第一篇：作差法教案

用作差比較法證明不等式

教學目標

1．理解，掌握比較法證明不等式． 2．提高分析、解決問題能力．

3．鍛煉學生的思維品質（思維的嚴謹性、靈活性、深刻性）．

教學重點與難點:

求差比較法證明不等式是本節課的教學重點；求差后，如何對“差式”進行適當變形，并判斷符號是本節課教學難點． 教學過程設計

一、引入：

要比較兩個實數的大小，只要考察它們的差的符號即可，即利用不等式的性質：

a?b?a?b?0

a?b?a?b?0 a?b?a?b?0

那么如何比較下面兩個式子的大小呢？

(a?1)(a?3)與(a?1)(a?5)

直接比較這兩個式子的大小有困難，但是將兩式作差所得到的結果與0比大小比較容易證明．這種方法我們叫做作差法。

二、新課講授

作差法證明不等式：用不等式的一邊減去另一邊，比較作差所得到的結果與0的大小。

a?b?0?a?ba?b?0?a?b

a?b?0?a?ba?b?0?a?b所以證明不等式的關鍵就是判定作差得到的結果與0的大小，下面我們將通過例題來歸納、總結作差法證明不等式時，如何對差式變形并判斷差式符號．

三、例題講解

例

1、證明：(a?1)(a?3)?(a?1)(a?5)證明：(a?1)(a?3)?(a?1)(a?5)

?a2?4a?3?(a2?4a?5)

?a2?4a?3?a2?4a?5

?8?0?(a?1)(a?3)?(a?1)(a?5)?0

?(a?1)(a?3)?(a?1)(a?5)

分析小結：將不等式兩邊作差后很容易就判斷出了結果與0的大小，這樣的不等式很容易就能證明出來。這個不等式呢？(a?1)(a?3)?(a?1)(a?4)例2 求證：a2?3?3a

證明：a2?3?3a?a2?3a?3

33?(a?)2??02?a2?3?3a?0

?a2?3?3a分析小結：因為求差后，式子中?3a的符號不確定，所以不容易判斷符號，配方后變形為一個完全平方式子與一個常數和的形式，這種差式的符號可以判斷．

x(x?1)(x2??1)?(x?2)(x2?x?1)練習：求證：2例3 已知a.,b?R?，求證a3?b3?a2b?ab2 證明：a3?b3?(a2b?ab2)

?(a?b)(a2?ab?b2)?ab(a?b)?(a?b)(a2?2ab?b2)?(a?b)(a?b)因為a?0,b?0?a?b?0又因為(a?b)?0?(a?b)(a?b)2?0?a3?b3?(a2b?ab2)?02

?a3?b3?a2b?ab2分析小結：將差式因式分解變形為幾個因式積的形式，變形的目的是為了判斷差式符號。對每個因式進行分析，判斷符號，從而使因式積的符號可以判斷，差式符號即可判斷，在判斷符號時要注意表述嚴謹、周密。

練習：求證：1?q7?q4?q

3(q>0)小結：

作差法證明不等式三部曲：作差—變形---判定符號

在了解不等式證明的含義的基礎上，今天主要學習了不等式證明常用方法之一，作差比較法證明不等式，它是不等式證明中最基本、最重要的證明方法。有關作差后對差式變形以及判斷符號的方法，今后學習中還需繼續積累方法． 課后作業：

比較法證明不等式除了求差比較法，還有沒有其他方式呢？請同學們課下思考研究．

第二篇：用作差法比較大小(教案)

閱讀與思考 用作差法比較大小

教學目標

1、理解作差法比較大小的依據。

2、掌握作差法比較大小的一般步驟

3、能利用作差法比較大小解決實際問題 教學設計

一、課題引入

1.計算下列減法算式的結果： 3－2= 5－4= 6－5= 2－3= 6－7= 5－9= 1－1= 5－5= 3－3= 2.小組討論，從算式中發現規律

第一組算式：被減數比減數大，得數為正數（大于零）； 第二組算式：被減數比減數小，得數為正數（小于零）； 第三組算式：被減數比減數大，得數為正數（等于零）。

二、探究新知

提問1.從上述規律中大家能得到怎樣的啟示呢？

（從上述規律中，我們可以歸納出一種比較兩個數或兩個代數式的大小的方法。）作差法比較大小：

如果a－b>0，則a>b；如果a－b<0，則a

運用求差法比較大小的一般步驟是：（1）作差；（2）根據差的情況確定被減數與減數的大小.三、實例鞏固

【例1】設x>y，試比較代數式-（8-10x）與－（8-10y）的大小，如果較大的代數式為正數，則其中最小的正整數x或y的值是多少？

【思考與分析】根據求差法的步驟我們先求出兩個式子的差，然后再根據已知條件x>y，來判斷這個差的符號，從而比較兩個代數式的大小.解：由兩式作差得-（8-10x）－［－（8-10y）］＝-8+10x+8-10y＝10x-10y.因為x>y，所以10x>10y，即10x-10y>0.所以-（8-10x）>－（8-10y）.又由題意得-（8-10x）>0，即x>4/5，所以x最小的正整數值為1.【例2】有一個三口之家準備在假期出外旅行，咨詢時了解到東方旅行社規定：若父母各買一張全票則孩子可以按全票的七折購票；而光明旅行社則規定：三人均可按團體票計價，即按全票的80％收費.若兩家旅行社的票價相同，則實際哪家收費較低呢？

【思考與分析】要比較哪家旅行社的收費低，我們可以先用含有未知數的式子表示出兩家旅行社需要的費用，然后根據求差法的步驟，求出兩個式子的差，再根據已知條件判斷這個差的符號即可比較出哪個旅行社的費用低.解：設這兩家旅行社全票的價格為a元，依題意

