第一篇：工程問題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的重點(diǎn)

工程問題

工程問題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的重點(diǎn)，是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的引申與補(bǔ)充，是培養(yǎng)學(xué)生抽象邏輯思維能力的重要工具。它是函數(shù)一一對(duì)應(yīng)思想在應(yīng)用題中的有力滲透。工程問題也是教材的難點(diǎn)。工程問題是把工作總量看成單位“1”的應(yīng)用題，它具有抽象性，學(xué)生認(rèn)知起來比較困難。

因此，在教學(xué)中，如何讓學(xué)生建立正確概念是數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵。本節(jié)課從始至終都以工程問題的概念來貫穿，目的在于使學(xué)生理解并熟練掌握概念。

聯(lián)系實(shí)際談話引入。引入設(shè)懸，滲透概念。目的在于讓學(xué)生復(fù)習(xí)理解工作總量、工作時(shí)間、工作效率之間的概念及它們之間的數(shù)量關(guān)系。初步的復(fù)習(xí)再次強(qiáng)化工程問題的概念。

通過比較，建立概念。在教學(xué)中充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，運(yùn)用學(xué)生已有的知識(shí)“包含除”來解決合作問題。

合理運(yùn)用強(qiáng)化概念。學(xué)生在感知的基礎(chǔ)上，于頭腦中初步形成了概念的表象，具備概念的原型。一部分學(xué)生只是接受了概念，還沒有完全消化概念。所以我編擬了練習(xí)題，目的在于通過學(xué)生運(yùn)用，來幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解、消化概念，使學(xué)生更加熟練的找到了工程問題的解題方法。在學(xué)生大量練習(xí)后，引出含有數(shù)量的工作問題，讓學(xué)生自己找到問題的答案。從而又一次突出工程問題概念的核心。

在日常生活中，做某一件事，制造某種產(chǎn)品，完成某項(xiàng)任務(wù)，完成某項(xiàng)工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作時(shí)間這三個(gè)量，它們之間的基本數(shù)量關(guān)系是 ——工作量=工作效率×?xí)r間.在小學(xué)數(shù)學(xué)中，探討這三個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用題，我們都叫做“工程問題”.舉一個(gè)簡單例子.：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.問兩人合作幾天可以完成？

一件工作看成1個(gè)整體，因此可以把工作量算作1.所謂工作效率，就是單位時(shí)間內(nèi)完成的工作量，我們用的時(shí)間單位是“天”，1天就是一個(gè)單位，再根據(jù)基本數(shù)量關(guān)系式，得到

所需時(shí)間=工作量÷工作效率

=6（天）?

兩人合作需要6天.這是工程問題中最基本的問題，這一講介紹的許多例子都是從這一問題發(fā)展產(chǎn)生的.為了計(jì)算整數(shù)化（盡可能用整數(shù)進(jìn)行計(jì)算），如第三講例3和例8所用方法，把工作量多設(shè)份額.還是上題，10與15的最小公倍數(shù)是30.設(shè)全部工作量為30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩人合作所需天數(shù)是

30÷（3+ 2）= 6（天）

數(shù)計(jì)算，就方便些.∶2.或者說“工作量固定，工作效率與時(shí)間成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.當(dāng)知道了兩者工作效率之比，從比例角度考慮問題，也

需時(shí)間是

因此，在下面例題的講述中，不完全采用通常教科書中“把工作量設(shè)為整體1”的做法，而偏重于“整數(shù)化”或“從比例角度出發(fā)”，也許會(huì)使我們的解題思路更靈活一些.一、兩個(gè)人的問題

標(biāo)題上說的“兩個(gè)人”，也可以是兩個(gè)組、兩個(gè)隊(duì)等等的兩個(gè)集體.例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.現(xiàn)在甲先做了3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成.乙需要做幾天可以完成全部工作？

答：乙需要做4天可完成全部工作.解二：9與6的最小公倍數(shù)是18.設(shè)全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成份.乙完成余下工作所需時(shí)間是

（18-2 × 3）÷ 3= 4（天）.解三：甲與乙的工作效率之比是

6∶ 9= 2∶ 3.甲做了3天，相當(dāng)于乙做了2天.乙完成余下工作所需時(shí)間是6-2=4（天）.例2 一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？

