第一篇：初三數學第一輪復習教學反思

博林中學九年級數學第一輪復習教學反思

夏光福2012.5.23

九年級畢業班總復習，教學時間緊，任務重，要求高，學生對學過的知識早已忘記。如何提高數學總復習的質量和效益，是每位畢業班數學教師必須面對的問題。今年這一學期比往年較長，計劃安排兩個月進行第一輪復習。進行第一輪復習之前，我有以下幾點認識：

1．第一輪復習的目的是要“過三關”：（1）過記憶關。必須做到記,記準所有的重要知識、公式、定理等，沒有準確無誤的記憶，就不可能有好的結果。（2）過基本方法關。如：待定系數法求函數解析式；用勾股定理和三角函數來解直角三角形。（3）過基本技能關。如：給你一個題，你找到了它的解題方法，也就是知道了用什么辦法，這時就說明具備了解這個題的技能。在這一階段的教學把書中的內容進行歸納整理、組合，使之形成知識結構，可將代數部分分為：實數、代數式、方程、不等式、函數、概率、統計初步等；將幾何部分分為：幾何基本概念，相交線和平行線、三角形、四邊形、相似三角形、解直角三角形、圓等。復習完每個單元都要做卷檢測，重視補缺工作。第一輪復習的基本宗旨：知識系統化（知識樹），練習專題化。

2．第一輪復習應該注意的幾個問題，必須扎扎實實地夯實基礎。

（1）根據往年中考有些基礎題是課本上的原題型或改編變式題，必須深鉆教材，絕不能脫離課本。

（2）不搞題海戰術，精講精練，舉一反

三、觸類旁通。“大量練習”

是相對而言的，它不是盲目的大，也不是盲目的練。而是有針對性的、典型性、層次性、切中要害的強化練習。

（3）每天批改檢查學生完成的作業，及時反饋。對于作業、練習、測驗中的問題，采用集中講授和個別輔導相結合，或將問題滲透在以后的教學過程中等辦法進行反饋、矯正和強化，有利于大面積提高教學質量。

（4）注重思想教育，不斷激發他們學好數學的自信心，并創造條件，讓學困生體驗成功。

3、復習反思，或稱為“反思性復習”，是指教師在復習實踐中，批判地考察自我的主體行為表現及其行為依據，通過觀察、回顧、診斷、自我監控等方式，或給予肯定、支持與強化，或給予否定、思索與修正，將“學會教學”與“學會學習”結合起來，從而努力提升復習的合理性，提高復習效率。教師要根據學生的反饋信息，反思“為什么會出現這樣的問題，我如何調整復習計劃，采取怎樣有效的策略與措施”，從而順著學生的思路組織復習，確保復習過程沿著最佳的軌道運行。

第二篇：初三數學第一輪復習教學反思

初三數學第一輪復習教學反思

劉春喜

1、重視課本，系統復習。現在中考命題仍然以基礎題為主，有些基礎題是課本上的原題或改造，后面的大題雖高于教材，但原型一般還是教材中的例題或習題，是教材中題目的引伸、變形或組合，所以我在第一階段復習時，還是以課本為主，深鉆教材，把書中的內容進行歸納整理，使之形成較完整的知識結構，并注意學生解題方法的歸納和整理。我在這一階段的教學時，將代數部分分為五個單元：實數和代數式；方程；不等式；函數；統計初步等；將幾何部分分為五個單元：幾何基本概念，相交線和平行線；三角形；四邊形；解直角三角形；圓等。復習中注意引導學生根據個人具體情況把遺忘的知識重溫一遍，邊復習邊作知識歸類，加深記憶，同時注意引導學生弄清概念的內涵和外延，掌握法則、公式、定理的推導或證明，例題的選擇有針對性、典型性、層次性，并注意了分析例題解答的思路和方法。

2、重視對基礎知識的理解和基本方法的指導。基礎知識即初中數學課程中所涉及的概念、公式、公理、定理等。要求學生掌握各知識點之間的內在聯系，理清知識結構，形成整體的認識，并能綜合運用。因此，我在選擇例題及布置作業時，盡可能選擇一些有代表性的習題，不出偏題怪題，重視學生在做題時出現錯誤的即講解及訂正。

