第一篇：數學證明方法

數學證明方法

摘要：數學證明是數學學習中非常重要的一部分，數學證明有核實作用，理解作用，發現作用和思維訓練作用，數學證明常用的方法有綜合法、分析法、反證法、數學歸納法等等。

關鍵詞：數學證明；意義；方法

數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學，它的應用非常廣泛，是學習現代科學技術必不可少的基礎學科。學習數學，就離不開數學證明，這是由數學證明在數學發展中所起的作用決定的。什么是數學證明呢？許多人認為數學證明是根據相應的公理，法則等來說明結論是正確的一種活動。數學證明是數學學習中非常重要的一部分，在不同的情境中，數學證明有不同方法。

數學證明的方法

（一）綜合法和分析法

綜合法是從命題的條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到要證的結論的方法。分析法則是從要證的結論出發，一步一步的搜索下去，最后達到命題的已知條件的方法。

1?cos?sin?

例1 求證sin?=1?cos?

sin2?sin?

方法1： 左邊 =sin?(1?cos?)=1?cos?=右邊

所以得證。

sin?(1?cos?)sin?sin?(1?cos?)

2方法2：右邊=1?cos?=(1?cos?)(1?cos?)=1?cos? sin?(1?cos?)1?cos?

sin2?= =sin?=左邊

所以得證。

2sin?2sincos2??1?cos????2sincos22=tan2=方法3：sin?=2cos?

2sin?=1?cos?

所以得證。

1?cos?sin?

方法4：要證sin?=1?cos?只需要證(1?cos?)(1?cos?)?sin?sin?

22即要證1?cos??sin?，顯然，這個命題成立，故得證。

上述例題的四種解法中，前三種是用綜合法解的，而第四種解法是用分析法解的。在證明的過程中，我們用到了同角三角函數的關系，半角公式等等。所以，通過數學證明我們不僅理解了這道命題的正確性，還知道了為什么正確，同時還增進了對同角三角函數的關系，半角公式等等的理解。

從例1我們可以看出，綜合法的特點是從“已知”逐步推向“未知”，其逐步推理，實際是要尋找它的必要條件。分析法的特點是從“需知”逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是要尋找它的充分條件。

綜合法和分析法各有其優缺點。從尋求解題思路來看，綜合法是由已知的尋找未知的，即直接由條件證明結論。但是由條件容易導出許多其它的結論，因而不容易有效。分析法由未知的推向已知的，即由結論慢慢推出所需要的條件，這樣比較容易解決問題。就表述證明的過程而論，綜合法的形式比較簡潔，條理清晰，分析法由于倒過來敘述，因而比較繁瑣，文辭冗長。這也就是說，分析法有利于思考解決問題，綜合法宜于表達問題。因此在解題時，可以把分析法和綜合法結合起來使用，先以分析法為主，尋找解題思路，再用綜合法有條理的表述

證明過程。

(二)反證法

通過證明論題的否定命題不真實，從而肯定論題真實性的方法叫做反證法。

反證法的一般步驟如下：

假設命題的結論不成立，即結論的否定命題成立。

從否定的結論出發，逐層進行推理，得出與公理或前述的定理，定義或題設條件等自相矛盾的結論，即說證明結論否定不成立。

據排中律，最后肯定原命題成立。

反證法有歸謬法與窮舉法兩種。在應用反證法時如果與原命題結論相矛盾的方面只有一種可能情況，只要把這種情況推翻，就能肯定結論成立，這種反證法叫做歸謬法。如果與原命題相矛盾的方面不止一種情況，就必須把矛盾方面的所有可能的情況一一駁倒，才能肯定結論成立，這種反正法叫做窮舉法。

例 2求證2是無理數。p2p

2qq2證明：假設是有理數，且為既約分數，（p>0,q>0），則=2，p2?2q2，由此可見p是偶數，記為2r。同理又可得q也是偶數，這p與q是既約分數相矛盾。從而2是無理數。在這道題目中，2只有兩種可能，是無理數或者不是無理數。所以，命題的否定方面只有一種可能情況。因而，我們可以假即設其為有理數，然后推出矛盾證得該題。

