第一篇：[數學論文]數學證明的意義與方法

[數學論文]數學證明的意義與方法

摘要：數學證明是數學學習中非常重要的一部分，數學證明有核實作用，理解作用，發現作用和思維訓練作用，數學證明常用的方法有綜合法與分析法，直接法與間接法，數學歸納法等等，隨著數學的發展，還出現了計算機證明。

關鍵詞：數學證明；意義；方法

數學證明是數學學習中非常重要的一部分，在不同的情境中，數學證明有不同的意義與方法。1 數學證明的意義

1.1什么是數學證明

數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學，它的應用非常廣泛，是學習現代科學技術必不可少的基礎學科。學習數學，就離不開數學證明，這是由數學證明在數學發展中所起的作用決定的。什么是數學證明呢？許多人認為數學證明是根據相應的公理，法則等來說明結論是正確的一種活動。比如證明三角形內角和是180，就是通過相應的公理和法則來證明的。我認為這個觀點并不完整，它只是說出了數學證明的表面，我認為它是通過演繹推理的方式來證出的。也就是說，數學證明是根據相應的原理，法則，公式等，通過數學上的演繹推理來說明結論是正確的一種活動。

因為數學是一門演繹的科學，由于數學的本質及其組織以及構造方式的特點，決定了數學證明只能是一種演繹證明。由演繹證明的特點，又決定了數學證明具有很重要的意義。

1.2數學證明的意義

數學證明在數學學習過程中非常重要，在于數學證明的意義和作用，數學證明有下面四個主要的意義和作用：

1.2.1 核實作用——通過數學證明，可以核實一個命題的真假。

數學命題有真有假，在許多場合中，命題的真實性不是顯然的，這時，要判斷真假就需要借助于一些方法：觀察，實驗，數學證明等等。比如“兩點之間線段最短”我們可以通過觀察來看出它是真命題，通過實驗的方法我們可以發現“三角形的內角和是180”這也是真命題。但是，這些方法并不嚴謹，因而沒有說服力。而且，有許多命題通過觀察和實驗是無法論證的，比如“2是無理數”通過觀察和實驗就無法判斷其真假。而數學證明通過引用一些真命題和特定的題設條件，經過嚴格的邏輯推理方法進行的，具有無可辯駁的說服力，可以核實一個命題的真假。

1.2.2 理解作用——數學證明有助于增進理解。

數學證明有助于增進理解包括增進對所證命題的理解以及在證明該命題過程中所用到的相關的數學知識的理解。同時，通過數學證明還可以使人們尋找新舊知識之間的聯系，使人們獲得的知識系統化。

證明一個命題的真假時，需要靈活的運用相應的公理，定理以及其它的條件。因而，通過數學 00

證明，在核實某個命題真假的同時，也增加了對證明過程中所涉及到的知識的理解。在證明某個命題的時候要用到另外的命題，那么，這些命題之間的一定有內在的聯系，尋找它們之間聯系的橋梁就是數學證明。同時，通過不斷的數學證明，尋找到新舊知識之間的聯系，使人們所學的知識有機的結合起來，從而趨于系統化。比如在證明梯形的中位線定理的時候，我們用到了三角形全等的判定定理（或推論），兩直線平行內錯角相等的定理以及三角形中位線定理等等。通過靈活的運用，可以加深對這些知識的理解。而且，在證明了梯形的中位線定理以后，我們可以發現：梯形的中位線定理和三角形的中位線定理有許多的相似之處，都存在平行和一半的關系。這樣，就可以將這兩個知識聯系起來，使自己的知識趨于系統化。

1.2.3 發現作用——數學證明有助于人們獲得新的體驗，發現新的結論，新的知識。

在數學史上，有許多發現就是從數學證明開始的。瑞士數學家歐拉在解決“哥尼斯堡七橋問題”的時候發現這個幾何問題無法用以前的幾何學的方法解決，因為按照人們所熟知的幾何理論，都是與長短、大小這些量有關，而七橋問題與量無關。歐拉通過研究證明了這是個不可能問題，并且提出了一個新的幾何學分支——拓撲學。由此可見數學證明的對于人們發現新的東西是有很大的幫助的。

