第一篇：數(shù)學證明的意義

證明

假如現(xiàn)在有這么一個題目：“已知三角形內(nèi)角和是180°，你能根據(jù)已學知識證明這個結論嗎？”于是，人們就有了疑惑：“我們觀察任意一個三角形，量出它的內(nèi)角，都能得出它的內(nèi)角和為180°，為什么還要證明這個結論呢？”

通過觀察和試驗等方法可以尋找規(guī)律，但是由于誤差等因素，所產(chǎn)生的“結論”也未必正確。例如，讓一個班的學生每人任意畫一個三角形，再量出它的每個內(nèi)角，計算三個內(nèi)角的和，得到的結果未必全是180°。

而且僅僅通過觀察和試驗等就下結論有時也缺乏說服力，例如，即使不考慮誤差等因素，當上面的所有結果都是180°時，人們還是會有疑惑：“不同形狀的三角形有無數(shù)多個，我們畫出并驗證的只是其中有限多個，其余的三角形的內(nèi)角和是多少呢？能對所有三角形進行驗證嗎？”事實上，不管我們經(jīng)歷多長時間，畫出多少個三角形，觀察，試驗的對象也是有限多個。因此，要確認“三角形內(nèi)角和等于180°”必須進行推理論證——從道理上得出“無論三角形的具體形狀如何，它的內(nèi)角和都一定等于180°”。

所以，一個命題是否正確，需要經(jīng)過理由充足，使人信服的推理論證才能得出結論，這樣的推理過程就叫“證明”。觀察和試驗等是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的重要途徑，而證明則是確認規(guī)律的必要步驟。

第二篇：[數(shù)學論文]數(shù)學證明的意義與方法

[數(shù)學論文]數(shù)學證明的意義與方法

摘要：數(shù)學證明是數(shù)學學習中非常重要的一部分，數(shù)學證明有核實作用，理解作用，發(fā)現(xiàn)作用和思維訓練作用，數(shù)學證明常用的方法有綜合法與分析法，直接法與間接法，數(shù)學歸納法等等，隨著數(shù)學的發(fā)展，還出現(xiàn)了計算機證明。

關鍵詞：數(shù)學證明；意義；方法

數(shù)學證明是數(shù)學學習中非常重要的一部分，在不同的情境中，數(shù)學證明有不同的意義與方法。1 數(shù)學證明的意義

1.1什么是數(shù)學證明

數(shù)學是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關系的科學，它的應用非常廣泛，是學習現(xiàn)代科學技術必不可少的基礎學科。學習數(shù)學，就離不開數(shù)學證明，這是由數(shù)學證明在數(shù)學發(fā)展中所起的作用決定的。什么是數(shù)學證明呢？許多人認為數(shù)學證明是根據(jù)相應的公理，法則等來說明結論是正確的一種活動。比如證明三角形內(nèi)角和是180，就是通過相應的公理和法則來證明的。我認為這個觀點并不完整，它只是說出了數(shù)學證明的表面，我認為它是通過演繹推理的方式來證出的。也就是說，數(shù)學證明是根據(jù)相應的原理，法則，公式等，通過數(shù)學上的演繹推理來說明結論是正確的一種活動。

因為數(shù)學是一門演繹的科學，由于數(shù)學的本質(zhì)及其組織以及構造方式的特點，決定了數(shù)學證明只能是一種演繹證明。由演繹證明的特點，又決定了數(shù)學證明具有很重要的意義。

1.2數(shù)學證明的意義

數(shù)學證明在數(shù)學學習過程中非常重要，在于數(shù)學證明的意義和作用，數(shù)學證明有下面四個主要的意義和作用：

1.2.1 核實作用——通過數(shù)學證明，可以核實一個命題的真假。

數(shù)學命題有真有假，在許多場合中，命題的真實性不是顯然的，這時，要判斷真假就需要借助于一些方法：觀察，實驗，數(shù)學證明等等。比如“兩點之間線段最短”我們可以通過觀察來看出它是真命題，通過實驗的方法我們可以發(fā)現(xiàn)“三角形的內(nèi)角和是180”這也是真命題。但是，這些方法并不嚴謹，因而沒有說服力。而且，有許多命題通過觀察和實驗是無法論證的，比如“2是無理數(shù)”通過觀察和實驗就無法判斷其真假。而數(shù)學證明通過引用一些真命題和特定的題設條件，經(jīng)過嚴格的邏輯推理方法進行的，具有無可辯駁的說服力，可以核實一個命題的真假。