解：共做了6天后，原來，甲做 24天，乙做 24天，現(xiàn)在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.這說明原來甲24天做的工作，可由乙做16天來代替.因此甲的工作效率

如果乙獨(dú)做，所需時(shí)間是

如果甲獨(dú)做，所需時(shí)間是

答：甲或乙獨(dú)做所需時(shí)間分別是75天和50天.例3 某工程先由甲獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成.現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，然后再由乙來單獨(dú)完成，那么乙還需要做多少天？

解：先對(duì)比如下：

甲做63天，乙做28天；

甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的甲先單獨(dú)做42天，比63天少做了63-42=21（天），相當(dāng)于乙要做

因此，乙還要做

28+28= 56（天）.答：乙還需要做 56天.例4 一件工程，甲隊(duì)單獨(dú)做10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成.現(xiàn)在兩隊(duì)合作，其間甲隊(duì)休息了2天，乙隊(duì)休息了8天（不存在兩隊(duì)同一天休息）.問開始到完工共用了多少天時(shí)間？

解一：甲隊(duì)單獨(dú)做8天，乙隊(duì)單獨(dú)做2天，共完成工作量

余下的工作量是兩隊(duì)共同合作的，需要的天數(shù)是

2+8+ 1= 11（天）.答：從開始到完工共用了11天.解二：設(shè)全部工作量為30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲隊(duì)單獨(dú)做8天，乙隊(duì)單獨(dú)做2天之后，還需兩隊(duì)合作

（30-3 × 8-1× 2）÷（3+1）= 1（天）.解三：甲隊(duì)做1天相當(dāng)于乙隊(duì)做3天.在甲隊(duì)單獨(dú)做 8天后，還余下（甲隊(duì)）10-8= 2（天）工作量.相當(dāng)于乙隊(duì)要做2×3=6（天）.乙隊(duì)單獨(dú)做2天后，還余下（乙隊(duì)）6-2=4（天）工作量.4=3+1，其中3天可由甲隊(duì)1天完成，因此兩隊(duì)只需再合作1天.例5 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成.現(xiàn)在他們兩隊(duì)一起做，其間甲隊(duì)休息了3天，乙隊(duì)休息了若干天.從開始到完成共用了16天.問乙隊(duì)休息了多少天？

解一：如果16天兩隊(duì)都不休息，可以完成的工作量是

由于兩隊(duì)休息期間未做的工作量是

乙隊(duì)休息期間未做的工作量是

乙隊(duì)休息的天數(shù)是

答：乙隊(duì)休息了5天半.解二：設(shè)全部工作量為60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩隊(duì)休息期間未做的工作量是

（3+2）×16-60= 20（份）.因此乙休息天數(shù)是

（20-3 × 3）÷ 2= 5.5（天）.解三：甲隊(duì)做2天，相當(dāng)于乙隊(duì)做3天.甲隊(duì)休息3天，相當(dāng)于乙隊(duì)休息4.5天.如果甲隊(duì)16天都不休息，只余下甲隊(duì)4天工作量，相當(dāng)于乙隊(duì)6天工作量，乙休息天數(shù)是

16-6-4.5=5.5（天）.例6 有甲、乙兩項(xiàng)工作，張單獨(dú)完成甲工作要10天，單獨(dú)完成乙工作要15天；李單獨(dú)完成甲工作要 8天，單獨(dú)完成乙工作要20天.如果每項(xiàng)工作都可以由兩人合作，那么這兩項(xiàng)工作都完成最少需要多少天？

解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高.因此讓李先做甲，張先做乙.設(shè)乙的工作量為60份（15與20的最小公倍數(shù)），張每天完成4份，李每天完成3份.8天，李就能完成甲工作.此時(shí)張還余下乙工作（60-4×8）份.由張、李合作需要

（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.8+4=12（天）.答：這兩項(xiàng)工作都完成最少需要12天.例7 一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需10天，乙獨(dú)做需15天，如果兩人合作，他

要8天完成這項(xiàng)工程，兩人合作天數(shù)盡可能少，那么兩人要合作多少天？

解：設(shè)這項(xiàng)工程的工作量為30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩人合作，共完成

3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2（份）.因?yàn)閮扇撕献魈鞌?shù)要盡可能少，獨(dú)做的應(yīng)是工作效率較高的甲.因?yàn)橐?天內(nèi)完成，所以兩人合作的天數(shù)是

