第一篇：圓的知識點歸納總結

圓的知識點歸納總結

1.圓是由一條曲線圍成的平面圖形。

（以前所學的圖形如長方形、梯形等都是由幾條線段圍成的平面圖形）2.畫圓時，針尖固定的一點是圓心，通常用字母O表示； 連接圓心和圓上任意一點的線段是半徑，通常用字母r表示；

通過圓心并且兩端都在圓上的線段是直徑，通常用字母d表示。

3.圓有無數條直徑，無數條半徑；同（或等）圓內的直徑都相等，半徑都相等。4.圓心確定圓的位置，半徑決定圓的大小。

5.圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是圓的對稱軸，圓有無數條對稱軸。6.在同一圓內，直徑的長度是半徑的2倍，可以表示為d=2r或r=d÷2。7.圓的周長是指圍成圓的曲線的長。

8.圓周率：圓的周長除以直徑的商是一個固定的數，我們把它叫做圓周率，用字母∏表示，計算時通常取3.14.9.圓的周長的計算公式：如果用C表示圓的周長，那么C=∏d或C=2∏r。10.圓的周長計算公式的應用：

已知圓的半徑，求圓的周長：C=2∏r。

已知圓的直徑，求圓的周長：C=∏d。

已知圓的周長，求圓的半徑：r=C ÷2∏。已知圓的周長，求圓的直徑：d=C÷ ∏。

11.圓形物體所占平面的大小或圓形物體表面的大小就是圓的面積。

12.如果用S表示圓的面積，r表示圓的半徑，那么圓的面積計算公式是：S= ∏r2。13.圓的面積計算公式的應用：

已知圓的半徑，求圓的面積：S= ∏r2。

已知圓的直徑，求圓的面積：r= d÷2，S= ∏r2。已知圓的周長，求圓的面積：r=C ÷2∏，S= ∏r2。14.正方形里最大的圓。兩者聯系：邊長＝直徑； 長方形里最大的圓。兩者聯系：寬＝直徑。15.同一個圓內的所有線段中，圓的直徑是最長的。16.車輪滾動一周前進的路程就是車輪的周長。

每分前進米數（速度）＝車輪的周長×轉數。17.半圓的周長等于圓周長的一半加一條直徑。

C半圓= πr＋2r=5.14r

C半圓= πd÷2＋d=2.57d 半圓的面積是圓面積的一半。S半圓= S= ∏r2÷2.18.兩個同心圓形成一個圓環。

設小圓和大圓（或內圓和外圓）的半徑和直徑分別為r和R。（R﹥r）

S圓環=∏R2-∏r2=∏(R2-r2).19.一個圓的半徑擴大若干倍，則它的直徑也擴大相同的倍數，周長也擴大相同的倍數，而面積擴大倍數的平方倍。

20.在周長相等的長方形，正方形和圓中，（圓）的面積大一些。

21.常用的3.14的倍數：

3.14×12＝37.68 3.14×14＝43.96 3.14×16＝50.24

3.14×18＝56.52

3.14×24＝75.36

3.14×25＝78.5 3.14×36＝113.04 3.14×49＝153.86

3.14×64＝200.96 3.14×81=254.34

第二篇：初中圓知識點總結

初中圓知識點總結

1、圓是到定點的距離等于定長的點組成的圖形。

2、圓的內部可以看作是圓心的距離小于半徑的點組成的圖形。

3、圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點組成的圖形。

4、同圓或等圓的半徑相等。

5、到定點的距離等于定長的點組成的圖形，是以定點為圓心，定長為半徑的圓。

6、定理：不在同一直線上的三點確定一個圓。

7、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧。

8、推論1：

①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。②弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

9、推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等

10、圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形.圓是以直徑所在直線為對稱軸的軸對稱圖形。

11、定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的圓周角相等，所對的弦的弦心距相等。

12、推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、圓周角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等。

