第一篇：復(fù)數(shù)知識點

2011年高考總復(fù)習(xí)制作：孫老師2010-11-17

復(fù)數(shù)知 識 點

1.⑴復(fù)數(shù)的單位為i，它的平方等于－1，即i2??1.⑵復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念：

① 復(fù)數(shù)—形如a + bi的數(shù)（其中a，b?R）；

② 實數(shù)—當(dāng)b = 0時的復(fù)數(shù)a + bi，即a；

③ 虛數(shù)—當(dāng)b?0時的復(fù)數(shù)a + bi；

④ 純虛數(shù)—當(dāng)a = 0且b?0時的復(fù)數(shù)a + bi，即bi.⑤ 復(fù)數(shù)a + bi的實部與虛部—a叫做復(fù)數(shù)的實部，b叫做虛部（注意a，b都是實數(shù)）⑥ 復(fù)數(shù)集C—全體復(fù)數(shù)的集合，一般用字母C表示.復(fù)數(shù)是實數(shù)的充要條件：

① z=a+bi∈R?b=0（a、b∈R）；②z∈R?z=z；③Z∈R?Z?Z2。

復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件：

① z=a+bi是純虛數(shù)?a=0且b≠0（a、b∈R）；②z是純虛數(shù)或0?Z+z=0； ③z是純虛數(shù)? z2＜0。

⑶兩個復(fù)數(shù)相等的定義：

a?bi?c?di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R）特別地a?bi?0?a?b?0.2⑷兩個復(fù)數(shù)，如果不全是實數(shù)，就不能比較大小.注：①若z1,z2為復(fù)數(shù)，則1?若z1?z2?0，則z1??z2.（×）[z1,z2為復(fù)數(shù)，而不是實數(shù)]

2?若z1?z2，則z1?z2?0.（√）

②若a,b,c?C，則(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0是a?b?c的必要不充分條件.（當(dāng)(a?b)2?i2，(b?c)2?1,(c?a)2?0時，上式成立）

2、復(fù)數(shù)加、減、乘、除法的運算法則：

設(shè)z1?a?bi,z2?c?di(a,b,c,d?R)，則z1?z2?(a?c)?(b?d)i；

z1?z2?(ac?bd)?(ad?bc)i；z1ac?bdbc?ad?2?2i。22z2c?dc?d

加法的幾何意義：設(shè)OZ1，OZ2各與復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)，以O(shè)Z1，OZ2為邊的平行四邊形的對角線OZ就與z1+z2對應(yīng)。

減法的幾何意義：設(shè)OZ1，OZ2各與復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)，則圖中向量Z1Z2所對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是z2-z1。｜z1-z2｜的幾何意義是分別與Z1，Z2對應(yīng)的兩點間的距離。

3.⑴復(fù)平面內(nèi)的兩點間距離公式：d?z1?z2.其中z1，z2是復(fù)平面內(nèi)的兩點z1和z2所對應(yīng)的復(fù)數(shù)，d表示z1和z2間的距離.由上可得：復(fù)平面內(nèi)以z0為圓心，r為半徑的圓的復(fù)數(shù)方程：z?z0?r（r?0）.⑵曲線方程的復(fù)數(shù)形式： ①z?z0?r表示以z0為圓心，r為半徑的圓的方程.②z?z1?z?z2表示線段z1z2的垂直平分線的方程.③z?z1?z?z2?2a（a?0且2a?z1z2Z1，Z2為焦點，長半軸長為a的橢圓的方程（若2a?z1z2，此方程表示線段Z1，Z2）.④z?z1?z?z2?2a（0?2a?z1z2表示以Z1，Z2為焦點，實半軸長為a的雙曲線方程（若2a?z1z2，此方程表示兩條射線）.⑶絕對值不等式：

設(shè)z1，z2是不等于零的復(fù)數(shù)，則 ①z1?z2?z1?z2?z1?z2.左邊取等號的條件是z2??z1（??R，且??0），右邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0）.②z1?z2?z1?z2?z1?z2.左邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0），右邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0）.注：A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?A1An.4.共軛復(fù)數(shù)：兩個復(fù)數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)。即z=a+bi，則z=a-bi，（a、b∈R），實數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是其本身

