算式中，當被乘數與乘數前面的幾位數相同，后面的幾位數互補時，這個算式就是“同補”型，即“頭相同，尾互補”型。例如，因為被乘數與乘數的綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程前兩位數相同，都是70，后兩位數互補，77＋23＝100，所以是“同補”型。又如，等都是“同補”型。
當被乘數與乘數前面的幾位數互補，后面的幾位數相同時，這個乘法算式就是“補同”型，即“頭互補，尾相同”型。例如，等都是“補同”型。
在計算多位數的“同補”型乘法時，例1的方法仍然適用。例3（1）702×708=？（2）1708×1792＝？ 解：（1）
（2）
計算多位數的“同補”型乘法時，將“頭×（頭+1）”作為乘積的前幾位，將兩個互補數之積作為乘積的后幾位。
注意：互補數如果是n位數，則應占乘積的后2n位，不足的位補“0”。
在計算多位數的“補同”型乘法時，如果“補”與“同”，即“頭”與“尾”的位數相同，那么例2的方法仍然適用（見例4）；如果“補”與“同”的位數不相同，那么例2的方法不再適用，因為沒有簡捷實用的方法，所以就不再討論了。例4 2865×7265＝？
解：
練習2
計算下列各題：
1.68×62； 2.93×97；
3.27×87； 4.79×39；
5.42×62； 6.603×607；
7.693×607； 8.4085×6085。第3講 高斯求和
德國著名數學家高斯幼年時代聰明過人，上學時，有一天老師出了一道題讓同學們計算：
1＋2＋3＋4＋?＋99＋100＝？
老師出完題后，全班同學都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準呢？原來小高斯通過細心觀察發現：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝?＝49＋52＝50＋51。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
1～100正好可以分成這樣的50對數，每對數的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數列”的求和問題。
若干個數排成一列稱為數列，數列中的每一個數稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項。后項與前項之差都相等的數列稱為等差數列，后項與前項之差稱為公差。例如：
（1）1，2，3，4，5，?，100；
（2）1，3，5，7，9，?，99；（3）8，15，22，29，36，?，71。
其中（1）是首項為1，末項為100，公差為1的等差數列；（2）是首項為1，末項為99，公差為2的等差數列；（3）是首項為8，末項為71，公差為7的等差數列。
由高斯的巧算方法，得到等差數列的求和公式： 和=（首項+末項）×項數÷2。例1 1＋2＋3＋?＋1999＝？
分析與解：這串加數1，2，3，?，1999是等差數列，首項是1，末項是1999，共有1999個數。由等差數列求和公式可得
原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差數列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數是否構成等差數列。例2 11＋12＋13＋?＋31＝？
分析與解：這串加數11，12，13，?，31是等差數列，首項是11，末項是31，共有31-11＋1＝21（項）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差數列求和公式時，有時項數并不是一目了然的，這時就需要先求出項數。根據首項、末項、公差的關系，可以得到 項數=（末項-首項）÷公差+1，末項=首項+公差×（項數-1）。例3 3＋7＋11＋?＋99＝？
分析與解：3，7，11，?，99是公差為4的等差數列，項數=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4 求首項是25，公差是3的等差數列的前40項的和。解：末項=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差數列求和公式及求項數和末項的公式，可以解決各種與等差數列求和有關的問題。例5 在下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個圖形由多少根火柴棍擺成？
分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數目及所用火柴數目如下表： 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程由上表看出，各層的小三角形數成等差數列，各層的火柴數也成等差數列。
解：（1）最大三角形面積為
（1＋3＋5＋?＋15）×12 ＝［（1＋15）×8÷2］×12 ＝768（厘米2）。
2）火柴棍的數目為
3＋6＋9+?+24 ＝（3＋24）×8÷2=108（根）。
答：最大三角形的面積是768厘米2，整個圖形由108根火柴擺成。
例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔術師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里??第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球？
分析與解：一只球變成3只球，實際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球??第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了
2×1＋2×2＋?＋2×10 ＝2×（1＋2＋?＋10）＝2×55＝110（只）。
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。
綜合列式為：
（3-1）×（1＋2＋?＋10）＋3 ＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。
練習3
1.計算下列各題：
（1）2＋4＋6＋?＋200；
（2）17＋19＋21＋?＋39；（3）5＋8＋11＋14＋?＋50；（4）3＋10＋17＋24＋?＋101。
2.求首項是5，末項是93，公差是4的等差數列的和。
3.求首項是13，公差是5的等差數列的前30項的和。
4.時鐘在每個整點敲打，敲打的次數等于該鐘點數，每半點鐘也敲一下。問：時鐘一晝夜敲打多少次？
5.求100以內除以3余2的所有數的和。
6.在所有的兩位數中，十位數比個位數大的數共有多少個？
第四講
我們在三年級已經學習了能被2，3，5整除的數的特征，這一講我們將討論整除的性質，并講解能被4，8，9整除的數的特征。
數的整除具有如下性質： 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程性質1 如果甲數能被乙數整除，乙數能被丙數整除，那么甲數一定能被丙數整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性質2 如果兩個數都能被一個自然數整除，那么這兩個數的和與差也一定能被這個自然數整除。例如，21與15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。
性質3 如果一個數能分別被兩個互質的自然數整除，那么這個數一定能被這兩個互質的自然數的乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質，那么126能被9×7＝63整除。
利用上面關于整除的性質，我們可以解決許多與整除有關的問題。為了進一步學習數的整除性，我們把學過的和將要學習的一些整除的數字特征列出來：
（1）一個數的個位數字如果是0，2，4，6，8中的一個，那么這個數就能被2整除。
（2）一個數的個位數字如果是0或5，那么這個數就能被5整除。
（3）一個數各個數位上的數字之和如果能被3整除，那么這個數就能被3整除。
（4）一個數的末兩位數如果能被4（或25）整除，那么這個數就能被4（或25）整除。
（5）一個數的末三位數如果能被8（或125）整除，那么這個數就能被8（或125）整除。
（6）一個數各個數位上的數字之和如果能被9整除，那么這個數就能被9整除。
其中（1）（2）（3）是三年級學過的內容，（4）（5）（6）是本講要學習的內容。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
因為100能被4（或25）整除，所以由整除的性質1知，整百的數都能被4（或25）整除。因為任何自然數都能分成一個整百的數與這個數的后兩位數之和，所以由整除的性質2知，只要這個數的后兩位數能被4（或25）整除，這個數就能被4（或25）整除。這就證明了（4）。
類似地可以證明（5）。
（6）的正確性，我們用一個具體的數來說明一般性的證明方法。
837＝800＋30＋7 ＝8×100＋3×10＋7 ＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7 ＝8×99＋8＋3×9＋3＋7 ＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。
因為99和9都能被9整除，所以根據整除的性質1和性質2知，（8x99＋3x9）能被9整除。再根據整除的性質2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判斷837能被9整除。
利用（4）（5）（6）還可以求出一個數除以4，8，9的余數：（4‘）一個數除以4的余數，與它的末兩位除以4的余數相同。（5＇）一個數除以8的余數，與它的末三位除以8的余數相同。（6＇）一個數除以9的余數，與它的各位數字之和除以9的余數相同。例1 在下面的數中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？ 234，789，7756，8865，3728.8064。解：能被4整除的數有7756，3728，8064；
能被8整除的數有3728，8064； 能被9整除的數有234，8865，8064。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程例2 在四位數56□2中，被蓋住的十位數分別等于幾時，這個四位數分別能被9，8，4整除？
解：如果56□2能被9整除，那么
5＋6＋□＋2＝13＋□
應能被9整除，所以當十位數是5，即四位數是5652時能被9整除；
如果56□2能被8整除，那么6□2應能被8整除，所以當十位數是3或7，即四位數是5632或5672時能被8整除；
如果56□2能被4整除，那么□2應能被4整除，所以當十位數是1，3，5，7，9，即四位數是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。
到現在為止，我們已經學過能被2，3，5，4，8，9整除的數的特征。根據整除的性質3，我們可以把判斷整除的范圍進一步擴大。例如，判斷一個數能否被6整除，因為6＝2×3，2與3互質，所以如果這個數既能被2整除又能被3整除，那么根據整除的性質3，可判定這個數能被6整除。同理，判斷一個數能否被12整除，只需判斷這個數能否同時被3和4整除；判斷一個數能否被72整除，只需判斷這個數能否同時被8和9整除；如此等等。
例3 從0，2，5，7四個數字中任選三個，組成能同時被2，5，3整除的數，并將這些數從小到大進行排列。
解：因為組成的三位數能同時被2，5整除，所以個位數字為0。根據三位數能被3整除的特征，數字和2＋7＋0與5＋7＋0都能被3整除，因此所求的這些數為270，570，720，750。例4 五位數分析與解：已知以能被72整除，問：A與B各代表什么數字？
能被72整除。因為72＝8×9，8和9是互質數，所既能被8整除，又能被9整除。根據能被8整除的數的特征，要求綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程能被8整除，由此可確定B＝6。再根據能被9整除的數的特征，的各位數字之和為
A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，因為l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在這個范圍內只有27能被9整除，所以A＝7。
解答例4的關鍵是把72分解成8×9，再分別根據能被8和9整除的數的特征去討論B和A所代表的數字。在解題順序上，應先確定B所代表的數字，因為B代表的數字不受A的取值大小的影響，一旦B代表的數字確定下來，A所代表的數字就容易確定了。例5 六位數是6的倍數，這樣的六位數有多少個？
分析與解：因為6＝2×3，且2與3互質，所以這個整數既能被2整除又能被3整除。由六位數能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8這五個值。再由六位數能被3整除，推知 3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B
能被3整除，故2B能被3整除。B可取0，3，6，9這4個值。由于B可以取4個值，A可以取5個值，題目沒有要求A≠B，所以符合條件的六位數共有5×4＝20（個）。例6 要使六位數表什么數字？
分析與解：因為36＝4×9，且4與9互質，所以這個六位數應既能被4整除又能被9整除。六位數此C可取1，3，5，7，9。
要使所得的商最小，就要使
這個六位數盡可能小。因此首先是A的能被4整除，就要
能被4整除，因
能被36整除，而且所得的商最小，問A，B，C各代盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小。先試取A=0。六位數綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程各位數字之和為12＋B＋C。它應能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。因為B，C應盡量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使盡可能小，應取B＝1，C＝5。
