第一篇：小學六年級奧數教案—24時鐘問題

小學六年級奧數教案—24時鐘問題

時鐘問題

“時間就是生命”。自從人類發明了計時工具——鐘表，人們的生活就離不開它了。什么時間起床，什么時間吃飯，什么時間上學??全都依靠鐘表，如果沒有鐘表，生活就亂套了。

時鐘問題就是研究鐘面上時針和分針關系的問題。大家都知道，鐘面的一周分為60格，分針每走60格，時針正好走5格，所以時針的速度是分針速度

垂直、兩針成直線、兩針成多少度角提出問題。因為時針與分針的速度不同，并且都沿順時針方向轉動，所以經常將時鐘問題轉化為追及問題來解。

例1 現在是2點，什么時候時針與分針第一次重合？

分析：如右圖所示，2點分針指向12，時針指向2，分針在時針后面

例2 在7點與8點之間，時針與分針在什么時刻相互垂直？

分析與解：7點時分針指向12，時針指向7（見右圖），分針在時針后 面5×7＝35（格）。時針與分針垂直，即時針與分針相差15格，在7點與8點之間，有下圖所示的兩種情況：

（1）順時針方向看，分針在時針后面15格。從7點開始，分針要比時針多走35-15=20（格），需

（2）順時針方向看，分針在時針前面15格。從7點開始，分針要比時針多走35＋15＝50（格），需

例3 在3點與4點之間，時針和分針在什么時刻位于一條直線上？

分析與解：3點時分針指向12，時針指向3（見右圖），分針在時針后 面5×3＝15（格）。時針與分針在一條直線上，可分為時針與分針重合、時針與分針成180°角兩種情況（見下圖）：

（1）時針與分針重合。從3點開始，分針要比時針多走15格，需15÷

（2）時針與分針成180°角。從3點開始，分針要比時針多走15＋30

例4 晚上7點到8點之間電視里播出一部動畫片，開始時分針與時針正好成一條直線，結束時兩針正好重合。這部動畫片播出了多長時間？

分析與解：這道題可以利用例3的方法，先求出開始的時刻和結束的時刻，再求出播出時間。但在這里，我們可以簡化一下。因為開始時兩針成180°，結束時兩針重合，分針比時針多轉半圈，即多走30格，所以播出時間為

例1～例4都是利用追及問題的解法，先找出時針與分針所行的路程差是多少格，再除以它們的速度差求出準確時間。但是，有些時鐘問題不太容易求出路程差，因此不能用追及問題的方法求解。如果將追及問題變為相遇問題，那么有時反而更容易。

例5 3點過多少分時，時針和分針離“3”的距離相等，并且在“3”的兩邊？

分析與解：假設3點以后，時針以相反的方向行走，時針和分針相遇的時刻就是本題所求的時刻。這就變成了相遇問題，兩針所行距離和是15個格。

例6 小明做作業的時間不足1時，他發現結束時手表上時針、分針的位置正好與開始時時針、分針的位置交換了一下。小明做作業用了多少時間？

分析與解：從左上圖我們可以看出，時針從A走到B，分針從B走到A，兩針一共走了一圈。換一個角度，問題可以化為：時針、分針同時從B出發，反向而行，它們在A點相遇。兩針所行的

時間是：

練習24

1.時針與分針在9點多少分時第一次重合？

2.王師傅2點多鐘開始工作時，時針與分針正好重合在一起。5點多鐘完工時，時針與分針正好又重合在一起。王師傅工作了多長時間？

3.8點50分以后，經過多長時間，時針與分針第一次在一條直線上？

4.小紅8點鐘開始畫一幅畫，正好在時針與分針第三次垂直時完成，此時是幾點幾分？

5.3點36分時，時針與分針形成的夾角是多少度？

6.3點過多少分時，時針和分針離“2”的距離相等，并且在“2”的兩邊？

7.早晨小亮從鏡子中看到表的指針指在6點20分，他趕快起床出去跑步，可跑步回來媽媽告訴他剛到6點20分。問：小亮跑步用了多長時間？

答案與提示 練習24

解：分針比時針多轉5-2=3（圈），所以王師傅工作了

解：從9點開始，分針還要比時針多走15格，所求時間為

解：8點分針在時針后面40格，第一次垂直分針要比時針多走40-15=25（格），第三次垂直要多走25＋30×2=85（格），5.108°。

解：分針走36格，時針走36÷12=3（格）。3點36分時，分針在時針前面36-（5×3＋3）=18（格），它們形成的夾角是

360°×（18÷60）＝108°。

解：與例5類似，假設2點以后，時針以相反的方向走，時針與分針第2次相遇的時刻就是所求的時刻。第一次相遇，兩針共走5×2＝10（格），第二次相遇，兩針還要共走一圈，即60格。所以需要

7.40分。

提示：鏡子中的影像左右位置互換了，所以鏡子中看到的6點20分（左下圖），實際上是5點40分（右下圖）。

第二篇：小學六年級奧數教案

小學六年級奧數教案：行程問題

第一講 行程問題

走路、行車、一個物體的移動，總是要涉及到三個數量： 距離走了多遠，行駛多少千米，移動了多少米等等;速度在單位時間內(例如1小時內)行走或移動的距離;時間行走或移動所花時間.這三個數量之間的關系，可以用下面的公式來表示： 距離=速度×時間