1.2.2 理解作用——數(shù)學證明有助于增進理解。

數(shù)學證明有助于增進理解包括增進對所證命題的理解以及在證明該命題過程中所用到的相關的數(shù)學知識的理解。同時，通過數(shù)學證明還可以使人們尋找新舊知識之間的聯(lián)系，使人們獲得的知識系統(tǒng)化。

證明一個命題的真假時，需要靈活的運用相應的公理，定理以及其它的條件。因而，通過數(shù)學 00

證明，在核實某個命題真假的同時，也增加了對證明過程中所涉及到的知識的理解。在證明某個命題的時候要用到另外的命題，那么，這些命題之間的一定有內(nèi)在的聯(lián)系，尋找它們之間聯(lián)系的橋梁就是數(shù)學證明。同時，通過不斷的數(shù)學證明，尋找到新舊知識之間的聯(lián)系，使人們所學的知識有機的結合起來，從而趨于系統(tǒng)化。比如在證明梯形的中位線定理的時候，我們用到了三角形全等的判定定理（或推論），兩直線平行內(nèi)錯角相等的定理以及三角形中位線定理等等。通過靈活的運用，可以加深對這些知識的理解。而且，在證明了梯形的中位線定理以后，我們可以發(fā)現(xiàn)：梯形的中位線定理和三角形的中位線定理有許多的相似之處，都存在平行和一半的關系。這樣，就可以將這兩個知識聯(lián)系起來，使自己的知識趨于系統(tǒng)化。

1.2.3 發(fā)現(xiàn)作用——數(shù)學證明有助于人們獲得新的體驗，發(fā)現(xiàn)新的結論，新的知識。

在數(shù)學史上，有許多發(fā)現(xiàn)就是從數(shù)學證明開始的。瑞士數(shù)學家歐拉在解決“哥尼斯堡七橋問題”的時候發(fā)現(xiàn)這個幾何問題無法用以前的幾何學的方法解決，因為按照人們所熟知的幾何理論，都是與長短、大小這些量有關，而七橋問題與量無關。歐拉通過研究證明了這是個不可能問題，并且提出了一個新的幾何學分支——拓撲學。由此可見數(shù)學證明的對于人們發(fā)現(xiàn)新的東西是有很大的幫助的。

再比如，非歐幾何的發(fā)現(xiàn)就是源于對歐氏幾何第五公設的證明。人們覺得第五公設“若兩條直線與第三條直線相交，而且在同一側所構成的兩個同旁內(nèi)角之和小于兩個直角，則該兩直線沿這一側延長后必定相交。”比其它四條公設累贅多了，因而嘗試從別的公理把它推出來。但是，所有的努力都以失敗告終，人們不是證明時不知覺的用了與第五公設有關的定理，就是提出了與第五公設邏輯等價的新定理。不過，這些錯誤與失敗卻為后來的成功鋪了路。1830年左右，匈牙利數(shù)學家鮑耶與俄羅斯數(shù)學家羅巴切夫斯基在前人的基礎上分別發(fā)現(xiàn)了非歐幾何的存在。

1.2.4 思維訓練作用——數(shù)學證明有助于良好思維能力的培養(yǎng)。

證明數(shù)學命題的過程可以訓練和培養(yǎng)學生的邏輯思維能力以及數(shù)學的交流能力，使人們形成嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度。數(shù)學證明是一種演繹證明，它的每一步都力求準確，這對人們良好的思維能力的培養(yǎng)是有很大的作用的。數(shù)學證明的方法

一個數(shù)學命題往往可以有不同的思路來思考證明，思路不同，所產(chǎn)生的影響不同，證明方法也不同，對于不同的數(shù)學命題的證明也可以有許多不同的思路，不同的方法。數(shù)學證明中有許多不同的證明方法。下面是一些常見的方法。

2.1綜合法和分析法

綜合法是從命題的條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到要證的結論的方法。分析法則是從要證的結論出發(fā)，一步一步的搜索下去，最后達到命題的已知條件的方法。

