第一篇：初三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案8

初三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案

幾何部分

第一章：線段、角、相交線、平行線

教學(xué)目的：

1、理解線段的和與差，線段中點(diǎn)、兩點(diǎn)問的距離，掌握直線公理、會(huì)比較線段的大小。

2、理解角、周角、平角、銳角、直角、鈍角、余角、補(bǔ)角、角的平分線等概念。

3．掌握度、分秒的換算，會(huì)計(jì)算角度的和、差、倍、分會(huì)比較角的大小，會(huì)畫角的平分線。

4、理解對(duì)頂角片卜確、垂線、垂線段、點(diǎn)到直線的距離等概念掌握垂線性質(zhì)。

5、會(huì)識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角、會(huì)用平行線的判定和性質(zhì)進(jìn)行解（證）題。； 知識(shí)點(diǎn)：

一、直線：直線是幾何中不加定義的基本概念，直線的兩大特征是“直”和“向兩方無(wú)限延伸”。

二、直線的性質(zhì)：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線，直線的這條性質(zhì)是以公理的形式給出的，可簡(jiǎn)述為：過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線，兩直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)。

三、射線：

1、射線的定義：直線上一點(diǎn)和它們的一旁的部分叫做射線。

2．射線的特征：“向一方無(wú)限延伸，它有一個(gè)端點(diǎn)?！?/p>

四、線段：

1、線段的定義：直線上兩點(diǎn)和它之間的部分叫做線段，這兩點(diǎn)叫做線段的端點(diǎn)。

2、線段的性質(zhì)（公理）：所有連接兩點(diǎn)的線中，線段最短。

五、線段的中點(diǎn)：

1、定義如圖1一1中，點(diǎn)B把線段AC分成兩條相等的線段，點(diǎn)B叫做線段圖1－1AC的中點(diǎn)。

2、表示法：

∵AB＝BC ∴點(diǎn) B為 AC的中點(diǎn)

或∵ AB＝ 12MAC

∴點(diǎn) B為AC的中點(diǎn)，或∵AC＝2AB，∴點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)

反之也成立

∵點(diǎn) B為AC的中點(diǎn)，∴AB＝BC

或∵點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)，∴AB=

12AC

或∵點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)，∴AC=2BC

六、角

1、角的兩種定義：一種是有公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形叫做角。要弄清定義中的兩個(gè)重點(diǎn)①角是由兩條射線組成的圖形；②這兩條射線必須有一個(gè)公共端點(diǎn)。另一種是一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形?？梢钥闯鲈谄鹗嘉恢玫纳渚€與終止位置的射線就形成了一個(gè)角。

2．角的平分線定義：一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。表示法有三種：如圖1—2

（1）∠AOC＝∠BOC

（2）∠AOB＝2∠AOC＝ 2∠COB（3）∠AOC＝∠COB=

12∠AOB

七、角的度量：度量角的大小，可用“度”作為度量單位。把一個(gè)圓周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。

八、角的分類：

（1）銳角：小于直角的角叫做銳角

（2）直角：平角的一半叫做直角

（3）鈍角：大于直角而小于平角的角

（4）平角：把一條射線，繞著它的端點(diǎn)順著一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置和起始位置成一直線時(shí)，所成的角叫做平角。

（5）周角：把一條射線，繞著它的端點(diǎn)順著一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊重合時(shí)，所成的角叫做周角。

（6）周角、平角、直角的關(guān)系是： l周角=2平角=4直角=360°

九、相關(guān)的角：

1、對(duì)頂角：一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，這兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。

2、互為補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，這兩個(gè)角做互為補(bǔ)角。

3、互為余角：如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，這兩個(gè)角叫做互為余角。

4、鄰補(bǔ)角：有公共頂點(diǎn)，一條公共邊，另兩條邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角做互為鄰補(bǔ)角。

注意：互余、互補(bǔ)是指兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，與兩個(gè)角的位置無(wú)關(guān)，而互為鄰補(bǔ)角則要求兩個(gè)角有特殊的位置關(guān)系。

十、角的性質(zhì)

1、對(duì)頂角相等。

2、同角或等角的余角相等。

3、同角或等角的補(bǔ)角相等。

十一、相交線

1、斜線：兩條直線相交不成直角時(shí)，其中一條直線叫做另一條直線的斜線。它們的交點(diǎn)叫做斜足。

2、兩條直線互相垂直：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直。

3、垂線：當(dāng)兩條直線互相垂直時(shí)，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。

4、垂線的性質(zhì)

（l）過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與己知直線垂直。

（2）直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)單說(shuō)：垂線段最短。

十二、距離

1、兩點(diǎn)的距離：連結(jié)兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)的距離。

2、從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離。

3、兩條平行線的距離：兩條直線平行，從一條直線上的任意一點(diǎn)向另一條直線引垂線，垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩條平行線的距離。

說(shuō)明：點(diǎn)到直線的距離和平行線的距離實(shí)際上是兩個(gè)特殊點(diǎn)之間的距離，它們與點(diǎn)到直線的垂線段是分不開的。

十三、平行線

1、定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。

2、平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。

3、平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

說(shuō)明：也可以說(shuō)兩條射線或兩條線段平行，這實(shí)際上是指它們所在的直線平行。

4、平行線的判定：

（1）同位角相等，兩直線平行。

（2）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。

（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

5、平行線的性質(zhì)