3、每天上完課，我都會靜下心來細細想想：這節課總體設計是否恰當，教學環節是否合理，是否完成了預期的教學目標等。經過近兩個月的復習，自認為基本達到了第一輪預設的教學目標。四月11日將進行本屆初三畢業生的中考預測（即二模），將對我第一輪復習進行檢測，希望能取得令人較滿意的成績。

第三篇：高三數學第一輪復習教學反思

金哲

高考在即，第一輪復習已經接近尾聲，這里就一輪復習談談自己的一點反思。高考是選拔性的考試，對于數學學科來說，它是在考查學生基礎知識的同時，突出能力（思維能力、運算能力、空間想象能力、實踐創新能力）的考查。因此作為高三數學教師在進行高考復習

時，特別是在第一輪復習時，始終應以夯實“三基”，提高能力為指導思想，使學生 在有限的復習時間內立足基礎，在能力的提高上有所突破，以達到應試的要求

和水平。現結合本人的教學實踐，談幾點體會:

一、加強高考研究，把握高考方向

隨著數學教育改革和素質教育的深入，高考命題也在逐年探索、改革，命題的方向愈加突出考查能力，所以研究好高考，尤其是把握好高考的新動向，搞好高考復習，不僅能為學生打好扎實的基礎，提高學生的整體素質、應試能力和高考成績，而且也必將提高自己的教學水平，促進素質教育的全面實施。研究高考要研究大綱和考綱，要研究新舊考題的變化，要進行考綱、考題與教材的對比研究。通過對高考的研究，把握復習的尺度，避免挖的過深,拔的過高、范圍過大，造成浪費；避免復習落點過低、復習范圍窄小，形成缺漏。

二、明確中心思想，做好學習計劃

第一輪復習是高考復習的基礎，其效果決定高考復習的成敗；一輪復習搞的扎實，二輪復習的綜合訓練才能順利進行。故制定以下指導思想：全面、扎實、系統、靈活。全面，即全面覆蓋，不留空白；扎實，即單元知識的理解、鞏固，把握三基務必牢固；系統，即前掛后連，有機結合，注意知識的完整性系統性，初步建立明晰的知識網絡；靈活，即增強小綜合訓練，克服解題的單向性、定向性，培養綜合運用、靈活處理問題的能力和探究能力。

第二輪復習是在第一輪復習的基礎上，進行強化、鞏固的階段，是考生數學能力及數學成績大幅度提高的階段，在一定程度上決定高考的勝敗。指導思想是：鞏固、完善、綜合、提高。鞏固，即鞏固第一輪復習成果，把鞏固“三基”放在首位；完善，即通過專題復習，查漏補缺，進一步完善知識體系；綜合，即在訓練上，減少單一知識點的訓練，增強知識的連結點，增強知識交匯點的題目，增強題目的綜合性和靈活性；提高，即培養學生的思維能力、概括能力，分析問題、解決問題的能力。

三、重視回歸課本，狠抓夯實基礎

《考試說明》中強調，數學學科的命題，在考查基礎知識的基礎上，注重對數學思想和方法的考查，注重對數學能力的考查，注重展現數學的科學價值和人文價值，同時兼顧試題的基礎性、綜合性、現實性。并明確指出：易、中、難的比例控制在3：5：2左右，即中低檔題占總分的80%左右，這就決定了在高考復習中必須抓基礎，常抓不懈，只有基礎打好了，做中低檔題才會概念清楚，得心應手，做難題和綜合題才有基本條件。尤其在第一輪復習中應以夯實“三基”為主，對構建的知識網絡上每個知識點要弄清概念，了解數學知識和理論的形成過程，以及解決數學問題的思維過程。在第一輪的復習課中，應總結梳理每一章第1頁