很明顯，只要知道其中兩個數量，就馬上可以求出第三個數量.從數學上說，這是一種最基本的數量關系，在小學的應用題中，這樣的數量關系也是最常見的，例如

總量=每個人的數量×人數.工作量=工作效率×時間.因此，我們從行程問題入手，掌握一些處理這種數量關系的思路、方法和技巧，就能解其他類似的問題.當然，行程問題有它獨自的特點，在小學的應用題中，行程問題的內容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學，而且在中學數學、物理的學習中，也是一個重點內容.因此，我們非常希望大家能學好這一講，特別是學會對一些問題的思考方法和處理技巧.這一講，用5千米/小時表示速度是每小時5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米

一、追及與相遇

有兩個人同時在行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他.這就產生了“追及問題”.實質上，要算走得快的人在某一段時間內，比走得慢的人多走的距離，也就是要計算兩人走的距離之差.如果設甲走得快，乙走得慢，在相同時間內，甲走的距離-乙走的距離

= 甲的速度×時間-乙的速度×時間 =(甲的速度-乙的速度)×時間.通常，“追及問題”要考慮速度差.例1 小轎車的速度比面包車速度每小時快6千米，小轎車和面包車同時從學校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達城門，當面包車到達城門時，小轎車已離城門9千米，問學校到城門的距離是多少千米? 解：先計算，從學校開出，到面包車到達城門用了多少時間.此時，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時，因此

所用時間=9÷6=1.5(小時).小轎車比面包車早10分鐘到達城門，面包車到達時，小轎車離城門9千米，說明小轎車的速度是

面包車速度是 54-6=48(千米/小時).城門離學校的距離是 48×1.5=72(千米).答：學校到城門的距離是72千米.例2 小張從家到公園，原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米.問家到公園多遠? 解一：可以作為“追及問題”處理.假設另有一人，比小張早10分鐘出發.考慮小張以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時間是

×10÷(75-50)= 20(分鐘)? 因此，小張走的距離是 75× 20= 1500(米).答：從家到公園的距離是1500米.還有一種不少人采用的方法.家到公園的距離是

一種解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“計算方便”.那么你更喜歡哪一種解法呢?對不同的解法進行比較，能逐漸形成符合你思維習慣的解題思路.例3 一輛自行車在前面以固定的速度行進，有一輛汽車要去追趕.如果速度是30千米/小時，要1小時才能追上;如果速度是 35千米/小時，要 40分鐘才能追上.問自行車的速度是多少? 解一：自行車1小時走了 30×1-已超前距離，自行車40分鐘走了

自行車多走20分鐘，走了

因此，自行車的速度是

答：自行車速度是20千米/小時.解二：因為追上所需時間=追上距離÷速度差

1小時與40分鐘是3∶2.所以兩者的速度差之比是2∶3.請看下面示意圖：

馬上可看出前一速度差是15.自行車速度是 35-15= 20(千米/小時).解二的想法與第二講中年齡問題思路完全類同.這一解法的好處是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8點8分，小明騎自行車從家里出發，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分? 解：畫一張簡單的示意圖：

圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-4=4(千米).而爸爸騎的距離是 4+ 8= 12(千米).這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 12÷4=3(倍).按照這個倍數計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×3=24(千米).但事實上，爸爸少用了8分鐘，騎行了 4+12=16(千米).少騎行24-16=8(千米).摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.8+8+16=32.答：這時是8點32分.下面講“相遇問題”.小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實質上是小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時出發，那么 甲走的距離+乙走的距離 =甲的速度×時間+乙的速度×時間 =(甲的速度+乙的速度)×時間.“相遇問題”，常常要考慮兩人的速度和.例5 小張從甲地到乙地步行需要36分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘.他們同時出發，幾分鐘后兩人相遇? 解：走同樣長的距離，小張花費的時間是小王花費時間的 36÷12=3(倍)，因此自行車的速度是步行速度的3倍，也可以說，在同一時間內，小王騎車走的距離是小張步行走的距離的3倍.如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段，小王走了3段，小張走了1段，小張花費的時間是 36÷(3+1)=9(分鐘).答：兩人在9分鐘后相遇.例6 小張從甲地到乙地，每小時步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時步行4千米.兩人同時出發，然后在離甲、乙兩地的中點1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離.解：畫一張示意圖

離中點1千米的地方是A點，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發到相遇，小張比小王多走了2千米

小張比小王每小時多走(5-4)千米，從出發到相遇所用的時間是 2÷(5-4)=2(小時).因此，甲、乙兩地的距離是(5+ 4)×2=18(千米).本題表面的現象是“相遇”，實質上卻要考慮“小張比小王多走多少?”豈不是有“追及”的特點嗎?對小學的應用題，不要簡單地說這是什么問題.重要的是抓住題目的本質，究竟考慮速度差，還是考慮速度和，要針對題目中的條件好好想一想.千萬不要“兩人面對面”就是“相遇”，“兩人一前一后”就是“追及”.請再看一個例子.例7 甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發，相向而行，6小時后相遇于C點.如果甲車速度不變，乙車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發相向而行，則相遇地點距C點12千米;如果乙車速度不變，甲車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發相向而行，則相遇地點距C點16千米.求A，B兩地距離.解：先畫一張行程示意圖如下

