第一篇：021幾何中線段關系證明歸納

幾何中線段關系證明歸納

幾何證明是初中數(shù)學的重點內(nèi)容之一，而線段關系的證明又是幾何證明中的一個重點，本文將線段關系證明有關知識歸納如下，供同學們學習參考：

一、證線段不等關系的證明：

1、利用三角形三邊關系兩邊之和大于第三邊

例

1、已知：P為?ABC內(nèi)任一點。求證：1?AB?BC?AC??AP?BP?CP?AB?BC?AE。

2證明：延長BP交AC于D點，則

在?ABD中，BP+PD

在?PCD中，CP－PD

∴BP+CP

同理，CP+AP

將以上三式相加：

2（AP+BP+CP）<2（AB+BC+AC）即AP+BP+CP

在?PAB中，AB

在?PBC中，BC

在?PAC中，AC

三式相加：AB+BC+AC<2（AP+BD+CP）

∴1?AB?BC?AC??AP?BP?CP?AB?BC?AC 2

A 例

2、如圖在?ABC中，D是BC的中點，DM⊥DN，分別交AB、AC于

M、N，連結MN，求證：BM＋CN＞MN。

略證：連結MD并延長至點P，使MD＝DP，連結NP、CP

PM N C

?MND??PND?MN?PN?

?

?BDM??CDP?BM?CP??BM?CN?MN

??PNC?CP?NC?PN?

