第一篇：“截長補短法”證明線段的和差問題

“截長補短法”證明線段的和差問題典例分析 河大附中 桑靜華

線段的和差問題常常借助于全等三角形的對應邊相等,將不在一條直線的兩條（或幾條）線段轉化到同一直線上．實際上是通過翻折構造全等三角形,目的是為了轉移的邊、角和已知條件中的邊、角有機的結合在一起．在無法進行直接證明的情形下，利用“截長補短”作輔助線的方法常可使思路豁然開朗，問題迎刃而解。CED例

1、如圖，已知AC∥BD、EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點E，則AB與AC+BD?相等嗎？請說明理由．

A

B 分析：證明一條線段等于另兩條線段之和（差）常見的方法是：

（1）在長線段上截取一條線段等于短線段，再證明余下的線段等于另一條短 線段，這種方法叫“截長法”

（2）在其中一條短線段的延長線上截取另一條短線段，再證明它們與長線段相等，這種方法叫“補短法”．

FCEDC5E6D1A25634F(1)BA1234

證法一：如圖（1）在AB上截取AF=AC，連結EF． 在△ACE和△AFE中

(2)B ?AC?AF ???1??2

??AE?AE ∴△ACE≌△AFE（SAS）

∵,∴,又,∴∠6=∠D 在△EFB和△BDE中

???6??D??3??4 ??BE?BE ∴△EFB≌△EDB（AAS）∴FB=DB ∴AC+BD=AF+FB=AB 證法二：如圖（2），延長BE，與AC的延長線相交于點F ∵ ∴?F??4,又∵?3??4 ∴∠F=∠3 在△AEF和△AEB中

??F?? ?3??1??2

??AE?AE ∴△AEF≌△AEB（AAS）, ∴AB=AF，BE=FE 在△BED和△FEC中

???5??6?BE?FE ???4??F ∴△BED≌△FEC（ASA）∴BD=FC, ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD． 例

2、如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，A ∠BAC的平分線交BC于D，求證：AB+BD=AC．

分析1： 因為∠B=2∠C，所以AC＞AB，可以在AC上取一點E，使得AB=AE，B

D 構造△ABD≌△AED，把AB邊轉移到AE上，BD轉移到DE上，要證AB+BD=AC． 即可轉化為證AE+BD=AE+EC，即證明BD=EC．

C

證明：在AC上取一點E，使AB=AE，連結DE．

在△ABD和△AED中，?AB?AE???BAD??DAE ?AD?AD?A

∴△ABD≌△AED（SAS）．

∴ BD=DE，∠B=∠AED．

又∠AED=∠EDC+∠C=∠B=2∠C，B

∴ ∠EDC=∠C．

∴ ED=EC．

∴ AB+BD=AC． 分析2： 因為∠B=2∠C，所以AB＜AC，可以在AB的延長線上取一點E，使得AE=AC，構造△AED≌△ACD，把AC邊轉移到AE上，DC轉移到DE上，要證AB+BD=AC． 即可轉化為證AB+BD=AB+BE，即證明BD=BE． B 證明：在AB的延長線上取一點E，使AC=AE，連結DE． 在△AED和△ACD中，?AE?AC???BAD??DAC

?AD?AD?E

E

D C

A

D C

∴ △AED≌△ACD（SAS）．∴∠C=∠E．

又∠ABC=∠E+∠BDE=2∠C=2∠BDE，∴ ∠E=∠BDE．∴ BE=BD．

∴ AB+BD=AE＝AC． A 分析3：若延長DB到點E，使得AB=BE，有AB+BD=ED，只要證出ED=AC即可． 證明：延長DB到點E，使AB=BE，連結AE，E B D 則有∠EAB=∠E，∠ABC=∠E+∠EAB=2∠E．