節的數學知識，基本題型和練習，以利于學生進行復習，在梳理中注重由學生自己去推理數學知識的形成的過程。如在兩角和與差的三角函數這一章中公式較多，要求學生證明兩角差的余弦這一重要公式，并由次推導三角函數的和角、差角、倍角、半角等三角公式，通過這一練習，不但使學生對三角公式之間的聯系十分清楚，記憶加深，而且增強了靈活運用公式的能力。在分章節復習時要以課本知識為本，因為課本是知識與方法的重要載體，課本是高考題的主要來源。縱觀近幾年的新課程高考試題，不難發現，多數試題源于教材，即使是綜合題也是課本例習題的綜合、加工與拓展，充分體現了課本的基礎作用。復習必須緊緊地圍繞課本來進行，只有嚴守課本，才能擺脫“題海”之苦。課本中有基本題，也有綜合題，都在課本的練習題、習題、復習題、例題這“四題”中體現，以這“四題”為中心，既能鞏固加深概念的理解，又能幫助掌握各種方法和技巧。在復習中，我覺得應該注意以下幾個方面：

（1）課本的某一內容，它涉及了那些技能、技巧，在“四題”中有那些體現，我們以這一內容串通一些“形異質同”的題引導學生重視基本概念、基本公式的應用，增強解題的應變能力。

（2）引導學生對“四題”尋求多種解法，或最優解法，開闊思路，培養靈活性。

（3）分析課本內容，哪些難掌握，哪些易掌握，哪些內容可作不超綱的引申。

（4）應用“四題”構造一些綜合題，即變題。注重基本方法和基本技能的應用，鞏固基礎知識。

四、改革傳統教法，講究學習實效

現階段的高一，有實行了新課程改革。新課程理念之一是課堂教學觀念的轉變，首先是教師角色的轉變，由講解者轉變為學生學習的組織者、合作者、指導者，其次是學生地位的轉變，由單純聽課、被動接收地位轉變為主動參與、合作學習、探究發現的主體地位。我覺得高三數學復習課教學也應遵循這一教學理念，它體現了數學教學是數學活動的 教學，是師生之間、學生之間交往互動，共同發展的過程。

我們對某一節知識復習時，通常采用練、改、評的模式。練是有針對性的先讓學生做一份練習卷，讓學生練習、回顧、討論，做好知識、內容、方法的復習工作；改是教師及時批改，以摸清學生對所復習內容的掌握情況；評是教師及時評講，講評共性問題，夯實“三基”使復習卓有成效。精心選題，發揮例題的最大功能，也是提高復習效率的重要環節。要做到“面中取點，點中求精，精中求活，活中求變”。要具有典型性、梯度性、新穎性、綜合性，更應貼近大綱、課本。例題的講解應克服教師講、學生聽的模式。而應采用師生互動、生生互動的新模式，即一到例題的講解，當學生審題后，先讓學生說思路、說方法，當學生思維受阻時，教師指導受阻的原因啟迪前進的方向，以便達到預期的教學效果必要時也可以讓學生展開討論，采用探究性學習的方式進行教學，這是改革復習課教學的重要方面。

總之，在高考數學復習中，我覺得我們應該更新教學觀念，用新課程教學理念進行教學設計，使學生在教師創設的問題情景中，主動去探究學習，在問題解決過程中，理解數學概念，掌握基本數學思想方法，提高數學素質，培養數學能力。

第2頁

第四篇：初三數學第一輪復習教案11

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初三數學第一輪復習教案

幾何部分 第四章：相似形

教學目的：

1、掌握比例的性質，會運用比例的性質進行簡單的比例變形，理解黃金分割的概念。

2、會用平行線分線段成比例定理及其推論。截三角形兩邊或其延長線的直線平行第三邊的判定定理證明線段成比例，線段平行等問題，并會進行有關的計算。

3、理解相似多邊形的概念，靈活運用三角形相似的判定定理以及特殊的直角三角形判定定理。

4、理解相似比的概念和相似三角形，相似多邊形的性質。知識點：

一、比例線段

1、比：選用同一長度單位量得兩條線段。a、b的長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是a：b＝m：n（或am?）bn2、比的前項，比的后項：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項，b叫做比的后項。

說明：求兩條線段的比時，對這兩條線段要用同一單位長度。

3、比例：兩個比相等的式子叫做比例，如

4、比例外項：在比例

ac? bdac?（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外項。bdac5、比例內項：在比例?（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例內項。

bdac6、第四比例項：在比例?（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例項。

bdab7、比例中項：如果比例中兩個比例內項相等，即比例為?（或a:b=b:c時，我們

ba把b叫做a和d的比例中項。

8、比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。

9、比例的基本性質：如果a：b＝c：d那么ad＝bc逆命題也成立，即如果ad＝bc，那么a：b＝c：d

10、比例的基本性質推論：如果a：b=b：d那么b2=ad，逆定理是如果b2=ad那么a：b=b：c。說明：兩個論是比積相等的式子叫做等積式。比例的基本性質及推例式與等積式互化的理論依據。

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aca?bc?d?，那么? bdbdacm????

