第一篇：復數與推理證明練習題

復數與推理證明練習題

1．若復數z1?3?4i,z2?1?2i,則z1?z2?。2．若復數(1?i)(a?i)是實數，則實數a?。3．已知復數z的實部為1，虛部為?2，則

i1?3iz的虛部為。

4.(i是虛數單位)對應的點在第象限。

5．復數z?a2?3a?2?(lga)i(a?R)是純虛數，則a?_________。

6.在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間內，若兩個正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為。7．已知cos

π1π2π1π2π3π1cos＝coscos，…，根據這些結果，猜想325547778

出的一般結論是。8.已知：f(x)＝

x

1－x

f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(n>1且n∈N)，則f3(x)的表達式為

*

______ ______，猜想fn(x)(n∈N*)的表達式為________。

9.設平面內有n條直線（n≥3），其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點.若用f(n)表示這n條直線交點的個數，則f(4)=；當n>4時，（用n表示）f(n)=。

10.設P是?ABC內一點，?ABC三邊上的高分別為hA、hB、hC，P到三邊的距離依次為la、lb、lc，則有

lahA

?lbhB

?lchC

?1；類比到空間，設P是四面體ABCD內一點，四頂點

到對面的距離分別是hA、hB、hC、hD，P到這四個面的距離依次是la、lb、lc、ld，則有_________________。

11.在長方形中，設一條對角線與其一頂點出發的兩條邊所成的角分別是?,?，則有

cos??cos??1，類比到空間，在長方體中，一條對角線與從某一頂點出發的三條棱

2所成的角分別是?,?,?，則有。12.在等差數列?an?中，若a10?0，則有等式a1?a2?????an

類比上述性質，相應地：在等比數列?bn?中，?a1?a2?????a19?n(n?19,n?N?)成立，若b9?1，則有等式 13． 把偶數按一定的規則

排成了如圖所示的三角形數表．2設aij(i，j∈N)是位于這個三角形數表中46 從上往下數第i行、從左往右數第j個數，如8 101

2*

a42＝16，若aij＝2 012，則i與j的和為14161820。

14．現有一個關于平面圖形的命題：如圖，同一個平面內有兩個邊長都是a的正方形，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方形重疊 部分的面積恒為

a

.類比到空間，有兩個棱長均為a的正方體，其中一個的某頂點在另一

個的中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為。

15.已知扇形的圓心角為2?（定值），半徑為R（定值），分別按圖一、二作扇形的內接矩形，若按圖一作出的矩形面積的最大值為為。

2Rtan?，則按圖二作出的矩形面積的最大值

圖一

第15題圖

圖二

第14題

16.若從點O所作的兩條射線OM、ON上分別有點M1、M2與點N1、N2，則三角形面積之比為：

S?OM1N1S?OM2N

2?OMOM

?

ONON

.若從點O所作的不在同一個平面內的三條射線OP、OQ

和OR上分別有點P1、P2與點Q1、Q2和R1、R2，則類似的結論為：。

17．一同學在電腦中打出如下圖若干個圓（○表示空心圓，●表示實心圓）

○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○……

問：到120個圓中有個實心圓。

i?i?i1?i

18.求值（1）復數

（2）復數z?，求z

（3）若(x?i)i?y?2i,x,y?R，求復數x?yi

（4）已知復數z1滿足(z1?2)(1?i)?1?i（i為虛數單位），復數z2的虛部為2，且z1?z2是實數，求z2．

19.已知a?b?c，且a?b?c?a

?

．

20.（1）設函數f(x)?

12?

x，類比課本中推導等差數列前n項和公式的方法，可求2

得f(?4)?????f(0)?????f(5)?f(6)的值為。

（2）已知數列{an}滿足a1?1，an?an?1?()n(n?N*,n≥2)，令

Tn?a1?2?a2?2???an?2，類比課本中推導等比數列前n項和公式的方法，可求得3Tn?an?2

n?1

2n

=。

第二篇：推理及其證明復數的練習題

推理與證明及其復數測試題

i2?i3?i4

?

1．（重慶理1）復數1?i

1111??i??i

A．22 B．22

8（2010山東理數）(2)已知

a?2ia?2i

?b?i(a,b)?b?i（a,bii

13．用數學歸納法證明：

∈R），其中i為虛數單位，則a+b=()

11(A)-1(B)1(C)2(D)3 ?i

9.計算: 1222n2n(n?1)

； ?????

