第一篇：高中數(shù)學復數(shù)教案

高中數(shù)學復數(shù)教案

教學目標：（1）掌握復數(shù)的有關概念，如虛數(shù)、純虛數(shù)、復數(shù)的實部與虛部、兩復數(shù)相等、復平面、實軸、虛軸、共軛復數(shù)、共軛虛數(shù)的概念。（2）正確對復數(shù)進行分類，掌握數(shù)集之間的從屬關系；（3）理解復數(shù)的幾何意義，初步掌握復數(shù)集C和復平面內(nèi)所有的點所成的集合之間的一一對應關系。（4）培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，訓練學生條理的邏輯思維能力．

教學重點難點：復數(shù)的概念，復數(shù)相等的充要條件．用復平面內(nèi)的點表示復數(shù)Ｍ．

以及復數(shù)的運算法則

教學過程：

一、復習提問：

1．復數(shù)的定義。

2．虛數(shù)單位。

二、講授新課

1．復數(shù)的實部和虛部：

復數(shù)z=a+bi中中的a與b分別叫做復數(shù)的實部和虛部

2．復數(shù)相等

如果兩個復數(shù)的實部與虛部分別相等，就說這兩個復數(shù)相等。

3．用復平面（高斯平面）內(nèi)的點表示復數(shù)

復平面的定義:立了直角坐標系表示復數(shù)的平面，叫做復平面．

復數(shù)可用點 來表示．其中x軸叫實軸，y軸 除去原點的部分叫虛軸，表示實數(shù)的點都在實軸上，表示純虛數(shù)的點都在虛軸上。原點只在實軸x上，不在虛軸上． 4．復數(shù)的幾何意義：

復數(shù)集c和復平面所有的點的集合是一一對應的． 5．共軛復數(shù)

(1)復數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)。（虛部不為零也叫做互為共軛復數(shù)）（2）a的共軛復數(shù)仍是a本身，純虛數(shù)的共軛復數(shù)是它的相反數(shù)．（3復平面內(nèi)表示兩個共軛復數(shù)的點z與 關于實軸對稱． 6.復數(shù)的四則運算：加減乘除的運算法則。小結(jié)：

1．在理解復數(shù)的有關概念時應注意：

（1）明確什么是復數(shù)的實部與虛部；

（2）弄清實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)分別對實部與虛部的要求；

（3）弄清復平面與復數(shù)的幾何意義；

（4）兩個復數(shù)不全是實數(shù)就不能比較大小。

2．復數(shù)集與復平面上的點注意事項：

（1）復數(shù) 中的z，書寫時小寫，復平面內(nèi)點Z(a，b)中的Z，書寫時大寫。

（2）復平面內(nèi)的點Z的坐標是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是說，復平面內(nèi)的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是i。

（3）表示實數(shù)的點都在實軸上，表示純虛數(shù)的點都在虛軸上。

（4）復數(shù)集C和復平面內(nèi)所有的點組成的集合一一對應： 3復數(shù)的四則運算的規(guī)律和方法。

第二篇：復數(shù)教案

2014年10月16日教案

教學課程

復數(shù)的有關概念

教學目標

（1）掌握復數(shù)的有關概念，如虛數(shù)、純虛數(shù)、復數(shù)的實部與虛部、兩復數(shù)相等、復平面、實軸、虛軸、共軛復數(shù)、共軛虛數(shù)的概念。

（2）正確對復數(shù)進行分類，掌握數(shù)集之間的從屬關系；

（3）理解復數(shù)的幾何意義，初步掌握復數(shù)集C和復平面內(nèi)所有的點所成的集合之間的一一對應關系。

（4）培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，訓練學生條理的邏輯思維能力．

教學內(nèi)容

1、復數(shù)的有關概念，由x^2+1=0，引進概念虛數(shù) 正確地對復數(shù)進行分類，弄清數(shù)集之間的關系

2、分類要求不重復、不遺漏，同一級分類標準要統(tǒng)一。根據(jù)上述原則，復數(shù)集的分類如下。

3、復數(shù)相等的充要條件，對于復數(shù) 數(shù) 時，一定有，實部是，虛部是 ．注意在說復，否則，不能說實部是，虛部是 ,復數(shù)的實部和虛部都是實數(shù)。用復數(shù)相等的條件要注意：

①化為復數(shù)的標準形式

②實部、虛部中的字母為實數(shù)，即

4、復數(shù)的幾何表示，①任何一個復數(shù) 都可以由一個有序?qū)崝?shù)對()唯一確定．這就是說，復數(shù)的實質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對．一些書上就是把實數(shù)對（）叫做復數(shù)的．