（1）兩直線平行，同位角相等。

（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

說(shuō)明：要證明兩條直線平行，用判定公理（或定理）在已知條件中有兩條直線平行時(shí)，則應(yīng)用性質(zhì)定理。

6、如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

注意：當(dāng)角的兩邊平行且方向相同（或相反）時(shí)，這兩個(gè)角相等。當(dāng)角的兩邊平行且一邊方向相同另一方向相反時(shí)，這兩個(gè)角互補(bǔ)。例題：

方法1：利用特殊“點(diǎn)”和線段的長(zhǎng)

例

1、已知：如圖1－3，C是線段AB的中點(diǎn)，D是線段CB 的中點(diǎn)，BD＝1.2cm。求：AD的長(zhǎng)。

[思路分析]由D是CB中點(diǎn)，DB已知可求出CB，再由C點(diǎn) 是AB中點(diǎn)可求出AB長(zhǎng)，用AB減減去DB可求AD。

解：略 [規(guī)律總結(jié)]利用線段的特殊點(diǎn)如“中點(diǎn)”“比例點(diǎn)”求線段的長(zhǎng)的方法是較為簡(jiǎn)便的解法。

方法2：如何辨別角的個(gè)數(shù)與線段條數(shù)。

例

2、如圖1－4在線段AE上共有5個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、E怎樣才數(shù)出所有線段，[思路分析]本問題如不認(rèn)真審題會(huì)誤以為有4點(diǎn)恰有4個(gè)空就是4條線段即AB、BC、CD、ED；而如果從一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)、再找出另一個(gè)端點(diǎn)確定線段，就會(huì)發(fā)現(xiàn)有10條線段：

即：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10條。

[規(guī)律總結(jié)]此類型題如果做到不重不漏，最好方法是先從一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)，再找出另一個(gè)端點(diǎn)確定線段。

例

3、如圖1一5指出圖形中直

線AB上方角的個(gè)數(shù)（不含平角）

[思路分析]此題有些同學(xué)不認(rèn)真分析誤認(rèn)為就4個(gè)角，其實(shí)共有9個(gè)角。即：∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB共9個(gè)角。

[規(guī)律總結(jié)]從一個(gè)頂點(diǎn)引出多條射線時(shí)．為了確定角的個(gè)數(shù)，一般按邊順序分類統(tǒng)計(jì)，避免既不重復(fù)又不遺漏。

方法3：用代數(shù)法求角度

例

4、已知一個(gè)銳角的余角，是這個(gè)銳角的補(bǔ)角的16，求這個(gè)角。

[思路分析]本題涉及到的角是銳角同它的余角及補(bǔ)角。根據(jù)互為余角，互為補(bǔ)角的概念，考慮它們?cè)跀?shù)量上有什么關(guān)系？設(shè)銳角為x，則它的余角為90 – x。，它的補(bǔ)角為180 – x，這就可以列方程了。

解：略

[規(guī)律總結(jié)］有關(guān)余角、補(bǔ)角的問題，一般都用代數(shù)方法先設(shè)未知數(shù)，再依題意列出方程，求出結(jié)果。

方法4：添加輔助線平移角

例

5、已知：如圖l—6，AB∥ED

求證：∠B＋∠BCD＋∠D＝360°

[思路分析]我們知道只有周角是等于360°，而圖中又出現(xiàn)了與∠BCD相關(guān)的以C為頂點(diǎn)的周角，若能把∠B、∠D移到與∠BCD相鄰且以C為頂點(diǎn)的位置，即可把∠B、∠BCD和∠D三個(gè)角組成一分周角，則可推出結(jié)論。

證時(shí)：略

規(guī)律總結(jié)]此題雖是三種證法但思想是一樣的，都是通過(guò)加輔助線，平移角達(dá)到目的，這種處理方法在幾何中常常用到。

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初三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案

幾何部分 第二章：三角形

教學(xué)目的：

1、掌握三角形的分類、邊角關(guān)系、三條線段構(gòu)成三角形的條件，內(nèi)角和定理。

2、熟練掌握并靈活運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)來(lái)證明有關(guān)對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)線段相等和線段平行與垂直及線段的和差、倍、分關(guān)系，并進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。

3、掌握有關(guān)三角形的數(shù)學(xué)思想和方法。

4、熟練掌握特殊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，并能靈活運(yùn)用。

5、掌握線段的垂直平分線、角的平分線的性質(zhì)定理和逆定理，并能熟練靈活地加以運(yùn)用。

6、會(huì)用尺規(guī)完成基本作圖，能利用基本作圖和已知條件作一般三角形，等腰三角形，直角三角形；會(huì)寫已知，求作，作法。知識(shí)點(diǎn)：

一、關(guān)于三角形的一些概念

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

組成三角形的線段叫三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊所組成的角叫三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角。

1、三角形的角平分線。

三角形的角平分線是一條線段（頂點(diǎn)與內(nèi)角平分線和對(duì)邊交線間的距離）

2、三角形的中線

三角形的中線也是一條線段（頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)間的距離）

3．三角形的高

三角形的高線也是一條線段（頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離）

注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內(nèi)。

如圖 2－l，AD、BE、CF都是么ABC的角平分線，它們都在△ABC內(nèi)