13、定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

14、推論：

1、同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等

15、推論：

2、半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑

16、推論：

3、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形（注：這是用來證明三角形是直角三角形的一種方法）

17、定理：圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角（這個定理現在的書上沒有）。

21、直線和圓的位置關系：

①直線L和⊙O相交d﹤r

②直線L和⊙O相切d=r

③直線L和⊙O相離d﹥r

（其中：d表示直線到圓心的距離，r表示圓的半徑）

18、切線的判定定理：經過半徑的外端（或者直徑的一端）并且垂直于這條半徑（或這條直徑）的直線是圓的切線。

19、切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑（或直徑）。

20、推論1 經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點

21、推論2 經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心

注：小結為過圓心、過切點，垂直于切線，22、切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等圓

心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。（這個定理書上沒有）

23、定理：圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等。（這個定理書上沒有）

24、弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。（這個定理書上沒有）

25、相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（這個定理書上沒有）

26、如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上（其中：d表示圓心距，R表示大圓的半徑，r表示小圓的半徑）

27、①兩圓外離d﹥R+r

②兩圓外切d=R+r

③兩圓相交R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)

④兩圓內切d=R-r(R﹥r)

⑤兩圓內含d﹤R-r(R﹥r)

28、定理：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

29、扇形弧長計算公式：L=n兀R／180（其中：L表示弧長，n表示圓心角的度數，R表示扇形的半徑）

30、扇形面積公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2（其中：L表示弧長，n表示圓心角的度數，R表示扇形的半徑）

31、圓錐的側面積公式：S側=S扇形 =（1/2）×扇形半徑 × 扇形弧長=π rL（其中：r表示底面圓的半徑，L表示扇形的半徑：即圓錐的母線長）

32、圓錐的全面積：S全= S側+ S底面圓=π rL+π r2

注：（圓的知識中的幾條經常作的重要的輔助線：①連接圓心和圓上的點（構成半徑），②過圓心作弦的弦心距，(以便利用垂徑定理)，③作直徑所對的圓周角，（以便得到直徑所對的圓周角是直角）④連接圓心和切點(以便利用切線的性質定理)⑤兩圓相切時作兩圓的連心線和公切線，（以便利用相切兩圓的性質），⑥兩圓相交時作兩圓的連心線和公共弦。（以便利用相交兩圓的性質）。

第三篇：初三數學圓知識點總結

初三數學 圓知識點總結

一、本章知識框架

二、本章重點

1．圓的定義：

(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓．

(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合． 2．判定一個點P是否在⊙O上． 設⊙O的半徑為R，OP＝d，則有 d>r點P在⊙O 外； d＝r點P在⊙O 上； d

(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角．

圓心角的性質：圓心角的度數等于它所對的弧的度數．

(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．

圓周角的性質：

①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半． ②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等． ③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角．

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形． ⑤圓內接四邊形的對角互補；外角等于它的內對角．

(3)弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角． 弦切角的性質：弦切角等于它夾的弧所對的圓周角．

弦切角的度數等于它夾的弧的度數的一半．

4．圓的性質：

(1)旋轉不變性：圓是旋轉對稱圖形，繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心．

在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應的其他各組分別相等．

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經過圓心的任一直線都是它的對稱軸．

垂徑定理及推論：

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．

(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．(3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧．

(4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夾的弧相等．

5．三角形的內心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內心：是三角形三個角平分線的交點，它是三角形內切圓的圓心，在三角形內部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示．

(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示．

(4)垂心：是三角形三邊高線的交點．

6．切線的判定、性質：(1)切線的判定：

①經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． ②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．

(2)切線的性質：

①圓的切線垂直于過切點的半徑．

②經過圓心作圓的切線的垂線經過切點． ③經過切點作切線的垂線經過圓心．

(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長．

(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．

7．圓內接四邊形和外切四邊形

(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內接四邊形，圓內接四邊形對角互補，外角等于內對角．

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等．

8．直線和圓的位置關系：

設⊙O 半徑為R，點O到直線l的距離為d．

(1)直線和圓沒有公共點直線和圓相離d>R．

(2)直線和⊙O有唯一公共點直線l和⊙O相切d＝R．(3)直線l和⊙O 有兩個公共點直線l和⊙O 相交d

9．圓和圓的位置關系：（不考了）設(1)外離(2)含(3)外切(4)dr)，圓心距

．

沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的外部d>R＋r． 沒有公共點，且的每一個點都在外部

內有唯一公共點，除這個點外，內切d＝R－r．

相交(5)有兩個公共點R－r

10．兩圓的性質：

(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線．

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經過切點．

11．圓中有關計算： 圓的面積公式：，周長C＝2πR．

圓心角為n°、半徑為R的弧長．

圓心角為n°，半徑為R，弧長為l的扇形的面積弓形的面積要轉化為扇形和三角形的面積和、差來計算．

．

圓柱的側面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為l的圓柱的體積為面積為2πRl，全面積為

．，側（補考圓錐面積了）圓錐的側面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側面積為πRl，全面積為半徑之間有