設乙加速后與甲相遇于D點，甲加速后與乙相遇于E點.同時出發后的相遇時間，是由速度和決定的.不論甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來都增加5千米，因此，不論在D點相遇，還是在E點相遇，所用時間是一樣的，這是解決本題的關鍵.下面的考慮重點轉向速度差.在同樣的時間內，甲如果加速，就到E點，而不加速，只能到 D點.這兩點距離是 12+ 16= 28(千米)，加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時.因此，在D點

(或E點)相遇所用時間是 28÷5= 5.6(小時).比C點相遇少用 6-5.6=0.4(小時).甲到達D，和到達C點速度是一樣的，少用0.4小時，少走12千米，因此甲的速度是

12÷0.4=30(千米/小時).同樣道理，乙的速度是 16÷0.4=40(千米/小時).A到 B距離是(30+ 40)×6= 420(千米).答： A，B兩地距離是 420千米.很明顯，例7不能簡單地說成是“相遇問題”.例8 如圖，從A到B是1千米下坡路，從B到C是3千米平路，從C到D是2.5千米上坡路.小張和小王步行，下坡的速度都是6千米/小時，平路速度都是4千米/小時，上坡速度都是2千米/小時.問：(1)小張和小王分別從A，D同時出發，相向而行，問多少時間后他們相遇?(2)相遇后，兩人繼續向前走，當某一個人達到終點時，另一人離終點還有多少千米? 解：(1)小張從 A到 B需要 1÷6×60= 10(分鐘);小王從 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60= 25(分鐘);當小王到達 C點時，小張已在平路上走了 25-10=15(分鐘)，走了

因此在 B與 C之間平路上留下 3-1= 2(千米)由小張和小王共同相向而行，直到相遇，所需時間是 2 ÷(4+ 4)×60= 15(分鐘).從出發到相遇的時間是 25+ 15= 40(分鐘).(2)相遇后，小王再走30分鐘平路，到達B點，從B點到 A點需要走 1÷2×60=30分鐘，即他再走 60分鐘到達終點.小張走15分鐘平路到達D點，45分鐘可走

小張離終點還有2.5-1.5=1(千米).答：40分鐘后小張和小王相遇.小王到達終點時，小張離終點還有1千米.二、環形路上的行程問題

人在環形路上行走，計算行程距離常常與環形路的周長有關.例9 小張和小王各以一定速度，在周長為500米的環形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.(1)小張和小王同時從同一地點出發，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分?(2)小張和小王同時從同一點出發，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王? 解：(1)75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來跑了一個周長的行程.小張的速度是 500÷1.25-180=220(米/分).(2)在環形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈(一個周長)，因此需要的時間是

500÷(220-180)=12.5(分).220×12.5÷500=5.5(圈).答：(1)小張的速度是220米/分;(2)小張跑5.5圈后才能追上小王.例10 如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張在A點，小王在B點同時出發反向行走，他們在C點第一次相遇，C離A點80米;在D點第二次相遇，D點離B點6O米.求這個圓的周長.解：第一次相遇，兩人合起來走了半個周長;第二次相遇，兩個人合起來又走了一圈.從出發開始算，兩個人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時兩人合起來所走的行程是第一次相遇時合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應該是從A到C距離的3倍，即A到D是 80×3=240(米).240-60=180(米).180×2=360(米).答：這個圓的周長是360米.在一條路上往返行走，與環行路上行走，解題思考時極為類似，因此也歸入這一節.例11 甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發，在兩村之間往返行走(到達另一村后就馬上返回).在出發后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少? 解：畫示意圖如下：

如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時間是 40×3÷60=2(小時).從圖上可以看出從出發至第二次相遇，小張已走了 6×2-2=10(千米).小王已走了 6+2=8(千米).因此，他們的速度分別是 小張 10÷2=5(千米/小時)，小王 8÷2=4(千米/小時).答：小張和小王的速度分別是5千米/小時和4千米/小時.例12 小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發，在兩村之間往返行走(到達另一村后就馬上返回)，他們在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點離乙村多遠(相遇指迎面相遇)? 解：畫示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了 3.5×3=10.5(千米).從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是 10.5-2=8.5(千米).每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時，兩人已共同走了兩村距離(3+2+2)倍的行程.其中張走了 3.5×7=24.5(千米)，24.5=8.5+8.5+7.5(千米).就知道第四次相遇處，離乙村 8.5-7.5=1(千米).答：第四次相遇地點離乙村1千米.下面仍回到環行路上的問題.例13 繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點同時出發反向而行.小王以4千米/小時速度每走1小時后休息5分鐘;小張以6千米/小時速度每走50分鐘后休息10分鐘.問：兩人出發多少時間第一次相遇? 解：小張的速度是6千米/小時，50分鐘走5千米我們可以把他們出發后時間與行程列出下表：

12+15=27比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發后2小時10分至3小時15分之間.出發后2小時10分小張已走了