再比如，非歐幾何的發現就是源于對歐氏幾何第五公設的證明。人們覺得第五公設“若兩條直線與第三條直線相交，而且在同一側所構成的兩個同旁內角之和小于兩個直角，則該兩直線沿這一側延長后必定相交。”比其它四條公設累贅多了，因而嘗試從別的公理把它推出來。但是，所有的努力都以失敗告終，人們不是證明時不知覺的用了與第五公設有關的定理，就是提出了與第五公設邏輯等價的新定理。不過，這些錯誤與失敗卻為后來的成功鋪了路。1830年左右，匈牙利數學家鮑耶與俄羅斯數學家羅巴切夫斯基在前人的基礎上分別發現了非歐幾何的存在。

1.2.4 思維訓練作用——數學證明有助于良好思維能力的培養。

證明數學命題的過程可以訓練和培養學生的邏輯思維能力以及數學的交流能力，使人們形成嚴謹的治學態度。數學證明是一種演繹證明，它的每一步都力求準確，這對人們良好的思維能力的培養是有很大的作用的。數學證明的方法

一個數學命題往往可以有不同的思路來思考證明，思路不同，所產生的影響不同，證明方法也不同，對于不同的數學命題的證明也可以有許多不同的思路，不同的方法。數學證明中有許多不同的證明方法。下面是一些常見的方法。

2.1綜合法和分析法

綜合法是從命題的條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到要證的結論的方法。分析法則是從要證的結論出發，一步一步的搜索下去，最后達到命題的已知條件的方法。

2.2直接法和間接法

直接法是從命題的條件出發，根據已知的定義，公理，定理等等直接推斷結論的真實性的方法。凡是用演繹法證明命題真實性的證明方法都是直接法。如例1的四種方法就是直接法。有些命題用直接法證明比較困難，有的在特定的場合甚至找不到直接證明的根據，這時可證明與原論

題相矛盾的判斷是假的，或考證它的等效命題，結果也能間接地達到目的。這種不是從正面證明論題真實性的方法叫做間接法。

間接法有反證法和同一法兩種。

2.2.1反證法

通過證明論題的否定命題不真實，從而肯定論題真實性的方法叫做反證法。

反證法的一般步驟如下：

假設命題的結論不成立，即結論的否定命題成立。

從否定的結論出發，逐層進行推理，得出與公理或前述的定理，定義或題設條件等自相矛盾的結論，即說證明結論否定不成立。

據排中律，最后肯定原命題成立。

反證法有歸謬法與窮舉法兩種。在應用反證法時如果與原命題結論相矛盾的方面只有一種可能情況，只要把這種情況推翻，就能肯定結論成立，這種反證法叫做歸謬法。如果與原命題相矛盾的方面不止一種情況，就必須把矛盾方面的所有可能的情況一一駁倒，才能肯定結論成立，這種反正法叫做窮舉法。

2.2.2 同一法

當一個命題的條件和結論都唯一存在，它們所指的概念是同一概念是，這個命題與它的逆命題等效，這個原理叫做同一原理。

對于符合同一原理的命題當直接證明有困難時，可以改證和它等效的逆命題，這種證明方法叫做同一法。

同一法常用于證明符合同一原理的幾何命題。

例 4如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。（勾股定理逆定理）

已知 如圖△ABC中，AB?AC?BC。

求證：△ABC是直角三角形

證明：分別以AB，AC為直角邊，作直角三角形A'B'C'，使得222

AB?A'B',AC?A'C'

222則根據勾股定理有A'B'?A'C'?B'C'，由于A'B'

AB?A'B',AC?A'C'，所以AB2?AC2?BC2=B'C'2，即得BC?B'C'

所以△ABC?△A'B'C'