【經典例題精講】

例1 如圖23-2，已知AB為⊙O直徑，C為上一點，CD⊥AB于D，∠OCD的平分線CP交⊙O于P，試判斷P點位置是否隨C點位置改變而改變？

分析：要確定P點位置，我們可采用嘗試的辦法，在上再取幾個符合條件的點試一試，觀察P點位置的變化，然后從中觀察規律． 解：

連結OP，．，母線長、圓錐高、底面圓的

P點為中點．

小結：此題運用垂徑定理進行推斷． 例2 下列命題正確的是()A．相等的圓周角對的弧相等 B．等弧所對的弦相等 C．三點確定一個圓

D．平分弦的直徑垂直于弦． 解：

A．在同圓或等圓中相等的圓周角所對的劣弧相等，所以A不正確．

B．等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此B正確． C．三個點只有不在同一直線上才能確定一個圓． D．平分弦(不是直徑)的直徑垂直于此弦． 故選B．

例3 四邊形ABCD內接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D． 分析：圓內接四邊形對角之和相等，圓外切四邊形對邊之和相等． 解：

設∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，則∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x． x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°． ∴∠D＝90°．

小結：此題可變形為：四邊形ABCD外切于⊙O，周長為20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的長．

例4 為了測量一個圓柱形鐵環的半徑，某同學采用如下方法：將鐵環平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的三角板和一個刻度尺，用如圖23-4所示方法得到相關數據，進而可以求得鐵環半徑．若測得PA＝5cm，則鐵環的半徑是__________cm． 分析：測量鐵環半徑的方法很多，本題主要考查切線長性質定理、切線性質、解直角三角形的知識進行合作解決，即過P點作直線OP⊥PA，再用三角板畫一個頂點為A、一邊為AP、大小為60°的角，這個角的另一邊與OP的交點即為圓心O，再用三角函數知識求解． 解：

．

小結：應用圓的知識解決實際問題，應將實際問題變成數學問題，建立數學模型．

例5 已知

相交于A、B兩點，的半徑是10，的半徑是17，公共弦AB＝16，求兩圓的圓心距． 解：分兩種情況討論：(1)若位于AB的兩側(如圖23-8)，設

與AB交于C，連結又∵AB＝16 ∴AC＝8．，則垂直平分AB，∴

． 在在故(2)若中，中，．

位于AB的同側(如圖23-9)，設

．

∵垂直平分AB，的延長線與

． ．

AB交于C，連結∴．

又∵AB＝16，∴AC＝8． 在在故中，中，．

． ．

注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個點到圓上各點的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問題時，要注意雙解或多解問題．

1.相交弦定理

圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經過圓內一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）

說明：幾何語言：

若弦AB、CD交于點P，則PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

例1． 已知P為⊙O內一點，P任作一弦AB，設為

。解：由相交弦定理得，⊙O半徑為，過，則關于的函數關系式，即，其中

2.切割線定理

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項

說明：幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點P，則PC^2=PA·PB

例2． 已知PT切⊙O于T，PBA為割線，交OC于D，CT為直徑，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB長。

解：設TD=，BP=，由相交弦定理得：即由切割線定理，理，∴ ∴，（舍）

由勾股定

∴

四、輔助線總結（重要）1.圓中常見的輔助線

1）．作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等．

2）．作弦心距，利用垂徑定理進行證明或計算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關系進行證明．

3）．作半徑和弦心距，構造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進行計算．

4）．作弦構造同弧或等弧所對的圓周角．

5)．作弦、直徑等構造直徑所對的圓周角——直角． 6)．遇到切線，作過切點的弦，構造弦切角． 7)．遇到切線，作過切點的半徑，構造直角．

8)．欲證直線為圓的切線時，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點時，常連結公共點和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點時，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑．

