第一篇：證明線段相等的方法

證明線段相等的方法

三角形中：

①同一三角形中，等角對等邊。（等腰三角形兩腰相等、等邊三角形三邊相等）②等腰三角形頂角的平分線（或底邊上的高、中線）平分底邊。

③④有一角為60°的等腰三角形是等腰三角形是等邊三角形。

過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊。

（三）四邊形中：

①平行四邊形對邊相等，對角線相互平分。

②矩形對角線相等，且其的交點到四頂點的距離相等。

③等腰梯形兩腰相等、兩對角線相等。

證明角相等的方法

（一）相交直線及平行線：

①二直線 相交，對頂角相等。

②二平行線被第三直線所截時，同位角相等，內錯角相等，外錯角相等。

③同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等，凡直角

都相等。

④角的平分線分得的兩個角相等。

⑤自兩個角的頂點向角內看角的兩邊，若有一角的左邊平行

（或垂直）于另一角左邊，一角的右邊平行（或垂直）于另

一角的右邊，則此二角相等

（二）三角形中：

①同一三角形中，等邊對等角。（等腰三角形兩底角相等、等邊三角形三內角相等）

②等腰三角形中底邊上的高或中線平分頂角。

③有一角為60°的等腰三角形是等腰三角形是等邊三角形（三

內角都相等）

④直角三角形中，斜邊的中線分直角三角形為兩個等腰三角

形

證明直線垂直的方法

（一）相交線與平行線：

①兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角，則這兩條直線互相垂直。②兩平行線中有一條垂直第三直線，則另一條也垂直第三直線。

（二）三角形：

①直角三角形的兩直角邊互相垂直。

②三角形的兩內角互余，則第三個內角為直角。

證明直線平行的方法

（一）平行線與相交線：

①在同一平面內兩條不相交的直線平行。

②同平行、或同垂直于第三直線 的兩條直線平行。

③同位角相等、或內錯角相等、或外錯角相等、或同旁內角互補、或同旁外角互補的兩條直線平行。

證明直角三角形的方法

①有一個角為90°，則這個三角形為直角三角形

②∠A:∠B:∠C=1:1:2，則這個三角形為直角三角形

③有兩個角的和為90°，則這個三角形為直角三角形

第二篇：證明線段相等的技巧

證明線段相等的技巧

要證明兩條線段相等，一般的思路是從結論入手，結合已知分析，主要看要證明的兩條線段分布的位置怎樣，無外乎有三種情況：

（1）要證明的兩條線段分別在兩個三角形中；（2）要證明的兩條線段在同一個三角形中；（3）要證明的兩條線段在同一條直線上或其它情況。

一、如果要證明的兩條線段分別在兩個三角形中

一般的思路是利用兩條線段所在的兩個三角形全等。

例1 已知：如圖1，B、C、E三點在一條直線上，△ABC和△DCE均為等邊三角形，連結AE、DB，求證：AE=DB。

二、如果要證明的兩條線段在同一三角形中

一般的思路是利用等角對等邊。

例2 已知：如圖2，△ABC中AB=AC，D為BC上一點，過D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延長線于F，求證：AE=AF。

三、如果要證明的線段在同一直線上或其它情況

一般的思路是作輔助線構成全等三角形或利用面積法來證明。

例3 已知：如圖3，△ABC中AB=AC，D是AB上一點，E是AC延長線上一點，且BD=EC，連結DE交BC于F，求證：DF=EF。

例4 已知：如圖5，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AD、CD上一點，且BE=BF，AG⊥BF于F，CH⊥BE于H，求證：AG=CH。

分析：從結論入手，要證線段AG=CH就看線段AG、CH是否在同一三角形中的兩條邊或兩個三角形中的兩條邊，這里的AG、CH雖然在兩個三角形中，但顯然不全等，作輔助線構成全等三角形也無法作，由于BE=BF要證明的線段AG、CH恰是這兩邊上的高，這時就應該想到面積法，作輔助線構成兩個等底等高的三角形或平行四邊形，很顯然結合已知條件可知構成平行四邊形，延長AD到S使DS=AE，連結CS。延長ACD到R使DR=CF，連結AR證明略。