當A=0，B=1，C＝5時，六位數能被36整除，而且所得商最小，為150156÷36＝4171。練習4
1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪幾個數整除？
2．個位數是5，且能被9整除的三位數共有多少個？
3．一些四位數，百位上的數字都是3，十位上的數字都是6，并且它們既能被2整除又能被3整除。在這樣的四位數中，最大的和最小的各是多少？
4．五位數能被12整除，求這個五位數。
5．有一個能被24整除的四位數□23□，這個四位數最大是幾？最小是幾？
6．從0，2，3，6，7這五個數碼中選出四個，可以組成多少個可以被8整除的沒有重復數字的四位數？
7．在123的左右各添一個數碼，使得到的五位數能被72整除。
8．學校買了72只小足球，發票上的總價有兩個數字已經辨認不清，只看到是□67.9□元，你知道每只小足球多少錢嗎？ 第5講 棄九法
從第4講知道，如果一個數的各個數位上的數字之和能被9整除，那么這個數能被9整除；如果一個數各個數位上的數字之和被9除余數是幾，那么這個數被9除的余數也一定是幾。利用這個性質可以迅速地判斷一個數能否被9整除或者求出被9除的余數是幾。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
例如，3645732這個數，各個數位上的數字之和為
3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732這個數不能被9整除，且被9除后余數為3。
但是，當一個數的數位較多時，這種計算麻煩且易錯。有沒有更簡便的方法呢？
因為我們只是判斷這個式子被9除的余數，所以凡是若干個數的和是9時，就把這些數劃掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把這些數劃掉后，最多只剩下一個3（如下圖），所以這個數除以9的余數是3。
這種將和為9或9的倍數的數字劃掉，用剩下的數字和求除以9的余數的方法，叫做棄九法。
一個數被9除的余數叫做這個數的九余數。利用棄九法可以計算一個數的九余數，還可以檢驗四則運算的正確性。例1 求多位數764582***15除以9的余數。分析與解：利用棄九法，將和為9的數依次劃掉。
只剩下7，6，1，5四個數，這時口算一下即可。口算知，7，6，5的和是9的倍數，又可劃掉，只剩下1。所以這個多位數除以9余1。例2 將自然數1，2，3，?依次無間隔地寫下去組成一個數***3?如果一直寫到自然數100，那么所得的數除以9的余數是多少？ 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程分析與解：因為這個數太大，全部寫出來很麻煩，在使用棄九法時不能逐個劃掉和為9或9的倍數的數，所以要配合適當的分析。我們已經熟知
1＋2＋3＋?＋9＝45，而45是9的倍數，所以每一組1，2，3，?，9都可以劃掉。在1～99這九十九個數中，個位數有十組1，2，3，?，9，都可劃掉；十位數也有十組1，2，3，?，9，也都劃掉。這樣在這個大數中，除了0以外，只剩下最后的100中的數字1。所以這個數除以9余1。
在上面的解法中，并沒有計算出這個數各個數位上的數字和，而是利用棄九法分析求解。本題還有其它簡捷的解法。因為一個數與它的各個數位上的數字之和除以9的余數相同，所以題中這個數各個數位上的數字之和，與1＋2＋?＋100除以9的余數相同。
利用高斯求和法，知此和是5050。因為5050的數字和為5＋0＋5＋0=10，利用棄九法，棄去一個9余1，故5050除以9余1。因此題中的數除以9余1。
例3 檢驗下面的加法算式是否正確：
2638457＋3521983＋6745785＝12907225。
分析與解：若干個加數的九余數相加，所得和的九余數應當等于這些加數的和的九余數。如果不等，那么這個加法算式肯定不正確。上式中，三個加數的九余數依次為8，4，6，8+4+6的九余數為0；和的九余數為1。因為0≠1，所以這個算式不正確。例4 檢驗下面的減法算式是否正確：
7832145-2167953＝5664192。
分析與解：被減數的九余數減去減數的九余數（若不夠減，可在被減數的九余數上加9，然后再減）應當等于差的九余數。如果不等，那么這個減綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程法計算肯定不正確。上式中被減數的九余數是3，減數的九余數是6，由（9+3）-6＝6知，原題等號左邊的九余數是6。等號右邊的九余數也是6。因為6＝6，所以這個減法運算可能正確。
值得注意的是，這里我們用的是“可能正確”。利用棄九法檢驗加法、減法、乘法（見例5）運算的結果是否正確時，如果等號兩邊的九余數不相等，那么這個算式肯定不正確；如果等號兩邊的九余數相等，那么還不能確定算式是否正確，因為九余數只有0，1，2，?，8九種情況，不同的數可能有相同的九余數。所以用棄九法檢驗運算的正確性，只是一種粗略的檢驗。
例5 檢驗下面的乘法算式是否正確：
46876×9537＝447156412。
分析與解：兩個因數的九余數相乘，所得的數的九余數應當等于兩個因數的乘積的九余數。如果不等，那么這個乘法計算肯定不正確。上式中，被乘數的九余數是4，乘數的九余數是6，4×6＝24，24的九余數是6。乘積的九余數是7。6≠7，所以這個算式不正確。
說明：因為除法是乘法的逆運算，被除數=除數×商+余數，所以當余數為零時，利用棄九法驗算除法可化為用棄九法去驗算乘法。例如，檢驗383801÷253=1517的正確性，只需檢驗1517×253=383801的正確性。練習5
1．求下列各數除以9的余數：
（1）7468251；（2）36298745；
（3）2657348；（4）6678254193。
2．求下列各式除以9的余數：
（1）67235＋82564；（2）97256-47823； 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
（3）2783×6451；（4）3477+265×841。
3．用棄九法檢驗下列各題計算的正確性：
（1）228×222＝50616；
（2）334×336＝112224；
（3）23372428÷6236＝3748；
（4）12345÷6789＝83810105。
4．有一個2000位的數A能被9整除，數A的各個數位上的數字之和是B，數B的各個數位上的數字之和是C，數C的各個數位上的數字之和是D。求D。
第6講 數的整除性
（二）這一講主要講能被11整除的數的特征。
一個數從右邊數起，第1，3，5，?位稱為奇數位，第2，4，6，?位稱為偶數位。也就是說，個位、百位、萬位??是奇數位，十位、千位、十萬位??是偶數位。例如9位數768325419中，奇數位與偶數位如下圖所示：
能被11整除的數的特征：一個數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差（大數減小數）如果能被11整除，那么這個數就能被11整除。例1 判斷七位數1839673能否被11整除。
分析與解：奇數位上的數字之和為1＋3＋6＋3=13，偶數位上的數字之和為8＋9＋7=24，因為24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。
根據能被11整除的數的特征，也能求出一個數除以11的余數。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
一個數除以11的余數，與它的奇數位上的數字之和減去偶數位上的數字之和所得的差除以11的余數相同。如果奇數位上的數字之和小于偶數位上的數字之和，那么應在奇數位上的數字之和上再增加11的整數倍，使其大于偶數位上的數字之和。例2 求下列各數除以11的余數：
（1）41873；（2）296738185。
分析與解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11
=7÷11＝0??7，所以41873除以11的余數是7。
（2）奇數位之和為2＋6＋3＋1＋5=17，偶數位之和為9＋7＋8＋8＝32。因為17＜32，所以應給17增加11的整數倍，使其大于32。
（17+11×2）-32＝7，所以296738185除以11的余數是7。
需要說明的是，當奇數位數字之和遠遠小于偶數位數字之和時，為了計算方便，也可以用偶數位數字之和減去奇數位數字之和，再除以11，所得余數與11的差即為所求。如上題（2）中，（32-17）÷11＝1??4，所求余數是11-4=7。例3 求除以11的余數。
分析與解：奇數位是101個1，偶數位是100個9。
（9×100-1×101）÷11
=799÷11=72??7，11-7=4，所求余數是4。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
例3還有其它簡捷解法，例如每個“19”奇偶數位上的數字相差9-1＝8，奇數位上的數字和與偶數位上的數字和相差8×99=8×9×11，能被11整除。所以例3相當于求最后三位數191除以11的余數。例4 用3，3，7，7四個數碼能排出哪些能被11整除的四位數？ 解：只要奇數位和偶數位上各有一個3和一個7即可。有3377，3773，7337，7733。
例5 用1～9九個數碼組成能被11整除的沒有重復數字的最大九位數。分析與解：最大的沒有重復數字的九位數是987654321，由
（9＋7＋5＋3＋1）-（8＋6＋4＋2）＝5
知，987654321不能被11整除。為了保證這個數盡可能大，我們盡量調整低位數字，只要使奇數位的數字和增加3（偶數位的數字和自然就減少3），奇數位的數字之和與偶數位的數字之和的差就變為5＋3×2=11，這個數就能被11整除。調整“4321”，只要4調到奇數位，1調到偶數位，奇數位就比原來增大3，就可達到目的。此時，4，3在奇數位，2，1在偶數位，后四位最大是2413。所求數為987652413。例6 六位數能被99整除，求A和B。
分析與解：由99=9×11，且9與11互質，所以六位數既能被9整除又能被11整除。因為六位數能被9整除，所以
A+2+8+7+5+B
＝22+A+B
應能被9整除，由此推知A＋B＝5或14。又因為六位數能被11整除，所以
（A＋8＋5）－（2＋7＋B）綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
＝A-B＋4
應能被11整除，即
A-B+4=0或A-B+4=11。
化簡得B-A＝4或A-B＝7。
因為A+B與A-B同奇同偶，所以有
在（1）中，A≤5與A≥7不能同時滿足，所以無解。
在（2）中，上、下兩式相加，得
（B＋A）＋（B-A）＝14＋4，2B＝18，B=9。
將B=9代入A＋B=14，得A＝5。
所以，A=5，B＝9。
練習6
1．為使五位數6□295能被11整除，□內應當填幾？
2．用1，2，3，4四個數碼能排出哪些能被11整除的沒有重復數字的四位數？
3．求能被11整除的最大的沒有重復數字的五位數。
4．求下列各數除以11的余數：
（1）2485；（2）63582；（3）987654321。
5．求
6．六位數除以11的余數。
5A634B能被33整除，求A+B。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
7．七位數3A8629B是88的倍數，求A和B。
第7講 找規律
（一）我們在三年級已經見過“找規律”這個題目，學習了如何發現圖形、數表和數列的變化規律。這一講重點學習具有“周期性”變化規律的問題。什么是周期性變化規律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛開的春季過后就是夏天，赤日炎炎的夏季過后就是秋天，果實累累的秋季過后就是冬天，白雪皚皚的冬季過后又到了春天。年復一年，總是按照春、夏、秋、冬四季變化，這就是周期性變化規律。再比如，數列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，?是按照0，1，2三個數重復出現的，這也是周期性變化問題。
下面，我們通過一些例題作進一步講解。
例1 節日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍燈、再接3盞黃燈，然后又是5盞紅燈、4盞藍燈、3盞黃燈、??這樣排下去。問：
（1）第100盞燈是什么顏色？
（2）前150盞彩燈中有多少盞藍燈？
分析與解：這是一個周期變化問題。彩燈按照5紅、4藍、3黃，每12盞燈一個周期循環出現。
（1）100÷12＝8??4，所以第100盞燈是第9個周期的第4盞燈，是紅燈。
（2）150÷12=12??6，前150盞燈共有12個周期零6盞燈，12個周期中有藍燈4×12＝48（盞），最后的6盞燈中有1盞藍燈，所以共有藍燈48＋1=49（盞）。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程例2 有一串數，任何相鄰的四個數之和都等于25。已知第1個數是3，第6個數是6，第11個數是7。問：這串數中第24個數是幾？前77個數的和是多少？
分析與解：因為第1，2，3，4個數的和等于第2，3，4，5個數的和，所以第1個數與第5個數相同。進一步可推知，第1，5，9，13，?個數都相同。
同理，第2，6，10，14，?個數都相同，第3，7，11，15，?個數都相同，第4，8，12，16?個數都相同。
也就是說，這串數是按照每四個數為一個周期循環出現的。所以，第2個數等于第6個數，是6；第3個數等于第11個數，是7。前三個數依次是3，6，7，第四個數是
25-（3+6+7）=9。
這串數按照3，6，7，9的順序循環出現。第24個數與第4個數相同，是9。由77÷4＝9??1知，前77個數是19個周期零1個數，其和為25×19+3=478。
例3 下面這串數的規律是：從第3個數起，每個數都是它前面兩個數之和的個位數。問：這串數中第88個數是幾？
628088640448?
