第一篇：小學六年級奧數教案相遇與追擊

小學六年級奧數教案—相遇與追擊

有兩個人同時在行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他.這就產生了“追及問題”.實質上，要算走得快的人在某一段時間內，比走得慢的人多走的距離，也就是要計算兩人走的距離之差.如果設甲走得快，乙走得慢，在相同時間內，甲走的距離-乙走的距離

= 甲的速度×時間-乙的速度×時間

=（甲的速度-乙的速度）×時間.通常，“追及問題”要考慮速度差.例1：

甲乙兩輛汽車同時從東西兩地相向開出，甲車每小時行56千米，乙車每小時行48千米。兩車在距中點32千米處相遇。東西兩地相距多少千米？

思路導航：兩車在距中點32千米處相遇，由于甲車的速度大于乙車的速度，所以相遇時，甲車應行了全程的一半多32千米，乙車行了全程的一半少32千米，因此，兩車相遇時，甲車比乙車共多行了32＝64（千米）。兩車同時出發，又相遇了，兩車所行的時間是一樣的，為什么甲車會比乙車多行64千米？因為甲車每小時比乙車多行56－48＝8（千米）。64 ＝8（時），所以兩車各行了8小時，求東西兩地的路程只要用（56+48）8＝832（千米）

例2：快車和慢車同時從甲、乙兩地相向開出，快車每小時行40千米，經過3小時快車已駛過中點25千米，這時快車與慢車還相距7千米。慢車每小時行多少千米？

思路導航：快車3小時行駛403＝120（千米），這時快車已駛過中點25千米，說明甲乙兩地間路程的一半是120－25＝95（千米）。此時，慢車行了95－25－7＝63（千米），因此慢車每小時行633＝21（千米）

例4 甲乙兩隊學生從相距18千米的兩地同時出發，相向而行。一個同學騎自行車以每小時14千米的速度，在兩隊之間不停地往返聯絡。甲隊每小時行5千米，乙隊每小時行4千米。兩隊相遇時，騎自行車的同學共行多少千米？

思路導航；要求騎自行車的同學一共行多少千米，就要知道他的速度和時間。騎自行車同學的速度是每小時14千米，而他所行的時間就是甲、乙兩隊學生從出發到相遇這段時間。因此用18＝2（時）

142＝28（千米）

例5：甲、乙兩車早上8時分別從A、B兩地同時相向出發，到10時兩車相距112.5千米。兩車繼續行駛到下午1時，兩車相距還是112.5千米。A、B兩地間的距離是多少千米？

思路導航：從10時到下午1時共經過3小時，3小時里，甲、乙兩車從相距112.5千米到又相距112.5千米，共行2＝225（千米）。兩車的速度和是每小時行2253＝75（千米）。從早上8時到10時共經過2小時，2小時共行752＝150（千米）因此，A、B兩地間的距離是150+112.5＝262.5（千米）

例

6、一輛汽車從甲地開往乙地要行360千米，開始按計劃以每小時45千米的速度行駛，途中因汽車出故障修車2小時。因為要按時到達乙地，修好后必須每小時多行30千米。問汽車是在離甲地多遠處修車的？

思路導航：途中修車用了2小時，汽車就少行了452＝90（千米），修車后，為了按時到達乙地，每小時多行30千米。90千米里面包含有3個30千米，也就是說，再行3小時就能把修車少行的90千米行完。因此修車后再行（45+30）3＝225（千米）就能到達乙地。汽車是在離甲地360－225＝135（千米）處修車的。

例

7、甲騎車，乙慢跑，二人同時從一點出 發沿著長4千米的環形公路同方向進行晨練。假設兩人速度一直不變，出發后10分鐘，甲便從乙身后追上了乙，已知兩人的速度和是每分鐘行700米，求甲乙二人的速度各是多少？

思路導航：出發10分鐘后，甲從乙身后追上了乙，也就是10分鐘內甲比乙多行了一圈。因此，甲每分鐘比乙多行400010＝400（米）。知道了兩人的速度差是每分鐘400米，速度和是每分鐘700米，就能算出騎車的速度是（700+400）2 ＝550（米/分），乙跑步的速度是700－550＝150（米/分）

練習：

1.甲、乙兩汽車同時從兩地出發，相向而行。甲汽車每小時行50千米，乙汽車每小時行55千米，兩車在距中點15千米相遇。求兩地之間的路程是多少千米 ？

2、一輛汽車和一輛摩托車同時從A、B兩城相對開出，汽車每小時行60千米，摩托車每小時行70千米，當摩托車行到兩城中點處時，與汽車還相距30千米，求A、B兩城之間的距離？

3、下午放學時，小紅從學校回家，每分鐘走100米，同時，媽發也從家里出發到學校去接小紅，每分鐘走120米，兩人在距中點100米的地方相遇，小紅家到學校有多少米？

4、兄弟二人同時從學校和家中出發，相向而行。哥哥每分鐘行120米，5分鐘后哥哥已超過中點50米，這時兄弟二人還相距 30米。弟弟每分鐘行多少米？

5、汽車從甲地開往乙地，每小時行32千米，4小時后，剩下的路程的一半少8千米，如果改用每小時56千米的速度行駛，再行幾小時到乙地？

6、學校運來一批樹苗，五（1）班的40個同學都去參加植樹活動，如果每人植3棵，全班同學能植這批樹苗的一半還多20棵。如果這批樹苗全部給五（1）班的同學去植，平均每人植多少棵樹？

7、兩支隊伍從相距55千米的兩地相向而行。通訊員騎馬以每小時16千米的速度在兩支隊伍之間不斷往返聯絡。已知一支隊伍每小時行5千米，另一支隊伍每小時行6千米，兩隊相遇時，通迅員共行多少千米？

8、甲、乙兩人同時從兩地出發，相向而行，距離是100千米。甲每小時行6千米，乙每小時行4千米。甲帶著一只小狗，狗每小時行10千米。這只狗同甲一道出發，碰到乙的時候，它就掉頭朝甲這邊走，碰到甲時又往乙那邊走，直到兩人相遇時。這只狗一共走了多少千米？

9、甲、乙兩車同時從A、B兩地相向出發，3小時后，兩車還相距120千米，又行3小時，兩車又相距120千米。A、B兩地相距多少千米？

10、快、慢兩車早上6時同時從甲、乙兩地相向開出，中午12時兩車還相距50千米繼續行駛到14時，兩車又相距170千米。甲、乙兩地相距多少千米？

11、甲、乙兩車分別從A、B兩地同時相向而行，8小時后相遇，相遇后兩車繼續行駛，3小時后兩車相距360千米，求A、B兩地的距離。

第二篇：小學六年級奧數教案

小學六年級奧數教案：行程問題

第一講 行程問題

走路、行車、一個物體的移動，總是要涉及到三個數量： 距離走了多遠，行駛多少千米，移動了多少米等等;速度在單位時間內(例如1小時內)行走或移動的距離;時間行走或移動所花時間.這三個數量之間的關系，可以用下面的公式來表示： 距離=速度×時間

很明顯，只要知道其中兩個數量，就馬上可以求出第三個數量.從數學上說，這是一種最基本的數量關系，在小學的應用題中，這樣的數量關系也是最常見的，例如

總量=每個人的數量×人數.工作量=工作效率×時間.因此，我們從行程問題入手，掌握一些處理這種數量關系的思路、方法和技巧，就能解其他類似的問題.當然，行程問題有它獨自的特點，在小學的應用題中，行程問題的內容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學，而且在中學數學、物理的學習中，也是一個重點內容.因此，我們非常希望大家能學好這一講，特別是學會對一些問題的思考方法和處理技巧.這一講，用5千米/小時表示速度是每小時5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米

一、追及與相遇

有兩個人同時在行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他.這就產生了“追及問題”.實質上，要算走得快的人在某一段時間內，比走得慢的人多走的距離，也就是要計算兩人走的距離之差.如果設甲走得快，乙走得慢，在相同時間內，甲走的距離-乙走的距離

= 甲的速度×時間-乙的速度×時間 =(甲的速度-乙的速度)×時間.通常，“追及問題”要考慮速度差.例1 小轎車的速度比面包車速度每小時快6千米，小轎車和面包車同時從學校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達城門，當面包車到達城門時，小轎車已離城門9千米，問學校到城門的距離是多少千米? 解：先計算，從學校開出，到面包車到達城門用了多少時間.此時，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時，因此

所用時間=9÷6=1.5(小時).小轎車比面包車早10分鐘到達城門，面包車到達時，小轎車離城門9千米，說明小轎車的速度是

面包車速度是 54-6=48(千米/小時).城門離學校的距離是 48×1.5=72(千米).答：學校到城門的距離是72千米.例2 小張從家到公園，原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米.問家到公園多遠? 解一：可以作為“追及問題”處理.假設另有一人，比小張早10分鐘出發.考慮小張以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時間是

×10÷(75-50)= 20(分鐘)? 因此，小張走的距離是 75× 20= 1500(米).答：從家到公園的距離是1500米.還有一種不少人采用的方法.家到公園的距離是

一種解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“計算方便”.那么你更喜歡哪一種解法呢?對不同的解法進行比較，能逐漸形成符合你思維習慣的解題思路.例3 一輛自行車在前面以固定的速度行進，有一輛汽車要去追趕.如果速度是30千米/小時，要1小時才能追上;如果速度是 35千米/小時，要 40分鐘才能追上.問自行車的速度是多少? 解一：自行車1小時走了 30×1-已超前距離，自行車40分鐘走了

自行車多走20分鐘，走了

因此，自行車的速度是

答：自行車速度是20千米/小時.解二：因為追上所需時間=追上距離÷速度差

1小時與40分鐘是3∶2.所以兩者的速度差之比是2∶3.請看下面示意圖：

馬上可看出前一速度差是15.自行車速度是 35-15= 20(千米/小時).解二的想法與第二講中年齡問題思路完全類同.這一解法的好處是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8點8分，小明騎自行車從家里出發，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分? 解：畫一張簡單的示意圖：

圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-4=4(千米).而爸爸騎的距離是 4+ 8= 12(千米).這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 12÷4=3(倍).按照這個倍數計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×3=24(千米).但事實上，爸爸少用了8分鐘，騎行了 4+12=16(千米).少騎行24-16=8(千米).摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.8+8+16=32.答：這時是8點32分.下面講“相遇問題”.小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實質上是小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時出發，那么 甲走的距離+乙走的距離 =甲的速度×時間+乙的速度×時間 =(甲的速度+乙的速度)×時間.“相遇問題”，常常要考慮兩人的速度和.例5 小張從甲地到乙地步行需要36分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘.他們同時出發，幾分鐘后兩人相遇? 解：走同樣長的距離，小張花費的時間是小王花費時間的 36÷12=3(倍)，因此自行車的速度是步行速度的3倍，也可以說，在同一時間內，小王騎車走的距離是小張步行走的距離的3倍.如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段，小王走了3段，小張走了1段，小張花費的時間是 36÷(3+1)=9(分鐘).答：兩人在9分鐘后相遇.例6 小張從甲地到乙地，每小時步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時步行4千米.兩人同時出發，然后在離甲、乙兩地的中點1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離.解：畫一張示意圖

離中點1千米的地方是A點，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發到相遇，小張比小王多走了2千米

小張比小王每小時多走(5-4)千米，從出發到相遇所用的時間是 2÷(5-4)=2(小時).因此，甲、乙兩地的距離是(5+ 4)×2=18(千米).本題表面的現象是“相遇”，實質上卻要考慮“小張比小王多走多少?”豈不是有“追及”的特點嗎?對小學的應用題，不要簡單地說這是什么問題.重要的是抓住題目的本質，究竟考慮速度差，還是考慮速度和，要針對題目中的條件好好想一想.千萬不要“兩人面對面”就是“相遇”，“兩人一前一后”就是“追及”.請再看一個例子.例7 甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發，相向而行，6小時后相遇于C點.如果甲車速度不變，乙車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發相向而行，則相遇地點距C點12千米;如果乙車速度不變，甲車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發相向而行，則相遇地點距C點16千米.求A，B兩地距離.解：先畫一張行程示意圖如下

設乙加速后與甲相遇于D點，甲加速后與乙相遇于E點.同時出發后的相遇時間，是由速度和決定的.不論甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來都增加5千米，因此，不論在D點相遇，還是在E點相遇，所用時間是一樣的，這是解決本題的關鍵.下面的考慮重點轉向速度差.在同樣的時間內，甲如果加速，就到E點，而不加速，只能到 D點.這兩點距離是 12+ 16= 28(千米)，加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時.因此，在D點

(或E點)相遇所用時間是 28÷5= 5.6(小時).比C點相遇少用 6-5.6=0.4(小時).甲到達D，和到達C點速度是一樣的，少用0.4小時，少走12千米，因此甲的速度是