例 3在四邊形ABCD中，?BAD??BCD。AC和BD相交于點O，已知OB=OD，求證：四邊形ABCD是平行四邊形。證明：如圖，假設四邊形ABCD不是平行

四邊形，則由于OB=OD，所以必有OA?OC，即OAOC。

若OA

如果OA?OC，同理可證，這也是不可能的。

所以，四邊形ABCD是平行四邊形。

在該題中，命題的否定方面有兩種可能OAOC。所以，在利用反證法證明時要把這兩種否定情況都駁倒才可以。

通過這道題的證明，可以增進人們對平行四邊形特征的理解，使自己的思維更加嚴謹，縝密。

反證法是一種重要的證明方法，不但在初等數學中有很多的應用，就是在高等數學中也有著很重要的應用，數學中的一些重要的結論，從最基本的性質，定理到某些難度較大的世界難題，往往是用反證法得到的。

在證明該題的過程中，用到了勾股定理，全等三角形的知識。所以，通過該題，也可以使人們加強對勾股定理以及三角形全等方面的知識的理解。

需要指出的是，同一法和反正法的適用范圍是不同的，同一法的局限性較大，通常只適用于符合同一原理的命題，反證法則普遍適用，對于能夠用同一法證明的命題一般都能用反證法證明。

（三）數學歸納法

我們采用記號p(n)表示一個與自然數n有關的命題，把它們都寫出來 p(1)，p(2),p(3)??

事實上，如果滿足下面兩個條件：

（1）p(1)成立（即當n?1時命題成立）

（2）只要假設p(k)成立（歸納假設），由此就可得p(k?1)也成立（k是自然數）就能保證這一大串（無數多個）命題p(1)，p(2),p(3)??都成立。

我們把此叫做數學歸納法原理。

根據數學歸納法原理，我們在證明時可以相應的按照以下兩步進行：

（1）驗證p(1)是成立的。

（2）假設p(k)成立，證明出p(k?1)也成立。

由（1），（2）可得對于任意的自然數n，命題p(n)都成立。

這是數學歸納法最基本的形式，通常稱作第一數學歸納法。

例5 證明1+3+5+??+(2n?1)=n 2

證明：（1）當n=1時，左邊=1，右邊=1=1等式成立。2

2（2）假設當n=k（k?1）時等式成立，即1+3+5+??+(2k?1)=k

則n=k+1時1+3+5+??+(2n?1)=1+3+5+??+(2k?1)+[2(k?1)-1] =1+3+5+??+(2k?1)+(2k?1)

2=k+(2k?1)=(k?1)2

所以，當n=k+1時，等式也成立。

由（1），（2）可知，對于任意自然數n，等式都成立。所以得證。總之，一個數學命題往往可以有不同的思路來思考證明，思路不同，所產生的影響不同，證明方法也不同，對于不同的數學命題的證明也可以有許多不同的思路，不同的方法。

參考文獻

[1] 李士锜PME：數學教育心理學華東師范大學出版社

[2] 蔣文蔚楊延齡數學歸納法北京師范大學出版社

[3] 侯敏義數學思維與數學方法論東北師范大學出版社

第二篇：數學證明方法

數學證明方法 直接證明法

從正面證明命題真實性的證明方法叫做直接證法．凡是用演繹法證明命題真實性的都是直接證法．它是中學數學中常用的證明方法．綜合法、分析法、分析綜合法、比較法。

（1）綜合法：從已知條件入手，運用已經學過的公理、定義、定理等進行一步步的推理，一直推到結論為止．這種思維方法叫綜合法．這種方法是“由因導果”，即從已知到可知，從可知到未知的思維過程．

（2）分析法：從問題的結論入手，運用已經學過的公理、定義、定理，一步步尋覓使結論成立的條件，一直“追”到這個結論成立的條件就是已知條件為止．可見分析法是“執果求因”的思維過程，它與綜合法的思維過程相反．分析法屬于邏輯方法范疇，它的嚴謹體現在分析過程步步可逆。

分析法的步驟為未知?需知?已知。在操作中“要證”、“只要證”、“即要證”這些詞語也是不可缺少的。分析法的書寫形式一般為“因為......，為了證明......，只需證明......，即......，因此，只需證明......，因為......成立，所以‘......（結論）’成立”。（3）分析綜合法：把分析法和綜合法“聯合”起來，從問題的兩頭向中間“靠攏”，從而發現問題的突破口．這種思維方法叫做分析綜合法．對于比較復雜的題目，往往采用這種思維方法．在證明的過程中，往往分析法、綜合法常常是不能分離的。分析綜合法充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉化的辯證統一關系。分析的終點是綜合的起點，綜合的終點又成為進一步分析的起點。

（4）比較法 間接證明法

不是直接證明論題的真實性，而是通過證明論題的否定論題的不真實，或者證明它的等效命題成立，從而肯定論題真實性的證明方法，叫做間接證明法．反證法、同一法、歸納法（不完全歸納法、完全歸納法、數學歸納法）、類比法、換元法、放縮法、判別式法、函數法（1）反證法：反證法就是從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。實施的具體步驟是：