此時兩人相距 24-(8+11)=5(千米).由于從此時到相遇已不會再休息，因此共同走完這5千米所需時間是 5÷(4+6)=0.5(小時).2小時10分再加上半小時是2小時40分.答：他們相遇時是出發后2小時40分.例14 一個圓周長90厘米，3個點把這個圓周分成三等分，3只爬蟲A，B，C分別在這3個點上.它們同時出發，按順時針方向沿著圓周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只

爬蟲出發后多少時間第一次到達同一位置? 解：先考慮B與C這兩只爬蟲，什么時候能到達同一位置.開始時，它們相差30厘米，每秒鐘B能追上C(5-3)厘米0.30÷(5-3)=15(秒).因此15秒后B與C到達同一位置.以后再要到達同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要 90÷(5-3)=45(秒).B與C到達同一位置，出發后的秒數是 15，105，150，195，…… 再看看A與B什么時候到達同一位置.第一次是出發后 30÷(10-5)=6(秒)，以后再要到達同一位置是A追上B一圈.需要 90÷(10-5)=18(秒)，A與B到達同一位置，出發后的秒數是 6，24，42，78，96，…

對照兩行列出的秒數，就知道出發后60秒3只爬蟲到達同一位置.答：3只爬蟲出發后60秒第一次爬到同一位置.請思考，3只爬蟲第二次到達同一位置是出發后多少秒? 例15 圖上正方形ABCD是一條環形公路.已知汽車在AB上的速度是90千米/小時，在BC上的速度是120千米/小時，在CD上的速度是60千米/小時，在DA上的速度是80千米/小時.從CD上一點P，同時反向各發出一輛汽車，它們將在AB中點相遇.如果從PC中點M，同時反向各發出一輛汽車，它們將在AB上一點N處相遇.求

解：兩車同時出發至相遇，兩車行駛的時間一樣多.題中有兩個“相遇”，解題過程就是時間的計算.要計算方便，取什么作計算單位是很重要的.設汽車行駛CD所需時間是1.根據“走同樣距離，時間與速度成反比”，可得出

分數計算總不太方便，把這些所需時間都乘以24.這樣，汽車行駛CD，BC，AB，AD所需時間分別是24，12，16，18.從P點同時反向各發一輛車，它們在AB中點相遇.P→D→A與 P→C→B所用時間相等.PC上所需時間-PD上所需時間 =DA所需時間-CB所需時間 =18-12 =6.而(PC上所需時間+PD上所需時間)是CD上所需時間24.根據“和差”計算得 PC上所需時間是(24+6)÷2=15，PD上所需時間是24-15=9.現在兩輛汽車從M點同時出發反向而行，M→P→D→A→N與M→C→B→N所用時間相等.M是PC中點.P→D→A→N與C→B→N時間相等，就有 BN上所需時間-AN上所需時間 =P→D→A所需時間-CB所需時間 =(9+18)-12 = 15.BN上所需時間+AN上所需時間=AB上所需時間 =16.立即可求BN上所需時間是15.5，AN所需時間是0.5.從這一例子可以看出，對要計算的數作一些準備性處理，會使問題變得簡單些.三、稍復雜的問題

在這一節希望讀者逐漸掌握以下兩個解題技巧：(1)在行程中能設置一個解題需要的點;(2)靈活地運用比例.例16 小王的步行速度是4.8千米/小時，小張的步行速度是5.4千米/小時，他們兩人從甲地到乙地去.小李騎自行車的速度是10.8千米/小時，從乙地到甲地去.他們3人同時出發，在小張與小李相遇后5分鐘，小王又與小李相遇.問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時間? 解：畫一張示意圖：

圖中A點是小張與小李相遇的地點，圖中再設置一個B點，它是張、李兩人相遇時小王到達的地點.5分鐘后小王與小李相遇，也就是5分鐘的時間，小王和小李共同走了B與A之間這段距離，它等于

這段距離也是出發后小張比小王多走的距離，小王與小張的速度差是(5.4-4.8)千米/小時.小張比小王多走這段距離，需要的時間是 1.3÷(5.4-4.8)×60=130(分鐘).這也是從出發到張、李相遇時已花費的時間.小李的速度10.8千米/小時是小張速度5.4千米/小時的2倍.因此小李從A到甲地需要 130÷2=65(分鐘).從乙地到甲地需要的時間是 130+65=195(分鐘)=3小時15分.答：小李從乙地到甲地需要3小時15分.上面的問題有3個人，既有“相遇”，又有“追及”，思考時要分幾個層次，弄清相互間的關系，問題也就迎刃而解了.在圖中設置一個B點，使我們的思考直觀簡明些.例17 小玲和小華姐弟倆正要從公園門口沿馬路向東去某地，而他們的家要從公園門口沿馬路往西.小華問姐姐：“是先向西回家取了自行車，再騎車向東去，還是直接從公園門口步行向東去快”?姐姐算了一下說：“如果騎車與步行的速度比是4∶1，那么從公園門口到目的地的距離超過2千米時，回家取車才合算.”請推算一下，從公園到他們家的距離是多少米? 解：先畫一張示意圖

設A是離公園2千米處，設置一個B點，公園離B與公園離家一樣遠.如果從公園往西走到家，那么用同樣多的時間，就能往東走到B點.現在問題就轉變成： 騎車從家開始，步行從B點開始，騎車追步行，能在A點或更遠處追上步行.具體計算如下：