②復數(shù) 而不是(用復平面內(nèi)的點Z()表示．復平面內(nèi)的點Z的坐標是()，)，也就是說，復平面內(nèi)的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是 ．由于 =0＋1·，所以用復平面內(nèi)的點(0，1)表示 時，這點與原點的距離是1，等于縱軸上的單位長度．這就是說，當我們把縱軸上的點(0，1)標上虛數(shù) 時，不能以為這一點到原點的距離就是虛數(shù)單位，或者 就是縱軸的單位長度．

③當

(時，對任何，時，是純虛數(shù)，所以縱軸上的點())都是表示純虛數(shù)．但當 是實數(shù)．所以，縱軸去掉原點后稱為虛軸．

復數(shù)z=a＋bi中的z，書寫時小寫，復平面內(nèi)點Z(a，b)中的Z，書寫時大寫．

由此可見，復平面(也叫高斯平面)與一般的坐標平面(也叫笛卡兒平面)的區(qū)別就是復平面的虛軸不包括原點，而一般坐標平面的原點是橫、縱坐標軸的公共點．

5、共軛復數(shù)的概念．要學生注意可以提一下當

于實軸本身對稱，例如：5和－5也是互為共軛復數(shù)．當 軛虛數(shù)．可見，共軛虛數(shù)是共軛復數(shù)的特殊情行． 隨即寫幾個例子

時的特殊情況，即實軸上的點關

時，與

互為共

6、“兩個復數(shù)，如果不全是實數(shù)，就不能比較它們的大小”，要注意： 根據(jù)兩個復數(shù)相等地定義，可知在 兩式中，只要有一個不成立，那么

．兩個復數(shù)，如果不全是實數(shù)，只有相等與不等關系，而不能比較它們的大小．

命題中的“不能比較它們的大小”的確切含義是指：“不論怎樣定義兩個復數(shù)間的一個關系‘<’，都不能使這關系同時滿足實數(shù)集中大小關系地四條性質(zhì)”：

(i)對于任意兩個實數(shù)a，b來說，a＜b，a=b，b＜a這三種情形有且僅有一種成立；

(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；

(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；

(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向?qū)W生講解)

教學重難點

1．要注意知識的連續(xù)性：復數(shù)因而注意與平面解析幾何的聯(lián)系．

2．注意數(shù)形結(jié)合的數(shù)形思想：由于復數(shù)集與復平面上的點的集合建立了一一對應關系，所以用“形”來解決“數(shù)”就成為可能，在本節(jié)要注意復數(shù)的幾何意義的講解，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．

是二維數(shù)，其幾何意義是一個點，3．注意分層次的教學：教材中最后對于“兩個復數(shù)，如果不全是實數(shù)就不能本節(jié)它們的大小”沒有證明，如果有學生提出來了，在課堂上不要給全體學生證明，可以在課下給學有余力的學生進行解答．

第三篇：復數(shù) 概念 教案

復數(shù) 教學目標

（1）掌握復數(shù)的有關概念，如虛數(shù)、純虛數(shù)、復數(shù)的實部與虛部、兩復數(shù)相等、復平面、實軸、虛軸、共軛復數(shù)、共軛虛數(shù)的概念。

（2）正確對復數(shù)進行分類，掌握數(shù)集之間的從屬關系；

（3）理解復數(shù)的幾何意義，初步掌握復數(shù)集C和復平面內(nèi)所有的點所成的集合之間的一一對應關系。

（4）培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，訓練學生條理的邏輯思維能力． 教學建議

（一）教材分析

1、知識結(jié)構(gòu)

本節(jié)首先介紹了復數(shù)的有關概念，然后指出復數(shù)相等的充要條件，接著介紹了有關復數(shù)的幾何表示，最后指出了有關共軛復數(shù)的概念．

2、重點、難點分析

（1）正確復數(shù)的實部與虛部

對于復數(shù)，實部是，虛部是 ．注意在說復數(shù) 時，一定有，否則，不能說實部是，虛部是 ,復數(shù)的實部和虛部都是實數(shù)。

說明：對于復數(shù)的定義，特別要抓住 這一標準形式以及 是實數(shù)這一概念，這對于解有關復數(shù)的問題將有很大的幫助。

（2）正確地對復數(shù)進行分類，弄清數(shù)集之間的關系

分類要求不重復、不遺漏，同一級分類標準要統(tǒng)一。根據(jù)上述原則，復數(shù)集的分類如下：

注意分清復數(shù)分類中的界限：

（3）不能亂用復數(shù)相等的條件解題．用復數(shù)相等的條件要注意：

①化為復數(shù)的標準形式 ②實部、虛部中的字母為實數(shù)，即

（4）在講復數(shù)集與復平面內(nèi)所有點所成的集合一一對應時，要注意：

①任何一個復數(shù) 都可以由一個有序?qū)崝?shù)對()唯一確定．這就是說，復數(shù)的實質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對．一些書上就是把實數(shù)對()叫做復數(shù)的．