如圖2－2，AD、BE、CF都是△ABC的中線，它們都在△ABC內(nèi)

而圖2－3，說(shuō)明高線不一定在 △ABC內(nèi)，圖2—3—（1）

圖2—3—（2）

圖2－3一（3）

圖2－3—（1），中三條高線都在△ ABC內(nèi)，圖2－3－（2），中高線CD在△ABC內(nèi)，而高線AC與BC是三角形的邊；

圖2－3一（3），中高線BE在△ABC內(nèi)，而高線AD、CF在△ABC外。

三、三角形三條邊的關(guān)系

三角形三邊都不相等，叫不等邊三角形；有兩條邊相等的叫等腰三角形；三邊都相等的則叫等邊三角形。

等腰三角形中，相等的兩條邊叫腰，另一邊叫底邊，腰和底邊的夾角叫底角，兩腰的夾角叫項(xiàng)角。

三角形接邊相等關(guān)系來(lái)分類：

?不等邊三角形?

三角形三角形??底邊和腰不相等的等腰?等腰三角形??等邊三角形?三角形

用集合表示，見圖2－4

推論三角形兩邊的差小于第三邊。

不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊。

例如三條線段長(zhǎng)分別為5，6，1人因?yàn)?＋6＜12，所以這三條線段，不能作為三角形的三邊。三、三角形的內(nèi)角和

定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

由定理可知，三角形的二個(gè)角已知，那么第三角可以由定理求得。

如已知△ABC的兩個(gè)角為∠A＝90°，∠B＝40°，則∠C＝180°–90°–40°＝50°

由定理可以知道，三角形的三個(gè)內(nèi)角中，只可能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角。

推論1：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

三角形按角分類：

?直角三角形?

三角形??銳角三角形?斜三角形??鈍角三角形?

用集合表示，見圖

三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫三角形的外角。

推論2：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。

推論3：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。

例如圖2—6中

∠1 ＞∠3；∠1=∠3＋∠4；∠5＞∠3＋∠8；∠5＝∠3＋∠7＋∠8；

∠2＞∠8；∠2＝∠7＋∠8；∠4＞∠9；∠4＝∠9＋∠10等等。

四、全等三角形

能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等形。

兩個(gè)全等三角形重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫對(duì)應(yīng)角。

全等用符號(hào)“≌”表示

△ABC≌△A `B`C`表示 A和 A`，B和B`，C和C`是對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

如圖2—7，△ABC≌△A `B`C`，則有A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A`、B`、C`；AB、BC、CA的對(duì)應(yīng)邊是A`B`、B`C`、C`A`?！螦，∠B，∠C的對(duì)應(yīng)角是∠A`、∠B`、∠C`。

∴AB＝A`B`，BC＝B`C`，CA＝C`A`；∠A＝∠A`，∠ B＝∠B`，∠C＝∠C`

五、全等三角形的判定

1、邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）

注意：一定要是兩邊夾角，而不能是邊邊角。

2、角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角“或“ASA”）

3、推論有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊’域“AAS”）

4、邊邊邊公理有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）

由邊邊邊公理可知，三角形的重要性質(zhì)：三角形的穩(wěn)定性。

除了上面的判定定理外，“邊邊角”或“角角角”都不能保證兩個(gè)三角形全等。

5、直角三角形全等的判定：斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“斜邊，直角邊”或“HL”）

六、角的平分線

定理

1、在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。

定理

2、一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。

由定理1、2可知：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合。

可以證明三角形內(nèi)存在一個(gè)點(diǎn)，它到三角形的三邊的距離相等這個(gè)點(diǎn)就是三角形的三條角平分線的交點(diǎn)（交于一點(diǎn)）

在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆命題，如果把其中的一個(gè)做原命題，那么另一個(gè)叫它的逆命題。

如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫互逆定理，其中一個(gè)叫另一個(gè)的逆定 理。

例如：“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。

一個(gè)定理不一定有逆定理，例如定理：“對(duì)頂角相等”就沒逆定理，因?yàn)椤跋嗟鹊慕鞘菍?duì)頂角”這是一個(gè)假命顆。

七、基本作圖

限定用直尺和圓規(guī)來(lái)畫圖，稱為尺規(guī)作網(wǎng)＿

最基本、最常用的尺規(guī)作圖．通常稱為基本作圖，例如做一條線段等于己知線段。

1、作一個(gè)角等于已知角：作法是使三角形全等（SSS），從而得到對(duì)應(yīng)角相等；

2、平分已知角：作法仍是使三角形全等（SSS）．從而得到對(duì)應(yīng)角相等。

3、經(jīng)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線：（1）若點(diǎn)在已知直線上，可看作是平分已知角平角；（2）若點(diǎn)在已知直線外，可用類似平分已知角的方法去做：已知點(diǎn) C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧交已知真線于A、B兩點(diǎn)，再以A、B為圓心，用相同的長(zhǎng)為半徑分別作弧交于D點(diǎn)，連結(jié)CD即為所求垂線。

4、作線段的垂直平分線： 線段的垂直平分線也叫中垂線。

做法的實(shí)質(zhì)仍是全等三角形（SSS）。也可以用這個(gè)方法作線段的中點(diǎn)。

八、作圖題舉例

重要解決求作三角形的問題

1、已知兩邊一夾角，求作三角形 ．

2、已知底邊上的高，求作等腰三角形

九、等腰三角形的性質(zhì)定理

等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）

推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，就是說(shuō)：等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°