因為△A'B'C'是直角三角形，所以△ABC也是直角三角形。

在證明該題的過程中，用到了勾股定理，全等三角形的知識。所以，通過該題，也可以使人們加強對勾股定理以及三角形全等方面的知識的理解。

需要指出的是，同一法和反正法的適用范圍是不同的，同一法的局限性較大，通常只適用于符合同一原理的命題，反證法則普遍適用，對于能夠用同一法證明的命題一般都能用反證法證明。注②

2.3數學歸納法

我們采用記號p(n)表示一個與自然數n有關的命題，把它們都寫出來 p(1)，p(2),p(3)…… 事實上，如果滿足下面兩個條件：

（1）p(1)成立（即當n?1時命題成立）

（2）只要假設p(k)成立（歸納假設），由此就可得p(k?1)也成立（k是自然數）就能保證這一大串（無數多個）命題p(1)，p(2),p(3)……都成立。

我們把此叫做數學歸納法原理。

根據數學歸納法原理，我們在證明時可以相應的按照以下兩步進行：

（1）驗證p(1)是成立的。

（2）假設p(k)成立，證明出p(k?1)也成立。

由（1），（2）可得對于任意的自然數n，命題p(n)都成立。

這是數學歸納法最基本的形式，通常稱作第一數學歸納法。

第二篇：數學論文——勾股定理的證明方法探究

勾股定理的證明方法探究

勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方等于斜邊的平方。數學公式中常寫作：a2 + b2=c2（直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c）。

那么勾股定理是怎么證明的呢？方法很多很多。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止于此，有資料表明，關于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。

在這數百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因為證明者身份的特殊而非常著名。

在國外，尤其在西方，勾股定理通常被稱為畢達哥拉斯定理．這是由于，他們認為最早發現直角三角形具有“勾2+股2=弦2（即如上所說：a2 + b2=c2）”這一性質并且最先給出嚴格證明的是古希臘的數學家畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前580－公元前500）．

實際上，在更早期的人類活動中，人們就已經認識到這一定理的某些特性．除我國在公元前1000多年前發現勾股定理外，據說古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法則來確定直角．但是，這一傳說引起過許多數學史家的懷疑．比如，美國的數學史家M·克萊因教授曾經指出：“我們也不知道埃及人是否認識到畢達哥拉斯定理．我們知道他們有拉繩人，但所傳他們在繩上打結，把全長分成長度為3、4、5的三段，然后用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得到證實．”不過，考古學家們發現了幾塊大約完成于公元前2000年左右的古巴比倫的泥版書，據專家們考證，其中一塊上面刻有如下問題：“一根長度為30個單位的棍子直立在墻上，當其上端滑下6個單位時，請問其下端離開墻角有多遠？”這是一個三邊為3:4:5三角形的特殊例子；專家們還發現，在另一塊版板上面刻著一個奇特的數表，表中共刻有四列十五行數字，這是一個勾股數表：最右邊一列為從1到15的序號，而左邊三列則分別是股、勾、弦的數值，一共記載著15組勾股數．這說明，勾股定理實際上早已開始在人們的知識土地中“萌芽”了。

因為勾股定理的證明方法太多，不可能全數敘述。所以，我們就來了解一下較簡潔、易懂的幾種方法。

方法一：課本內的方法

如圖所示，S大正方形=S三角形×4+S小正方形。即(a+b)2= 4(1/2ab)+c2，化簡后為：a2 + b2=c2。

方法二：

以a,b為直角邊（b＞a），以c為斜邊作4個全等的直

角三角形，則每個直角三角形的面積為1/2ab。把這4個三角形拼成如圖所示的正方形。

∵Rt△DAH≌Rt△ABE

∴∠HDA=∠EAB

∵∠HDA+∠HAD=90°

∴∠HAD+∠EAB=90°

∵ABCD是個邊長為c的正方形，面積為c

2又∵∠HEF+∠BEA=180°

∴∠HEF=90°

∴EFGH是一個邊長為b-a的正方形，面積為（b-a）2

∴4×1/2ab+（b-a）2=c2

∴a2 + b2=c2

方法三： C

以a、b為直角邊，以c為斜邊做兩個全等的直角三角

形，則每個直角三角形的面積等于1/2ab。把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A,E,B三點在一條直線上。