②復數(shù) 用復平面內(nèi)的點Z()表示．復平面內(nèi)的點Z的坐標是()，而不是()，也就是說，復平面內(nèi)的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是 ．由于 =0＋1·，所以用復平面內(nèi)的點(0，1)表示 時，這點與原點的距離是1，等于縱軸上的單位長度．這就是說，當我們把縱軸上的點(0，1)標上虛數(shù) 時，不能以為這一點到原點的距離就是虛數(shù)單位，或者 就是縱軸的單位長度．

③當 時，對任何，是純虛數(shù)，所以縱軸上的點()()都是表示純虛數(shù)．但當 時，是實數(shù)．所以，縱軸去掉原點后稱為虛軸．

由此可見，復平面(也叫高斯平面)與一般的坐標平面(也叫笛卡兒平面)的區(qū)別就是復平面的虛軸不包括原點，而一般坐標平面的原點是橫、縱坐標軸的公共點．

④復數(shù)z=a＋bi中的z，書寫時小寫，復平面內(nèi)點Z(a，b)中的Z，書寫時大寫．要學生注意．（5）關于共軛復數(shù)的概念

設，則，即 與 的實部相等，虛部互為相反數(shù)（不能認為 與 或 是共軛復數(shù)）．

教師可以提一下當 時的特殊情況，即實軸上的點關于實軸本身對稱，例如：5和－5也是互為共軛復數(shù)．當 時，與 互為共軛虛數(shù)．可見，共軛虛數(shù)是共軛復數(shù)的特殊情行．（6）復數(shù)能否比較大小

教材最后指出：“兩個復數(shù)，如果不全是實數(shù)，就不能比較它們的大小”，要注意：

①根據(jù)兩個復數(shù)相等地定義，可知在 兩式中，只要有一個不成立，那么 ．兩個復數(shù)，如果不全是實數(shù)，只有相等與不等關系，而不能比較它們的大小．

②命題中的“不能比較它們的大小”的確切含義是指：“不論怎樣定義兩個復數(shù)間的一個關系‘<’，都不能使這關系同時滿足實數(shù)集中大小關系地四條性質(zhì)”：

(i)對于任意兩個實數(shù)a，b來說，a＜b，a=b，b＜a這三種情形有且僅有一種成立；

(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；

(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；

(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向?qū)W生講解)

（二）教法建議

1．要注意知識的連續(xù)性：復數(shù) 是二維數(shù)，其幾何意義是一個點，因而注意與平面解析幾何的聯(lián)系．

2．注意數(shù)形結(jié)合的數(shù)形思想：由于復數(shù)集與復平面上的點的集合建立了一一對應關系，所以用“形”來解決“數(shù)”就成為可能，在本節(jié)要注意復數(shù)的幾何意義的講解，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．

3．注意分層次的教學：教材中最后對于“兩個復數(shù)，如果不全是實數(shù)就不能本節(jié)它們的大小”沒有證明，如果有學生提出來了，在課堂上不要給全體學生證明，可以在課下給學有余力的學生進行解答．

復數(shù)的有關概念 教學目標

1．了解復數(shù)的實部，虛部；

2．掌握復數(shù)相等的意義；

3．了解并掌握共軛復數(shù)，及在復平面內(nèi)表示復數(shù)． 教學重點

復數(shù)的概念，復數(shù)相等的充要條件． 教學難點

用復平面內(nèi)的點表示復數(shù)Ｍ． 教學用具：直尺 課時安排：1課時 教學過程：

一、復習提問：

1．復數(shù)的定義。

2．虛數(shù)單位。

二、講授新課

1．復數(shù)的實部和虛部：

復數(shù) 中的a與b分別叫做復數(shù)的實部和虛部。

2．復數(shù)相等

如果兩個復數(shù) 與 的實部與虛部分別相等，就說這兩個復數(shù)相等。

相等的意義，得方程組：

例2：m是什么實數(shù)時，復數(shù) ，(1)是實數(shù)，(2)是虛數(shù)，（3）是純虛數(shù).解：

(1)∵ 時，z是實數(shù), ∴ ,或.(2)∵ 時，z是虛數(shù)，∴，且

(3)∵ 且 時，z是純虛數(shù).∴

3．用復平面（高斯平面）內(nèi)的點表示復數(shù) 復平面的定義

建立了直角坐標系表示復數(shù)的平面，叫做復平面．

復數(shù) 可用點 來表示．（如圖）其中x軸叫實軸，y軸 除去原點的部分叫虛軸，表示實數(shù)的點都在實軸上，表示純虛數(shù)的點都在虛軸上。原點只在實軸x上，不在虛軸上．