12÷0.4=30(千米/小時).同樣道理，乙的速度是 16÷0.4=40(千米/小時).A到 B距離是(30+ 40)×6= 420(千米).答： A，B兩地距離是 420千米.很明顯，例7不能簡單地說成是“相遇問題”.例8 如圖，從A到B是1千米下坡路，從B到C是3千米平路，從C到D是2.5千米上坡路.小張和小王步行，下坡的速度都是6千米/小時，平路速度都是4千米/小時，上坡速度都是2千米/小時.問：(1)小張和小王分別從A，D同時出發，相向而行，問多少時間后他們相遇?(2)相遇后，兩人繼續向前走，當某一個人達到終點時，另一人離終點還有多少千米? 解：(1)小張從 A到 B需要 1÷6×60= 10(分鐘);小王從 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60= 25(分鐘);當小王到達 C點時，小張已在平路上走了 25-10=15(分鐘)，走了

因此在 B與 C之間平路上留下 3-1= 2(千米)由小張和小王共同相向而行，直到相遇，所需時間是 2 ÷(4+ 4)×60= 15(分鐘).從出發到相遇的時間是 25+ 15= 40(分鐘).(2)相遇后，小王再走30分鐘平路，到達B點，從B點到 A點需要走 1÷2×60=30分鐘，即他再走 60分鐘到達終點.小張走15分鐘平路到達D點，45分鐘可走

小張離終點還有2.5-1.5=1(千米).答：40分鐘后小張和小王相遇.小王到達終點時，小張離終點還有1千米.二、環形路上的行程問題

人在環形路上行走，計算行程距離常常與環形路的周長有關.例9 小張和小王各以一定速度，在周長為500米的環形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.(1)小張和小王同時從同一地點出發，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分?(2)小張和小王同時從同一點出發，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王? 解：(1)75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來跑了一個周長的行程.小張的速度是 500÷1.25-180=220(米/分).(2)在環形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈(一個周長)，因此需要的時間是

500÷(220-180)=12.5(分).220×12.5÷500=5.5(圈).答：(1)小張的速度是220米/分;(2)小張跑5.5圈后才能追上小王.例10 如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張在A點，小王在B點同時出發反向行走，他們在C點第一次相遇，C離A點80米;在D點第二次相遇，D點離B點6O米.求這個圓的周長.解：第一次相遇，兩人合起來走了半個周長;第二次相遇，兩個人合起來又走了一圈.從出發開始算，兩個人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時兩人合起來所走的行程是第一次相遇時合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應該是從A到C距離的3倍，即A到D是 80×3=240(米).240-60=180(米).180×2=360(米).答：這個圓的周長是360米.在一條路上往返行走，與環行路上行走，解題思考時極為類似，因此也歸入這一節.例11 甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發，在兩村之間往返行走(到達另一村后就馬上返回).在出發后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少? 解：畫示意圖如下：

如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時間是 40×3÷60=2(小時).從圖上可以看出從出發至第二次相遇，小張已走了 6×2-2=10(千米).小王已走了 6+2=8(千米).因此，他們的速度分別是 小張 10÷2=5(千米/小時)，小王 8÷2=4(千米/小時).答：小張和小王的速度分別是5千米/小時和4千米/小時.例12 小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發，在兩村之間往返行走(到達另一村后就馬上返回)，他們在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點離乙村多遠(相遇指迎面相遇)? 解：畫示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了 3.5×3=10.5(千米).從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是 10.5-2=8.5(千米).每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時，兩人已共同走了兩村距離(3+2+2)倍的行程.其中張走了 3.5×7=24.5(千米)，24.5=8.5+8.5+7.5(千米).就知道第四次相遇處，離乙村 8.5-7.5=1(千米).答：第四次相遇地點離乙村1千米.下面仍回到環行路上的問題.例13 繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點同時出發反向而行.小王以4千米/小時速度每走1小時后休息5分鐘;小張以6千米/小時速度每走50分鐘后休息10分鐘.問：兩人出發多少時間第一次相遇? 解：小張的速度是6千米/小時，50分鐘走5千米我們可以把他們出發后時間與行程列出下表：

12+15=27比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發后2小時10分至3小時15分之間.出發后2小時10分小張已走了

此時兩人相距 24-(8+11)=5(千米).由于從此時到相遇已不會再休息，因此共同走完這5千米所需時間是 5÷(4+6)=0.5(小時).2小時10分再加上半小時是2小時40分.答：他們相遇時是出發后2小時40分.例14 一個圓周長90厘米，3個點把這個圓周分成三等分，3只爬蟲A，B，C分別在這3個點上.它們同時出發，按順時針方向沿著圓周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只

爬蟲出發后多少時間第一次到達同一位置? 解：先考慮B與C這兩只爬蟲，什么時候能到達同一位置.開始時，它們相差30厘米，每秒鐘B能追上C(5-3)厘米0.30÷(5-3)=15(秒).因此15秒后B與C到達同一位置.以后再要到達同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要 90÷(5-3)=45(秒).B與C到達同一位置，出發后的秒數是 15，105，150，195，…… 再看看A與B什么時候到達同一位置.第一次是出發后 30÷(10-5)=6(秒)，以后再要到達同一位置是A追上B一圈.需要 90÷(10-5)=18(秒)，A與B到達同一位置，出發后的秒數是 6，24，42，78，96，…

對照兩行列出的秒數，就知道出發后60秒3只爬蟲到達同一位置.答：3只爬蟲出發后60秒第一次爬到同一位置.請思考，3只爬蟲第二次到達同一位置是出發后多少秒? 例15 圖上正方形ABCD是一條環形公路.已知汽車在AB上的速度是90千米/小時，在BC上的速度是120千米/小時，在CD上的速度是60千米/小時，在DA上的速度是80千米/小時.從CD上一點P，同時反向各發出一輛汽車，它們將在AB中點相遇.如果從PC中點M，同時反向各發出一輛汽車，它們將在AB上一點N處相遇.求

解：兩車同時出發至相遇，兩車行駛的時間一樣多.題中有兩個“相遇”，解題過程就是時間的計算.要計算方便，取什么作計算單位是很重要的.設汽車行駛CD所需時間是1.根據“走同樣距離，時間與速度成反比”，可得出

分數計算總不太方便，把這些所需時間都乘以24.這樣，汽車行駛CD，BC，AB，AD所需時間分別是24，12，16，18.從P點同時反向各發一輛車，它們在AB中點相遇.P→D→A與 P→C→B所用時間相等.PC上所需時間-PD上所需時間 =DA所需時間-CB所需時間 =18-12 =6.而(PC上所需時間+PD上所需時間)是CD上所需時間24.根據“和差”計算得 PC上所需時間是(24+6)÷2=15，PD上所需時間是24-15=9.現在兩輛汽車從M點同時出發反向而行，M→P→D→A→N與M→C→B→N所用時間相等.M是PC中點.P→D→A→N與C→B→N時間相等，就有 BN上所需時間-AN上所需時間 =P→D→A所需時間-CB所需時間 =(9+18)-12 = 15.BN上所需時間+AN上所需時間=AB上所需時間 =16.立即可求BN上所需時間是15.5，AN所需時間是0.5.從這一例子可以看出，對要計算的數作一些準備性處理，會使問題變得簡單些.三、稍復雜的問題

在這一節希望讀者逐漸掌握以下兩個解題技巧：(1)在行程中能設置一個解題需要的點;(2)靈活地運用比例.例16 小王的步行速度是4.8千米/小時，小張的步行速度是5.4千米/小時，他們兩人從甲地到乙地去.小李騎自行車的速度是10.8千米/小時，從乙地到甲地去.他們3人同時出發，在小張與小李相遇后5分鐘，小王又與小李相遇.問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時間? 解：畫一張示意圖：

圖中A點是小張與小李相遇的地點，圖中再設置一個B點，它是張、李兩人相遇時小王到達的地點.5分鐘后小王與小李相遇，也就是5分鐘的時間，小王和小李共同走了B與A之間這段距離，它等于

這段距離也是出發后小張比小王多走的距離，小王與小張的速度差是(5.4-4.8)千米/小時.小張比小王多走這段距離，需要的時間是 1.3÷(5.4-4.8)×60=130(分鐘).這也是從出發到張、李相遇時已花費的時間.小李的速度10.8千米/小時是小張速度5.4千米/小時的2倍.因此小李從A到甲地需要 130÷2=65(分鐘).從乙地到甲地需要的時間是 130+65=195(分鐘)=3小時15分.答：小李從乙地到甲地需要3小時15分.上面的問題有3個人，既有“相遇”，又有“追及”，思考時要分幾個層次，弄清相互間的關系，問題也就迎刃而解了.在圖中設置一個B點，使我們的思考直觀簡明些.例17 小玲和小華姐弟倆正要從公園門口沿馬路向東去某地，而他們的家要從公園門口沿馬路往西.小華問姐姐：“是先向西回家取了自行車，再騎車向東去，還是直接從公園門口步行向東去快”?姐姐算了一下說：“如果騎車與步行的速度比是4∶1，那么從公園門口到目的地的距離超過2千米時，回家取車才合算.”請推算一下，從公園到他們家的距離是多少米? 解：先畫一張示意圖

設A是離公園2千米處，設置一個B點，公園離B與公園離家一樣遠.如果從公園往西走到家，那么用同樣多的時間，就能往東走到B點.現在問題就轉變成： 騎車從家開始，步行從B點開始，騎車追步行，能在A點或更遠處追上步行.具體計算如下：

不妨設B到A的距離為1個單位，因為騎車速度是步行速度的4倍，所以從家到A的距離是4個單位，從家到B的距離是3個單位.公園到B是1.5個單位.從公園到A是 1+1.5=2.5(單位).每個單位是 2000÷2.5=800(米).因此，從公園到家的距離是 800×1.5=1200(米).答：從公園門口到他們家的距離是1200米.這一例子中，取計算單位給計算帶來方便，是值得讀者仿照采用的.請再看一例.例18 快車和慢車分別從A，B兩地同時開出，相向而行.經過5小時兩車相遇.已知慢車從B到A用了12.5小時，慢車到A停留半小時后返回.快車到B停留1小時后返回.問：兩車從第一次相遇到再相遇共需多少時間? 解：畫一張示意圖：

設C點是第一次相遇處.慢車從B到C用了5小時，從C到A用了12.5-5=7.5(小時).我們把慢車半小時行程作為1個單位.B到C10個單位，C到A15個單位.慢車每小時走2個單位，快車每小時走3個單位.有了上面“取單位”準備后，下面很易計算了.慢車從C到A，再加停留半小時，共8小時.此時快車在何處呢?去掉它在B停留1小時.快車行駛7小時，共行駛3×7=21(單位).從B到C再往前一個單位到D點.離A點15-1=14(單位).現在慢車從A，快車從D，同時出發共同行走14單位，相遇所需時間是 14÷(2+3)=2.8(小時).慢車從C到A返回行駛至與快車相遇共用了 7.5+0.5+2.8=10.8(小時).答：從第一相遇到再相遇共需10小時48分.例19 一只小船從A地到B地往返一次共用2小時.回來時順水，比去時的速度每小時多行駛8千米，因此第二小時比第一小時多行駛6千米.求A至B兩地距離.解：1小時是行駛全程的一半時間，因為去時逆水，小船到達不了B地.我們在B之前設置一個C點，是小船逆水行駛1小時到達處.如下圖

第二小時比第一小時多行駛的行程，恰好是C至B距離的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.為了示意小船順水速度比逆水速度每小時多行駛8千米，在圖中再設置D點，D至C是8千米.也就是D至A順水行駛時間是1小時.現在就一目了然了.D至B是5千米順水行駛，與C至B逆水行駛3千米時間一樣多.因此 順水速度∶逆水速度=5∶3.由于兩者速度差是8千米.立即可得出

A至B距離是 12+3=15(千米).答：A至B兩地距離是15千米.例20 從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時40千米，在第二段上，汽車速度是每小時90千米，在第三段上，汽車速度是每小時50千米.已知第一段公路的長恰好是第三段的2倍.現有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時出發，相向而行.1小時20分后，在第二段的

解一：畫出如下示意圖：

當從乙城出發的汽車走完第三段到C時，從甲城出發的汽車走完第一段的

到達D處，這樣，D把第一段分成兩部分

時20分相當于

因此就知道，汽車在第一段需要

第二段需要 30×3=90(分鐘);

甲、乙兩市距離是

答：甲、乙兩市相距185千米.把每輛車從出發到相遇所走的行程都分成三段，而兩車逐段所用時間都相應地一樣.這樣通過“所用時間”使各段之間建立了換算關系.這是一種典型的方法.例

8、例13也是類似思路，僅僅是問題簡單些.還可以用“比例分配”方法求出各段所用時間.第一段所用時間∶第三段所用時間=5∶2.時間一樣.第一段所用時間∶第二段所用時間=5∶9.因此，三段路程所用時間的比是 5∶9∶2.汽車走完全程所用時間是 80×2=160(分種).例21 一輛車從甲地開往乙地.如果車速提高20%，可以比原定時間提前一小時到達;如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25%，則可提前40分鐘到達.那么甲、乙兩地相距多少千米? 解：設原速度是1.%后，所用時間縮短到原時間的

這是具體地反映：距離固定，時間與速度成反比.用原速行駛需要

同樣道理，車速提高25%，所用時間縮短到原來的

如果一開始就加速25%，可少時間

現在只少了40分鐘，72-40=32(分鐘).說明有一段路程未加速而沒有少這個32分鐘，它應是這段路程所用時間

真巧，320-160=160(分鐘)，原速的行程與加速的行程所用時間一樣.因此全程長

答：甲、乙兩地相距270千米.十分有意思，按原速行駛120千米，這一條件只在最后用上.事實上，其他條件已完全確定了“原速”與“加速”兩段行程的時間的比例關系，當然也確定了距離的比例關系.全程長還可以用下面比例式求出，設全程長為x，就有 x∶120=72∶32

