第一篇：復數 復數與方程 教案

復數·復數與方程·教案

教學目標

1．掌握在復數集內解一元二次方程的方法；使學生掌握含有未知數 的解法．

2．教學過程中，滲透數學轉化思想及方程的思想，提高學生靈活運用數學知識解題的能力；培養學生嚴謹的邏輯思維．

3．通過對實系數一元二次方程在實數范圍內求解和在復數范圍內求解的比較，認識到任何事物都是相對的，而不是絕對的這一辯證唯物主義的觀點．

教學重點與難點

個復數相等的充分必要條件的運用． 教學過程設計

師：方程x2+1=0在復數范圍內有沒有解，解集是什么？ 生：因為-1=i2，則原方程化為x2-i2=0，即（x+i）（x-i）=0．所以原方程解集為{i，-i}． 師：對．那么方程ax2＋bx＋c=0（a，b，c是實數）在復數范圍內解集是什么？ 生1：當Δ=b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實根，解集為

師：方程x2＋1=0中，Δ=-4＜0，上述結論對嗎？

生3：無意義．此時方程的解集為

師：對．實系數一元二次方程ax2＋bx＋c=0在復數范圍內解的情況為：當Δ≥0時有實根；當Δ＜0時，有一對共軛的虛根．

例1 若關于x的方程x2+5x+m=0的兩個虛數根x1，x2滿足|x1-x2|=3，求實數m的值．

生2：因為|x1-x2|=3，|（x1-x2）2|=9；則|（x1＋x2）2-4x1x2|=9，即|25-4m|=9．

例2 已知實系數一元二次方程2x2＋rx＋s=0的一個根為2i-3，求r，s的值． 生：2x2＋rx＋s=0一根為2i-3，另一根為-3-2i．由韋達定理知： s=（2i-3）（-2i-3）=9＋16=25，r=2i-3+（-2i-3）=-6．

師：我們上面解決了實系數一元二次方程求解問題．對于至少有一個系數是虛數的一元二次方程應該如何解？

例3 求方程x2-2ix-5=0的解．

生1：將方程左端配方，得（x-i）2-4=0，即（x-i）2=4．解得x-i=±2，即x1=2+i，x2=-2+i．

師：通過這個例子大家想一想對于方程ax2＋bx＋c=0（a≠0，a，b，c至少有一個虛數）解是什么？ 生1：對原方程左端配方，得

師：b2-4ac一定是解負實數嗎？

生2：不一定．a，b，c中至少有一個是虛數，所以b2-4ac∈C． 師：那么這個方程的解應該怎樣表示．

生3：先求b2-4ac的平方根．設b2-4ac的平方根為z1，z2∈C．那么

師：對．一元二次方程的求根公式此時仍然適用．再提一個問題，當b2-4ac≥0時，方程的解都是實數嗎？ 生1：是．

師：請問由此得出怎樣的結論．

生3：當一元二次方程的系數中至少有一個虛數時，求根公式仍然適用，但判別式不再適用． 師：還有嗎？

生4：韋達定理仍然適用． 師：系數不全為實數的一元二次方程中，判別式不再適用，說明“世界上的任何事物都是相對的而不是絕對的”這一辯證唯物主義觀點．求解系數不全為實數的一元二次方程的步驟：

（1）求出Δ=b2-4ac的平方根z1，z2；

練習解方程：x2＋（1＋i）x＋5i=0． 生：Δ=[-（1＋i）]2-4×5i=-18i，因為-18i=（3-3i）2，則-18i的平方根為3-3i，-3＋3i． 所以 x1=1-2i，x2=2＋i為原方程解． 例4 解方程|z|+2z=2+4i．