4．復數(shù)的幾何意義：

復數(shù)集c和復平面所有的點的集合是一一對應的．

5．共軛復數(shù)

（1）當兩個復數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)。（虛部不為零也叫做互為共軛復數(shù)）

（2）復數(shù)z的共軛復數(shù)用 表示．若，則： ；

（3）實數(shù)a的共軛復數(shù)仍是a本身，純虛數(shù)的共軛復數(shù)是它的相反數(shù)．

（4）復平面內(nèi)表示兩個共軛復數(shù)的點z與 關于實軸對稱．

三、練習

四、小結(jié)：

1．在理解復數(shù)的有關概念時應注意：

（1）明確什么是復數(shù)的實部與虛部；

（2）弄清實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)分別對實部與虛部的要求；

（3）弄清復平面與復數(shù)的幾何意義；

（4）兩個復數(shù)不全是實數(shù)就不能比較大小。

2．復數(shù)集與復平面上的點注意事項：

（1）復數(shù) 中的z，書寫時小寫，復平面內(nèi)點Z(a，b)中的Z，書寫時大寫。

（2）復平面內(nèi)的點Z的坐標是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是說，復平面內(nèi)的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是i。

（3）表示實數(shù)的點都在實軸上，表示純虛數(shù)的點都在虛軸上。

（4）復數(shù)集C和復平面內(nèi)所有的點組成的集合一一對應：

五、作業(yè)

第四篇：高中數(shù)學(復數(shù))的教學反思

關于“復數(shù)”教學反思

復數(shù)的本章復習課上完了，現(xiàn)就教后的一些想法及反思分析如下：

復數(shù)在高考中的比重較小，其重點是考察復數(shù)的基本概念和復數(shù)的四則運算（運算技巧）。復數(shù)這一部分是在高二下學期學習的, 高考的基本要求是：數(shù)的必要性，理解復數(shù)的有關概念。掌握復數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義；復數(shù)代數(shù)形式的運算法則，能進行復數(shù)代數(shù)形式的加法，減法、乘法、除法運算；從自然數(shù)系到復數(shù)系的擴充的基本思想。而這節(jié)課是復習課,所以我本著面向全體學生，鞏固基本知識，強化基本技巧為出法點。另一方面復數(shù)這一部分在高考中的難度相對比較低，所以我在設計這節(jié)課時,根據(jù)我班學生的實際情況，精選典型的例題和習題進行教學，著力提高學生對“三基”的掌握程度。我在復習過程中一再強調(diào)復習要有基礎性、針對性和層次性。這一節(jié)課也本著這樣的思想，在教學設計時，我選擇了高考中常見的三種題型，進一步讓學生學習了復數(shù)的概念及有關定義、復數(shù)的運算和利用復數(shù)的幾何意義求最值。因為我是復習課，所以我選擇的例題也比較多，不過其中大多數(shù)例題都是基礎題，這樣有利于關注全體學生，也有利于滿足不同程度學生的要求，另外根據(jù)往年高考中出現(xiàn)的復數(shù)有針對性地進行了重點講解，有幾個例題也有一定的難度，這些題對于那些優(yōu)秀生是一個更大的提高。

為了提高課堂的教學容量，我制作了演示文稿，把例題和一些解題過程事先制作好，這樣在課堂上我就可以節(jié)省很多時間，以提高課堂教學效率，結(jié)果我認為還是比較好的，這一點我在以后的教學中也會堅持下去。另外，在整個課堂教學中，我始終把學生作為學習和復習的主人，讓學生有更多的思考的時間，我每投影一個例題時，不是馬上講解，而是找學生提出解題的思路或新的問題，師生再共同解決，并把關鍵的步驟寫在黑板上，這樣有利于那些需要幫助的學生。在復習過程中，除了強調(diào)基礎知識的復習外，我還很重視基本技巧和一題多解的掌握，如在復數(shù)的概念中，復數(shù)相等重要的一部分，要求學生要善于將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題解決，即“化虛為實”的方法；在復數(shù)計算時應該充分利用與實數(shù)的性質(zhì)求解；這些充要條件解決問題往往會極大簡化求解過程，另外就是利用數(shù)形結(jié)合的方法來解決實際問題。

總的認為，本節(jié)課基本完成了教學設計中的各個環(huán)節(jié)，學生們也得到了相應的提高，不過自己也認為還有一些不足，如：教學設計中的例題比較多，課堂上的時間比較緊張；課后沒有做很好的小結(jié)。如果在教學設計和課堂中處理好這些問題，這節(jié)課也許會更好。因此，在以后的教學中要經(jīng)常教學后好好的反思，不斷提高自己的教學水平。

第五篇：高中數(shù)學競賽標準講義：第十五章：復數(shù)