東方旅行社的收費為2a＋70％a＝2.7a，光明旅行社的收費為3a×80％＝2.4a.因為2.7a－2.4a＝0.3a>0，所以實際上光明旅行社的收費較低.【反思】若兩家旅行社的票價不相同，我們能否比較出哪個旅行社的費用低呢？.四、課堂小結 1.什么作差法比較大小

2.作差法比較大小具體操作步驟

第三篇：差量法習題小結

差量法習題小結

審題要點：注意關鍵字詞，反應前后物質的“質量”或“氣體在相同條件下的體積或壓強”發生了改變（增大或減小）。

方法要點：根據方程式或關系式，確立理論差值，再根據實際差值，列出相應的比例關系進行計算。

1.為了檢驗某含有NaHCO3雜質的Na2CO3樣品的純度，現將w1克樣品加熱，為w2g,，則該樣品的純度（質量分數）是（）

21184w?53w

31w184(w?w2)31w1115w2?84w173w?42w31w1 31w1

2.將一定質量的Na投入24.6 g水中，反應完成后，得到NaOH溶液31.2 g，則所得NaOH溶液中溶質的物質的量為，參加反應的Na的質量為。

3.某溫度下，一定量的元素A的氰化物AH3，在恒溫恒壓的密封容器中完全分解為兩種氣態單質，此時容器的體積變為原來的7/4，則A單質的分子式為。

4.將8g 鐵片放入100mL 硫酸銅溶液中，當銅離子完全反應是時，“鐵片”質量增加到

8.2g，則硫酸銅溶液的物質的量濃度為（）

A．0.5mol/LB． 0.25mol/LC． 0.025mol/LD． 0.125mol/L

第四篇：和差問題教案

和差問題教案

教學目標

1.會判斷什么樣的應用題屬于和差問題．已知兩個數的和以及兩個數的差，要分別求這兩個數就屬和差問題，并掌握和差問題的特性，為以后繼續學習和倍、差倍問題做準備．

2.總結歸納出解決和差問題的方法，并解決一些實際問題． 知識點撥：

和差問題是已知大小兩個數的和與這兩個數的差，求大小兩個數各是多少的應用題。

為了解答這種應用題，首先要弄清兩個數相差多少的不同敘述方式.有些題目明確給了兩個數的差，而有些應用題把兩個數的差“暗藏”起來，我們管暗藏的差叫“暗差”。

知道兩個數的和，以及它們的差，要求這兩個數，解決和差問題需要我們畫線段圖來分析，方法如下： 方法一：(和+差)÷2=大數 和-大數=小數 方法二：(和-差)÷2=小數 和-小數=大數 例題精講

板塊

一、基本的和差問題

【例1】兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，兩筐水果各多少千克？

【解析】本題也是和差問題的基本題型，借助線段圖來分析如下：

方法一：把第二筐多的10千克減掉，看成兩個第一筐的重量來計算． 列式：第一筐：，第二筐：70?10?80（千克）．（150?10）?2?70（千克）方法二：把第一筐少的10千克補上，看成兩個第二筐的重量來計算． 列式：第二筐：，第一筐：80?10?70（千克）（150?10）?2?80（千克）【鞏固】甲、乙兩人同時以相同的速度打字，2分鐘共打了240個字，已知甲每分鐘比乙多打10個字．問甲、乙兩人每分鐘各打多少個？

【解析】首先要理解2分鐘共打了240個字，那么甲、乙兩人一分鐘就打了240?2?120（個）．這樣就轉換成典型和差問題了． 方法一：甲：（240?2?10）?2?65(個)乙：65?10?55(個)方法二：乙：（240?2?10）?2?55(個)甲：55?10?65（個）

在研究完這兩種方法以后，老師要注意引導學生來總結和差問題的解決方法．解答和差問題的應用題，可以先畫出線段圖，從線段圖上找到大數和小數，并找到解決方法．(兩數的和－兩數的差)÷2=較小的數 較小的數+兩數的差=較大的數(兩數的和+兩數的差)÷2=較大的數 較大的數－兩數的差=較小的數

【鞏固】果園共260棵桃樹和梨樹，其中桃樹的棵數比梨樹多20棵．桃樹和梨樹各有多少棵？ 【解析】方法一：桃樹：（260?20）?2?140（棵）梨樹：140?20?120（棵）

方法二：梨樹：（260?20）?2?120（棵）桃樹：120?20?140（棵）

答：桃樹有140棵，梨樹有120棵．

【鞏固】有一根鋼管長12米，要鋸成兩段，使第一段比第二段短2米．每段各長多少米？ 【解析】第一段：（12?2）?2?5(米)第二段：12?5?7(米)答：第一段長5米，第二段長7米．

【鞏固】陳紅和李玲平均身高為130厘米，陳紅比李玲高8厘米，陳紅和李玲身高各是多少厘米？ 【解析】陳紅和李玲平均身高為130厘米，她們身高的和為：130?2?260(厘米)方法一：陳紅：（260?8）?2 ?134(厘米)李玲：134?8?126(厘米)方法二：李玲：（260?8）?2 ?126(厘米)陳紅：126?8?134（厘米）

【例2】文具王國的尺子點點和跳跳是一對好朋友，他們一會兒高興地把自己綁在一起，一會兒又鬧起小別扭，豎起小腦袋比比誰長的高，每天他們總是有使不完的勁兒．同學們！你能根據下面的圖，算出點點和跳跳各有多長嗎？

【解析】解決和差問題的應用題，首先學會畫線段圖是關鍵，在這里借助兩把尺子來進行比較分析，比較直觀和形象，然后再從直觀的實物圖過渡到抽象的線段圖學生比較容易理解．此處是本節課的難點突破所在，對于方法的研究老師要引導學生來思考．

方法一：假設跳跳多4厘米，那么就和點點一樣長，這時總長增長到了16?4?20（厘米），2個點點的長是20厘米，那么點點的長就是20?2?10（厘米），跳跳就是10?4?6（厘米）． 列式：點點（大數）：；跳跳（小數）：10?4?6（16?4）?2?10（厘米）（厘米）．