又∠ABC=2∠C，∴ ∠E＝∠C． ∴ AE=AC．

又∠EAD=∠EAB+∠BAD=∠E+∠DAC=∠C+ ∠DAC=∠ADE，C ∴ AE=DE．

∴ AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC．

學以致用：

1、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求證：∠BAD+∠BCD=180°

ADB

C

第二篇：專題：線段的和差問題

專題：線段和差問題

線 段 的 和 差 問 題

幾何中有許多題目要證明一線段等于另兩線段的和（或差），解決這類問題常用的方法大體有五種，即，利用等量線段代換、截短法、接長法、利用面積證明、旋轉等五種。

一、利用等量線段代換：證一線段等于另兩線段的和（或差），只需證這條全線段的兩部分，分別等于較短的兩條線段，問題就解決了。

例1 已知：已知：如圖，在△ABC中，∠B和∠C的角平分線BD、CD相交于一點D，過D點作EF∥BC交AB與點E，交AC與點F。求證：EF=BE+CF

例2 已知：如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB相鄰外角∠ACG的平分線相交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F.求證：EF=BE-CF.AEFDB

CG

二、截長法（在第三條線段上截取一段等于第一條線段，然后證明余下的線段等于第二條線段）

三、補短法（延長一條線段，作出兩條線段的和，然后證明這條線段等于第三條線段）

專題：線段和差問題

例3 如圖所示，已知三角形ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC.四、旋轉法：通過旋轉變換，而得全等三角形是解決正方形中有關題目類型的一種技巧。

例4 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=45°，求證：EF=BE+FD

專題：線段和差問題

五、等積變換法：利用三角形的面積進行證明。

例5 已知:如圖，已知在△ABC中，AB=AC，BD為AC邊上的高，如果在BC上取一點F，過F作FG⊥AB于G，作FH⊥AC于H.求證：FG+FH=BD.練習：

1、已知：如圖，△ABC中，∠BAC=90o，AB=AC，AE是過點A的一條直線且B，C在AE的異側，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求證：BD=DE+CE.ADBCE

2、如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于 D．求證：AD+BC=AB． 專題：線段和差問題

3、如圖，已知在△ABC中，∠BAC為直角，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD于E．求證CE=1/2 BD

4、已知:如圖，在△ABC中，∠A=90o，D是AC上一點，BD=CD，P是BC上任一點，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F.求證：PE+PF=AB.

第三篇：幾何證明中的截長補短法

平面幾何中截長補短法的應用 授課內容：湘教版九年級上冊《證明》授課教師：張羽茂 授課時間：

講評內容：證明中的“截長補短法”。

講評目標：

1、通過講評，查漏補缺，解決幾何證明中截長補短法的應用。

2、規范學生證明過程的書寫格式。

3、通過講評提高審題能力，總結解題方法和規律。講評重點：規范學生證明過程的書寫格式

講評難點：通過講評，查漏補缺，解決圖形中截長補短法的應用。教具準備：黑板、學生作業本

講評過程：

一、談話導入

1、公布全班的整體成績。

2、表揚進步的學生。

二、講評

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠

B=2∠C,求證：AB+BD=AC.方法一：（截長法）

方法二：（補短法）

三、課堂練習

1．已知：如圖，在正方形ABCD中，AB=4，AE平分∠BAC.求AB+BE的長。

四、課后拓展

1.正方形ABCD中，點E在CD上，點F在BC上，∠

EAF=45。求證：EF=DE+BF。

五、板書設計

六、教學反思與總結

截長補短法，是初中數學幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想。

截長：1.過某一點作長邊的垂線

2.在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。

補短：1.延長短邊

2.通過旋轉等方式使兩短邊拼合到一起。

教師工作：

采集信息-----歸類點評、指導糾借-----適時檢測、落實糾錯 學生操作：

作業分析---個體糾借---集體糾錯---針對補償---（依據答案）主動糾錯---思考領悟---針對糾錯---主動補償---消除薄弱

教學流程：

作業分析——個體糾錯——集體糾錯——針對補償——課堂小結。

第四篇：證明(二)中線倍長法和截長補短法[A.B]

周應坤數學（A.B班共用）電話：***

幾何證明-常用輔助線姓名：

(一)中線倍長法:

例1、求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊和的一半。

已知：如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，求證：AD ﹤

分析：要證明AD ﹤1(AB+AC)21(AB+AC)，就是證明AB+AC>2AD，也就是證明兩條線段之和大于第三條線段，而我們只能用“三

2角形兩邊之和大于第三邊”，但題中的三條線段共點，沒有構成一個三角形，不能用三角形三邊關系定理，因此應該進行轉化。待證結論AB+AC>2AD中，出現了2AD，即中線AD應該加倍。

證明：延長AD至E，使DE=AD，連CE，則AE=2AD。

在△ADB和△EDC中，AD=DE

∠ADB=∠EDC

BD=DCC∴△ADB≌△EDC(SAS)∴AB=CE

又在△ACE中，AC+CE＞AE∴AC+AB＞2AD，即AD ﹤1(AB+AC)2

小結：(1)涉及三角形中線問題時，常采用延長中線一倍的辦法，即中線倍長法。它可以將分居中線兩旁的兩條邊AB、AC和兩個角∠BAD和∠CAD集中于同一個三角形中，以利于問題的獲解。

課題練習:?ABC中，AD是?BAC的平分線，且BD=CD，求證AB=AC

例2: 中線一倍輔助線作法

ABC中

方式1： 延長AD到E，是BC邊中線使DE=AD，連接BE方式2：間接倍長

作CF⊥AD于F，延長MD到N，作BE⊥AD的延長線于使DN=MD，連接連接CD例3：△ABC中，AB=5，AC=3，求中線AD的取值范圍

例4：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE

課堂練習：已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF=EF

B

例5：已知：如圖，在?ABC中，AB?AC，D、E在BC上，且DE=EC，過D作DF//BA交AE于點F，DF=AC.求證：AE平分?BAC

A

F

CBE

D

第 1 題圖

課堂練習：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C=∠BAE

作業：

1、在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長線相交于點F。試探究線段AB與AF、CF之間的數量關系，并證明你的結論

2、已知：如圖，?ABC中，?C=90?，CM?AB于M，AT平分?BAC交CM于D，交BC于T，過D作DE//AB交BC于E，求證：CT=BE.A

M

B

E

T

C

3：已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF=EF

4：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C=∠BAE5、在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長線相交于點F。試探究線段AB與AF、CF之間的數量關系，并證明你的結論

（二）截長補短法 例1.已知，如圖1-1，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.A

D

求證：∠BAD+∠BCD=180°.分析：因為平角等于180°，因而應考慮把兩個不在一起的通過全等轉

化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關鍵在于構造直角三角形，B可通過“截長補短法”來實現.證明：過點D作DE垂直BA的延長線于點E，作DF⊥BC于點F，如1-2 ∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，AE

圖1-

1C

在Rt△ADE與Rt△CDF中，?

?DE?DF

?AD?CD

B

F

D

∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，即∠BAD+∠BCD=180° 例2.如圖2-1，AD∥BC，點E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.圖1-

2C

D

A

求證：CD=AD+BC.BE

C

圖2-1

例3.已知，如圖3-1，∠1=∠2，P為BN上一點，且PD⊥BC于點D，AB+BC=2BD.求證：∠BAP+∠BCP=180°.B例4.已知：如圖4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求證：AB=AC+CD.B

A

P

N

D

C

圖3-1

A2

D

C

作業：

1、已知：如圖，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求證：BE+DF=AE.2、五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求證：AD平分∠CDE

A

圖4-

1AD

F

B

C

E

BE

C

D

A

（三）其它幾種常見的形式：

1、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形。例：如圖1：已知AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求證：BE＋CF＞EF。EF

C

BD

圖

12、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構造全等三角形。

例：如圖2：AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：BE＋CF＞EF

A

EF

C

BD

圖

2M

練習：已知△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖4，求證EF＝2AD。

E

F

A

BDC

圖

43、延長已知邊構造三角形：

E

例如：如圖6：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求證：AD＝BC

B A

DC

圖64、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉化成為三角形來解決。

AD

例如：如圖7：AB∥CD，AD∥BC求證：AB=CD。

CB

圖75、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。

例如：如圖8：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延長于E。求證：BD＝2CE

6連接已知點，構造全等三角形。

DA例如：已知：如圖9；AC、BD相交于O點，且AB＝DC，AC＝BD，求證：∠A＝∠D。

BC

圖10?

