第一篇：高中數學知識點總結-第七章直線和圓的方程

高中數學第七章-直線和圓的方程

考試內容：

直線的傾斜角和斜率，直線方程的點斜式和兩點式．直線方程的一般式． 兩條直線平行與垂直的條件．兩條直線的交角．點到直線的距離． 用二元一次不等式表示平面區域．簡單的線性規劃問題． 曲線與方程的概念．由已知條件列出曲線方程． 圓的標準方程和一般方程．圓的參數方程． 考試要求：

（1）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據條件熟練地求出直線方程．

（2）掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式能夠根據直線的方程判斷兩條直線的位置關系．（3）了解二元一次不等式表示平面區域．（4）了解線性規劃的意義，并會簡單的應用．（5）了解解析幾何的基本思想，了解坐標法．

（6）掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數方程的概念。理解圓的參數方程．

§07.直線和圓的方程

知識要點

一、直線方程.1.直線的傾斜角：一條直線向上的方向與x軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與x軸平行或重合時，其傾斜角為0，故直線傾斜角的范圍是0????180?(0????).注：①當??90?或x2?x1時，直線l垂直于x軸，它的斜率不存在.②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與x軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當直線的斜率一定時，其傾斜角也對應確定.2.直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜切式.特別地，當直線經過兩點(a,0),(0,b)，即直線在x軸，y軸上的截距分別為a,b(a?0,b?0)時，直線方程是：注：若y??y??xy??1.ab22x?2是一直線的方程，則這條直線的方程是y??x?2，但若332x?2(x?0)則不是這條線.3附：直線系：對于直線的斜截式方程y?kx?b，當k,b均為確定的數值時，它表示一條確定的直線，如果k,b變化時，對應的直線也會變化.①當b為定植，k變化時，它們表示過定點（0，b）的直線束.②當k為定值，b變化時，它們表示一組平行直線.3.⑴兩條直線平行：

l1∥l2?k1?k2兩條直線平行的條件是：①l1和l2是兩條不重合的直線.②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的.因此，應特別注意，抽掉或忽視其中任一個“前提”都會導致結論的錯誤.（一般的結論是：對于兩條直線l1,l2，它們在y軸上的縱截距是b1,b2，則l1∥l2?k1?k2，且b1?b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2?B1A2是平行的必要不充分條件，且C1?C2）推論：如果兩條直線l1,l2的傾斜角為?1,?2則l1∥l2??1??2.⑵兩條直線垂直：

兩條直線垂直的條件：①設兩條直線l1和l2的斜率分別為k1和k2，則有l1?l2?k1k2??1這里的前提是l1,l2的斜率都存在.②l1?l2?k1?0，且l2的斜率不存在或k2?0，且l1的斜率不存在.（即A1B2?A2B1?0是垂直的充要條件）

4.直線的交角：

⑴直線l1到l2的角（方向角）；直線l1到l2的角，是指直線l1繞交點依逆時針方向旋轉到與l2重合時所轉動的角?，它的范圍是(0,?)，當??90?時tan??k2?k1.1?k1k2⑵兩條相交直線l1與l2的夾角：兩條相交直線l1與l2的夾角，是指由l1與l2相交所成的四

????個角中最小的正角?，又稱為l1和l2所成的角，它的取值范圍是??0,2?，當??90，則有

??tan??k2?k1.1?k1k2?l1:A1x?B1y?C1?0的交點的直線系方程A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0(?l:Ax?By?C?02222?5.過兩直線?為參數，A2x?B2y?C2?0不包括在內）

6.點到直線的距離：

⑴點到直線的距離公式：設點P(x0,y0)，直線l:Ax?By?C?0,P到l的距離為d，則有d?Ax0?By0?CA?B22.注：

1.兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距離公式：|P1P2|?(x2?x1)2?(y2?y1)2.特例：點P(x,y)到原點O的距離：|OP|?x2?y2 ????????2.定比分點坐標分式。若點P(x,y)分有向線段PP,其中12所成的比為?即PP1??PP2x1??x2y??y2 ,y?11??1??特例，中點坐標公式；重要結論，三角形重心坐標公式。

3.直線的傾斜角（0°≤?＜180°）、斜率:k?tan? P1(x1,y1),P2(x2,y2).則 x?4.過兩點Pk?1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線的斜率公式：當x1y2?y1.x2?x1(x1?x2)