例如：等腰三角形底邊中線上的任一點(diǎn)到兩腰的距離相等，因?yàn)榈妊切蔚走呏芯€就是頂角的角平分線、而角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等n

十、等腰三角形的判定

定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相，那這兩個(gè)角所對(duì)的兩條邊也相等。（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等動(dòng)”）。

推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

推論2：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于3O°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

十一、線段的垂直平分線

定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。

就是說(shuō)：線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。

十二、軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形

把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊二如果能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線軸對(duì)稱，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，這條直線叫對(duì)稱軸。

兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱也叫軸對(duì)稱。

定理1：關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。

定理2：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。

定理3：兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)相交。那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上。

逆定理：如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。

如果一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是對(duì)稱軸。

例如：等腰三角形頂角的分角線就具有上面所述的特點(diǎn)，所以等腰三角形頂角的分角線是等腰三角形的一條對(duì)稱軸，而等腰三角形是軸對(duì)稱圖形。

十三、勾股定理 勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方：a?b?c

勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有下面關(guān)系： a?b?c

那么這個(gè)三角形是直角三角形 例題：

例

1、已知：AB、CD相交于點(diǎn)O，AC∥DB，OC=OD,E、F為AB上兩點(diǎn)，且AE=BF.求證：CE=DF 分析：要證CE=DF，可證△ACE≌△BDF，但由已知條件直接證不出全等，這時(shí)由已知條件可先證出△AOC≌△BOD，得出AC=BD，從而證出△ACE≌△BDF.證明：略

例

2、已知：如圖，AB=CD，BC=DA，E、F是AC上兩點(diǎn)，且AE=CF。求證：BF=DE 分析：觀察圖形，BF和DE分別在△CFB和△AED（或△ABF和△CDE）中，由已知條件不能直接證明這兩個(gè)三角形全等。這時(shí)可由已知條件先證明△ABC≌△CDA,由此得∠1=∠2，從而證出△CFB≌△AED。

證明：略

例

3、已知：∠CAE是三角形ABC的外角, ∠1=∠2，AD∥BC。求證：AB=AC 證明：略

例

4、已知：如圖 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于 C，ED⊥OB于 D．求證：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．

分析：證明第（1）題時(shí)，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分線的性質(zhì)定理得到 OC＝OD．這樣處理，可避免證明兩個(gè)三角形全等．

證明：略

22222

第三篇：初三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案3

初三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案

代數(shù)部分 第三章：方程和方程組

教學(xué)目的：

1、了解等式、方程和方程組的有關(guān)概念；

2、熟練掌握一元一次、一元二次方程的解法，會(huì)靈活運(yùn)用各種解法求方程的根；

3、熟練掌握分式方程一般解法及換元法，并掌握分式方程驗(yàn)根的方法；

4、能靈活運(yùn)用代入法和加減法解二元一次方程組及解簡(jiǎn)單的三元一次方程組；

5、會(huì)用代入法解由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的二元二次方程組；

6、理解一元二次方程根的判別式，會(huì)根據(jù)根的判別式判定數(shù)字系數(shù)的一元二次方程根的情況，會(huì)運(yùn)用它解決一些簡(jiǎn)單問題；

7、掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，會(huì)用它由已知一元二次方程的一個(gè)根求出另一個(gè)根與未知系數(shù)，會(huì)求一元二次方程有關(guān)兩個(gè)根的對(duì)稱式的值等。基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：

一、方程有關(guān)概念

1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫方程的解，含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判斷方程無(wú)解的過(guò)程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程變形時(shí)，產(chǎn)生的不適合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元方程

1、一元一次方程

（1）一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，a≠0）

（2）一玩一次方程的最簡(jiǎn)形式：ax=b（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，a≠0）

（3）解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)和系數(shù)化為1。

（4）一元一次方程有唯一的一個(gè)解。

2、一元二次方程

（1）一元二次方程的一般形式：ax?bx?c?0（其中x是未知數(shù)，a、b、c是已知數(shù)，a≠0）

（2）一元二次方程的解法： 直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法

（3）一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，如果沒有要求，一般不用配方法。

（4）一元二次方程的根的判別式：??b?4ac

2當(dāng)Δ＞0時(shí)?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)Δ=0時(shí)?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)Δ< 0時(shí)?方程沒有實(shí)數(shù)根，無(wú)解；

當(dāng)Δ≥0時(shí)?方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

（5）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：

2若x1,x2是一元二次方程ax?bx?c?0的兩個(gè)根，那么：x1?x2??b，ax1?x2?c a

（6）以兩個(gè)數(shù)x1,x2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是：x2?(x1?x2)x?x1x2?0

三、分式方程

（1）定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

（2）分式方程的解法：

一般解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母。

特殊方法：換元法。

（3）檢驗(yàn)方法：一般把求得的未知數(shù)的值代入最簡(jiǎn)公分母，使最簡(jiǎn)公分母不為0的就是原方程的根；使得最簡(jiǎn)公分母為0的就是原方程的增根，增根必須舍去，也可以把求得的未知數(shù)的值代入原方程檢驗(yàn)。

四、方程組

1、方程組的解：方程組中各方程的公共解叫做方程組的解。

2、解方程組：求方程組的解或判斷方程組無(wú)解的過(guò)程叫做解方程組

3、一次方程組：

（1）二元一次方程組：

?a1x?b1y?c

1一般形式：?（a1,a2,b1,b2,c1,c2不全為0）

ax?by?c22?