（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）.很明顯，最后轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”型問題.例8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比單獨(dú)做時(shí)快

如果這件工作始終由甲一人單獨(dú)來做，需要多少小時(shí)？

解：乙6小時(shí)單獨(dú)工作完成的工作量是

乙每小時(shí)完成的工作量是

兩人合作6小時(shí)，甲完成的工作量是

甲單獨(dú)做時(shí)每小時(shí)完成的工作量

甲單獨(dú)做這件工作需要的時(shí)間是

答：甲單獨(dú)完成這件工作需要33小時(shí).這一節(jié)的多數(shù)例題都進(jìn)行了“整數(shù)化”的處理.但是，“整數(shù)化”并不能使所有工程問題的計(jì)算簡便.例8就是如此.例8也可以整數(shù)化，當(dāng)求出乙每有一點(diǎn)方便，但好處不大.不必多此一舉.二、多人的工程問題

我們說的多人，至少有3個(gè)人，當(dāng)然多人問題要比2人問題復(fù)雜一些，但是解題的基本思路還是差不多.例9 一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.問甲一人獨(dú)做需要多少天完成？

解：設(shè)這件工作的工作量是1.甲、乙、丙三人合作每天完成

減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人獨(dú)做需要90天完成.例9也可以整數(shù)化，設(shè)全部工作量為180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.請(qǐng)?jiān)囈辉嚕?jì)算是否會(huì)方便些？

例10 一件工作，甲獨(dú)做要12天，乙獨(dú)做要18天，丙獨(dú)做要24天.這件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍，終于做完了這件工作.問總共用了多少天？

解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.說明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了

2+6+12=20（天）.答：完成這項(xiàng)工作用了20天.本題整數(shù)化會(huì)帶來計(jì)算上的方便.12，18，24這三數(shù)有一個(gè)易求出的最小公倍數(shù)72.可設(shè)全部工作量為72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.總共用了

例11 一項(xiàng)工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天.問這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需要多少天？

解：丙2天的工作量，相當(dāng)乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當(dāng)于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.他們共同做13天的工作量，由甲單獨(dú)完成，甲需要

答：甲獨(dú)做需要26天.事實(shí)上，當(dāng)我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相當(dāng)于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉(zhuǎn)化為甲再做13天來完成.例12 某項(xiàng)工作，甲組3人8天能完成工作，乙組4人7天也能完成工作.問甲組2人和乙組7人合作多少時(shí)間能完成這項(xiàng)工作？

解一：設(shè)這項(xiàng)工作的工作量是1.甲組每人每天能完成

乙組每人每天能完成

甲組2人和乙組7人每天能完成答：合作3天能完成這項(xiàng)工作.解二：甲組3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙組4人7天能完成，因此7人4天能完成.現(xiàn)在已不需顧及人數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為：

甲組獨(dú)做12天，乙組獨(dú)做4天，問合作幾天完成？

小學(xué)算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的特殊性.解二是比例靈活運(yùn)用的典型，如果你心算較好，很快就能得出答數(shù).例13 制作一批零件，甲車間要10天完成，如果甲車間與乙車間一起做只要6天就能完成.乙車間與丙車間一起做，需要8天才能完成.現(xiàn)在三個(gè)車間一起做，完成后發(fā)現(xiàn)甲車間比乙車間多制作零件2400個(gè).問丙車間制作了多少個(gè)零件？

解一：仍設(shè)總工作量為1.甲每天比乙多完成

因此這批零件的總數(shù)是

丙車間制作的零件數(shù)目是

答：丙車間制作了4200個(gè)零件.解二：10與6最小公倍數(shù)是30.設(shè)制作零件全部工作量為30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知

乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.已知

甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8.綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是

12∶8∶7.當(dāng)三個(gè)車間一起做時(shí)，丙制作的零件個(gè)數(shù)是

2400÷（12-8）× 7= 4200（個(gè)）.例14 搬運(yùn)一個(gè)倉庫的貨物，甲需要10小時(shí)，乙需要12小時(shí)，丙需要15小時(shí).有同樣的倉庫A和B，甲在A倉庫、乙在B倉庫同時(shí)開始搬運(yùn)貨物，丙開始幫助甲搬運(yùn)，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運(yùn).最后兩個(gè)倉庫貨物同時(shí)搬完.問丙幫助甲、乙各多少時(shí)間？