12．等比性質：如果，（b?d???m?0），那么bdna?c???ma?

b?d???nb11、合比性質：如果

說明：應用等比性質解題時常采用設已知條件為k，這種方法思路單一，方法簡單不易出錯。

13、黃金分割把一條線段分成兩條線段，使較長的線段是原線段與較小的線段的比例中項，叫做把這條線段黃金分割。

說明：把一條線段黃金分割的點，叫做這條線段的黃金分割點，在線段AB上截取這條線段的5?1倍得到點C，則點C就是AB的黃金分割點。

2二、平行線分線段成比例

1、平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。

格式：如果直線L1∥L2∥L3，AB＝ BC，那么：A1B1＝B1C1，如圖4－l 說明：由此定理可知推論1和推論2

推論1：經過梯形一腰的中點與底平行的直線必平分另一腰。

格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，EF∥AD，那么DF=FC

推論2：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。

格式，如果△ABC中，D是AB的中點，DE∥BC，那么AE＝EC，如圖4—3

2、平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。說明：平行線等分線段定理是平行線分線段成比問定理的特殊情況。

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3．平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得的對應線段成比例。

說明1：平行線分線段成比例定理可用形象的語言來表達。如圖4—4

說明2：圖4－4的三種圖形中這些成比例線段的位置關系依然存在。

4、三角形一邊的平行線的判定定理。如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

5、三角形一邊的平行線的判定定理：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例。

6、線段的內分點：在一條線段上的一個點，將線段分成兩條線段，這個點叫做這條線段的內分點。

7、線段的外分點：在一條線段的延長線上的點，有時也叫做這條線段的外分點。

說明：外分點分線段所得的兩條線段，也就是這個點分別和線段的兩個端點確定的線段。

三、相似三角形

1、相似三角形：兩個對應角相等，對應邊成比例的三角形叫做相似三角形。

說明：證兩個三角形相似時和證兩個三角形全等一樣，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上，這樣便于找出相似三角形的對應角和對應邊。

2、相似比：相似三角形對應邊的比k，叫做相似比（或叫做相似系數）。

3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似。

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說明：這個定理反映了相似三角形的存在性，所以有的書把它叫做相似三角形的存在定理，它是證明三角形相似的判定定理的理論基礎。

4、三角形相似的判定定理：

（1）判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么就兩個三角形相似。可簡單說成：兩角對應相等，兩三角形相似。

（2）判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似，可簡單說成：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。

（3）判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似，可簡單說成：三邊對應成比例，兩三角形相似。

（4）直角三角形相似的判定定理如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。

說明：以上四個判定定理不難證明，以下判定三角形相似的命題是正確的，在解題時，也可以用它們來判定兩個三角形的相似。

第一：頂角（或底角）相等的兩個等腰三角形相似。

第二：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。

第三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。

第四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似。

第五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線對應成比例，那么這兩個三角形．相似。

5、相似三角形的性質：

（1）相似三角形性質1：相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比。

（2）相似三角形性質2：相似三角形周長的比等于相似比。

說明：以上兩個性質簡單記為：相似三角形對應線段的比等于相似比。

（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

說明：兩個三角形相似，根據定義可知它們具有對應角相等、對應邊成比例這個性質。

6、介紹有特點的兩個三角形

（1）共邊三角形指有一條公共邊的兩個三角形叫做共邊三角形。

（2）共角三角形有一個角相等或互補的兩個三角形叫做共角三角形，如圖4－6

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（3）公邊共角有一個公共角，而且還有一條公共邊的兩個三角形叫做公邊共角三角形。