證明線段和角相等的技巧

⒈ 怎樣證明兩線段相等

證明兩線段相等的常用方法和涉及的定理、性質有：

⑴ 三角形

①兩線段在同一三角形中，通常證明等角對等邊；

②證明三角形全等：全等三角形的對應邊相等，全等形包括平移型、旋轉型、翻折型；

③等腰三角形頂角的平分線或底邊上的高平分底邊；

④線段中垂線性質：線段垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等；

⑤角平分線性質：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等； ⑥過三角形一邊的中點平行于另一邊的直線必平分第三邊；

⑵ 證特殊四邊形

①平行四邊形的對邊相等、對角線互相平分；

②矩形的對角線相等，菱形的四條邊都相等；

③等腰梯形兩腰相等，兩條對角線相等；

⑶ 圓

①同圓或等圓的半徑相等；

②圓的軸對稱性（垂徑定理及其推論）：垂直于弦的直徑平分這條弦；平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦；

③圓的旋轉不變性：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量

都相等；

④從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等；

⑷ 等量代換：若a=b，b=c，則a=c；

等式性質：若a=b，則a－c=b－c；若a

c?b

c，則a=b.此外，也有通過計算證明兩線段相等，有些條件下可以利用面積法、相似線段成比例的性質等證明線段相等.⒉ 怎樣證明兩角相等

證明兩角相等的方法和涉及的定理、性質有：

⑴ 同角（或等角）的余角、補角相等；

⑵ 證明兩直線平行，同位角、內錯角相等；

⑶ 到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上；

⑷ 全等三角形、相似三角形的對應角相等；

⑸ 同一三角形中，等邊對等角，等腰三角形三線合一；

⑹平行四邊形的對角相等；等腰梯形同一底上的兩個角相等； ⑺ 同圓中，同弧或等弧所對的圓周角、圓心角相等；

第三篇：初中幾何證明線段和角相等的方法

初中幾何證明線段和角相等的方法大全

一、證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對應邊相等。

2.同一三角形中等角對等邊。

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。

4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等。

5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。

6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。

7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。

8.過三角形一邊的中點且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。

9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。

10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。

11.兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等。

12.兩圓的內（外）公切線的長相等。

13.等于同一線段的兩條線段相等。

二、證明兩角相等

1.兩全等三角形的對應角相等。

2.同一三角形中等邊對等角。

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。

4.兩條平行線的同位角、內錯角或平行四邊形的對角相等。

5.同角（或等角）的余角（或補角）相等。

6.同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。

7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

8.相似三角形的對應角相等。

9.圓的內接四邊形的外角等于內對角。10.等于同一角的兩個角相等

下面有好幾種可以證明線段相等的方法，你自己選吧。

（一）常用軌跡中：

①兩平行線間的距離處處相等。

②線段中垂線上任一點到線段兩端點的距離相等。

③角平分線上任一點到角兩邊的距離相等。

④若一組平行線在一條直線上截得的線段相等，則在其它直線上截得的線段也相等(圖1）。

（二）三角形中：

①同一三角形中，等角對等邊。（等腰三角形兩腰相等、等邊三角形三邊相等）②任意三角形的外心到三頂點的距離相等。

③任意三角形的內心到三邊的距離相等。

④等腰三角形頂角的平分線（或底邊上的高、中線）平分底邊。

⑤直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊一半。

⑥有一角為60°的等腰三角形是等腰三角形是等邊三角形。

⑦過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊(圖2）。

⑧同底或等底的三角形，若面積相等，則高也相等。同高或等高的三角形，若面積相等，則底也相等(圖3）。

（三）四邊形中：

①平行四邊形對邊相等，對角線相互平分。

②矩形對角線相等，且其的交點到四頂點的距離相等。

③菱形中四邊相等。

④等腰梯形兩腰相等、兩對角線相等。

⑤過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰(圖4）。

（四）正多邊形中：

①正多邊形的各邊相等。且邊長an = 2Rsin(180°/ n)

②正多邊形的中心到各頂點的距離(外接圓半徑R)相等、各邊的距離(邊心距rn)相等。

且rn = Rcos(180°/ n)