不妨設B到A的距離為1個單位，因為騎車速度是步行速度的4倍，所以從家到A的距離是4個單位，從家到B的距離是3個單位.公園到B是1.5個單位.從公園到A是 1+1.5=2.5(單位).每個單位是 2000÷2.5=800(米).因此，從公園到家的距離是 800×1.5=1200(米).答：從公園門口到他們家的距離是1200米.這一例子中，取計算單位給計算帶來方便，是值得讀者仿照采用的.請再看一例.例18 快車和慢車分別從A，B兩地同時開出，相向而行.經過5小時兩車相遇.已知慢車從B到A用了12.5小時，慢車到A停留半小時后返回.快車到B停留1小時后返回.問：兩車從第一次相遇到再相遇共需多少時間? 解：畫一張示意圖：

設C點是第一次相遇處.慢車從B到C用了5小時，從C到A用了12.5-5=7.5(小時).我們把慢車半小時行程作為1個單位.B到C10個單位，C到A15個單位.慢車每小時走2個單位，快車每小時走3個單位.有了上面“取單位”準備后，下面很易計算了.慢車從C到A，再加停留半小時，共8小時.此時快車在何處呢?去掉它在B停留1小時.快車行駛7小時，共行駛3×7=21(單位).從B到C再往前一個單位到D點.離A點15-1=14(單位).現在慢車從A，快車從D，同時出發共同行走14單位，相遇所需時間是 14÷(2+3)=2.8(小時).慢車從C到A返回行駛至與快車相遇共用了 7.5+0.5+2.8=10.8(小時).答：從第一相遇到再相遇共需10小時48分.例19 一只小船從A地到B地往返一次共用2小時.回來時順水，比去時的速度每小時多行駛8千米，因此第二小時比第一小時多行駛6千米.求A至B兩地距離.解：1小時是行駛全程的一半時間，因為去時逆水，小船到達不了B地.我們在B之前設置一個C點，是小船逆水行駛1小時到達處.如下圖

第二小時比第一小時多行駛的行程，恰好是C至B距離的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.為了示意小船順水速度比逆水速度每小時多行駛8千米，在圖中再設置D點，D至C是8千米.也就是D至A順水行駛時間是1小時.現在就一目了然了.D至B是5千米順水行駛，與C至B逆水行駛3千米時間一樣多.因此 順水速度∶逆水速度=5∶3.由于兩者速度差是8千米.立即可得出

A至B距離是 12+3=15(千米).答：A至B兩地距離是15千米.例20 從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時40千米，在第二段上，汽車速度是每小時90千米，在第三段上，汽車速度是每小時50千米.已知第一段公路的長恰好是第三段的2倍.現有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時出發，相向而行.1小時20分后，在第二段的

解一：畫出如下示意圖：

當從乙城出發的汽車走完第三段到C時，從甲城出發的汽車走完第一段的

到達D處，這樣，D把第一段分成兩部分

時20分相當于

因此就知道，汽車在第一段需要

第二段需要 30×3=90(分鐘);

甲、乙兩市距離是

答：甲、乙兩市相距185千米.把每輛車從出發到相遇所走的行程都分成三段，而兩車逐段所用時間都相應地一樣.這樣通過“所用時間”使各段之間建立了換算關系.這是一種典型的方法.例

8、例13也是類似思路，僅僅是問題簡單些.還可以用“比例分配”方法求出各段所用時間.第一段所用時間∶第三段所用時間=5∶2.時間一樣.第一段所用時間∶第二段所用時間=5∶9.因此，三段路程所用時間的比是 5∶9∶2.汽車走完全程所用時間是 80×2=160(分種).例21 一輛車從甲地開往乙地.如果車速提高20%，可以比原定時間提前一小時到達;如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25%，則可提前40分鐘到達.那么甲、乙兩地相距多少千米? 解：設原速度是1.%后，所用時間縮短到原時間的

這是具體地反映：距離固定，時間與速度成反比.用原速行駛需要

同樣道理，車速提高25%，所用時間縮短到原來的

如果一開始就加速25%，可少時間

現在只少了40分鐘，72-40=32(分鐘).說明有一段路程未加速而沒有少這個32分鐘，它應是這段路程所用時間

真巧，320-160=160(分鐘)，原速的行程與加速的行程所用時間一樣.因此全程長

答：甲、乙兩地相距270千米.十分有意思，按原速行駛120千米，這一條件只在最后用上.事實上，其他條件已完全確定了“原速”與“加速”兩段行程的時間的比例關系，當然也確定了距離的比例關系.全程長還可以用下面比例式求出，設全程長為x，就有 x∶120=72∶32

第三篇：小學數學六年級奧數：時鐘問題 教學設計

教學設計

教學目標：

1．行程問題中時鐘的標準制定；

2．時鐘的時針與分針的追及與相遇問題的判斷及計算；

3．時鐘的周期問題.知識點撥：

時鐘問題知識點說明

時鐘問題可以看做是一個特殊的圓形軌道上2人追及或相遇問題，不過這里的兩個“人”分別是時鐘的分針和時針。

我們通常把研究時鐘上時針和分針的問題稱為時鐘問題，其中包括時鐘的快慢，時鐘的周期，時鐘上時針與分針所成的角度等等。

時鐘問題有別于其他行程問題是因為它的速度和總路程的度量方式不再是常規的米每秒或者千米每小時，而是2個指針“每分鐘走多少角度”或者“每分鐘走多少小格”。對于正常的時鐘，具體為：整個鐘面為360度，上面有12個大格，每個大格為30度；60個小格，每個小格為6度。