?x2,y1?y2（即直線和x軸垂直）時，直線的傾斜角?＝90?，沒有斜率 王新敞

⑵兩條平行線間的距離公式：設兩條平行直線l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2?0(C1?C2)，它們之間的距離為d，則有d?C1?C2A?B22.注；直線系方程

1.與直線：Ax+By+C= 0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.(m?R, C≠m).2.與直線：Ax+By+C= 0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.(m?R)3.過定點（x1,y1）的直線系方程是：

A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全為0)4.過直線l1、l2交點的直線系方程：（A1x+B1y+C1）+λ(A2x+B2y+C2）=0(λ?R）注：該直線系不含l2.7.關于點對稱和關于某直線對稱：

⑴關于點對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點到兩直線的距離相等.⑵關于某直線對稱的兩條直線性質：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱直線距離相等.若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.⑶點關于某一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，則中點在對稱直線上（方程①），過兩對稱點的直線方程與對稱直線方程垂直（方程②）①②可解得所求對稱點.注：①曲線、直線關于一直線（y??x?b）對稱的解法：y換x，x換y.例：曲線f(x ,y)=0關于直線y=x–2對稱曲線方程是f(y+2 ,x –2)=0.②曲線C: f(x ,y)=0關于點(a ,b)的對稱曲線方程是f(a – x, 2b – y)=0.二、圓的方程.1.⑴曲線與方程：在直角坐標系中，如果某曲線C上的 與一個二元方程f(x,y)?0的實數建立了如下關系：

①曲線上的點的坐標都是這個方程的解.②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形）.⑵曲線和方程的關系，實質上是曲線上任一點M(x,y)其坐標與方程f(x,y)?0的一種關系，曲線上任一點(x,y)是方程f(x,y)?0的解；反過來，滿足方程f(x,y)?0的解所對應的點是曲線上的點.注：如果曲線C的方程是f(x ,y)=0，那么點P0(x0 ,y)線C上的充要條件是f(x0 ,y0)=0 2.圓的標準方程：以點C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標準方程是(x?a)2?(y?b)2?r2.特例：圓心在坐標原點，半徑為r的圓的方程是：x2?y2?r2.注：特殊圓的方程：①與x軸相切的圓方程(x?a)2?(y?b)2?b[r?b,圓心(a,b)或(a,?b)] ②與y軸相切的圓方程(x?a)2?(y?b)2?a2

[r?a,圓心(a,b)或(?a,b)] ③與x軸y軸都相切的圓方程(x?a)2?(y?a)2?a2

[r?a,圓心(?a,?a)] 3.圓的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0.?DE?當D?E?4F?0時，方程表示一個圓，其中圓心C??,??，半徑r?2??222D2?E2?4F.2當D2?E2?4F?0時，方程表示一個點???DE?,??.2??2當D2?E2?4F?0時，方程無圖形（稱虛圓）.?x?a?rcos?注：①圓的參數方程：?（?為參數）.y?b?rsin??②方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圓的充要條件是：B?0且A?C?0且D2?E2?4AF?0.③圓的直徑或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0（用向量可征）.4.點和圓的位置關系：給定點M(x0,y0)及圓C:(x?a)2?(y?b)2?r2.①M在圓C內?(x0?a)2?(y0?b)2?r2 ②M在圓C上?（x0?a)2?(y0?b)2?r2 ③M在圓C外?(x0?a)2?(y0?b)2?r2 5.直線和圓的位置關系：

設圓圓C：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0)；

直線l：Ax?By?C?0(A2?B2?0)；

圓心C(a,b)到直線l的距離d?①d?r時，l與C相切；

22??x?y?D1x?E1y?F1?0附：若兩圓相切，則??相減為公切線方程.22??x?y?D2x?E2y?F2?0Aa?Bb?CA?B22.②d?r時，l與C相交；

C1: x2?y2?D1x?E1y?F1?0附：公共弦方程：設C2:x2?y2?D2x?E2y?F2?0

有兩個交點，則其公共弦方程為(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)?0.③d?r時，l與C相離.22??x?y?D1x?E1y?F1?0附：若兩圓相離，則??相減為圓心O1O2的連線的中與線方程.22??x?y?D2x?E2y?F2?0??(x?a)2?(y?b)2?r2 由代數特征判斷：方程組?用代入法，得關于x（或y）的一元二次方