第三篇：六年級奧數教案

思源學校第二課堂（第六周）

判斷與推理 2 授課人：雍堯

教學要求:(1)理解邏輯推理的四條基本規律，學會運用分析、推理方法解決問題。

(2)培養學生邏輯推理能力.教學重點:學會運用分析、推理方法解決問題。

教學難點: 理解、掌握分析、推理方法。

教學方法:講解法、圖表法、練習法。

（一）教學過程：

一、復習。

上節課的習題例2

二、教學新課 教學例3

甲乙丙三人被蒙上眼睛，告訴他們每個人頭上都戴了一頂帽子，帽子的顏色不是紅的就是綠的。然后，就去掉蒙眼睛的布，要求每個人如果看見別人（一個或兩個）戴的是紅帽子就舉手，并且誰能斷定自己頭上帽子的顏色，誰就馬上離開房間。三人碰巧戴的都是紅帽子，因此三個人都舉了手，幾分鐘后，丙首先走開了，他是怎么推導出自己頭上帽子的顏色的？

（1）學生審題，理解題意。（2）同座位討論。

（3）分析：此題關鍵：注意到甲乙兩人沒有立即離開房間這個事實。丙推理，我的帽子如果是綠的，甲根據乙舉手立即知道自己的帽子是紅的，那他應走出房間，乙會做同樣的推理離開房間。甲乙不能很快判斷自己帽子的顏色，說明我的帽子不是綠的，而是紅的。（4）說說你的推理過程。

3、比較前面例2例3有什么相同不同之處。

三、鞏固練習。教學例4 學田小學舉行科技知識競賽，同學們對一貫刻苦學習愛好讀書的四名學生的成績作了如下估計：（1）丙得第一，乙得第二；

（2）丙得第二，丁得第三；（3）甲得第二，丁得第四。

比賽結果一公布，果然是這四名學生獲得前四名。但以上三種估計，每一種都對了一半錯一半。他們各得第幾名？（1）學生審題，理解題意。（2）同座位討論。（3）分析：利用圖表幫助學生去推理判斷。

第一種假定“丙第一錯，乙第二對”出現矛盾。照此推理“丙第一對，乙第二錯”沒有出

現矛盾。所以丙第一，甲第二，丁第三，乙第四。（4）每人口述推理過程。

四、小結。

這節課你學會了什么？

第四篇：小學六年級奧數教案-圓與扇形

小學六年級奧數教案—11圓與扇形

本教程共30講

圓與扇形

五年級已經學習過三角形、矩形、平行四邊形、梯形以及由它們形成的組合圖形的相關問題，這一講學習與圓有關的周長、面積等問題。

圓的面積=πr2，圓的周長=2πr，本書中如無特殊說明，圓周率都取π=3.14。

例1 如下圖所示，200米賽跑的起點和終點都在直跑道上，中間的彎道是一個半圓。已知每條跑道寬1.22米，那么外道的起點在內道起點前面多少米？（精確到0.01米）

分析與解：半徑越大，周長越長，所以外道的彎道比內道的彎道長，要保證內、外道的人跑的距離相等，外道的起點就要向前移，移的距離等于外道彎道與內道彎道的長度差。雖然彎道的各個半徑都不知道，然而兩條彎道的中心線的半徑之差等于一條跑道之寬。

設外彎道中心線的半徑為R，內彎道中心線的半徑為r，則兩個彎道的長度之差為

πR-πr＝π（R-r）

＝3.14×1.22≈3.83（米）。

即外道的起點在內道起點前面3.83米。

例2 有七根直徑5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它們勒緊成一捆（如左下圖），此時橡皮筋的長度是多少厘米？

分析與解：由右上圖知，繩長等于6個線段AB與6個BC弧長之和。將圖中與BC弧類似的6個弧所對的圓心角平移拼補，得到6個角的和是360°，所以BC弧所對的圓心角是60°，6個BC弧等于直徑5厘米的圓的周長。而線段AB等于塑料管的直徑，由此知繩長=5×6＋5×3.14＝45.7（厘米）。

例3 左下圖中四個圓的半徑都是5厘米，求陰影部分的面積。

分析與解：直接套用公式，正方形中間的陰影部分的面積不太好計算。容易看出，正方形中的空白部分是4個四分之一圓，利用五年級學過的割補法，可以得到右上圖。右上圖的陰影部分的面積與原圖相同，等于一個正方形與4個半圓（即2個圓）的面積之和，為（2r）2＋πr2×2=102＋3.14×50≈257（厘米2）。

例4 草場上有一個長20米、寬10米的關閉著的羊圈，在羊圈的一角用長30米的繩子拴著一只羊（見左下圖）。問：這只羊能夠活動的范圍有多大？

分析與解：如右上圖所示，羊活動的范圍可以分為A，B，C三部分，所以羊活動的范圍是

例5 右圖中陰影部分的面積是2.28厘米2，求扇形的半徑。

分析與解：陰影部分是扇形與等腰直角三角形相差的部分。

所以，扇形的半徑是4厘米。

例6 右圖中的圓是以O為圓心、徑是10厘米的圓，求陰影部分的面積。

分析與解：解此題的基本思路是：

從這個基本思路可以看出：要想得到陰影部分S1 的面積，就必須想辦法求出S2和S3的面積。

S3的面積又要用下圖的基本思路求：

現在就可以求出S3的面積，進而求出陰影部分的面積了。

S3=S4-S5=50π-100（厘米2），S1=S2-S3=50π-（50π-100）=100（厘米2）。

練習11

1.直角三角形ABC放在一條直線上，斜邊AC長20厘米，直角邊BC長10厘米。如下圖所示，三角形由位置Ⅰ繞A點轉動，到達位置Ⅱ，此時B，C點分別到達B1，C1點；再繞B1點轉動，到達位置Ⅲ，此時A，C1點分別到達A2，C2點。求C點經C1到C2走過的路徑的長。

2.下頁左上圖中每個小圓的半徑是1厘米，陰影部分的周長是多少厘米？

3.一只狗被拴在一個邊長為3米的等邊三角形建筑物的墻角上（見右上圖），繩長是4米，求狗所能到的地方的總面積。

5.右上圖是一個400米的跑道，兩頭是兩個半圓，每一半圓的弧長是100米，中間是一個長方形，長為100米。求兩個半圓的面積之和與跑道所圍成的面積之比。

6.左下圖中，正方形周長是圓環周長的2倍，當圓環繞正方形無滑動地滾動一周又回到原來位置時，這個圓環轉了幾圈？

7.右上圖中，圓的半徑是4厘米，陰影部分的面積是14π厘米2，求圖中三角形的面積。

答案與提示 練習11

1.68厘米。

2.62.8厘米。

解：大圓直徑是6厘米，小圓直徑是2厘米。陰影部分周長是6π+2π×7=62.8（厘米）。

3.43.96米2。

解：如下頁右上圖所示，可分為半徑為4米、圓心角為300°的扇形與兩個半徑為1米、圓心角為120°的扇形。面積為

4.60°。

解：設∠CAB為n度，半圓ADB的半徑為r。由題意有

解得n=60。

5.1∶3。

6.3圈。

7.8厘米2。

解：圓的面積是42π=16π（厘米2），空白扇形面積占圓面積的1-的等腰直角三角形，面積為4×4÷2=8（厘米2）。

第五篇：小學奧數3-1-2 相遇與追及問題．教師版

相遇與追及問題

教學目標

1、根據學習的“路程和＝速度和×

時間”繼續學習簡單的直線上的相遇與追及問題

2、研究行程中復雜的相遇與追及問題

3、通過畫圖使較復雜的問題具體化、形象化，融合多種方法達到正確理解題目的目的4、培養學生的解決問題的能力

知識精講

一、相遇

甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后兩人在途中相遇，實質上是甲和乙一起走了A,B之間這段路程，如果兩人同時出發，那么

相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇時間+乙的速度×相遇時間

＝（甲的速度+乙的速度）×相遇時間

＝速度和×相遇時間.一般地，相遇問題的關系式為：速度和×相遇時間=路程和，即

二、追及

有兩個人同時行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他.這就產生了“追及問題”.實質上，要算走得快的人在某一段時間內，比走得慢的人多走的路程，也就是要計算兩人走的路程之差（追及路程）.如果設甲走得快，乙走得慢，在相同的時間（追及時間）內：

追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及時間-乙的速度×追及時間

＝（甲的速度-乙的速度）×追及時間

＝速度差×追及時間.一般地，追擊問題有這樣的數量關系：追及路程=速度差×追及時間，即

例如：假設甲乙兩人站在100米的跑道上，甲位于起點(0米)處，乙位于中間5米處，經過時間t后甲乙同時到達終點，甲乙的速度分別為和，那么我們可以看到經過時間t后，甲比乙多跑了5米，或者可以說，在時間t內甲的路程比乙的路程多5米，甲用了時間t追了乙5米

三、在研究追及和相遇問題時，一般都隱含以下兩種條件：

(1)在整個被研究的運動過程中，2個物體所運行的時間相同

(2)在整個運行過程中，2個物體所走的是同一路徑。

例題精講

模塊一、直線上的相遇問題

【例

1】

一輛客車與一輛貨車同時從甲、乙兩個城市相對開出，客車每小時行46千米，貨車每小時行48千米。3.5小時兩車相遇。甲、乙兩個城市的路程是多少千米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

本題是簡單的相遇問題，根據相遇路程等于速度和乘以相遇時間得到甲乙兩地路程為：（46+48）×3.5=94×3.5=329（千米）．

【答案】329千米

【鞏固】

兩地間的路程有255千米，兩輛汽車同時從兩地相對開出，甲車每小時行45千米，乙車每小時行40千米。甲、乙兩車相遇時，各行了多少千米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

根據相遇公式知道相遇時間是：255÷（45+40）=255÷85=3（小時），所以甲走的路程為：45×3=135（千米），乙走的路程為：40×3=120（千米）.【答案】甲走的路程為135千米，乙走的路程為120千米

【鞏固】

聰聰和明明同時從各自的家相對出發，明明每分鐘走20米，聰聰騎著腳踏車每分鐘比明明快42米，經過20分鐘后兩人相遇，你知道聰聰家和明明家的距離嗎？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

方法一：由題意知聰聰的速度是：(米/分)，兩家的距離明明走過的路程聰聰走

過的路程(米)，請教師畫圖幫助學生理解分析．

注意利用乘法分配律的反向應用就可以得到公式：．對于剛剛學習奧數的孩子，注意引導他們認識、理解及應用公式．

方法二：直接利用公式：(米)．

【答案】米

【例

2】

大頭兒子的家距離學校3000米，小頭爸爸從家去學校接大頭兒子放學，大頭兒子從學校回家，他們同時出發，小頭爸爸每分鐘比大頭兒子多走24米，50分鐘后兩人相遇，那么大頭兒子的速度是每分鐘走多少米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

大頭兒子和小頭爸爸的速度和：(米/分鐘)，小頭爸爸的速度：(米/分鐘)，大頭兒子的速度：(米/分鐘)．

【答案】大頭兒子的速度為米/分鐘

【例

3】、兩地相距米，包子從地到地需要秒，菠蘿從地到地需要秒，現在包子和菠蘿從、兩地同時相對而行，相遇時包子與地的距離是多少米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

包子的速度：(米／秒)，菠蘿的速度：(米／秒)，相遇的時間：(秒)，包子距地的距離：(米)．

【答案】包子距地的距離是米

【鞏固】

甲、乙兩車分別從相距千米的、兩城同時出發，相對而行，已知甲車到達城需小時，乙車到達城需小時，問：兩車出發后多長時間相遇？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

要求兩車的相遇時間，則必須知道它們各自的速度，甲車的速度是（千米／時），乙車的速度是（千米／時），則相遇時間是（小時）．

【答案】相遇時間是小時

【例

4】

甲、乙兩輛汽車分別從、兩地出發相對而行，甲車先行小時，甲車每小時行千米，乙車每小時行千米，小時相遇，求、兩地間的距離．

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

這題不同的是兩車不“同時”．

（法）求、兩地間的路程就是求甲、乙兩車所行的路程和．這樣可以充分別求出甲車、乙車所行的路程，再把兩部分合起來．（千米），（千米），（千米）．

（法）還可以先求出甲、乙兩車小時所行的路程和，再加上甲車小時所行的路程．

（千米），（千米）．

【答案】千米

【鞏固】

甲、乙兩列火車從相距千米的兩地相向而行，甲車每小時行千米，乙車每小時行千米，乙車先出發小時后，甲車才出發．甲車行幾小時后與乙車相遇？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

甲、乙兩車出發時間有先有后，乙車先出發小時，這段時間甲車沒有行駛，那么乙車這小時所行的路程不是甲、乙兩車同時相對而行的路程，所以要先求出甲、乙兩車同時相對而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙兩車同時相對而行的時間．乙車先行駛路程：(千米)，甲、乙兩車同時相對而行路程：(千米)，甲、乙兩車速度和：(千米／時)，甲車行的時間：(小時)．