高中數(shù)學競賽標準講義：第十五章：復數(shù)

一、基礎知識

1．復數(shù)的定義：設i為方程x2=-1的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實數(shù)進行加、減、乘、除等運算。便產(chǎn)生形如a+bi（a,b∈R）的數(shù)，稱為復數(shù)。所有復數(shù)構(gòu)成的集合稱復數(shù)集。通常用C來表示。2．復數(shù)的幾種形式。對任意復數(shù)z=a+bi（a,b∈R），a稱實部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z).z=ai稱為代數(shù)形式，它由實部、虛部兩部分構(gòu)成；若將(a,b)作為坐標平面內(nèi)點的坐標，那么z與坐標平面唯一一個點相對應，從而可以建立復數(shù)集與坐標平面內(nèi)所有的點構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復數(shù)可以用點來表示，表示復數(shù)的平面稱為復平面，x軸稱為實軸，y軸去掉原點稱為虛軸，點稱為復數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標，復數(shù)z又對應唯一一個向量。因此坐標平面內(nèi)的向量也是復數(shù)的一種表示形式，稱為向量形式；另外設z對應復平面內(nèi)的點Z，見圖15-1，連接OZ，設∠xOZ=θ,|OZ|=r，則a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，這種形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，則θ稱為z的輻角。若0≤θ<2π，則θ稱為z的輻角主值，記作θ=Arg(z).r稱為z的模，也記作|z|，由勾股定理知|z|=a2?b2.如果用eiθ表示cosθ+isinθ，則z=reiθ，稱為復數(shù)的指數(shù)形式。3．共軛與模，若z=a+bi，（a,b∈R）,則z?a-bi稱為z的共軛復數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有：

?z1（1）z1?z2?z1?z2；（2）z1?z2?z1?z2；（3）z?z?|z|2；（4）??z?2?z1?；（5）???z2|z1?z2|?|z1|?|z2|；（6）|z1|z1|；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|?z2|z2|1。z4．復數(shù)的運算法則：（1）按代數(shù)形式運算加、減、乘、除運算法則與實數(shù)范圍內(nèi)一致，運算結(jié)果可以通過乘以共軛復數(shù)將分母分為實數(shù)；（2）按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法則；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)，則z1?|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，則z??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若z2?0,z1r1[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用?z2r2指數(shù)形式記為z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),z1r1i(?1??2)?e.z2r25.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).??2k???2k??isin)，k=0,1,2,?,n-1。6.開方：若wn?r(cosθ+isinθ)，則w?nr(cos nn2?2??isin7．單位根：若wn=1，則稱w為1的一個n次單位根，簡稱單位根，記Z1=cos，nn則全部單位根可表示為1,Z1,Z12,?,Z1n?1.單位根的基本性質(zhì)有（這里記Zk?Z1k，k=1,2,?,n-1）：（1）對任意整數(shù)k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Znq+r=Zr；（2）對任意

?0,當n|m,mm整數(shù)m，當n≥2時，有1?Z1m?Z2=特別1+Z1+Z2+?+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+????Zn?1??n,當n|m,+x+1=(x-Z1)(x-Z2)?(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-Z12)?(x-Z1n?1).8.復數(shù)相等的充要條件：（1）兩個復數(shù)實部和虛部分別對應相等；（2）兩個復數(shù)的模和輻角主值分別相等。

9．復數(shù)z是實數(shù)的充要條件是z=z;z是純虛數(shù)的充要條件是：z+z=0（且z≠0）.10.代數(shù)基本定理：在復數(shù)范圍內(nèi)，一元n次方程至少有一個根。

11．實系數(shù)方程虛根成對定理：實系數(shù)一元n次方程的虛根成對出現(xiàn)，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一個根，則z=a-bi也是一個根。

12．若a,b,c∈R,a≠0，則關于x的方程ax2+bx+c=0，當Δ=b2-4ac<0時方程的根為x1,2??b???i.2a

二、方法與例題 1．模的應用。

例1 求證：當n∈N+時，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有純虛根。

[證明] 若z是方程的根，則(z+1)2n=-(z-1)2n，所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)(z+1)=(z-1)(z-1)，化簡得z+z=0，又z=0不是方程的根，所以z是純虛數(shù)。例2 設f(z)=z2+az+b,a,b為復數(shù)，對一切|z|=1，有|f(z)|=1，求a,b的值。[解] 因為4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|

≥|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等號成立。

所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四個向量方向相同，且模相等。所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0.2.復數(shù)相等。

例3 設λ∈R，若二次方程(1-i)x2+(λ+i)x+1+λi=0有兩個虛根，求λ滿足的充要條件。

2??x??x?1?0[解] 若方程有實根，則方程組?2有實根，由方程組得(λ+1)x+λ+1=0.若λ=-1，??x?x???0則方程x2-x+1=0中Δ<0無實根，所以λ≠-1。所以x=-1, λ=2.所以當λ≠2時，方程無實根。所以方程有兩個虛根的充要條件為λ≠2。3．三角形式的應用。