第一步，反設：作出與求證結論相反的假設（即結論的否定成立）；

第二步，歸謬：從否定結論出發，逐層進行推理，得出與公理或前述的定理、定義或題設條件，或與臨時假設等自相矛盾（即說明結論不能否定）；

第三步，結論：根據排中律，說明反設不成立，從而肯定原命題成立。（2）同一法：兩個互逆或互否的命題不一定是等效的，只有當一個命題的條件和結論都唯一存在，且它們所指的概念是同一概念時，該命題與其逆命題才等效，這個原理叫做同一原理．對符合同一原理的命題，當直接證明有困難時可以改證與它的等效的逆命題，這種證明方法叫做同一法．

1當命題的條件與結論所含事項都唯一存在時，先作出符合命題結論的所有圖形；同一法的步驟：○2證明所作圖形符合已知條件；3根據唯一性，4最后肯定○○確定所作圖形或所作圖形與已知圖形重合；○原命題成立．

（3）不完全歸納法：從一個或幾個（但不是全部）特殊情況作出一般性結論的歸納推理。不完全歸納法又叫做普通歸納法。

（4）完全歸納法：是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結論的推理方法，又叫做枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結論是可靠的.通常在事物包括的特殊情況數不多時，采用完全歸納法。

（5）數學歸納法

第三篇：幾何證明方法(初中數學)

初中數學幾何證明題技巧，歸類

一、證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對應邊相等。

2.同一三角形中等角對等邊。

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。（三線合一）

4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等。

5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。

6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。

7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。

*8.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。

*10.垂徑定理

二、證明兩個角相等

1.兩全等三角形的對應角相等。

2.同一三角形中等邊對等角。

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。

4.兩條平行線的同位角、內錯角或平行四邊形的對角相等。

5.同角（或等角）的余角（或補角）相等。

6.相似三角形的對應角相等。

7.圓的內接四邊形的外角等于內對角。

三、證明兩條直線互相垂直

1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。

2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角(直角三角形

3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。

4.鄰補角的平分線互相垂直。

5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。

7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的對角線互相垂直。

*10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦。垂徑定理

*11.利用半圓上的圓周角是直角。

四、證明兩直線平行

1.垂直于同一直線的各直線平行。

2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行。

3.平行四邊形的對邊平行。

4.三角形 梯形的中位線平行于第三邊，底邊。

6.平行于同一直線的兩直線平行。

五、證明線段的和差倍分

1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。

3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。

4.取長線段的中點，再證其一半等于短線段。

5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質等）。

六、證明比例式或等積式

1.利用相似三角形對應線段成比例。

2.利用內外角平分線定理。

3.平行線截線段成比例。

4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理。

一個圖,你看著哪好像差根線,你就用鉛筆描一下,分析一下有了這根線哪線角相等,哪相角互補之類的.不可以只盯著原圖看.另外,看已知條件里,把它們標注在圖里,看人家給這個條件,你可以知道什么,這個條件有什么用,可以由此推出什么.從求證出發你就要想，這道題要求證這個，就要有.....這些條件，再看已知，有了這些條件了，噢，還差這個條件。然后就找條件來證明這個還差的條件，然后全部都搭配齊全了，就證出了題目了記住，做題要倒推走把已知的條件從筆在圖上表示出來，方便分析而且你要牢牢記住一些定理，還有一些特殊角，特殊形狀等等他們的關系當一些題實在證不出來時，你要注意了，可能要添輔助線，比如剛才我說的還差什么條件，你就可以畫一個線段，平行線什么的來補充條件，你下子你就一目了然了，不過有些很難的看出的輔助線就要靠你的做題的作戰經驗了，你還要認真做題。把這些牢牢記住，在記住老師教你們的公里定理些，你就已經成功大半了。

有心學習就不怕沒希望提高！課上要稍微做些筆記，特別是自己有疑問的地方，課后的練習不一定非得全部做完，浪費寶貴的時間資源，但一定要及時。對于自己比較容易犯錯的地方或記憶不牢的建議用小小的隨身便攜紙記錄下來，想看的時候隨時都可以看。對于比較典型的而自己又沒掌握的題型則把它抄錄在專用本子上，詳細的寫出解題步驟，還可以從中挖掘出許多的知識點，然后再找些近似題目自己獨自解答，看看差距在哪里，并想辦法解決。久而久之當本子厚了以后復習，也就基本可以不用看書僅僅看本子就行了，達到事半功倍的效果，希望你早日獲得快樂學習方法！