2.2直接法和間接法

直接法是從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已知的定義，公理，定理等等直接推斷結論的真實性的方法。凡是用演繹法證明命題真實性的證明方法都是直接法。如例1的四種方法就是直接法。有些命題用直接法證明比較困難，有的在特定的場合甚至找不到直接證明的根據(jù)，這時可證明與原論

題相矛盾的判斷是假的，或考證它的等效命題，結果也能間接地達到目的。這種不是從正面證明論題真實性的方法叫做間接法。

間接法有反證法和同一法兩種。

2.2.1反證法

通過證明論題的否定命題不真實，從而肯定論題真實性的方法叫做反證法。

反證法的一般步驟如下：

假設命題的結論不成立，即結論的否定命題成立。

從否定的結論出發(fā)，逐層進行推理，得出與公理或前述的定理，定義或題設條件等自相矛盾的結論，即說證明結論否定不成立。

據(jù)排中律，最后肯定原命題成立。

反證法有歸謬法與窮舉法兩種。在應用反證法時如果與原命題結論相矛盾的方面只有一種可能情況，只要把這種情況推翻，就能肯定結論成立，這種反證法叫做歸謬法。如果與原命題相矛盾的方面不止一種情況，就必須把矛盾方面的所有可能的情況一一駁倒，才能肯定結論成立，這種反正法叫做窮舉法。

2.2.2 同一法

當一個命題的條件和結論都唯一存在，它們所指的概念是同一概念是，這個命題與它的逆命題等效，這個原理叫做同一原理。

對于符合同一原理的命題當直接證明有困難時，可以改證和它等效的逆命題，這種證明方法叫做同一法。

同一法常用于證明符合同一原理的幾何命題。

例 4如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。（勾股定理逆定理）

已知 如圖△ABC中，AB?AC?BC。

求證：△ABC是直角三角形

證明：分別以AB，AC為直角邊，作直角三角形A'B'C'，使得222

AB?A'B',AC?A'C'

222則根據(jù)勾股定理有A'B'?A'C'?B'C'，由于A'B'

AB?A'B',AC?A'C'，所以AB2?AC2?BC2=B'C'2，即得BC?B'C'

所以△ABC?△A'B'C'

因為△A'B'C'是直角三角形，所以△ABC也是直角三角形。

在證明該題的過程中，用到了勾股定理，全等三角形的知識。所以，通過該題，也可以使人們加強對勾股定理以及三角形全等方面的知識的理解。

需要指出的是，同一法和反正法的適用范圍是不同的，同一法的局限性較大，通常只適用于符合同一原理的命題，反證法則普遍適用，對于能夠用同一法證明的命題一般都能用反證法證明。注②

2.3數(shù)學歸納法

我們采用記號p(n)表示一個與自然數(shù)n有關的命題，把它們都寫出來 p(1)，p(2),p(3)…… 事實上，如果滿足下面兩個條件：

（1）p(1)成立（即當n?1時命題成立）

（2）只要假設p(k)成立（歸納假設），由此就可得p(k?1)也成立（k是自然數(shù)）就能保證這一大串（無數(shù)多個）命題p(1)，p(2),p(3)……都成立。

我們把此叫做數(shù)學歸納法原理。

根據(jù)數(shù)學歸納法原理，我們在證明時可以相應的按照以下兩步進行：

（1）驗證p(1)是成立的。

（2）假設p(k)成立，證明出p(k?1)也成立。

由（1），（2）可得對于任意的自然數(shù)n，命題p(n)都成立。

這是數(shù)學歸納法最基本的形式，通常稱作第一數(shù)學歸納法。

第三篇：學習數(shù)學的意義

學習數(shù)學的意義

數(shù)學是以量和量變?yōu)檠芯繉ο蟮目茖W，是內(nèi)容具體、形式抽象、理論嚴謹、結論確定、應用廣泛、方法精巧和地位特殊的一門基礎學科。數(shù)學教育作為教育的組成部分，基礎的數(shù)學教育在學校教育中占著非常特殊的地位，數(shù)學教育又是終身教育的重要方面，它是公民進一步深造的基礎，是終身發(fā)展的需要，在發(fā)展和完善人的教育活動中、在形成人們認識世界的態(tài)度和思想方法方面、在推動社會進步和發(fā)展的進程中起著重要的作用。