分針速度：每分鐘走1小格，每分鐘走6度

時針速度：每分鐘走 小格，每分鐘走0.5度

注意：但是在許多時鐘問題中，往往我們會遇到各種“怪鐘”，或者是“壞了的鐘”，它們的時針和分針每分鐘走的度數會與常規的時鐘不同，這就需要我們要學會對不同的問題進行獨立的分析。

要把時鐘問題當做行程問題來看，分針快，時針慢，所以分針與時針的問題，就是他們之間的追及問題。另外，在解時鐘的快慢問題中，要學會十字交叉法。

例如：時鐘問題需要記住標準的鐘，時針與分針從一次重合到下一次重合，所需時間為 分。

例題精講：

模塊

一、時針與分針的追及與相遇問題

【例 1】 王叔叔有一只手表，他發現手表比家里的鬧鐘每小時快 30 秒.而鬧鐘卻比標準時間每小時慢 30 秒，那么王叔叔的手表一晝夜比標準時間差多少秒？

【解析】 鬧鐘比標準的慢 那么它一小時只走（3600-30）/3600個小時，手表又比鬧鐘快 那么它一小時走（3600+30）/3600個小時，則標準時間走1小時 手表則走（3600-30）/3600*（3600+30）/3600個小時，則手表每小時比標準時間慢1—【（3600-30）/3600*（3600+30）/3600】=1—14399/14400=1/14400個小時，也就是1/14400*3600=四分之一秒，所以一晝夜24小時比標準時間慢四分之一乘以24等于6秒

【鞏固】 小強家有一個鬧鐘，每時比標準時間快3分。有一天晚上10點整，小強對準了鬧鐘，他想第二天早晨6∶00起床，他應該將鬧鐘的鈴定在幾點幾分？

【解析】 6：24

【鞏固】 小翔家有一個鬧鐘，每時比標準時間慢3分。有一天晚上9點整，小翔對準了鬧鐘，他想第二天早晨6∶30起床，于是他就將鬧鐘的鈴定在了6∶30。這個鬧鐘響鈴的時間是標準時間的幾點幾分？

第四篇：小學六年級奧數行程問題

行程問題（一)【知識點講解】

基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關系.基本公式：路程=速度×時間;

路程÷時間=速度;

路程÷速度=時間

關鍵：確定運動過程中的位置和方向。

相遇問題：速度和×相遇時間=相遇路程(請寫出其他公式)追及問題：追及時間=路程差÷速度差(寫出其他公式)主要方法：畫線段圖法

基本題型：已知路程(相遇路程、追及路程)、時間(相遇時間、追及時間)、速度(速度和、速度差)中任意兩個量，求第三個量。

相遇問題：

例

1、甲乙兩車同時從AB兩地相對開出，第一次相遇后兩車繼續行駛，各自到

1達對方出發點后立即返回，第二次相遇時離B地的距離是AB全程的。已知甲

5車在第一次相遇時行了120千米。AB兩地相距多少千米？

例

2、甲、乙兩車分別從A、B兩城同時相對開出，經過4小時，甲車行了全程的80%，乙車超過中點35千米，已知甲車比乙車每小時多行10千米。問A、B兩城相距多少千米？

例

3、甲、乙和丙同時由東、西兩城出發，甲、乙兩人由東城到西城，甲步行每小時走5千米，乙騎自行車每小時行15千米，丙也騎自行車每小時20千米，已知丙在途中遇到乙后，又經過1小時才遇到甲，求東、西城相距多少千米？

例

4、甲乙兩站相距470千米，一列火車于中午1時從甲站出發，每小時行52千米，另一列火車下午2時30分從乙站開出，下午6時兩車相遇，求乙站開出的那輛火車的速度是多少？

例

5、小李從A城到B城，速度是50千米/小時，小蘭從B城到A城，速度是40千米/小時。兩人同時出發，結果在距A、B兩城中點10千米處相遇。求A、B兩城間的距離。

例

6、繞湖的一周是24千米,小張和小王從湖邊某一地點同時出發反向而行.小王以每小時4千米的速度每走1小時休息5分鐘,小張以每小時6千米的速度每走5分休息10分鐘.兩人出發后多長時間第一次相遇?

家庭作業

1、一列客車和一列貨車同時從兩地相向開出,經過18小時兩車在某處相遇,已知兩地相距1488千米,貨車每小時比客車少行8千米,貨車每行駛3小時要停駛1小時,客車每小時行多少千米?