2、一個三角形中較大角所對的邊較大

二、證線段平方關系

1、利用勾股定理

例

2、在?ABC中，?A?900，點D和E分別在AC、AB上。

求證：BD2?DE2?BC2。

證明：∵∠A=900由勾股定理 BD2=AB2+AD2DE2=AE2+AD2 ∴BD2－DE2=AB2－AE

2又∵BC2=AB2+AC2CE2=AE2+AC2 ∴BC2－CE2=AB2－AE2BD2―DE2=BC22、利用切割線定理：

3、射影定理

4、垂徑定理

C

三、證線段相等

1、利用線段中垂線性質定理和角平分線性質定理

例

3、等邊三角形ABC的?B、?C平分線相交于O點，OB和OC的垂

直平分線與BC分別相交于E、F，交OB于G，OC于H點。

A求證：BE=EF=FC

證明：∵?ABC是等邊三角形 ∴∠ABC=∠

又∵BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB

∴∠OBE=∠OCF=300連接OE、OF

∵EG，F(xiàn)H分別是BO、OC垂直平分線

又∵EB=EO，F(xiàn)C=FO∴∠EOB=∠EBO=30

00

∠FCO=∠FOC=30∵∠OEF=∠OFE=60

∴?OEF是等邊三角形∵OE=OF=EF∴BE=EF=FC

C2、利用三角形全等證線段相等

例

4、已知，如圖，?ABC，?DCE都是等邊三角形，且B、C、E共線，M、N

分別為BD、AE的中點。

求證：CM=CN。

證明：在?ACE和?BDE中CE=CDAC=BC∠ACE=600+∠ACD∠BCD=60

+∠

ACD

∵∠ACE=∠BCD

∴?ACE≌?BDE（SAS）又∵CM是BD邊中線，CN是AE邊中線

∴CM=CN（全等三角形對應邊上中線相等）

3、用線段比例關系

例4 已知：如圖，E是菱形ABCD的邊DC上一點，AE交BC的延長線于F，EG∥AD交DF于G點．

求證EG=EC．

分析： 這里雖是證兩線段相等，但以前的方法很難湊效．題設中給了許多直線平行的條件，由此可寫出很多比例式．所以應考慮通過證明比相等來證明線段相等的方法．

說明： 應用比例證明線段相等的方法是：

五、證明線段的倍分關系

1、截長補短法

例

5、如圖，AE∥BC，AD、BD分別平分∠EAB、∠CBA，EC過點D。求證：AB=AE+BC。

證明：在AB上截取AF=ED，連結DFAE=AF∠1=∠2AD=AD

∵?AED≌?AFD（SAS）E

∴∠E=∠AFD

又∵AE∥BC∴∠E+∠C=1800∠AFD+∠C=1800

又∵∠AFD+∠DFB=1800

∴∠C=∠DFB∠3=∠4 BD=BD

∵?DFB≌?DCB（AAS）∴BF=BC即AB=AE+BC2、加倍折半法

例

6、已知?ABC中，AB=AC，E為AB中點，在AB延長線上取一點D，使BD=BA。

求證：CD=2CE。

證明：延長CE到F，使EF=CE，連結BF∵AE=EB，∠AEC=∠BEF，CE=FE

∵?AEC≌?BEF∴∠A=∠1，AC=BF

又∵AB=AC=BD

∴BF=BD，∠CBF=∠CBA+∠1，∠CBD=∠ACB+∠∴∠CBF=∠CBD

又∵BC=BC∴?CBF≌?CBD

∵CF=CD∴CE=1

CD∴CD=2CE

C

第二篇：證明線段之間關系的技巧

證明線段之間數(shù)量關系的技巧

證明兩線段相等

★1.兩全等三角形中對應邊相等。

★2.同一三角形中等角對等邊。

3.等腰三角形三線合一。

★4.直角三角形中斜邊上的中點到三個頂點距離相等。

6.中垂線上任意一點到線段兩端距離相等。

7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。

8.過三角形一邊的中點且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。★9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。

證明線段的和差倍分

1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。

3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。

4.取長線段的中點，再證其一半等于短線段。

5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質等）。

2.*證明線段不等

1.同一三角形中，大角對大邊。

2.垂線段最短。

3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

4.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。

5.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。

證明兩條線段（直線）之間位置關系的技巧

證明兩條直線互相垂直

★1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。

2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。4.鄰補角的平分線互相垂直。

5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。

7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。

★8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的對角線互相垂直。

★10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦。★11.利用半圓上的圓周角是直角。

證明兩直線平行

1.垂直于同一直線的各直線平行。

2.同位角相等，內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補的兩直線平行。3.平行四邊形的對邊平行。

★4.三角形的中位線平行于第三邊。★5.梯形的中位線平行于兩底。

6.平行于同一直線的兩直線平行。

★7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應成比例，則這條直線

平行于第三邊。

例1.如圖

3垂線。求證：KH∥

例2.已知：如圖6于O。

求證：AC＝AE

DE。

求證：EC＝ED

例3.已知?ABC

例4.如圖，AB（1）求證：CF=BF（2）若AD=2，⊙O的半徑為3，求BC的長

1.已知：如圖

于E，且有

2.已知：如圖求證：BC＝

3.已知：如圖13所示，過?ABC的頂點A，在∠A內(nèi)任引一射線，過B、C作此射線的垂線BP和CQ。設M為BC 求證：MP＝MQ

4.(2009年濰坊)交于點I，延長AI交圓（1）求證：BD=DC=DI（2）若圓O的半徑為

第三篇：初中幾何證明線段和角相等的方法

初中幾何證明線段和角相等的方法大全

一、證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對應邊相等。

2.同一三角形中等角對等邊。

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。

4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等。

5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。

6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。

7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。

8.過三角形一邊的中點且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。

9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。

10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。

11.兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等。

12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長相等。

13.等于同一線段的兩條線段相等。

二、證明兩角相等

1.兩全等三角形的對應角相等。

2.同一三角形中等邊對等角。

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。

4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯角或平行四邊形的對角相等。

5.同角（或等角）的余角（或補角）相等。

6.同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。

7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

8.相似三角形的對應角相等。

9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角。10.等于同一角的兩個角相等

下面有好幾種可以證明線段相等的方法，你自己選吧。

（一）常用軌跡中：

①兩平行線間的距離處處相等。

②線段中垂線上任一點到線段兩端點的距離相等。

③角平分線上任一點到角兩邊的距離相等。

④若一組平行線在一條直線上截得的線段相等，則在其它直線上截得的線段也相等(圖1）。

（二）三角形中：

①同一三角形中，等角對等邊。（等腰三角形兩腰相等、等邊三角形三邊相等）②任意三角形的外心到三頂點的距離相等。

③任意三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等。

④等腰三角形頂角的平分線（或底邊上的高、中線）平分底邊。

⑤直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊一半。

⑥有一角為60°的等腰三角形是等腰三角形是等邊三角形。

⑦過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊(圖2）。

⑧同底或等底的三角形，若面積相等，則高也相等。同高或等高的三角形，若面積相等，則底也相等(圖3）。

（三）四邊形中：

①平行四邊形對邊相等，對角線相互平分。

②矩形對角線相等，且其的交點到四頂點的距離相等。

③菱形中四邊相等。

④等腰梯形兩腰相等、兩對角線相等。

⑤過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰(圖4）。

（四）正多邊形中：

①正多邊形的各邊相等。且邊長an = 2Rsin(180°/ n)