（五）圓中：

①同圓或等圓的半徑相等、直徑相等；等弧或等圓心角、等圓周角所對的弦、弦心距相等。

②同圓或等圓中，等弦所對的弦心距相等，等弦心距所對的弦相等。

③任意圓中，任一弦總被與它垂直的半徑或直徑平分。

④自圓外一點所作圓的兩切線長相等。

⑤兩相交或外切或外離圓的二公切線的長相等；兩外離圓的二內公切線的長也相等。

⑥兩相交圓的公共弦總被連心線垂直平分（圖5）。

⑦兩外切圓的一條外公切線與內公切線的交點到三切點的距離相等（圖6）。⑧兩同心圓中，內圓的任一切線夾在外圓內的弦總相等且都被切點平分（圖7）。

（六）全等形中：

①全等形中，一切對應線段（對應的邊、高、中線、外接圓半徑、內切圓半徑……）都相等。

（七）線段運算：

①對應相等線段的和相等；對應相等線段的差相等。

②對應相等線段乘以的相等倍數所得的積相等；對應相等線段除以的相等倍數所得的商相等。

③兩線段的長具有相同的數學解析式，或二解析式相減為零，或相除為1，則此二線段相等。

第四篇：初中幾何證明線段和角相等的方法

初中幾何證明線段和角相等的方法大全

一、證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對應邊相等。

2.同一三角形中等角對等邊。

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。

4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等。

5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。

6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。

7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。

8.過三角形一邊的中點且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。

9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。

10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。

11.兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等。12.兩圓的內（外）公切線的長相等。13.等于同一線段的兩條線段相等。

二、證明兩角相等

1.兩全等三角形的對應角相等。

2.同一三角形中等邊對等角。

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。

4.兩條平行線的同位角、內錯角或平行四邊形的對角相等。

5.同角（或等角）的余角（或補角）相等。

6.同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。

7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

8.相似三角形的對應角相等。

9.圓的內接四邊形的外角等于內對角。10.等于同一角的兩個角相等

第五篇：怎樣證明兩線段相等與兩角相等

怎樣證明兩線段相等與兩角相等

【重點解讀】

證明兩線段相等或兩角相等是中考命題中常見的一種題型，主要考查學生的分析問題能力、邏輯思維能力與推理能力，其綜合證明難度有所降低，但增加了探索的思維過程.解決此類問題的關鍵是：正確運用所學幾何概念、公理、定理、性質、判定，正確添加輔助線，進行幾何證明的敘述.⒈ 怎樣證明兩線段相等

證明兩線段相等的常用方法和涉及的定理、性質有： ⑴ 三角形①兩線段在同一三角形中，通常證明等角對等邊；

②證明三角形全等：全等三角形的對應邊相等，全等形包括平移型、旋轉型、翻折型；

③等腰三角形頂角的平分線或底邊上的高平分底邊；

④線段中垂線性質：線段垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等； ⑤角平分線性質：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等； ⑥過三角形一邊的中點平行于另一邊的直線必平分第三邊；

⑵ 證特殊四邊形①平行四邊形的對邊相等、對角線互相平分；

②矩形的對角線相等，菱形的四條邊都相等； ③等腰梯形兩腰相等，兩條對角線相等；

⑶ 圓①同圓或等圓的半徑相等；

②圓的軸對稱性（垂徑定理及其推論）：垂直于弦的直徑平分這條弦；

平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦；

③圓的旋轉不變性：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都相等；

④從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等； ⑷ 等量代換：若a=b，b=c，則a=c；

等式性質：若a=b，則a－c=b－c；若，則a=b.此外，也有通過計算證明兩線段相等，有些條件下可以利用面積法、相似線段成比 例的性質等證明線段相等.⒉ 怎樣證明兩角相等

證明兩角相等的方法和涉及的定理、性質有： ⑴ 同角（或等角）的余角、補角相等； ⑵ 證明兩直線平行，同位角、內錯角相等；

⑶ 到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上； ⑷ 全等三角形、相似三角形的對應角相等；

⑸ 同一三角形中，等邊對等角，等腰三角形三線合一；

⑹平行四邊形的對角相等；等腰梯形同一底上的兩個角相等； ⑺ 同圓中，同弧或等弧所對的圓周角、圓心角相等； ⑻ 弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角；

⑼ 從圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分這兩條切線的夾角； ⑽ 圓的內接四邊形的一個外角等于它的內對角； ⑾ 通過計算證明兩角相等； ⑿ 等量代換，等式性質.【典題精析】