2、一個600米長的環形跑道上，兄弟兩人如果同時從同一起點按順時針反方向跑步，每隔12分鐘相遇一次；如果兩人同從同一起點反方向跑步，每隔4分中相遇一次。兄弟兩人跑一圈各要幾分鐘？

3、A、B兩地相距207千米，甲、乙兩車8：00同時從A地出發到B地，速度分別為60千米/小時，54千米/小時，丙車8：30從B地出發到A地，速度為48千米/小時.丙車與甲、乙兩車距離相等時是幾點幾分？

4、一輛小轎車，一輛貨車兩車分別從A、B兩地出發，相向而行。出發時，小轎車，貨車的速度比是5:4相遇后，小轎車的速度減少了20%，貨車的速度增加20%，這樣，當小轎車到達B地時，貨車距離A地還有10千米，那么A、B兩地相距多少千米？

5、一輛汽車在甲乙兩站之間行駛.往返一次共用去4小時.汽車去時每小時行45米,返回時每小時行駛30千米,那么甲,乙兩站相距多少千米?

追及問題

例

7、甲、乙兩人同時從A地到B地，乙出發3小時后甲才出發，甲走了5小時后，已超過乙2千米，已知甲每小時比乙多行4千米。甲、乙兩人每小時各行多少千米？

例

8、獵犬發現在離它9米遠有一只奔跑的兔子，立刻追趕，獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子的動作快，獵犬跑2步的時間，兔子跑3步，獵犬至少跑多少米才能追上兔子？

例

9、甲、乙兩人相距150米，甲在前，乙在后，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走75米，兩人同時向南出發，幾分鐘后乙追上甲？

例

10、兩輛汽車從A地到B地，第一輛汽車每小時行54千米，第二輛汽車每小時行63 千米，第一輛汽車先行2小時后，第二輛汽車才出發，問第二輛汽車出發后幾小時追上第一輛汽車？

例

11、一條環形跑道長400米，甲騎自行車平均每分鐘騎300米，乙跑步，平均每分鐘跑250米，兩人同時同地同向出發，經過多少分鐘兩人相遇?

家庭作業

1、哥哥和弟弟兩人同時在一個學校上學，弟弟以每分鐘80米的速度先去學校，3分鐘后，哥哥騎車以每分鐘200米的速度也向學校騎去，那么哥哥幾分鐘追上弟弟？

2、兩名運動員在湖周圍環形道上練習長跑，甲每分鐘跑250米，乙每分鐘跑200米，兩人同時同地同向出發，經過45分鐘甲追上乙，如果兩人同時同地反向出發，經過多少分鐘兩人相遇？

3、姐妹兩人在同一小學上學，妹妹以每分鐘50米的速度從家走向學校，姐姐比妹妹晚10分鐘出發，為了不遲到，她以每分鐘150米的速度從家跑步上學，結果兩人卻同時到達學校，求家到學校的距離有多遠？

4、龜兔進行10000米跑步比賽.兔每分鐘跑400米,龜每分鐘跑80米,龜每跑5分鐘歇25分鐘，誰先到達終點？

5、在周長400米的圓的一條直徑的兩端，甲、乙兩人分別以每分鐘60米和50米的速度，同時同向出發，沿圓周行駛，問2小時內，甲追上乙多少次？

6、甲乙兩地相距48千米，其中一部分是上坡路，其余是下坡路，某人騎自行車從甲地到乙地后沿原路返回。去時用了4小時12分，返回時用了3小時48分。已知自行車的上坡速度是每小時10千米，求自行車下坡的速度。

行程問題（二)【知識點講解】

基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關系.關鍵：確定運動過程中的位置和方向。順水行程=(船速+水速)×順水時間 逆水行程=(船速-水速)×逆水時間

順水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速 靜水速度=(順水速度+逆水速度)÷2

水速=(順水速度-逆水速度)÷2 流水問題：關鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。過橋問題：關鍵是確定物體所運動的路程。

流水問題：

例

1、一船逆水而上，船上某人于大橋下面將水壺遺失被水沖走，當船回頭時，時間已過20分鐘.后來在大橋下游距離大橋2千米處追到了水壺.那么該河流速是每小時多少千米？

例

2、一只船從甲碼頭到乙碼頭往返一次共用4小時，回來時順水比去時每小時多行12千米.因此后2小時比前2小時多行18千米，那么甲、乙兩個碼頭距離是幾千米？

例

3、（14廣益）一架飛機所帶燃料最多可以用7.5小時。飛機去時順風，每小時可以飛行1200千米；回時逆風，每小時可以飛行800千米。那么這架飛機最多飛出多遠就要返航？

例

4、（14廣益）自動扶梯以均勻的速度由下往上行駛，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20階，女孩每分鐘走15階。結果，男孩用了5分鐘到達，女孩用了6分鐘到達樓上。扶梯露在外面的部分共有多少階？

例

5、只帆船的速度是60米/分，船在水流速度為20米/分的河中，從上游的一個港口到下游的某一地，再返回到原地，共用3小時30分，這條船從上游港口到下游某地共走了多少米？

例

6、一船從甲港順水而下到乙港，馬上又從乙港逆水行回甲港，共用了8小時。已知順水每小時比逆水多行20千米，又知前4小時比后4小時多行60千米，那么，甲、乙兩港相距多少千米？

家庭作業

1、一艘貨輪順流航行36千米，逆流航行12千米共用了10小時，順流航行20千米，再逆流航行20千米也用了10小時。順流航行12千米，又逆流航行24千米要用多少小時？

2、從甲地到乙地的路程分為上坡、平坡、下坡三段，各段路程之和比1:2:3，某人走這三段路所用的時間之比是4：5：6。已知他上坡時的速度為每小時2.5千米，路程全長為20千米。此人從甲地走到乙地需要多長時間？

3、某船在靜水中的速度是每小時15千米，它從上游甲地開往下游乙地共花去了8小時，水速每小時3千米，問從乙地返回甲地需要多少時間？

4、一位少年短跑選手,順風跑90米用了10秒鐘.在同樣的風速下,逆風跑70米,也用了10秒鐘.問:在無風的時候,他跑100米要用多少秒?