師：解這個方程能用求根公式嗎？

生1：不可以．此方程不是一元二次方程． 師：這類方程如何解呢？ 生：……

師：觀察方程等號左端和左端．左端是一個虛數，實部、虛部都是已知的，右端是復數．兩個復數相等的充要條件是什么？

生2：兩個復數相等的充要條件是：實部與實部相等，虛部與虛部相等． 師：這個方程左端能分離實部虛部嗎？

師：怎樣求z？

生4：求出a，b即可．

眾生：不對！師：為什么？

師：含有|z|的復數方程，轉化為無理方程組時，所求出方程組的解一定要代回原方程組驗根． 例5 方程x2+（m+2i）x+2+mi=0至少有一實根，求實數m的值和這方程的解． 生1：方程有實根，判別式Δ≥0，從而解出m．

生2：這是一個系數不全為實數的一元二次方程，根的判別式已不再適用． 師：對．那么方程有實根這一條件應如何用呢？ 生：……

師：設實根為x0，想到什么呢？ 生：分離復數的實部和虛部．

綜上所述：

生1：設x=a＋bi．原方程轉化為： a2＋b2＋2a＋2bi=4＋2i．

所以 原方程的解為：x1=-3＋i或x2=1-i． 師：這位同學解題過程有問題嗎？ 生2：設x=a＋bi（a，b∈R）．沒有“a，b∈R”這一條件，上面的解法就無依據了． 師：我們一定要注意思維的嚴謹性．

師：形如anxn＋a0=0（a0，an∈C且an≠0，n∈N+，n≥3）的方程叫做二項方程．任何一個二項高次方程都可以化成xn=a（a∈C）的形式．因此都可以通過復數開方求根，在復數集內有且僅有n個復數根．

例6 在復數集內解方程： x4＋x2＋x2＋x＋1=0．

師：這個方程與二項方程有關系嗎？

生：方程左端是等比數列．由等比數列前n項和公式得到x4＋x3＋

師：現在把原方程的求解問題轉化為x5=1的求解問題，這就是數學中轉化的思想．把未知問題向已知問題轉化，從而使未知問題得到解決．

師：這個方程能轉化為二項方程嗎？ 生：……

師：|z|能計算出來嗎？

生：由z5=|z|2，知|z|=0或|z|=1． 當|z|=0時，z4=z．解為z=0．

師：這節課我們研究了幾類方程的解法？

生：這節課是研究在復數范圍內解方程．主要類型有：（1）實系數一元二次方程；（2）系數不全為實數的一元二次方程；（3）含有|z|，師：解這幾類方程應注意些什么？

生1：對于實系數一元二次方程：當Δ＞0時，方程有兩個相異的實根；當Δ=0時，方程有兩個相等的實根；當Δ＜0時，方程有兩個共

生2：對于系數不全為實數的一元二次方程，根的判別式不再適用，但求根公式，韋達定理仍然適用．在使用求根公式時，需先計算出Δ=b2-4ac的平方根．

法，根據復數相等的充要條件，轉化為方程組，從而求出z．特別注意，在解無理方程時，一定要驗根．另外，若方程有實根時，解決問題的方法類似．

生4：對于高次方程的解法，通常要轉化為二項方程．在復數范圍內解方程時，n次方程一定有n個根． 師：這節課通過復數范圍內方程的求解過程，我們要進一步體會數學轉化的思想、方程的思想的運用． 作業