②正多邊形的中心到各頂點的距離(外接圓半徑R)相等、各邊的距離(邊心距rn)相等。

且rn = Rcos(180°/ n)

（五）圓中：

①同圓或等圓的半徑相等、直徑相等；等弧或等圓心角、等圓周角所對的弦、弦心距相等。

②同圓或等圓中，等弦所對的弦心距相等，等弦心距所對的弦相等。

③任意圓中，任一弦總被與它垂直的半徑或直徑平分。

④自圓外一點所作圓的兩切線長相等。

⑤兩相交或外切或外離圓的二公切線的長相等；兩外離圓的二內(nèi)公切線的長也相等。

⑥兩相交圓的公共弦總被連心線垂直平分（圖5）。

⑦兩外切圓的一條外公切線與內(nèi)公切線的交點到三切點的距離相等（圖6）。⑧兩同心圓中，內(nèi)圓的任一切線夾在外圓內(nèi)的弦總相等且都被切點平分（圖7）。

（六）全等形中：

①全等形中，一切對應線段（對應的邊、高、中線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑……）都相等。

（七）線段運算：

①對應相等線段的和相等；對應相等線段的差相等。

②對應相等線段乘以的相等倍數(shù)所得的積相等；對應相等線段除以的相等倍數(shù)所得的商相等。

③兩線段的長具有相同的數(shù)學解析式，或二解析式相減為零，或相除為1，則此二線段相等。

第四篇：初中幾何證明線段和角相等的方法

初中幾何證明線段和角相等的方法大全

一、證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對應邊相等。

2.同一三角形中等角對等邊。

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。

4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等。

5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。

6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。

7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。

8.過三角形一邊的中點且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。

9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。

10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。

11.兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等。12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長相等。13.等于同一線段的兩條線段相等。

二、證明兩角相等

1.兩全等三角形的對應角相等。

2.同一三角形中等邊對等角。

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。

4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯角或平行四邊形的對角相等。

5.同角（或等角）的余角（或補角）相等。

6.同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。

7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

8.相似三角形的對應角相等。

9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角。10.等于同一角的兩個角相等

第五篇：幾何證明

龍文教育浦東分校學生個性化教案

學生：錢寒松教師：周亞新時間：2010-11-27

學生評價◇特別滿意◇滿意◇一般◇不滿意

【教材研學】

一、命題

1．概念：對事情進行判斷的句子叫做命題．

2．組成部分：命題由題設和結論兩部分組成．每個命題都可以寫成“如果??，那么??”的形式，“如果”的內(nèi)容部分是題設，“那么”的內(nèi)容部分是結論．

3．分類：命題分為真命題和假命題兩種．判斷正確的命題稱為真命題，反之稱為假命題．驗證一個命題是真命題，要經(jīng)過證明；驗證一個命題是假命題，可以舉出一個反例．

二、互逆命題

1．概念：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個

命題的結論是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個叫做原命題，則另一個就叫做它的逆命題．

2．說明：

（1）任何一個命題都有逆命題，它們互為逆命題，“互逆”是指兩個命題之間的關系；

（2）把一個命題的題設和結論交換，就得到它的逆命題；

（3）原命題成立，它的逆命題不一定成立，反之亦然．

三、互逆定理

1．概念：如果一個定理的逆命題也是定理（即真命題），那么這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理．

2．說明：

（1）不是所有的定理都有逆定理，如“對頂角相等”的逆命題是“如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角”，這是一個假命題，所以“對頂角相等”沒有逆定理．

（2）互逆定理和互逆命題的關系：互逆定理首先是互逆命題，是互逆命題中要求更為嚴謹?shù)囊活悾椿ツ婷}包含互逆定理．

所以∠C=∠C’=90°，即△ABC是直角三角形．

【點石成金】

例1． 指出下列命題的題設和結論，并寫出它們的逆命題．

（1）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；

（2）直角三角形的兩個銳角互余；

（3）對頂角相等．

分析：解題的關鍵是找出原命題的題設和結論，然后再利用互逆命題的特征寫出它們的逆命題．

（1）題設是“兩條平行線被第三條直線所截”，結論是“同旁內(nèi)角互補”；逆命題是“如果兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行”．