【答案】小時

【鞏固】

甲、乙兩列火車從相距千米的兩地相向而行，甲車每小時行千米，乙車每小時行千米，乙車先出發小時后，甲車才出發．甲車行幾小時后與乙車相遇？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

甲、乙兩車出發時間有先有后，乙車先出發小時，這段時間甲車沒有行駛，那么乙車這小時所行的路程不是甲、乙兩車同時相對而行的路程，所以要先求出甲、乙兩車同時相對而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙兩車同時相對而行的時間．乙車先行駛路程：(千米)，甲、乙兩車同時相對而行路：(千米)，甲、乙兩車速度和：(千米)，與乙車相遇時甲車行的時間為：(小時)．

【答案】小時

【鞏固】

媽媽從家出發到學校去接小紅，媽媽每分鐘走米．媽媽走了分鐘后，小紅從學校出發，小紅每分鐘走米．再經過分鐘媽媽和小紅相遇．從小紅家到學校有多少米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

媽媽先走了分鐘，就是先走了（米）．分鐘后媽媽和小紅相遇，也就是說媽媽和小紅共同走了分鐘，這一段的路程為：（米），這樣媽媽先走的那一段路程，加上后來媽媽和小紅走的這一段路程，就是小紅家到學校的距離．即（米）．

【答案】米

【鞏固】

甲乙兩座城市相距千米，貨車和客車從兩城同時出發，相向而行．貨車每小時行千米，客車每小時行千米．客車在行駛中因故耽誤小時，然后繼續向前行駛與貨車相遇．問相遇時客車、貨車各行駛多少千米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

因為客車在行駛中耽誤小時，而貨車沒有停止繼續前行，也就是說，貨車比客車多走小時．如果從總路程中把貨車單獨行駛小時的路程減去，然后根據余下的就是客車和貨車共同走過的．再求出貨車和客車每小時所走的速度和，就可以求出相遇時間．然后根據路程＝速度×時間，可以分別求出客車和貨車在相遇時各自行駛的路程．相遇時間：（小時）相遇時客車行駛的路程:(千米)相遇時貨車行駛的路程：（千米）．

【答案】千米

【鞏固】

甲、乙兩列火車從相距千米的兩個城市對面開來，甲列火車每小時行千米，乙列火車每小時行千米，甲列火車先開出小時后，乙列火車才開出，問乙列火車行幾小時后與甲列火車相遇？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

(小時)．

【答案】小時

【例

5】

甲、乙兩輛汽車分別從、兩地出發相向而行，甲車先行3小時后乙車從地出發，乙車出發小時后兩車還相距千米．甲車每小時行千米，乙車每小時行千米．求、兩地間相距多少千米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

題目中寫的“還”相距千米指的就是最簡單的情況。畫線段圖如下：

由圖中可以看出，甲行駛了(小時)，行駛距離為：(千米)；乙行駛了小時，行駛距離為：(千米)，此時兩車還相距千米，所以、兩地間相距：

(千米)

也可以這樣做：兩車小時一共行駛：(千米)，、兩地間相距：

(千米)，所以，、兩地間相距千米．

【答案】、兩地間相距千米

【鞏固】

甲、乙兩輛汽車從A、B兩地同時相向開出，出發后2小時，兩車相距141公里；出發后5小時，兩車相遇。A、B兩地相距______

公里。

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，4年級，1試

【解析】

5-2=3小時，兩車合走141千米，速度和=141÷3=47千米/小時，故AB相距47×5=235千米。

【答案】、兩地間相距235千米

【例

6】

甲、乙二人分別從東、西兩鎮同時出發相向而行．出發小時后，兩人相距千米；出發小時后，兩人還相距千米．問出發多少小時后兩人相遇？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

根據小時后相距千米，小時后相距千米，可以求出甲、乙二人小時行的路程和為千米，即可求出兩人的速度和：（千米），根據相遇問題的解題規律；相隔距離÷速度和=相遇時間，可以求出行千米需要：（小時）．

【答案】小時

【例

7】

兩列城鐵從兩城同時相對開出，一列城鐵每小時走千米，另一列城鐵每小時走千米，在途中每列車先后各停車次，每次停車分鐘，經過小時兩車相遇，求兩城的距離？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

每列車停車時間：（分）=（小時），兩列車停車時間共小時，共同行駛時間：小時，速度和：（千米），兩城距離：（千米）．

【答案】千米

【例

8】

南轅與北轍兩位先生對于自己的目的地s城的方向各執一詞，于是兩人都按照自己的想法駕車同時分別往南和往北駛去，二人的速度分別為50千米/時，60千米/時，那么北轍先生出發5小時他們相距多少千米?．

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

兩人雖然不是相對而行，但是仍合力完成了路程，（50+60）×5=550（千米）．

【答案】550千米

【鞏固】

南轅與北轍兩位先生對于自己的目的地城的方向各執一詞，于是兩人都按照自己的想法駕車同時分別往南和往北駛去，二人的速度分別為千米/時，千米/時，那么北轍先生出發小時他們相距多少千米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

兩人雖然不是相對而行，但是仍合力完成了路程，（千米）．

【答案】千米

【鞏固】

兩列火車從相距千米的兩城背向而行，甲列車每小時行千米，乙列車每小時行千米，小時后，甲、乙兩車相距多少千米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

因為是背向而行，所以每過1小時,兩車就多相距(千米),則小時后兩車相距是：（千米）．

【答案】千米

【鞏固】

兩列火車從相距千米的兩城背向而行，甲列車每小時行千米，乙列車每小時行千米，小時后，甲、乙兩車相距多少千米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

因為是背向而行，所以兩車小時后的距離是：（千米）。

【答案】千米

【例

9】

兩地相距3300米，甲、乙二人同時從兩地相對而行，甲每分鐘行82米，乙每分鐘行83米，已經行了15分鐘，還要行多少分鐘兩人可以相遇？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

根據題意列綜合算式得到：（分鐘），所以兩個人還需要5分鐘相遇。

【答案】5分鐘

【鞏固】

兩地相距400千米，兩輛汽車同時從兩地相對開出，甲車每小時行40千米，乙車每小時比甲車多行5千米，4小時后兩車相遇了嗎？為什么？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

(千米)，(千米)，340千米<400千米，因為兩車4小時共行340千米，所以4小時后兩車沒有相遇．

【答案】沒有相遇

【鞏固】

孫悟空在花果山，豬八戒在高老莊，花果山和高老莊中間有條流沙河，一天，他們約好在流沙河見面，孫悟空的速度是200千米／小時．豬八戒的速度是150千米／小時，他們同時出發2小時后還相距500千米，則花果山和高老莊之間的距離是多少千米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

注意：“還相距”與“相距”的區別．建議教師畫線段圖．可以先求出2小時孫悟空和豬八戒走的路程：

(千米)，又因為還差500米，所以花果山和高老莊之間的距離：(千米)．

【答案】千米

【鞏固】

兩列貨車從相距450千米的兩個城市相向開出，甲貨車每小時行38千米，乙貨車每小時行40千米，同時行駛4小時后，還相差多少千米沒有相遇？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

所求問題＝全程－小時行駛的路程和．路程和：（千米），（千米）．

【答案】千米

【鞏固】

甲乙兩人分別以每小時6千米，每小時4千米的速度從相距30千米的兩地向對方的出發地前進．當兩人之間的距離是10千米時，他們走了___________小時．

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，一試

【解析】

有兩種情況，一種是甲乙兩人一共走了(千米)，一種是甲乙兩人一共走了(千米)，所以有兩種答案：(小時)或(小時)

【答案】

【鞏固】

一輛公共汽車和一輛小轎車同時從相距千米的兩地相向而行，公共汽車每小時行千米，小轎車每小時行千米，問幾小時后兩車相距千米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

兩車在相距千米的兩地相向而行，距離逐漸縮短，在相遇前某一時刻兩車相距千米，這時兩車共行的路程應為（）千米．即(小時)．需要注意的是當兩車相遇后繼續行駛時，兩車之間的距離又從零逐漸增大，到某一時刻，兩車再一次相距千米．這時兩車共行的路程為千米，即（小時)．

【答案】小時

【鞏固】

兩列火車從相距千米的兩城相向而行，甲列車每小時行千米，乙列車每小時行千米，小時后，甲、乙兩車還相距多少千米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

兩車的相距路程減去小時兩車共行的路程，就得到了兩車還相距的路程：（千米）．

【答案】千米

【例

10】

甲、乙兩地相距

240

千米，一列慢車從甲地出發，每小時行

60千米．同時一列快車從乙地出發，每小時行

90千米．兩車同向行駛，快車在慢車后面，經過多少小時快車可以追上慢車？（火車長度忽略不計）

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

追及路程即為兩地距離240千米，速度差（千米），所以追及時間（小時）

【答案】小時

【例

11】

小強每分鐘走米，小季每分鐘走米，兩人同時從同一地點背向走了分鐘，小強掉頭去追小季，追上小季時小強共走了多少米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

小強走的時間是兩部分，一部分是和小季背向走的時間，另一部分是小季追他的時間，要求追及時間，就要求出他們的路程差．路程差是兩人相背運動的總路程：(米)追及時間為：(分鐘)小強走的總路程為：(米)

【答案】米

【例

12】

甲、乙兩輛汽車同時從地出發去地，甲車每小時行千米，乙車每小時行千米．途中甲車出故障停車修理了小時，結果甲車比乙車遲到小時到達地．、兩地間的路程是多少？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

由于甲車在途中停車小時，比乙車遲到小時，說明行這段路程甲車比乙車少用小時．可理解成甲車在途中停車小時，兩車同時到達，也就是乙車比甲車先行小時，兩車同時到達地，所以，也可以用追及問題的數量關系來解答．即：行這段路程甲車比乙車少用的時間是：(小時)，乙車小時行的路程是：(千米)，甲車每小時比乙車多行的路程是：(千米)，甲車所需的時間是：(小時)，、兩地間的路程是：(千米)．

【答案】千米

【例

13】

小張和小王早晨8時整從甲地出發去乙地，小張開車，速度是每小時60千米。小王步行，速度為每小時4千米。如果小張到達乙地后停留1小時立即沿原路返回，恰好在10時整遇到正在前往乙地的小王。那么甲、乙兩地之間的距離是_______千米。

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】填空

【關鍵詞】迎春杯，中年級，初試

【解析】

根據分析得：（千米）.【答案】千米

【例

14】

小明的家住學校的南邊，小芳的家在學校的北邊，兩家之間的路程是1410米，每天上學時，如果小明比小芳提前3分鐘出發，兩人可以同時到校．已知小明的速度是70米/分鐘，小芳的速度是80米/分鐘，求小明家距離學校有多遠？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

小明比小芳提前3分鐘出發，則多走（米）．兩家之間的所剩路程是（米），兩人的速度和是（米），所剩路程需：（分鐘）走完．小明家距離學校（米）．

【答案】米

【鞏固】

學校和部隊駐地相距千米，小宇和小宙由學校騎車去部隊駐地，小宇每小時行千米，小宙每小時行千米．當小宇走了千米后，小宙才出發．當小宙追上小宇時，距部隊駐地還有多少千米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

追及時間為：(小時)，此時距部隊駐地還有：(千米)．

【答案】千米

【例

15】

甲、乙兩列火車同時從地開往地，甲車小時可以到達，乙車每小時比甲車多行千米，比甲車提前小時到達．求、兩地間的距離．

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

這道題的路程差比較隱蔽，需要仔細分析題意，乙到達時，甲車離終點還有兩小時的路程，因此路程差是甲車兩小時的路程．

方法一：如圖：

甲車小時可以到達，乙車比甲車提前小時到達，因此，乙車到達時用了：(小時)，此時路程差為：(千米)，此時路程差就是甲車小時的路程，所以甲車速度為：(千米/小時)，、兩地間的距離：(千米)

方法二：如圖：

假設兩車都行了小時，則甲車剛好到達，乙車則超出了：(千米)，這段路程正好是乙車小時走的，因此乙車速度：(千米/小時)，乙車到達時用了：(小時)，、兩地間的距離：(千米)

【答案】千米

【例

16】

軍事演習中，“我”海軍英雄艦追及“敵”軍艦，追到A島時，“敵”艦已在10分鐘前逃離，“敵”艦每分鐘行駛1000米，“我”海軍英雄艦每分鐘行駛1470米，在距離“敵”艦600米處可開炮射擊，問“我”海軍英雄艦從A島出發經過多少分鐘可射擊敵艦？

【解析】

“我”艦追到A島時，“敵”艦已逃離10分鐘了，因此，在A島時，“我”艦與“敵”艦的距離為10000米（=1000×10）.又因為“我”艦在距離“敵”艦600米處即可開炮射擊，即“我”艦只要追上“敵”艦9400（=10000米-600米）即可開炮射擊.所以，在這個問題中，不妨把9400當作路程差，根據公式求得追及時間.（1000×10-600）÷（1470-1000）=（10000-600）÷470=9400÷470=20（分鐘），經過20分鐘可開炮射擊“敵”艦.【答案】20分鐘

【鞏固】

在一條筆直的高速公路上，前面一輛汽車以千米/小時的速度行駛，后面一輛汽車以千米/小時的速度行駛．后面的汽車剎車突然失控，向前沖去(車速不變)．在它鳴笛示警后秒鐘撞上了前面的汽車．在這輛車鳴笛時兩車相距多少米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【關鍵詞】走美杯

【解析】

這是一道“追及問題”．根據追及問題的公式，追及時間路程差時間差．由題意知，追及時間為秒鐘，也就是小時，兩車相距距離為路程差，速度差為(千米/時)，也就是米/時，所以路程差為：(米)，所以，在這輛車鳴笛時兩車相距米．

【答案】米

【例

17】

甲車每小時行40千米，乙車每小時行60千米。兩車分別從A，B兩地同時出發，相向而行，相遇后3時，甲車到達B地。求A，B兩地的距離。

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

相遇后甲行駛了40×3=120千米，即相遇前乙行駛了120千米，說明甲乙二人的相遇時間是120÷60=2小時，則兩地相距（40+60）×2=200千米．

【答案】200千米

【鞏固】

甲、乙二人同時從地去地，甲每分鐘行米，乙每分鐘行米，乙到達地后立即返回，并與甲相遇，相遇時，甲還需行分鐘才能到達地，、兩地相距多少米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

相遇時甲走了距離減去(米)，乙走了距離加上米，乙比甲多走了米，這個路程差需要(分鐘)才能達到，這分鐘兩人一共行走了

米．所以距離為米．

【答案】米

【例

18】

甲乙兩車分別從A、B兩地同時相向開出，4小時后兩車相遇，然后各自繼續行駛3小時，此時甲車距B地10千米，乙車距A地80千米．問：甲車到達B地時，乙車還要經過多少時間才能到達A地?