性質(zhì)22z?z、z1?z2?z1?z2、z?z?2a，z?z?2bi（z?a + bi）、z?z?|z|?|z|

??nnz1?z2?z1?z2、z1?z2?z1?z2、?z1??z1（z2?0）、z?(z)???z2?z

2注：兩個共軛復(fù)數(shù)之差是純虛數(shù).（×）[之差可能為零，此時兩個復(fù)數(shù)是相等的]

nz??z??z?...z(n?N?)②對任何z，z1,z2?C及m,n?N?有 5.⑴①復(fù)數(shù)的乘方：z???

n

mnm?nmnm?nnnn③z?z?z,(z)?z,(z1?z2)?z1?z2

注：①以上結(jié)論不能拓展到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，否則會得到荒謬的結(jié)果，如i??1,i?1若由i?2421142(i)?12?1就會得到?1?1的錯誤結(jié)論.②在實數(shù)集成立的|x|?x2.當(dāng)x為虛數(shù)時，|x|?x2，所以復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程不

能采用兩邊平方法.⑵常用的結(jié)論：

i??1,i24n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?1i?i

i，2nn?1?in?2?in?32?0,(n?Z)(1?i)??2i,1?i1?i?i,??i 1?i1?i若?是1的立方虛數(shù)根，即????

21nn則?3 ? 1 , ??? ?2, ?1 ? ?n ? 2(.??,?? ,1?? 0?? ?? 0n?Z)?

6.⑴復(fù)數(shù)z是實數(shù)及純虛數(shù)的充要條件： 12

①z?R?z?z.②若z?0，z是純虛數(shù)?z?z?0.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起點在哪里，都認(rèn)為是相等的，而相等的向量表示同一復(fù)數(shù).特例：零向量的方向是任意的，其模為零.注：|z|?|z|.7.復(fù)數(shù)集中解一元二次方程：

2在復(fù)數(shù)集內(nèi)解關(guān)于x的一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)時，應(yīng)注意下述問題：

①當(dāng)a,b,c?R時，若?＞0，則有二不等實數(shù)根x1,2?

?b??|i

2a?b??b；若?=0，則有二相等實數(shù)根x1,2??；2a2a若?＜0，則有二相等復(fù)數(shù)根x1,2?（x1,2為共軛復(fù)數(shù)）.②當(dāng)a,b,c不全為實數(shù)時，不能用?方程根的情況.③不論a,b,c為何復(fù)數(shù)，都可用求根公式求根，并且韋達(dá)定理也成立.【典型例題】

2m2?3m?2例

1、當(dāng)m為何實數(shù)時，復(fù)數(shù)z＝+（m2+3m－10）i； 2m?2

5（1）是實數(shù)；（2）是虛數(shù)；（3）是純虛數(shù)．

解：此題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及方程（組）的解法．

?m2?3m?10?0（1）z為實數(shù)，則虛部m+3m－10=0，即?，2?m?25?0

2解得m=2，∴ m=2時，z為實數(shù)。

?m2?3m?10?0（2）z為虛數(shù)，則虛部m+3m－10≠0，即?，2?m?25?02

解得m≠2且m≠±5.當(dāng)m≠2且m≠±5時，z為虛數(shù)．

?2m2?3m?2?0?（3）?m2?3m?10?0，?2?m?25?0

11解得m=－, ∴當(dāng)m=－時，z為純虛數(shù)． 22

詮釋：本題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)分別為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)時必須具備的相應(yīng)條件，還應(yīng)特別注意分母不為零這一

要求．

例

2、（1）使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10成立的實數(shù)m＝.解：此題主要考查復(fù)數(shù)能比較大小的條件及方程組和不等式的解法．

∵ m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10, 且虛數(shù)不能比較大小，?m2?10?|m|?10??2?,解得?m?0或m?3,?m?3.∴?m?3m?0

?2?m?3或m?1m?4m?3?0???