分析與解：這串數看起來沒有什么規律，但是如果其中有兩個相鄰數字與前面的某兩個相鄰數字相同，那么根據這串數的構成規律，這兩個相鄰數字后面的數字必然與前面那兩個相鄰數字后面的數字相同，也就是說將出現周期性變化。我們試著將這串數再多寫出幾位：
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當寫出第21，22位（豎線右面的兩位）時就會發現，它們與第1，2位數相同，所以這串數按每20個數一個周期循環出現。由88÷20=4??8知，第88個數與第8個數相同，所以第88個數是4。
從例3看出，周期性規律有時并不明顯，要找到它還真得動點腦筋。例4 在下面的一串數中，從第五個數起，每個數都是它前面四個數之和的個位數字。那么在這串數中，能否出現相鄰的四個數是“2000”？
***7134?
分析與解：無休止地將這串數寫下去，顯然不是聰明的做法。按照例3的方法找到一周期，因為這個周期很長，所以也不是好方法。那么怎么辦呢？仔細觀察會發現，這串數的前四個數都是奇數，按照“每個數都是它前面四個數之和的個位數字”，如果不看具體數，只看數的奇偶性，那么將這串數依次寫出來，得到
奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇??
可以看出，這串數是按照四個奇數一個偶數的規律循環出現的，永遠不會出現四個偶數連在一起的情況，即不會出現“2000”。
例5 A，B，C，D四個盒子中依次放有8，6，3，1個球。第1個小朋友找到放球最少的盒子，然后從其它盒子中各取一個球放入這個盒子；第2個小朋友也找到放球最少的盒子，然后也從其它盒子中各取一個球放入這個盒子??當100位小朋友放完后，A，B，C，D四個盒子中各放有幾個球？ 分析與解：按照題意，前六位小朋友放過后，A，B，C，D四個盒子中的球數如下表： 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
可以看出，第6人放過后與第2人放過后四個盒子中球的情況相同，所以從第2人放過后，每經過4人，四個盒子中球的情況重復出現一次。
（100-1）÷4＝24??3，所以第100次后的情況與第4次（3＋1＝4）后的情況相同，A，B，C，D盒中依次有4，6，3，5個球。
練習7
1．有一串很長的珠子，它是按照5顆紅珠、3顆白珠、4顆黃珠、2顆綠珠的順序重復排列的。問：第100顆珠子是什么顏色？前200顆珠子中有多少顆紅珠？
2．將1，2，3，4，?除以3的余數依次排列起來，得到一個數列。求這個數列前100個數的和。
3．有一串數，前兩個數是9和7，從第三個數起，每個數是它前面兩個數乘積的個位數。這串數中第100個數是幾？前100個數之和是多少？
4．有一列數，第一個數是6，以后每一個數都是它前面一個數與7的和的個位數。這列數中第88個數是幾？
5．小明按1～3報數，小紅按1～4報數。兩人以同樣的速度同時開始報數，當兩人都報了100個數時，有多少次兩人報的數相同？
6．A，B，C，D四個盒子中依次放有9，6，3，0個小球。第1個小朋友找到放球最多的盒子，從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球；第2綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程個小朋友也找到放球最多的盒子，也從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球??當100個小朋友放完后，A，B，C，D四個盒子中各放有幾個球？
第8講 找規律
（二）整數a與它本身的乘積，即a×a叫做這個數的平方，記作a2，即a2＝a×a；同樣，三個a的乘積叫做a的三次方，記作a3，即a3＝a×a×a。一般地，n個a相乘，叫做a的n次方，記作an，即
本講主要講an的個位數的變化規律，以及an除以某數所得余數的變化規律。
因為積的個位數只與被乘數的個位數和乘數的個位數有關，所以an的個位數只與a的個位數有關，而a的個位數只有0，1，2，?，9共十種情況，故我們只需討論這十種情況。
為了找出一個整數a自乘n次后，乘積的個位數字的變化規律，我們列出下頁的表格，看看a，a2，a3，a4，?的個位數字各是什么。
從表看出，an的個位數字的變化規律可分為三類：
（1）當a的個位數是0，1，5，6時，an的個位數仍然是0，1，5，6。
（2）當a的個位數是4，9時，隨著n的增大，an的個位數按每兩個數為一周期循環出現。其中a的個位數是4時，按4，6的順序循環出現；a的個位數是9時，按9，1的順序循環出現。
（3）當a的個位數是2，3，7，8時，隨著n的增大，an的個位數按每四個數為一周期循環出現。其中a的個位數是2時，按2，4，8，6的順序循環出現；a的個位數是3時，按3，9，7，1的順序循環出現；當a的綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程個位數是7時，按7，9，3，1的順序循環出現；當a的個位數是8時，按8，4，2，6的順序循環出現。
例1 求67999的個位數字。
分析與解：因為67的個位數是7，所以67n的個位數隨著n的增大，按7，9，3，1四個數的順序循環出現。
999÷4＝249??3，所以67999的個位數字與73的個位數字相同，即67999的個位數字是3。例2 求291+3291的個位數字。
分析與解：因為2n的個位數字按2，4，8，6四個數的順序循環出現，91÷4＝22??3，所以，291的個位數字與23的個位數字相同，等于8。
類似地，3n的個位數字按3，9，7，1四個數的順序循環出現，291÷4＝72??3，所以3291與33的個位數相同，等于7。
最后得到291+3291的個位數字與8+7的個位數字相同，等于5。例3 求28128-2929的個位數字。
解：由128÷4＝32知，28128的個位數與84的個位數相同，等于6。由29÷2＝14??1知，2929的個位數與91的個位數相同，等于9。因為6＜9，在減法中需向十位借位，所以所求個位數字為16－9＝7。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程例4 求下列各除法運算所得的余數：
（1）7855÷5；
（2）555÷3。
分析與解：（1）由55÷4＝13??3知，7855的個位數與83的個位數相同，等于2，所以7855可分解為10×a＋2。因為10×a能被5整除，所以7855除以5的余數是2。
（2）因為a÷3的余數不僅僅與a的個位數有關，所以不能用求555的個位數的方法求解。為了尋找5n÷3的余數的規律，先將5的各次方除以3的余數列表如下：
注意：表中除以3的余數并不需要計算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余數乘以5后，再除以3去求。比如，52除以3的余數是1，53除以3的余數與1×5=5除以3的余數相同。這是因為52＝3×8+1，其中3×8能被3整除，而
53=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5，（3×8）×5能被3整除，所以53除以3的余數與1×5除以3的余數相同。
由上表看出，5n除以3的余數，隨著n的增大，按2，1的順序循環出現。由55÷2=27??1知，555÷3的余數與51÷3的余數相同，等于2。例5 某種細菌每小時分裂一次，每次1個細茵分裂成3個細菌。20時后，將這些細菌每7個分為一組，還剩下幾個細菌？
分析與解：1時后有1×3=31（個）細菌，2時后有31×3=32（個）細菌??20時后，有320個細菌，所以本題相當于“求320÷7的余數”。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
由例4（2）的方法，將3的各次方除以7的余數列表如下：
由上表看出，3n÷7的余數以六個數為周期循環出現。由20÷6＝3??2知，320÷7的余數與32÷7的余數相同，等于2。所以最后還剩2個細菌。
最后再說明一點，an÷b所得余數，隨著n的增大，必然會出現周期性變化規律，因為所得余數必然小于b，所以在b個數以內必會重復出現。
練習8
1．求下列各數的個位數字：
（1）3838；（2）2930；
（3）6431；（4）17215。2．求下列各式運算結果的個位數字：（1）9222＋5731；（2）615+487+349；（3）469-6211；（4）37×48+59×610。3．求下列各除法算式所得的余數：（1）5100÷4；（2）8111÷6；（3）488÷7 第9講 數字謎
（一）我們在三年級已經學習過一些簡單的數字謎問題。這兩講除了復習鞏固學過的知識外，還要學習一些新的內容。
例1 在下面算式等號左邊合適的地方添上括號，使等式成立：
5+7×8+12÷4-2＝20。
分析：等式右邊是20，而等式左邊算式中的7×8所得的積比20大得多。因此必須設法使這個積縮小一定的倍數，化大為小。
從整個算式來看，7×8是4的倍數，12也是4的倍數，5不能被4整除，因此可在7×8+12前后添上小括號，再除以4得17，5＋17-2=20。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程解：5+（7×8+12）÷4-2=20。
例2 把1～9這九個數字填到下面的九個□里，組成三個等式（每個數字只能填一次）：
分析與解：如果從加法與減法兩個算式入手，那么會出現許多種情形。如果從乘法算式入手，那么只有下面兩種可能：
2×3＝6或2×4＝8，所以應當從乘法算式入手。
因為在加法算式□+□=□中，等號兩邊的數相等，所以加法算式中的三個□內的三個數的和是偶數；而減法算式□-□=可以變形為加法算式□=□+□，所以減法算式中的三個□內的三個數的和也是偶數。于是可知，原題加減法算式中的六個數的和應該是偶數。
若乘法算式是2×4＝8，則剩下的六個數1，3，5，6，7，9的和是奇數，不合題意；
若乘法算式是2×3＝6，則剩下的六個數1，4，5，7，8，9可分為兩組：
4＋5＝9，8-7＝1（或8-1＝7）；
1＋7＝8，9－5＝4（或9－4＝5）。
所以答案為 與
綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程例3 下面的算式是由1～9九個數字組成的，其中“7”已填好，請將其余各數填入□，使得等式成立：
□□□÷□□=□-□=□-7。
分析與解：因為左端除法式子的商必大于等于2，所以右端被減數只能填9，由此知左端被除數的百位數只能填1，故中間減式有8-6，6-4，5-3和4-2四種可能。經逐一驗證，8-6，6-4和4-2均無解，只有當中間減式為5-3時有如下兩組解：
128÷64=5-3=9-7，或 164÷82＝5-3＝9-7。
例4 將1～9九個數字分別填入下面四個算式的九個□中，使得四個等式都成立：
□+□=6，□×□=8，□-□=6，□□÷□=8。
分析與解：因為每個□中要填不同的數字，對于加式只有兩種填法：1＋5或2＋4；對于乘式也只有兩種填法：1×8或2×4。加式與乘式的數字不能相同，搭配后只有兩種可能：（1）加式為1＋5，乘式為2×4；（2）加式為2+4，乘式為1×8。