1．P214：2，4；P217：16（1），（3），（5）；P218：20（2），（4）． 2．補充題：

（2）解方程：x2-4ix+5=0；

（3）已知方程x2+mx+1+2i=0（m∈C）有實根，求|m|的最小值． 補充題答案

（1）設z=a＋bi，a，b∈R．a2+b2-3ai-3b=1+3i，則

（2）Δ=（-4i）2-4×5=-16-20=-36．-36的平方根為6i，-6i．

課堂教學設計說明

法．為了保持本教案的完整性將可化為二項方程的高次方程的解法也列入本教案，教學中可根據情況酌情處理．

本教案中學生答錯的地方，帶有一定的普遍性，應給予足夠的重視．

本教案特別強調展示學生的思維過程，在教師的逐步引導下，誘導學生得出正確的結論，使學生有水到渠成的感覺．

第二篇：復數 概念 教案

復數 教學目標

（1）掌握復數的有關概念，如虛數、純虛數、復數的實部與虛部、兩復數相等、復平面、實軸、虛軸、共軛復數、共軛虛數的概念。

（2）正確對復數進行分類，掌握數集之間的從屬關系；

（3）理解復數的幾何意義，初步掌握復數集C和復平面內所有的點所成的集合之間的一一對應關系。

（4）培養學生數形結合的數學思想，訓練學生條理的邏輯思維能力． 教學建議

（一）教材分析

1、知識結構

本節首先介紹了復數的有關概念，然后指出復數相等的充要條件，接著介紹了有關復數的幾何表示，最后指出了有關共軛復數的概念．

2、重點、難點分析

（1）正確復數的實部與虛部

對于復數，實部是，虛部是 ．注意在說復數 時，一定有，否則，不能說實部是，虛部是 ,復數的實部和虛部都是實數。

說明：對于復數的定義，特別要抓住 這一標準形式以及 是實數這一概念，這對于解有關復數的問題將有很大的幫助。

（2）正確地對復數進行分類，弄清數集之間的關系

分類要求不重復、不遺漏，同一級分類標準要統一。根據上述原則，復數集的分類如下：

注意分清復數分類中的界限：

（3）不能亂用復數相等的條件解題．用復數相等的條件要注意：

①化為復數的標準形式 ②實部、虛部中的字母為實數，即

（4）在講復數集與復平面內所有點所成的集合一一對應時，要注意：

①任何一個復數 都可以由一個有序實數對()唯一確定．這就是說，復數的實質是有序實數對．一些書上就是把實數對()叫做復數的．

②復數 用復平面內的點Z()表示．復平面內的點Z的坐標是()，而不是()，也就是說，復平面內的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是 ．由于 =0＋1·，所以用復平面內的點(0，1)表示 時，這點與原點的距離是1，等于縱軸上的單位長度．這就是說，當我們把縱軸上的點(0，1)標上虛數 時，不能以為這一點到原點的距離就是虛數單位，或者 就是縱軸的單位長度．

③當 時，對任何，是純虛數，所以縱軸上的點()()都是表示純虛數．但當 時，是實數．所以，縱軸去掉原點后稱為虛軸．

由此可見，復平面(也叫高斯平面)與一般的坐標平面(也叫笛卡兒平面)的區別就是復平面的虛軸不包括原點，而一般坐標平面的原點是橫、縱坐標軸的公共點．

④復數z=a＋bi中的z，書寫時小寫，復平面內點Z(a，b)中的Z，書寫時大寫．要學生注意．（5）關于共軛復數的概念

設，則，即 與 的實部相等，虛部互為相反數（不能認為 與 或 是共軛復數）．

教師可以提一下當 時的特殊情況，即實軸上的點關于實軸本身對稱，例如：5和－5也是互為共軛復數．當 時，與 互為共軛虛數．可見，共軛虛數是共軛復數的特殊情行．（6）復數能否比較大小

教材最后指出：“兩個復數，如果不全是實數，就不能比較它們的大小”，要注意：

①根據兩個復數相等地定義，可知在 兩式中，只要有一個不成立，那么 ．兩個復數，如果不全是實數，只有相等與不等關系，而不能比較它們的大小．

②命題中的“不能比較它們的大小”的確切含義是指：“不論怎樣定義兩個復數間的一個關系‘<’，都不能使這關系同時滿足實數集中大小關系地四條性質”：

(i)對于任意兩個實數a，b來說，a＜b，a=b，b＜a這三種情形有且僅有一種成立；

(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；

(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；

(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向學生講解)