當(dāng)m＝3時，原不等式成立．

注：本題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)能比較大小時必須都為實數(shù)這一條件。

（2）已知z=x＋yi（x，y∈R），且 2x?y?ilog2x?8?(1?log2y)i，求z．

解：本題主要考查復(fù)數(shù)相等的充要條件及指數(shù)方程，對數(shù)方程的解法．

?2x?y?8?0?x?y?3∵ 2?ilog2x?8?(1?log2y)i，∴?，∴?，logx?1?logyxy?2??2

2?x?2?x?1解得?或?, ∴ z＝2＋i或z＝1＋2i． y?1y?2??x?y

注：本題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)相等的充要條件這一關(guān)鍵點，正確、熟練地解方程（指數(shù)，對數(shù)方程）。

例

3、若復(fù)數(shù)z滿足z=1?ti（t∈R），求z的對應(yīng)點Z的軌跡方程． 1?ti

解：此題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，點的軌跡方程的求法等．

1?ti(1?ti)21?t22t設(shè)z＝x＋yi，（x, y∈R），∵ z==??i，221?ti(1?ti)(1?ti)1?t1?t

?1?t

2x??2?1?t∴ ?，消去參數(shù) t，得x2＋y2= 1，且x≠－1．

?y?2t

?1?t2?

∴ 所求z的軌跡方程為x2＋y2＝1（x≠－1）．

詮釋：解此題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)相等的充要條件，從而得到參數(shù)方程，消去參數(shù)，或者利用模的定義和性質(zhì)，求出|z|即可．

【模擬試題】

一、選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

1、設(shè)條件甲：x=0，條件乙：x＋yi（x，y∈R）是純虛數(shù)，則（）

A、甲是乙的充分非必要條件B、甲是乙的必要非充分條件

C、甲是乙的充分必要條件D、甲是乙的既不充分，又不必要條件

2、已知關(guān)于x的方程x2－（2i－1）x＋3m－i＝0有實根，則實數(shù)m應(yīng)取的值是（）

111B、m≤－C、m= 4412A、m≥－ D、m=－1 1

2(?1?)

3、?2?i

(1?i)6?1?2i等于（）

A、0B、1C、－1D、i4、設(shè)f（z）＝|1+z|－，若f（－）＝10－3i，則z等于（）

A、5＋3iB、5－3iC、－5＋3iD、－5－3i5、方程x2＋（k+2i）x＋2＋ki＝0至少有一實根的條件是（）

A、－22≤k≤22B、k≤－22或k≥2

2C、k=±22D、k≠226、若2＋3i是方程x2+mx+n＝0的一個根，則實數(shù)m，n的值為（A、m＝4，n=－3B、m=－4，n＝1

3C、m＝4，n=－21D、m=－4，n＝－

5二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

7、已知下列命題：

（1）在復(fù)平面中，x軸是實軸，y軸是虛軸；

（2）任何兩個復(fù)數(shù)不能比較大小；

（3）任何數(shù)的偶次冪都是非負(fù)數(shù)；

（4）若 t＋si=3－4i，則 t=

3、s=－4．

其中真命題為．

8、若復(fù)數(shù)z滿足z+12||=－1＋2i，則z.9、設(shè)z∈C，|z|=1，則|z++i|的最大值為.三、解答題（本大題共4題，共50分）

10、設(shè)z

z?1是純虛數(shù)，求復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡方程．

11、已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝5，且（3+ 4i）z是純虛數(shù)，求z．）

試題答案

1、B7、（1）

8、－

2、C3、A4、B5、C6、B 8+2i39、310、解：此題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及性質(zhì)，四則運算和點的軌跡方程的求法．

zzzz??0, 是純虛數(shù)，∴()??0，即z?1?1z?1z?1z?

12z??z?∴2z+z+=0，（z≠0，z≠－1），?0，∴(?1)(z?1)∵

設(shè)z=x＋yi，（x，y∈R），2（x2＋y2）＋2x＝0（y≠0）

∴（x＋1221）＋y＝（y≠0）即為復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡方程． 2

4詮釋：解此題應(yīng)抓住虛數(shù)的定義和共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，利用運算法則進(jìn)行求解。

11、解：此題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，復(fù)數(shù)的運算，模的定義及計算．

設(shè) z＝x＋yi（x, y∈R）,∵|z|＝5，∴x2＋y2＝25,又（3＋4i）z=（3＋4i）（x＋yi）＝（3x－4y）+（4x＋3y）i是純虛數(shù)，?x?4?x??4?3x?4y?0或?∴ ?，聯(lián)立三個關(guān)系式解得?，y?3y??34x?3y?0???