方法二：假設點點少4厘米，那么就和跳跳一樣長，這時總長就減少到了，2個跳跳的長是12厘米，那么跳跳的長就是16?4?12（厘米），點點就是6?4?10（厘米）． 12?2?6（厘米）列式：跳跳（小數）：；點點（大數）：6?4?10（16?4）?2?6（厘米）（厘米）

【鞏固】二年級一班和二班共有85人，一班比二班多3人．問一班、二班各有多少人？

【解析】本題是和差問題的基本題型，已知兩個數的和與兩個數的差，然后求大小兩個數各是多少．和差問題一般可以借助線段圖來進行分析． 方法一：一班人數：（85?3）?2?44(人)，二班人數：44?3?41（人）方法二：二班人數：（85?3）?2?41(人)，一班人數：41?3?44（人）

【鞏固】兩個連續奇數的和是36，這兩個數分別是多少？ 【解析】兩個連續奇數的差是2,利用和差公式解答如下．

較小數：（36-2）?2?17 較大數：36?17?19

【鞏固】一輛公交車里有30位乘客，到大橋站有17人下車，又上來19人，現在車上和原來比，人多了還是少了，多（或少）幾個人？

【解析】這道題有兩種不同的思維方法．

方法一：先求出現在車上有多少人，再和原來車上30人進行比較，就知道人多了還是人少了，再用減法計算，就能求出多或少了幾個人． 列式：現在車上人數：30?17?19?32（人）現在車上比原來多幾人？32?30?2（人）

方法二：聰明的學生會想到只要把下車和上車的人數進行比較，就知道答案了，因為下車17人，上車19人，上車的人比下車的多2人．這樣原來車上的“30人”就是多余條件了． 列式：19?17?2（人）

答：現在車上人多了，多2人．

【例3】長方形操場的長與寬相差80米，沿操場跑一周是400米，求這個操場的長與寬是多少米？

【解析】長方形一周的長是指兩條長和兩條寬的和，由條件可知一條長與一條寬的和為400?2?200(米)，由此我們就知道了長和寬之和是200米，又知道長和寬之差是80米，根據和差問題來解答： 方法一：長：（200?80）?2?140(米)寬：140?80?60（米）方法二：寬：（200?80）?2?60(米)長：60?80?140（米）

【鞏固】丁丁在期中考試時，語文、數學兩科平均分是91分，數學比語文多2分，那么丁丁語文和數學各得了多少分？

【解析】在這道題中，我們已知丁丁數學成績比語文成績多2分，也就是知道了數學成績和語文成績之差，如果找到數學成績和語文成績之和，就轉換成和差問題來解答了．又因為知道了語文和數學的平均分是91分，那么兩科成績之和就是91?2?182（分）． 方法一：數學：（182?2）?2?92（分）語文：92?2?90（分）方法二：語文：（182?2）?2?90（分）語文：90?2?92（分）

【例4】學校水果店運來蘋果和梨共40千克，蘋果比梨多2袋，蘋果和梨每袋都重5千克，則水果店運來蘋果和梨各多少袋？

【解析】方法一：題目中知道了蘋果比梨多2袋，如果能求出蘋果和梨一共的袋數，就可以用和差問題來解決了．而題目中只告訴我們蘋果和梨共40千克，不過還告訴我們蘋果和梨每袋都重5千克，那么就可以求出蘋果和梨一共有40?5?8（袋），現在就可以求出梨有，蘋果有（8?2）?2?3（袋）．（8?2）?2?5（袋）方法二：部分學生可能根據題目中告訴的蘋果和梨的總千克數，然后求出蘋果比梨多2?5?10（千克），算出蘋果和梨各多少千克，最后再算出各多少袋．解答如下：

蘋果比梨多：2?5?10（千克）蘋果的重量：（40?10）?2?25（千克）梨的重量：25?10?15（千克）蘋果的袋數：25?5?5（袋）梨的袋數：15?5?3（袋）

兩種方法相比較，第一種方法更簡便、直觀．

【鞏固】有一種小蟲，每隔2秒鐘分裂一次．分裂后的2只新的小蟲經過2秒鐘后又會分裂．如果最初瓶中只有1只小蟲，那么2秒后變2只，再過2秒后就變4只??2分鐘后，正好滿滿一瓶小蟲．現在這個瓶內最初放入2只這樣的小蟲．經過多長時間，正巧也是滿滿一瓶小蟲? 【解析】如果剛開始瓶里有1只小蟲，每隔2秒鐘分裂一次，第一次就分裂成2個，第二次就分裂成4個??這樣2分鐘就正好有了滿滿一瓶小蟲．如果瓶里開始就放有2只小蟲，那么第一次就分裂成4個，和原來比少了1個分裂成兩個的2秒，直接已經有了2個．這樣如果瓶里有2只小蟲，就會原來的時間少2秒，需要1分鐘58秒就分裂成了滿滿一瓶小蟲．

【例5】小勇家養的白兔和黑兔一共有22只，如果再買4只白兔，白兔和黑兔的只數一樣多．小勇家養的白兔和黑兔各多少只？

【解析】解決這道題的關鍵就是理解“如果再買4只白兔，白兔和黑兔的只數一樣多”，這句話的意思也就是白兔的只數比黑兔的只數少4只，或黑兔的只數比白兔多4只．只要理解了這個已知條件，我們就可以把這個題轉換成典型和差問題來解決了．

方法一：把黑兔多的4只減掉，看成兩個白兔的數量來計算． 列式：白兔：，黑兔：22?9?13(只)或9?4?13(只)（22?4）?2?9（只）方法二：把白兔少的4只加上，看成兩個黑兔的數量來計算． 列式：黑兔：（22?4）?2?13(只)，白兔：22?13?9(只)或 13?4?9(只)【鞏固】圖書館的書架上、下兩層共存書220本，如果從上層拿出10本放入下層，則兩層書架上書數相等．求原來上、下層各存書多少本？