說明：具有公邊共角的兩個三角形相似，則公邊的平方等于疊在一條直線上的兩邊的乘積：如圖4—7若△ACD∽△ABC，則AC2＝AD·AB 例題：

abbca?b?,?.求:b?c的值.例

1、已知：2354分析：已知等比條件時常有以下幾種求值方法：

(1)設比值為k;(2)比例的基本性質；

(3)方程的思想，用其中一個字母表示其他字母.abbc?及?2354，解：由得a:b=2:3,b:c=5:4,即a:b:c=10:15:12.設a=10k,b=15k,c=12k, 則(a+b):(b－c)=25:3.例2 已知：如圖5－126(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線交于O點，過O作EF∥BC，112??EF;(3)若MN為梯形中位線，分別交AB，DC于E，F.求證：(1)OE=OF;(2)ADBC求證AF∥MC.分析：

(1)利用比例證明兩線段相等的方法.ac?dd,a=c(或b=d或a=b)，則b=d(或a=c或c=d)； ①若ab?a,則a=b(只適用于線段，對實數不成立)； ②若daca'c'??''dddd,a=a′,b=b′,c=c′,則d=d′.③若,(2)利用平行線證明比例式及換中間比的方法.112111????ADBCEFabc”類型后：(3)證明時，可將其轉化為“cc??1①化為ab直接求出各比值，或可用中間比求出各比值再相加，證明比值的和為1；

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②直接通分或移項轉化為證明四條線段成比例.(4)可用分析法證明第(3)題，并延長兩腰將梯形問題轉化為三角形問題.延長BA，CD交于S，AF∥MC

∴ AF∥MC成立.(5)用運動的觀點將問題進行推廣.若直線EF平行移動后不過點O，分別交AB，BD，AC，CD于E，O1，O2，F，如圖5－126(b),O1F 與O2F是否相等?為什么?(6)其它常用的推廣問題的方法有：類比、從特殊到一般等

例3 已知：如圖5－127，在ΔABC中，AB=AC，D為BC中點，DE⊥AC于E，F為DE中點，BE交AD于N，AF交BE于M.求證：AF⊥BE.分析：

(1)分解基本圖形探求解題思路.(2)總結利用相似三角形的性質證明兩角相等，進一步證明兩直線位置關系(平行、垂直等)

ADDE?的方法，利用ΔADE∽ΔDCE得到DCCF

ADDF?BCCE,結合∠3=∠C,得到ΔBEC∽ΔAFD，因此∠1=∠2.進一步可 結合中點定義得到得到AF⊥BE.(3)總結證明四條線段成比例的常用方法：①比例的定義；②平行線分線段成比例定理；③

三角形相似的預備定理；④直接利用相似三角形的性質；⑤利用中間比等量代換；⑥利用面

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例4 已知：如圖5－128，RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F.求證：(1)CD3=AAE·BF·AB；(2)BC2：AC2=CE:EA;(3)BC3:AC3=BF:AE.分析：

掌握基本圖形“RtΔABC，∠C=90°，CD⊥AB于D”中的常用結論.222①勾股定理：AC+BC=AB.②面積公式：AC·BC=AB·CD.222③三個比例中項：AC=AD·AB,BC=BD·BA,CD=DA·DB.ACAD?2BD ⑤BC證明：第(1)題： 2∵ CD=AD·BD, 422∴ CD=AD·BD=(AE·AC)·(BF·BC)=(AE·BF)(AC·BC)=(AE·BF)·(AB·CD).第(2)題： 2BC2BD?BABDBDDFCE????2ADEAAE,命題得AD?ABADAC ∵,利用ΔBDF∽ΔDAE，證得證.第(3)題：