2解法：代入消遠(yuǎn)法和加減消元法

解的個(gè)數(shù)：有唯一的解，或無(wú)解，當(dāng)兩個(gè)方程相同時(shí)有無(wú)數(shù)的解。

（2）三元一次方程組：

解法：代入消元法和加減消元法

4、二元二次方程組：

（1）定義：由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組以及由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組叫做二元二次方程組。

（2）解法：消元，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程，或者降次，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組?？键c(diǎn)與命題趨向分析 例題： 一、一元二次方程的解法

例

1、解下列方程：

（1）12(x?3)2?2；（2）2x?3x?1；（3）4(x?3)2?25(x?2)2 2分析：（1）用直接開方法解；（2）用公式法；（3）用因式分解法 解：略

[規(guī)律總結(jié)]如果一元二次方程形如(x?m)2?n(n?0)，就可以用直接開方法來(lái)解；利用公式法可以解任何一個(gè)有解的一元二次方程，運(yùn)用公式法解一元二次方程時(shí)，一定要把方程化成一般形式。例

2、解下列方程：

（1）x2?a(3x?2a?b)?0(x為未知數(shù)（2）x?2ax?8a?0)；分析：（1）先化為一般形式，再用公式法解；（2）直接可以十字相乘法因式分解后可求解。解：略

[規(guī)律總結(jié)]對(duì)于帶字母系數(shù)的方程解法和一般的方程沒有什么區(qū)別，在用公式法時(shí)要注意判斷△的正負(fù)。

二、分式方程的解法： 例

3、解下列方程：

2221x2?26x??1??5（2）；（2）22x?11?xxx?2分析：（1）用去分母的方法；（2）用換元法

解：略

[規(guī)律總結(jié)]一般的分式方程用去分母法來(lái)解，一些具有特殊關(guān)系如：有平方關(guān)系，倒數(shù)關(guān)系等的分式方程，可采用換元法來(lái)解。

三、根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

例

4、已知關(guān)于x的方程：(p?1)x?2px?p?3?0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求p的值。

分析：由題意可得?=0，把各系數(shù)代入?=0中就可求出p，但要先化為一般形式。解：略

[規(guī)律總結(jié)]對(duì)于根的判別式的三種情況要很熟練，還有要特別留意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0 例

5、已知a、b是方程x?2x?1?0的兩個(gè)根，求下列各式的值：（1）a?b；（2）222211? ab分析：先算出a+b和ab的值，再代入把（1）（2）變形后的式子就可求出解。[規(guī)律總結(jié)]此類題目都是先算出兩根之和和兩根之積，再把要求的式子變形成含有兩根之和和兩根之積的形式，再代入計(jì)算。但要注意檢驗(yàn)一下方程是否有解。例

6、求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別比方程x?x?5?0的兩個(gè)根小3 分析：先出求原方程的兩根之和x1?x2和兩根之積x1x2再代入求出

2(x1?3)?(x2?2)和(x1?3)(x2?3)的值，所求的方程也就容易寫出來(lái)。

解：略

[規(guī)律總結(jié)]此類題目可以先解出第一方程的兩個(gè)解，但有時(shí)這樣又太復(fù)雜，用根與系數(shù)的關(guān)系就比較簡(jiǎn)單。

三、方程組

例

7、解下列方程組：

?x?y?2z?1?2x?3y?3?（1）?；

（2）?2x?y?z?5

?x?2y?5?x?y?3z?4?分析：（1）用加減消元法消x較簡(jiǎn)單；（2）應(yīng)該先用加減消元法消去y，變成二元一次方程組，較易求解。解：略

[規(guī)律總結(jié)]加減消元法是最常用的消元方法，消元時(shí)那個(gè)未知數(shù)的系數(shù)最簡(jiǎn)單就先消那個(gè)未知數(shù)。

例

8、解下列方程組：

22??x?y?7?3x?xy?4y?3x?4y?0（1）?；

（2）?2 2??xy?12?x?y?25分析：（1）可用代入消遠(yuǎn)法，也可用根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)求解；（2）要先把第一個(gè)方程因式分解化成兩個(gè)二元一次方程，再與第二個(gè)方程分別組成兩個(gè)方程組來(lái)解。解：略

[規(guī)律總結(jié)]對(duì)于一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組一般用代入消元法，對(duì)于兩個(gè)二元二次方程組成的方程組，一定要先把其中一個(gè)方程因式分解化為兩個(gè)一次方程再和第二個(gè)方程組成兩個(gè)方程組來(lái)求解。

第四篇：初三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案1

九一班數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案

代數(shù)部分 第一章：實(shí)數(shù)

教學(xué)目的：

1、掌握數(shù)的概念及分類，正確理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)概念；

2、熟練掌握數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)的概念，靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際問題。

3、會(huì)進(jìn)行實(shí)數(shù)的大小比較。

4、理解近似數(shù)與有效數(shù)字、指數(shù)、科學(xué)記數(shù)法等概念。

5、會(huì)熟練靈活正確地進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算。

6、了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，會(huì)用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根和算術(shù)平方根。基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：

一、實(shí)數(shù)的分類：

???正整數(shù)?????整數(shù)零??????負(fù)整數(shù)?有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小?有理數(shù)數(shù)???????實(shí)數(shù)? 正分?jǐn)?shù)??分?jǐn)?shù)?????負(fù)分?jǐn)?shù)??????正無(wú)理數(shù)??無(wú)理數(shù)??無(wú)限不循環(huán)小數(shù)??負(fù)無(wú)理數(shù)??