數(shù)學教育的目的，從根本上來說，不在于或主要不在于培養(yǎng)未來的數(shù)學家，而在于培育人的數(shù)學思想和解決問題的方法，開拓頭腦中的數(shù)學空間，進而促進人的全面發(fā)展和提高。具體而言，義務教育階段的基礎數(shù)學教育“強調(diào)從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數(shù)學理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀念等多方面得到進步與發(fā)展。”而且，《新課程標準》明確指出：學生的數(shù)學學習內(nèi)容應當是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的。也就是說一定要讓學生學習生活中的數(shù)學，促使數(shù)學學習更有意義。

數(shù)學教育的功能，是指在提高學生的素質(zhì)，為其步入社會、終身學習和發(fā)展方面所能產(chǎn)生的作用。從社會對數(shù)學本質(zhì)的認識以及數(shù)學在整個社會科學文化系統(tǒng)中的地位，可以從以下三個方面來看學習數(shù)學的現(xiàn)實意義。

（一）、學習數(shù)學的社會意義——廣泛的應用性

數(shù)學應用的極其廣泛性也是它的特點之一。正如已故著名數(shù)學家華羅庚教授曾指出的，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學無處不在，凡是出現(xiàn)量的地方就少不了用數(shù)學，研究量的關系，量的變化，量的變化關系，量的關系的變化等現(xiàn)象都少不了數(shù)學。數(shù)學貫穿到一切科學部門的深處，成為它們的得力助手與工具。

現(xiàn)在隨便翻開報紙，“數(shù)字地球” “隨機變化”、“線性規(guī)劃” 等名詞赫然在目，什么“股市走勢圖”、“價格分析表”更是隨處可見。還有，譬如某個權威部門說：“今年前六個月的居民款比去年同期增速下降1個百分點。”這條消息是什么意思?與去年相比，居民存款數(shù)究竟發(fā)生了什么變化?是不是居民開始不存款了?又如，天氣預報中說“今天降水概率是50%氣是否意味著如果上午不下雨的話，下午一定下雨?又如“信息高速公路”、“數(shù)字信息”等新名詞不斷出現(xiàn)，那么“信息”究竟是什么?它和數(shù)字如何聯(lián)系起來，又如何來度量信息的多少等等。其實數(shù)學就在我們身邊，每一個生活在地球上的人越來越離不開數(shù)學。

數(shù)學的廣泛滲透與應用，是它一貫的特點。數(shù)學的應用突破了傳統(tǒng)的范圍而向人類幾乎所有的知識領域滲透；純粹數(shù)學幾乎所有的分支都獲得了應用其中最抽象的一些分支也參與了滲透；現(xiàn)代數(shù)學對生產(chǎn)技術的應用變得越來越直接；現(xiàn)代數(shù)學在向外滲透的過程中，產(chǎn)生了一些相對獨立的應用學科。這些學科以數(shù)學方法與數(shù)學理論為基礎，譬如；數(shù)理統(tǒng)計、運籌學、控制論等等。我們用一些實際例子來說明它的廣泛應用。

現(xiàn)代的科學技術發(fā)展十分迅速，他們有一個共同的特點，就是都有大量的數(shù)據(jù)問題。比如，發(fā)射一顆探測宇宙奧秘的衛(wèi)星，從衛(wèi)星世紀開始到發(fā)射、回收為止，科學家和工程技術人員、工人就要對衛(wèi)星的總體、部件進行全面的設計和生產(chǎn)，要對選用的火箭進行設計和生產(chǎn)，這里面就有許許多多的數(shù)據(jù)要進行準確的計算。發(fā)射和回收的時候，又有關于發(fā)射角度、軌道、遙控、回收下落角度等等需要進行精確的計算。又如，在高能加速器里進行高能物理試驗，研究具有很高能量的基本粒子的性質(zhì)、它們之間的相互作用和轉化規(guī)律，這里面也有大量的數(shù)據(jù)計算問題。計算問題可以數(shù)是現(xiàn)代社會各個領域普遍存在的共同問題，工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通運輸、醫(yī)療衛(wèi)生、文化教育等等，那一行那一業(yè)都有許多數(shù)據(jù)需要計算，通過數(shù)據(jù)分析，以便掌握事物發(fā)展的規(guī)律。研究計算問題的解決方法和有關數(shù)學理論問題的一門學科就叫做計算數(shù)學。計算數(shù)學屬于應用數(shù)學的范疇，它主要研究有關的數(shù)學和邏輯問題怎樣由計算機加以有效解決