∵RtEAD≌Rt△CBE

∴∠ADE=∠BEC

∵∠AED+∠ADE=90°

∴∠AED+∠BEC=90°

∴∠DEC=180°—90°=90°

∴△DEC是一個等腰直角三角形，面積為1/2 c

2又∵∠DAE=90°，∠EBC=90°

∴AD∥BC

∴ABCD是個直角梯形，面積為1/2（a+b）2

∴1/2（a+b）2=2×1/2ab+1/2 c2

∴a2 + b2=c2

方法四：

作三個變長分別為a,b,c的正方形，把它們拼成如圖所示的形狀，是H,C,B三點在一條直線上，連接BF,CD.過C作CL⊥DE，交AB于點M，交DE于點L。∵AF=AC , AB=AD

∠FAB=∠GAD

∴△FAB≌△GAD

∵△FAB≌△GAD

∵△FAB的面積為1/2a2.△GAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半。

∴矩形ADLM的面積為a2，同理可得，矩形MLEB的面積為b2

∵矩形ADLM+矩形MLEB的面積=矩形ADEB的面積

∴a2 + b2=c2

如上列舉了的4種方法，都較為簡潔、通俗的證明了勾股定理。勾股定理的證明方法仍然在不斷增加，探究也在不斷深入。

第三篇：數學論文 數學與建筑

數學與建筑

身為一名建筑學的學生，雖只學習了幾個月，對建筑的認識也是淺薄之淺薄，但還是忍不住從建筑的角度去看問題，分析生活中的例子，也發現了許多微妙而有趣的聯系。在此，闡述下本人對建筑與數學的聯系的認識。建筑的藝術因數學的科學而美麗，而數學的科學因建筑而生輝。其中有趣的聯系著實讓本人有些吃驚與著迷。時間倉促，多有不足，愚昧之處，還請諒解。

幾千年來，數學一直是用于設計和建造的一個很寶貴的工具。它一直是建筑設計思想的一種來源，也是建筑師用來得以排除建筑上的試錯技術的手段。下面我們列出一部分長期以來用在建筑上的數學概念：如，角錐、棱柱、黃金矩形、視錯覺、立方體、多面體、網格球頂、三角形、畢達哥拉斯定理、正方形、矩形、平行四邊形、圓，半圓、球，半球、多邊形、角、對稱、拋物線、懸鏈線、雙曲拋物面、比例、弧、重心、螺線、螺旋線所、橢圓、鑲嵌圖案、透視等等。而這些概念在建筑中隨處可見，運用得如此之深之廣泛，讓人驚嘆。