1、有理數(shù)：任何一個(gè)有理數(shù)總可以寫成p的形式，其中p、q是互質(zhì)的整數(shù)，這是有理數(shù)的重要特征。q2、無(wú)理數(shù)：初中遇到的無(wú)理數(shù)有三種：開不盡的方根，如2、34；特定結(jié)構(gòu)的不限環(huán)無(wú)限小數(shù)，如1.***……；特定意義的數(shù)，如π、sin45°等。

3、判斷一個(gè)實(shí)數(shù)的數(shù)性不能僅憑表面上的感覺，往往要經(jīng)過(guò)整理化簡(jiǎn)后才下結(jié)論。

二、實(shí)數(shù)中的幾個(gè)概念

1、相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)。

（1）實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a；（2）a和b互為相反數(shù)?a+b=0

2、倒數(shù)：

（1）實(shí)數(shù)a（a≠0）的倒數(shù)是

1；（2）a和b 互為倒數(shù)?ab?1；（3）注意0沒有倒數(shù) a3、絕對(duì)值：

（1）一個(gè)數(shù)a 的絕對(duì)值有以下三種情況：

?a,?a??0,??a,?a?0a?0a?0

（2）實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù)，從數(shù)軸上看，一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

（3）去掉絕對(duì)值符號(hào)（化簡(jiǎn)）必須要對(duì)絕對(duì)值符號(hào)里面的實(shí)數(shù)進(jìn)行數(shù)性（正、負(fù)）確認(rèn)，再去掉絕對(duì)值符號(hào)。

4、n次方根

（1）平方根，算術(shù)平方根：設(shè)a≥0，稱?a叫a的平方根，a叫a的算術(shù)平方根。

（2）正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根。（3）立方根：3a叫實(shí)數(shù)a的立方根。

（4）一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；0的立方根是0；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根。

三、實(shí)數(shù)與數(shù)軸

1、數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線稱為數(shù)軸。原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素。

2、數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，而每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的唯一的點(diǎn)來(lái)表示。實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

四、實(shí)數(shù)大小的比較

1、在數(shù)軸上表示兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

2、正數(shù)大于0；負(fù)數(shù)小于0；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)絕對(duì)值大的反而小。

五、實(shí)數(shù)的運(yùn)算

1、加法：

（1）同號(hào)兩數(shù)相加，取原來(lái)的符號(hào)，并把它們的絕對(duì)值相加；

（2）異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值?？墒褂眉臃ń粨Q律、結(jié)合律。

2、減法：

減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

3、乘法：

（1）兩數(shù)相乘，同號(hào)取正，異號(hào)取負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。

（2）n個(gè)實(shí)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0；若n個(gè)非0的實(shí)數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；當(dāng)負(fù)因數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)。（3）乘法可使用乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律。

4、除法：

（1）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。（2）除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

（3）0除以任何數(shù)都等于0，0不能做被除數(shù)。

5、乘方與開方：乘方與開方互為逆運(yùn)算。

6、實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序：乘方、開方為三級(jí)運(yùn)算，乘、除為二級(jí)運(yùn)算，加、減是一級(jí)運(yùn)算，如果沒有括號(hào)，在同一級(jí)運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，不同級(jí)的運(yùn)算，先算高級(jí)的運(yùn)算再算低級(jí)的運(yùn)算，有括號(hào)的先算括號(hào)里的運(yùn)算。無(wú)論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算。

六、有效數(shù)字和科學(xué)記數(shù)法

1、科學(xué)記數(shù)法：設(shè)N＞0，則N= a×10（其中1≤a＜10，n為整數(shù)）。

2、有效數(shù)字：一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)，到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字，叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。精確度的形式有兩種：（1）精確到那一位；（2）保留幾個(gè)有效數(shù)字。例題：

例

1、已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，且a?b?；?jiǎn)：a?a?b?b?a

n分析：從數(shù)軸上a、b兩點(diǎn)的位置可以看到：a＜0，b＞0且a?b 所以可得：

解：原式??a?a?b?b?a?a 例

2、若a?(?),34?33b??()3,433c?()?3，比較a、b、c的大小。

443?3?分析：a??()??1；b??????1且b?0；c＞0；所以容易得出：

3?4?a＜b＜c。

解：略

例

3、若a?2與b?2互為相反數(shù)，求a+b的值 分析：由絕對(duì)值非負(fù)特性，可知a?2?0,b?2?0，又由題意可知：a?2?b?2?0

所以只能是：a–2=0，b+2=0，即a=2，b= –2，所以a+b=0 解：略

例

4、已知a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，m的絕對(duì)值是1，求解：原式=0?1?1?0

a?b?cd?m2的值。m1??1???e???e??1994e???e? ?0.125199

4（2）?例

5、計(jì)算：（1）8?2??2?????????解：（1）原式=(8?0.125)199422?11994?1

11??11??e?e?e?e?????eeee????=e?1?1 ??（2）原式=?e2??22??2????????

