第一篇：小學(xué)六年級奧數(shù)教案—09百分?jǐn)?shù)

小學(xué)六年級奧數(shù)教案—09百分?jǐn)?shù)

本教程共30講

百分?jǐn)?shù)

百分?jǐn)?shù)有兩種不同的定義。

（1）分母是100的分?jǐn)?shù)叫做百分?jǐn)?shù)。這種定義著眼于形式，把百分?jǐn)?shù)作為分?jǐn)?shù)的一種特殊形式。

（2）表示一個數(shù)（比較數(shù)）是另一個數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)數(shù)）的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)。這種定義著眼于應(yīng)用，用來表示兩個數(shù)的比。所以百分?jǐn)?shù)又叫百分比或百分率。

百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而采用符號“％”來表示，叫做百分號。

在第二種定義中，出現(xiàn)了比較數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)、分率（百分?jǐn)?shù)），這三者的關(guān)系如下：

比較數(shù)÷標(biāo)準(zhǔn)數(shù)=分率（百分?jǐn)?shù)），標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×分率=比較數(shù)，比較數(shù)÷分率=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。

根據(jù)比較數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)、分率三者的關(guān)系，就可以解答許多與百分?jǐn)?shù)有關(guān)的應(yīng)用題。

例1 紡織廠的女工占全廠人數(shù)的80％，一車間的男工占全廠男工的25％。問：一車間的男工占全廠人數(shù)的百分之幾？

分析與解：因?yàn)椤芭ふ既珡S人數(shù)的80％”，所以男工占全廠人數(shù)的1-80％=20％。

又因?yàn)椤耙卉囬g的男工占全廠男工的25％”，所以一車間的男工占全廠人數(shù)的20％×25％=5％。

例2 學(xué)校去年春季植樹500棵，成活率為85％，去年秋季植樹的成活率為90％。已知去年春季比秋季多死了20棵樹，那么去年學(xué)校共種活了多少棵樹？

分析與解：去年春季種的樹活了500×85％=425（棵），死了500-425=75（棵）。去年秋季種的樹，死了75-20=55（棵），活了 55÷（1-90％）×90％=495（棵）。所以，去年學(xué)校共種活425+495=920（棵）。

例3 一次考試共有5道試題。做對第1，2，3，4，5題的人數(shù)分別占參加考試人數(shù)的85％，95％，90％，75％，80％。如果做對三道或三道以上為及格，那么這次考試的及格率至少是多少？

分析與解：因?yàn)榘俜謹(jǐn)?shù)的含義是部分量占總量的百分之幾，所以不妨設(shè)總量即參加考試的人數(shù)為100。

由此得到做錯第1題的有100×（1-85％）=15（人）；

同理可得，做錯第2，3，4，5題的分別有5，10，25，20人。

總共做錯15+5+10+25+20=75（題）。

一人做錯3道或3道以上為不及格，由75÷3=25（人），推知至多有25人不及格，也就是說至少有75人及格，及格率至少是75％。

例4 育紅小學(xué)四年級學(xué)生比三年級學(xué)生多25％，五年級學(xué)生比四年級學(xué)生少10％，六年級學(xué)生比五年級學(xué)生多10％。如果六年級學(xué)生比三年級學(xué)生多38人，那么三至六年級共有多少名學(xué)生？

分析：以三年級學(xué)生人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，則四年級是三年級的125％，五年級是三年級的125％×（1-10％），六年級是三年級的125％×（1-10％）×（1+10％）。因?yàn)橐阎昙壉热昙壎?8人，所以可根據(jù)六年級的人數(shù)列方程。

解：設(shè)三年級有x名學(xué)生，根據(jù)六年級的人數(shù)可列方程：

x×125％×（1-10％）×（1+10％）=x+38，x×125％×90％×110％=x+38，1.2375x=x+38，0.2375x=38，x=160。

三年級有160名學(xué)生。

四年級有學(xué)生 160×125％=200（名）。

五年級有學(xué)生200×（1-10％）＝180（名）。

六年級有學(xué)生 160+38=198（名）。

160+200+180+198=738（名）。

答：三至六年級共有學(xué)生738名。

在百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中有一類叫溶液配比問題。我們都知道，將糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶質(zhì)，水叫溶劑，糖水叫溶液。如果水的量不變，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是說，糖水甜的程度是由糖（溶質(zhì)）與糖水（溶液=糖+水）二者重量的比值決定的，這個比值就叫糖水的含糖量或糖含量。類似地，酒精溶于水中，純酒精與酒精溶液二者重量的比值就叫酒精含量。溶質(zhì)、溶劑、溶液及溶質(zhì)含量有如下基本關(guān)系：

溶液重量=溶質(zhì)重量+溶劑重量，溶質(zhì)含量=溶質(zhì)重量÷溶液重量，溶液重量=溶質(zhì)重量÷溶質(zhì)含量，溶質(zhì)重量=溶液重量×溶質(zhì)含量。

溶質(zhì)含量通常用百分?jǐn)?shù)表示。例如，10克白糖溶于90克水中，含糖量（溶

例5 有含糖量為7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？

分析與解：在600克含糖量為7％的糖水中，有糖（溶質(zhì)）600×7％=42（克）。

設(shè)再加x克糖，可使其含糖量加大到10％。此時溶質(zhì)有（42+x）克，溶液有（600+x）克，根據(jù)溶質(zhì)含量可得方程

需要再加入20克糖。

例6 倉庫運(yùn)來含水量為90％的一種水果100千克，一星期后再測，發(fā)現(xiàn)含水量降低到80％。現(xiàn)在這批水果的總重量是多少千克？

分析與解：可將水果分成“水”和“果”兩部分。一開始，果重

100×（1-90％）=10（千克）。

一星期后含水量變?yōu)?0％，“果”與“水”的比值為

因?yàn)椤肮笔冀K是10千克，可求出此時“水”的重量為

所以總重量是10+40=50（千克）。

練習(xí)9

1.某修路隊(duì)修一條路，5天完成了全長的20％。照此計算，完成任務(wù)還需多少天？

2.服裝廠一車間人數(shù)占全廠的25％，二車間人數(shù)比一車間少20％，三車間人數(shù)比二車間多30％。已知三車間有156人，全廠有多少人？

3.有三塊地，第二塊地的面積是第一塊地的80％，第三塊地的面積比第二塊多20％，三塊地共69公頃，求三塊地各多少公頃。

4.某工廠四個季度的全勤率分別為90％，86％，92％，94％。問：全年全勤的人至少占百分之幾？

5.有酒精含量為30％的酒精溶液若干，加了一定數(shù)量的水后稀釋成酒精含量為24％的溶液，如果再加入同樣多的水，那么酒精含量將變?yōu)槎嗌伲?/p>

6.配制硫酸含量為20％的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量為18％和23％的硫酸溶液各多少克？

7.有一堆含水量14.5％的煤，經(jīng)過一段時間的風(fēng)干，含水量降為10％，現(xiàn)在這堆煤的重量是原來的百分之幾？

答案與提示 練習(xí)9

1.20天。

解：5÷20％-5=20（天）。

2.600人。解：156÷[(1-20％)×(1+30％)]÷25％=600（人）。

3.第一、二、三塊依次為25，20和24公頃。解：第一塊地的面積為69÷[1+80％+80％×(1+20％)]=25（公頃），第二塊地為25×80％=20（公頃），第三塊地為69-25=24（公頃）。

4.62％。解；設(shè)全廠有100人，則四個季度沒有全勤的共有10+14+8+6=38（人次）。當(dāng)四個季度沒有全勤的人互不相同時，全年沒有全勤的人最多，為38人，所以至少有100-36=62（人）全勤，即全年全勤率至少為62％。