1?33?5(2n?1)(2n?1)2(2n?1)D．2?12i

2．（浙江理）把復數z的共軛復數記作z，i為虛數單位，若z?1?i,則(1?z)??

z=

．3-i

B．3+i

C．1+3i

2?i

3（山東理2）復數z=2?i（i為虛數單位）在復平面內對應的點所

在象限為

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

4（全國大綱理1）復數z?1?i，z為z的共軛復數，則zz?z?1?A．?2i?iC．i類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC

互相垂直，則三角形三邊長之間滿足關系：AB2?AC2?BC2。

若三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側面積與底面積之間滿足的關系為.6.設

f0(x)?sinx,f1(x)?f'

0(x)，f2(x)?f'1(x),?,fn?1(x)?f'n(x)，n∈N，則f2007(x)?

A.sinx B.－sinx

C.cosx

D.－cosx

7（上海理19）已知復數z1滿足(z1?2)(1?i)?1?i（i為虛數單位），復數z2的虛部為2，z1?z2是實數，求z2。

（1）

?2?i15

1?2i

??

2?i

?

???1?i?2999

?2??

(2)1+i+3i+…+1000i

D．3

10.△ABC三邊長a,b,c的倒數成等差數列，求證：角B ?900.D．2i

11.已知ΔABC的三條邊分別為a，b，c求證：a?b1?a?b?c

1?c

12.在各項為正的數列?an?中，數列的前n項和Sn滿足

S1?n?2?1?

?a（1）求a?n?a?1,a2,a3；（2）由（1）猜想數列?an?n??的通項公式；（3）求Sn

14．用數學歸納法證明：（Ⅰ）72n?42n?297能被264整除；（Ⅱ）an?1?(a?1)2n?1能被a2

?a?1整除（其中n，a為正整數）

15．用數學歸納法證明：

（Ⅰ）1?12?13?14???12n?1?n；（Ⅱ）11n?

n?1?1n?2???1

n

2?1(n?1)；

第三篇：推理證明復數

《推理與證明、復數》備課教案

2011-2-14

閆英

一、推理與證明 考綱要求：

（一）合情推理與演繹推理

1．了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發現中的作用。2．了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理。3．了解合情推理和演繹推理之間的聯系和差異。

（二）直接證明與間接證明

1．了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。2．了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程、特點。

（三）數學歸納法

了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.重、難點：推理及證明方法

考向預測：

1．推理與證明的內容是高考的新增內容，主要以選擇填空的形式出現。2．推理與證明與數列、幾何、等有關內容綜合在一起的綜合試題多。

二、復數 考綱要求：

（1）在問題情境中了解數系的擴充過程，體會實際需求與數學內部的矛盾在數系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數與現實世界的聯系。

（2）掌握復數的有關概念，如虛數、純虛數、復數的實部與虛部、兩復數相等、復平面、實軸、虛軸、共軛復數、共軛虛數的概念。正確對復數進行分類，掌握數集之間的從屬關系；

（3）理解復數的幾何意義，初步掌握復數集C和復平面內所有的點所成的集合之間的一一對應關系。（4）能進行復數形式的四則運算，了解復數形式的加、減運算的幾何意義。（5）培養學生數形結合的數學思想，訓練學生條理的邏輯思維能力． 教學建議