9)．遇到三角形的外心常連結外心和三角形的各頂點．

10)．遇到三角形的內心，常作：(1)內心到三邊的垂線；(2)連結內心和三角形的頂點．

11)．遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線． 12)．遇兩圓相切，常過切點作兩圓的公切線．

13)．求公切線時常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊．

2、圓中較特殊的輔助線

1)．過圓外一點或圓上一點作圓的切線． 2)．將割線、相交弦補充完整． 3)．作輔助圓．

例1如圖23-10，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的長為()

A．2 B．3 C．4 D．5

分析：連結OC，由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB知CD＝DE．設AE＝x，則在Rt△CEO中，即，則，(舍去)．

答案：A．

例2如圖23-11，CA為⊙O的切線，切點為A，點B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于()

A．35° B．90° C．110° D．120°

分析：由弦切角與所夾弧所對的圓心角的關系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C．

例3 如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長為5cm，那么側面積等于()A． B．

C．

D．

分析：圓柱的側面展開圖是矩形，這個矩形的一邊長等于圓柱的高，即圓柱的母線長；另一邊長是底面圓的周長，所以圓柱的側面積等于底面圓的周長乘以圓柱的高，即

．答案：B．

例4 如圖23-12，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點，延長CM交⊙O于E，且EM>MC，連結OE、DE，．

求：EM的長．

簡析：(1)由DC是⊙O的直徑，知DE⊥EC，于是．設EM＝x，則AM·MB＝x(7－x)，即．所以

．而EM>MC，即EM＝4．

例5如圖23-13，AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點B，PA交⊙O于點C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是關于x的方程

(其中m為實數)的兩根．

(1)求證：BE＝BD；(2)若，求∠A的度數．

簡析：(1)由BE、BD是關于x的方程的兩根，得，則m＝－2．所以，原方程為

．得

．故BE＝BD．

(2)由相交弦定理，得，即

．而PB切⊙O于點B，AB為⊙O的直徑，得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易證∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，則，所以，所以

．在Rt△ACB中，故∠A＝60°．

第四篇：圓的認識知識點總結

圓的認識知識點總結

? 圓的定義：

圓是一種幾何圖形。當一條線段繞著它的一個端點在平面內旋轉一周時，它的另一個端點的軌跡叫做圓。在一個個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。

相關定義: 在同一平面內，到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。這個定點叫做圓的圓心。圖形一周的長度，就是圓的周長。連接圓心和圓上的任意一點的線段叫做半徑，字母表示為r。通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑，字母表示為d。直徑所在的直線是圓的對稱軸。4 連接圓上任意兩點的線段叫做弦。最長的弦是直徑,直徑是過圓心的弦。圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優弧，優弧是用三個字母表示。小于半圓的弧稱為劣弧，劣弧用兩個字母表示。半圓既不是優弧，也不是劣弧。優弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。7 由弦和它所對的一段弧圍成的圖形叫做弓形。8 頂點在圓心上的角叫做圓心角。頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。圓周長度與圓的直徑長度的比值叫做圓周率。它是一個無限不循環小數，通常用π表示，π=3.14159265……在實際應用中，一般取π≈3.14。11圓周角等于相同弧所對的圓心角的一半。圓是一個正n邊形（n為無限大的正整數），邊長無限接近0但不等于0。

圓的集合定義：

圓是平面內到定點的距離等于定長的點的集合，其中定點是圓心，定長是半徑。

? 圓的字母表示：

以點O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作O”。圓—⊙ ；

半徑—r或R（在環形圓中外環半徑表示的字母）； 弧—⌒ ； 直徑—d ；

扇形弧長—L ； 周長—C ； 面積—S。

圓的性質:（1）圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的2條弧。逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的2條弧。（2）有關圓周角和圓心角的性質和定理

① 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對應的其余各組量都分別相等。

②在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半（圓周角與圓心角在弦的同側）。直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。圓心角計算公式： θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。

即圓心角的度數等于它所對的弧的度數；圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半。③ 如果一條弧的長是另一條弧的2倍，那么其所對的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。（3）有關外接圓和內切圓的性質和定理

①一個三角形有唯一確定的外接圓和內切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形三個頂點距離相等；