5.20％。

解：設(shè)酒精含量為30％的酒精溶液有100克，則溶質(zhì)為30克。稀釋成酒精含量為24％的酒精溶液需加水30÷24％-100=25（克）。若再加入25克水，則酒精含量變?yōu)?/p>

30÷(100+25+25)=20％。

6.600克，400克。

提示：設(shè)需要18％的溶液x克，則需要23％的溶液(100-x)克。根據(jù)溶質(zhì)重量可得

x×18％+(1000-x)×23％=1000×20％。解得x=600。

7.95％。

解：設(shè)原有100噸煤，則有水份14.5噸。又設(shè)風(fēng)干掉水份x噸，則由含

現(xiàn)在煤的重量為100-5=95（噸），是原來的95％。

第二篇：小學(xué)六年級奧數(shù)教案

小學(xué)六年級奧數(shù)教案：行程問題

第一講 行程問題

走路、行車、一個物體的移動，總是要涉及到三個數(shù)量： 距離走了多遠(yuǎn)，行駛多少千米，移動了多少米等等;速度在單位時間內(nèi)(例如1小時內(nèi))行走或移動的距離;時間行走或移動所花時間.這三個數(shù)量之間的關(guān)系，可以用下面的公式來表示： 距離=速度×?xí)r間

很明顯，只要知道其中兩個數(shù)量，就馬上可以求出第三個數(shù)量.從數(shù)學(xué)上說，這是一種最基本的數(shù)量關(guān)系，在小學(xué)的應(yīng)用題中，這樣的數(shù)量關(guān)系也是最常見的，例如

總量=每個人的數(shù)量×人數(shù).工作量=工作效率×?xí)r間.因此，我們從行程問題入手，掌握一些處理這種數(shù)量關(guān)系的思路、方法和技巧，就能解其他類似的問題.當(dāng)然，行程問題有它獨(dú)自的特點(diǎn)，在小學(xué)的應(yīng)用題中，行程問題的內(nèi)容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學(xué)，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)、物理的學(xué)習(xí)中，也是一個重點(diǎn)內(nèi)容.因此，我們非常希望大家能學(xué)好這一講，特別是學(xué)會對一些問題的思考方法和處理技巧.這一講，用5千米/小時表示速度是每小時5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米

一、追及與相遇

有兩個人同時在行走，一個走得快，一個走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他.這就產(chǎn)生了“追及問題”.實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時間內(nèi)，比走得慢的人多走的距離，也就是要計算兩人走的距離之差.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時間內(nèi)，甲走的距離-乙走的距離

= 甲的速度×?xí)r間-乙的速度×?xí)r間 =(甲的速度-乙的速度)×?xí)r間.通常，“追及問題”要考慮速度差.例1 小轎車的速度比面包車速度每小時快6千米，小轎車和面包車同時從學(xué)校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，當(dāng)面包車到達(dá)城門時，小轎車已離城門9千米，問學(xué)校到城門的距離是多少千米? 解：先計算，從學(xué)校開出，到面包車到達(dá)城門用了多少時間.此時，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時，因此

所用時間=9÷6=1.5(小時).小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，面包車到達(dá)時，小轎車離城門9千米，說明小轎車的速度是

面包車速度是 54-6=48(千米/小時).城門離學(xué)校的距離是 48×1.5=72(千米).答：學(xué)校到城門的距離是72千米.例2 小張從家到公園，原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米.問家到公園多遠(yuǎn)? 解一：可以作為“追及問題”處理.假設(shè)另有一人，比小張?jiān)?0分鐘出發(fā).考慮小張以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時間是

×10÷(75-50)= 20(分鐘)? 因此，小張走的距離是 75× 20= 1500(米).答：從家到公園的距離是1500米.還有一種不少人采用的方法.家到公園的距離是

一種解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“計算方便”.那么你更喜歡哪一種解法呢?對不同的解法進(jìn)行比較，能逐漸形成符合你思維習(xí)慣的解題思路.例3 一輛自行車在前面以固定的速度行進(jìn)，有一輛汽車要去追趕.如果速度是30千米/小時，要1小時才能追上;如果速度是 35千米/小時，要 40分鐘才能追上.問自行車的速度是多少? 解一：自行車1小時走了 30×1-已超前距離，自行車40分鐘走了

自行車多走20分鐘，走了

因此，自行車的速度是

答：自行車速度是20千米/小時.解二：因?yàn)樽飞纤钑r間=追上距離÷速度差

1小時與40分鐘是3∶2.所以兩者的速度差之比是2∶3.請看下面示意圖：

馬上可看出前一速度差是15.自行車速度是 35-15= 20(千米/小時).解二的想法與第二講中年齡問題思路完全類同.這一解法的好處是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點(diǎn)幾分? 解：畫一張簡單的示意圖：

圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-4=4(千米).而爸爸騎的距離是 4+ 8= 12(千米).這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 12÷4=3(倍).按照這個倍數(shù)計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×3=24(千米).但事實(shí)上，爸爸少用了8分鐘，騎行了 4+12=16(千米).少騎行24-16=8(千米).摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.8+8+16=32.答：這時是8點(diǎn)32分.下面講“相遇問題”.小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時出發(fā)，那么 甲走的距離+乙走的距離 =甲的速度×?xí)r間+乙的速度×?xí)r間 =(甲的速度+乙的速度)×?xí)r間.“相遇問題”，常常要考慮兩人的速度和.例5 小張從甲地到乙地步行需要36分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘.他們同時出發(fā)，幾分鐘后兩人相遇? 解：走同樣長的距離，小張花費(fèi)的時間是小王花費(fèi)時間的 36÷12=3(倍)，因此自行車的速度是步行速度的3倍，也可以說，在同一時間內(nèi)，小王騎車走的距離是小張步行走的距離的3倍.如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段，小王走了3段，小張走了1段，小張花費(fèi)的時間是 36÷(3+1)=9(分鐘).答：兩人在9分鐘后相遇.例6 小張從甲地到乙地，每小時步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時步行4千米.兩人同時出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點(diǎn)1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離.解：畫一張示意圖

離中點(diǎn)1千米的地方是A點(diǎn)，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發(fā)到相遇，小張比小王多走了2千米

小張比小王每小時多走(5-4)千米，從出發(fā)到相遇所用的時間是 2÷(5-4)=2(小時).因此，甲、乙兩地的距離是(5+ 4)×2=18(千米).本題表面的現(xiàn)象是“相遇”，實(shí)質(zhì)上卻要考慮“小張比小王多走多少?”豈不是有“追及”的特點(diǎn)嗎?對小學(xué)的應(yīng)用題，不要簡單地說這是什么問題.重要的是抓住題目的本質(zhì)，究竟考慮速度差，還是考慮速度和，要針對題目中的條件好好想一想.千萬不要“兩人面對面”就是“相遇”，“兩人一前一后”就是“追及”.請?jiān)倏匆粋€例子.例7 甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，6小時后相遇于C點(diǎn).如果甲車速度不變，乙車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)12千米;如果乙車速度不變，甲車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)16千米.求A，B兩地距離.解：先畫一張行程示意圖如下

設(shè)乙加速后與甲相遇于D點(diǎn)，甲加速后與乙相遇于E點(diǎn).同時出發(fā)后的相遇時間，是由速度和決定的.不論甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來都增加5千米，因此，不論在D點(diǎn)相遇，還是在E點(diǎn)相遇，所用時間是一樣的，這是解決本題的關(guān)鍵.下面的考慮重點(diǎn)轉(zhuǎn)向速度差.在同樣的時間內(nèi)，甲如果加速，就到E點(diǎn)，而不加速，只能到 D點(diǎn).這兩點(diǎn)距離是 12+ 16= 28(千米)，加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時.因此，在D點(diǎn)