【解析】根據從上層拿出10本放入下層后兩層書架上的書同樣多，可以知道上層書架上的書比下層書架上的書多2個10本，如果從上層書架中減去10?2?20（本)，就和下層書架上的書同樣多，那么上、下兩層書架上書的總數減少了20本，這時上、下兩層書架上的書的總數就相當于下層書架上書的2倍． 方法一：下層：（220?20）?2?100(本)上層：220?100?120(本)方法二：上層：（220?20）?2?120（本）下層：220?120?100（本）【例6】小華每天寫8個大字，比小軍每天多寫2個．小華和小軍一星期一共寫多少個大字？ 【解析】方法一：要知道小華和小軍一星期一共寫多少個大字，就要先求出小華和小軍每天共寫幾個大字．小華每天寫8個大字，比小軍每天多寫2個，可以算出小軍每天寫6個大字，他倆每天共寫14個大字．“一星期有7天”這是個隱藏條件，這個條件也是解決問題的關鍵，因此要認真讀題才能找到這個已知條件．最后我們就可以用乘法計算出小華和小軍一星期一共寫多少個大字． 列式：小華和小軍每天共寫多少個大字？ 8?2?8?14（個）小華和小軍一星期一共寫多少個大字？14?7?98（個）

方法二：可以先分別求出小華一個星期寫了多少個大字和小軍一個星期寫了多少個大字，然后把他們一共寫的個數加起來．

列式：小華一星期寫了多少個大字？8?7?56（個）小軍一星期一共寫多少個大字？（8?2）?7?42（個）

小華和小軍一星期一共寫多少個大字？ 56?42?98（個）

答：小華和小軍一星期一共寫98個大字．

【鞏固】商店里每天賣出電腦10臺，賣出的彩電比電腦多5臺，一個星期商店賣出電腦和彩電一共多少臺？ 【解析】方法一：每天賣出電腦和彩電多少臺？10?5?10?25（臺）

一個星期商店賣出電腦和彩電一共多少臺？25?7?175（臺）

方法二：電腦一個星期共賣出多少臺？10?7?70（臺）

彩電一個星期共賣出多少臺？（10?5）?7?105（臺）

一個星期商店賣出電腦和彩電一共多少臺？70?105?175（臺）

答：一個星期商店賣出電腦和彩電一共175臺．

【例7】甲、乙兩校共有學生1050人，部分學生因搬家需要轉學，已知由甲校轉入乙校20人，這樣甲校比乙校還多10人，求兩校原來有學生多少人？

【解析】這道題雖然只告訴了我們兩個數的和，但是兩數的差屬于隱藏條件．由甲校轉入乙校20人，這樣甲校比乙校還多10人，實際上甲校比乙校多20?2?10?50(人)，找到了隱藏的差，就轉變成了典型的和差問題． 列式：乙：（1050?50）?2?500(人)甲：1050?500?550(人)【鞏固】小華和小敏共有鉛筆25枝，如果小華用去4枝，小敏用去3枝，那么小華還比小敏多2枝，小華和小敏原來各有多少枝鉛筆？

【解析】如果小華用去4枝，小敏用去3枝，那么小華還比小敏多2枝，這就說明原來小華的鉛筆比小敏的鉛筆多3枝．找到了這個暗差，這道題就簡單了． 方法一：小華：（25?3）?2?14（枝）小敏：14?3?11（枝）方法二：小敏：（25?3）?2?11（枝）小華：11?3?14（枝）

【例8】周明和王剛兩人數學成績的和是182分．周明如果多考5分，就比王剛多3分．周明和王剛的數學各考了多少分？

【解析】已知周明和王剛兩人數學成績的和是182分，根據條件“周明如果多考5分，就比王剛多3分“可知，王剛的數學成績比周明多5?3?2（分）．轉換成和差問題解答如下： 方法一：王剛：（182?2）?2?92（分）周明：92?2?90（分）方法二：周明：（182?2）?2?90（分）王剛：90?2?92（分）

【鞏固】有大、小兩個油桶，一共裝油24千克，兩個油桶都倒出同樣多的油后分別還剩9千克和5千克．問：原來大、小兩個油桶各裝油多少千克？

【解析】兩個油桶都倒出同樣多的油后分別還剩9千克和5千克，那么也就是說大桶比小桶多4千克的油，知道這兩桶油的和，又找到了這兩桶油的差，這道題就變成了典型的和差問題的應用題了． 方法一：大桶：（24?4）?2?14（千克）小桶：14?4?10（千克）方法二：小桶：（24?4）?2?10（千克）大桶：10?4?14（千克）

【例9】兔媽媽拔了29個蘿卜分給了小白兔和小黑兔，因為分的蘿卜不一樣多，兔媽媽讓小白兔給了小黑兔5個，這時再來數發現小黑兔比小白兔多出1個蘿卜，你知道原來小白兔和小黑兔各分到了多少個蘿卜嗎？

【解析】這道題關鍵也是要找到暗差，小白兔給了小黑兔5個后，小黑兔又比小白兔多出1個蘿卜，畫圖來分析，可以得出原來小白兔比小黑兔多5?2?1?9個蘿卜．這時就可以根據和差問題問題來解決了．

方法一：小白兔：，小黑兔：29?19?10（個）（29?9）?2?19（個）方法二：小黑兔：，小白兔：29?10?19（個）．（29?9）?2?10（個）【鞏固】甲乙兩個倉庫共存大米56包，從乙倉庫調8包到甲倉庫，兩個倉庫大米的包數就同樣多了，甲、乙兩個倉庫原有大米各多少包？