對于（1），還剩3，6，7，8，9五個數字未填，減式只能是9-3，此時除式無法滿足；
對于（2），還剩3，5，6，7，9五個數字未填，減式只能是9-3，此時除式可填56÷7。答案如下：
2＋4＝6，1×8＝8，9－3＝6，56÷7＝8。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
例2～例4都是對題目經過初步分析后，將滿足題目條件的所有可能情況全部列舉出來，再逐一試算，決定取舍。這種方法叫做枚舉法，也叫窮舉法或列舉法，它適用于只有幾種可能情況的題目，如果可能的情況很多，那么就不宜用枚舉法。
例5 從1～9這九個自然數中選出八個填入下式的八個○內，使得算式的結果盡可能大：
[○÷○×（○+○）]-[○×○+○-○]。
分析與解：為使算式的結果盡可能大，應當使前一個中括號內的結果盡量大，后一個中括號內的結果盡量小。為敘述方便，將原式改寫為：
[A÷B×（C＋D）]-[E×F＋G－H]。
通過分析，A，C，D，H應盡可能大，且A應最大，C，D次之，H再次之；B，E，F，G應盡可能小，且B應最小，E，F次之，G再次之。于是得到A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2，F=3，G=4，其中C與D，E與F的值可互換。將它們代入算式，得到
[9÷1×（8＋7）]－[2×3＋4－6]=131。
練習9
1．在下面的算式里填上括號，使等式成立：
（1）4×6+24÷6-5=15；
（2）4×6+24÷6-5=35；
（3）4×6+24÷6-5=48；
（4）4×6+24÷6-5＝0。
2．加上適當的運算符號和括號，使下式成立：
＝100。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
3．把0～9這十個數字填到下面的□里，組成三個等式（每個數字只能填一次）：
□+□=□，□-□=□，□×□=□□。
4．在下面的□里填上+，-，×，÷，（）等符號，使各個等式成立：
4□4□4□4＝1，4□4□4□4＝3，4□4□4□4＝5，4□4□4□4＝9。
5．將2～7這六個數字分別填入下式的□中，使得等式成立：
□+□-□=□×□÷□。
6．將1～9分別填入下式的九個□內，使算式取得最大值：
□□□×□□□×□□□。
7．將1～8分別填入下式的八個□內，使算式取得最小值： □□×□□×□□×□□。
第10講 數字謎
（二）例1 把下面算式中缺少的數字補上：
分析與解：一個四位數減去一個三位數，差是一個兩位數，也就是說被減數與減數相差不到100。四位數與三位數相差不到100，三位數必然大于900，四位數必然小于1100。由此我們找出解決本題的突破口在百位數上。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
（1）填百位與千位。由于被減數是四位數，減數是三位數，差是兩位數，所以減數的百位應填9，被減數的千位應填1，百位應填0，且十位相減時必須向百位借1。
（2）填個位。由于被減數個位數字是0，差的個位數字是1，所以減數的個位數字是9。
（3）填十位。由于個位向十位借1，十位又向百位借1，所以被減數十位上的實際數值是18，18分解成兩個一位數的和，只能是9與9，因此，減數與差的十位數字都是9。
所求算式如右式。
由例1看出，考慮減法算式時，借位是一個重要條件。
例2 在下列各加法算式中，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字，求出這兩個算式：
分析與解：（1）這是一道四個數連加的算式，其特點是相同數位上的數字相同，且個位與百位上的數字相同，即都是漢字“學”。
從個位相同數相加的情況來看，和的個位數字是8，有兩種可能情況：2＋2＋2＋2＝8與7＋7＋7＋7＝28，即“學”＝2或7。
如果“學”＝2，那么要使三個“數”所代表的數字相加的和的個位數字為8，“數”只能代表數字6。此時，百位上的和為“學”＋“學”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。因此“學”≠2。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
如果“學”＝7，那么要使三個“數”所代表的數字相加再加上個位進位的2，和的個位數字為8，“數”只能代表數字2。百位上兩個7相加要向千位進位1，由此可得“我”代表數字3。
滿足條件的解如右式。
（2）由千位看出，“努”=4。由千、百、十、個位上都有“努”，5432-4444=988，可將豎式簡化為左下式。同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可將左下式簡化為下中式，從而求出“學”=9，“習”=1。
滿足條件的算式如右下式。
例2中的兩題形式類似，但題目特點并不相同，解法也不同，請同學們注意比較。
例3 下面豎式中每個漢字代表一個數字，不同的漢字代表不同的數字，求被乘數。
分析與解：由于個位上的“賽”ד賽”所得的積不再是“賽”，而是另一個數，所以“賽”的取值只能是2，3，4，7，8，9。
下面采用逐一試驗的方法求解。
（1）若“賽”＝2，則“數”＝4，積=444444。被乘數為444444÷2＝222222，而被乘數各個數位上的數字各不相同，所以“賽”≠2。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
（2）若“賽”＝3，則“數”=9，仿（1）討論，也不行。
（3）若“賽”＝4，則“數”＝6，積=666666。666666÷4得不到整數商，不合題意。
（4）若“賽”＝7，則“數”＝9，積=999999。被乘數為999999÷7＝142857，符合題意。
（5）若“賽”＝8或9，仿上討論可知，不合題意。
所以，被乘數是142857。
例4 在□內填入適當的數字，使左下式的乘法豎式成立。
分析與解：為清楚起見，我們用A，B，C，D，?表示□內應填入的數字（見右上式）。
由被乘數大于500知，E=1。由于乘數的百位數與被乘數的乘積的末位數是5，故B，C中必有一個是5。若C＝5，則有
6□□×5=（600+□□）×5=3000+□□×5，不可能等于□5□5，與題意不符，所以B=5。再由B=5推知G=0或5。若G=5，則F=A=9，此時被乘數為695，無論C為何值，它與695的積不可能等于□5□5，與題意不符，所以G=0，F=A=4。此時已求出被乘數是645，經試驗只有645×7滿足□5□5，所以C=7；最后由B=5，G=0知D為偶數，經試驗知D=2。
右式為所求豎式。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
此類乘法豎式題應根據已給出的數字、乘法及加法的進位情況，先填比較容易的未知數，再依次填其余未知數。有時某未知數有幾種可能取值，需逐一試驗決定取舍。
例5 在□內填入適當數字，使左下方的除法豎式成立。
分析與解：把左上式改寫成右上式。根據除法豎式的特點知，B=0，D=G=1，E=F=H=9，因此除數應是99的兩位數的約數，可能取值有11，33和99，再由商的個位數是5以及5與除數的積是兩位數得到除數是11，進而知A＝C-9。至此，除數與商都已求出，其余未知數都可填出（見右式）。
此類除法豎式應根據除法豎式的特點，如商的空位補0、余數必須小于除數，以及空格間的相互關系等求解，只要求出除數和商，問題就迎刃而解了。
例6 把左下方除法算式中的*號換成數字，使之成為一個完整的式子（各*所表示的數字不一定相同）。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
分析與解：由上面的除法算式容易看出，商的十位數字“*”是0，即商為。
因為除數與8的積是兩位數，除數與商的千位數字的積是三位數，知商的千位數是9，即商為9807。
因為“除數×9”是三位數，所以除數≥12；又因為“除數×8”是兩位數，所以除數≤12。推知除數只能是12。被除數為9807×12＝117684。
除法算式如上頁右式。練習10
1．在下面各豎式的□內填入合適的數字，使豎式成立：
2．右面的加法算式中，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字。問：“小”代表什么數字？
3．在下列各算式中，不同的漢字代表不同的數字相同的漢字代表相同的數字。求出下列各式： 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
4．在下列各算式中，相同的字母代表相同的數字，不同的字母代表不同的數字。這些算式中各字母分別代表什么數字？
第11講 歸一問題與歸總問題
在解答某些應用題時，常常需要先找出“單一量”，然后以這個“單一量”為標準，根據其它條件求出結果。用這種解題思路解答的應用題，稱為歸一問題。所謂“單一量”是指單位時間的工作量、物品的單價、單位面積的產量、單位時間所走的路程等。
例1 一種鋼軌，4根共重1900千克，現在有95000千克鋼，可以制造這種鋼軌多少根？（損耗忽略不計）
分析：以一根鋼軌的重量為單一量。
（1）一根鋼軌重多少千克？
1900÷4＝475（千克）。
（2）95000千克能制造多少根鋼軌？
95000÷475＝200（根）。
解：95000÷（1900÷4）＝200（根）。
答：可以制造200根鋼軌。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程例2 王家養了5頭奶牛，7天產牛奶630千克，照這樣計算，8頭奶牛15天可產牛奶多少千克？
分析：以1頭奶牛1天產的牛奶為單一量。
（1）1頭奶牛1天產奶多少千克？
630÷5÷7＝18（千克）。
（2）8頭奶牛15天可產牛奶多少千克？
18×8×15＝2160（千克）。
解：（630÷5÷7）×8×15=2160（千克）。
答：可產牛奶2160千克。
例3 三臺同樣的磨面機2.5時可以磨面粉2400千克，8臺這樣的磨面機磨25600千克面粉需要多少時間？
分析與解：以1臺磨面機1時磨的面粉為單一量。
（1）1臺磨面機1時磨面粉多少千克？
2400÷3÷2.5=320（千克）。
（2）8臺磨面機磨25600千克面粉需要多少小時？
25600÷320÷8=10（時）。
綜合列式為
25600÷（2400÷3÷2.5）÷8=10（時）。
例4 4輛大卡車運沙土，7趟共運走沙土336噸。現在有沙土420噸，要求5趟運完。問：需要增加同樣的卡車多少輛？ 分析與解：以1輛卡車1趟運的沙土為單一量。
（1）1輛卡車1趟運沙土多少噸？
336÷4÷7=12（噸）。
（2）5趟運走420噸沙土需卡車多少輛？ 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
420÷12÷5＝7（輛）。
（3）需要增加多少輛卡車？
7-4＝3（輛）。
綜合列式為
420÷（336÷4÷7）÷5-4＝3（輛）。