例4 設n≤2000,n∈N，且存在θ滿足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ，那么這樣的n有多少個？

[解] 由題設得

??????[cos(??)?isin(??)]n?cosn(??)?isin(??)?cos(?n?)?isin(?n?)，所以222222n=4k+1.又因為0≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以這樣的n有500個。4．二項式定理的應用。

02410013599例5 計算：（1）C100；（2）C100 ?C100?C100???C100?C100?C100???C100

[解](1+i)100=[(1+i)2]50=(2i)50=-250,由二項式定理(1+i)100= ***24100)+(C100?C100i?C100i???C100i?C100i=(C100?C100?C100???C10002410013599)i，比較實部和虛部，得C100=-250，?C100?C100???C100C100?C100?C100???C10013599=0。C100?C100?C100???C1005．復數(shù)乘法的幾何意義。

例6 以定長線段BC為一邊任作ΔABC，分別以AB，AC為腰，B，C為直角頂點向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求證：MN的中點為定點。

[證明] 設|BC|=2a，以BC中點O為原點，BC為x軸，建立直角坐標系，確定復平面，則B，C對應的復數(shù)為-a,a,點A，M，N對應的復數(shù)為z1,z2,z3,CA?z1?a,BA?z1?a，由復數(shù)乘法的幾何意義得：CN?z3?a??i(z1?a)，①BM?z2?a??i(z1?a)，②由①+②得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.設MN的中點為P，對應的復數(shù)z=

z2?z3?ai,為定值，所以MN2的中點P為定點。

例7 設A，B，C，D為平面上任意四點，求證：AB?AD+BC?AD≥AC?BD。

[證明] 用A，B，C，D表示它們對應的復數(shù)，則(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因為|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).所以|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥|A-C|?|B-D|, “=”成立當且僅當B?AB?CD?AB?CArg()?Arg()，即Arg()?Arg()=π，即A，B，C，D共圓時成立。不D?AC?DB?AD?C等式得證。

6．復數(shù)與軌跡。

例8 ΔABC的頂點A表示的復數(shù)為3i，底邊BC在實軸上滑動，且|BC|=2，求ΔABC的外心軌跡。

[解]設外心M對應的復數(shù)為z=x+yi(x,y∈R)，B，C點對應的復數(shù)分別是b,b+2.因為外心M是三邊垂直平分線的交點，而AB的垂直平分線方程為|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分線的方程為|z-b|=|z-b-2|，所以點M對應的復數(shù)z滿足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得4x2?6(y?).3所以ΔABC的外心軌跡是軌物線。7．復數(shù)與三角。

例9 已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求證：cos2α+cos2β+cos2γ=0。[證明] 令z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ，則 z1+z2+z3=0。所以z1?z2?z3?z1?z2?z3?0.又因為|zi|=1,i=1,2,3.所以zi?zi=1，即zi?1.zi22由z1+z2+z3=0得x12?x2?x3?2z1z2?2z2z3?2z3z1?0.①

?111?又z1z2?z3z2?z3z1?z1z2z3??z?z?z???z1z2z3(z1?z2?z3)?0.23??122所以z12?z2?z3?0.所以cos2α+cos2β+cos2γ+i(sin2α+sin2β+sin2γ)=0.所以cos2α+cos2β+cos2γ=0。

例10 求和：S=cos200+2cos400+?+18cos18×200.[解] 令w=cos200+isin200,則w18=1，令P=sin200+2sin400+?+18sin18×200,則S+iP=w+2w2+?+18w18.①由①×w得w(S+iP)=w2+2w3+?+17w18+18w19，②由①-②得(1-w)(S+iP)=w+w2+?

?1w(1?w18)9?18w3?19?S??.?18w，所以S+iP=+w-18w=，所以??9??i??21?w221?w??18198．復數(shù)與多項式。

例11 已知f(z)=c0zn+c1zn-1+?+cn-1z+cn是n次復系數(shù)多項式(c0≠0).求證：一定存在一個復數(shù)z0,|z0|≤1，并且|f(z0)|≥|c0|+|cn|.nn-1iθ[證明] 記c0z+c1z+?+cn-1z=g(z),令?=Arg(cn)-Arg(z0)，則方程g(Z)-c0e=0為n次方程，其必有n個根，設為z1,z2,?,zn，從而g(z)-c0eiθ=(z-z1)(z-z2)???(z-zn)c0，令z=0得-c0eiθ=(-1)nz1z2?znc0，取模得|z1z2?zn|=1。所以z1,z2,?，zn中必有一個zi使得|zi|≤1,從而f(zi)=g(zi)+cn=c0eiθ=cn，所以|f(zi)|=|c0eiθ+cn|=|c0|+|cn|.9.單位根的應用。