【解析】乙比甲多8?2?16（包）

甲：（56?16）?2?20（包）乙：56?20?36（包）答：甲倉庫有大米20包，乙倉庫有大米36包．

【例10】甲校原來比乙校多48人，為方便就近入學，甲校有若干人轉入乙校，這時甲校反而比乙校少12人．甲校有多少人轉入乙校？

【解析】利用移多補少思想思考，48?2?24（人），當甲校轉入乙校24人時，那么甲乙兩校的人數就一樣多，當甲校繼續有同學轉入到乙校時，每轉入一個同學，甲校就比乙校少2人，12?2?6，當再從甲校轉入6人到乙校時，甲校就比乙校少12人，所以甲校一共轉入乙校24?6?30（人）時，甲校就比乙校少12人．

【鞏固】兩箱圖書共有66本，甲箱如果借出10本，就比乙箱少4本．甲、乙兩箱原有圖書各多少本？ 【解析】已知甲箱借出10本圖書后，比乙箱少4本，可知甲箱原來比乙箱多10?4?6（本）圖書．

方法一：甲箱：（66?6）?2?36（本）乙箱：36?6?30（本）方法二：乙箱：（66?6）?2?30（本）甲箱：30?6?36（本）

【鞏固】方方和圓圓共有圖書70本，如果方方給圓圓5本，那么圓圓就比方方多4本．問：方方和圓圓原來各有圖書多少本？

【解析】方方給圓圓5本后，圓圓比方方多4本．，那么芳芳比圓圓多5?2?4?6（本）圖書．原來圓圓有：，圓圓有：38?6?32（本）．（70?6）?2?38（本）【例11】有三塊布料一共190米，第二塊比第一塊長20米，第三塊比第二塊長30米．每塊布料各長多少米？

【解析】先畫線段圖，從線段圖可以看出，以第一塊為標準，第二塊減少20米，第三塊減少20?30?50(米)，總和減少20?50?70(米)，即190?70?120(米)．120米相當于第一塊布料長的3倍，求出第一塊布料的長度，第二塊、第三塊就可以求出． ⑴ 第一塊布料長度的3倍是：190?（20?20?30）?120(米)⑵ 第一塊布料的長度是： 120?3?40(米)⑶ 第二塊布料的長度是： 40?20?60(米)⑷ 第三塊布料的長度是： 60?30?90(米)【鞏固】甲、乙、丙三個數的和是105，甲數比乙數多4，乙數比丙數多4，求丙數． 【解析】已知甲數比乙數多4，乙數比丙數多4，可求出甲數比丙數多4?4?8．如果甲數少8，乙數少4，則甲、乙、丙三數相等，105?，差正好是丙的3倍，除以3便可求出丙數． ’（8?4）105?（8?4）?93 93?3?31??丙數 答：丙數是31。

【鞏固】有3條繩子，共長95米，第一條比第二條長7米，第二條比第三條長8米，問3條繩子各長多少米？

【解析】以第一條繩子為標準，變化后的繩子總長 95-7＋8=96（米）

第二條繩長： 96÷（1＋1+1）=32（米）。第一條繩長：32＋7=39（米）。第三條繩長：32-8=24（米）.【鞏固】甲、乙兩校共有學生864人，為了照顧學生就近入學，從甲校調入乙校32名同學，這樣甲校學生還比乙校多48人，問甲、乙兩校原來各有學生多少人？

【解析】甲、乙兩校學生人數的和是864人，根據由甲校調入乙校32人，這樣甲校比乙校還多48人可以知道，甲校比乙校多 32×2+48＝112（人）.112是兩校人數差。①乙校原有的學生：（864-32×2-48）÷2＝376（人）②甲校原有學生：864-376=488（人）

答：甲校原有學生488人，乙校原有學生376人。

【鞏固】小猴和小熊到動物商店一共買了30塊糖，小猴把買的糖給了小熊10塊，還比小熊多2塊．小熊比小猴少買幾塊糖？

【解析】一共買了30塊糖是一個多余的條件，小猴把買的糖給了小熊10塊，還比小熊多2塊，說明小猴的糖比小熊一共多22塊，可畫圖分析． 列式：10?10?2?22（塊）答：小熊比小猴少買22塊糖．

【鞏固】學而思學校新進99本書，分給三、四、五三個年級，三年級比四年級多分了2本，四年級比五年級多分了5本，三個年級各分得多少本書? 【解析】我們用圖來表示題意：

此題從兩個數量擴展到三個數量．已知三年級比四 年級 多分了2本，四年級比五年級多分了5本，從線段圖上可以清楚地看出：三年級比五年級多分了2＋5＝7(本)．如果三年級少拿7本，四年級少拿5本，那么書的總數就要減少7＋5＝12(本)，總共就是99－12＝87(本)．87本相當于五年級所有的書本數的3倍，由此可以算出三年級四年級五年級三人各自書本的數量． 五年級：[99－(2＋5)－5]÷3＝29(本)四年級：29＋5＝34(本)三年級：34＋2＝36(本)【鞏固】甲的書比乙多9本，比丙多2本，乙、丙共有書47本．問：甲、乙、丙各有多少本書？

【解析】和差問題是指兩個數的和與差，現在出現了三個數，需要化為兩個數的和差問題．因為“甲的書比乙多9本，比丙多2本”，說明乙的書比丙少9?2?7(本)．由“乙、丙共有書47本”，乙比丙少7本，可用和差公式求解． 乙有書（47?7）?2?20(本)，丙有書 47?20?27(本)，甲有書 20?9?29(本)．

答：甲有29本，乙有20本，丙有27本．

【鞏固】二年級原來女同學比男同學多25人，今年二年級又增加了80個男同學和65個女同學，請問：現在是男同學多還是女同學多？多幾人？

【解析】這道題有兩種思維方法：

方法一：如果原來女同學與男同學人數同樣多，那么增加后的人數男同學比女同學多80?65?15(人)，實際上“原來女同學比男同學多25人”，盡管男同學人數比女同學多增加了15人，結果還是女同學人數多，多25?15?10(人)．