與歸一問題類似的是歸總問題，歸一問題是找出“單一量”，而歸總問題是找出“總量”，再根據其它條件求出結果。所謂“總量”是指總路程、總產量、工作總量、物品的總價等。
例5 一項工程，8個人工作15時可以完成，如果12個人工作，那么多少小時可以完成？
分析：（1）工程總量相當于1個人工作多少小時？
15×8＝120（時）。
（2）12個人完成這項工程需要多少小時？
120÷12＝10（時）。解：15×8÷12＝10（時）。
答：12人需10時完成。
例6 一輛汽車從甲地開往乙地，每小時行60千米，5時到達。若要4時到達，則每小時需要多行多少千米？
分析：從甲地到乙地的路程是一定的，以路程為總量。
（1）從甲地到乙地的路程是多少千米？
60×5=300（千米）。
（2）4時到達，每小時需要行多少千米？
300÷4＝75（千米）。
（3）每小時多行多少千米？ 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
75－60＝15（千米）。
解：（60×5）÷4——60＝15（千米）。
答：每小時需要多行15千米。
例7 修一條公路，原計劃60人工作，80天完成。現在工作20天后，又增加了30人，這樣剩下的部分再用多少天可以完成？
分析：（1）修這條公路共需要多少個勞動日（總量）？
60×80＝4800（勞動日）。
（2）60人工作20天后，還剩下多少勞動日？
4800-60×20=3600（勞動日）。
（3）剩下的工程增加30人后還需多少天完成？
3600÷（60＋30）=40（天）。
解：（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。
答：再用40天可以完成。
練習11
1．2臺拖拉機4時耕地20公頃，照這樣速度，5臺拖拉機6時可耕地多少公頃？
2．4臺織布機5時可以織布2600米，24臺織布機幾小時才能織布24960米？
3．一種幻燈機，5秒鐘可以放映80張片子。問：48秒鐘可以放映多少張片子？
4．3臺抽水機8時灌溉水田48公頃，照這樣的速度，5臺同樣的抽水機6時可以灌溉水田多小公頃？ 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
5．平整一塊土地，原計劃8人平整，每天工作7.5時，6天可以完成任務。由于急需播種，要求5天完成，并且增加1人。問：每天要工作幾小時？
6．食堂管理員去農貿市場買雞蛋，原計劃按每千克3.00元買35千克。結果雞蛋價格下調了，他用這筆錢多買了2.5千克雞蛋。問：雞蛋價格下調后是每千克多少元？
7．鍋爐房按照每天4.5噸的用量儲備了120天的供暖煤。供暖40天后，由于進行了技術改造，每天能節約0.9噸煤。問：這些煤共可以供暖多少天？
第12講 年齡問題
年齡問題是一類以“年齡為內容”的數學應用題。
年齡問題的主要特點是：二人年齡的差保持不變，它不隨歲月的流逝而改變；二人的年齡隨著歲月的變化，將增或減同一個自然數；二人年齡的倍數關系隨著年齡的增長而發生變化，年齡增大，倍數變小。
根據題目的條件，我們常將年齡問題化為“差倍問題”、“和差問題”、“和倍問題”進行求解。
例1 兒子今年10歲，5年前母親的年齡是他的6倍，母親今年多少歲？ 分析與解：兒子今年10歲，5年前的年齡為5歲，那么5年前母親的年齡為5×6＝30（歲），因此母親今年是
30＋5=35（歲）。
例2 今年爸爸48歲，兒子20歲，幾年前爸爸的年齡是兒子的5倍？ 分析與解：今年爸爸與兒子的年齡差為“48——20”歲，因為二人的年齡差不隨時間的變化而改變，所以當爸爸的年齡為兒子的5倍時，兩人的年綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程齡差還是這個數，這樣就可以用“差倍問題”的解法。當爸爸的年齡是兒子年齡的5倍時，兒子的年齡是
（48——20）÷（5——1）＝7（歲）。
由20－7＝13（歲），推知13年前爸爸的年齡是兒子年齡的5倍。例3 兄弟二人的年齡相差5歲，兄3年后的年齡為弟4年前的3倍。問：兄、弟二人今年各多少歲？
分析與解：根據題意，作示意圖如下：
由上圖可以看出，兄3年后的年齡比弟4年前的年齡大5＋3＋4＝12（歲），由“差倍問題”解得，弟4年前的年齡為（5＋3＋4）÷（3－1）＝6（歲）。由此得到
弟今年6＋4＝10（歲），兄今年10＋5＝15（歲）。
例4 今年兄弟二人年齡之和為55歲，哥哥某一年的歲數與弟弟今年的歲數相同，那一年哥哥的歲數恰好是弟弟歲數的2倍，請問哥哥今年多少歲？ 分析與解：在哥哥的歲數是弟弟的歲數2倍的那一年，若把弟弟歲數看成一份，那么哥哥的歲數比弟弟多一份，哥哥與弟弟的年齡差是1份。又因為那一年哥哥歲數與今年弟弟歲數相等，所以今年弟弟歲數為2份，今年哥哥歲數為2＋1=3（份）（見下頁圖）。
由“和倍問題”解得，哥哥今年的歲數為
55÷(3+2)×3=33(歲)。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
例5 哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等，哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲，請問二人今年各多少歲？
分析與解：由“哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等”可知兄妹二人的年齡差為“4＋5”歲。由“哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲”，可知兄妹二人今年的年齡和為“97——2——8”歲。由“和差問題”解得，兄[（97——2——8）＋（4＋5）]÷2＝48（歲），妹[（97——2——8）-（4＋5）]÷2=39（歲）。
例6 1994年父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的4倍。2000年，父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的2倍。問：父親出生在哪一年？
分析與解：如果用1段線表示兄弟二人1994年的年齡和，則父親1994年的年齡要用4段線來表示（見下頁圖）。
父親在2000年的年齡應是4段線再加6歲，而兄弟二人在2000年的年齡之和是1段線再加2×6＝12（歲），它是父親年齡的一半，也就是2段線再加3歲。由
1段＋12歲=2段＋3歲，推知1段是9歲。所以父親1994年的年齡是9×4＝36（歲），他出生于 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
1994——36＝1958（年）。
例7今年父親的年齡為兒子的年齡的4倍，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍。問：父子今年各多少歲？
解法一：假設父親的年齡一直是兒子年齡的4倍，那么每過一年兒子增加一歲，父親就要增加4歲。這樣，20年后兒子增加20歲，父親就要增加80歲，比兒子多增加了80－20＝60（歲）。
事實上，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍，根據剛才的假設，多增加的60歲，正好相當于20年后兒子年齡的（4——2＝）2倍，因此，今年兒子的年齡為
（20×4－20）÷（4－2）－20＝10（歲），父親今年的年齡為10×4＝40（歲）。
解法二：如果用1段線表示兒子今年的年齡，那么父親今年的年齡要用4段線來表示（見下圖）。
20年后，父親的年齡應是4段線再加上20歲，而兒子的年齡應是1段線再加上20歲，是父親年齡的一半，也就是2段線再加上10歲。由
1段＋20=2段＋10，求得1段是10歲，即兒子今年10歲，從而父親今年40歲。例8 今年爺爺78歲，長孫27歲，次孫23歲，三孫16歲。問：幾年后爺爺的年齡等于三個孫子年齡之和？
分析：今年三個孫子的年齡和為27＋23＋16=66（歲），爺爺比三個孫子的年齡和多78——66＝12（歲）。每過一年，爺爺增加一歲，而三個綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程孫子的年齡和卻要增加1＋1＋1＝3（歲），比爺爺多增加3－1＝2（歲）。因而只需求出12里面有幾個2即可。
解：[78－（27＋23＋16）]÷（1＋1＋1－1）＝6（年）。
答：6年后爺爺的年齡等于三個孫子年齡的和。
練習12
1．父親比兒子大30歲，明年父親的年齡是兒子年齡的3倍，那么今年兒子幾歲？
2．王梅比舅舅小19歲，舅舅的年齡比王梅年齡的3倍多1歲。問：他們二人各幾歲？
3．小明今年9歲，父親39歲，再過多少年父親的年齡正好是小明年齡的2倍？
4．父親年齡是女兒的4倍，三年前父女年齡之和是49歲。問：父女兩人現在各多少歲？
5．一家三口人，三人年齡之和是74歲，媽媽比爸爸小2歲，媽媽的年齡是兒子年齡的4倍。問：三人各是多少歲？
6．今年老師46歲，學生16歲，幾年后老師年齡的2倍與學生年齡的5倍相等？
7．已知祖孫三人，祖父和父親年齡的差與父親和孫子年齡的差相同，祖父和孫子年齡之和為82歲，明年祖父的年齡恰好等于孫子年齡的5倍。問：祖孫三人各多少歲？
8．小樂問劉老師今年有多少歲，劉老師說：“當我像你這么大時，你才3歲；當你像我這么大時，我已經42歲了。”你能算出劉老師有多少歲嗎？
第13講 雞兔同籠問題與假設法 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
雞兔同籠問題是按照題目的內容涉及到雞與兔而命名的，它是一類有名的中國古算題。許多小學算術應用題，都可以轉化為雞兔同籠問題來加以計算。
例1 小梅數她家的雞與兔，數頭有16個，數腳有44只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？
分析：假設16只都是雞，那么就應該有2×16＝32（只）腳，但實際上有44只腳，比假設的情況多了44-32＝12（只）腳，出現這種情況的原因是把兔當作雞了。如果我們以同樣數量的兔去換同樣數量的雞，那么每換一只，頭的數目不變，腳數增加了2只。因此只要算出12里面有幾個2，就可以求出兔的只數。
解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有雞16-6＝10（只）。
答：有6只兔，10只雞。
當然，我們也可以假設16只都是兔子，那么就應該有4×16＝64（只）腳，但實際上有44只腳，比假設的情況少了64－44＝20（只）腳，這是因為把雞當作兔了。我們以雞去換兔，每換一只，頭的數目不變，腳數減少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有幾個2，就可以求出雞的只數。
有雞（4×16-44）÷（4-2）=10（只），有兔16——10＝6（只）。
由例1看出，解答雞兔同籠問題通常采用假設法，可以先假設都是雞，然后以兔換雞；也可以先假設都是兔，然后以雞換兔。因此這類問題也叫置換問題。