(或E點(diǎn))相遇所用時間是 28÷5= 5.6(小時).比C點(diǎn)相遇少用 6-5.6=0.4(小時).甲到達(dá)D，和到達(dá)C點(diǎn)速度是一樣的，少用0.4小時，少走12千米，因此甲的速度是

12÷0.4=30(千米/小時).同樣道理，乙的速度是 16÷0.4=40(千米/小時).A到 B距離是(30+ 40)×6= 420(千米).答： A，B兩地距離是 420千米.很明顯，例7不能簡單地說成是“相遇問題”.例8 如圖，從A到B是1千米下坡路，從B到C是3千米平路，從C到D是2.5千米上坡路.小張和小王步行，下坡的速度都是6千米/小時，平路速度都是4千米/小時，上坡速度都是2千米/小時.問：(1)小張和小王分別從A，D同時出發(fā)，相向而行，問多少時間后他們相遇?(2)相遇后，兩人繼續(xù)向前走，當(dāng)某一個人達(dá)到終點(diǎn)時，另一人離終點(diǎn)還有多少千米? 解：(1)小張從 A到 B需要 1÷6×60= 10(分鐘);小王從 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60= 25(分鐘);當(dāng)小王到達(dá) C點(diǎn)時，小張已在平路上走了 25-10=15(分鐘)，走了

因此在 B與 C之間平路上留下 3-1= 2(千米)由小張和小王共同相向而行，直到相遇，所需時間是 2 ÷(4+ 4)×60= 15(分鐘).從出發(fā)到相遇的時間是 25+ 15= 40(分鐘).(2)相遇后，小王再走30分鐘平路，到達(dá)B點(diǎn)，從B點(diǎn)到 A點(diǎn)需要走 1÷2×60=30分鐘，即他再走 60分鐘到達(dá)終點(diǎn).小張走15分鐘平路到達(dá)D點(diǎn)，45分鐘可走

小張離終點(diǎn)還有2.5-1.5=1(千米).答：40分鐘后小張和小王相遇.小王到達(dá)終點(diǎn)時，小張離終點(diǎn)還有1千米.二、環(huán)形路上的行程問題

人在環(huán)形路上行走，計算行程距離常常與環(huán)形路的周長有關(guān).例9 小張和小王各以一定速度，在周長為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.(1)小張和小王同時從同一地點(diǎn)出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分?(2)小張和小王同時從同一點(diǎn)出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王? 解：(1)75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來跑了一個周長的行程.小張的速度是 500÷1.25-180=220(米/分).(2)在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈(一個周長)，因此需要的時間是

500÷(220-180)=12.5(分).220×12.5÷500=5.5(圈).答：(1)小張的速度是220米/分;(2)小張跑5.5圈后才能追上小王.例10 如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時出發(fā)反向行走，他們在C點(diǎn)第一次相遇，C離A點(diǎn)80米;在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)6O米.求這個圓的周長.解：第一次相遇，兩人合起來走了半個周長;第二次相遇，兩個人合起來又走了一圈.從出發(fā)開始算，兩個人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時兩人合起來所走的行程是第一次相遇時合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應(yīng)該是從A到C距離的3倍，即A到D是 80×3=240(米).240-60=180(米).180×2=360(米).答：這個圓的周長是360米.在一條路上往返行走，與環(huán)行路上行走，解題思考時極為類似，因此也歸入這一節(jié).例11 甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走(到達(dá)另一村后就馬上返回).在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達(dá)甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少? 解：畫示意圖如下：

如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時間是 40×3÷60=2(小時).從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了 6×2-2=10(千米).小王已走了 6+2=8(千米).因此，他們的速度分別是 小張 10÷2=5(千米/小時)，小王 8÷2=4(千米/小時).答：小張和小王的速度分別是5千米/小時和4千米/小時.例12 小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走(到達(dá)另一村后就馬上返回)，他們在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)(相遇指迎面相遇)? 解：畫示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了 3.5×3=10.5(千米).從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是 10.5-2=8.5(千米).每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時，兩人已共同走了兩村距離(3+2+2)倍的行程.其中張走了 3.5×7=24.5(千米)，24.5=8.5+8.5+7.5(千米).就知道第四次相遇處，離乙村 8.5-7.5=1(千米).答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.下面仍回到環(huán)行路上的問題.例13 繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點(diǎn)同時出發(fā)反向而行.小王以4千米/小時速度每走1小時后休息5分鐘;小張以6千米/小時速度每走50分鐘后休息10分鐘.問：兩人出發(fā)多少時間第一次相遇? 解：小張的速度是6千米/小時，50分鐘走5千米我們可以把他們出發(fā)后時間與行程列出下表：

12+15=27比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時10分至3小時15分之間.出發(fā)后2小時10分小張已走了

此時兩人相距 24-(8+11)=5(千米).由于從此時到相遇已不會再休息，因此共同走完這5千米所需時間是 5÷(4+6)=0.5(小時).2小時10分再加上半小時是2小時40分.答：他們相遇時是出發(fā)后2小時40分.例14 一個圓周長90厘米，3個點(diǎn)把這個圓周分成三等分，3只爬蟲A，B，C分別在這3個點(diǎn)上.它們同時出發(fā)，按順時針方向沿著圓周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只

爬蟲出發(fā)后多少時間第一次到達(dá)同一位置? 解：先考慮B與C這兩只爬蟲，什么時候能到達(dá)同一位置.開始時，它們相差30厘米，每秒鐘B能追上C(5-3)厘米0.30÷(5-3)=15(秒).因此15秒后B與C到達(dá)同一位置.以后再要到達(dá)同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要 90÷(5-3)=45(秒).B與C到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是 15，105，150，195，…… 再看看A與B什么時候到達(dá)同一位置.第一次是出發(fā)后 30÷(10-5)=6(秒)，以后再要到達(dá)同一位置是A追上B一圈.需要 90÷(10-5)=18(秒)，A與B到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是 6，24，42，78，96，…

對照兩行列出的秒數(shù)，就知道出發(fā)后60秒3只爬蟲到達(dá)同一位置.答：3只爬蟲出發(fā)后60秒第一次爬到同一位置.請思考，3只爬蟲第二次到達(dá)同一位置是出發(fā)后多少秒? 例15 圖上正方形ABCD是一條環(huán)形公路.已知汽車在AB上的速度是90千米/小時，在BC上的速度是120千米/小時，在CD上的速度是60千米/小時，在DA上的速度是80千米/小時.從CD上一點(diǎn)P，同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點(diǎn)相遇.如果從PC中點(diǎn)M，同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB上一點(diǎn)N處相遇.求

解：兩車同時出發(fā)至相遇，兩車行駛的時間一樣多.題中有兩個“相遇”，解題過程就是時間的計算.要計算方便，取什么作計算單位是很重要的.設(shè)汽車行駛CD所需時間是1.根據(jù)“走同樣距離，時間與速度成反比”，可得出

分?jǐn)?shù)計算總不太方便，把這些所需時間都乘以24.這樣，汽車行駛CD，BC，AB，AD所需時間分別是24，12，16，18.從P點(diǎn)同時反向各發(fā)一輛車，它們在AB中點(diǎn)相遇.P→D→A與 P→C→B所用時間相等.PC上所需時間-PD上所需時間 =DA所需時間-CB所需時間 =18-12 =6.而(PC上所需時間+PD上所需時間)是CD上所需時間24.根據(jù)“和差”計算得 PC上所需時間是(24+6)÷2=15，PD上所需時間是24-15=9.現(xiàn)在兩輛汽車從M點(diǎn)同時出發(fā)反向而行，M→P→D→A→N與M→C→B→N所用時間相等.M是PC中點(diǎn).P→D→A→N與C→B→N時間相等，就有 BN上所需時間-AN上所需時間 =P→D→A所需時間-CB所需時間 =(9+18)-12 = 15.BN上所需時間+AN上所需時間=AB上所需時間 =16.立即可求BN上所需時間是15.5，AN所需時間是0.5.從這一例子可以看出，對要計算的數(shù)作一些準(zhǔn)備性處理，會使問題變得簡單些.三、稍復(fù)雜的問題