（二）教法建議

1．要注意知識的連續性：復數 是二維數，其幾何意義是一個點，因而注意與平面解析幾何的聯系．

2．注意數形結合的數形思想：由于復數集與復平面上的點的集合建立了一一對應關系，所以用“形”來解決“數”就成為可能，在本節要注意復數的幾何意義的講解，培養學生數形結合的數學思想．

3．注意分層次的教學：教材中最后對于“兩個復數，如果不全是實數就不能本節它們的大小”沒有證明，如果有學生提出來了，在課堂上不要給全體學生證明，可以在課下給學有余力的學生進行解答．

復數的有關概念 教學目標

1．了解復數的實部，虛部；

2．掌握復數相等的意義；

3．了解并掌握共軛復數，及在復平面內表示復數． 教學重點

復數的概念，復數相等的充要條件． 教學難點

用復平面內的點表示復數Ｍ． 教學用具：直尺 課時安排：1課時 教學過程：

一、復習提問：

1．復數的定義。

2．虛數單位。

二、講授新課

1．復數的實部和虛部：

復數 中的a與b分別叫做復數的實部和虛部。

2．復數相等

如果兩個復數 與 的實部與虛部分別相等，就說這兩個復數相等。

相等的意義，得方程組：

例2：m是什么實數時，復數 ，(1)是實數，(2)是虛數，（3）是純虛數.解：

(1)∵ 時，z是實數, ∴ ,或.(2)∵ 時，z是虛數，∴，且

(3)∵ 且 時，z是純虛數.∴

3．用復平面（高斯平面）內的點表示復數 復平面的定義

建立了直角坐標系表示復數的平面，叫做復平面．

復數 可用點 來表示．（如圖）其中x軸叫實軸，y軸 除去原點的部分叫虛軸，表示實數的點都在實軸上，表示純虛數的點都在虛軸上。原點只在實軸x上，不在虛軸上．

4．復數的幾何意義：

復數集c和復平面所有的點的集合是一一對應的．

5．共軛復數

（1）當兩個復數實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數。（虛部不為零也叫做互為共軛復數）

（2）復數z的共軛復數用 表示．若，則： ；

（3）實數a的共軛復數仍是a本身，純虛數的共軛復數是它的相反數．

（4）復平面內表示兩個共軛復數的點z與 關于實軸對稱．

三、練習

四、小結：

1．在理解復數的有關概念時應注意：

（1）明確什么是復數的實部與虛部；

（2）弄清實數、虛數、純虛數分別對實部與虛部的要求；

（3）弄清復平面與復數的幾何意義；

（4）兩個復數不全是實數就不能比較大小。

2．復數集與復平面上的點注意事項：

（1）復數 中的z，書寫時小寫，復平面內點Z(a，b)中的Z，書寫時大寫。

（2）復平面內的點Z的坐標是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是說，復平面內的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是i。

（3）表示實數的點都在實軸上，表示純虛數的點都在虛軸上。

（4）復數集C和復平面內所有的點組成的集合一一對應：

五、作業

第三篇：復數復習

1．若復數(a2－4a＋3)＋(a－1)i是純虛數，則實數a的值是．

2．已知M＝{1,2，(a－1)＋(b－5)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，實數a與b的值分別是．

z2－2z3．已知復數z＝1－i． z－

14．已知結論：“在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點，G是三角形ABC

AG的重心，則＝2”．若把該結論推廣到空間，則有結論：“在棱長都相等的GD

四面體ABCD中，若△BCD的中心為M，四面體內部一點O到四面體各面

AO的距離都相等”，則＝． OM

5．給出下面類比推理命題(其中Q為有理數集，R為實數集，C為復數集)：

①“若a，b∈R，則a－b＝0?a＝b”類比推出“若a，b∈C，則a－b＝0?a＝b”；

②“若a，b，c，d∈R，則復數a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”類比推出“若a，b，c，d∈Q，則a＋2＝c＋d2?a＝c，b＝d”；