影響一個結構的設計的有它的周圍環境、材料的可得性和類型，以及建筑師所能依靠的想像力，智慧，還有數學能力。而回望過去，歷史上不乏很多體現數學光芒的例子，下面列舉一些，而這些也只是其中很少很少的一部分。①為建造埃及、墨西哥和尤卡坦的金字塔而計算石塊的大小、形狀、數量和排列的工作，依靠的是有關直角三角形、正方形、畢達哥拉斯定理、體積和估計的知識。②秘魯古跡馬丘比丘的設計的規則性，沒有幾何計劃是不可能的。③希臘雅典的巴臺農神廟的構造依靠的是利用黃金矩形、視錯覺、精密測量和將標準尺寸的柱子切割成呈精確規格（永遠使直徑成為高度的 1／3）的比例知識。④埃皮扎夫羅斯古劇場的布局和位置的幾何精確性經過專門計算，以提高音響效果，并使觀眾的視域達到最大。⑤圓、半圓、半球和拱頂的創新用法成了羅馬建筑師引進并加以完善的主要數學思想。⑥拜占庭時期的建筑師將正方形、圓、立方體和半球的概念與拱頂漂亮地結合在一起，就像君士坦丁堡的圣索菲亞教堂中所用的那樣。⑦哥特式教堂的建筑師用數學確定重心，以構成一個可調整的幾何設計，使拱頂匯于一點，將石結構的巨大重量引回地面，而不是橫向引出。⑧文藝復興時期的石結構顯示出對稱方面的精心設計，它是依靠明和暗、實和虛來實現的。時光飛逝，隨著數學的發展，以及新建筑材料的發現，人們用一些新的數學思想來使這些材料的潛力達到最大。利用品種繁多的現成建筑材料──石、木、磚、混凝土、鐵、鋼、玻璃、合成材料（如塑料）、鋼筋混凝土、預應力混凝土，建筑師們實際上已經能設計任何形狀。建筑得到了突飛猛進的發展，其中與數學無疑有著千絲萬縷的聯系。而數學的發展顯而易見的為建筑領域注入了新的血液。我們現在已經目睹了各種的構造；巴克明斯特·富勒的網格結構、保羅·索萊里的模數制設計、拋物線飛機吊架、模仿游牧民帳篷的立體合成結構、支撐東京奧林匹克體育館的懸鏈線纜索，甚至還有帶著橢圓形圓頂天花板的八邊形住宅。這些設計均是數學在建筑中的運用，使建筑得到了極大的發展。其中一個引人注目的例子便是舊金山圣母瑪利亞大教堂所用的雙曲拋物面設計．該設計出自P·A·魯安、J·李以及羅馬的工程顧問P·L·奈維、馬薩諸塞州工程學院的P·比拉斯奇等人．在剪彩儀式上，當人們問到對于該教堂米開朗基羅會怎么想時，奈維回答道：“他不可能想到它，這個設計是來自那時尚未證明的幾何理論．”建筑物的頂部是一個2135立方英尺的雙曲拋物面體的頂閣，樓面的上方有200英尺上升的圍墻，由四根巨大的鋼筋混凝土塔支撐著，該塔延伸到94英尺的地下．每座塔重達九百萬磅．墻由1680間鋼筋混凝土結構的庫房組成，含有128種不同的規格．正方形基礎的大小為 255×255平方英尺． 一個雙曲拋物面是拋物面(一條拋物線繞它的對稱軸旋轉)和一條三維的雙曲線的結合。如此復雜的結構，沒有數學理論的支撐是不可能實現的。

建筑是一個進展中的領域，建筑師們研究、改進、提高、在利用過去的思想，同時創造新思想。歸根到底，建筑師有想象任何設計的自由，只要存在著支持所設計結構的數學和材料。

在21世紀中將會設計出什么類型的結構和居住空間呢？什么對象能充填空間呢？如果設計特點包括預制、適應性和擴展性，則平面和空間鑲嵌的思想將起重要的作用。能鑲嵌平面的任何形狀像三角形、正方形、六邊形和其他多邊形可以改造得適用于空間居住單元。另一方面，建筑師可能要考慮填塞空間的立體，最傳統的是立方體和直平行六面體。有些模型直可能用菱形十二面體或戴頭八面體。

建筑師現在有眾多的選擇，因而他們今天在確定哪些立體在一起效果最好，如何把空間充填得使設計和美達到最優，怎樣創造出舒服的開居住面積等方面受到了挑戰。而這一切的可行性都受制于數學和物理的規律，數學和物理既是工具，又是量尺。