?Ax?Bx?C?0?程，其判別式為?，則：

??0?l與C相切； ??0?l與C相交； ??0?l與C相離.注：若兩圓為同心圓則x2?y2?D1x?E1y?F1?0，x2?y2?D2x?E2y?F2?0相減，不表示直線.6.圓的切線方程：圓x2?y2?r2的斜率為k的切線方程是y?kx?1?k2r過圓x2?y2?Dx?Ey?F?0

上一點P(x0,y0)的切線方程為：x0x?y0y?Dx?x0y?y0?E?F?0.22①一般方程若點(x0 ,y0)在圓上，則(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2.特別地，過圓x2?y2?r2上一點P(x0,y0)的切線方程為x0x?y0y?r2.?y1?y0?k(x1?x0)?b?y1?k(a?x1)，聯立求出k?切線方程.B②若點(x0 ,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則??R?R2?1?ACD(a,b)7.求切點弦方程：方法是構造圖，則切點弦方程即轉化為公共弦方程.如圖：ABCD四類共圓.已知?O的方程x2?y2?Dx?Ey?F?0…① 又以ABCD為圓為方程為(x?xA)(x?a)?(y?yA)(x?b)?k2…②

(xA?a)2?(yA?b)2…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即為所求.R?42

三、曲線和方程

1.曲線與方程：在直角坐標系中，如果曲線C和方程f(x,y)=0的實數解建立了如下的關系： 1）曲線C上的點的坐標都是方程f(x,y)=0的解（純粹性）；

2）方程f(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線C上（完備性）。則稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線。2.求曲線方程的方法：.1）直接法：建系設點，列式表標,簡化檢驗;

2）參數法;

3）定義法，4）待定系數法.

第二篇：高中數學 《圓與方程》教案

圓的一般方程

一、教學目標(一)知識教學點

使學生掌握圓的一般方程的特點；能將圓的一般方程化為圓的標準方程從而求出圓心的坐標和半徑；能用待定系數法，由已知條件導出圓的方程．

(二)能力訓練點

使學生掌握通過配方求圓心和半徑的方法，熟練地用待定系數法由已知條件導出圓的方法，熟練地用待定系數法由已知條件導出圓的方程，培養學生用配方法和待定系數法解決實際問題的能力．

(三)學科滲透點

通過對待定系數法的學習為進一步學習數學和其他相關學科的基礎知識和基本方法打下牢固的基礎．

二、教材分析

1．重點：(1)能用配方法，由圓的一般方程求出圓心坐標和半徑；(2)能用待定系數法，由已知條件導出圓的方程．

(解決辦法：(1)要求學生不要死記配方結果，而要熟練掌握通過配方求圓心和半徑的方法；(2)加強這方面題型訓練．)2．難點：圓的一般方程的特點．

(解決辦法：引導學生分析得出圓的一般方程的特點，并加以記憶．)3．疑點：圓的一般方程中要加限制條件D2+E2-4F＞0．(解決辦法：通過對方程配方分三種討論易得限制條件．)

三、活動設計

講授、提問、歸納、演板、小結、再講授、再演板．

四、教學過程(一)復習引入新課

前面，我們已討論了圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2，現將展開可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可見，任何一個圓的方程都可以寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0．請大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲線是不是圓？下面我們來深入研究這一方面的問題．復習引出課題為“圓的一般方程”．

(二)圓的一般方程的定義

1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的軌跡 將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左邊配方得：

(1)(1)當D2+E2-4F＞0時，方程(1)與標準方程比較，可以看出方程

半徑的圓；

(3)當D2+E2-4F＜0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0沒有實數解，因而它不表示任何圖形． 這時，教師引導學生小結方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的軌跡分別是圓、法．

2．圓的一般方程的定義

當D2+E2-4F＞0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0稱為圓的一般方程．

同時強調：由圓的一般方程求圓心坐標和半徑，一般用配方法，這要熟練掌握． 例2 求過三點O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圓的方程． 解：設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圓上，則有