說明： 我們也可以這樣思考：如果今年二年級增加的男同學人數和女同學人數同樣多，都增加65人，那么女同學仍比男同學多25人，實際上男同學比女同學多增加了80?65?15(人)，由于“原來女同學比男同學多25人”，所以，增加后的人數女同學仍比男同學多，多25?15?10(人)． 列式：80?65?15（人）

25?15?10（人）

方法二：我們先不看男同學的變化，先觀察女同學的變化，二年級原來女同學比男同學多25人，今年二年級又增加了65個女同學，如果男同學人數不增加，女同學就要比男同學增加25?65?90（人）．而男同學又增加了80人，現在女同學就比男同學多90?10?10人． 列式：25?65?90（人）

90?80?10（人）

答：現在女同學多，多10人．

【鞏固】草地上有黑兔、白兔、灰兔共27只，黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2只．黑兔、白兔、灰兔各有多少只？

【解析】畫圖分析：黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2只，把黑兔比白兔多的，補到灰兔比白免少的部分，這樣黑兔、白兔、灰兔共27只也可以看成是3倍白兔這么多，因此可以先求出白兔的只數． 列式：白兔：27?3?9（只）黑兔：9?2?11（只）灰兔：9?2?7（只）

【例12】大象、老虎、猴子三只動物的年齡中，大象和老虎共90歲，大象和猴子共70歲，老虎和猴子共40歲，請你算一算，三只動物各多少歲？

【解析】大象、老虎、猴子三只動物的年齡和：（90?70?40）?2?100（只）

大象的年齡：100?40?60（歲）老虎的年齡：100?70?30（歲）猴子的年齡：100?90?10（歲）答：大象60歲，老虎30歲，猴子10歲．

【鞏固】小強、中強、大強去稱體重，大強和小強一起稱是50千克，小強和中強一起稱是49千克，三個人一起稱是76千克．三人的體重各是多少千克？

【解析】解答這道題，要用比較的方法，要抓住“三個人一起稱76千克”這個重要條件．又知“大強和小強一起稱50千克”，這樣就可先求出中強的體重，或者根據“小強和中強一起稱是49千克”可求出小強的體重．

方法一：中強的體重：76?50?26（千克）

小強的體重：49?26?23（千克）大強的體重：50?23?27（千克）

方法二：大強的體重：76?49?27（千克）

小強的體重：50?27?23（千克）中強的體重：49?23?26（千克）

答：小強23千克，大強27千克，中強26千克．

【例13】四年級有4個班，不算甲班其余三個班的總人數是131人；不算丁班其余三個班的總人數是134人；乙、丙兩班的總人數比甲、丁兩班的總人數少1人，問這四個班共多少人？

【解析】乙+丙+丁=131 甲+乙+丙=134，兩式相加（甲+丁）+2（乙+丙）=265，而甲+丁=（乙+丙）+1 所以 3（乙+丙）=265-1，乙+丙=88，甲+丁=89 這四個班共有88+89=177人。

【鞏固】甲乙共儲蓄32元，乙丙共儲蓄30元，甲丙共儲蓄22元，三人各儲蓄多少元? 【解析】甲乙+乙丙+甲丙=32+22+30=84(元)即2倍的(甲+乙+丙)等于84元

甲+乙+丙=84÷2=42(元)丙:42—32=10(元)甲:42—30=12(元)乙:42—22=20(元)【鞏固】大明、小榮、豆豆三個小朋友去稱體重，大明和小榮一起稱是55千克，大明和豆豆一起稱是49千克，小榮和豆豆一起稱是 56千克．三人的體重各是多少千克？

【解析】這道題是上一題的拓展，看起來無從下手，但是把50千克、49千克、61千克加起來，其實就是三個人體重的2倍，這樣我們就可以先求出三個人的總重量，接下來的思路就跟例10一樣了． 列式：三個人的總重量：（55?49?56）?2?80（千克）豆豆的體重：80?55?25（千克）小榮的體重：80?49?31（千克）大明的體重：80?56?24（千克）

答：大明24千克，小榮31千克，豆豆25千克．

【例14】地震災區希望小學正籌備建設圖書館，春蕾小學發動全校同學給山區的學生捐書，二（1）班、二（2）班、二（3）班三個班共捐書300本，二（1）班、二（2）班兩個班捐書總數比二（3）班多60本，如果二（3）班拿出20本給二（2）班，則兩個班捐書數目相等．求三個班各捐了多少本書？

【解析】方法一：如圖,二（1）班、二（2）班兩個班捐書總數比二（3）班多60本，又知道三個班一共有300本，這樣可以先求出二（3）班的本數． 二(3)班有書：（300?60）?2?120(本)，二(3)班比二(2)班多20?2?40(本)書，二(2)班有書：120?40?80(本)，二(1)班有書：300?120?80?100(本)．

方法二：如圖，如果二（3）班拿出20本給二（2）班，則兩個班捐書數目相等．那么二（3）班比二（2）班多20?2?40（本），把這多的40本和二（1）班的其中40本抵消，那么二（1）班剩下的本數比二（3）班多60本，這樣就可以先求出二（1）班的本數． 二(3)班比二(2)班多20?2?40(本)書，二（1）班有書：40?60?100（本）書，二（2）班和二（3）班一共有書：300?100?200（本）二（2）班有書：（200?40）?2?80（本）書，二（3）班有書：80?40?120（本）書．

【例15】哥哥今年14歲，妹妹今年8歲，當兄妹倆歲數的和是42歲時，倆人各應該是多少歲？

【解析】由于“年齡差”不隨年份的推移而變化，所以，兄妹的年齡差始終是14?8?6(歲)．當兄妹的歲數和是42歲時，由和差公式可以求解． 哥哥為（42?6）?2?24(歲)，妹妹為42?24?18(歲)．