5、在商場里，小明從正在向上移動的自動扶梯頂部下120 級臺階到達底部，然后從底部上90 級臺階回到頂部。自動扶梯從底部到頂部的臺階數是不變的，假設小明單位時間內向下的臺階數是他向上的臺階數的2倍．則該自動扶梯從底到頂的臺階數為多少？

過橋問題

例

1、一列火車通過530米的橋需40秒鐘，以同樣的速度穿過380米的山洞需30秒鐘。求這列火車的速度是每秒多少米？車長多少米？

例

2、一輛大轎車與一輛小轎車都從甲地駛往乙地.大轎車的速度是小轎車速度的80%.已知大轎車比小轎車早出發17分鐘，但在兩地中點停了5分鐘，才繼續駛往乙地；而小轎車出發后中途沒有停，直接駛往乙地，最后小轎車比大轎車早4分鐘到達乙地.又知大轎車是上午10時從甲地出發的.那么小轎車是在上午什么時候追上大轎車的.例

3、一支隊伍1200米長，以每分鐘80米的速度行進。隊伍前面的聯絡員用6分鐘的時間跑到隊伍末尾傳達命令。問聯絡員每分鐘行多少米？

例

4、一列火車長119米，它以每秒15米的速度行駛，小華以每秒2米的速度從對面走來，經過幾秒鐘后火車從小華身邊通過？

例

5、某人沿著鐵路邊的便道步行，一列客車從身后開來，在身旁通過的時間是15秒鐘，客車長105米，每小時速度為28.8千米.求步行人每小時行多少千米？

家庭作業

1、一個人站在鐵道旁，聽見行近來的火車汽笛聲后，再過57秒鐘火車經過他面前.已知火車汽笛時離他1360米；(軌道是筆直的)聲速是每秒鐘340米，求火車的速度？

2、人以每分鐘60米的速度沿鐵路邊步行，一列長144米的客車從他身后開來，從他身邊通過用了8秒鐘，求列車的速度。

3、鐵路旁的一條平行小路上，有一行人與一騎車人同時向南行進。行人速度為3.6千米/小時，騎車人速度為10.8千米/小時。這時有一列火車從他們背后開過來，火車通過行人用22秒，通過騎車人用26秒。這列火車的車身總長是多少米？

4、已知快車長182米，每秒行20米，慢車長1034米，每秒行18米.兩車同向而行，當快車車尾接慢車車頭時，稱快車穿過慢車，則快車穿過慢車的時間是多少秒？

第五篇：六年級奧數教案

思源學校第二課堂（第六周）

判斷與推理 2 授課人：雍堯

教學要求:(1)理解邏輯推理的四條基本規律，學會運用分析、推理方法解決問題。

(2)培養學生邏輯推理能力.教學重點:學會運用分析、推理方法解決問題。

教學難點: 理解、掌握分析、推理方法。

教學方法:講解法、圖表法、練習法。

（一）教學過程：

一、復習。

上節課的習題例2

二、教學新課 教學例3

甲乙丙三人被蒙上眼睛，告訴他們每個人頭上都戴了一頂帽子，帽子的顏色不是紅的就是綠的。然后，就去掉蒙眼睛的布，要求每個人如果看見別人（一個或兩個）戴的是紅帽子就舉手，并且誰能斷定自己頭上帽子的顏色，誰就馬上離開房間。三人碰巧戴的都是紅帽子，因此三個人都舉了手，幾分鐘后，丙首先走開了，他是怎么推導出自己頭上帽子的顏色的？

（1）學生審題，理解題意。（2）同座位討論。

（3）分析：此題關鍵：注意到甲乙兩人沒有立即離開房間這個事實。丙推理，我的帽子如果是綠的，甲根據乙舉手立即知道自己的帽子是紅的，那他應走出房間，乙會做同樣的推理離開房間。甲乙不能很快判斷自己帽子的顏色，說明我的帽子不是綠的，而是紅的。（4）說說你的推理過程。

3、比較前面例2例3有什么相同不同之處。

三、鞏固練習。教學例4 學田小學舉行科技知識競賽，同學們對一貫刻苦學習愛好讀書的四名學生的成績作了如下估計：（1）丙得第一，乙得第二；

（2）丙得第二，丁得第三；（3）甲得第二，丁得第四。

比賽結果一公布，果然是這四名學生獲得前四名。但以上三種估計，每一種都對了一半錯一半。他們各得第幾名？（1）學生審題，理解題意。（2）同座位討論。（3）分析：利用圖表幫助學生去推理判斷。

第一種假定“丙第一錯，乙第二對”出現矛盾。照此推理“丙第一對，乙第二錯”沒有出

現矛盾。所以丙第一，甲第二，丁第三，乙第四。（4）每人口述推理過程。

四、小結。

這節課你學會了什么？