（一）教材分析

1、知識結構

本節首先介紹了復數的有關概念，然后指出復數相等的充要條件，接著介紹了有關復數的幾何表示，最后指出了有關共軛復數的概念．

2、重點、難點分析

（1）正確復數的實部與虛部

對于復數 是，虛部是，實部是，虛部是

．注意在說復數

時，一定有，否則，不能說實部,復數的實部和虛部都是實數。

這一標準形式以及

是實數這一概念，這對于解有關復數的問題將有很說明：對于復數的定義，特別要抓住

大的幫助。

（2）正確地對復數進行分類，弄清數集之間的關系

分類要求不重復、不遺漏，同一級分類標準要統一。根據上述原則，復數集的分類如下：

注意分清復數分類中的界限：

①設，則 為實數

②

為虛數

③ 且。④ 為純虛數 且

（3）不能亂用復數相等的條件解題．用復數相等的條件要注意：

①化為復數的標準形式 ②實部、虛部中的字母為實數，即

（4）在講復數集與復平面內所有點所成的集合一一對應時，要注意：

①任何一個復數 些書上就是把實數對（②復數 都可以由一個有序實數對()叫做復數的． 用復平面內的點Z（）表示．復平面內的點Z的坐標是（），而不是（），也就)唯一確定．這就是說，復數的實質是有序實數對．一是說，復平面內的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是 ．由于 =0＋1·，所以用復平面內的點(0，1)表示 時，這點與原點的距離是1，等于縱軸上的單位長度．這就是說，當我們把縱軸上的點(0，1)標上虛數 時，不能以為這一點到原點的距離就是虛數單位，或者 就是縱軸的單位長度．

③當 數．但當時，時，對任何，是純虛數，所以縱軸上的點（）（）都是表示純虛是實數．所以，縱軸去掉原點后稱為虛軸．

由此可見，復平面(也叫高斯平面)與一般的坐標平面(也叫笛卡兒平面)的區別就是復平面的虛軸不包括原點，而一般坐標平面的原點是橫、縱坐標軸的公共點．

④復數z=a＋bi中的z，書寫時小寫，復平面內點Z(a，b)中的Z，書寫時大寫．要學生注意．（5）關于共軛復數的概念

設，則，即

與 的實部相等，虛部互為相反數（不能認為

與 或

是共軛復數）．

（6）復數能否比較大小

教材最后指出：“兩個復數，如果不全是實數，就不能比較它們的大小”，要注意：

①根據兩個復數相等地定義，可知在

兩式中，只要有一個不成立，那么

．兩個復數，如果不全是實數，只有相等與不等關系，而不能比較它們的大?。?/p>

②命題中的“不能比較它們的大小”的確切含義是指：“不論怎樣定義兩個復數間的一個關系‘<’，都不能使這關系同時滿足實數集中大小關系地四條性質”：

三、例題及習題講解

學案3考點整合、考點精煉、考點二及對應演練、考點七及對應演練。

學案4考點整合、考點精煉、考點一、二、三、及對應演練、考點四七及考點六對應演練。課時作業66：1到8，感受高考；課時作業67：1到6，8,9,10，感受高考

四、討論復數幾何意義講解到什么程度，是否需要加題。

第四篇：“推理與證明、復數”測試卷

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“推理與證明、復數”測試卷 作者：

來源：《新高考·高二數學》2013年第03期

一、填空題（共14小題，每小題5分，共70分）

第五篇：推理與證明復數習題

推理證明與復數復習題

1．分析法是從要證明的結論出發，逐步尋求使結論成立的（）Ａ．充分條件 Ｂ．必要條件 Ｃ．充要條件 Ｄ．等價條件

2．類比“等差數列的定義”給出一個新數列“等和數列的定義”是（）Ａ．連續兩項的和相等的數列叫等和數列

Ｂ．從第二項起，以后第一項與前一項的差都不相等的數列叫等和數列 Ｃ．從第二項起，以后每一項與前一項的和都相等的數列叫等和數列 Ｄ．從第一項起，以后每一項與前一項的和都相等的數列叫等和數列

3．已知數列1，a?a2，a2?a3?a4，a3?a4?a5?a6，?，則數列的第k項是（）Ａ．ak?ak?1???a2kＢ．ak?1?ak???a2k?1 Ｃ．ak?1?ak???a2kＤ．ak?1?ak???a2k?2

4.在等差數列?an?中，若an?0，公差d?0，則有a·4

a6?a3·a7，類比上述性質，在等比數列?bn?中，若bn?0，q?1，則b4，b5，b7，b8的一個不等關系是（）Ａ．b4?b8?b5?b7

Ｂ．b5?b7?b4?b8Ｃ．b4?b7?b5?b8

Ｄ．b4?b5?b7?b8

5．（1）已知p3?q3?2，求證

p?q?2，用反證法證明時，可假設p?q?2，（2）已知a，b?R，a?b?1，求證方程x2?ax?b?0的兩根的絕對值都小于1．用反證法證明時可假設方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設x1≥1，以下結論正確的是（）