答：那時哥哥24歲，妹妹18歲．

【鞏固】兄弟倆現在年齡和是28歲，3年前哥哥比弟弟大2歲，兄弟倆現在各多少歲？ 【解析】3年前哥哥比弟弟大2歲，現在哥哥仍比弟弟大2歲，他們的年齡差不變．

哥哥：（28?2）?2?15(歲)弟弟：28?15?13(歲)答：哥哥現在15歲，弟弟現在13歲．

【鞏固】今年小玲6歲,她父親34歲,當兩人年齡和是58歲時,兩人年齡各多少歲? 【解析】題中沒有給出小玲和父親的年齡之差,但是已知兩人今年的年齡,那么兩人的年齡差是34-6=28(歲),不論再過多少年,兩人的年齡差是保持不變的,所以當兩人年齡和為58歲時,他們的年齡差仍是28歲,根據和差問題就可解此題。解: 1.父親的年齡：〔58+(34-6)〕÷2=〔58+28〕÷2=86÷2=43(歲)2.小玲的年齡：58-43=15(歲)答:當兩人年齡和為58歲時,父親的年齡是43歲,小玲的年齡是15歲。

【鞏固】今年小強7歲，爸爸35歲，當兩人年齡和是58歲時，兩人年齡各多少歲？

【解析】題中沒有給出小強和爸爸年齡之差，但是已知兩人今年的年齡，那么今年兩人的年齡差是35-7=28（歲）.不論過多少年，兩人的年齡差是保持不變的.所以，當兩人年齡和為58歲時他們年齡差仍是28歲.爸爸的年齡：[58＋（35-7）]÷2=[58＋28]÷2=86÷2=43（歲）小強的年齡：58-43＝15（歲）

答：當父子兩人的年齡和是58歲時，小強15歲，他爸爸43歲。

【例16】小琴、小靜、小蓮三人年齡和是20歲，小琴比小靜大1歲，小蓮比小靜小2歲．三人的年齡各是幾歲？

【解析】以小靜為標準，小琴比小靜大1歲，小蓮比小靜小2歲，把小琴比小靜大的1歲，補給小蓮，那么小琴現在和小靜一樣大，而小蓮比小靜就只小1歲，如果再加上1歲，也和小靜一樣大．那么現在小靜年齡的3倍就應該是．接下來就可以分別求出三人的年齡． 20?1?21（歲）⑴ 小靜年齡的3倍是：20?（2?1）?21（歲）⑵ 小靜現在的年齡是：21?3?7（歲）⑶ 小琴現在的年齡是：7?1?8（歲）⑷ 小蓮現在的年齡是：7?2?5（歲）

【鞏固】甲、乙兩個籠子里共有小雞20只,甲籠里新放4只,乙籠里取出1只,這時乙籠還比甲籠多1只,求甲、乙兩籠原來各有雞多少只? 【解析】這樣想:已知甲、乙兩個籠子里小雞的和是20只,根據甲籠里放入4只,乙籠里取1只,還剩1只可知,甲、乙兩個籠里小雞只數相差:4+1+1=6(只)解: 1.乙籠比甲籠多多少只？4+1+1=6(只)2.甲籠原來有小雞多少只?(20-6)÷2=14÷2=7(只)3.乙籠里原來有小雞多少只? 20-7=13(只)或(20+6)÷2=13(只)答:甲籠里原有小雞7只;乙籠里原有小雞13只。

【例17】四（1）班投票選舉班長，小明得到的選票比小華多14張，小華得到的選票比小玲多8張。如果這3人共得選票54張，那么他們各得選票多少張？

【解析】小玲得到選票最少，我們以小玲得到選票張數為標準，畫出線段圖如下：

可以先求出小玲獲票張數，再求出另外兩個人的獲票張數。觀察線段圖，把小玲獲票張數看作1份，把小華獲票張數去掉8張，把小明獲票張數去掉（8+14）張，都湊成1份，總張數減少為：54-8-（8+14）=24（張）。所以小玲獲票張數：24÷3=8（張）；小華獲票張數：8+8=16（張）； 小明獲票張數：16+14=30（張）。

【例18】一位少年短跑選手，順風跑90米用了10秒鐘。在同樣的風速下，逆風跑70米也用了10秒鐘。問在無風的時候他跑80米要用多少秒？

【解析】如果我們以無風時少年跑步速度為標準，在同樣的風速下，順風跑步速度高出標準的米數，與逆風跑步速度低于標準的米數是相等的，相當與風速。所以無風速度就是順風速度和逆風速度的平均數。

解法一：先求出無風時少年速度：（90÷10+70÷10）÷2=8（米）。

再求出無風的時候該少年跑80米需要的時間：80÷8=10（秒）。

解法二：以10秒跑步路程為標準，該少年無風時10秒跑步路程為：

（90+70）÷2=80（米）。

所以，在無風的時候該跑80米要用10秒。

【例19】如右圖，4個一樣大的長方形和1個小正方形拼成了1個大正方形。大正方形的面積是64平方分米，小正方形的面積是4平方分米，問長方形的寬是幾分米？

【解析】對64和4進行拆分：64=8×8；4=2×2。所以，大正方形的邊長為8，即長方形長與寬的和為8；小正方形的邊長為2，即長方形長和寬的差為2。所以，長方形的寬為：（8-2）÷2=3（分米）。

【例20】姐姐做自然練習比妹妹做算術練習多用48分鐘，比妹妹做英語練習多用42分鐘，妹妹做算術、英語兩門練習共用了44分鐘，那么妹妹做英語練習用了多少分鐘？ 【解析】“姐姐做自然練習比妹妹做算術練習多用48分鐘，比妹妹做英語練習多用42分鐘”，由此可以推出妹妹做算術練習比做英語練習少用時間：48-42=6（分鐘）。所以妹妹做英語練習的時間為：（44+6）÷2=25（分鐘）。

【鞏固】三個小組共有180人，一、二兩個小組人數之和比第三小組多20人，第一小組比第二小組少2人，求第一小組的人數。

【解析】先將一、二兩個小組作為一個整體，這樣就可以利用基本和差問題公式得出第一、二兩個小組的人數和，然后對第一、二兩個組再作一次和差基本問題計算，就可以得出第一小組的人數。一、二兩個小組人數之和=（180+20）/2=100人，第一小組的人數=（100-2）/2=49人。