第四篇：數學證明題證明方法

數學證明題證明方法（轉）

2011-04-22 21:36:39|分類：|標簽： |字號大中小 訂閱

2011/04/2

2從命題的題設出發，經過逐步推理，來判斷命題的結論是否正確的過程，叫做證明。

要證明一個命題是真命題，就是證明凡符合題設的所有情況，都能得出結論。要證明一個命題是假命題，只需舉出一個反例說明命題不能成立。證明一個命題，一般步驟如下：

（1）按照題意畫出圖形；

（2）分清命題的條件的結論，結合徒刑，在“已知”一項中寫出題設，在“求證”一項中寫出結論；

（3）在“證明”一項中，寫出全部推理過程。

一、直接證明

1、綜合法

（1）定義：一般地，利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法.（2）綜合法的特點：綜合法又叫“順推證法”或“由因導果法”.它是從已知條件和某些學過的定義、公理、公式、定理等出發，通過推導得出結論.2、分析法

（1）定義：一般地，從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明的方法叫做分析法.（2）分析法的特點：分析法又叫“逆推證法”或“執果索因法”.它是要證明結論成立，逐步尋求推證過程中，使每一步成立的充分條件，直到最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.二、間接證明

反證法

1、定義：一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.2、反證法的特點：

反證法是間接證明的一種基本方法.它是先假設要證的命題不成立，即結論的反面成立，在已知條件和“假設”這個新條件下，通過邏輯推理，得出與定義、公理、定理、已知條件、臨時假設等相矛盾的結論，從而判定結論的反面不能成立，即證明了命題的結論一定是正確的.３、反證法的優點：

對原結論否定的假定的提出，相當于增加了一個已知條件.４反證法主要適用于以下兩種情形：

（1）要證的結論與條件之間的聯系不明顯，直接由條件推出結論的線索不夠清晰；

（2）如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而從反面進行證明，只要研究一種或很少的幾種情形

第五篇：7數學證明的幾種方法

2012 屆 高 三 數 學(理 科)第 一 輪 復習——NO.7

數學證明中的幾種常用方法

【本課目標】

會用演繹推理進行簡單的推理,會用分析法、綜合法、反證法和數學歸納法證明簡單的命題。【預習導引】

1、演繹推理是由

到的推理。“三段；綜合法是從

論”推理的一般模式包括

出發，以已知的為依據，逐步，直到推出要證明的結論為止。而分析法是從問題的出發，追溯

導致結論成立的條件，即

。反證法的步驟為

。數學歸納法是證明命題。

P(n)(n?n0,n0,n?N?)的一種方法，其證明步驟為

2、某同學準備用反證法證明如下一個問題：“已知a,b,c是互不相等的非零實數，求證：三個方程ax?2bx?c?0，bx?2cx?a?0，cx?2ax?b?0至少有一個方程有兩個相異實根”，那么反設是

3、函數f(x)?。

22的最大值_________________________.xyxy

??a??，則常數a?______.2x?yx?2yx?2y2x?y。

4、若?x,y?(0,??)，恒有

5、在平面上，若n條直線將平面分成的區域最多為f(n)塊，則f(n?1)?f(n)?

6、已知數集A??a1,a2,?an??1?a1?a2??an,n?2?具有性質P；對任意的i,j?1?i?j?n?，aiaj與ai兩數中至少有一個屬于A.則數集 ?1,3,4?與aj

?1,2,3,6?具有性質P的集合為________________________.【三基探討】

【典型練講】

(a?b)2(a?b)2a?b例

1、已知a?b?

0，試指出，的大小關系，并給出證8a8b

2明。

例

2、已知二次函數f(x)?ax?bx?c，（1）若f(?1)?0，試判斷函數f(x)零點個數。

（2）若?x1,x2?R，且x1?x2，f(x1)?f(x2)，求證：?x0?(x1,x2)，使2f(x0)?

1[f(1x?)2成立f()].2x

例

3、給定實數m，且m?1，設f(x)?x?11，x?R且x?，mx?1m

（1）求證：經過這個函數圖象上任意兩個不同點的直線不平行于x軸；

（2）若an?1?f(an)，問是否存實數m，使得數列{an}成為等差數列？若存在，求an；若不存在，請說明理由。

例

4、已知數列{an}滿足a1?（2）求證: |an?1?an|?

11，an?1?，（1）指出數列{an}的單調性，并證明； 1?an212n?1()65

【學后反思】