③“若a，b∈R，則a－b＞0”類比推出“若a，b∈C，則a－b＞0?a＞b”． 其中類比得到的結論正確的序號為．

6．已知復數z1＝4＋2i，z2＝k＋i，且z1·z2是實數，則實數k＝________．

7．＝6

8．復數z1＝

數a的值．

119．在△ABC中，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若＋a＋bb＋c

＝3，試問A、B、C是否成等差數列，若不成等差數列，請說明理由．若a＋b＋c32(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若z1＋z2是實數，求實a＋51－a2＋23，33＋＝84＋4815，…，若156＋b(a，b均為實數)，則猜測a＝________，b＝________． b

成等差數列，請給出證明．

解答：

1．a＝

3??a＝42．? ?b＝5?

z2－2z－222i3．＝＝2i z－1－ii－

14．①②

6，此時易知3

13點O即為正四面體內切球的球心，設其半徑為r，利用等積法有r3

41366666＝?r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝343123124

＝3.4125．【解析】 如圖設正四面體的棱長為1，則易知其高AM

6．k＝

27． 6 3

58．【解析】 z1＋z2＝32＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i a＋51－a

32??＝a＋51－a＋[(a2－10)＋(2a－5)]i ??

＝a－13(a2＋2a－15)i.(a＋5)(a－1)

∵z1＋z2是實數，∴a2＋2a－15＝0.解得a＝－5或a＝3.∵分母a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.9．【證明】 A、B、C成等差數列，下面用綜合法給出證明：

113∵＝ a＋bb＋ca＋b＋c

a＋b＋ca＋b＋c∴3，a＋bb＋c

ca∴＝1，a＋bb＋c

∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得

a2＋c2－b2ac1cos B＝，2ac2ac

2∵0°＜B＜180° ∴B＝60°.∴A＋C＝2B＝120°，∴A、B、C成等差數列．

第四篇：復數知識點

2011年高考總復習制作：孫老師2010-11-17

復數知 識 點

1.⑴復數的單位為i，它的平方等于－1，即i2??1.⑵復數及其相關概念：

① 復數—形如a + bi的數（其中a，b?R）；

② 實數—當b = 0時的復數a + bi，即a；

③ 虛數—當b?0時的復數a + bi；

④ 純虛數—當a = 0且b?0時的復數a + bi，即bi.⑤ 復數a + bi的實部與虛部—a叫做復數的實部，b叫做虛部（注意a，b都是實數）⑥ 復數集C—全體復數的集合，一般用字母C表示.復數是實數的充要條件：

① z=a+bi∈R?b=0（a、b∈R）；②z∈R?z=z；③Z∈R?Z?Z2。

復數是純虛數的充要條件：

① z=a+bi是純虛數?a=0且b≠0（a、b∈R）；②z是純虛數或0?Z+z=0； ③z是純虛數? z2＜0。

⑶兩個復數相等的定義：

a?bi?c?di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R）特別地a?bi?0?a?b?0.2⑷兩個復數，如果不全是實數，就不能比較大小.注：①若z1,z2為復數，則1?若z1?z2?0，則z1??z2.（×）[z1,z2為復數，而不是實數]

2?若z1?z2，則z1?z2?0.（√）

②若a,b,c?C，則(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0是a?b?c的必要不充分條件.（當(a?b)2?i2，(b?c)2?1,(c?a)2?0時，上式成立）

2、復數加、減、乘、除法的運算法則：

設z1?a?bi,z2?c?di(a,b,c,d?R)，則z1?z2?(a?c)?(b?d)i；

z1?z2?(ac?bd)?(ad?bc)i；z1ac?bdbc?ad?2?2i。22z2c?dc?d

加法的幾何意義：設OZ1，OZ2各與復數z1，z2對應，以OZ1，OZ2為邊的平行四邊形的對角線OZ就與z1+z2對應。

減法的幾何意義：設OZ1，OZ2各與復數z1，z2對應，則圖中向量Z1Z2所對應的復數就是z2-z1。｜z1-z2｜的幾何意義是分別與Z1，Z2對應的兩點間的距離。