BC2BD?ABBD??2AD?ABAD, AC∵BC4BD2BF?BCBC3BF???423AE?AC,∴ACAE AD ∴AC

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第五篇：初三數學第一輪復習教案9

初三數學第一輪復習教案

幾何部分 第二章：三角形

教學目的：

1、掌握三角形的分類、邊角關系、三條線段構成三角形的條件，內角和定理。

2、熟練掌握并靈活運用全等三角形的判定和性質來證明有關對應角，對應線段相等和線段平行與垂直及線段的和差、倍、分關系，并進行有關計算。

3、掌握有關三角形的數學思想和方法。

4、熟練掌握特殊三角形的判定和性質，勾股定理及其逆定理，并能靈活運用。

5、掌握線段的垂直平分線、角的平分線的性質定理和逆定理，并能熟練靈活地加以運用。

6、會用尺規完成基本作圖，能利用基本作圖和已知條件作一般三角形，等腰三角形，直角三角形；會寫已知，求作，作法。知識點：

一、關于三角形的一些概念

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

組成三角形的線段叫三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫三角形的內角，簡稱三角形的角。

1、三角形的角平分線。

三角形的角平分線是一條線段（頂點與內角平分線和對邊交線間的距離）

2、三角形的中線

三角形的中線也是一條線段（頂點到對邊中點間的距離）

3．三角形的高

三角形的高線也是一條線段（頂點到對邊的距離）

注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內。

如圖 2－l，AD、BE、CF都是么ABC的角平分線，它們都在△ABC內

如圖2－2，AD、BE、CF都是△ABC的中線，它們都在△ABC內

而圖2－3，說明高線不一定在 △ABC內，圖2—3—（1）

圖2—3—（2）

圖2－3一（3）

圖2－3—（1），中三條高線都在△ ABC內，圖2－3－（2），中高線CD在△ABC內，而高線AC與BC是三角形的邊；

圖2－3一（3），中高線BE在△ABC內，而高線AD、CF在△ABC外。

三、三角形三條邊的關系

三角形三邊都不相等，叫不等邊三角形；有兩條邊相等的叫等腰三角形；三邊都相等的則叫等邊三角形。

等腰三角形中，相等的兩條邊叫腰，另一邊叫底邊，腰和底邊的夾角叫底角，兩腰的夾角叫項角。

三角形接邊相等關系來分類：

?不等邊三角形?

三角形三角形??底邊和腰不相等的等腰?等腰三角形??等邊三角形?三角形

用集合表示，見圖2－4

推論三角形兩邊的差小于第三邊。

不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊。

例如三條線段長分別為5，6，1人因為5＋6＜12，所以這三條線段，不能作為三角形的三邊。三、三角形的內角和

定理三角形三個內角的和等于180°

由定理可知，三角形的二個角已知，那么第三角可以由定理求得。

如已知△ABC的兩個角為∠A＝90°，∠B＝40°，則∠C＝180°–90°–40°＝50°

由定理可以知道，三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角。

推論1：直角三角形的兩個銳角互余。

三角形按角分類：

?直角三角形?

三角形??銳角三角形?斜三角形??鈍角三角形?

用集合表示，見圖

三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角。

推論2：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。

推論3：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。

例如圖2—6中

∠1 ＞∠3；∠1=∠3＋∠4；∠5＞∠3＋∠8；∠5＝∠3＋∠7＋∠8；

∠2＞∠8；∠2＝∠7＋∠8；∠4＞∠9；∠4＝∠9＋∠10等等。

四、全等三角形

能夠完全重合的兩個圖形叫全等形。

兩個全等三角形重合時，互相重合的頂點叫對應頂點，互相重合的邊叫對應邊，互相重合的角叫對應角。

全等用符號“≌”表示

△ABC≌△A `B`C`表示 A和 A`，B和B`，C和C`是對應點。

全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等。

如圖2—7，△ABC≌△A `B`C`，則有A、B、C的對應點A`、B`、C`；AB、BC、CA的對應邊是A`B`、B`C`、C`A`。∠A，∠B，∠C的對應角是∠A`、∠B`、∠C`。

∴AB＝A`B`，BC＝B`C`，CA＝C`A`；∠A＝∠A`，∠ B＝∠B`，∠C＝∠C`

五、全等三角形的判定

1、邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）

注意：一定要是兩邊夾角，而不能是邊邊角。

2、角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角“或“ASA”）

3、推論有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊’域“AAS”）

4、邊邊邊公理有三邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）

由邊邊邊公理可知，三角形的重要性質：三角形的穩定性。

除了上面的判定定理外，“邊邊角”或“角角角”都不能保證兩個三角形全等。

5、直角三角形全等的判定：斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊，直角邊”或“HL”）

六、角的平分線

定理

1、在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

定理

2、一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。

由定理1、2可知：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。

可以證明三角形內存在一個點，它到三角形的三邊的距離相等這個點就是三角形的三條角平分線的交點（交于一點）

在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互為逆命題，如果把其中的一個做原命題，那么另一個叫它的逆命題。