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

由4時兩車相遇知，4時兩車共行A，B間的一個單程．相遇后又行3時，剩下的路程之和10＋80＝90（千米）應是兩車共行4－3＝1（時）的路程．所以A，B兩地的距離是（10＋80）÷（4－3）×4＝360（千米）。因為7時甲車比乙車共多行80－10＝70（千米），所以甲車每時比乙車多行

70÷7＝10（千米），又因為兩車每時共行90千米，所以每時甲車行

50千米，乙車行40千米．行一個單程，乙車比甲車多用360÷40－360÷50＝9－7．2＝1．8（時）＝1時48分．

【答案】1時48分

【例

19】

小紅和小強同時從家里出發相向而行。小紅每分鐘走52米，小強每分鐘走70米，二人在途中的A處相遇。若小紅提前4分鐘出發，但速度不變，小強每分鐘走90米，則兩人仍在A處相遇。小紅和小強的家相距多遠?

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

因為小紅的速度不變，相遇地點不變，所以小紅兩次走的時間相同，推知小強第二次比第一次少走4分。由（70×4）÷（90-70）=14（分），推知小強第二次走了14分，第一次走了18分，兩人的家相距（52+70）×18=2196（米）．

【答案】2196米

【鞏固】

小明每天早晨按時從家出發上學，李大爺每天早晨也定時出門散步，兩人相向而行，小明每分鐘行米，李大爺每分鐘行米，他們每天都在同一時刻相遇．有一天小明提前出門，因此比平時早分鐘與李大爺相遇，這天小明比平時提前多少分鐘出門？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

因為提前分鐘相遇，說明李大爺出門時，小明已經比平時多走了兩人分鐘合走的路，即多走了（米），所以小明比平時早出門（分）．

【答案】分

【例

20】

小明和小軍分別從甲、乙兩地同時出發，相向而行。若兩人按原定速度前進，則4時相遇；若兩人各自都比原定速度多1千米／時，則3時相遇。甲、乙兩地相距多少千米？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

24千米。每時多走1千米，兩人3時共多走6千米，這6千米相當于兩人按原定速度1時走的距離。所以甲、乙兩地相距6×4＝24（千米）。

【答案】24千米

【鞏固】

甲、乙兩車從A，B兩地同時出發，相向而行。如果甲車提前一段時間出發，那么兩車將提前30分相遇。已知甲車速度是60千米／時，乙車速度是40千米／時。問：甲車提前了多少分出發？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

50分。因為提前30分相遇，甲車應提前走了(千米)，所以甲車提前出發（時）

【答案】50分

【例

21】

甲、乙兩人分別從相距260千米的A、B兩地同時沿筆直的公路乘車相向而行，各自前往B地、A地。甲每小時行32千米，乙每小時行48千米。甲、乙各有一個對講機，當他們之間的距離小于20千米時，兩人可用對講機聯絡。問：

(1)兩人出發后多久可以開始用對講機聯絡?

(2)他們用對講機聯絡后，經過多長時間相遇?

(3)他們可用對講機聯絡多長時間?

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【關鍵詞】希望杯，四年級，二試

【解析】

(1)(260-20)÷(32+48)=3(小時)。

(2)20÷(32+48)=0.25(小時)。

(3)從甲、乙相遇到他們第二次相距20千米也用0.25小時．所以他們一共可用對講機聯絡

0.25+0.25=0.5(小時)。

【答案】(1)

3小時

(2)

0.25小時

(3)

0.5小時

模塊二、直線上的追及問題

【例

22】

小明步行上學，每分鐘行70米．離家12分鐘后，爸爸發現小明的明具盒忘在家中，爸爸帶著明具盒，立即騎自行車以每分鐘280米的速度去追小明．問爸爸出發幾分鐘后追上小明？當爸爸追上小明時他們離家多遠？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

當爸爸開始追小明時，小明已經離家：(米)，即爸爸要追及的路程為840米,也就是爸爸與小明的距離是840米，我們把這個距離叫做“路程差”，爸爸出發后，兩人同時走，每過1分，他們之間的距離就縮短(米)，也就是爸爸與小明的速度差為

(米/分),爸爸追及的時間：(分鐘)．當爸爸追上小明時，小明已經出發(分鐘)，此時離家的距離是：(米)

【答案】米

【鞏固】

哥哥和弟弟在同一所學校讀書．哥哥每分鐘走65米，弟弟每分鐘走40米，有一天弟弟先走5分鐘后，哥哥才從家出發，當弟弟到達學校時哥哥正好追上弟弟也到達學校，問他們家離學校有多遠?

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

哥哥出發的時候弟弟走了：（米），哥哥追弟弟的追及時間為：（分鐘），所以家離學校的距離為：（米）.【答案】米

【鞏固】

小明以每分鐘50米的速度從學校步行回家，12分鐘后小強從學校出發騎自行車去追小明，結果在距學校1000米處追上小明，求小強騎自行車的速度.【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

小強出發的時候小明走了（米），被小強追上時小明又走了：（分鐘），說明小強8分鐘走了1000米，所以小強的速度為：（米/分鐘）.【答案】米/分鐘

【鞏固】

小聰和小明從學校到相距米的電影院去看電影．小聰每分鐘行米，他出發后分鐘小明才出發，結果倆人同時到達影院，小明每分鐘行多少米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

要求小明每分鐘走多少米，就要先求小明所走的路程(已知)和小明所用的時間；要求小明所用的時間，就要先求小聰所用的時間，小聰所用的時間是：(分鐘)，小明所用的時間是：(分鐘)，小明每分鐘走的米數是：(米)．

【答案】米

【鞏固】

一輛慢車從甲地開往乙地，每小時行千米，開出小時后，一輛快車以每小時千米的速度也從甲地開往乙地．在甲乙兩地的中點處快車追上慢車，甲乙兩地相距多少千米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

慢車先行的路程是：(千米)，快車每小時追上慢車的千米數是：(千米)，追及的時間是：(小時)，快車行至中點所行的路程是：(千米)，甲乙兩地間的路程是：(千米)．

【答案】千米

【鞏固】

六年級同學從學校出發到公園春游，每分鐘走米，分鐘以后，學校有急事要通知學生，派李老師騎自行車從學校出發分鐘追上同學們，李老師每分鐘要行多少米才可以準時追上同學們？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

同學們分鐘走（米），即路程差．然后根據速度差＝路程差÷追及時間，可以求出李老師和同學們的速度差，又知道同學們的速度是每分鐘米，就可以得出李老師的速度．即（米）．

【答案】米

【例

23】

下午放學時，弟弟以每分鐘40米的速度步行回家.5分鐘后，哥哥以每分鐘60米的速度也從學校步行回家，哥哥出發后，經過幾分鐘可以追上弟弟？（假定從學校到家有足夠遠，即哥哥追上弟弟時，仍沒有回到家）.【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

若經過5分鐘，弟弟已到了A地，此時弟弟已走了40×5=200（米）；哥哥每分鐘比弟弟多走20米，幾分鐘可以追上這200米呢？40×5÷（60-40）=200÷20=10（分鐘），哥哥10分鐘可以追上弟弟.【答案】10分鐘

【鞏固】

甲、乙二人都要從北京去天津，甲行駛10千米后乙才開始出發，甲每小時行駛15千米，乙每小時行駛10千米，問：乙經過多長時間能追上甲？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

出發時甲、乙二人相距10千米，以后兩人的距離每小時都縮短15-10＝5（千米），即兩人的速度的差（簡稱速度差），所以10千米里有幾個5千米就是幾小時能追上.10÷（15-10）＝10÷5＝2（小時），還需要2個小時。

【答案】2個小時

【鞏固】

解放軍某部先遣隊，從營地出發，以每小時6千米的速度向某地前進，12小時后，部隊有急事，派通訊員騎摩托車以每小時78千米的速度前去聯絡，問多少時間后，通訊員能趕上先遣隊？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

(小時)．

【答案】小時

【鞏固】

甲地和乙地相距千米，平平和兵兵由甲地騎車去乙地，平平每小時行千米，兵兵每小時行千米，當平平走了千米后，兵兵才出發，當兵兵追上平平時，距乙地還有多少千米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

平平走了千米后，兵兵才出發，這千米就是平平和兵兵相距的路程．由于兵兵每小時比平平多走(千米)，要求兵兵幾小時可以追上千米，也就是求千米里包含著幾個千米，用(小時)．因為甲地和乙地相距千米，兵兵每小時行千米，小時走了(千米)，所以兵兵追上平平時，距乙地還有(千米)

【答案】千米

【例

24】

甲、乙兩架飛機同時從一個機場起飛，向同一方向飛行，甲機每小時行千米，乙機每小時行千米，飛行小時后它們相隔多少千米？這時候甲機提高速度用小時追上乙機，甲機每小時要飛行多少千米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

①小時后相差多少千米：（千米）．②甲機提高速度后每小時飛行多少千米：（千米）．

【答案】千米

【例

25】

王芳和李華放學后，一起步行去體校參加排球訓練，王芳每分鐘走米，李華每分鐘走米，出發分鐘后，王芳返回學校取運動服，在學校又耽誤了分鐘，然后追趕李華．求多少分鐘后追上李華？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

已知二人出發分鐘后，王芳返回學校取運動服，這樣用去了分鐘，在學校又耽誤了分鐘，王芳一共耽誤了(分鐘)．李華在這段時間比王芳多走：(米)，速度差為：(米/秒)，王芳追上李華的時間是：(分鐘)

【答案】分鐘

【鞏固】

小王、小李共同整理報紙，小王每分鐘整理份，小李每分鐘整理份，小王遲到了分鐘，當小王、小李整理同樣多份的報紙時，正好完成了這批任務．一共有多少份報紙？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

本題可用追及問題思路解題，類比如下：路程差：小王遲到分鐘這段時間，小李整理報紙的份數（份），速度差：（份/分鐘）．此時可求兩人整理同樣多份報紙時，小王所用時間，即追及時間是（分鐘）．共整理報紙：（份）

【答案】份

【鞏固】

甲、乙兩車同時從地向地開出，甲每小時行千米，乙每小時行千米，開出小時后，甲車因有緊急任務返回地；到達地后又立即向地開出追乙車，當甲車追上乙車時，兩車正好都到達地，求、兩地的路程．

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

根據題意畫出線段圖：

從圖中可以看出，當甲開始追乙的時候兩車的路程差正好是乙車已經行駛的小時的路程，那么根據追及路程和速度差可以求出追及時間，而追及時間正好是甲車從地到地所用的時間，由此可以求出、兩地的路程,追及路程為：(千米),追及時間為：(小時),、兩地的路程為：(千米).【答案】千米

【鞏固】

小李騎自行車每小時行千米，小王騎自行車每小時行千米．小李出發后小時，小王在小李的出發地點前面千米處出發，小李幾小時可以追上小王？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

小李小時走：（千米），又知小王在小李的出發地點前面千米處出發，則知道兩人的路程差是（千米）．每小時小王追上小李（千米），則千米里面有幾個千米，則追及時間就是幾小時，即：（小時）．

【答案】小時

【例

1】

甲、乙兩車同時從A城市出發駛向距離300千米遠的B城市．已知甲車比乙車晚出發1個小時，但提前1個小時到達B城市．那么，甲車在距離B城市________千米處追上乙車．

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【關鍵詞】迎春杯，五年級，初試

【解析】

根據題意，甲車比乙車晚出發１個小時，結果還比乙提前１個小時到達，則在行駛３００千米的時間內，甲比乙多行了乙２個小時的路程；現在，甲要比乙多行乙１個小時的路程，甲只需行駛３００÷２＝１５０千米。