解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圓的方程為x2+y2-8x+6=0． 例2小結：

1．用待定系數法求圓的方程的步驟：

(1)根據題意設所求圓的方程為標準式或一般式；(2)根據條件列出關于a、b、r或D、E、F的方程；

(3)解方程組，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所設方程，就得要求的方程． 2．關于何時設圓的標準方程，何時設圓的一般方程：一般說來，如果由已知條件容易求圓心的坐標、半徑或需要用圓心的坐標、半徑列方程的問題，往往設圓的標準方程；如果已知條件和圓心坐標或半徑都無直接關系，往往設圓的一般方程．再看下例： 例3 求圓心在直線 l：x+y=0上，且過兩圓C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交點的圓的方程．

(0，2)．

設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，因為兩點在所求圓上，且圓心在直線l上所以得方程組為

故所求圓的方程為：(x+3)2+(y-3)2=10． 這時，教師指出：

(1)由已知條件容易求圓心坐標、半徑或需要用圓心的坐標、半徑列方程的問題，往往設圓的標準方程．

(2)此題也可以用圓系方程來解： 設所求圓的方程為：

x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)整理并配方得：

由圓心在直線l上得λ=-2．

將λ=-2代入所假設的方程便可得所求圓的方程為x2+y2+6x-6y+8=0．此法到圓與圓的位置關系中再介紹，此處為學生留下懸念． 的軌跡，求這個曲線的方程，并畫出曲線． 此例請兩位學生演板，教師巡視，并提示學生：

(1)由于曲線表示的圖形未知，所以只能用軌跡法求曲線方程，設曲線上任一點M(x，y)，由求曲線方程的一般步驟可求得；

(2)應將圓的一般方程配方成標準方程，進而得出圓心坐標、半徑，畫出圖形．(五)小結

1．圓的一般方程的定義及特點； 2．用配方法求出圓的圓心坐標和半徑；

第三篇：直線方程教案

Ⅰ.課題導入

［師］同學們，我們前面幾節課，我們學習了直線方程的各種形式，以一個方程的解為坐標的點都是某條直線上的點；反之這條直線上的點的坐標都是這個方程的解。這是這個方程叫做這條直線的方程；這條直線叫做這個方程的直線。現在大家回憶一下，我們都學習了直線方程的哪些特殊的形式。我們學習了直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式等形式，對直線方程的表示形式有了一定的認識.現在，我們來回顧一下它們的基本形式.點斜式的基本形式：y－y1＝k（x－x1）適用于斜率存在的直線.斜截式的基本形式：y＝kx＋b適用于斜率存在的直線；

兩點式的基本形式：直線；

截距式的基本形式：

y?y1x?x1（x1≠x2，y1≠y2）適用于斜率存在且不為0的?y2?y1x2?x1xy?＝1（a，b≠0）適用于橫縱截距都存在且不為0的直線.ab在使用這些方程時要注意它們時要注意它們的限制條件。

那么大家觀察一下這些方程，都是x,y的幾次方程啊？［生］都是關于x，y的二元一次方程.那么我們原來在代數中學過二元一次方程它的一般形式是什么呀？（板書）Ax＋By＋C＝0 我們現在來看一次這幾種學過的特殊形式，它們經過一些變形，比如說去分母、移項、合并，這樣一些變形步驟。能不能最后都化成這個統一的形式呢？比如說y＝kx＋b，?xayb＝1，這些我們最終都可以吧它們變成這種形式。剩下的兩種形式的變形留給同學們課下自己去完成。那么在學習這些直線的特殊形式的時候，應該說各有其特點，但是也有些不足。在使用的過程中有些局限性。比如說點斜式和斜截式它們的斜率都必須存在，兩點式適用于適用于斜率存在且不為0的直線，截距式適用于橫縱截距都存在且不為0的直線.那么我們現在想一想有沒有另外一種形式，可以綜合他們各自的一些特點，也就是這些方程最后化成一個統一的形式。能不能代表平面直角坐標系中的直線。要解決這些問題呢，要分兩個方面進行討論。