3.⑴復平面內的兩點間距離公式：d?z1?z2.其中z1，z2是復平面內的兩點z1和z2所對應的復數，d表示z1和z2間的距離.由上可得：復平面內以z0為圓心，r為半徑的圓的復數方程：z?z0?r（r?0）.⑵曲線方程的復數形式： ①z?z0?r表示以z0為圓心，r為半徑的圓的方程.②z?z1?z?z2表示線段z1z2的垂直平分線的方程.③z?z1?z?z2?2a（a?0且2a?z1z2Z1，Z2為焦點，長半軸長為a的橢圓的方程（若2a?z1z2，此方程表示線段Z1，Z2）.④z?z1?z?z2?2a（0?2a?z1z2表示以Z1，Z2為焦點，實半軸長為a的雙曲線方程（若2a?z1z2，此方程表示兩條射線）.⑶絕對值不等式：

設z1，z2是不等于零的復數，則 ①z1?z2?z1?z2?z1?z2.左邊取等號的條件是z2??z1（??R，且??0），右邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0）.②z1?z2?z1?z2?z1?z2.左邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0），右邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0）.注：A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?A1An.4.共軛復數：兩個復數實部相等，虛部互為相反數。即z=a+bi，則z=a-bi，（a、b∈R），實數的共軛復數是其本身

性質22z?z、z1?z2?z1?z2、z?z?2a，z?z?2bi（z?a + bi）、z?z?|z|?|z|

??nnz1?z2?z1?z2、z1?z2?z1?z2、?z1??z1（z2?0）、z?(z)???z2?z

2注：兩個共軛復數之差是純虛數.（×）[之差可能為零，此時兩個復數是相等的]

nz??z??z?...z(n?N?)②對任何z，z1,z2?C及m,n?N?有 5.⑴①復數的乘方：z???

n

mnm?nmnm?nnnn③z?z?z,(z)?z,(z1?z2)?z1?z2

注：①以上結論不能拓展到分數指數冪的形式，否則會得到荒謬的結果，如i??1,i?1若由i?2421142(i)?12?1就會得到?1?1的錯誤結論.②在實數集成立的|x|?x2.當x為虛數時，|x|?x2，所以復數集內解方程不

能采用兩邊平方法.⑵常用的結論：

i??1,i24n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?1i?i

i，2nn?1?in?2?in?32?0,(n?Z)(1?i)??2i,1?i1?i?i,??i 1?i1?i若?是1的立方虛數根，即????

21nn則?3 ? 1 , ??? ?2, ?1 ? ?n ? 2(.??,?? ,1?? 0?? ?? 0n?Z)?

6.⑴復數z是實數及純虛數的充要條件： 12

①z?R?z?z.②若z?0，z是純虛數?z?z?0.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起點在哪里，都認為是相等的，而相等的向量表示同一復數.特例：零向量的方向是任意的，其模為零.注：|z|?|z|.7.復數集中解一元二次方程：

2在復數集內解關于x的一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)時，應注意下述問題：

①當a,b,c?R時，若?＞0，則有二不等實數根x1,2?

?b??|i

2a?b??b；若?=0，則有二相等實數根x1,2??；2a2a若?＜0，則有二相等復數根x1,2?（x1,2為共軛復數）.②當a,b,c不全為實數時，不能用?方程根的情況.③不論a,b,c為何復數，都可用求根公式求根，并且韋達定理也成立.【典型例題】