在這一節(jié)希望讀者逐漸掌握以下兩個解題技巧：(1)在行程中能設(shè)置一個解題需要的點(diǎn);(2)靈活地運(yùn)用比例.例16 小王的步行速度是4.8千米/小時，小張的步行速度是5.4千米/小時，他們兩人從甲地到乙地去.小李騎自行車的速度是10.8千米/小時，從乙地到甲地去.他們3人同時出發(fā)，在小張與小李相遇后5分鐘，小王又與小李相遇.問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時間? 解：畫一張示意圖：

圖中A點(diǎn)是小張與小李相遇的地點(diǎn)，圖中再設(shè)置一個B點(diǎn)，它是張、李兩人相遇時小王到達(dá)的地點(diǎn).5分鐘后小王與小李相遇，也就是5分鐘的時間，小王和小李共同走了B與A之間這段距離，它等于

這段距離也是出發(fā)后小張比小王多走的距離，小王與小張的速度差是(5.4-4.8)千米/小時.小張比小王多走這段距離，需要的時間是 1.3÷(5.4-4.8)×60=130(分鐘).這也是從出發(fā)到張、李相遇時已花費(fèi)的時間.小李的速度10.8千米/小時是小張速度5.4千米/小時的2倍.因此小李從A到甲地需要 130÷2=65(分鐘).從乙地到甲地需要的時間是 130+65=195(分鐘)=3小時15分.答：小李從乙地到甲地需要3小時15分.上面的問題有3個人，既有“相遇”，又有“追及”，思考時要分幾個層次，弄清相互間的關(guān)系，問題也就迎刃而解了.在圖中設(shè)置一個B點(diǎn)，使我們的思考直觀簡明些.例17 小玲和小華姐弟倆正要從公園門口沿馬路向東去某地，而他們的家要從公園門口沿馬路往西.小華問姐姐：“是先向西回家取了自行車，再騎車向東去，還是直接從公園門口步行向東去快”?姐姐算了一下說：“如果騎車與步行的速度比是4∶1，那么從公園門口到目的地的距離超過2千米時，回家取車才合算.”請推算一下，從公園到他們家的距離是多少米? 解：先畫一張示意圖

設(shè)A是離公園2千米處，設(shè)置一個B點(diǎn)，公園離B與公園離家一樣遠(yuǎn).如果從公園往西走到家，那么用同樣多的時間，就能往東走到B點(diǎn).現(xiàn)在問題就轉(zhuǎn)變成： 騎車從家開始，步行從B點(diǎn)開始，騎車追步行，能在A點(diǎn)或更遠(yuǎn)處追上步行.具體計算如下：

不妨設(shè)B到A的距離為1個單位，因?yàn)轵T車速度是步行速度的4倍，所以從家到A的距離是4個單位，從家到B的距離是3個單位.公園到B是1.5個單位.從公園到A是 1+1.5=2.5(單位).每個單位是 2000÷2.5=800(米).因此，從公園到家的距離是 800×1.5=1200(米).答：從公園門口到他們家的距離是1200米.這一例子中，取計算單位給計算帶來方便，是值得讀者仿照采用的.請?jiān)倏匆焕?例18 快車和慢車分別從A，B兩地同時開出，相向而行.經(jīng)過5小時兩車相遇.已知慢車從B到A用了12.5小時，慢車到A停留半小時后返回.快車到B停留1小時后返回.問：兩車從第一次相遇到再相遇共需多少時間? 解：畫一張示意圖：

設(shè)C點(diǎn)是第一次相遇處.慢車從B到C用了5小時，從C到A用了12.5-5=7.5(小時).我們把慢車半小時行程作為1個單位.B到C10個單位，C到A15個單位.慢車每小時走2個單位，快車每小時走3個單位.有了上面“取單位”準(zhǔn)備后，下面很易計算了.慢車從C到A，再加停留半小時，共8小時.此時快車在何處呢?去掉它在B停留1小時.快車行駛7小時，共行駛3×7=21(單位).從B到C再往前一個單位到D點(diǎn).離A點(diǎn)15-1=14(單位).現(xiàn)在慢車從A，快車從D，同時出發(fā)共同行走14單位，相遇所需時間是 14÷(2+3)=2.8(小時).慢車從C到A返回行駛至與快車相遇共用了 7.5+0.5+2.8=10.8(小時).答：從第一相遇到再相遇共需10小時48分.例19 一只小船從A地到B地往返一次共用2小時.回來時順?biāo)热r的速度每小時多行駛8千米，因此第二小時比第一小時多行駛6千米.求A至B兩地距離.解：1小時是行駛?cè)痰囊话霑r間，因?yàn)槿r逆水，小船到達(dá)不了B地.我們在B之前設(shè)置一個C點(diǎn)，是小船逆水行駛1小時到達(dá)處.如下圖

第二小時比第一小時多行駛的行程，恰好是C至B距離的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.為了示意小船順?biāo)俣缺饶嫠俣让啃r多行駛8千米，在圖中再設(shè)置D點(diǎn)，D至C是8千米.也就是D至A順?biāo)旭倳r間是1小時.現(xiàn)在就一目了然了.D至B是5千米順?biāo)旭偅cC至B逆水行駛3千米時間一樣多.因此 順?biāo)俣取媚嫠俣?5∶3.由于兩者速度差是8千米.立即可得出

A至B距離是 12+3=15(千米).答：A至B兩地距離是15千米.例20 從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時40千米，在第二段上，汽車速度是每小時90千米，在第三段上，汽車速度是每小時50千米.已知第一段公路的長恰好是第三段的2倍.現(xiàn)有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時出發(fā)，相向而行.1小時20分后，在第二段的

解一：畫出如下示意圖：

當(dāng)從乙城出發(fā)的汽車走完第三段到C時，從甲城出發(fā)的汽車走完第一段的

到達(dá)D處，這樣，D把第一段分成兩部分

時20分相當(dāng)于

因此就知道，汽車在第一段需要

第二段需要 30×3=90(分鐘);

甲、乙兩市距離是

答：甲、乙兩市相距185千米.把每輛車從出發(fā)到相遇所走的行程都分成三段，而兩車逐段所用時間都相應(yīng)地一樣.這樣通過“所用時間”使各段之間建立了換算關(guān)系.這是一種典型的方法.例

8、例13也是類似思路，僅僅是問題簡單些.還可以用“比例分配”方法求出各段所用時間.第一段所用時間∶第三段所用時間=5∶2.時間一樣.第一段所用時間∶第二段所用時間=5∶9.因此，三段路程所用時間的比是 5∶9∶2.汽車走完全程所用時間是 80×2=160(分種).例21 一輛車從甲地開往乙地.如果車速提高20%，可以比原定時間提前一小時到達(dá);如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25%，則可提前40分鐘到達(dá).那么甲、乙兩地相距多少千米? 解：設(shè)原速度是1.%后，所用時間縮短到原時間的