如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫互逆定理，其中一個叫另一個的逆定 理。

例如：“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。

一個定理不一定有逆定理，例如定理：“對頂角相等”就沒逆定理，因為“相等的角是對頂角”這是一個假命顆。

七、基本作圖

限定用直尺和圓規來畫圖，稱為尺規作網＿

最基本、最常用的尺規作圖．通常稱為基本作圖，例如做一條線段等于己知線段。

1、作一個角等于已知角：作法是使三角形全等（SSS），從而得到對應角相等；

2、平分已知角：作法仍是使三角形全等（SSS）．從而得到對應角相等。

3、經過一點作已知直線的垂線：（1）若點在已知直線上，可看作是平分已知角平角；（2）若點在已知直線外，可用類似平分已知角的方法去做：已知點 C為圓心，適當長為半徑作弧交已知真線于A、B兩點，再以A、B為圓心，用相同的長為半徑分別作弧交于D點，連結CD即為所求垂線。

4、作線段的垂直平分線： 線段的垂直平分線也叫中垂線。

做法的實質仍是全等三角形（SSS）。也可以用這個方法作線段的中點。

八、作圖題舉例

重要解決求作三角形的問題

1、已知兩邊一夾角，求作三角形 ．

2、已知底邊上的高，求作等腰三角形

九、等腰三角形的性質定理

等腰三角形的性質定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）

推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，就是說：等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

例如：等腰三角形底邊中線上的任一點到兩腰的距離相等，因為等腰三角形底邊中線就是頂角的角平分線、而角平分線上的點到角的兩邊距離相等n

十、等腰三角形的判定

定理：如果一個三角形有兩個角相，那這兩個角所對的兩條邊也相等。（簡寫成“等角對等動”）。

推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形

推論2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于3O°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

十一、線段的垂直平分線

定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

就是說：線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個端點距離相等的所有點的集合。

十二、軸對稱和軸對稱圖形

把一個圖形沿著某一條直線折疊二如果能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線軸對稱，兩個圖形中的對應點叫關于這條直線的對稱點，這條直線叫對稱軸。

兩個圖形關于直線對稱也叫軸對稱。

定理1：關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。

定理2：如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線。

定理3：兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長相交。那么交點在對稱軸上。

逆定理：如果兩個圖形的對應點連線被一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱。

如果一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。

例如：等腰三角形頂角的分角線就具有上面所述的特點，所以等腰三角形頂角的分角線是等腰三角形的一條對稱軸，而等腰三角形是軸對稱圖形。

十三、勾股定理 勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方：a?b?c

勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系： a?b?c

那么這個三角形是直角三角形 例題：

例

1、已知：AB、CD相交于點O，AC∥DB，OC=OD,E、F為AB上兩點，且AE=BF.求證：CE=DF 分析：要證CE=DF，可證△ACE≌△BDF，但由已知條件直接證不出全等，這時由已知條件可先證出△AOC≌△BOD，得出AC=BD，從而證出△ACE≌△BDF.證明：略

例

2、已知：如圖，AB=CD，BC=DA，E、F是AC上兩點，且AE=CF。求證：BF=DE 分析：觀察圖形，BF和DE分別在△CFB和△AED（或△ABF和△CDE）中，由已知條件不能直接證明這兩個三角形全等。這時可由已知條件先證明△ABC≌△CDA,由此得∠1=∠2，從而證出△CFB≌△AED。

證明：略

例

3、已知：∠CAE是三角形ABC的外角, ∠1=∠2，AD∥BC。求證：AB=AC 證明：略

例

4、已知：如圖 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于 C，ED⊥OB于 D．求證：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．

分析：證明第（1）題時，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分線的性質定理得到 OC＝OD．這樣處理，可避免證明兩個三角形全等．

證明：略

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