例1已知：如圖，分別延長菱形ABCD的邊AB、AD到點E、F，使得BE＝DF，連結EC、FC．求證：EC＝FC．

總結：通過證三角形全等來證明兩線段（或兩角）相等是常用的方法，關鍵是根據已知條件及圖形找到對應的三角形和滿足全等的條件，圖形有的翻折全等，有的旋轉全等，有的平移全等，有的是三者的綜合形式，該問題是翻折型全等.例2已知：AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，連接AC，過點C作直線CD⊥AB于點D，E是AB上一點，直線CE與⊙O交于點F，連結AF，與直線CD交于點G.2求證：⑴∠ACD=∠F；⑵AC=AG·AF.總結：證明線段相等或角相等時，如果沒有三角形全等，我們常找與它們都相關或都有聯 系的線段或角作為橋梁，實現線段之間的轉化或角之間的轉化，從而證明它們的等量關系.直角三角形的母子三角形中相等的角、成比例的線段要熟悉.例3已知：如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，過點A的切線與CD的延長線交于E，且∠ADE=∠BDC.⑴求證：△ABC為等腰三角形；⑵若AE=6，BC=12，CD=5，求AD的長.例4已知：如圖，正△ABC的邊長為a, D為AC邊上的一個動點，延長AB至E使BE=CD，連結DE，交BC于點P.⑴ 求證：DP=PE；⑵ 若D為AC的中點，求BP的長.總結：添加輔助線是幾何證明和計算中常用的方法，通常有作平行線、作垂線、連結兩點、延長線段相交等，正確添加輔助線是解決問題的關鍵.思考：若將條件正△ABC改為等腰△ABC，AB=AC，結論DP=PE是否仍成立？

若將條件正△ABC改為等腰△ABC，CA=CB，結論DP=PE是否仍成立？ 例5已知：△ABC中，AD是高，CE是中線，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足，求證：⑴G是CE的中點；⑵∠B=2∠BCE.總結：直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性質有：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；等腰三角形三線合一的性質通常有以下變形形式：已知等腰和高、已知頂角平分線和高、已知等腰和底邊中線.特殊三角形與線段和角的相等、線段和角的倍半關系有著密切關系.例6如圖，⊙O的內接△ABC的外角∠ACE的平分線交⊙O于點D，DF⊥AC，垂足為F，DE⊥BC，垂足為E，給出下列4個結論：①CE=CF；②∠ACB=∠EDF；③DE是⊙O的切線； ④=；其中一定成立的是（）

A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④

總結；一般的，證明線段相等或角相等，可根據條件尋找三角形，證三角形全等；無三角形全等時，可找與之相關連的線段或角，探索等量關系；證明弧相等，可以轉化為證明弧所對的圓周角或圓心角相等，即轉化為證明角相等的問題.鞏固練習：

⒈ ⑴如圖，△ABC中，∠B的平分線與∠ACB的外角平分線相交于點D，則∠D與∠A的比是________ ⑵如圖，△ABC是直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點A逆時針旋轉后，能與△ACP＇重合.如果AP=3，那么PP＇的長為_______.⒉ ⑴如圖，∠B、∠C的平分線交于點P，過點P作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，則()A.EF=EB+FC B.EF>EB+FC C.EF

⑵在Rt△ABC中，AF是斜邊BC上的高線，且BD=DC=FC=1，則AC的長為（）

A.B.C.D.⑶在△ABC中，∠B=2∠C，則（）

A.2AB=AC B.2AB>AC C.2AB2CD C.AB<2CD D.不能確定 ⒊ 如圖，已知：平行四邊形ABCD中，E是CA延長線上的點，F是AC延長線上的點，且AE=CF 求證：⑴∠E=∠F；⑵BE=DF

⒋ 如圖，△ABC中，高BD、CE交于點F，且CG=AB，BF=AC，連接AF，求證：AG⊥AF

⒌ Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC上任意一點，DF⊥AB，DE⊥AC，垂足分別為F、E，M為BC中點，試判斷△MEF是什么形狀的三角形，并說明之.⒍ 如圖，AB是⊙O的直徑，DC切⊙O于C，AD⊥DC，垂足為D，CE⊥AB，垂足E 求證：CD=CE.⒎ 已知：如圖，AD是△ABC外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點D.延長DA交△ABC的外接圓于點F.⑴求證：FB=FC； ⑵若，求FB的長.⒏ 梯形ABCD中AB//CD，對角線AC、BD垂直相交于H，M是AD上的點，MH所