【答案】１５０千米

【例

26】

兩地相距米，甲、乙二人同時、同地向同一方向行走，甲每分鐘走米，乙每分鐘走米，當乙到達目標后，立即返回，與甲相遇，從出發到相遇共經過多少分鐘？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

甲、乙二人開始是同向行走，乙走得快，先到達目標．當乙返回時運動的方向變成了同時相對而行，把相同方向行走時乙用的時間和返回時相對而行的時間相加，就是共同經過的時

乙到達目標時所用時間：(分鐘)，甲分鐘走的路程：(米)，甲距目標還有：(米)，相遇時間：(分鐘)，共用時間：(分鐘)．

【答案】分鐘

【鞏固】

八戒和悟空兩家相距千米，兩人同時騎車，從家出發相對而行，悟空每小時行千米，八戒每小時行千米．兩人相遇時，悟空和八戒各行了多少千米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

要求他們各行了多少千米，那么就必須知道他們行駛的時間：（小時）．悟空：（千米），八戒：（千米）．

【答案】千米

【例

27】

龜、兔進行1000米的賽跑．小兔斜眼瞅瞅烏龜，心想：“我小兔每分鐘能跑100米，而你烏龜每分鐘只能跑10米，哪是我的對手．”比賽開始后，當小兔跑到全程的一半時，發現把烏龜甩得老遠，便毫不介意地躺在旁邊睡著了．當烏龜跑到距終點還有40米時，小兔醒了，拔腿就跑．請同學們解答兩個問題：

它們誰勝利了？為什么？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

⑴

烏龜勝利了．因為兔子醒來時，烏龜離終點只有40米，烏龜需要(分鐘)就能到達終點，而兔子離終點還有500米，需要(分鐘)才能到達，所以烏龜勝利了．

⑵

烏龜跑到終點還要(分鐘)，而小兔跑到終點還要(分鐘)，慢1分鐘．當勝利者烏龜跑到終點時，小兔離終點還有：(米)．

【答案】米

【鞏固】

上一次龜兔賽跑兔子輸得很不服氣，于是向烏龜再次下戰書，比賽之前，為了表示它的大度，它讓烏龜先跑10分鐘，但是兔子不知道烏龜經過鍛煉，速度已經提高到5倍，那么這一次誰將獲得勝利呢？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

由烏龜速度提高到5倍，可知烏龜現在的速度為(米/分)，烏龜先跑10分鐘，即兔子開始跑時，烏龜已經跑了(米)，還剩(米)，需要(分鐘)就可以到達終點，而兔子到達終點需要的時間是：(分鐘)，所以，兔子和烏龜同時到達終點．

【答案】分鐘

【例

28】

甲、乙兩車分別從、兩地出發，同向而行，乙車在前，甲車在后．已知甲車比乙車提前出發小時，甲車的速度是千米/小時，乙車每小時行千米．甲車出發小時后追上乙車，求、兩地間的距離．

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

由已知可求出甲、乙兩車的追及時間，利用追及問題的公式求解．追及時間為：(小時),追及路程為：(千米),、兩地間的距離為：(千米)

【答案】千米

【鞏固】

一輛汽車和一輛摩托車同時從甲、乙兩地出發，向同一個方向前進，摩托車在前，每小時行千米，汽車在后，每小時行千米，經過小時汽車追上摩托車，甲乙兩地相距多少千米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

方法一：根據題意，畫出線段示意圖：

從圖中可知，甲、乙兩地間的距離就是汽車與摩托車所行的路程差．先求出汽車追上摩托車時，兩車分別行駛的路程，再求出兩地的路程，即(千米)方法二：先求出汽車每小時比摩托車多行駛的路程(速度差)，再求出兩地相距的路程，即：(千米)

【答案】千米

【例

29】

小紅和小藍練習跑步，若小紅讓小藍先跑20米，則小紅跑5秒鐘就可追上小藍；若小紅讓小藍先跑4秒鐘，則小紅跑6秒鐘就能追上小藍．小紅、小藍二人的速度各是多少？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

小紅讓小藍先跑20米，則20米就是小紅、小藍二人的路程差，小紅跑5秒鐘追上小藍，5秒就是追及時間，據此可求出他們的速度差為(米/秒)；若小紅讓小藍先跑4秒，則小紅6秒可追上小藍，在這個過程中，追及時間為6秒，根據上一個條件，由追及差和追及時間可求出在這個過程中的路程差，這個路程差即是小藍4秒鐘所行的路程，路程差就等于(米)，也即小藍在4秒內跑了24米，所以可求出小藍的速度，也可求出小紅的速度．綜合列式計算如下：小藍的速度為：(米/秒)，小紅的速度為：(米/秒)

【答案】小藍的速度為米/秒，小紅的速度為米/秒

【鞏固】

甲、乙二人練習跑步，若甲讓乙先跑10米，則甲跑5秒鐘可追上乙；若甲讓乙先跑2秒鐘，則甲跑4秒鐘就能追上乙．問：甲、乙二人的速度各是多少？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

若甲讓乙先跑10米，則10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及時間，據此可求出他們的速度差為(米/秒)；若甲讓乙先跑2秒，則甲跑4秒可追上乙，在這個過程中，追及時間為4秒，因此路程差就等于(米)，也即乙在2秒內跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度．綜合列式計算如下：乙的速度為：(米/秒)，甲的速度為：(米/秒)

【答案】米/秒

【鞏固】

甲、乙二人沿著同一條米的跑道賽跑，甲由起跑線上起跑，乙在甲后米處起跑，當甲離終點還有米時，乙追上甲，那么當乙跑到終點時，甲離終點還有多少米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

甲、乙兩人的運動時間相同，所以，甲的路程甲的速度乙的路程乙的速度，而甲、乙的速度都不變，所以，乙的路程變為原來的幾倍，甲的路程也變為原來的幾倍

由圖可知，甲跑(米)，乙跑(米)，所以當乙跑(米)時，甲跑：(米)，即當乙跑到終點時，甲離終點還有(米)

【答案】米

【例

30】

甲、乙兩車同時從A、B兩地沿相同的方向行駛。甲車如果每小時行駛60千米，則5小時可追上前方的乙車；如果每小時行駛70千米，則3小時可追上前方的乙車。由上可知，乙車每小時行駛_____千米(假設乙車的行駛速度保持不變)。

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，四年級，二試

【解析】

利用追及路程一樣有，5×(60-乙速)=3×(70-乙速)，解得乙速=45千米/小時

【答案】45千米/小時

【例

31】

劉老師騎電動車從學校到韓丁家家訪，以10千米/時的速度行進，下午1點到；以15千米/時的速度行進，上午11點到.如果希望中午12點到，那么應以怎樣的速度行進？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

這道題沒有出發時間，沒有學校到韓丁家的距離，也就是說既沒有時間又沒有路程，似乎無法求速度.這就需要通過已知條件，求出時間和路程.假設有A，B兩人同時從學校出發到韓丁家，A每小時行10千米，下午1點到；B每小時行15千米，上午11點到.B到韓丁家時，A距韓丁家還有10×2=20（千米），這20千米是B從學校到韓丁家這段時間B比A多行的路程.因為B比A每小時多行15-10=5（千米），所以B從學校到韓丁家所用的時間是20÷（15-10）=4（時）.由此知，A，B是上午7點出發的，學校離韓丁家的距離是15×4=60（千米）.劉老師要想中午12點到，即想（12-7=）5時行60千米，劉老師騎車的速度應為60÷（12-7）=12（千米/時）．

【答案】12千米/時

【鞏固】

王新從教室去圖書館還書，如果每分鐘走70米，能在圖書館閉館前2分鐘到達，如果每分鐘走50米，就要超過閉館時間2分鐘，求教室到圖書館的路程有多遠？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

設從教室去圖書館閉館時所用時間是x分鐘

（米）

答：教室到圖書館的路程有700米．

【答案】700米

【例

32】

甲、乙二人分別從山頂和山腳同時出發，沿同一山道行進。兩人的上山速度都是米/分，下山的速度都是米/分。甲到達山腳立即返回，乙到達山頂休息分鐘后返回，兩人在距山頂米處再次相遇。山道長

米。

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【關鍵詞】第六屆，走美杯，決賽

【解析】

甲、乙兩人相遇后如果甲繼續行走（分鐘）后可以返回山頂，如果乙不休息，那么這個時候乙應該到達山腳，所以這個時候乙還需要分鐘到達山腳，也就是距離山腳還有（米），所以山頂到山腳的距離為（米）。

【答案】米

【鞏固】

小張和小王早晨點整同時從甲地出發去乙地，小張開車，速度是每小時千米．小王步行，速度為每小時千米．如果小張到達乙地后停留小時立即沿原路返回，恰好在點整遇到正在前往乙地的小王．那么甲、乙兩地之間的距離是

千米．

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】填空

【關鍵詞】北京市，迎春杯

【解析】

因為小張和小王相遇時恰好經過了兩個甲地到乙地的距離，而這個過程中小張開車個小時，小王步行個小時，他們一共所走的路程是：(千米)，所以甲、乙兩地之間的距離是：(千米)．

【答案】千米

【例

33】

如下圖，某城市東西路與南北路交會于路口．甲在路口南邊560米的點，乙在路口．甲向北，乙向東同時勻速行走．4分鐘后二人距的距離相等．再繼續行走24分鐘后，二人距的距離恰又相等．問：甲、乙二人的速度各是多少？

1.【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【關鍵詞】明心奧數挑戰賽

【解析】

本題總共有兩次距離相等，第一次：甲到的距離正好就是乙從出發走的路程．那么甲、乙兩人共走了560米，走了4分鐘，兩人的速度和為：

(米/分)。第二次：兩人距的距離又相等，只能是甲、乙走過了點，且在點以北走的路程乙走的總路程．那么，從第二次甲比乙共多走了560米，共走了(分鐘)，兩人的速度差：(米/分)，甲速乙速，顯然甲速要比乙速要快；甲速乙速，解這個和差問題，甲速(米/分)，乙速(米/分)．

【答案】甲速米/分，乙速米/分

【例

34】

早晨，小張騎車從甲地出發去乙地．下午1點，小王開車也從甲地出發，前往乙地．下午2點時兩人之間的距離是15千米．下午3點時，兩人之間的距離還是15千米．下午4點時小王到達乙地，晚上7點小張到達乙地．小張是早晨_________出發．

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，初賽

【解析】

由“下午2點時兩人之間的距離是l5千米．下午3點時，兩人之間的距離還是l5千米”可知：兩人的速度差是每小時30千米，由3點開始計算，我們知：小王再有一小時就可走完全程，在這一小時當中，小王比小張多走30千米，那小張3小時多走千米，故小張的速度是15千米/小時，小王的速度是45千米/小時．全程是(千米)，(小時)，即上午10點出發．

【答案】10點

【例

35】

甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發，如果兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6分鐘可相遇，又已知乙每分鐘行50米，求A、B兩地的距離.【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

先畫圖如下：

若設甲、乙二人相遇地點為C，甲追及乙的地點為D，則由題意可知甲從A到C用6分鐘.而從A到D則用26分鐘，因此，甲走C到D之間的路程時，所用時間應為：（26-6）=20（分）。同時，由上圖可知，C、D間的路程等于BC加BD.即等于乙在6分鐘內所走的路程與在26分鐘內所走的路程之和，為50×（26＋6）=1600（米）.所以，甲的速度為1600÷20＝80（米/分），由此可求出A、B間的距離。50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米/分），（80+50）×6＝130×6=780（米）

【答案】780米

【鞏固】

小葉子上學時騎車，回家時步行，路上共用分鐘，如果往返都步行，則全程需要分鐘，求往返都騎車所需的時間是多少？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

一個單程步行比騎車多用（分鐘），騎車單程（分鐘），往返騎車的時間（分鐘）．

【答案】分鐘

【例

36】

從甲城到乙城的鐵路線上每隔10千米有一個小車站。一列慢車上午9點以45千米／時的速度由甲城開往乙城，另一列快車上午9點30分以60千米／時的速度也由甲城開往乙城。鐵路部門規定，同方向前進的兩列火車之間相距不能少于8千米。問：這列慢車最遲應該在距甲城多遠的小車站停車讓快車超過？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

60千米。解：快車距離慢車8千米需要(時)。此時慢車距甲城（千米）。所以慢車應在距甲城60千米的小車站停車。

【答案】60千米

模塊三、終（中）點問題

【例

37】

夏夏和冬冬同時從兩地相向而行，夏夏每分鐘行50米，冬冬每分鐘行60米，兩人在距兩地中點50米處相遇，求兩地的距離是多少米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

根據題意，畫線段圖如下：

從圖中可以看出(可讓學生先判斷相遇點在中點哪一側，為什么？)，因為夏夏的速度比冬冬慢，所以相遇點一定在中點偏向夏夏的這一邊50米，由圖可以得出：夏夏所行路程全程一半50米，冬冬所行路程全程一半米