解：設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉庫的貨物的工作量是1.現(xiàn)在相當(dāng)于三人共同完成工作量2，所需時(shí)間是

答：丙幫助甲搬運(yùn)3小時(shí)，幫助乙搬運(yùn)5小時(shí).解本題的關(guān)鍵，是先算出三人共同搬運(yùn)兩個(gè)倉庫的時(shí)間.本題計(jì)算當(dāng)然也可以整數(shù)化，設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉庫全部工作量為 60.甲每小時(shí)搬運(yùn) 6，乙每小時(shí)搬運(yùn) 5，丙每小時(shí)搬運(yùn)4.三人共同搬完，需要

× 2÷（6+ 5+ 4）= 8（小時(shí)）.甲需丙幫助搬運(yùn)

（60-6× 8）÷ 4= 3（小時(shí)）.乙需丙幫助搬運(yùn)

（60-5× 8）÷4= 5（小時(shí)）.三、水管問題

從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來看，水管問題與工程問題是一樣的.水池的注水或排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，注水量或排水量就是工作量.單位時(shí)間里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問題，不過是工作量有加有減罷了.因此，水管問題與工程問題的解題思路基本相同.例15 甲、乙兩管同時(shí)打開，9分鐘能注滿水池.現(xiàn)在，先打開甲管，10分鐘后打開乙管，經(jīng)過3分鐘就注滿了水池.已知甲管比乙管每分鐘多注入0.6立方米水，這個(gè)水池的容積是多少立方米？

解：甲每分鐘注入水量是 ：（1-1/9× 3）÷10=1/15

乙每分鐘注入水量是：1/9-1/15=2/45

因此水池容積是：0.6÷（1/15-2/45）=27（立方米）

答：水池容積是27立方米.例16 有一些水管，它們每分鐘注水量都相等.現(xiàn)在打開其中若干根水管，經(jīng)過預(yù)定的時(shí)間的1/3，再把打開的水管增加一倍，就能按預(yù)定時(shí)間注滿水池，如果開始時(shí)就打開10根水管，中途不增開水管，也能按預(yù)定時(shí)間注滿水池.問開始時(shí)打開了幾根水管？

分析：增開水管后，有原來2倍的水管，注水時(shí)間是預(yù)定時(shí)間的1-1/3=2/3，2/3是1/3的2倍，因此增開水管后的這段時(shí)間的注水量，是前一段時(shí)間注水量的4倍。設(shè)水池容量是1，前后兩段時(shí)間的注水量之比為：1：4，那么預(yù)定時(shí)間的1/3（即前一段時(shí)間）的注水量是1/（1+4）=1/5。

10根水管同時(shí)打開，能按預(yù)定時(shí)間注滿水，每根水管的注水量是1/10，預(yù)定時(shí)間的1/3，每根水官的注水量是1/10×1/3=1/30

要注滿水池的1/5，需要水管1/5÷1/30=6（根）

解：前后兩段時(shí)間的注水量之比為：1：[（1-1/3）÷1/3×2]=1：4

前段時(shí)間注水量是：1÷（1+4）=1/5

每根水管在預(yù)定1/3的時(shí)間注水量為：1÷10×1/3=1/30

開始時(shí)打開水管根數(shù)：1/5÷1/30=6（根）

答：開始時(shí)打開6根水管。

例17 蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管，和乙、丁兩條排水管.要灌滿一池水，單開甲管需3小時(shí)，單開丙管需要5小時(shí).要排光一池水，單開乙管需要 4小，丁管需要6小時(shí)，現(xiàn)在水池內(nèi)有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙……的順序輪流打開1小時(shí)，問多少時(shí)間后水開始溢出水池？

分析：，否則開甲管的過程中水池里的水就會(huì)溢出.以后（20小時(shí)），池中的水已有

此題與廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉進(jìn)了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到達(dá)井口，每小時(shí)它總是爬3尺，又滑下2尺.問這只青蛙需要多少小時(shí)才能爬到井口？