這是具體地反映：距離固定，時間與速度成反比.用原速行駛需要

同樣道理，車速提高25%，所用時間縮短到原來的

如果一開始就加速25%，可少時間

現(xiàn)在只少了40分鐘，72-40=32(分鐘).說明有一段路程未加速而沒有少這個32分鐘，它應(yīng)是這段路程所用時間

真巧，320-160=160(分鐘)，原速的行程與加速的行程所用時間一樣.因此全程長

答：甲、乙兩地相距270千米.十分有意思，按原速行駛120千米，這一條件只在最后用上.事實(shí)上，其他條件已完全確定了“原速”與“加速”兩段行程的時間的比例關(guān)系，當(dāng)然也確定了距離的比例關(guān)系.全程長還可以用下面比例式求出，設(shè)全程長為x，就有 x∶120=72∶32

第三篇：六年級奧數(shù)教案

思源學(xué)校第二課堂（第六周）

判斷與推理 2 授課人：雍堯

教學(xué)要求:(1)理解邏輯推理的四條基本規(guī)律，學(xué)會運(yùn)用分析、推理方法解決問題。

(2)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力.教學(xué)重點(diǎn):學(xué)會運(yùn)用分析、推理方法解決問題。

教學(xué)難點(diǎn): 理解、掌握分析、推理方法。

教學(xué)方法:講解法、圖表法、練習(xí)法。

（一）教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)。

上節(jié)課的習(xí)題例2

二、教學(xué)新課 教學(xué)例3

甲乙丙三人被蒙上眼睛，告訴他們每個人頭上都戴了一頂帽子，帽子的顏色不是紅的就是綠的。然后，就去掉蒙眼睛的布，要求每個人如果看見別人（一個或兩個）戴的是紅帽子就舉手，并且誰能斷定自己頭上帽子的顏色，誰就馬上離開房間。三人碰巧戴的都是紅帽子，因此三個人都舉了手，幾分鐘后，丙首先走開了，他是怎么推導(dǎo)出自己頭上帽子的顏色的？

（1）學(xué)生審題，理解題意。（2）同座位討論。

（3）分析：此題關(guān)鍵：注意到甲乙兩人沒有立即離開房間這個事實(shí)。丙推理，我的帽子如果是綠的，甲根據(jù)乙舉手立即知道自己的帽子是紅的，那他應(yīng)走出房間，乙會做同樣的推理離開房間。甲乙不能很快判斷自己帽子的顏色，說明我的帽子不是綠的，而是紅的。（4）說說你的推理過程。

3、比較前面例2例3有什么相同不同之處。

三、鞏固練習(xí)。教學(xué)例4 學(xué)田小學(xué)舉行科技知識競賽，同學(xué)們對一貫刻苦學(xué)習(xí)愛好讀書的四名學(xué)生的成績作了如下估計：（1）丙得第一，乙得第二；

（2）丙得第二，丁得第三；（3）甲得第二，丁得第四。

比賽結(jié)果一公布，果然是這四名學(xué)生獲得前四名。但以上三種估計，每一種都對了一半錯一半。他們各得第幾名？（1）學(xué)生審題，理解題意。（2）同座位討論。（3）分析：利用圖表幫助學(xué)生去推理判斷。

第一種假定“丙第一錯，乙第二對”出現(xiàn)矛盾。照此推理“丙第一對，乙第二錯”沒有出

現(xiàn)矛盾。所以丙第一，甲第二，丁第三，乙第四。（4）每人口述推理過程。

四、小結(jié)。

這節(jié)課你學(xué)會了什么？

第四篇：六年級奧數(shù)十二.分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題.教師版

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小六奧數(shù)專題十二：分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題

一、知識點(diǎn)概述

1.分析題目確定單位“1”

2.準(zhǔn)確找到量所對應(yīng)的率，利用量÷對應(yīng)率＝單位“1”解題 3.抓住不變量，統(tǒng)一單位“1”

4.分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是研究數(shù)量之間份數(shù)關(guān)系的典型應(yīng)用題，一方面它是在整數(shù)應(yīng)用題上的延續(xù)和深化，另一方面，它有其自身的特點(diǎn)和解題規(guī)律．在解這類問題時，分析中數(shù)量之間的關(guān)系，準(zhǔn)確找出“量”與“率”之間的對應(yīng)是解題的關(guān)鍵．

二、解題技巧：分?jǐn)?shù)應(yīng)用題經(jīng)常要涉及到兩個或兩個以上的量，我們往往把其中的一個量看作是標(biāo)準(zhǔn)量．也稱為：單位“1”，進(jìn)行對比分析。在幾個量中，關(guān)鍵也是要找準(zhǔn)單位“1”和對應(yīng)的百分率，以及對應(yīng)量三者的關(guān)系 例如：（1）a是b的幾分之幾，就把數(shù)b看作單位“1”．

1，乙比甲少幾分之幾？ 819191方法一：可設(shè)乙為單位“1”，則甲為1??，因此乙比甲少??.888891方法二：可設(shè)乙為8份，則甲為9份，因此乙比甲少1?9?.9（2）甲比乙多

三、怎樣找準(zhǔn)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中單位“1”

（一）、部分?jǐn)?shù)和總數(shù)

在同一整體中，部分?jǐn)?shù)和總數(shù)作比較關(guān)系時，部分?jǐn)?shù)通常作為比較量，而總數(shù)則作為標(biāo)準(zhǔn)量，那么總數(shù)就是單位“1”。例如：

我國人口約占世界人口的幾分之幾？——世界人口是總數(shù)，我國人口是部分?jǐn)?shù)，世界人口就是單位“1”。解答題關(guān)鍵：只要找準(zhǔn)總數(shù)和部分?jǐn)?shù)，確定單位“1”就很容易了。

（二）、兩種數(shù)量比較

分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，兩種數(shù)量相比的關(guān)鍵句非常多。有的是“比”字句，有的則沒有“比”字，而是帶有指向性特征的“占”、“是”、“相當(dāng)于”。在含有“比”字的關(guān)鍵句中，比后面的那個數(shù)量通常就作為標(biāo)準(zhǔn)量，也就是單位“1”。

例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)（單位“1”），解題關(guān)鍵：在另外一種沒有比字的兩種量相比的時候，我們通常找到分率，看“占”誰的，“相當(dāng)于”誰的，“是”誰的幾分之幾。這個“占”，“相當(dāng)于”，“是”后面的數(shù)量——誰就是單位“！”。

（三）、原數(shù)量與現(xiàn)數(shù)量

有的關(guān)鍵句中不是很明顯地帶有一些指向性特征的詞語，也不是部分?jǐn)?shù)和總數(shù)的關(guān)系。這類分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的單位“1”比較難找。需要將題目文字完善成我們熟悉的類似帶“比”的文字，然后在分析。

典型例題

【例 1】 甲、乙兩人星期天一起上街買東西，兩人身上所帶的錢共計是86元.在人民市場，甲買一雙運(yùn)動鞋4花去了所帶錢的，乙買一件襯衫花去了人民幣16元．這樣兩人身上所剩的錢正好一樣多．問甲、9乙兩人原先各帶了多少錢?

關(guān)注教育

關(guān)注成長

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【鞏固】 一實(shí)驗(yàn)五年級共有學(xué)生152人，選出男同學(xué)的正好相等。五年級男、女同學(xué)各有多少人？

1和5名女同學(xué)參加科技小組，剩下的男、女人數(shù)11

1【例 2】 甲、乙兩個書架共有1100本書，從甲書架借出，從乙書架借出75%以后，甲書架是乙書架的2倍

3還多150本，問乙書架原有多少本書？

11【例 3】 五年級上學(xué)期男、女生共有300人，這一學(xué)期男生增加，女生增加，共增加了13人．這一

2520學(xué)年六年級男、女生各有多少人?