Ａ．(1)與(2)的假設都錯誤Ｂ．(1)與(2)的假設都正確

Ｃ．(1)的假設正確；(2)的假設錯誤Ｄ．(1)的假設錯誤；(2)的假設正確

6．如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB?a，CD?b(a?b)．若EF∥AB，EF到CD與AB的距離之比為m:n，則可推算出EF?

ma?nb

m?n

．試用類比的方法，推想出下述問題的結果．在上面的梯形ABCD中，延長梯形兩腰AD，BC相交于O點，設△OAB，△OCD的面積分別為S1，S2，EF∥AB且EF到CD與AB的距離之比為m:n，則△OEF的面積S0與S1，S2的關系是（）Ａ．S1?nS2

nS1?mS2

0?

mSm?n

Ｂ．S0?

m?n

?

7．用數學歸納法證明(n?1)(n?2)?(n?n)?2n··13·?·(2n?1)，從k到k?1，左邊需要增乘的代數式為（）Ａ．2k?1

Ｂ．2(2k?1)

Ｃ．

2k?1

k?1

Ｄ．

2k?3

k?1

8.下列表述正確的是（）.①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理； ③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理； ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.9．觀察數列1121231234

2213214321

?，則數6將出現在此數列的第（）

Ａ．21項Ｂ．22項Ｃ．23項Ｄ．24項 10．正整數按下表的規律排列

12510173611188 71219142023 22

則上起第2005行，左起第2006列的數應為（）

213．下面是按照一定規律畫出的一列“樹型”圖：

設第n個圖有an個樹枝，則an?1與an(n≥2)之間的關系是．

14．由三角形的性質通過類比推理，得到四面體的如下性質：四面體的六個二面角的平分面交于一點，且這個點是四面體內切球的球心，那么原來三角形的性質為． 15．已知a是整數，a2是偶數，求證：a也是偶數．(請用反證法證明）

16.觀察以下各等式：

sin2

300

?cos2

600

?sin300

cos600

?34sin2200?cos2500?sin200cos500

?4

sin2

150

?cos2

450

?sin150

cos450

?

3，分析上述各式的共同特點，猜想出反映一般規律的等式，并對等式的正確性作出證明．

17．已知命題：“若數列?a?

n?是等比數列，且an?0，則數列bnn?N)也是等比數列”．類

比這一性質，你能得到關于等差數列的一個什么性質？并證明你的結論．

．已知a?b?c，且a?b?c?

018

19.已知數列{an}滿足Sn＋an＝2n＋1,(1)寫出a1, a2, a3,并推測an的表達式；(2)用數學歸納法證明所得的結論。

1.若復數z??m2

?5m?6?

??m?3?i是實數，則實數m?

2.若復數z?a2?1?(a?1)i是純虛數(其中a?R)，則z=________.3.復數z=

2?i,則z的共軛復數為__________ 4.若復數z1?a?2i, z2?3?4i，且z1

z為純虛數，則實數a的值為2

5.復數

2?i

1?i

(i是虛數單位)的實部為6.已知復數z?m2(1?i)?(m?i)(m?R),若z是實數，則m的值為。

7.已知

m

1?i

?1?ni，其中m，n是實數，i是虛數單位，則z?(m?ni)2在復平面內對應的點Z位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 8.復數z1?3?i，z2?1?i，則復數z1z在復平面內對應的點位于第__ ____象限．

9．數z?

m?i

1?i

（m?R，i為虛數單位）在復平面上對應的點不可能位于（）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

10．復數z1?1?i,|z2|?3，那么|z1?z2|的最大值是。11.已知z?C，且z?2?2i?1,i為虛數單位，則z?2?2i的最小值是()

（A）2.（B）3.（C）4.（D）5.12.化簡(cos225??isin225?)2(其中i為虛數單位)的結果為13.若z?，則z100?z50

?1?____________ 14.x1?i?y1?2i?51?3i，則x?y?__________ 15.已知復數z滿足z?z?1?0,z?1

z?1

是純虛數，求復數z

16.已知復數z2

1?m?(4?m)i,z2?2cos??(??3sin?)i,(?,m?R,??[0,?

])，z1?z2，求?的取值范圍。

17.設z是虛數，??z?1z是實數，且?1???2，（1）求|z|及z實部取值范圍；（2）設u?1?z1?z，那么u是不是純虛數？說明理由；（3）求??u2的最小值.