例2 100個和尚140個饃，大和尚1人分3個饃，小和尚1人分1個饃。問：大、小和尚各有多少人？ 綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程分析與解：本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設法來解。
假設100人全是大和尚，那么共需饃300個，比實際多300－140＝160（個）。現在以小和尚去換大和尚，每換一個總人數不變，而饃就要減少3——1＝2（個），因為160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有
100－80＝20（人）。
同樣，也可以假設100人都是小和尚，同學們不妨自己試試。
在下面的例題中，我們只給出一種假設方法。
例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多少套？
分析與解：我們設想有一只“怪雞”有1個頭11只腳，一種“怪兔”有1個頭19只腳，它們共有16個頭，280只腳。這樣，就將買文化用品問題轉換成雞兔同籠問題了。
假設買了16套彩色文化用品，則共需19×16＝304（元），比實際多304——280＝24（元），現在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套少用19——11＝8（元），所以
買普通文化用品 24÷8=3（套），買彩色文化用品 16－3＝13（套）。
例4 雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少只？
分析：假設100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實際上只多20只，這說明假設的雞腳比兔腳多的數比實際上多200——20=180（只）。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程
現在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數中就會減少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，雞100——30＝70（只）。
解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），有雞100——30=70（只）。
答：有雞70只，兔30只。
例5 現有大、小油瓶共50個，每個大瓶可裝油4千克，每個小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。問：大、小瓶各有多少個？
分析：本題與例4非常類似，仿照例4的解法即可。解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（個），大瓶有50-30＝20（個）。
答：有大瓶20個，小瓶30個。
例6 一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？
分析：要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。
利用假設法，假設只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因為每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下4×36=144（噸）。根據條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9（輛）小卡車。這樣每輛小卡車能裝144÷9＝16（噸）。由此可求出這批鋼材有多少噸。解：4×36÷（45-36）×45＝720（噸）。
答：這批鋼材有720噸。綠藤星教育（***）----小學奧數基礎教程例7 樂樂百貨商店委托搬運站運送500只花瓶，雙方商定每只運費0.24元，但如果發生損壞，那么每打破一只不僅不給運費，而且還要賠償1.26元，結果搬運站共得運費115.5元。問：搬運過程中共打破了幾只花瓶？
分析：假設500只花瓶在搬運過程中一只也沒有打破，那么應得運費0.24×500=120（元）。實際上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬運站每打破一只花瓶要損失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。
解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。
答：共打破3只花瓶。
例8 小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？
分析與解：利用假設法，假設小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數減少了
12×（2＋3）＝60（下）。
可求出小樂每分鐘跳
（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），小樂一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小樂共多跳
780——270×2＝240（下）。練習13
1．雞、兔共有頭100個，腳350只，雞、兔各有多少只？
2．學校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個學生進行活動。問：象棋與跳棋各有多少副？
第四篇：小學六年級奧數教案
小學六年級奧數教案：行程問題
第一講 行程問題
走路、行車、一個物體的移動，總是要涉及到三個數量： 距離走了多遠，行駛多少千米，移動了多少米等等;速度在單位時間內(例如1小時內)行走或移動的距離;時間行走或移動所花時間.這三個數量之間的關系，可以用下面的公式來表示： 距離=速度×時間
很明顯，只要知道其中兩個數量，就馬上可以求出第三個數量.從數學上說，這是一種最基本的數量關系，在小學的應用題中，這樣的數量關系也是最常見的，例如
總量=每個人的數量×人數.工作量=工作效率×時間.因此，我們從行程問題入手，掌握一些處理這種數量關系的思路、方法和技巧，就能解其他類似的問題.當然，行程問題有它獨自的特點，在小學的應用題中，行程問題的內容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學，而且在中學數學、物理的學習中，也是一個重點內容.因此，我們非常希望大家能學好這一講，特別是學會對一些問題的思考方法和處理技巧.這一講，用5千米/小時表示速度是每小時5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米
一、追及與相遇
有兩個人同時在行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他.這就產生了“追及問題”.實質上，要算走得快的人在某一段時間內，比走得慢的人多走的距離，也就是要計算兩人走的距離之差.如果設甲走得快，乙走得慢，在相同時間內，甲走的距離-乙走的距離
= 甲的速度×時間-乙的速度×時間 =(甲的速度-乙的速度)×時間.通常，“追及問題”要考慮速度差.例1 小轎車的速度比面包車速度每小時快6千米，小轎車和面包車同時從學校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達城門，當面包車到達城門時，小轎車已離城門9千米，問學校到城門的距離是多少千米? 解：先計算，從學校開出，到面包車到達城門用了多少時間.此時，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時，因此
所用時間=9÷6=1.5(小時).小轎車比面包車早10分鐘到達城門，面包車到達時，小轎車離城門9千米，說明小轎車的速度是
面包車速度是 54-6=48(千米/小時).城門離學校的距離是 48×1.5=72(千米).答：學校到城門的距離是72千米.例2 小張從家到公園，原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米.問家到公園多遠? 解一：可以作為“追及問題”處理.假設另有一人，比小張早10分鐘出發.考慮小張以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時間是
×10÷(75-50)= 20(分鐘)? 因此，小張走的距離是 75× 20= 1500(米).答：從家到公園的距離是1500米.還有一種不少人采用的方法.家到公園的距離是
一種解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“計算方便”.那么你更喜歡哪一種解法呢?對不同的解法進行比較，能逐漸形成符合你思維習慣的解題思路.例3 一輛自行車在前面以固定的速度行進，有一輛汽車要去追趕.如果速度是30千米/小時，要1小時才能追上;如果速度是 35千米/小時，要 40分鐘才能追上.問自行車的速度是多少? 解一：自行車1小時走了 30×1-已超前距離，自行車40分鐘走了
自行車多走20分鐘，走了
因此，自行車的速度是
答：自行車速度是20千米/小時.解二：因為追上所需時間=追上距離÷速度差
1小時與40分鐘是3∶2.所以兩者的速度差之比是2∶3.請看下面示意圖：
馬上可看出前一速度差是15.自行車速度是 35-15= 20(千米/小時).解二的想法與第二講中年齡問題思路完全類同.這一解法的好處是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8點8分，小明騎自行車從家里出發，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分? 解：畫一張簡單的示意圖：
圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-4=4(千米).而爸爸騎的距離是 4+ 8= 12(千米).這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 12÷4=3(倍).按照這個倍數計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×3=24(千米).但事實上，爸爸少用了8分鐘，騎行了 4+12=16(千米).少騎行24-16=8(千米).摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.8+8+16=32.答：這時是8點32分.下面講“相遇問題”.小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實質上是小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時出發，那么 甲走的距離+乙走的距離 =甲的速度×時間+乙的速度×時間 =(甲的速度+乙的速度)×時間.“相遇問題”，常常要考慮兩人的速度和.例5 小張從甲地到乙地步行需要36分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘.他們同時出發，幾分鐘后兩人相遇? 解：走同樣長的距離，小張花費的時間是小王花費時間的 36÷12=3(倍)，因此自行車的速度是步行速度的3倍，也可以說，在同一時間內，小王騎車走的距離是小張步行走的距離的3倍.如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段，小王走了3段，小張走了1段，小張花費的時間是 36÷(3+1)=9(分鐘).答：兩人在9分鐘后相遇.例6 小張從甲地到乙地，每小時步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時步行4千米.兩人同時出發，然后在離甲、乙兩地的中點1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離.解：畫一張示意圖