11【鞏固】 把金放在水里稱，其重量減輕，把銀放在水里稱，其重量減輕．現(xiàn)有一塊金銀合金重770克，1910放在水里稱共減輕了50克，問這塊合金含金、銀各多少克？

42【例 4】 光明小學(xué)有學(xué)生900人，其中女生的與男生的參加了課外活動小組，剩下的340人沒有參加．這

73所小學(xué)有男、女生各多少人?

關(guān)注教育

關(guān)注成長

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【例 5】 從飛機(jī)窗向外看去，看見了部分海島、部分白云以及不大的一塊海域，假定白云占窗口畫面的一半，它遮住了島的1【例 6】 養(yǎng)殖專業(yè)戶王老伯養(yǎng)了許多雞鴨，雞的只數(shù)是鴨的只數(shù)的 1倍．鴨比雞少幾分之幾？

43【鞏固】 某校男生比女生多，女生比男生少幾分之幾？ 11，因此島在窗口畫面上只占，問被白云遮住的那部分海洋占畫面的多少？ 44

【例 7】 學(xué)校閱覽室里有36名學(xué)生在看書，其中女生占有看書人數(shù)的

4，后來又有幾名女生來看書，這時女生人數(shù)占所99．問后來又有幾名女生來看書? 19

【鞏固】 有甲、乙兩桶油，甲桶油的質(zhì)量是乙桶的乙桶的5倍，從甲桶中倒出5千克油給乙桶后，甲桶油的質(zhì)量是24倍，乙桶中原有油 千克．

3關(guān)注教育

關(guān)注成長

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【例 8】（1）某工廠二月份比元月份增產(chǎn)10％，三月份比二月份減產(chǎn)10％．問三月份比元月份增產(chǎn)了還是減產(chǎn)了？

【例 9】（2）一件商品先漲價15％，然后再降價15％，問現(xiàn)在的價格和原價格比較升高、降低還是不變？

【例 10】 某校三年級有學(xué)生240人，比四年級多

【鞏固】 把100個人分成四隊(duì)，一隊(duì)人數(shù)是二隊(duì)人數(shù)的1倍，一隊(duì)人數(shù)是三隊(duì)人數(shù)的1少個人?

【例 11】 新光小學(xué)有音樂、美術(shù)和體育三個特長班，音樂班人數(shù)相當(dāng)于另外兩個班人數(shù)的相當(dāng)于另外兩個班人數(shù)的【例 12】 小剛給王奶奶運(yùn)蜂窩煤，第一次運(yùn)了全部的，比五年級少 ．四年級、五年級各多少人？

54131倍，那么四隊(duì)有多42，美術(shù)班人數(shù)53，體育班有58人，音樂班和美術(shù)班各有多少人？ 73，第二次運(yùn)了50塊，這時已運(yùn)來的恰好是沒運(yùn)來的85．問還有多少塊蜂窩煤沒有運(yùn)來？ 7

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學(xué)遠(yuǎn)教育小六奧數(shù)資料

1【鞏固】 五(一)班原計劃抽的人參加大掃除，臨時又有2個同學(xué)主動參加，實(shí)際參加掃除的人數(shù)是其余人51數(shù)的．原計劃抽多少個同學(xué)參加大掃除？

3【例 13】 小莉和小剛分別有一些玻璃球，如果小莉給小剛24個，則小莉的玻璃球比小剛少小莉24個，則小剛的玻璃球比小莉少

3；如果小剛給75，小莉和小剛原來共有玻璃球多少個？ 8【例 14】 小明是從昨天開始看這本書的，昨天讀完以后，小明已經(jīng)讀完的頁數(shù)是還沒讀的頁數(shù)比昨天多讀了14頁，這時已經(jīng)讀完的頁數(shù)是還沒讀的頁數(shù)的【例 15】 某校有學(xué)生465人，其中女生的【例 16】 一爐鐵水凝成鐵塊，其體積縮小了

【鞏固】 水結(jié)成冰后體積增大它的【例 17】 某工廠二月份比元月份增產(chǎn)

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1，他今天91，這本書共有多少頁？” 324比男生的少20人，那么男生比女生少多少人? 351，那么這個鐵塊又熔化成鐵水，其中體積增加了幾分之幾? 341.問：冰化成水后體積減少它的幾分之幾？ 1011，三月份比二月份減產(chǎn)．問三月份比元月份增產(chǎn)了還是減產(chǎn)了？ 1010學(xué)遠(yuǎn)教育小六奧數(shù)資料

課后練習(xí):

1某小學(xué)六年級有三個班，一班和二班人數(shù)相等，三班的人數(shù)是全年級總?cè)藬?shù)的7，并且比一班多3人，六20年級共有多少人？

2有三堆棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，并且都只有黑、白兩色棋子．第一堆里的黑子和第二堆里的白子一樣多，第三堆里的黑子占全部黑子的2，把這三堆棋子集中在一起，問白子占全部棋子的幾分之幾?

53有一塊菜地和一塊稻田，菜地的一半和稻田的三分之一放在一起是13公頃，稻田的一半和菜地的三分之一合在一起是12公頃。那么這塊稻田有多少公頃？

14五年級選出男生的和12名女生參加數(shù)學(xué)競賽，剩下的男生人數(shù)是女生的2倍．已知五年級共有

11學(xué)生156人，其中男生有多少人?

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15甲、乙兩個書架，已知甲書架有600本書，從甲書架借出，從乙書架借出75%以后，甲書架是

3乙書架的2倍還多150本，乙書架原有多少本書？

356甲、乙兩班共有學(xué)生100人，甲班的比乙班的少1人，乙班有學(xué)生有多少人．

7一堆圍棋子，黑子的個數(shù)是白子的3倍，每次拿5枚黑子，2枚白子，拿了若干次后，白子拿完，還剩11枚黑子．這堆棋子中，共有白子有多少個．

18某公司有的職員參加新產(chǎn)品的開發(fā)工作，后來又有2名職工主動參加，這樣參加新產(chǎn)品開發(fā)的職

51工人數(shù)是其余人數(shù)的，原來有多少職工參加開發(fā)工作？

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第五篇：小學(xué)六年級奧數(shù)教案幾何類

小學(xué)六年級奧數(shù)教案：圖形面積

簡單的面積計算是小學(xué)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容.要會計算面積，首先要能識別一些特別的圖形：正方形、三角形、平行四邊形、梯形等等，然后會計算這些圖形的面積.如果我們把

這些圖形畫在方格紙上，不但容易識別，而且容易計算.上面左圖是邊長為 4的正方形，它的面積是 4×4= 16(格);右圖是 3×5的長方形，它的面積是 3×5= 15(格).上面左圖是一個銳角三角形，它的底是5，高是4，面積是 5×4÷2= 10(格);右圖是一個鈍角三角形，底是4，高也是4，它的面積是4×4÷2=8(格).這里特別說明，這兩個三角

形的高線一樣長，鈍角三角形的高線有可能在三角形的外面.上面左圖是一個平行四邊形，底是5，高是3，它的面積是 5× 3= 15(格);右圖是一個梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面積是

(4+7)×4÷2=22(格).上面面積計算的單位用“格”，一格就是一個小正方形.如果小正方形邊長是1厘米，1格就是1平方厘米;如果小正方形邊長是1米，1格就是1平方米.也就是說我們設(shè)定一個方格的邊長是1個長度單位，1格就是一個面積單位.在這一講中，我們直接用數(shù)表示長度或面積，省略了相應(yīng)的長度單位和面積單位.一、三角形的面積

用直線組成的圖形，都可以劃分成若干個三角形來計算面積.三角形面積的計算公式是：

三角形面積= 底×高÷2.這個公式是許多面積計算的基礎(chǔ).因此我們不僅要掌握這一公式，而且要會靈活運(yùn)用.例1 右圖中BD長是4，DC長是2，那么三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍呢?