1.直線和二元一次方程的關系

（1）在平面直角坐標系中，對于任何一條直線，都有一個表示這條直線的關于x，y的二元一次方程.一個方面：是不是平面上的任意直線，表示它的方程都可以寫成Ax＋By＋C＝0的形式，剛才大家做了一些練習，當然這只是特殊形式，是不是所有的直線都可以寫成這種形式呢？直線按斜率來分類可以分幾類？斜率存在和斜率不存在。這兩類是不是都可以轉化成一元二次方程的形式。當傾斜角不等于90°是斜率存在，直線方程可以寫成y＝kx＋b的形式。可以轉化成kx-y＋b=0和Ax＋By＋C＝0比較發現什么？A=k B=-1 C=b。當傾斜角等于90°斜率不存在，直線方程可以寫成x=x0的形式。可以轉化成x-x0=0和Ax＋By＋C＝0比較發現什么？A=1 B=0 C=-x0 好，我們就把它分為這兩種情況，當斜率存在的時候我們一般把它設成一個簡單的斜截式，斜截式經過變形就可以化成一般的形式。而對于斜率不存在的時候，它的方程形式就是x=x0直線方程也可以轉化成這樣的一個形式。那么由此可以下這樣一個結論：平面上的任意的一條直線，表示它的方程最后都可以轉化成二元一次方程的形式。剛才我們從這個角度考慮，就是直線都可以轉化成二元一次方程，現在我們反過來看，是不是任意的一個二元一次方程最終在直角坐標系下都能夠表示直線。

（2）在平面直角坐標系中，任何關于x，y的二元一次方程都表示一條直線.因為x，y的二元一次方程的一般形式是Ax＋By＋C＝0，其中A、B不同時為0，在B≠0和B＝0的兩種情況下，二元一次方程可分別化成直線的斜截式方程y＝－示與y軸平行或重合的直線方程x＝－

ACx?和表BBC.A也就是說Ax＋By＋C＝0（A，B不同時為零）大家想想如果AB都等于零這個直線方程就沒了。現在我們考慮一下，這個方程能不能經過一些適當的變形，變成我們熟悉的形式，而確定它就是一個在平面直角坐標系中就是一條直線呢？By＝-Ax-C 斜截式方程，斜率是 是y軸上的截距。二元一次方程通過變形在直角坐標系下都表示一條直線。那么我們從兩個方面在平面直角坐標系中，對于任何一條直線，都有一個表示這條直線的關于x，y的二元一次方程.在平面直角坐標系中，二元一次方程都表示一條直線.根據上述結論，我們可以得到直線方程的一般式.我們就把代數中的二元一次方程定義為直線的一般式方程。

定義：我們把關于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不同時為0）叫做直線的一般式方程。我們在學習前面直線的幾種特殊形式的方程，一眼就可以看出這條直線的某些特點，比如說點斜式就可以看出它的斜率還有過一個定點，還有兩點式可以看出它過兩個定點。那么我們怎么通過直線的一般式方程觀察直線的一些特點呢？比如說A=0表示什么樣一條直線？y=-平行于x軸的直線，也有可能與x軸重合。如果要平行于y軸這個系數要滿足什么樣的條件？如果旦旦是c等于零，通過原點的直線。假如AB都不等于零它的斜率我們怎么看出來？這些直線的特點我們要能掌握住。我們對直線的一般式方程有了一定的了解。直線的一般式方程和和那幾種特殊的形式之間有一個互相的轉化，那么我們來看一個例子，通過一些轉化來解決實際問題。

［例1］已知直線經過點A(6，－４），斜率為－

4，求直線的點斜式和一般式方程.3分析：本題中的直線方程的點斜式可直接代入點斜式得到，主要讓學生體會由點斜式向一般式的轉化，把握直線方程一般式的特點.解：經過點A(6，－４)，并且斜率等于－

4的直線方程的點斜式是： 3y＋４＝－4（x－6）3化成一般式得：４x＋3y－12＝0 同學們在以后解題時，可能求直線方程的時候，求出不一定是一般式，可能是點斜式、兩點式等等，如題目沒有特殊要求我們都要把各種形式化成一般式。對于直線方程的一般式，一般作如下約定：x的系數為正，x，y的系數及常數項一般不出現分數，一般按含x項，含y項、常數項順序排列.