不僅在形體方面，在功能方面，數學也為建筑設計帶來的活潑的生命力。SMG是一個和全球最著名的建筑工作室Foster+Partners有過許多合作的設計團隊，他們用數學知識幫助建筑師們解決了很多難題，比如位于倫敦金融區、有“小黃瓜”之稱的Gherkin，堪稱幾何學知識在建筑上成功應用的典范。180米高的它，在一片摩天大廈中脫穎而出，引人注目的特點有三：圓形而非方形；中間部分凸出，逐漸向頂部收縮，呈現為錐形；螺旋形表面外觀。這些很容易被看作是一種美學追求，但其實自有其重要應用價值。Gherkin的碩大身軀容易使得氣流在底部產生旋風，這樣周邊場所就會讓人呆得不舒服。為解決這個問題，SMG建議建筑師用基于湍流計算的計算機模型來模擬建筑的動力學特征。最終他們確定做成圓柱形，并且把最凸部分設置在第16樓，使底部產生的風力最小。即使沒有大風，站在一座摩天樓的旁邊，也要頓感壓迫和威懾，不過Gherkin的中凸造型讓你在下面時仰頭也看不到上面，所以無從感嘆渺小，更不必抱怨擋住了陽光和視線。這幢大樓每一層都被“挖”去了6個三角形的楔形，楔形部分深深嵌入建筑內部，從上到下形成一個光井式幾何構造，如此能夠最大化地利用空氣流通和得到最充分的自然采光，最終使得能量消耗比同規格建筑少50%。

綜上，我們可以得出，數學與建筑的聯系不僅體現在數學幾何對于建筑外觀的設計方面，數學及物理力學對于建筑設計的可實施性方面，還體現在數學對于建筑設計的功能方面所扮演的重要角色。數學在建筑設計中得到了充分的運用，使得建筑設計更趨于邏輯，規律，洋溢著有次序的美感，更彰顯了其理性的魅力，同時，也輔助了建筑設計，使得建筑設計更加的理性，更加的符合人類的居住所需，可以說數學在人類的建筑史上扮演著無可替代的重要角色，而在未來，我們有理由相信，數學將用它的智慧在建筑史創造新的神話和奇跡。

Fl

2009-12-24。

第四篇：數學證明方法

數學證明方法 直接證明法

從正面證明命題真實性的證明方法叫做直接證法．凡是用演繹法證明命題真實性的都是直接證法．它是中學數學中常用的證明方法．綜合法、分析法、分析綜合法、比較法。

（1）綜合法：從已知條件入手，運用已經學過的公理、定義、定理等進行一步步的推理，一直推到結論為止．這種思維方法叫綜合法．這種方法是“由因導果”，即從已知到可知，從可知到未知的思維過程．

（2）分析法：從問題的結論入手，運用已經學過的公理、定義、定理，一步步尋覓使結論成立的條件，一直“追”到這個結論成立的條件就是已知條件為止．可見分析法是“執果求因”的思維過程，它與綜合法的思維過程相反．分析法屬于邏輯方法范疇，它的嚴謹體現在分析過程步步可逆。

分析法的步驟為未知?需知?已知。在操作中“要證”、“只要證”、“即要證”這些詞語也是不可缺少的。分析法的書寫形式一般為“因為......，為了證明......，只需證明......，即......，因此，只需證明......，因為......成立，所以‘......（結論）’成立”。（3）分析綜合法：把分析法和綜合法“聯合”起來，從問題的兩頭向中間“靠攏”，從而發現問題的突破口．這種思維方法叫做分析綜合法．對于比較復雜的題目，往往采用這種思維方法．在證明的過程中，往往分析法、綜合法常常是不能分離的。分析綜合法充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉化的辯證統一關系。分析的終點是綜合的起點，綜合的終點又成為進一步分析的起點。

（4）比較法 間接證明法

不是直接證明論題的真實性，而是通過證明論題的否定論題的不真實，或者證明它的等效命題成立，從而肯定論題真實性的證明方法，叫做間接證明法．反證法、同一法、歸納法（不完全歸納法、完全歸納法、數學歸納法）、類比法、換元法、放縮法、判別式法、函數法（1）反證法：反證法就是從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。實施的具體步驟是：

第一步，反設：作出與求證結論相反的假設（即結論的否定成立）；

第二步，歸謬：從否定結論出發，逐層進行推理，得出與公理或前述的定理、定義或題設條件，或與臨時假設等自相矛盾（即說明結論不能否定）；

第三步，結論：根據排中律，說明反設不成立，從而肯定原命題成立。（2）同一法：兩個互逆或互否的命題不一定是等效的，只有當一個命題的條件和結論都唯一存在，且它們所指的概念是同一概念時，該命題與其逆命題才等效，這個原理叫做同一原理．對符合同一原理的命題，當直接證明有困難時可以改證與它的等效的逆命題，這種證明方法叫做同一法．