數(shù)學知識的產(chǎn)生不外乎實際的需要和數(shù)學內(nèi)部的需要，所以現(xiàn)在對教材作了一系列的變革。新教材中的內(nèi)容也和實際生活聯(lián)系密切。學生通過數(shù)與計算、空間與圖形、量與計量、統(tǒng)計與概率、方程與關系，運籌與優(yōu)化各個領域的學習，來觀察、發(fā)現(xiàn)、了解現(xiàn)實世界，從而使學生充分認識到數(shù)學是從人類實踐活動中產(chǎn)生和發(fā)展起來的，同時又廣泛地應用于實踐。高中階段所學的知識大都是來源于實際生活，許多的數(shù)學知識都有具體直接的應用。如每一章的序言，都編排了一個現(xiàn)實中的應用問題，引入該章的知識內(nèi)容，以突出知識的實際背景。如在第三章《數(shù)列》以趣味話題：“國王對國際象棋棋盤發(fā)明者獎勵的麥粒數(shù)”的計算作為每一章的開頭序言，激發(fā)學習欲望，增加教材內(nèi)容的趣味性。新教材中提高了應用題的比例，而且突出了內(nèi)容產(chǎn)生于現(xiàn)實生活的需要。如在《一元一次方程》這一章中，以“你今年幾歲了”的豐富的實例引出建立一元一次方程這個數(shù)學模型的必要性，然后讓學生經(jīng)歷建立方程模型解決豐富多彩、貼近學生生活的實際問題（如打折銷售，教育儲蓄，“希望工程”義演等），讓學生感到數(shù)學真正地成為了我們的身邊事，充分實踐和體驗這些知識是如何使用的，在其基礎上讓學生感受和體驗數(shù)學的應用價值。

其實，數(shù)學從它的誕生之日起，就是人類認識世界改造世界的有力工具。現(xiàn)代科學技術的迅猛發(fā)展，極大地推進了應用數(shù)學與數(shù)學應用的發(fā)展，使得數(shù)學幾乎滲透到每一個領域及人們生活的方方面面。自然科學的深入發(fā)展越來越依賴于數(shù)學，而社會科學，人文科學也越來越多地借助于數(shù)學知識及其思想方法。數(shù)學作為科學的語言，作為推動科學向前發(fā)展的重要工具，在人類發(fā)展史上具有不可替代的作用，并將在未來的社會發(fā)展中發(fā)揮更大的作用。

因此，培養(yǎng)和提高中學生的數(shù)學應用意識，使學生掌握提出、分析和解決帶有實際意義的或在相關學科，生產(chǎn)、生活中的數(shù)學問題，準確而靈活地運用數(shù)學語言研究和表述問題，是中學數(shù)學教育教學的迫切要求，在中學數(shù)學教學過程的始終都應注重學生應用意識的培養(yǎng)，加大應用問題的教學力度，提高實踐探索能力。

第四篇：數(shù)學意義和作用

數(shù)學的意義：

“我教你們數(shù)學，不是想讓你們將來都成為數(shù)學家。數(shù)學，并不僅僅是讓你們學會算題、解方程，這些東西在考試結束后就會成為你們記憶中的盲點。重要的是，在學習數(shù)學過程中培養(yǎng)起來的能力和對世界的感受，這才是伴隨你們一生的財富。這也是你們必須學好這門課的原因。”

《數(shù)學課程標準》闡明了數(shù)學的意義與作用。

數(shù)學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具，能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)、進行計算、推理和證明，數(shù)學模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象。

數(shù)學為其他科學提供了語言、思想和方法，是一切重大技術發(fā)展的基礎；數(shù)學在提高人的推理能力、抽象能力和創(chuàng)造力等方面有著獨特的作用；數(shù)學是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分。