1九、取線段中點構造全等三有形。

例如：如圖10：AB＝DC，∠A＝∠D 求證：∠ABC＝∠DCB。DA

B MC

圖10

第五篇：初一數學教案 線段的和差

第二課時

一、教學目標

1、理解兩點間距離的感念和線段中點的感念及表示方法

2、學會線段中點的簡單應用

3、借助具體情境，了解“兩點間線段最短”這一性質，并學會簡單應用

4、培養學生交流合作的意識，進一步提高觀察、分析和抽象的能力

二、教學重點

線段中點的感念及表示方法

三、教學難點 線段中點的應用

四、學用具： 投影片、刻度尺

五、學過程：

（一）習回顧：線段長短比較的兩種方法

（二）感念分析

1、線段性質和兩點間距離 “想一想”

出示課本圖片，從上面的兩個事例中，你能發現有什么共同之處？（可讓學生稍作討論后回答）學生：選擇直路，路程較短

讓學生在黑板上畫出圖7-18（見課本），從A到B的幾種路線，并用紅色粉筆標出最短的路線

教師：你是怎樣比較出最短的路線的？ 學生：利用觀察、測量 根據學生的畫圖，師生共同總結出線段的性質： “兩點之間的所有連線中，線段最短”

兩點之間的距離：兩點之間的線段的長度叫做這兩點之間的距離。要強調兩點之間的線段的長度叫兩點間的距離，而不是兩點間的線段，線段是圖形，線段的長度是數值。

教師：“兩點間線段最短”的性質在實際生活中應用較廣，你能否舉一些例子？

學生：從A到B架電線，總是盡可能沿著線段AB架設等。

2、線段的中點

請按下面的步驟操作：（學生做）①

在一張透明紙上畫一條線段AB ②

對折這張紙，使線段AB的兩個端點重合 ③

把紙展開鋪平，標明折痕點C

如圖1：

ACB

教師：線段AC和線段BC相等嗎？你可以用是么方法去說明？ 學生1：相等。用刻度尺測出它們的長度，再比較 學生2：相等。用圓規測量比較

教師：象圖1這樣，點C把線段AB分成相等的兩條線段AC與BC，點C叫做線段AB的中點。用幾何語言表示：

AC=BC=1/2AB（或AB=2AC=2BC）

教師：剛才用折紙的方法找出AB的中點C，你還能通過什么方法得到中點C呢？ 學生：用刻度尺去量出AB的長，再除以2，就得到點C（讓學生板演）填空：如圖2 已知點是線段的中點，點是線段的中點，ADCB

（1）AB=＿＿ BC

（2）BC= ＿＿ AD（3）BD=_____AD “想一想”如圖3，點P是線段的中點，點C、D把線段AB三等分。已知線段CP的長為1.5cm，求線段AB的長。如圖3：

ACPDB

可讓學生討論后再作答（教師可作如下分析：如果能得到線段CP與線段AB之間的長度比，就能求出線段AB的長。）由學生回答，教師板書完成。

解：∵

點P把線段二等分，∴

AP=PB=1/2AB ∵

點C、D把線段AB三等分，∴

AC=CD=DB=1/3AB ∴

AP－AC=1/2AB－1/3AB=1/6AB, 即

CP=1/6AB ∴

AB=6CP=6×1.5=9cm

即AB的長為9cm 課內練習P172 1、2及 P17

談談收獲：①

兩點間距離的感念

②

線段的性質“兩點間線段最短”及應用

③

線段的中點的感念及簡單的應用 作業： 板書：

1、線段的性質：

例解：

2、兩點之間的距離：

3、線段的中點：

（板演處）