；所以兩人相遇時，冬冬比夏夏多走了(米)，冬冬比夏夏每分鐘多走10米，所以兩人從出發到相遇共走了10分鐘，兩地的距離：(米)．

【答案】米

【鞏固】

甲、乙兩車同時從A，B兩地相向而行，它們相遇時距A，B兩地中心處8千米，已知甲車速度是乙車的1.2倍，求A，B兩地的距離。

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

176千米。提示：甲、乙的速度比為，相遇時甲走了全程的。

【答案】176千米

【鞏固】

甲乙二人同時分別自A、B兩地出發相向而行，相遇之地距A、B中點300米，已知甲每分鐘行100米，乙每分鐘行70米，求A地至B地的距離.【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

相遇時甲比乙多行（米），相遇時共用了（分），A、B兩地之間的距離為（米）.【答案】米

【鞏固】

王老師從甲地到乙地，每小時步行5千米，張老師從乙地到甲地，每小時步行4千米．兩人同時出發，然后在離甲、乙兩地的中點1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離．

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

畫一張示意圖(可讓學生先判斷相遇點在中點哪一側，為什么？)

離中點1千米的地方是點，從圖上可以看出，王老師走了兩地距離的一半多1千米，張老師走了兩地距離的一半少1千米．從出發到相遇，王老師比張老師多走了2千米，王老師比張老師每小時多走千米，從出發到相遇所用的時間是(小時)。因此，甲、乙兩地的距離是(千米)．

【答案】千米

【鞏固】

蠟筆小新從家出發去超市找媽媽，小新媽媽從超市回家，他們同時出發，小新每分鐘走米，小新媽媽每分鐘走米，他們在離中點米的地方相遇了，求小新家到超市的距離是多少米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

路程差：(米)，速度差：(米／分鐘)，相遇所用的時間：(分鐘)，家到超市的距離：(米)．

【答案】米

【鞏固】

李明和王亮同時分別從兩地騎車相向而行，李明每小時行千米，王亮每小時行千米，兩人相遇時距全程中點千米．問全程長多少千米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

李明走了全程的一半多千米，王亮走了全程的一半少千米，李明比王亮實際多走了(千米)．由已知李明每小時比王亮多走(千米)，李明比王亮多行千米需要(小時)，這就是兩人的相遇時間，有了相遇時間，全程是：(千米)．

【答案】千米

【鞏固】

樹葉和月亮同時分別從兩地騎車相向而行，樹葉每小時行千米，月亮每小時行千米，兩人相遇時距全程中點千米．問全程長多少千米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

樹葉走了全程的一半多千米，月亮走了全程的一半少千米，樹葉比月亮實際多走了(千米)．已知樹葉每小時比月亮多走(千米)，那么樹葉比月亮多行千米需要(小時)，這就是兩人的相遇時間，有了相遇時間，全程就容易求了．全程：(千米)．

【答案】千米

【鞏固】

夏夏和冬冬同時從兩地相向而行，兩地相距1100米，夏夏每分鐘行50米，冬冬每分鐘行60米，問兩人在距兩地中點多遠處相遇？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

兩個人的相遇時間為：（分鐘），所以相遇時東東走了：（米），兩個人距離中點距離為：（米）

【答案】米

【例

38】

甲、乙兩人同時從兩地相向而行．甲每小時行千米，乙每小時行千米．兩人相遇時乙比甲少行千米．兩地相距多少千米？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

乙每小時比甲少行：(千米)，由題意知，“兩人相遇時乙比甲少行千米”，說明兩人行駛的時間為：(小時)，已知速度和與相遇時間，可求路程．兩地相距為：(千米)．

【答案】千米

【例

39】

小新和正南二人同時從學校和家出發，相向而行，小新騎車他的三輪車每分鐘行100米，5分鐘后小新已超過中點50米，這時二人還相距30米，正南每分鐘行多少米？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

5分鐘后小新比正南多走了（米），所以每分鐘多走：（米），所以正南每分鐘走：（米/分）

【答案】米/分

【例

40】

甲、乙兩列火車同時從東西兩鎮之間的地出發向東西兩鎮反向而行，它們分別到達東西兩鎮后，再以同樣的速度返回，已知甲每小時行60千米，乙每小時行70千米，相遇時甲比乙少行120千米，東西兩鎮之間的路程是多少千米？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

建議教師幫助學生畫圖分析．

從出發到甲、乙兩列火車相遇，兩列火車共同行駛了2個全程．已知甲比乙少行120千米，甲每小時比乙少行(千米)，(小時)，說明相遇時，兩輛車共同行駛了12小時．

那么兩輛車共同行駛1個全程需要6小時，東西兩鎮之間的路程是(千米)．

【答案】千米

【例

41】

甲、乙二人從，兩地同時出發相向而行，甲每分鐘行80米，乙每分鐘行70米，出發一段時間后，二人在距中點60米處相遇．如果甲晚出發一會兒，那么二人在距中點220米處相遇．甲晚出發了多少分鐘？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

同時出發，相遇時甲多走(米)，相遇時間為(分)，因此甲、乙兩地距離為(米)．當甲晚出發一會兒時，兩人各用時間分別為乙用時：(分)，甲用時：(分)，所以甲比乙晚出發(分)．

【答案】分鐘

【例

42】

甲、乙二人同時從學校出發到少年宮去，已知學校到少年宮的距離是2400米．甲到少年宮后立即返回學校，在距離少年宮300米處遇到乙，此時他們離開學校已經30分鐘．問：甲、乙每分鐘各走多少米？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

根據題意，畫線段圖如下：

方法一：30分鐘內，二人的路程和(米)，因此速度和為：(米/分)；又知道30分鐘甲的路程為：(米)，所以甲速度為：

(米/分)，則乙速度為：(米/分)．

方法二：30分鐘內，甲的路程為(米)，乙走的路程為：(米)，因此甲的速度為：(米/分)，乙的速度為：(米/分)．

【答案】米/分

【例

43】

一輛汽車和一輛摩托車同時從甲乙兩地相對開出，摩托車每小時行千米．汽車每小時行千米．兩車相遇后又以原來的速度繼續前進，摩托車到乙地立即返回．汽車到甲地立即返回．兩車在距離中點千米的地方再次相遇，那么甲乙兩地的路程是多少千米？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

第二次相遇距中點千米，說明兩車共有(千米)的路程差，由此可知兩車共行駛了：(小時)．又因為第二次相遇兩車共走了三個全程，所以走一個全程用(小時)．這樣可以求出甲乙兩地的路程是：(千米)．

【答案】千米

模塊四、行程間的倍比關系

【例

44】

甲、乙兩車分別同時從、兩地相對開出，第一次在離地95千米處相遇．相遇后繼續前進到達目的地后又立刻返回，第二次在離地25千米處相遇．求、兩地間的距離．

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

畫線段示意圖(實線表示甲車行進的路線，虛線表示乙車行進的路線)

可以發現第一次相遇意味著兩車行了一個、兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共行了三個、兩地間的距離．當甲、乙兩車共行了一個、兩地間的距離時，甲車行了95千米，當它們共行三個、兩地間的距離時，甲車就行了3個95千米，即(千米)，而這285千米比一個、兩地間的距離多25千米，可得：(千米)．

【答案】千米

【鞏固】

甲、乙兩車分別同時從、兩地相對開出，第一次在離地90千米處相遇．相遇后繼續前進到達目的地后又立刻返回，第二次在離地30千米處相遇．求、兩地間的距離？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

第一次相遇意味著兩車行了一個、兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共行了三個、兩地間的距離．當甲、乙兩車共行了一個、兩地間的距離時，甲車行了90千米，當它們共行三個、兩地間的距離時，甲車就行了3個90千米，即（千米），而這270千米比一個、兩地間的距離多30千米，可得：

(千米)．

【答案】

千米

【鞏固】

如圖，、是一條道路的兩端點，亮亮在點，明明在點，兩人同時出發，相向而行．他們在離點米的點第一次相遇．亮亮到達點后返回點，明明到達點后返回點，兩人在離點米的點第二次相遇．整個過程中，兩人各自的速度都保持不變．求、間的距離．要求寫出關鍵的推理過程．

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【關鍵詞】中環杯

【解析】

第一次相遇，兩人共走了一個全程，其中亮亮走了米，從開始到第二次相遇，兩人共走了三個全程，則亮亮走了(米)．亮亮共走的路程為一個全程多米，所以道路長（米）．

【答案】米

【鞏固】

甲、乙兩車分別同時從、兩地相對開出，第一次在離地千米處相遇．相遇后繼續前進到達目的地后又立刻返回，第二次在離地千米處相遇．求、兩地間的距離？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

第一次相遇意味著兩車行了一個、兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共行了三個、兩地間的距離．當甲、乙兩車共行了一個、兩地間的距離時，甲車行了千米，當它們共行三個、兩地間的距離時，甲車就行了3個80千米，即（千米），而這240千米比一個、兩地間的距離多20千米，可得：(千米)．

【答案】千米

【鞏固】

甲、乙二人同時分別從、兩地出發，相向勻速而行．甲到達地后立即往回走，乙到達地后也立即往回走．已知他們第一次相遇在離，中點2千米處靠一側，第二次相遇在離地4千米處．、兩地相距多少千米？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【關鍵詞】走美杯，初賽

【解析】

如圖所示，兩人第一次相遇，合走一個全程，兩人第二次相遇，合走三個全程．而兩人速度不變，這說明第二次相遇所用的時間是第一次相遇所用時間的3倍．因此，甲在第二次相遇所走的路程是第一次相遇所走路程的3倍．第一次相遇時，甲走了半全程多2千米，那么，第二次相遇時，他應該走了3個半個全程多6千米，而實際他走了2個全程差4千米，即4個半個全程差4千米．因此，半個全程長(千米)，、兩地相距(千米)．

【答案】千米

【例

45】

甲、乙兩輛汽車同時分別從、兩地相對開出，甲車每小時行千米，乙車每小時行千米．甲、乙兩車第一次相遇后繼續前進，甲、乙兩車各自到達、兩地后，立即按原路原速返回．兩車從開始到第二次相遇共用小時．求、兩地的距離？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

甲、乙兩車從出發到第一次相遇共同行完一個間的路程，第一次相遇后繼續前進，各自到、兩地后，又共同行完一個間的路程．當甲、乙兩車第二次相遇時，又共同行完一個間的路程．因此，甲、乙兩車從開始到第二次相遇共行個間的路程．甲、乙速度和：(千米)，個間路程：(千米)，、相距：(千米)．

【答案】千米

【例

46】

上午8點8分，小明騎自行車從家里出發，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他．然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

畫一張簡單的示意圖：

圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明騎了(千米)．而爸爸騎的距離是

(千米)．

這就可以知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的倍．按照這個倍數計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行(千米)．但事實上，爸爸少用了8分鐘，騎行了(千米)，少騎行(千米)．摩托車的速度是(千米/分)，爸爸騎行16千米需要16分鐘．(分鐘)．所以這時是8點32分．

【答案】8點32分

【鞏固】

自行車隊出發12分鐘后，通信員騎摩托車去追他們，在距出發點9千米處追上了自行車隊，然后通信員立即返回出發點；隨后又返回去追自行車隊，再追上時恰好離出發點18千米，求自行車隊和摩托車的速度．

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

在第一次追上自行車隊與第二次追上自行車隊之間，摩托車所走的路程為()千米，而自行車所走的路程為()千米，所以，摩托車的速度是自行車速度的3倍()；摩托車與自行車的速度差是自行車速度的2倍，再根據第一次摩托車開始追自行車隊時，車隊已出發了12分鐘，也即第一次追及的路程差等于自行車在12分鐘內所走的路程，所以追及時間等于(分鐘)；聯系摩托車在距出發點9千米的地方追上自行車隊可知：摩托車在6分鐘內走了9千米的路程，于是摩托車和自行車的速度都可求出了．列式為：倍，(分鐘)，摩托車的速度為：(千米/分鐘)，自行車的速度為：(千米/分鐘)

【答案】摩托車的速度為千米/分鐘，自行車的速度為千米/分鐘

【例

47】

甲、乙兩車同時從兩地相向而行，2.5時后相遇。已知甲車速度是乙車速度的，相遇時乙車比甲車多走千米，求兩車的速度。

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

甲車48千米／時，乙車64千米／時。提示：先求出兩地的距離。

【答案】甲車48千米／時，乙車64千米／時

【例

48】

楊平每天早晨按時從家出發步行上學，李大爺每天早晨也定時出門散步，兩人相向而行，楊平步行每分行60米，李大爺步行每分行40米，他們每天都準時在途中相遇。有一天楊平提前出門，因此比平時早9分與李大爺相遇，楊平比平時早出門多少分？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

15分。因為李大爺出門時楊平已經比平時多走了9×（60＋40）＝900（米），所以楊平比平時早出門900÷60＝15（分）。

【答案】15分

【例

49】

甲、乙兩地之間有一條公路．李明從甲地出發步行去乙地，同時張平從乙地出發騎摩托車去甲地，80分鐘后兩人在途中相遇．張平到達甲地后馬上折回往乙地，在第一次相遇后又經過20分鐘在途中追上李明．張平到達乙地后又馬上折回往甲地，這樣一直下去．問：當李明到達乙地時，張平共追上李明多少次？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