第四篇：最新高中數學圓的方程（含圓系）典型題型歸納總結總復習

高中數學圓的方程典型題型歸納總結

類型一：巧用圓系求圓的過程

在解析幾何中，符合特定條件的某些圓構成一個圓系，一個圓系所具有的共同形式的方程稱為圓系方程。常用的圓系方程有如下幾種：

⑴以為圓心的同心圓系方程

⑵過直線與圓的交點的圓系方程

⑶過兩圓和圓的交點的圓系方程

此圓系方程中不包含圓，直接應用該圓系方程，必須檢驗圓是否滿足題意，謹防漏解。

當時，得到兩圓公共弦所在直線方程

例1：已知圓與直線相交于兩點，為坐標原點，若，求實數的值。

分析：此題最易想到設出，由得到，利用設而不求的思想，聯立方程，由根與系數關系得出關于的方程，最后驗證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關系，不難得出在以為直徑的圓上。而剛好為直線與圓的交點，選取過直線與圓交點的圓系方程，可極大地簡化運算過程。

解：過直線與圓的交點的圓系方程為：，即

………………….①

依題意，在以為直徑的圓上，則圓心（）顯然在直線上，則，解之可得

又滿足方程①，則

故

例2：求過兩圓和的交點且面積最小的圓的方程。

解：圓和的公共弦方程為，即

過直線與圓的交點的圓系方程為，即

依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心必在公共弦所在直線上。即，則代回圓系方程得所求圓方程

例3:求證：m為任意實數時，直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒過一定點P，并求P點坐標。

分析：不論m為何實數時，直線恒過定點，因此，這個定點就一定是直線系中任意兩直線的交點。

解：由原方程得

m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①

即，∴直線過定點P（9，－4）

注：方程①可看作經過兩直線交點的直線系。

例4已知圓C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.（1）證明：不論m取什么實數，直線l與圓恒交于兩點；

（2）求直線被圓C截得的弦長最小時l的方程.剖析：直線過定點，而該定點在圓內，此題便可解得.（1）證明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.得

∵m∈R，∴

2x+y－7=0，x=3，x+y－4=0，y=1，即l恒過定點A（3，1）.∵圓心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半徑），∴點A在圓C內，從而直線l恒與圓C相交于兩點.（2）解：弦長最小時，l⊥AC，由kAC＝－，∴l的方程為2x－y－5=0.評述：若定點A在圓外，要使直線與圓相交則需要什么條件呢？

思考討論

類型二：直線與圓的位置關系

例5、若直線與曲線有且只有一個公共點，求實數的取值范圍.解：∵曲線表示半圓，∴利用數形結合法，可得實數的取值范圍是或.變式練習：1.若直線y=x+k與曲線x=恰有一個公共點，則k的取值范圍是___________.解析：利用數形結合.答案：－1＜k≤1或k=－

例6

圓上到直線的距離為1的點有幾個？

分析：借助圖形直觀求解．或先求出直線、的方程，從代數計算中尋找解答．

解法一：圓的圓心為，半徑．

設圓心到直線的距離為，則．

如圖，在圓心同側，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個交點，這兩個交點符合題意．

又．

∴與直線平行的圓的切線的兩個切點中有一個切點也符合題意．

∴符合題意的點共有3個．

解法二：符合題意的點是平行于直線，且與之距離為1的直線和圓的交點．設所求直線為，則，∴，即，或，也即，或．

設圓的圓心到直線、的距離為、，則，．

∴與相切，與圓有一個公共點；與圓相交，與圓有兩個公共點．即符合題意的點共3個．

說明：對于本題，若不留心，則易發生以下誤解：

設圓心到直線的距離為，則．

∴圓到距離為1的點有兩個．

顯然，上述誤解中的是圓心到直線的距離，只能說明此直線與圓有兩個交點，而不能說明圓上有兩點到此直線的距離為1．

類型三：圓中的最值問題

例7：圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是

解：∵圓的圓心為（2，2），半徑，∴圓心到直線的距離，∴直線與圓相離，∴圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是.例8(1)已知圓，為圓上的動點，求的最大、最小值．

(2)已知圓，為圓上任一點．求的最大、最小值，求的最大、最小值．

分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點的坐標，可考慮用圓的參數方程或數形結合解決．

解：(1)(法1)由圓的標準方程．

可設圓的參數方程為（是參數）．

則

（其中）．

所以，．

(法2)圓上點到原點距離的最大值等于圓心到原點的距離加上半徑1，圓上點到原點距離的最小值等于圓心到原點的距離減去半徑1．

所以．

．

所以．．

(2)