1當命題的條件與結論所含事項都唯一存在時，先作出符合命題結論的所有圖形；同一法的步驟：○2證明所作圖形符合已知條件；3根據唯一性，4最后肯定○○確定所作圖形或所作圖形與已知圖形重合；○原命題成立．

（3）不完全歸納法：從一個或幾個（但不是全部）特殊情況作出一般性結論的歸納推理。不完全歸納法又叫做普通歸納法。

（4）完全歸納法：是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結論的推理方法，又叫做枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結論是可靠的.通常在事物包括的特殊情況數不多時，采用完全歸納法。

（5）數學歸納法

第五篇：數學證明方法

數學證明方法

摘要：數學證明是數學學習中非常重要的一部分，數學證明有核實作用，理解作用，發現作用和思維訓練作用，數學證明常用的方法有綜合法、分析法、反證法、數學歸納法等等。

關鍵詞：數學證明；意義；方法

數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學，它的應用非常廣泛，是學習現代科學技術必不可少的基礎學科。學習數學，就離不開數學證明，這是由數學證明在數學發展中所起的作用決定的。什么是數學證明呢？許多人認為數學證明是根據相應的公理，法則等來說明結論是正確的一種活動。數學證明是數學學習中非常重要的一部分，在不同的情境中，數學證明有不同方法。

數學證明的方法

（一）綜合法和分析法

綜合法是從命題的條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到要證的結論的方法。分析法則是從要證的結論出發，一步一步的搜索下去，最后達到命題的已知條件的方法。

1?cos?sin?

例1 求證sin?=1?cos?

sin2?sin?

方法1： 左邊 =sin?(1?cos?)=1?cos?=右邊

所以得證。

sin?(1?cos?)sin?sin?(1?cos?)

2方法2：右邊=1?cos?=(1?cos?)(1?cos?)=1?cos? sin?(1?cos?)1?cos?

sin2?= =sin?=左邊

所以得證。

2sin?2sincos2??1?cos????2sincos22=tan2=方法3：sin?=2cos?

2sin?=1?cos?

所以得證。

1?cos?sin?

方法4：要證sin?=1?cos?只需要證(1?cos?)(1?cos?)?sin?sin?

22即要證1?cos??sin?，顯然，這個命題成立，故得證。

上述例題的四種解法中，前三種是用綜合法解的，而第四種解法是用分析法解的。在證明的過程中，我們用到了同角三角函數的關系，半角公式等等。所以，通過數學證明我們不僅理解了這道命題的正確性，還知道了為什么正確，同時還增進了對同角三角函數的關系，半角公式等等的理解。

從例1我們可以看出，綜合法的特點是從“已知”逐步推向“未知”，其逐步推理，實際是要尋找它的必要條件。分析法的特點是從“需知”逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是要尋找它的充分條件。

綜合法和分析法各有其優缺點。從尋求解題思路來看，綜合法是由已知的尋找未知的，即直接由條件證明結論。但是由條件容易導出許多其它的結論，因而不容易有效。分析法由未知的推向已知的，即由結論慢慢推出所需要的條件，這樣比較容易解決問題。就表述證明的過程而論，綜合法的形式比較簡潔，條理清晰，分析法由于倒過來敘述，因而比較繁瑣，文辭冗長。這也就是說，分析法有利于思考解決問題，綜合法宜于表達問題。因此在解題時，可以把分析法和綜合法結合起來使用，先以分析法為主，尋找解題思路，再用綜合法有條理的表述