第五篇：初三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案11

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初三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案

幾何部分 第四章：相似形

教學(xué)目的：

1、掌握比例的性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用比例的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的比例變形，理解黃金分割的概念。

2、會(huì)用平行線分線段成比例定理及其推論。截三角形兩邊或其延長(zhǎng)線的直線平行第三邊的判定定理證明線段成比例，線段平行等問題，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算。

3、理解相似多邊形的概念，靈活運(yùn)用三角形相似的判定定理以及特殊的直角三角形判定定理。

4、理解相似比的概念和相似三角形，相似多邊形的性質(zhì)。知識(shí)點(diǎn)：

一、比例線段

1、比：選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段。a、b的長(zhǎng)度分別是m、n，那么就說(shuō)這兩條線段的比是a：b＝m：n（或am?）bn2、比的前項(xiàng)，比的后項(xiàng)：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。

說(shuō)明：求兩條線段的比時(shí)，對(duì)這兩條線段要用同一單位長(zhǎng)度。

3、比例：兩個(gè)比相等的式子叫做比例，如

4、比例外項(xiàng)：在比例

ac? bdac?（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外項(xiàng)。bdac5、比例內(nèi)項(xiàng)：在比例?（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)。

bdac6、第四比例項(xiàng)：在比例?（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例項(xiàng)。

bdab7、比例中項(xiàng)：如果比例中兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等，即比例為?（或a:b=b:c時(shí)，我們

ba把b叫做a和d的比例中項(xiàng)。

8、比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段。

9、比例的基本性質(zhì)：如果a：b＝c：d那么ad＝bc逆命題也成立，即如果ad＝bc，那么a：b＝c：d

10、比例的基本性質(zhì)推論：如果a：b=b：d那么b2=ad，逆定理是如果b2=ad那么a：b=b：c。說(shuō)明：兩個(gè)論是比積相等的式子叫做等積式。比例的基本性質(zhì)及推例式與等積式互化的理論依據(jù)。

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aca?bc?d?，那么? bdbdacm????

12．等比性質(zhì)：如果，（b?d???m?0），那么bdna?c???ma?

b?d???nb11、合比性質(zhì)：如果

說(shuō)明：應(yīng)用等比性質(zhì)解題時(shí)常采用設(shè)已知條件為k，這種方法思路單一，方法簡(jiǎn)單不易出錯(cuò)。

13、黃金分割把一條線段分成兩條線段，使較長(zhǎng)的線段是原線段與較小的線段的比例中項(xiàng)，叫做把這條線段黃金分割。

說(shuō)明：把一條線段黃金分割的點(diǎn)，叫做這條線段的黃金分割點(diǎn)，在線段AB上截取這條線段的5?1倍得到點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是AB的黃金分割點(diǎn)。

2二、平行線分線段成比例

1、平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。

格式：如果直線L1∥L2∥L3，AB＝ BC，那么：A1B1＝B1C1，如圖4－l 說(shuō)明：由此定理可知推論1和推論2

推論1：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線必平分另一腰。

格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，EF∥AD，那么DF=FC

推論2：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊。

格式，如果△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，DE∥BC，那么AE＝EC，如圖4—3

2、平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。說(shuō)明：平行線等分線段定理是平行線分線段成比問定理的特殊情況。

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3．平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

說(shuō)明1：平行線分線段成比例定理可用形象的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)。如圖4—4

說(shuō)明2：圖4－4的三種圖形中這些成比例線段的位置關(guān)系依然存在。

4、三角形一邊的平行線的判定定理。如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

5、三角形一邊的平行線的判定定理：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例。

6、線段的內(nèi)分點(diǎn)：在一條線段上的一個(gè)點(diǎn)，將線段分成兩條線段，這個(gè)點(diǎn)叫做這條線段的內(nèi)分點(diǎn)。

7、線段的外分點(diǎn)：在一條線段的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，有時(shí)也叫做這條線段的外分點(diǎn)。

說(shuō)明：外分點(diǎn)分線段所得的兩條線段，也就是這個(gè)點(diǎn)分別和線段的兩個(gè)端點(diǎn)確定的線段。

三、相似三角形

1、相似三角形：兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。

說(shuō)明：證兩個(gè)三角形相似時(shí)和證兩個(gè)三角形全等一樣，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，這樣便于找出相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。

2、相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比k，叫做相似比（或叫做相似系數(shù)）。

3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

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說(shuō)明：這個(gè)定理反映了相似三角形的存在性，所以有的書把它叫做相似三角形的存在定理，它是證明三角形相似的判定定理的理論基礎(chǔ)。

4、三角形相似的判定定理：

（1）判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么就兩個(gè)三角形相似。可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。

（2）判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。

（3）判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)單說(shuō)成：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。