②內切圓的圓心是三角形各內角平分線的交點，到三角形三邊距離相等。③R=2S△÷L（R：內切圓半徑，S：三角形面積，L：三角形周長）。④兩相切圓的連心線過切點。（連心線：兩個圓心相連的直線）

⑤圓O中的弦PQ的中點M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點。

（4）如果兩圓相交，那么連接兩圓圓心的線段（直線也可）垂直平分公共弦。（5）弦切角的度數等于它所夾的弧的度數的一半。（6）圓內角的度數等于這個角所對的弧的度數之和的一半。（7）圓外角的度數等于這個角所截兩段弧的度數之差的一半。（8）周長相等，圓面積比長方形、正方形、三角形的面積大。

? 點、線、圓與圓的位置關系：

點和圓位置關系

①P在圓O外，則 PO>r。②P在圓O上，則 PO=r。③P在圓O內，則 0≤PO

直線和圓位置關系

①直線和圓無公共點，稱相離。AB與圓O相離，d>r。

②直線和圓有兩個公共點，稱相交，這條直線叫做圓的割線。AB與⊙O相交，d

③直線和圓有且只有一公共點，稱相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。AB與⊙O相切，d=r。（d為圓心到直線的距離）

圓和圓位置關系

①無公共點，一圓在另一圓之外叫外離，在之內叫內含。②有唯一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內叫內切。③有兩個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。設兩圓的半徑分別為R和r，且R〉r，圓心距為P，則結論：外離P>R+r；外切P=R+r；內含P? 圓的計算公式: 1.圓的周長C=2πr=或C=πd 2.圓的面積S=πr2 3.扇形弧長L=圓心角（弧度制）× r = n°πr/180°（n為圓心角）4.扇形面積S=nπ r2/360=Lr/2（L為扇形的弧長）5.圓的直徑 d=2r 6.圓錐側面積 S=πrl（l為母線長）

7.圓錐底面半徑 r=n°/360°L（L為母線長）（r為底面半徑）

圓的方程:

1、圓的標準方程：在平面直角坐標系中，以點O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的標準方程是（x-a）2+（y-b)2=r2。

特別地，以原點為圓心，半徑為r（r>0）的圓的標準方程為x2+y2=r2。

2、圓的一般方程：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可變形為（x+D/2）2+（y+E/2）2=（D2+E2-4F）/4.故有： ①當D2+E2-4F>0時，方程表示以(-D/2,-E/2)為圓心，以（√D2+E2-4F）/2為半徑的圓； ②當D2+E2-4F=0時，方程表示一個點（-D/2，-E/2）； ③當D2+E2-4F<0時，方程不表示任何圖形。

3、圓的參數方程：以點O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的參數方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ,（其中θ為參數）

圓的端點式：若已知兩點A（a1,b1）,B（a2,b2），則以線段AB為直徑的圓的方程為（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0 圓的離心率e=0，在圓上任意一點的曲率半徑都是r。

經過圓x2+y2=r2上一點M（a0，b0）的切線方程為 a0·x+b0·y=r2

在圓（x2+y2=r2）外一點M（a0，b0）引該圓的兩條切線，且兩切點為A,B，則A,B兩點所在直線的方程也為 a0·x+b0·y=r2。

? 圓的歷史: 圓形，是一個看來簡單，實際上是十分奇妙的形狀。古代人最早是從太陽、陰歷十五的月亮得到圓的概念的。在一萬八千年前的山頂洞人曾經在獸牙、礫石和石珠上鉆孔，那些孔有的就很圓。到了陶器時代，許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個轉盤上制成的。當人們開始紡線，又制出了圓形的石紡錘或陶紡錘。古代人還發現搬運圓的木頭時滾著走比較省勁。后來他們在搬運重物的時候，就把幾段圓木墊在大樹、大石頭下面滾著走，這樣當然比扛著走省勁得多。

約在6000年前，美索不達米亞人，做出了世界上第一個輪子——圓型的木盤。大約在4000多年前，人們將圓的木盤固定在木架下，這就成了最初的車子。

會作圓，但不一定就懂得圓的性質。古代埃及人就認為：圓，是神賜給人的神圣圖形。一直到兩千多年前我國的墨子（約公元前468-前376年）才給圓下了一個定義：圓，一中同長也。意思是說：圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等。這個定義比希臘數學家歐幾里得（約公元前330-前275年）給圓下定義要早100年。