【鞏固】甲、乙兩筐蘋果，甲筐比乙筐多19千克，從甲筐取出多少千克放入乙筐，就可以使乙筐中的蘋果比甲筐的多3千克？

【解析】從甲筐取出放入乙筐，總數不變。甲筐原來比乙筐多19千克，后來比乙筐少3千克，也即對19千克進行重分配，甲筐得到的比乙筐少3千克。于是，問題就變成最基本的和差問題：和19千克，差3千克。（19+3）/2=11千克，從甲筐取出11千克放入乙筐，就可以使乙筐中的蘋果比甲筐的多3千克。

【鞏固】一個三層書架共放書108本．上層比中層多放11本，下層比中層少放5本，上、中、下三層各放書多少本? 【解析】 中：（108-11+5）÷3=34（本），上：34+11=45（本），下：34－5=29（本）。評析：（1）此題用畫線段圖的方法會更直觀，易懂。

（2）這道題原題的解法是先求中層的書，這樣比較簡單.為了更好的鍛煉學生對這道題的理解，建議老師可以讓學生自己練習先求上層的書的數量，或者先求下層書的數量。

第五篇：三年級和差教案

一． 課題

已知兩個數的和與兩個數的差，求這兩個數。公式：大數=（和+差）÷2

小數=和-大數

小數=（和-差）÷2

大數=和-小數 二． 教學要求 熟練掌握和運用和差。三． 教學過程 ①引入方式

②新概念如何講 ③例題

1。甲乙兩數和是100，甲比乙多20，求甲乙兩數各是多少。乙數是：（100-20）÷2=40

或甲數是：(100+20)÷2=60

甲數是：100-40=60

乙數是: 100-60=40

答：甲數是60，乙數是40。

2．甲乙兩數和是100，如果甲數拿出20給乙數，則甲乙兩數相等，求甲乙兩數。差：20×2=40 乙數是：（100-40）÷2=30

或甲數是(100+40)÷2=70

甲數是：100-30=70 乙數是：100-70=30 答：甲數是70，乙數是30。

3。小虎語文數學兩科的平均分是96，已知數學比語文多4分，求這兩門功課各得了多少分。96×2=192（分）語文是：（192-4）÷2=94（分）

或數學是：（192+4）÷2=98（分）數學是：192-94=98 語文是：192-98=94 答：語文是94，數學是98。

4。甲乙兩筐水果共重58千克，如果從甲筐中取出10千克放入乙筐后，甲筐還比乙筐多4千克，求甲乙兩筐原來各有多少千克。差：10×2+4=24（千克）甲筐有：（58+24）÷2=41（千克）乙筐有：58-41=17（千克）

答：甲筐有41千克，乙筐有17千克。

5。小磊三天讀一本90頁的書，第二天比第三天多讀5頁，第一天比第二天多讀5頁，求小磊每天個多多少頁。第一天：（90+5+5+5）÷3=35（頁）第二天：35-5=30（頁）第三天：30-5=25（頁）

答：小磊第一天讀35頁，第二天讀30頁，第三天讀25頁。④隨堂練習

1。一個長方形的周長是50厘米，長比寬長3厘米，求長和寬各是多少厘米。

2。兩個連續偶數的和是90，求這兩個數分比是多少。

3．師徒二人一共生產180個零件，師傅比徒弟多生產30個零件，求他們各生產多少個零件。

4。華華的語文和數學平均分是92，數學比語文多4分，求語文數學各是多少分。

5。甲乙兩數和是40，甲數比乙數多12，求甲乙兩數各是多少。

6。某校五年級和六年級共有330人，五年級比六年級多24人，五年級六年級個有多少人。

7。兩根繩子共長36米，第一根比第二根長4米，求兩根繩子各長多少米。

8。甲乙兩個書架共有圖書600本，如果從甲書架拿25本到乙書架，兩個書架相等，甲乙兩

書架各有圖書多少本。

9。今年弟弟8歲，姐姐12歲，當兩人年齡和是48歲時，他們各有幾歲。

10。媽媽今年46歲，女兒今年18歲，當兩人年齡和是70歲時，母女各有多少歲。

11。甲乙兩桶油共重80千克，如果把甲桶的油倒8千克乙桶中，那么兩桶油重量相等，求

甲乙兩桶原來各有多少千克油。

12。兩筐桃子共有150個，如果從甲筐拿出15個到乙筐中，兩筐數量相等，求甲乙兩筐原

來各有多少個桃子。

13。有一個人用220元買了一件外衣，一頂帽子和一雙鞋，外衣比帽子貴110元，外衣和帽

子比鞋貴160元，那么一雙鞋多少錢。

14。甲乙兩個修路隊5天修了275米，甲隊每天比乙隊多修5米，求甲乙兩個修路隊每天各

修多少米。

15。甲乙兩桶油共重70千克，如果把甲桶油倒入乙桶中6千克還比乙桶多4千克，求甲乙

兩桶各有油多少千克。

16。甲乙兩個班級共有學生98人，如果從甲班調5人到乙班后，甲班還比乙班多8人，兩

個班原來各有多少人。

17。某校一二三年級共有共有學生800人，其中三年級比二年級多45人，二年級又比一年級多25人，求三年級有多少人。

18。甲倉庫存糧比乙倉庫少300噸，比丙倉庫多100噸，乙丙倉庫共存糧4000噸，三個倉

庫各存糧多少噸。

19。一根長108米的繩子剪成3段，第一段比第二段長8米，第二段比第三段長27米，三

段繩子歌唱多少米。

20．小紅和爸爸媽媽的年齡和是88歲，已知爸爸比媽媽大4歲，媽媽比小紅大24歲，求他

們各自多少歲。