在直線交BC于N.在以上前提下，試將下列設定中的兩個作為題設，另一個作為結論 組成一個正確的命題，并證明這個命題.①AD=BC ②MN⊥BC ③AM=DM

怎樣證明關于線段的幾何等式

【重點解讀】

線段的幾何等式，主要涉及線段的倍分關系式、和差關系式、比例式、等積式等.證明線段倍分關系的定理和方法有：三角形和梯形的中位線定理、直角三角形斜邊上的中線性質、特殊四邊形的性質等；探索、證明線段的倍分關系式，一般轉化為證明線段的相等關系，采用的方法通常有折半法、加倍法、比例法.證明線段的和差關系式，一般思路將線段加長或截短，轉化為證明線段相等，利用等量代換或等式性質.證明線段比例式的一般思路是：把比例式中涉及的四條線段放入兩個三角形，如果這兩個三角形相似，且所給線段是對應線段，則問題得證；如果找不到兩個三角形，或者找到的三角形不相似，可考慮將四條線段中的某些線段進行等量代換，再按上述方法探求證明；如果明顯沒有等量線段可替換，可找中間比.證明線段等積式的一般思路：先看等積式是否滿足有關定理（射影定理、圓冪定理），如果滿足，則結論成立；如果不滿足，可把等積式化成比例式、或替換部分后化成比例式，再按比例式的證明方法證明.證明過程中常用的定理和性質有：比例性質、相似三角形的判定和性質、射影定理、圓冪定理、平行線分線段成比例定理.例1已知：E為平行四邊形ABCD中DC邊的延長線上的一點，且CE=DC，連結AE，分別交BC、BD于點F、G，連接AC交BD于O，連結OF，求證：AB=2OF.總結：線段之間的倍分關系式，常聯想用中位線定理.例2已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求證：⑴若B、C兩點分別在AE的異側，BD=DE+CE；

⑵若B、C兩點分別在AE的同側，其余條件不變，則BD與DE、CE的關系如何，證明你的猜想.例3如圖，△ABC內接于圓，D是弧BC的中點，AD交BC于E，求證：

例4已知：如圖，等腰△ABC的頂角為銳角，以腰AB為直徑的圓交BC于D，交AC于E，DF⊥AC，垂足為F 求證：

總結；解題時，要充分利用已知條件，已知條件中的特殊條件更要發掘其內涵，注意條件之間的內在聯系的運用.例5已知：BC為圓O的直徑，AD⊥BC垂足為D，過點B作弦BF交AD于點E交半圓O于點F，弦AC與BF交于點H，且A為弧BF的中點.求證：⑴AE=BE。⑵AH·BC=2AB·BE.例6如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為H，點P是

上一點（點P不與A、C兩點重合），連結PC、PD、PA、AD，點E在AP的延長線上，PD與AB交于點F，下列四個結論： ⑴ ⑵∠EPC=∠APD ⑶

⑷

正確的有_____.鞏固練習；

⒈ ⑴在邊長為6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E為AB的中點，F是AC上的一動點，則EF+BF的最小值為_________.⑵已知：O為△ABC內的一點，過點O作EF、GH、QP分別平行于BC、AB、CA，交AB、BC、CA于點P、E、H、Q、F、G，則

_______.⒉ 選擇：

⑴如圖，將△ADE繞正方形ABCD的頂點A順時針旋轉90°，得△ABF，連接EF交AB于H，則下列結論錯誤的是（）

A.AE⊥AF B.EF∶AF=

∶1 C.D.FB∶FC=HB∶EC 第⑴題 第⑵題 第⑶題

⑵如圖，正△ABC內接于⊙O，P是劣弧BC上任意一點，PA與BC交于E，有如下結論:

①PA=PB+PC ②PA·PE=PB·PC ③

其中正確結論的個數有()A.3個 B.2個 C.1個 D.0個 ⑶如圖，已知⊙BC交⊙與⊙

外切于點C，AB是兩圓的外公切線，切點為A、B，分別延長AC、于點D，下列結論，正確的有（）個 于點E，交⊙①AD為⊙的直徑 ②AD∥BE ③AC·BC=DC·CE ④AC·AE=BC·BD A.1 B.2 C.3 D.4 ⒊ 已知：如圖，設D、E分別是△ABC外接圓的弧AB、AC的中點，弦DE交AB于點F，交AC于點G, 求證：AF·AG=DF·EG..第3題 第4題