2m2?3m?2例

1、當m為何實數時，復數z＝+（m2+3m－10）i； 2m?2

5（1）是實數；（2）是虛數；（3）是純虛數．

解：此題主要考查復數的有關概念及方程（組）的解法．

?m2?3m?10?0（1）z為實數，則虛部m+3m－10=0，即?，2?m?25?0

2解得m=2，∴ m=2時，z為實數。

?m2?3m?10?0（2）z為虛數，則虛部m+3m－10≠0，即?，2?m?25?02

解得m≠2且m≠±5.當m≠2且m≠±5時，z為虛數．

?2m2?3m?2?0?（3）?m2?3m?10?0，?2?m?25?0

11解得m=－, ∴當m=－時，z為純虛數． 22

詮釋：本題應抓住復數分別為實數、虛數、純虛數時必須具備的相應條件，還應特別注意分母不為零這一

要求．

例

2、（1）使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10成立的實數m＝.解：此題主要考查復數能比較大小的條件及方程組和不等式的解法．

∵ m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10, 且虛數不能比較大小，?m2?10?|m|?10??2?,解得?m?0或m?3,?m?3.∴?m?3m?0

?2?m?3或m?1m?4m?3?0???

當m＝3時，原不等式成立．

注：本題應抓住復數能比較大小時必須都為實數這一條件。

（2）已知z=x＋yi（x，y∈R），且 2x?y?ilog2x?8?(1?log2y)i，求z．

解：本題主要考查復數相等的充要條件及指數方程，對數方程的解法．

?2x?y?8?0?x?y?3∵ 2?ilog2x?8?(1?log2y)i，∴?，∴?，logx?1?logyxy?2??2

2?x?2?x?1解得?或?, ∴ z＝2＋i或z＝1＋2i． y?1y?2??x?y

注：本題應抓住復數相等的充要條件這一關鍵點，正確、熟練地解方程（指數，對數方程）。

例

3、若復數z滿足z=1?ti（t∈R），求z的對應點Z的軌跡方程． 1?ti

解：此題主要考查復數的四則運算，點的軌跡方程的求法等．

1?ti(1?ti)21?t22t設z＝x＋yi，（x, y∈R），∵ z==??i，221?ti(1?ti)(1?ti)1?t1?t

?1?t

2x??2?1?t∴ ?，消去參數 t，得x2＋y2= 1，且x≠－1．

?y?2t

?1?t2?

∴ 所求z的軌跡方程為x2＋y2＝1（x≠－1）．

詮釋：解此題應抓住復數相等的充要條件，從而得到參數方程，消去參數，或者利用模的定義和性質，求出|z|即可．

【模擬試題】

一、選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

1、設條件甲：x=0，條件乙：x＋yi（x，y∈R）是純虛數，則（）

A、甲是乙的充分非必要條件B、甲是乙的必要非充分條件

C、甲是乙的充分必要條件D、甲是乙的既不充分，又不必要條件

2、已知關于x的方程x2－（2i－1）x＋3m－i＝0有實根，則實數m應取的值是（）

111B、m≤－C、m= 4412A、m≥－ D、m=－1 1

2(?1?)

3、?2?i

(1?i)6?1?2i等于（）

A、0B、1C、－1D、i4、設f（z）＝|1+z|－，若f（－）＝10－3i，則z等于（）

A、5＋3iB、5－3iC、－5＋3iD、－5－3i5、方程x2＋（k+2i）x＋2＋ki＝0至少有一實根的條件是（）

A、－22≤k≤22B、k≤－22或k≥2

2C、k=±22D、k≠226、若2＋3i是方程x2+mx+n＝0的一個根，則實數m，n的值為（A、m＝4，n=－3B、m=－4，n＝1

3C、m＝4，n=－21D、m=－4，n＝－

5二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

7、已知下列命題：

（1）在復平面中，x軸是實軸，y軸是虛軸；

（2）任何兩個復數不能比較大小；

（3）任何數的偶次冪都是非負數；

（4）若 t＋si=3－4i，則 t=

3、s=－4．

其中真命題為．

8、若復數z滿足z+12||=－1＋2i，則z.9、設z∈C，|z|=1，則|z++i|的最大值為.三、解答題（本大題共4題，共50分）

10、設z

z?1是純虛數，求復數z對應的點的軌跡方程．

11、已知復數z滿足|z|＝5，且（3+ 4i）z是純虛數，求z．）

試題答案

1、B7、（1）

8、－

2、C3、A4、B5、C6、B 8+2i39、310、解：此題主要考查復數的有關概念及性質，四則運算和點的軌跡方程的求法．

zzzz??0, 是純虛數，∴()??0，即z?1?1z?1z?1z?