解：三角形ABD與三角形ADC的高相同.三角形ABD面積=4×高÷2.三角形 ADC面積=2×高÷2.因此三角形ABD的面積是三角形ADC面積的2倍.注意：三角形的任意一邊都可以看作是底，這條邊上的高就是三角形的高，所以每個三角形都可看成有三個底，和相應(yīng)的三條高.例2 右圖中，BD，DE，EC的長分別是2，4，2.F是線段AE的中點(diǎn)，三角形ABC的高為4.求三角形DFE的面積.解： BC= 2+ 4+ 2= 8.三角形 ABC面積= 8× 4÷2=16.我們把A和D連成線段，組成三角形ADE，它與三角形ABC的高相同，而DE長是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面積是三角形ABC面積的一半.同樣道理，EF是AE的一半，三角形DFE面積是三角形ADE面積的一半.三角形 DFE面積= 16÷4=4.例3 右圖中長方形的長是20，寬是12，求它的內(nèi)部陰影部分面積.解：ABEF也是一個長方形，它內(nèi)部的三個三角形陰影部分高都與BE一樣長.而三個三角形底邊的長加起來，就是FE的長.因此這三個三角形的面積之和是

FE×BE÷2，它恰好是長方形ABEF面積的一半.同樣道理，F(xiàn)ECD也是長方形，它內(nèi)部三個三角形(陰影部分)面積之和是它的面積的一半.因此所有陰影的面積是長方形ABCD面積的一半，也就是

20×12÷2=120.通過方格紙，我們還可以從另一個途徑來求解.當(dāng)我們畫出中間兩個三角形的高線，把每個三角形分成兩個直角三角形后，圖中每個直角三角形都是某個長方形的一半，而長方形ABCD是由這若干個長方形拼成.因此所有這些直角三角形(陰影部分)的面積之和是長方形ABCD面積的的一半.例4 右圖中，有四條線段的長度已經(jīng)知道，還有兩個角是直角，那么四邊形ABCD(陰影部分)的面積是多少?

解：把A和C連成線段，四邊形ABCD就分成了兩個，三角形ABC和三角形ADC.對三角形ABC來說，AB是底邊，高是10，因此

面積=4×10÷2= 20.對三角形 ADC來說，DC是底邊，高是 8，因此

面積=7×8÷2=28.四邊形 ABCD面積= 20+ 28= 48.這一例題再一次告訴我們，鈍角三角形的高線有可能是在三角形的外面.例5 在邊長為6的正方形內(nèi)有一個三角形BEF，線段AE=3，DF=2，求三角形BEF的面積.解：要直接求出三角形BEF的面積是困難的，但容易求出下面列的三個直角三角形的面積

三角形 ABE面積=3×6×2= 9.三角形 BCF面積= 6×(6-2)÷2= 12.三角形 DEF面積=2×(6-3)÷2= 3.我們只要用正方形面積減去這三個直角三角形的面積就能算出：

三角形 BEF面積=6×6-9-12-3=12.例6 在右圖中，ABCD是長方形，三條線段的長度如圖所示，M是線段DE的中點(diǎn)，求四邊形ABMD(陰影部分)的面積.解：四邊形ABMD中，已知的太少，直接求它面積是不可能的，我們設(shè)法求出三角形DCE與三角形MBE的面積，然后用長方形ABCD的面積減去它們，由此就可以求得四邊形ABMD的面積.把M與C用線段連起來，將三角形DCE分成兩個三角形.三角形 DCE的面積是 7×2÷2=7.因?yàn)镸是線段DE的中點(diǎn)，三角形DMC與三角形MCE面積相等，所以三角形MCE面積是 7÷2=3.5.因?yàn)?BE= 8是 CE= 2的 4倍，三角形 MBE與三角形MCE高一樣，因此三角形MBE面積是

3.5×4=14.長方形 ABCD面積=7×(8+2)=70.四邊形 ABMD面積=70-7-14= 49.二、有關(guān)正方形的問題

先從等腰直角三角形講起.一個直角三角形，它的兩條直角邊一樣長，這樣的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一個直角(90度)，還有兩個角都是45度，通常在一副三角尺中.有一個就是等腰直角三角形.兩個一樣的等腰直角三角形，可以拼成一個正方形，如圖(a).四個一樣的等腰直角三角形，也可以拼成一個正方形，如圖(b).一個等腰直角三角形，當(dāng)知道它的直角邊長，從圖(a)知，它的面積是

直角邊長的平方÷2.當(dāng)知道它的斜邊長，從圖(b)知，它的面積是

斜邊的平方÷4

例7 右圖由六個等腰直角三角形組成.第一個三角形兩條直角邊長是8.后一個三角形的直角邊長，恰好是前一個斜邊長的一半，求這個圖形的面積.解：從前面的圖形上可以知道，前一個等腰直角三角形的兩個拼成的正方形，等于后一個等腰直角三角形四個拼成的正方形.因此后一個三角形面積是前一個三角形面積的一半，第一個等腰直角三角形的面積是8×8÷2=32.這一個圖形的面積是

32+16+ 8+ 4 + 2+1= 63.例8 如右圖，兩個長方形疊放在一起，小長形的寬是2，A點(diǎn)是大長方形一邊的中點(diǎn)，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么圖中陰影部分的總面積是多少?

解：為了說明的方便，在圖上標(biāo)上英文字母 D，E，F(xiàn)，G.三角形ABC的面積=2×2÷2=2.三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜邊，與三角形ADE的直角邊一樣長，因此三角形 ADE面積=ABC面積×2=4.三角形EFG的斜邊與三角形ABC的直角邊一樣長.因此三角形EFG面積=ABC面積÷2=1.陰影部分的總面積是 4+1=5.例9 如右圖，已知一個四邊形ABCD的兩條邊的長度AD=7，BC=3，三個角的度數(shù)：角 B和D是直角，角A是45°.求這個四邊形的面積.解：這個圖形可以看作是一個等腰直角三角形ADE，切掉一個等腰直角三角形BCE.因?yàn)?/p>

A是45°，角D是90°，角E是

180°-45°-90°= 45°，所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.四邊形ABCD的面積，是這兩個等腰直角三角形面積之差，即

7×7÷2-3×3÷2=20.這是1994小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題.原來試題圖上并沒有畫出虛線三角形.參賽同學(xué)是不大容易想到把圖形補(bǔ)全成為等腰直角三角形.因此做對這道題的人數(shù)不多.但是有一些同學(xué)，用直線AC把圖形分成兩個直角三角形，并認(rèn)為這兩個直角三角形是一樣的，這就大錯特錯了.這樣做，角 A是 45°，這一條件還用得上嗎?圖形上線段相等，兩個三角形相等，是不能靠眼睛來測定的，必須從幾何學(xué)上找出根據(jù)，小學(xué)同學(xué)尚未學(xué)過幾何，千萬不要隨便對圖形下結(jié)論.我們應(yīng)該從題目中已有的條件作為思考的線索.有45°和直角，你應(yīng)首先考慮等腰直角三角形.現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向正方形的問題.例10 在右圖 11×15的長方形內(nèi)，有四對正方形(標(biāo)號相同的兩個正方形為一對)，每一對是相同的正方形，那么中間這個小正方形(陰影部分)面積是多少?

解：長方形的寬，是“一”與“二”兩個正方形的邊長之和，長方形的長，是“一”、“三”與“二”三個正方形的邊長之和.長-寬 =15-11=4

是“三”正方形的邊長.寬又是兩個“三”正方形與中間小正方形的邊長之和，因此

中間小正方形邊長=11-4×2=3.中間小正方形面積=3×3= 9.如果把這一圖形，畫在方格紙上，就一目了然了.例11 從一塊正方形土地中，劃出一塊寬為1米的長方形土地(見圖)，剩下的長方形土地面積是15.75平方米.求劃出的長方形土地的面積.解：剩下的長方形土地，我們已知道

長-寬=1(米).還知道它的面積是15.75平方米，那么能否從這一面積求出長與寬之和呢?