（2）題設是“如果一個三角形是直角三角形”，結論是“那么這個三角形的兩個銳角互余”；逆命題是“如果一個三角形中兩個銳角互余，那么這個三角形是直角三角形”．

（3）題設是“如果兩個角是對頂角”，結論是“那么這兩個角相等”；逆命題是“如果有兩個角相等，那么它們是課題：幾何證明

對頂角”．

名師點金：當一個命題的逆命題不容易寫時，可以先把這個命題寫成“如果??，那么??”的形式，然后再把題設和結論倒過來即可．

例2．某同學寫出命題“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題是“如果一個三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，那么這個三角形是直角三角形”，你認為他寫得對嗎?

分析：寫出一個命題的逆命題，是把原命題的題設和結論互換，但有時需要適當?shù)淖兺ǎ纭暗妊切蔚膬傻捉窍嗟取钡哪婷}不能寫成“兩底角相等的三角形是等腰三角形”，因為我們還沒有判斷出是等腰三角形，所以不能有“底角”這個概念．

解：上面的寫法不對．原命題條件是直角三角形，斜邊是直角三角形的邊的特有稱呼，該同學寫的逆命題的條件中提到了斜邊，就已經(jīng)承認了直角三角形，就不需要再得這個結論了．因此，逆命題應寫成“如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形”．

名師點金：在寫一個命題的逆命題時，千萬要注意一些專用詞的用法．

例3．如圖，在△ABD和△ACE中，有下列四個等式：① AB=AC；②AD=AE；③ ∠1=∠2；④BD=CE．請你以其中三個等式作為題設，余下的作為結論，寫出一個真命題(要求寫出已知，求證及證明過程)

解：選①②③作為題設，④作為結論．

已知：如圖19—4—103，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

求證：BD=CE,證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD．

即∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，AB=AC．∠BAD＝∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（S．A．S．）∴BD=CE．

名師點金：本題考查的是證明三角形的全等，但條件較為開放．當然，此題的條件還可以任選其他三個．

【練習】

1．“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”的題設是____________________，結論是_________________________

2．判斷：（1）任何一個命題都有逆命題．()

（2）任何一個定理都有逆定理．()

【升級演練】

一、基礎鞏固

1．下列語言是命題的是()

A．畫兩條相等的線段B．等于同一個角的兩個角相等嗎

C．延長線段AD到C，使OC=OAD．兩直線平行，內(nèi)錯角相等

2．下列命題的逆命題是真命題的是()

A．直角都相等B．鈍角都小于180。

龍文教育浦東分校個性化教案ABDEC.cn

C．如果x+y=0，那么x=y=0D．對頂角相等

3．下列說法中，正確的是()

A．一個定理的逆命題是正確的B．命題“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命題是正確的C．任何命題都有逆命題

D．定理、公理都應經(jīng)過證明后才能用

4．下列這些真命題中，其逆命題也真的是()

A．全等三角形的對應角相等

B．兩個圖形關于軸對稱，則這兩個圖形是全等形

C．等邊三角形是銳角三角形

D．直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

5．證明一個命題是假命題的方法有__________．

6．將命題“所有直角都相等”改寫成“如果??那么?”的形式為___________。

7．舉例說明“兩個銳角的和是銳角”是假命題。

二、探究提高

8．下列說法中，正確的是()

A．每個命題不一定都有逆命題B．每個定理都有逆定理

c．真命題的逆命題仍是真命題D．假命題的逆命題未必是假命題

9．下列定理中，沒有逆定理的是()

A．內(nèi)錯角相等，兩直線平行B．直角三角形中兩銳角互余

c．相反數(shù)的絕對值相等D．同位角相等，兩直線平行

三、拓展延伸

10．下列命題中的真命題是()

A．銳角大于它的余角B．銳角大于它的補角

c．鈍角大于它的補角D．銳角與鈍角之和等于平角

11．已知下列命題：①相等的角是對頂角；②互補的角就是平角；③互補的兩個角一定是一個銳角，另一個為鈍角；④平行于同一條直線的兩直線平行；⑤鄰補角的平分線互相垂直．其中，正確命題的個數(shù)為()

A．0個B．1個C．2個D．3個

龍文教育浦東分校個性化教案