∴ z=4＋3i或z＝－4－3i．

第二篇：高中復(fù)數(shù)知識點總結(jié)

復(fù)數(shù)是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，所以小編整理了高中復(fù)數(shù)知識點總結(jié)，請看：

高中復(fù)數(shù)知識點總結(jié)

1.知識網(wǎng)絡(luò)圖

2.復(fù)數(shù)中的難點

(1)復(fù)數(shù)的向量表示法的運算.對于復(fù)數(shù)的向量表示有些學(xué)生掌握得不好，對向量的運算的幾何意義的靈活掌握有一定的困難.對此應(yīng)認(rèn)真體會復(fù)數(shù)向量運算的幾何意義，對其靈活地加以證明.(2)復(fù)數(shù)三角形式的乘方和開方.有部分學(xué)生對運算法則知道，但對其靈活地運用有一定的困難，特別是開方運算，應(yīng)對此認(rèn)真地加以訓(xùn)練.(3)復(fù)數(shù)的輻角主值的求法.(4)利用復(fù)數(shù)的幾何意義靈活地解決問題.復(fù)數(shù)可以用向量表示，同時復(fù)數(shù)的模和輻角都具有幾何意義，對他們的理解和應(yīng)用有一定難度，應(yīng)認(rèn)真加以體會.3.復(fù)數(shù)中的重點

(1)理解好復(fù)數(shù)的概念，弄清實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的不同點.(2)熟練掌握復(fù)數(shù)三種表示法，以及它們間的互化，并能準(zhǔn)確地求出復(fù)數(shù)的模和輻角.復(fù)數(shù)有代數(shù)，向量和三角三種表示法.特別是代數(shù)形式和三角形式的互化，以及求復(fù)數(shù)的模和輻角在解決具體問題時經(jīng)常用到，是一個重點內(nèi)容.(3)復(fù)數(shù)的三種表示法的各種運算，在運算中重視共軛復(fù)數(shù)以及模的有關(guān)性質(zhì).復(fù)數(shù)的運算是復(fù)數(shù)中的主要內(nèi)容，掌握復(fù)數(shù)各種形式的運算，特別是復(fù)數(shù)運算的幾何意義更是重點內(nèi)容.(4)復(fù)數(shù)集中一元二次方程和二項方程的解法.

第三篇：高二復(fù)數(shù)知識點精品（共）

高二復(fù)數(shù)知識點集錦

【導(dǎo)語】高二本身的知識體系而言，它主要是對高一知識的深入和新知識模塊的補充。以數(shù)學(xué)為例，除去不同學(xué)校教學(xué)進(jìn)度的不同，我們會在高二接觸到更為深入的函數(shù)，也將開始學(xué)習(xí)從未接觸過的復(fù)數(shù)、圓錐曲線等題型。東星資源網(wǎng)高二頻道為你整理了《高二復(fù)數(shù)知識點》希望對你有所幫助！

【篇一】高二復(fù)數(shù)知識點

復(fù)數(shù)的概念：

形如a+bi（a，b∈r）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位。全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母c表示。

復(fù)數(shù)的表示：

復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi（a，b∈r），這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中a叫復(fù)數(shù)的實部，b叫復(fù)數(shù)的虛部。

復(fù)數(shù)的幾何意義：

復(fù)平面、實軸、虛軸：

點z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi（a、b∈r）可用點z（a，b）表示，這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸。顯然，實軸上的點都表示實數(shù)，除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)

復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù)集c和復(fù)平面內(nèi)所有的點所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系，即

這是因為，每一個復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)惟一的一個點和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點，有惟一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng)。

這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義，也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法。

復(fù)數(shù)的模：

復(fù)數(shù)z=a+bi（a、b∈r）在復(fù)平面上對應(yīng)的點z（a，b）到原點的距離叫復(fù)數(shù)的模，記為|z|，即|z|=

虛數(shù)單位i：

它的平方等于-1，即i2=-1；

實數(shù)可以與它進(jìn)行四則運算，進(jìn)行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立

i與-1的關(guān)系：i就是-1的一個平方根，即方程x2=-1的一個根，方程x2=-1的另一個根是-i。

i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。

復(fù)數(shù)模的性質(zhì)：

復(fù)數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系：

對于復(fù)數(shù)a+bi（a、b∈r），當(dāng)且僅當(dāng)b=0時，復(fù)數(shù)a+bi（a、b∈r）是實數(shù)a；當(dāng)b≠0時，復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時，z就是實數(shù)0。