(法1)由得圓的參數方程：是參數．

則．令，得，．

所以，．

即的最大值為，最小值為．

此時．

所以的最大值為，最小值為．

(法2)設，則．由于是圓上點，當直線與圓有交點時，如圖所示，兩條切線的斜率分別是最大、最小值．

由，得．

所以的最大值為，最小值為．

令，同理兩條切線在軸上的截距分別是最大、最小值．

由，得．

所以的最大值為，最小值為．

例9、已知對于圓上任一點，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

設圓上任一點

∴，∵恒成立

∴

即恒成立．

∴只須不小于的最大值．

設

∴即．

說明：在這種解法中，運用了圓上的點的參數設法．一般地，把圓上的點設為()．采用這種設法一方面可減少參數的個數，另一方面可以靈活地運用三角公式．從代數觀點來看，這種做法的實質就是三角代換．

第五篇：高一數學必修2直線與方程知識點總結

導語：聰明出于勤奮，天才在于積累。我們要振作精神，下苦功學習。下面由小編為您整理出的高一數學必修2直線與方程知識點總結的相關內容，一起來看看吧。

（一）高一數學必修2直線與方程知識點總結

一、直線與方程

(1)直線的傾斜角

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時,我們規定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0180

(2)直線的斜率

①定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當 時，;當 時，;當 時，不存在。

②過兩點的直線的斜率公式：

注意下面四點：(1)當 時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90

(2)k與P1、P2的順序無關;(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得;

(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。

(3)直線方程

①點斜式： 直線斜率k，且過點

注意：當直線的斜率為0時，k=0，直線的方程是y=y1。

當直線的斜率為90時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示.但因l上每一點的橫坐標都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b

③兩點式：()直線兩點，④截矩式：

其中直線 與 軸交于點 ,與 軸交于點 ,即 與 軸、軸的截距分別為。

⑤一般式：(A，B不全為0)

注意：各式的適用范圍 特殊的方程如：

平行于x軸的直線：(b為常數);平行于y軸的直線：(a為常數);

(5)直線系方程：即具有某一共同性質的直線

(一)平行直線系

平行于已知直線(是不全為0的常數)的直線系：(C為常數)

(二)垂直直線系

垂直于已知直線(是不全為0的常數)的直線系：(C為常數)

(三)過定點的直線系

(ⅰ)斜率為k的直線系：，直線過定點;

(ⅱ)過兩條直線，的交點的直線系方程為

(為參數)，其中直線 不在直線系中。

(6)兩直線平行與垂直

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。

(7)兩條直線的交點

相交

交點坐標即方程組 的一組解。

方程組無解;方程組有無數解 與 重合(8)兩點間距離公式：設 是平面直角坐標系中的兩個點，則

(9)點到直線距離公式：一點 到直線 的距離

(10)兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點，再轉化為點到直線的距離進行求解。

（二）高一數學必修二知識點總結

1、柱、錐、臺、球的結構特征

(1)棱柱：

定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如五棱柱

幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形;側面、對角面都是平行四邊形;側棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點字母，如五棱錐

幾何特征：側面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。

(3)棱臺：

定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱態、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點字母，如五棱臺

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側棱交于原棱錐的頂點

(4)圓柱：

定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉，其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側面展開圖是一個矩形。

(5)圓錐：

定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸，旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是一個圓;②母線交于圓錐的頂點;③側面展開圖是一個扇形。

(6)圓臺：

定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個圓;②側面母線交于原圓錐的頂點;③側面展開圖是一個弓形。

(7)球體：

定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度;

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度;

側視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法

斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變;②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

兩個平面的位置關系：

(1)兩個平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點

(2)兩個平面的位置關系：

兩個平面平行-----沒有公共點;兩個平面相交-----有一條公共直線。

a、平行

兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

兩個平面平行的性質定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么交線平行。

b、相交

二面角

(1)半平面：平面內的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中每一個部分叫做半平面。

(2)二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為[0°，180°]

(3)二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。

(4)二面角的面：這兩個半平面叫做二面角的面。

(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

esp.兩平面垂直

兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。記為⊥

兩平面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直

兩個平面垂直的性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。

棱錐

棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐

棱錐的的性質：

(1)側棱交于一點。側面都是三角形

(2)平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠棱錐高的比的平方

正棱錐

正棱錐的定義：如果一個棱錐底面是正多邊形，并且頂點在底面內的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。

正棱錐的性質：

(1)各側棱交于一點且相等，各側面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。

(3)多個特殊的直角三角形

esp：

a、相鄰兩側棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。

b、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。