如果能求出，那么與上面“差”的算式就形成和差問題了.我們把長和寬拼在一起，如右圖.從這個圖形還不能算出長與寬之和，但是再拼上同樣的兩個正方形，如下圖就拼成一個

大正方形，這個正方形的邊長，恰好是長方形的長與寬之和.可是這個大正方形的中間還有一個空洞.它也是一個正方形，仔細(xì)觀察一下，就會發(fā)現(xiàn)，它的邊長，恰好是長方形的長與寬之差，等于1米.現(xiàn)在，我們就可以算出大正方形面積：

15.75×4+1×1= 64(平方米).64是8×8，大正方形邊長是 8米，也就是說長方形的 長+寬=8(米).因此 長=(8+1)÷2= 4.5(米).寬=8-4.5=3.5(米).那么劃出的長方形面積是

4.5×1=4.5(平方米).例12 如右圖.正方形ABCD與正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的邊長是6，求三角形AEG(陰影部分)的面積.解：四邊形AECD是一個梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此

四邊形AECD面積=(小正方形邊長+大正方形邊長)×大正方形邊長÷2

三角形ADG是直角三角形，它的一條直角邊長DG=(小正方形邊長+大正方形邊長)，因此

三角形ADG面積=(小正方形邊長+大正方形邊長)×大正方形邊長÷2.四邊形 AECD與三角形 ADG面積一樣大.四邊形AHCD是它們兩者共有，因此，三角形AEH與三角形HCG面積相等，都加上三角形EHG面積后，就有

陰影部分面積=三角形ECG面積

=小正方形面積的一半

= 6×6÷2=18.十分有趣的是，影陰部分面積，只與小正方形邊長有關(guān)，而與大正方形邊長卻沒有關(guān)系.三、其他的面積

這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧.有些例題看起來不難，但可以給你啟發(fā)的內(nèi)容不少，請讀者仔細(xì)體會.例13 畫在方格紙上的一個用粗線圍成的圖形(如右圖)，求它的面積.解：直接計算粗線圍成的面積是困難的，我們通過扣除周圍正方形和直角三角形來計算.周圍小正方形有3個，面積為1的三角形有5個，面積為1.5的三角形有1個，因此圍成面積是

4×4-3-5-1.5=6.5.例6與本題在解題思路上是完全類同的.例14 下圖中 ABCD是 6×8的長方形，AF長是4，求陰影部分三角形AEF的面積.解：三角形AEF中，我們知道一邊AF，但是不知道它的高多長，直接求它的面積是困難的.如果把它擴(kuò)大到三角形AEB，底邊AB，就是長方形的長，高是長方形的寬，即BC的長，面積就可以求出.三角形AEB的面積是長方形面積的一半，而擴(kuò)大的三角形AFB是直角三角形，它的兩條直角邊的長是知道的，很容易算出它的面積.因此

三角形AEF面積=(三角形 AEB面積)-(三角形 AFB面積)

=8×6÷2-4×8÷2

= 8.這一例題告訴我們，有時我們把難求的圖形擴(kuò)大成易求的圖形，當(dāng)然擴(kuò)大的部分也要容易求出，從而間接地解決了問題.前面例9的解法，也是這種思路.例15 下左圖是一塊長方形草地，長方形的長是16，寬是10.中間有兩條道路，一條是長方形，一條是平行四邊形，那么有草部分的面積(陰影部分)有多大?

解：我們首先要弄清楚，平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底×高.從圖上可以看出，底是2，高恰好是長方形的寬度.因此這個平行四邊形的面積與 10×2的長方形面積相等.可以設(shè)想，把這個平行四邊形換成 10×2的長方形，再把橫豎兩條都移至邊上(如前頁右圖)，草地部分面積(陰影部分)還是與原來一樣大小，因此

草地面積=(16-2)×(10-2)= 112.例16 右圖是兩個相同的直角三角形疊在一起，求陰影部分的面積.解：實(shí)際上，陰影部分是一個梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接來求它的面積.陰影部分與三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出，ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面積與陰影部分面積一樣大.梯形ABCD的上底BC，是直角邊AD的長減去3，高就是DC的長.因此陰影部分面積等于

梯形 ABCD面積=(8+8-3)×5÷2= 32.5.上面兩個例子都啟發(fā)我們，如何把不容易算的面積，換成容易算的面積，數(shù)學(xué)上這叫等積變形.要想有這種“換”的本領(lǐng)，首先要提高對圖形的觀察能力.例17 下圖是兩個直角三角形疊放在一起形成的圖形.已知 AF，F(xiàn)E，EC都等于3，CB，BD都等于 4.求這個圖形的面積.解：兩個直角三角形的面積是很容易求出的.三角形ABC面積=(3+3+3)×4÷2=18.三角形CDE面積=(4+4)× 3÷2=12.這兩個直角三角形有一個重疊部分--四邊形BCEG，只要減去這個重疊部分，所求圖形的面積立即可以得出.因?yàn)?AF= FE= EC=3，所以 AGF，F(xiàn)GE，EGC是三個面積相等的三角形.因?yàn)镃B=BD=4，所以CGB，BGD是兩個面積相等的三角形.2×三角形DEC面積

= 2×2×(三角形 GBC面積)+2×(三角形 GCE面積).三角形ABC面積

=(三角形 GBC面積)+3×(三角形GCE面積).四邊形BCEG面積

=(三角形GBC面積)+(三角形GCE面積)

=(2×12+18)÷5

=8.4.所求圖形面積=12+ 18-8.4=21.6.例18 如下頁左圖，ABCG是4×7長方形，DEFG是 2×10長方形.求三角形 BCM與三角形 DEM面積之差.解：三角形BCM與非陰影部分合起來是梯形ABEF.三角形DEM與非陰影部分合起來是兩個長方形的和.(三角形BCM面積)-(三角形DEM面積)

=(梯形ABEF面積)-(兩個長方形面積之和

=(7+10)×(4+2)÷2-(4×7 + 2×10)

=3.例19 上右圖中，在長方形內(nèi)畫了一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13，35，49.那么圖中陰影部分的面積是多少?

解：所求的影陰部分，恰好是三角形ABC與三角形CDE的公共部分，而面積為13，49，35這三塊是長方形中沒有被三角形ABC與三角形CDE蓋住的部分，因此

(三角形 ABC面積)+(三角形CDE面積)+(13+49+35)

=(長方形面積)+(陰影部分面積).三角形ABC，底是長方形的長，高是長方形的寬;三角形CDE，底是長方形的寬，高是長方形的長.因此，三角形ABC面積，與三角形CDE面積，都是長方形面積的一半，就有

陰影部分面積=13 + 49+ 35= 97.1.甲、乙兩地相距465千米，一輛汽車從甲地開往乙地，以每小時60千米的速度行駛一段后，每小時加速15千米，共用了7小時到達(dá)乙地。每小時60千米的速度行駛了幾小時?

答案：1.解：設(shè)每小時60千米的速度行駛了x小時。

60x+(60+15)(7-x)=465

60x+525-75x=465

525-15x=465

15x=60

x=4

答：每小時60千米的速度行駛了4小時。

某班42個同學(xué)參加植樹，男生平均每人種3棵，女生平均每人種2棵，已知男生比女生多種56棵，男、女生各有多少人？

解：設(shè)男生x人，女生(42-x)人。

3x-2(42-x)=56

3x+2x-84=56

5x=140

x=28