【篇二】高二復(fù)數(shù)知識點

復(fù)數(shù)中的難點

（1）復(fù)數(shù)的向量表示法的運算.對于復(fù)數(shù)的向量表示有些學(xué)生掌握得不好，對向量的運算的幾何意義的靈活掌握有一定的困難，對此應(yīng)認(rèn)真體會復(fù)數(shù)向量運算的幾何意義，對其靈活地加以證明.（2）復(fù)數(shù)三角形式的乘方和開方.有部分學(xué)生對運算法則知道，但對其靈活地運用有一定的困難，特別是開方運算，應(yīng)對此認(rèn)真地加以訓(xùn)練.（3）復(fù)數(shù)的輻角主值的求法.（4）利用復(fù)數(shù)的幾何意義靈活地解決問題.復(fù)數(shù)可以用向量表示，同時復(fù)數(shù)的模和輻角都具有幾何意義，對他們的理解和應(yīng)用有一定難度，應(yīng)認(rèn)真加以體會.復(fù)數(shù)中的重點

（1）理解好復(fù)數(shù)的概念，弄清實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的不同點.（2）熟練掌握復(fù)數(shù)三種表示法，以及它們間的互化，并能準(zhǔn)確地求出復(fù)數(shù)的模和輻角.復(fù)數(shù)有代數(shù)，向量和三角三種表示法.特別是代數(shù)形式和三角形式的互化，以及求復(fù)數(shù)的模和輻角在解決具體問題時經(jīng)常用到，是一個重點內(nèi)容.（3）復(fù)數(shù)的三種表示法的各種運算，在運算中重視共軛復(fù)數(shù)以及模的有關(guān)性質(zhì).復(fù)數(shù)的運算是復(fù)數(shù)中的主要內(nèi)容，掌握復(fù)數(shù)各種形式的運算，特別是復(fù)數(shù)運算的幾何意義更是重點內(nèi)容.（4）復(fù)數(shù)集中一元二次方程和二項方程的解法.【篇三】高二復(fù)數(shù)知識點

復(fù)數(shù)定義

我們把形如a+bi（a，b均為實數(shù)）的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中a稱為實部，b稱為虛部，i稱為虛數(shù)單位。當(dāng)虛部等于零時，這個復(fù)數(shù)可以視為實數(shù)；當(dāng)z的虛部不等于零時，實部等于零時，常稱z為純虛數(shù)。復(fù)數(shù)域是實數(shù)域的代數(shù)閉包，也即任何復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域中總有根。

復(fù)數(shù)表達(dá)式

虛數(shù)是與任何事物沒有聯(lián)系的，是絕對的，所以符合的表達(dá)式為：

a=a+ia為實部，i為虛部

復(fù)數(shù)運算法則

加法法則：（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i；

減法法則：（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i；

乘法法則：（a+bi）·（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i；

除法法則：（a+bi）/（c+di）=[（ac+bd）/（c2+d2）]+[（bc-ad）/（c2+d2）]i.例如：[（a+bi）+（c+di）]-[（a+c）+（b+d）i]=0，最終結(jié)果還是0，也就在數(shù)字中沒有復(fù)數(shù)的存在。[（a+bi）+（c+di）]-[（a+c）+（b+d）i]=z是一個函數(shù)。

復(fù)數(shù)與幾何

①幾何形式

復(fù)數(shù)z=a+bi被復(fù)平面上的點z（a，b）確定。這種形式使復(fù)數(shù)的問題可以借助圖形來研究。也可反過來用復(fù)數(shù)的理論解決一些幾何問題。

②向量形式

復(fù)數(shù)z=a+bi用一個以原點O（0，0）為起點，點Z（a，b）為終點的向量OZ表示。這種形式使復(fù)數(shù)四則運算得到恰當(dāng)?shù)膸缀谓忉尅?/p>

③三角形式

復(fù)數(shù)z=a+bi化為三角形式

第四篇：高一英語單復(fù)數(shù)知識點

語法一致原則

意義一致原則

有or ,either…or ,neither…nor, whether…or…..not only …but also…，not……but……連接時;