證明過程。

(二)反證法

通過證明論題的否定命題不真實，從而肯定論題真實性的方法叫做反證法。

反證法的一般步驟如下：

假設命題的結論不成立，即結論的否定命題成立。

從否定的結論出發，逐層進行推理，得出與公理或前述的定理，定義或題設條件等自相矛盾的結論，即說證明結論否定不成立。

據排中律，最后肯定原命題成立。

反證法有歸謬法與窮舉法兩種。在應用反證法時如果與原命題結論相矛盾的方面只有一種可能情況，只要把這種情況推翻，就能肯定結論成立，這種反證法叫做歸謬法。如果與原命題相矛盾的方面不止一種情況，就必須把矛盾方面的所有可能的情況一一駁倒，才能肯定結論成立，這種反正法叫做窮舉法。

例 2求證2是無理數。p2p

2qq2證明：假設是有理數，且為既約分數，（p>0,q>0），則=2，p2?2q2，由此可見p是偶數，記為2r。同理又可得q也是偶數，這p與q是既約分數相矛盾。從而2是無理數。在這道題目中，2只有兩種可能，是無理數或者不是無理數。所以，命題的否定方面只有一種可能情況。因而，我們可以假即設其為有理數，然后推出矛盾證得該題。

例 3在四邊形ABCD中，?BAD??BCD。AC和BD相交于點O，已知OB=OD，求證：四邊形ABCD是平行四邊形。證明：如圖，假設四邊形ABCD不是平行

四邊形，則由于OB=OD，所以必有OA?OC，即OAOC。

若OA

如果OA?OC，同理可證，這也是不可能的。

所以，四邊形ABCD是平行四邊形。

在該題中，命題的否定方面有兩種可能OAOC。所以，在利用反證法證明時要把這兩種否定情況都駁倒才可以。

通過這道題的證明，可以增進人們對平行四邊形特征的理解，使自己的思維更加嚴謹，縝密。

反證法是一種重要的證明方法，不但在初等數學中有很多的應用，就是在高等數學中也有著很重要的應用，數學中的一些重要的結論，從最基本的性質，定理到某些難度較大的世界難題，往往是用反證法得到的。

在證明該題的過程中，用到了勾股定理，全等三角形的知識。所以，通過該題，也可以使人們加強對勾股定理以及三角形全等方面的知識的理解。

需要指出的是，同一法和反正法的適用范圍是不同的，同一法的局限性較大，通常只適用于符合同一原理的命題，反證法則普遍適用，對于能夠用同一法證明的命題一般都能用反證法證明。

（三）數學歸納法

我們采用記號p(n)表示一個與自然數n有關的命題，把它們都寫出來 p(1)，p(2),p(3)??

事實上，如果滿足下面兩個條件：

（1）p(1)成立（即當n?1時命題成立）

（2）只要假設p(k)成立（歸納假設），由此就可得p(k?1)也成立（k是自然數）就能保證這一大串（無數多個）命題p(1)，p(2),p(3)??都成立。

我們把此叫做數學歸納法原理。

根據數學歸納法原理，我們在證明時可以相應的按照以下兩步進行：

（1）驗證p(1)是成立的。

（2）假設p(k)成立，證明出p(k?1)也成立。

由（1），（2）可得對于任意的自然數n，命題p(n)都成立。

這是數學歸納法最基本的形式，通常稱作第一數學歸納法。

例5 證明1+3+5+??+(2n?1)=n 2

證明：（1）當n=1時，左邊=1，右邊=1=1等式成立。2

2（2）假設當n=k（k?1）時等式成立，即1+3+5+??+(2k?1)=k

則n=k+1時1+3+5+??+(2n?1)=1+3+5+??+(2k?1)+[2(k?1)-1] =1+3+5+??+(2k?1)+(2k?1)

2=k+(2k?1)=(k?1)2

所以，當n=k+1時，等式也成立。

由（1），（2）可知，對于任意自然數n，等式都成立。所以得證。總之，一個數學命題往往可以有不同的思路來思考證明，思路不同，所產生的影響不同，證明方法也不同，對于不同的數學命題的證明也可以有許多不同的思路，不同的方法。

參考文獻

[1] 李士锜PME：數學教育心理學華東師范大學出版社

[2] 蔣文蔚楊延齡數學歸納法北京師范大學出版社

[3] 侯敏義數學思維與數學方法論東北師范大學出版社