例12 證明：自⊙O上任意一點p到正多邊形A1A2?An各個頂點的距離的平方和為定值。[證明] 取此圓為單位圓，O為原點，射線OAn為實軸正半軸，建立復平面，頂點A1對應復數(shù)設為??en2?in，則頂點A2A3?An對應復數(shù)分別為ε2，ε3，?，εn.設點p對應復數(shù)z,則|z|=1,2nk2nkkn且=2n-?|pAk|??|z??|??(z??)(z??)??(2??kz??kz)

k?1k?1k?1k?1=2n-z???z???2n?z???z??k?2n.命題得證。kkk?1k?1k?1k?1nnknn10．復數(shù)與幾何。

例13 如圖15-2所示，在四邊形ABCD內(nèi)存在一點P，使得ΔPAB，ΔPCD都是以P為直角頂點的等腰直角三角形。求證：必存在另一點Q，使得ΔQBC，ΔQDA也都是以Q為直角頂點的等腰直角三角形。

[證明] 以P為原點建立復平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它們對應的復數(shù)，由題設及復

C?iB數(shù)乘法的幾何意義知D=iC,B=iA；取Q?，則C-Q=i(B-Q)，則ΔBCQ為等腰直角三角形；

1?iDA又由C-Q=i(B-Q)得?Q?i(?Q)，即A-Q=i(D-Q)，所以ΔADQ也為等腰直角三角形且以Qii為直角頂點。綜上命題得證。

例14平面上給定ΔA1A2A3及點p0，定義As=As-3,s≥4，構(gòu)造點列p0,p1,p2,?,使得pk+1為繞中心Ak+1順時針旋轉(zhuǎn)1200時pk所到達的位置，k=0,1,2,?,若p1986=p0.證明：ΔA1A2A3為等邊三角形。

?3[證明] 令u=e，由題設，約定用點同時表示它們對應的復數(shù)，取給定平面為復平面，則p1=(1+u)A1-up0, p2=(1+u)A2-up1, p3=(1+u)A3-up2, ①×u2+②×(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w為與p0無關的常數(shù)。同理得p6=w+p3=2w+p0,?,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，從而A3-uA2+u2A1=0.由u2=u-1得A3-A1=（A2-A1）u，這說明ΔA1A2A3為正三角形。

三、基礎訓練題

1．滿足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0的有序?qū)崝?shù)對(x,y)有__________組。

1002．若z∈C且z2=8+6i,且z3-16z-=__________。z3.復數(shù)z滿足|z|=5，且(3+4i)?z是純虛數(shù)，則z?__________。4．已知z??21?3ii，則1+z+z2+?+z1992=__________。

5.設復數(shù)z使得z?1?的一個輻角的絕對值為，則z輻角主值的取值范圍是__________。z?266．設z,w,λ∈C,|λ|≠1，則關于z的方程z-Λz=w的解為z=__________。

1?x1?x2?arcsin?__________。7.設0

??29．若a,b,c∈C,則a2+b2>c2是a2+b2-c2>0成立的__________條件。

10．已知關于x的實系數(shù)方程x2-2x+2=0和x2+2mx+1=0的四個不同的根在復平面上對應的點共圓，則m取值的集合是__________。

11．二次方程ax2+x+1=0的兩根的模都小于2，求實數(shù)a的取值范圍。

12．復平面上定點Z0，動點Z1對應的復數(shù)分別為z0,z1，其中z0≠0，且滿足方程|z1-z0|=|z1|，①另一個動點Z對應的復數(shù)z滿足z1?z=-1，②求點Z的軌跡，并指出它在復平面上的形狀和位置。13．N個復數(shù)z1,z2,?,zn成等比數(shù)列，其中|z1|≠1，公比為q,|q|=1且q≠±1,復數(shù)w1,w2,?,wn滿足條件：wk=zk+1+h，其中k=1,2,?,n,h為已知實數(shù)，求證：復平面內(nèi)表示w1,w2,?,wnzk的點p1,p2,?,pn都在一個焦距為4的橢圓上。

四、高考水平訓練題

1．復數(shù)z和cosθ+isinθ對應的點關于直線|iz+1|=|z+i|對稱，則z=__________。2.設復數(shù)z滿足z+|z|=2+i，那么z=__________。

3．有一個人在草原上漫步，開始時從O出發(fā)，向東行走，每走1千米后，便向左轉(zhuǎn)他走過n千米后，首次回到原出發(fā)點，則n=__________。