（4）直角三角形相似的判定定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。

說(shuō)明：以上四個(gè)判定定理不難證明，以下判定三角形相似的命題是正確的，在解題時(shí)，也可以用它們來(lái)判定兩個(gè)三角形的相似。

第一：頂角（或底角）相等的兩個(gè)等腰三角形相似。

第二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。

第三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。

第四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。

第五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形．相似。

5、相似三角形的性質(zhì)：

（1）相似三角形性質(zhì)1：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。

（2）相似三角形性質(zhì)2：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。

說(shuō)明：以上兩個(gè)性質(zhì)簡(jiǎn)單記為：相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比。

（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

說(shuō)明：兩個(gè)三角形相似，根據(jù)定義可知它們具有對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例這個(gè)性質(zhì)。

6、介紹有特點(diǎn)的兩個(gè)三角形

（1）共邊三角形指有一條公共邊的兩個(gè)三角形叫做共邊三角形。

（2）共角三角形有一個(gè)角相等或互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫做共角三角形，如圖4－6

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（3）公邊共角有一個(gè)公共角，而且還有一條公共邊的兩個(gè)三角形叫做公邊共角三角形。

說(shuō)明：具有公邊共角的兩個(gè)三角形相似，則公邊的平方等于疊在一條直線上的兩邊的乘積：如圖4—7若△ACD∽△ABC，則AC2＝AD·AB 例題：

abbca?b?,?.求:b?c的值.例

1、已知：2354分析：已知等比條件時(shí)常有以下幾種求值方法：

(1)設(shè)比值為k;(2)比例的基本性質(zhì)；

(3)方程的思想，用其中一個(gè)字母表示其他字母.abbc?及?2354，解：由得a:b=2:3,b:c=5:4,即a:b:c=10:15:12.設(shè)a=10k,b=15k,c=12k, 則(a+b):(b－c)=25:3.例2 已知：如圖5－126(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線交于O點(diǎn)，過(guò)O作EF∥BC，112??EF;(3)若MN為梯形中位線，分別交AB，DC于E，F(xiàn).求證：(1)OE=OF;(2)ADBC求證AF∥MC.分析：

(1)利用比例證明兩線段相等的方法.ac?dd,a=c(或b=d或a=b)，則b=d(或a=c或c=d)； ①若ab?a,則a=b(只適用于線段，對(duì)實(shí)數(shù)不成立)； ②若daca'c'??''dddd,a=a′,b=b′,c=c′,則d=d′.③若,(2)利用平行線證明比例式及換中間比的方法.112111????ADBCEFabc”類型后：(3)證明時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為“cc??1①化為ab直接求出各比值，或可用中間比求出各比值再相加，證明比值的和為1；

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②直接通分或移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為證明四條線段成比例.(4)可用分析法證明第(3)題，并延長(zhǎng)兩腰將梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題.延長(zhǎng)BA，CD交于S，AF∥MC

∴ AF∥MC成立.(5)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)將問題進(jìn)行推廣.若直線EF平行移動(dòng)后不過(guò)點(diǎn)O，分別交AB，BD，AC，CD于E，O1，O2，F(xiàn)，如圖5－126(b),O1F 與O2F是否相等?為什么?(6)其它常用的推廣問題的方法有：類比、從特殊到一般等

例3 已知：如圖5－127，在ΔABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，DE⊥AC于E，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，BE交AD于N，AF交BE于M.求證：AF⊥BE.分析：

(1)分解基本圖形探求解題思路.(2)總結(jié)利用相似三角形的性質(zhì)證明兩角相等，進(jìn)一步證明兩直線位置關(guān)系(平行、垂直等)

ADDE?的方法，利用ΔADE∽ΔDCE得到DCCF

ADDF?BCCE,結(jié)合∠3=∠C,得到ΔBEC∽ΔAFD，因此∠1=∠2.進(jìn)一步可 結(jié)合中點(diǎn)定義得到得到AF⊥BE.(3)總結(jié)證明四條線段成比例的常用方法：①比例的定義；②平行線分線段成比例定理；③

三角形相似的預(yù)備定理；④直接利用相似三角形的性質(zhì)；⑤利用中間比等量代換；⑥利用面

積關(guān)系.本資料由中小學(xué)教學(xué)資源網(wǎng)【www.jiaoxue.info】整理提供！中小學(xué)教學(xué)資源網(wǎng)【www.jiaoxue.info】

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例4 已知：如圖5－128，RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F.求證：(1)CD3=AAE·BF·AB；(2)BC2：AC2=CE:EA;(3)BC3:AC3=BF:AE.分析：

掌握基本圖形“RtΔABC，∠C=90°，CD⊥AB于D”中的常用結(jié)論.222①勾股定理：AC+BC=AB.②面積公式：AC·BC=AB·CD.222③三個(gè)比例中項(xiàng)：AC=AD·AB,BC=BD·BA,CD=DA·DB.ACAD?2BD ⑤BC證明：第(1)題： 2∵ CD=AD·BD, 422∴ CD=AD·BD=(AE·AC)·(BF·BC)=(AE·BF)(AC·BC)=(AE·BF)·(AB·CD).第(2)題： 2BC2BD?BABDBDDFCE????2ADEAAE,命題得AD?ABADAC ∵,利用ΔBDF∽ΔDAE，證得證.第(3)題：

BC2BD?ABBD??2AD?ABAD, AC∵BC4BD2BF?BCBC3BF???423AE?AC,∴ACAE AD ∴AC

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