⒋ ⊙O的兩條割線AB、AC分別交⊙O于D、B、E、C，弦DF∥AC交BC圓于G.求證：⑴AC·FG=BC·CG;⑵若CF=AE，求證：△ABC是等腰三角形.⒌ ⑴如圖，已知直線AB過圓心O，交⊙O于A、B，直線AF交⊙O于F（不與B重

合），直線l交⊙O于C、D，交AB于E，且與AF垂直，垂足為G，連結AC、AD． 求證：①∠BAD＝∠CAG；②AC·AD＝AE·AF．

⑵在問題⑴中，直線l向下平行移動，與⊙O相切，其他條件不變． ①請你畫出變化后的圖形，并對照圖，標記字母；

②問題⑴中的兩個結論是否仍成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．

6．已知：AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于M，點E是

上一動點.⑴ 如圖1，若DE交AB于N，交AC于F，且DE=AC，連結AD、CE，求證：①∠CED=∠ADE ②

=NF·NE

=NF·NE的結論是否成立？若成⑵ 如圖2，若DE與AC的延長線交于F，且DE=AC，那么立請證明，若不成立請說明理由.圖1 圖2

.7．如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分別以AB、AC為邊在△ABC的外側作正△ABE和正△ACD，DE與AB交于F，求證：EF=FD。

8．如圖，以△ABC的邊AB、AC為斜邊向外作直角三角形ABD和ACE，且使∠ABD=∠ACE，M是BC的中點。證明：DM=EM。

9。如圖，△ABC中，∠C為直角，∠A=30°，分別以AB、AC為邊在△ABC的外側作正△ABE與正△ACD，DE與AB交于F。求證：EF=FD。

10．如圖，正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點，EC和DF相交于G，連接AG，求證：AG=AD。

11．已知：如圖2，△ABC中AB=AC，D為BC上一點，過D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延長線于F，求證：AE=AF。

具體應用方法分類

一、利用全等三角形的對應邊相等證明

例

1、如圖1，已知C在BD上，△ABC與△CDE都是等邊三角形，BE、AD分別與AC、CE交于P、Q。求證：CP=CQ。

二、利用等腰三角形定理及逆定理證明

例

2、如圖2，已知：在△ABC中，AB=AC，在AB、AC上的線段AD=AE。求證：FB=FC，FE=FD。

三、利用等腰三角形“三線合一”定理證明

例

3、如圖3，已知△ABC為Rt△，D為斜邊AB的中點，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F。

求證：AE=CE，BF=CF。

四、利用角平分線上的點到這個角兩邊等距離證明

例

4、如圖4，已知：△ABC中，AB=AC，AD是底邊BC上的中線，∠B、∠C的平分線交于I，求證：I到AB、BC、CA的距離相等。

五、利用垂直平分線上的點到該線段兩端等距離證明

例

5、如圖5，已知：△ABC中，∠A=90°，D為△ABC內一點，且AB=AC=BD，∠ABD=30° 求證：AD=DC

六、利用兩三角形面積相等，等底必等高，等高必等底證明 例

6、求證：等腰三角形兩腰上的高相等。

七、利用等量公理：證明它們等于同一線段或分別等于兩條相等線段

例

7、如圖7，銳角△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，延長AB到E，BE=BD，連結ED并延長交AC于F。求證：AF=FC。

八、利用中心對稱證明

例

8、如圖8，已知AT為△ABC的內角平分線，M為BC中點，ME∥AT，交AB、AC或其延長線于D、E，求證：BD=CE。

九、利用勾股定理證明

例

9、如圖9，已知：M為△ABC內一點，MD、ME、MF分別和BC、CA、AB垂直，BF=BD，CD=CE。求證：AE=AF。

十、利用比例證明

例

10、如圖10，已知△ABC中，中線BE與角平分線AD交于點K，BL∥KC，交AC的延長線于點L，求證：LC=AB。

十一、利用圓冪定理證明

例

11、如圖11，已知：PA是圓O的切線，A為切點，PBD是圓O的割線，弦DE∥AP，PE的延長線交圓O于C，CB的延長線交PA于F。求證：PF=FA。

十二、利用平行四邊形性質證明

例

12、如圖12，已知Rt△ABC銳角C的平分線交AB于E，交高線AD于O，過O引BC的平行線交AB于F，求證：AE=BF。

十三、利用三角知識證明

例

13、如圖13，已知四邊形ABCD內接于⊙O，且AC、BD垂直相交于G，又E、F分別是AB、CD的中點。求證：OF=GE。