數(shù)學幫助人們探求客觀世界的規(guī)律，為人們交流信息提供了一種有效、簡捷的手段。數(shù)學是人們在對客觀世界逐步抽象概括，形成方法和理論，并進行應用的過程。

數(shù)學是抽象性很強的學科，數(shù)學的抽象性是來源于現(xiàn)實生活中的許多具體問題，為了更好地理解和認識具體問題而抽象出數(shù)學模型。

課程標準把數(shù)學當做解決問題的一種工具，可以通過數(shù)學去認識其他學科。

二、數(shù)學意義：科學的立場

(一)時代的特征

(二)美妙的樂章

(三)從皇后到伙伴

三、數(shù)學意義：教育的立場

(一)數(shù)學素質(zhì)——人的基本素質(zhì)

(二)數(shù)學——促進人的發(fā)展

第五篇：數(shù)學證明方法

數(shù)學證明方法 直接證明法

從正面證明命題真實性的證明方法叫做直接證法．凡是用演繹法證明命題真實性的都是直接證法．它是中學數(shù)學中常用的證明方法．綜合法、分析法、分析綜合法、比較法。

（1）綜合法：從已知條件入手，運用已經(jīng)學過的公理、定義、定理等進行一步步的推理，一直推到結論為止．這種思維方法叫綜合法．這種方法是“由因導果”，即從已知到可知，從可知到未知的思維過程．

（2）分析法：從問題的結論入手，運用已經(jīng)學過的公理、定義、定理，一步步尋覓使結論成立的條件，一直“追”到這個結論成立的條件就是已知條件為止．可見分析法是“執(zhí)果求因”的思維過程，它與綜合法的思維過程相反．分析法屬于邏輯方法范疇，它的嚴謹體現(xiàn)在分析過程步步可逆。

分析法的步驟為未知?需知?已知。在操作中“要證”、“只要證”、“即要證”這些詞語也是不可缺少的。分析法的書寫形式一般為“因為......，為了證明......，只需證明......，即......，因此，只需證明......，因為......成立，所以‘......（結論）’成立”。（3）分析綜合法：把分析法和綜合法“聯(lián)合”起來，從問題的兩頭向中間“靠攏”，從而發(fā)現(xiàn)問題的突破口．這種思維方法叫做分析綜合法．對于比較復雜的題目，往往采用這種思維方法．在證明的過程中，往往分析法、綜合法常常是不能分離的。分析綜合法充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉化的辯證統(tǒng)一關系。分析的終點是綜合的起點，綜合的終點又成為進一步分析的起點。

（4）比較法 間接證明法

不是直接證明論題的真實性，而是通過證明論題的否定論題的不真實，或者證明它的等效命題成立，從而肯定論題真實性的證明方法，叫做間接證明法．反證法、同一法、歸納法（不完全歸納法、完全歸納法、數(shù)學歸納法）、類比法、換元法、放縮法、判別式法、函數(shù)法（1）反證法：反證法就是從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。實施的具體步驟是：

第一步，反設：作出與求證結論相反的假設（即結論的否定成立）；

第二步，歸謬：從否定結論出發(fā)，逐層進行推理，得出與公理或前述的定理、定義或題設條件，或與臨時假設等自相矛盾（即說明結論不能否定）；

第三步，結論：根據(jù)排中律，說明反設不成立，從而肯定原命題成立。（2）同一法：兩個互逆或互否的命題不一定是等效的，只有當一個命題的條件和結論都唯一存在，且它們所指的概念是同一概念時，該命題與其逆命題才等效，這個原理叫做同一原理．對符合同一原理的命題，當直接證明有困難時可以改證與它的等效的逆命題，這種證明方法叫做同一法．

1當命題的條件與結論所含事項都唯一存在時，先作出符合命題結論的所有圖形；同一法的步驟：○2證明所作圖形符合已知條件；3根據(jù)唯一性，4最后肯定○○確定所作圖形或所作圖形與已知圖形重合；○原命題成立．

（3）不完全歸納法：從一個或幾個（但不是全部）特殊情況作出一般性結論的歸納推理。不完全歸納法又叫做普通歸納法。

（4）完全歸納法：是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結論的推理方法，又叫做枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結論是可靠的.通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時，采用完全歸納法。

（5）數(shù)學歸納法