在there be…./here be……連接并列主語時,采取就近原則.E g(1)Not only his children but also he himselfwants to go there.(2)Either my wife or I am going towork there.就近原則的使用情況：

當(dāng)作主語的兩個名詞或代詞由or ,either…or ,neither…nor, whether…or…..not only …but also…，not……but……連接時;在there be…./here be……句型中

有together with, with, as well as , but(除了）, except ,besides,rather than, including ,along, along with, like.連接并列主語時,采取從前原則.由and 或both----and 連接兩個人（事物）時謂語動詞用復(fù)數(shù)。

如果and 連接的兩個詞是指同一個人，同一事物或同一概念，則兩個名詞共用一個冠詞，謂語用單數(shù)。兩個經(jīng)常出現(xiàn)在一起的食物可以合為一體：刀叉

every…and(every)……;each …and(each)…;no …and(no)…;many a …and(many a)…連接兩個單數(shù)名詞作主語時，謂語動詞用單數(shù)。

one/every one / each/ either/ neither/the other/another anybody/ anyone/ anything/ somebody/ someone/something/ everybody/everyone/everything/nobody/ no one/ nothing/ the number+of +復(fù)數(shù)名詞作主語或是獨立充當(dāng)主語時，謂語動詞用單數(shù)

some(of), plenty of, a lot of ,most(of), the rest of ,all(of), half(of), part(of), the majority of,分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)+of +名詞等短語作主語時，謂語動詞與of 后的名詞或則和其替代的名詞保持?jǐn)?shù)的一致。none 有時作單數(shù)看待，有時作復(fù)數(shù)看待，主要根據(jù)說話人的意思決定。

eg.None of the books are easy enough for us.None of us has a camera.None of the moneypaid to me.one and a half做主語時，謂語動詞用做單數(shù)。One and a half years has passed.One and a half apples has rotted away

和＋單數(shù)名詞的意義相同，均表示“不只一個”，但前者用作復(fù)數(shù)，后者用作單數(shù)。more than + 兩個以上的數(shù)字+名詞復(fù)數(shù)做主語時，謂語動詞用復(fù)數(shù)。

More students than one were punished.＝More than one student was punished.表示時間，數(shù)目，距離，價格，度量衡，學(xué)科等名詞的復(fù)數(shù)作主語，并作為整體看待時，謂語動詞用單數(shù)。

以s 結(jié)尾的詞，但表示學(xué)科、國家、機(jī)構(gòu)、書籍、報刊等名稱作主語，謂語用單數(shù)。非自然景觀！

由山脈、群島、瀑布、運動會等s 結(jié)尾的專有名詞作主語謂語用復(fù)數(shù)。自然景觀！與運動會！表示成雙成套的名詞，如：trousers, shorts, shoes ,socks, scissors, glasses, compasses,等做主語時，謂語動詞用復(fù)數(shù)。

集合名詞class , family, army, enemy, team , group , government, staff , audience , crowd, public ,committee 等作主語時，若強調(diào)整體，謂語用單數(shù)，若表示組成該集體的成員，謂語用復(fù)數(shù)。有些名詞本身表示復(fù)數(shù)概念，其謂語動詞用復(fù)數(shù)形式，如people, police ,cattle, goods, youth, clothes等

“定冠詞+adj/分詞”表示一類具體的人或物時，謂語一般用復(fù)數(shù)，一個不定式，動名詞，從句作主語時，謂語要用單數(shù)形式。

兩個或兩個以上的不定式，動名詞或是從句做主語時，謂語用復(fù)數(shù)。

但是如同這兩個結(jié)構(gòu)指一個概念，仍然用單數(shù)。

clothing, furniture, traffic, jewellery, baggage, equipment, luggage 等無生命的集合名詞作主語時，謂語動詞用單數(shù)。

在定語從句中，謂語動詞總是與先行詞保持一致。

在倒裝句中，謂語動詞往往與其后的第一個主語取得一致。也就是說，倒裝句要采用就近原則。In the room was found a hat, a few suits of clothes and some shoes and socks.

第五篇：復(fù)數(shù)知識點梳理與應(yīng)用舉例

復(fù)數(shù)知識點梳理與應(yīng)用舉例

【知識點歸納】

1、復(fù)數(shù)集

???整 數(shù)有 理 數(shù)????實數(shù)(b?0)??分 數(shù)??復(fù)數(shù)a?bi(a,b?R)?小數(shù))?無理數(shù)(無限不循環(huán)

? 虛 數(shù)(a?0)?虛 數(shù)(b?0)?純???非 純 虛 數(shù)(a?0)?