離中點1千米的地方是A點，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發到相遇，小張比小王多走了2千米
小張比小王每小時多走(5-4)千米，從出發到相遇所用的時間是 2÷(5-4)=2(小時).因此，甲、乙兩地的距離是(5+ 4)×2=18(千米).本題表面的現象是“相遇”，實質上卻要考慮“小張比小王多走多少?”豈不是有“追及”的特點嗎?對小學的應用題，不要簡單地說這是什么問題.重要的是抓住題目的本質，究竟考慮速度差，還是考慮速度和，要針對題目中的條件好好想一想.千萬不要“兩人面對面”就是“相遇”，“兩人一前一后”就是“追及”.請再看一個例子.例7 甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發，相向而行，6小時后相遇于C點.如果甲車速度不變，乙車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發相向而行，則相遇地點距C點12千米;如果乙車速度不變，甲車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發相向而行，則相遇地點距C點16千米.求A，B兩地距離.解：先畫一張行程示意圖如下
設乙加速后與甲相遇于D點，甲加速后與乙相遇于E點.同時出發后的相遇時間，是由速度和決定的.不論甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來都增加5千米，因此，不論在D點相遇，還是在E點相遇，所用時間是一樣的，這是解決本題的關鍵.下面的考慮重點轉向速度差.在同樣的時間內，甲如果加速，就到E點，而不加速，只能到 D點.這兩點距離是 12+ 16= 28(千米)，加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時.因此，在D點
(或E點)相遇所用時間是 28÷5= 5.6(小時).比C點相遇少用 6-5.6=0.4(小時).甲到達D，和到達C點速度是一樣的，少用0.4小時，少走12千米，因此甲的速度是
12÷0.4=30(千米/小時).同樣道理，乙的速度是 16÷0.4=40(千米/小時).A到 B距離是(30+ 40)×6= 420(千米).答： A，B兩地距離是 420千米.很明顯，例7不能簡單地說成是“相遇問題”.例8 如圖，從A到B是1千米下坡路，從B到C是3千米平路，從C到D是2.5千米上坡路.小張和小王步行，下坡的速度都是6千米/小時，平路速度都是4千米/小時，上坡速度都是2千米/小時.問：(1)小張和小王分別從A，D同時出發，相向而行，問多少時間后他們相遇?(2)相遇后，兩人繼續向前走，當某一個人達到終點時，另一人離終點還有多少千米? 解：(1)小張從 A到 B需要 1÷6×60= 10(分鐘);小王從 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60= 25(分鐘);當小王到達 C點時，小張已在平路上走了 25-10=15(分鐘)，走了
因此在 B與 C之間平路上留下 3-1= 2(千米)由小張和小王共同相向而行，直到相遇，所需時間是 2 ÷(4+ 4)×60= 15(分鐘).從出發到相遇的時間是 25+ 15= 40(分鐘).(2)相遇后，小王再走30分鐘平路，到達B點，從B點到 A點需要走 1÷2×60=30分鐘，即他再走 60分鐘到達終點.小張走15分鐘平路到達D點，45分鐘可走
小張離終點還有2.5-1.5=1(千米).答：40分鐘后小張和小王相遇.小王到達終點時，小張離終點還有1千米.二、環形路上的行程問題
人在環形路上行走，計算行程距離常常與環形路的周長有關.例9 小張和小王各以一定速度，在周長為500米的環形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.(1)小張和小王同時從同一地點出發，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分?(2)小張和小王同時從同一點出發，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王? 解：(1)75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來跑了一個周長的行程.小張的速度是 500÷1.25-180=220(米/分).(2)在環形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈(一個周長)，因此需要的時間是
500÷(220-180)=12.5(分).220×12.5÷500=5.5(圈).答：(1)小張的速度是220米/分;(2)小張跑5.5圈后才能追上小王.例10 如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張在A點，小王在B點同時出發反向行走，他們在C點第一次相遇，C離A點80米;在D點第二次相遇，D點離B點6O米.求這個圓的周長.解：第一次相遇，兩人合起來走了半個周長;第二次相遇，兩個人合起來又走了一圈.從出發開始算，兩個人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時兩人合起來所走的行程是第一次相遇時合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應該是從A到C距離的3倍，即A到D是 80×3=240(米).240-60=180(米).180×2=360(米).答：這個圓的周長是360米.在一條路上往返行走，與環行路上行走，解題思考時極為類似，因此也歸入這一節.例11 甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發，在兩村之間往返行走(到達另一村后就馬上返回).在出發后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少? 解：畫示意圖如下：
如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時間是 40×3÷60=2(小時).從圖上可以看出從出發至第二次相遇，小張已走了 6×2-2=10(千米).小王已走了 6+2=8(千米).因此，他們的速度分別是 小張 10÷2=5(千米/小時)，小王 8÷2=4(千米/小時).答：小張和小王的速度分別是5千米/小時和4千米/小時.例12 小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發，在兩村之間往返行走(到達另一村后就馬上返回)，他們在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點離乙村多遠(相遇指迎面相遇)? 解：畫示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了 3.5×3=10.5(千米).從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是 10.5-2=8.5(千米).每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時，兩人已共同走了兩村距離(3+2+2)倍的行程.其中張走了 3.5×7=24.5(千米)，24.5=8.5+8.5+7.5(千米).就知道第四次相遇處，離乙村 8.5-7.5=1(千米).答：第四次相遇地點離乙村1千米.下面仍回到環行路上的問題.例13 繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點同時出發反向而行.小王以4千米/小時速度每走1小時后休息5分鐘;小張以6千米/小時速度每走50分鐘后休息10分鐘.問：兩人出發多少時間第一次相遇? 解：小張的速度是6千米/小時，50分鐘走5千米我們可以把他們出發后時間與行程列出下表：
12+15=27比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發后2小時10分至3小時15分之間.出發后2小時10分小張已走了
此時兩人相距 24-(8+11)=5(千米).由于從此時到相遇已不會再休息，因此共同走完這5千米所需時間是 5÷(4+6)=0.5(小時).2小時10分再加上半小時是2小時40分.答：他們相遇時是出發后2小時40分.例14 一個圓周長90厘米，3個點把這個圓周分成三等分，3只爬蟲A，B，C分別在這3個點上.它們同時出發，按順時針方向沿著圓周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只
爬蟲出發后多少時間第一次到達同一位置? 解：先考慮B與C這兩只爬蟲，什么時候能到達同一位置.開始時，它們相差30厘米，每秒鐘B能追上C(5-3)厘米0.30÷(5-3)=15(秒).因此15秒后B與C到達同一位置.以后再要到達同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要 90÷(5-3)=45(秒).B與C到達同一位置，出發后的秒數是 15，105，150，195，…… 再看看A與B什么時候到達同一位置.第一次是出發后 30÷(10-5)=6(秒)，以后再要到達同一位置是A追上B一圈.需要 90÷(10-5)=18(秒)，A與B到達同一位置，出發后的秒數是 6，24，42，78，96，…
對照兩行列出的秒數，就知道出發后60秒3只爬蟲到達同一位置.答：3只爬蟲出發后60秒第一次爬到同一位置.請思考，3只爬蟲第二次到達同一位置是出發后多少秒? 例15 圖上正方形ABCD是一條環形公路.已知汽車在AB上的速度是90千米/小時，在BC上的速度是120千米/小時，在CD上的速度是60千米/小時，在DA上的速度是80千米/小時.從CD上一點P，同時反向各發出一輛汽車，它們將在AB中點相遇.如果從PC中點M，同時反向各發出一輛汽車，它們將在AB上一點N處相遇.求