?角度，6(4?3i)2(?1?3i)104.若z?，則|z|=__________。12(1?i)5.若ak≥0,k=1,2,?,n，并規(guī)定an+1=a1，使不等式?a?akak?1?a2kk?1n2k?1???ak恒成立的實

k?1n數(shù)λ的最大值為__________。

x2y2??1上任意一點，以OP為邊逆時針作正方形OPQR，則動點R的軌6．已知點P為橢圓95跡方程為__________。

7．已知P為直線x-y+1=0上的動點，以OP為邊作正ΔOPQ(O，P，Q按順時針方向排列)。則點Q的軌跡方程為__________。

z2?R”的__________條件。8．已知z∈C,則命題“z是純虛數(shù)”是命題“

1?z29．若n∈N，且n≥3,則方程zn+1+zn-1=0的模為1的虛根的個數(shù)為__________。10．設(x2006+x2008+3)2007=a0+a1x+a2x2+?+anxn，則a0?a3k?1a3k?2????an?__________。22aa1a2a??a3?4?5+?2222+a3k-11.設復數(shù)z1,z2滿足z1?z2?Az1?Az2?0,其中A≠0，A∈C。證明：（1）|z1+A|?|z2+A|=|A|2；（2）

z1?Az1?A?.z2?Az2?A12．若z∈C,且|z|=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求|u|的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值時的復數(shù)z.?|z1|?|z2|?|z3|?1,?zz?z13.給定實數(shù)a,b,c,已知復數(shù)z1,z2,z3滿足?1?2?3?1,求

?z2z3z1|az1+bz2+cz3|的值。

三、聯(lián)賽一試水平訓練題

11．已知復數(shù)z滿足|2z?|?1.則z的輻角主值的取值范圍是__________。

z

2．設復數(shù)z=cosθ+isinθ(0≤θ≤π)，復數(shù)z,(1+i)z，2z在復平面上對應的三個點分別是P，Q，R，當P，Q，R不共線時，以PQ，PR為兩邊的平行四邊形第四個頂點為S，則S到原點距離的最大值為__________。

3．設復平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個頂點所對應的復數(shù)依次為z1,z2,?,z20,則復數(shù)1995z1,z1995,?,z1995220所對應的不同點的個數(shù)是__________。

4．已知復數(shù)z滿足|z|=1，則|z+iz+1|的最小值為__________。

1305．設w???i，z1=w-z,z2=w+z,z1,z2對應復平面上的點A，B，點O為原點，∠AOB=90，22|AO|=|BO|，則ΔOAB面積是__________。

??6．設w?cos?isin，則(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9)的展開式為__________。

557．已知(3?i)m=(1+i)n(m,n∈N+)，則mn的最小值是__________。

8．復平面上，非零復數(shù)z1,z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，z1?z2的實部為零，z1的輻角主值為?，則z2=__________。63?i7)?1]n的值中有實數(shù)__________個。219.當n∈N,且1≤n≤100時，[(10．已知復數(shù)z1,z2滿足z2z1，且Argz?z1z2??3，Argz2??z?z27，Argz3??，則Arg1的68z3值是__________。

11．集合A={z|z18=1},B={w|w48=1},C={zw|z∈A,w∈B}，問：集合C中有多少個不同的元素？

1?ixn)?A的所有根都是不相等的實根（n∈N+）.12．證明：如果復數(shù)A的模為1，那么方程(1?ix13.對于適合|z|≤1的每一個復數(shù)z，要使0<|αz+β|<2總能成立，試問：復數(shù)α，β應滿足什么條件？

六、聯(lián)賽二試水平訓練題

1．設非零復數(shù)a1,a2,a3,a4,a5滿足

?a2a3a4a5?????a1a2a3a4 ??a?a?a?a?a?1(a?a?a?a?a)?S,1234512345?4?其中S為實數(shù)且|S|≤2，求證：復數(shù)a1,a2,a3,a4,a5在復平面上所對應的點位于同一圓周上。

?2?(n?1)?n???sin?n?1(n?2)。2．求證：sin?sinnnn23．已知p(z)=zn+c1zn-1+c2zn-2+?+cn是復變量z的實系數(shù)多項式，且|p(i)|<1，求證：存在實數(shù)a,b,使得p(a+bi)=0且(a2+b2+1)2<4b2+1.4．運用復數(shù)證明：任給8個非零實數(shù)a1,a2,?,a8，證明六個數(shù)a1a3+a2a4, a1a5+a2a6, a1a7+a2a8, a3a5+a4a6, a3a7+a4a8,a5a7+a6a8中至少有一個是非負數(shù)。

5．已知復數(shù)z滿足11z10+10iz9+10iz-11=0，求證：|z|=1.6.設z1,z2,z3為復數(shù)，求證：

|z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|≥|z1+z2|+|z2+z3|+|z3+z1|。