應(yīng)特別注意，a=0僅是復(fù)數(shù)a+bi為純虛數(shù)的必要條件，若a=b=0，則a+bi=0是實數(shù)

2、復(fù)數(shù)的四則運算

若兩個復(fù)數(shù)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（1）加法：z1+z2=（a1+a2）+（b1+b2）i；

（2）減法：z1－z2=（a1－a2）+（b1－b2）i；

（3）乘法：z1·z2=（a1a2－b1b2）+（a1b2+a2b1）i；

（4）除法：z1(a1a2?b1b2)?(a2b1?a1b2)i； ?22z2a2?b

2（5）四則運算的交換率、結(jié)合率、分配率都適合于復(fù)數(shù)的情況。

（6）特殊復(fù)數(shù)的運算：

① i（n為整數(shù)）的周期性運算；②（1±i）2=±2i；

③ 若ω=－n13+i，則ω3=1，1+ω+ω2=0.223、共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的模

（1）若z=a+bi，則?a?bi，z?為實數(shù)，z?為純虛數(shù)（b≠0）.（2）復(fù)數(shù)z=a+bi的模，|a

且z??|z|2=a2+b2.注：復(fù)數(shù)a+bi的共軛復(fù)數(shù)是a－bi，若兩復(fù)數(shù)是共軛復(fù)數(shù)，則它們所表示的點關(guān)于實軸對稱。若b=0，則實數(shù)a與實數(shù)a共軛，表示點落在實軸上。

4、復(fù)數(shù)a+bi的模的幾何意義是指表示復(fù)數(shù)a+bi的點到原點的距離。

【學(xué)法指導(dǎo)】

1、在運用復(fù)數(shù)的基本概念解題時，應(yīng)掌握以下幾個環(huán)節(jié)內(nèi)容：

（1）理解復(fù)數(shù)的分類；

（2）兩復(fù)數(shù)相等的充要條件是它們的實、虛部分別相等；

（3）實數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是其本身；

（4）注意把復(fù)數(shù)問題實數(shù)化。

2、應(yīng)熟練掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式以及利用代數(shù)式的運算法則進(jìn)行四則運算；在運算過程中記住一些常見性質(zhì)及結(jié)論，簡化運算。

【典型例題】

2m2?3m?2例

1、當(dāng)m為何實數(shù)時，復(fù)數(shù)z＝+（m2+3m－10）i； 2m?2

5（1）是實數(shù)；（2）是虛數(shù)；（3）是純虛數(shù)．

解：此題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及方程（組）的解法．

?m2?3m?10?0（1）z為實數(shù)，則虛部m+3m－10=0，即?，2m?25?0?

2解得m=2，∴ m=2時，z為實數(shù)。

?m2?3m?10?0（2）z為虛數(shù)，則虛部m+3m－10≠0，即?，2m?25?0?2

解得m≠2且m≠±5.當(dāng)m≠2且m≠±5時，z為虛數(shù)．

?2m2?3m?2?0?（3）?m2?3m?10?0，?2?m?25?0

11解得m=－, ∴當(dāng)m=－時，z為純虛數(shù)． 22

詮釋：本題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)分別為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)時必須具備的相應(yīng)條件，還應(yīng)特別注

意分母不為零這一要求．

例

2、（1）使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10成立的實數(shù)m＝.解：此題主要考查復(fù)數(shù)能比較大小的條件及方程組和不等式的解法．

∵ m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10, 且虛數(shù)不能比較大小，?m2?10?|m|?10???,解得?m?0或m?3,?m?3.∴?m2?3m?0

?2?m?3或m?1m?4m?3?0???