我們希望知道二人的速度，或至少是二人各自走完全程的時間，進而確定整個過程的進展，并得到答案．但知道這些并不夠．應先分析什么是“追上”．如圖，當兩人經過80分鐘相遇時，兩人所走的路程之和恰是甲乙兩地指間的距離，因此兩人才能相遇．如圖所示：

第一次追上就是張平比李明多走了一個甲、乙兩地距離．這用了分鐘．以此類推，第二次相遇的情況從圖上可以看出來，使張平比李明多走了3個甲、乙之間距離；第三次相遇，是張平比李明多走了5個甲乙之間距離……所以，知道了張平的速度是李明的幾倍，也就知道在李明走完一個甲乙之間距離的時候，張平走了幾個甲乙之間距離，他比李明多走了幾個．這樣就可求出當李明到達乙地時，張平追上了他幾次．是兩人相遇地點，是張平第一次追上李明的地點．要分析如何求出兩人速度的倍數關系．在從相遇到第一次追上這20分鐘內，張平從走到再走到，即．也就是，是李明相遇前的路程，即李明80分鐘走的；是李明第一次被追上時已走的路程，即他分鐘走的．因此，張平20分鐘走的路程，是李明分鐘走的，也就是說，張平的速度是李明的9倍．當李明從甲到乙時，張平走了9個這樣的距離，即比李明多走了8個從甲到乙的距離．比李明多走1個時，張平第一次追上李明；多走3個時，第二次追上；多走5個時，第三次追上；多走7個時，第四次追上．綜上所述，在李明從甲到乙的過程中，一共被張平追上4次．

【答案】追上4次

【例

50】

（這道題就是之前介紹過的蘇步青教授利用巧妙方法解決過的一個問題，當時蘇步青教授在德國訪問，一位有名的德國數學家在電車上給他出了這道題）甲和乙分別從東西兩地同時出發，相對而行，兩地相距里，甲每小時走里，乙每小時走里．如果甲帶一只狗，和甲同時出發，狗以每小時里的速度向乙奔去，遇到乙后即回頭向甲奔去，遇到甲后又回頭向乙奔去，直到甲乙兩人相遇時狗才停住．這只狗共跑了多少里路？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

只從狗本身考慮，光知道速度，無法確定跑的時間．但換個角度，狗在甲乙之間來回奔跑，狗從開始到停止跑的時間與甲乙二人相遇時間相同．由此便能求出答案．狗一共跑了（小時）所以狗跑的距離為（千米）

注：有時我們遇到的應用題往往無法用直接的方法列式解決，甚至看起來好像條件不足．這個時候我們就需要停下來問問自己：是否應該換個角度思考？嘗試這樣思考，一方面能讓我們對一些原本無法解答的題目豁然開朗，更可以讓自己的頭腦在鍛煉中變得越來越聰明．

【答案】千米

【鞏固】

某邊防站甲、乙兩哨所相距

15千米。一天，兩個哨所的巡邏隊同時從各自的哨所出發相向而行，他們的速度分別為4.5千米／時和5.5千米／時。乙隊出發時，他們帶的一只軍犬同時向甲哨所方向跑去，遇到甲隊時立即轉身往回跑，遇到乙隊又立即轉身向甲哨所方向跑去……這只軍犬就這樣不停地以20千米／時的速度在甲、乙兩隊之間奔跑，直到兩隊會合為止。問：這只軍犬來回共跑了多少路？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

30千米。提示：軍犬的速度為20千米/時，它跑的時間等于甲、乙兩隊從出發到相遇所用的時間。

【答案】30千米

【鞏固】

A、B兩地相距480千米，甲、乙兩車同時從兩站相對出發，甲車每小時行35千米，乙車每小時行45千米，一只燕子以每小時行50千米的速度和甲車同時出發向乙車飛去，遇到乙車又折回向甲車返飛去，遇到甲車又返飛向乙車，這樣一直飛下去，燕子飛了多少千米兩車才能相遇？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

由燕子和兩車同時開始飛行和同時停止，故燕子飛行的時間和兩車相遇的時間相等，480÷（35+45）=6小時。燕子飛行的路程：50

×6=300千米

【答案】300千米

【鞏固】

小新和阿呆各騎一輛自行車從相距32千米的兩個地方沿直線相向而行，在他們同時出發的那一瞬間，一輛自行車把上的一只小鳥開始向另一輛自行車徑直飛去，它一到達另一輛自行車的車把，就立即轉向往回飛行，這只小鳥如此在兩輛自行車的車把之間來回飛行，直到小新和阿呆相遇為止.如果小新每小時行駛17千米，阿呆每小時行駛15千米，小鳥每小時飛行24千米，那么小鳥總共飛行了多少千米？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

由小鳥和兩車同時開始飛行和同時停止，故小鳥飛行的時間和兩車相遇的時間相等，32÷（17+15）=1小時。燕子飛行的路程：24×1=24（千米）.【答案】24千米

【鞏固】

在一次宴會上，一位客人給著名的數學大師、“計算機之父”馮·諾伊曼先生出了一個蜜蜂問題：兩列火車相距英里，在同一軌道上相向行駛，速度都是每小時英里．火車的前端有一只蜜蜂以每小時英里的速度飛向火車，遇到火車以后．立即回頭以同樣的速度飛向火車，遇到火車后，又回頭飛向火車，速度始終保持不變，如此下去，直到兩列火車相遇時才停止．假設蜜蜂回頭轉身的時間忽略不計，那么，這只蜜蜂一共飛了多少英里的路？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

因為兩列火車相距英里，以每小時英里的速度相向而行．所以，他們相遇時所經過的時間是小時，而蜜蜂在這段時間內，不停地在兩列火車之間往返飛行，蜜蜂飛行的全部時間正好是兩行火車相遇的時間，所以，蜜蜂在這小時內，正好飛行了英里．

【答案】英里

【鞏固】

阿呆和阿瓜同時從距離千米的兩地相向而行，阿呆每小時走千米，阿瓜每小時走千米．

阿瓜帶著一只小狗，狗每小時走千米．這只狗同阿瓜一道出發碰到阿呆的時候，它就掉頭朝阿瓜這邊走，碰到阿瓜時又朝阿呆那邊走，直到兩人相遇，問這只小狗一共走了多少千米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

阿呆和阿瓜兩人相遇時間為：(小時)，狗共跑路程為：(千米)．

【答案】千米

【例

51】

甲、乙兩人分別從相距

35.8千米的兩地出發，相向而行．甲每小時行

千米，但每行

分鐘就休息

分鐘；乙每小時行

千米，則經過________小時________分的時候兩人相遇．

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

經過

小時

分鐘的時候，甲實際行了

小時，行了

4×2=8千米，乙則行了千米，兩人還相距

35.8－27－8=0.8千米，此時甲開始休息，乙再行

0.8÷12×60=4分鐘就能與甲相遇．所以經過

小時

分的時候兩人相遇．

【答案】2

小時

分

【例

52】

一個圓的圓周長為米，兩只螞蟻從一條直徑的兩端同時出發沿圓周相向爬行．這兩只螞蟻每秒鐘分別爬行厘米和厘米，在運動過程中它們不斷地調頭．如果把出發算作第零次調頭，那么相鄰兩次調頭的時間間隔順次是1秒、3秒、5秒、……，即是一個由連續奇數組成的數列．問它們相遇時，已爬行的時間是多少秒？

【考點】行程問題

【難度】4星

【題型】解答

【解析】

(法1)找路程規律．通過處理，找出每次爬行縮小的距離關系規律．兩只螞蟻相距米厘米，相向爬行1秒距離縮小(厘米)．如果不調頭，需要(秒)相遇；

第1輪爬行1秒，假設向上半圓方向爬，距離縮小厘米；

第2輪爬行3秒，調頭向下半圓方向爬，距離縮小厘米；

第3輪爬行5秒，調頭向上半圓方向爬，距離縮小厘米；……

每爬行1輪距離縮小厘米，所以爬行7輪后相遇，時間是(秒)．

(法2)對于這種不斷改變前進方向的問題，可以先看簡單的情況：

在一條直線上，如上面的圖形，一只螞蟻先從點出發向右走，然后按照經過1秒、3秒……改變方向．由于它的速度沒有變化，可以認為螞蟻每秒鐘走一格．

第一次改變方向時，它到，走1格，格；

第二次改變方向時，它到，走3格，格；

第三次改變方向時，它到，走5格，格；

第四次改變方向時，它到，走7格，格；

第五次改變方向時，它到，走9格，格．

不難發現，小螞蟻的活動范圍在不斷擴大，每次離點都遠了一格．當兩只螞蟻活動范圍重合時，也就是它們相遇的時候．

另外從上面的分析可以知道，每一次改變方向時，兩只螞蟻都在出發點的同一側．這樣，通過相遇問題，可以求出它們改變方向的次數，進而求出總時間．

由于每一次改變方向時，兩只螞蟻之間的距離都縮短厘米．

所以，到相遇時，它們已改變方向：次，也就是在第7次要改變方向時，兩只螞蟻相遇，用時：(秒)．

【答案】秒

【鞏固】

老師教同學們做游戲：在一個周長為114米的圓形跑道上，兩個同學從一條直徑的兩端同時出發沿圓周開始跑，1秒鐘后他們都調頭跑，再過3秒他們又調頭跑，依次照1、3、5……分別都調頭而跑，每秒兩人分別跑米和米，那么經過幾秒，他們初次相遇？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

與例題的分析過程類似，可以知道，每跑1輪距離縮小米，由于兩個同學最開始相距57米，小于例題中的63米，而又大于54米，所以兩人在第七次掉頭后相遇，而且沒有走完第七次掉頭的13秒，相遇時比13秒少走了秒，所以他們初次相遇時經過了秒．

【答案】秒

【例

53】

某條道路上，每隔900米有一個紅綠燈．所有的紅綠燈都按綠燈30秒、黃燈5秒、紅燈25秒的時間周期同時重復變換．一輛汽車通過第一個紅綠燈后，以每小時多少千米的速度行駛，可以在所有的紅綠燈路口都遇到綠燈？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

因為紅綠燈變換的時間周期是（秒），所以要想讓汽車在所有的紅綠燈口都遇到綠燈，那么汽車通過第一個路口后，到下一個路口所花的時間必須是60秒．換句話說，只要60秒走900米，汽車就可以一路綠燈．因此，汽車應以每小時（千米）的速度行駛．

【答案】千米

【例

54】

甲、乙二人從相距36千米的兩地相向而行。若甲先出發2時，則在乙動身2.5時后兩人相遇；若乙先出發2時，則甲動身3時后兩人相遇。求甲、乙二人的速度。

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

甲6千米／時，乙3.6千米／時。

提示：第一種情況，甲走4.5時，乙走2.5時共行一個單程，推知甲走9時乙走5時行兩個單程；第二種情況，甲走3時，乙走5時共行一個單程。所以甲走9-3＝6（時）行一個單程。

【答案】甲6千米／時，乙3.6千米／時

【例

55】

一條單線鐵路上有A，B，C，D，E五個車站，它們之間的路程如下圖所示（單位：千米）。甲、乙兩列火車分別從A，E兩站相對開出，甲車先開4分，每時行60千米，乙車每時行50千米，兩車只能在車站停車，互相讓道錯車。兩車應在哪一個車站會車（相遇），才能使停車等候的時間最短？先到的火車至少要停車多少時間？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

C或D；停車11分。甲車先開3分，行3千米。除去這3千米，全程為

48＋40＋10＋70－3＝165（千米）。

若兩車都不停車，則將在距站（千米）處相撞，正好位于C與D的中點。所以，無論是甲車在C站等候，還是乙車在D站等候，等候的時間都是甲、乙兩車各行5千米的時間和，為（時）（分）

【答案】C或D；停車11分

【例

56】

張濤坐在行駛的公共汽車上，忽然發現李梅正在向相反的方向步行，2分后汽車到站，張濤下車去追李梅。如果張濤的速度是李梅的2倍，是汽車速度的。那么張濤追上李梅要多少分？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

18分。設李梅的速度為a，則張濤的速度為2a，汽車的速度為8a。下車時，張濤與李梅的距離為（8a＋a）×2＝18a，張濤與李梅的速度差為2a－a＝a，追上李梅需要18a÷a＝18（分）。

【答案】追上李梅需要18分

【例

57】

甲、乙、丙三人同時從A向B跑，當甲跑到B時，乙離B還有20米，丙離B還有40米；當乙跑到B時，丙離B還有24米。問：

（1）

A，B相距多少米？

（2）如果丙從A跑到B用24秒，那么甲的速度是多少？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

（1）120米；（2)

7.5米/秒。

（1）乙跑最后20米時，丙跑了40-24＝16（米），丙的速度是乙的。因為乙到時比丙多跑米，所以、相距（米）。

（2）甲跑米，丙跑（米），丙的速度是甲的。甲的速度是（米/秒）

【答案】（1）120米；（2)

7.5米/秒

【例

58】

快、中、慢三輛車同時同地出發，沿同一公路去追趕前面一騎車人，這三輛車分別用6分、10分、12分追上騎車人。已知快、慢車的速度分別為24千米／時和19千米／時，求中速車的速度。

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

20千米／時。提示：先由快、慢車的情況求出騎車人的速度。

【答案】20千米／時