任意一個圓的周長與它直徑的比值是一個固定的數，我們把它叫做圓周率，用字母π表示。它是一個無限不循環小數，π=3.1415926535……但在實際運用中一般只取它的近似值，即π≈3.14.如果用C表示圓的周長：C=πd或C=2πr.《周髀算經》上說“周三徑一”，把圓周率看成3，但是這只是一個近似值。美索不達來亞人在作第一個輪子的時候，也只知道圓周率是3。魏晉時期的劉徽于公元263年給《九章算術》作注時，發現“周三徑一”只是圓內接正六邊形周長和直徑的比值。他創立了割圓術，認為圓內接正多連形邊數無限增加時，周長就越逼近圓周長。他算到圓內接正3072邊形的圓周率，π= 3927/1250。劉徽把極限的概念運用于解決實際的數學問題之中，這在世界數學史上也是一項重大的成就。祖沖之（公元429-500年）在前人的計算基礎上繼續推算，求出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，是世界上最早的七位小數精確值，他還用兩個分數值來表示圓周率：22/7稱為約率，355/113稱為密率。在歐洲，直到1000年后的十六世紀，德國人鄂圖（公元1573年）和安托尼茲才得到這個數值。現在有了電子計算機，圓周率已經算到了小數點后六十萬億位小數了。

第五篇：初中圓的知識點總結

中考數學關于圓的知識點總結

考點

一、圓的相關概念

1、圓的定義

在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。

2、圓的幾何表示

以點O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作“圓O”考點

二、弦、弧等與圓有關的定義

（1）弦

連接圓上任意兩點的線段叫做弦。（如圖中的AB）（2）直徑

經過圓心的弦叫做直徑。（如途中的CD）直徑等于半徑的2倍。（3）半圓

圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。（4）弧、優弧、劣弧

圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。弧用符號“⌒”表示，以A，B為端點的弧記作“

”，讀作“圓弧AB”或“弧AB”。

大于半圓的弧叫做優弧（多用三個字母表示）；小于半圓的弧叫做劣弧（多用兩個字母表示）

考點

三、垂徑定理及其推論(重要)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。

（3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。*推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。考點

四、圓的對稱性

1、圓的軸對稱性

圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。

2、圓的中心對稱性

圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。考點

五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關系定理

1、圓心角

頂點在圓心的角叫做圓心角。

2、弦心距

從圓心到弦的距離叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關系定理

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦想等，所對的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。考點

六、圓周角定理及其推論

1、圓周角

頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

2、圓周角定理（重要）

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。推論2(△)：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。考點

七、點和圓的位置關系

設⊙O的半徑是r，點P到圓心O的距離為d 則有：d

d=r?點P在⊙O上； d>r?點P在⊙O外。考點

八、直線與圓的位置關系

直線和圓有三種位置關系，具體如下：

（1）相交：直線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線，公共點叫做交點；

（2）相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，（3）相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離。如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：

直線l與⊙O相交?dr； 考點

九、圓內接四邊形

圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補（重要），外角等于它的內對角。即：在⊙O中，∵四邊ABCD是內接四邊形

∴?C??BAD?180??B??D?180? ?DAE??C

考點

十、切線的性質與判定定理

1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；

兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵MN?OA且MN過半徑OA外端∴MN是⊙O的切線

2、性質定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）（記住理解即可，不會考證明題）考點

十一、切線長定理

切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長 相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

即：∵PA、PB是的兩條切線∴PA?PB；PO平分?BPA（用三角形全等證明）考點

十二、弧長和扇形面積

1、弧長公式

半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長l的計算公式：

2、扇形面積公式

其中n是扇形的圓心角度數，R是扇形的半徑，l是扇形的弧長。

3、圓錐的側面積

其中l是圓錐的母線長，r是圓錐的地面半徑。考點

十三、圓冪定理（一般不會考）

1、相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。

即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于點P，∴PA?PB?PC?PD

2、切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

即：在⊙O中，∵PA是切線，PB是割線 ∴ PA2?PC?PB

3、割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割線∴PC?PB?PD?PE