當(dāng)m＝3時，原不等式成立．

注：本題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)能比較大小時必須都為實數(shù)這一條件。

（2）已知z=x＋yi（x，y∈R），且 2x?y?ilog2x?8?(1?log2y)i，求z．

解：本題主要考查復(fù)數(shù)相等的充要條件及指數(shù)方程，對數(shù)方程的解法．

?2x?y?8?0?x?y?3∵ 2?ilog2x?8?(1?log2y)i，∴?，∴?，?xy?2?log2x?1?log2y

?x?2?x?1解得?或?, ∴ z＝2＋i或z＝1＋2i． ?y?1?y?2x?y

注：本題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)相等的充要條件這一關(guān)鍵點，正確、熟練地解方程（指數(shù)，對數(shù)方程）。例

3、若復(fù)數(shù)z滿足z=1?ti（t∈R），求z的對應(yīng)點Z的軌跡方程． 1?ti

解：此題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，點的軌跡方程的求法等．

1?ti(1?ti)21?t22t設(shè)z＝x＋yi，（x, y∈R），∵ z==??i，1?ti(1?ti)(1?ti)1?t21?t

2?1?t2

x??2?1?t∴ ?，消去參數(shù) t，得x2＋y2= 1，且x≠－1．

?y?2t

?1?t2?

∴ 所求z的軌跡方程為x2＋y2＝1（x≠－1）．

詮釋：解此題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)相等的充要條件，從而得到參數(shù)方程，消去參數(shù)，或者利用模的定義和性質(zhì)，求出|z|即可．

【模擬試題】

一、選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

1、設(shè)條件甲：x=0，條件乙：x＋yi（x，y∈R）是純虛數(shù)，則（）

A、甲是乙的充分非必要條件B、甲是乙的必要非充分條件

C、甲是乙的充分必要條件D、甲是乙的既不充分，又不必要條件

2、已知關(guān)于x的方程x2－（2i－1）x＋3m－i＝0有實根，則實數(shù)m應(yīng)取的值是（）

111B、m≤－C、m= 441

2?2?i

3等于（）?1?2iA、m≥－ D、m=－1 1

2A、0B、1C、－1D、i4、設(shè)f（z）＝|1+z|－，若f（－）＝10－3i，則z等于（）

A、5＋3iB、5－3iC、－5＋3iD、－5－3i5、方程x2＋（k+2i）x＋2＋ki＝0至少有一實根的條件是（）

A、－22≤k≤22B、k≤－22或k≥2

2C、k=±22D、k≠226、若2＋3i是方程x2+mx+n＝0的一個根，則實數(shù)m，n的值為（）

A、m＝4，n=－3B、m=－4，n＝1

3C、m＝4，n=－21D、m=－4，n＝－

5二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

7、已知下列命題：

（1）在復(fù)平面中，x軸是實軸，y軸是虛軸；

（2）任何兩個復(fù)數(shù)不能比較大小；

（3）任何數(shù)的偶次冪都是非負(fù)數(shù)；

（4）若 t＋si=3－4i，則 t=

3、s=－4．

其中真命題為．

1||=－1＋2i，則z29、設(shè)z∈C，|z|=1，則|z+3+i|的最大值為

8、若復(fù)數(shù)z滿足z+

三、解答題（本大題共4題，共50分）

10、設(shè)z是純虛數(shù)，求復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡方程． z?

111、已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝5，且（3+ 4i）z是純虛數(shù)，求z．

試題答案

1、B7、（1）

8、－

2、C3、A4、B5、C6、B 8+2i39、310、解：此題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及性質(zhì)，四則運算和點的軌跡方程的求法．

zzzz??0, 是純虛數(shù)，∴()??0，即z?1?1z?1z?1z?

12z??z??0，∴∴2z+z+=0，（z≠0，z≠－1），(?1)(z?1)∵

設(shè)z=x＋yi，（x，y∈R），2（x2＋y2）＋2x＝0（y≠0）

∴（x＋1221）＋y＝（y≠0）即為復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡方程． 2

4詮釋：解此題應(yīng)抓住虛數(shù)的定義和共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，利用運算法則進(jìn)行求解。

11、解：此題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，復(fù)數(shù)的運算，模的定義及計算．

設(shè) z＝x＋yi（x, y∈R）,∵|z|＝5，∴x2＋y2＝25,又（3＋4i）z=（3＋4i）（x＋yi）＝（3x－4y）+（4x＋3y）i是純虛數(shù)，∴ ??x?4?x??4?3x?4y?0或?，聯(lián)立三個關(guān)系式解得?，y?3y??3??4x?3y?0?

∴ z=4＋3i或z＝－4－3i．