解：兩車同時出發至相遇，兩車行駛的時間一樣多.題中有兩個“相遇”，解題過程就是時間的計算.要計算方便，取什么作計算單位是很重要的.設汽車行駛CD所需時間是1.根據“走同樣距離，時間與速度成反比”，可得出
分數計算總不太方便，把這些所需時間都乘以24.這樣，汽車行駛CD，BC，AB，AD所需時間分別是24，12，16，18.從P點同時反向各發一輛車，它們在AB中點相遇.P→D→A與 P→C→B所用時間相等.PC上所需時間-PD上所需時間 =DA所需時間-CB所需時間 =18-12 =6.而(PC上所需時間+PD上所需時間)是CD上所需時間24.根據“和差”計算得 PC上所需時間是(24+6)÷2=15，PD上所需時間是24-15=9.現在兩輛汽車從M點同時出發反向而行，M→P→D→A→N與M→C→B→N所用時間相等.M是PC中點.P→D→A→N與C→B→N時間相等，就有 BN上所需時間-AN上所需時間 =P→D→A所需時間-CB所需時間 =(9+18)-12 = 15.BN上所需時間+AN上所需時間=AB上所需時間 =16.立即可求BN上所需時間是15.5，AN所需時間是0.5.從這一例子可以看出，對要計算的數作一些準備性處理，會使問題變得簡單些.三、稍復雜的問題
在這一節希望讀者逐漸掌握以下兩個解題技巧：(1)在行程中能設置一個解題需要的點;(2)靈活地運用比例.例16 小王的步行速度是4.8千米/小時，小張的步行速度是5.4千米/小時，他們兩人從甲地到乙地去.小李騎自行車的速度是10.8千米/小時，從乙地到甲地去.他們3人同時出發，在小張與小李相遇后5分鐘，小王又與小李相遇.問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時間? 解：畫一張示意圖：
圖中A點是小張與小李相遇的地點，圖中再設置一個B點，它是張、李兩人相遇時小王到達的地點.5分鐘后小王與小李相遇，也就是5分鐘的時間，小王和小李共同走了B與A之間這段距離，它等于
這段距離也是出發后小張比小王多走的距離，小王與小張的速度差是(5.4-4.8)千米/小時.小張比小王多走這段距離，需要的時間是 1.3÷(5.4-4.8)×60=130(分鐘).這也是從出發到張、李相遇時已花費的時間.小李的速度10.8千米/小時是小張速度5.4千米/小時的2倍.因此小李從A到甲地需要 130÷2=65(分鐘).從乙地到甲地需要的時間是 130+65=195(分鐘)=3小時15分.答：小李從乙地到甲地需要3小時15分.上面的問題有3個人，既有“相遇”，又有“追及”，思考時要分幾個層次，弄清相互間的關系，問題也就迎刃而解了.在圖中設置一個B點，使我們的思考直觀簡明些.例17 小玲和小華姐弟倆正要從公園門口沿馬路向東去某地，而他們的家要從公園門口沿馬路往西.小華問姐姐：“是先向西回家取了自行車，再騎車向東去，還是直接從公園門口步行向東去快”?姐姐算了一下說：“如果騎車與步行的速度比是4∶1，那么從公園門口到目的地的距離超過2千米時，回家取車才合算.”請推算一下，從公園到他們家的距離是多少米? 解：先畫一張示意圖
設A是離公園2千米處，設置一個B點，公園離B與公園離家一樣遠.如果從公園往西走到家，那么用同樣多的時間，就能往東走到B點.現在問題就轉變成： 騎車從家開始，步行從B點開始，騎車追步行，能在A點或更遠處追上步行.具體計算如下：
不妨設B到A的距離為1個單位，因為騎車速度是步行速度的4倍，所以從家到A的距離是4個單位，從家到B的距離是3個單位.公園到B是1.5個單位.從公園到A是 1+1.5=2.5(單位).每個單位是 2000÷2.5=800(米).因此，從公園到家的距離是 800×1.5=1200(米).答：從公園門口到他們家的距離是1200米.這一例子中，取計算單位給計算帶來方便，是值得讀者仿照采用的.請再看一例.例18 快車和慢車分別從A，B兩地同時開出，相向而行.經過5小時兩車相遇.已知慢車從B到A用了12.5小時，慢車到A停留半小時后返回.快車到B停留1小時后返回.問：兩車從第一次相遇到再相遇共需多少時間? 解：畫一張示意圖：
設C點是第一次相遇處.慢車從B到C用了5小時，從C到A用了12.5-5=7.5(小時).我們把慢車半小時行程作為1個單位.B到C10個單位，C到A15個單位.慢車每小時走2個單位，快車每小時走3個單位.有了上面“取單位”準備后，下面很易計算了.慢車從C到A，再加停留半小時，共8小時.此時快車在何處呢?去掉它在B停留1小時.快車行駛7小時，共行駛3×7=21(單位).從B到C再往前一個單位到D點.離A點15-1=14(單位).現在慢車從A，快車從D，同時出發共同行走14單位，相遇所需時間是 14÷(2+3)=2.8(小時).慢車從C到A返回行駛至與快車相遇共用了 7.5+0.5+2.8=10.8(小時).答：從第一相遇到再相遇共需10小時48分.例19 一只小船從A地到B地往返一次共用2小時.回來時順水，比去時的速度每小時多行駛8千米，因此第二小時比第一小時多行駛6千米.求A至B兩地距離.解：1小時是行駛全程的一半時間，因為去時逆水，小船到達不了B地.我們在B之前設置一個C點，是小船逆水行駛1小時到達處.如下圖
第二小時比第一小時多行駛的行程，恰好是C至B距離的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.為了示意小船順水速度比逆水速度每小時多行駛8千米，在圖中再設置D點，D至C是8千米.也就是D至A順水行駛時間是1小時.現在就一目了然了.D至B是5千米順水行駛，與C至B逆水行駛3千米時間一樣多.因此 順水速度∶逆水速度=5∶3.由于兩者速度差是8千米.立即可得出
A至B距離是 12+3=15(千米).答：A至B兩地距離是15千米.例20 從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時40千米，在第二段上，汽車速度是每小時90千米，在第三段上，汽車速度是每小時50千米.已知第一段公路的長恰好是第三段的2倍.現有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時出發，相向而行.1小時20分后，在第二段的
解一：畫出如下示意圖：
當從乙城出發的汽車走完第三段到C時，從甲城出發的汽車走完第一段的
到達D處，這樣，D把第一段分成兩部分
時20分相當于
因此就知道，汽車在第一段需要
第二段需要 30×3=90(分鐘);
甲、乙兩市距離是
答：甲、乙兩市相距185千米.把每輛車從出發到相遇所走的行程都分成三段，而兩車逐段所用時間都相應地一樣.這樣通過“所用時間”使各段之間建立了換算關系.這是一種典型的方法.例
8、例13也是類似思路，僅僅是問題簡單些.還可以用“比例分配”方法求出各段所用時間.第一段所用時間∶第三段所用時間=5∶2.時間一樣.第一段所用時間∶第二段所用時間=5∶9.因此，三段路程所用時間的比是 5∶9∶2.汽車走完全程所用時間是 80×2=160(分種).例21 一輛車從甲地開往乙地.如果車速提高20%，可以比原定時間提前一小時到達;如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25%，則可提前40分鐘到達.那么甲、乙兩地相距多少千米? 解：設原速度是1.%后，所用時間縮短到原時間的
這是具體地反映：距離固定，時間與速度成反比.用原速行駛需要
同樣道理，車速提高25%，所用時間縮短到原來的
如果一開始就加速25%，可少時間
現在只少了40分鐘，72-40=32(分鐘).說明有一段路程未加速而沒有少這個32分鐘，它應是這段路程所用時間
真巧，320-160=160(分鐘)，原速的行程與加速的行程所用時間一樣.因此全程長
答：甲、乙兩地相距270千米.十分有意思，按原速行駛120千米，這一條件只在最后用上.事實上，其他條件已完全確定了“原速”與“加速”兩段行程的時間的比例關系，當然也確定了距離的比例關系.全程長還可以用下面比例式求出，設全程長為x，就有 x∶120=72∶32
第五篇：小學奧數教案——循環小數
小學奧數教案---循環小數
一 本講學習目標
1、掌握循環小數化分數的法則，還要掌握該法則的推導方法——錯位相減法；
2、會進行分數與循環小數的互化；
3、掌握分數與循環小數的混合計算
二 概念解析
循環小數可分為有限循環小數，如：1.123123123（不可添加省略號）和無限循環小數，如：1.123123123……（有省略號）。前者是有限小數，后者是無限小數。
一、把循環小數的小數部分化成分數的規則
①純循環小數小數部分化成分數：將一個循環節的數字組成的數作為分子，分母的各位都是9，9的個數與循環節的位數相同，最后能約分的再約分。
②混循環小數小數部分化成分數：分子是第二個循環節以前的小數部分的數字組成的數與不循環部分的數字所組成的數之差，分母的頭幾位數字是9，9的個數與一個循環節的位數相同，末幾位是0，0的個數與不循環部分的位數相同。
二、分數轉化成循環小數的判斷方法：
①一個最簡分數，如果分母中既含有質因數2和5，又含有2和5以外的質因數，那么這個分數化成的小數必定是混循環小數。
②一個最簡分數，如果分母中只含有2和5以外的質因數，那么這個分數化成的小數必定是純循環小數。
三 例題講解
純循環小數化分數
從小數點后面第一位就循環的小數叫做純循環小數。例 把純循環小數化分數：
從以上例題可以看出，純循環小數的小數部分可以化成分數，這個分數的分子是一個循環節表示的數，分母各位上的數都是9。9的個數與循環節的位數相同。能約分的要約分。
混循環小數化分數
不是從小數點后第一位就循環的小數叫混循環小數。例 把混循環小數化分數。
（2）先看小數部分0.353
由以上例題可以看出，一個混循環小數的小數部分可以化成分數，這個分數的分子是不循環部分和一個循環節的數字組成的數減去不循環部分的數字組成的數所得的差，分母就是按一個循環節的位數寫幾個9，再在后面按不循環部分的位數添寫幾個0組成的數．
循環小數的四則運算
循環小數化成分數后，循環小數的四則運算就可以按分數四則運算法則進行。從這種意義上來講，循環小數的四則運算和有限小數四則運算一樣，也是分數的四則運算。
例1 計算下面各題：
解：先把循環小數化成分數后再計算。
?的運算時，?錯寫作3.57，例2 在計算一個正數乘以3.57某同學誤將3.57結果與正確答案相差1.4．則正確的乘積結果是______．
解：設這個正數為x，依題意，得 ?x?3.57?1.4． 3.57??3?因為3.5757?552?3，90905257x?3x?1.4． 90100所以上述方程可化為3解得x?180．
所以正確的乘積結果應為
??180?322?180?644． 3.5790
例3 計算下面各題。
分析與解：（1）把循環小數化成分數，再按分數計算。
（2）可根據乘法分配律把1.25提出，再計算。
（3）把循環小數化成分數，根據乘法分配律和等差數列求和公式計算。
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