12z??z?∴2z+z+=0，（z≠0，z≠－1），?0，∴(?1)(z?1)∵

設z=x＋yi，（x，y∈R），2（x2＋y2）＋2x＝0（y≠0）

∴（x＋1221）＋y＝（y≠0）即為復數z對應的點的軌跡方程． 2

4詮釋：解此題應抓住虛數的定義和共軛復數的性質，利用運算法則進行求解。

11、解：此題主要考查復數的有關概念，復數的運算，模的定義及計算．

設 z＝x＋yi（x, y∈R）,∵|z|＝5，∴x2＋y2＝25,又（3＋4i）z=（3＋4i）（x＋yi）＝（3x－4y）+（4x＋3y）i是純虛數，?x?4?x??4?3x?4y?0或?∴ ?，聯立三個關系式解得?，y?3y??34x?3y?0???

∴ z=4＋3i或z＝－4－3i．

第五篇：名詞復數

1.名詞復數的構成方法

規則變化的復數名詞遵循以下原則：

(1)在一般情況下，加詞尾-s：

desk→desks 書桌

tree→trees 樹

face→faces 臉

(2)以 s, x, z, sh, ch 等結尾的名詞，通常加詞尾-es：

bus→buses 公共汽車 box→boxes 盒子

dish→dishes 盤子

(3)以y 結尾的名詞，其復數構成要分兩種情況：以“輔音字母+y”結尾的名詞，將 y 改為 ies；以“元音字母+y”結尾的名詞，直接加詞尾-s：

city→cities 城市

boy→boys 男孩

key→keys 鑰匙 monkey→monkeys

(4)以o結尾的名詞，有些加-es，tomato→tomatoes 西紅柿

potato→potatoes土豆

hero→heroes英雄

Negro→Negroes黑人

【注】以o結尾的名詞后加詞尾-s的有 zoo(動物園)，photo(照片)，piano(鋼琴)，等；

(5)以 f 或 fe 結尾的名詞，一般將 f / fe 改為 ves：

knife→knives 小刀

thief→thieves 賊 life→lives 生命

【注】主要的有wife(妻子)，life(生命)，knife(小刀)，leaf(樹葉)，thief(賊)，half(一半)，self(自己)，loaf(面包)，wolf(狼)。它們的復數形式均是將詞尾的f或fe改為ves。

另外，也有的以 f 或 fe 結尾的名詞直接加詞尾-s構成復數（如roof →roofs 屋頂，proof →proofs 證據），但這在初中英語中很少見。

2.單數與復數同形的名詞

初中英語中主要的有：

sheep 綿羊 fish 魚

deer 鹿 Chinese 中國人

Japanese 日本人 Swiss 瑞士人

等

【注】fish 有時也用 fishes 這樣的復數形式，尤其表示種類時。

3.不規則的復數名詞

有的名詞單數變復數時，沒有一定的規則：

man→men 男人

woman→women 女人

child→children 小孩

tooth→teeth 牙齒

foot→feet 腳

mouse→mice 老鼠

【注】一些以 man, woman 結尾的合成詞，構成復數時與 man, woman 的變化形式相同，如：

policeman→policemen 警察

Englishwoman→Englishwomen(女)英國人

但是 human(人)，German(德國人)不是合成詞，其復數不能仿 man 的變化規律，而是按規則變化，即用 humans, Germans。

另外，當man和woman用于名詞前作定語時，若其后被修飾的名詞為復數，則man和woman也要用復數：

man nurse→men nurses 男護士

woman doctor→women doctors 女醫生