看起來它每小時(shí)只往上爬3-2= 1（尺），但爬了27小時(shí)后，它再爬1小時(shí)，往上爬了3尺已到達(dá)井口.因此，答案是28小時(shí)，而不是30小時(shí).例18 一個(gè)蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果打開5個(gè)水龍頭，2小時(shí)半就把水池水放空，如果打開8個(gè)水龍頭，1小時(shí)半就把水池水放空.現(xiàn)在打開13個(gè)水龍頭，問要多少時(shí)間才能把水放空？

解：先計(jì)算1個(gè)水龍頭每分鐘放出水量.2小時(shí)半比1小時(shí)半多60分鐘，多流入水× 60= 240（立方米）.時(shí)間都用分鐘作單位，1個(gè)水龍頭每分鐘放水量是

240 ÷（5× 150-8 × 90）= 8（立方米），8個(gè)水龍頭1個(gè)半小時(shí)放出的水量是× 8 × 90，其中 90分鐘內(nèi)流入水量是 4 × 90，因此原來水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.打開13個(gè)水龍頭每分鐘可以放出水8×13，除去每分鐘流入4，其余將放出原存的水，放空原存的5400，需要

5400 ÷（8 × 13-4）=54（分鐘）.答：打開13個(gè)龍頭，放空水池要54分鐘.水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的.例19 一個(gè)水池，地下水從四壁滲入池中，每小時(shí)滲入水量是固定的.打開A管，8小時(shí)可將滿池水排空，打開C管，12小時(shí)可將滿池水排空.如果打開A，B兩管，4小時(shí)可將水排空.問打開B，C兩管，要幾小時(shí)才能將滿池水排空？

解：設(shè)滿水池的水量為1.A管每小時(shí)排出

A管4小時(shí)排出

因此，B，C兩管齊開，每小時(shí)排水量是

B，C兩管齊開，排光滿水池的水，所需時(shí)間是

答： B，C兩管齊開要 4 小時(shí) 48分才將滿池水排完.本題也要分開考慮，水池原有水（滿池）和滲入水量.由于不知具體數(shù)量，像工程問題不知工作量的具體數(shù)量一樣.這里把兩種水量分別設(shè)成“1”.但這兩種量要避免混淆.事實(shí)上，也可以整數(shù)化，把原有水設(shè)為8與12的最小公倍數(shù) 24.17世紀(jì)英國偉大的科學(xué)家牛頓寫過一本《普遍算術(shù)》一書，書中提出了一個(gè)“牛吃草”問題，這是一道饒有趣味的算術(shù)題.從本質(zhì)上講，與例18和例19是類同的.題目涉及三種數(shù)量：原有草、新長出的草、牛吃掉的草.這與原有水量、滲入水量、水管排出的水量，是完全類同的.例20 有三片牧場(chǎng)，場(chǎng)上草長得一樣密，而且長得一

草；21頭牛9星期吃完第二片牧場(chǎng)的草.問多少頭牛18星期才能吃完第三片牧場(chǎng)的草？

解：吃草總量=一頭牛每星期吃草量×牛頭數(shù)×星期數(shù).根據(jù)這一計(jì)算公式，可以設(shè)定“一頭牛每星期吃草量”作為草的計(jì)量單位.原有草+4星期新長的草=12×4.原有草+9星期新長的草=7×9.由此可得出，每星期新長的草是

（7×9-12×4）÷（9-4）=3.那么原有草是

7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.對(duì)第三片牧場(chǎng)來說，原有草和18星期新長出草的總量是

這些草能讓

90×7.2÷18=36（頭）

牛吃18個(gè)星期.答：36頭牛18個(gè)星期能吃完第三片牧場(chǎng)的草.例20與例19的解法稍有一點(diǎn)不一樣.例20把“新長的”具體地求出來，把“原有的”與“新長的”兩種量統(tǒng)一起來計(jì)算.事實(shí)上，如果例19再有一個(gè)條件，例如：“打開B管，10小時(shí)可以將滿池水排空.”也就可以求出“新長的”與“原有的”之間數(shù)量關(guān)系.但僅僅是例19所求，是不需要加這一條件.好好想一想，你能明白其中的道理嗎？

“牛吃草”這一類型問題可以以各種各樣的面目出現(xiàn).限于篇幅，我們只再舉一個(gè)例子.例21 畫展9點(diǎn)開門，但早有人排隊(duì)等候入場(chǎng).從第一個(gè)觀眾來到時(shí)起，每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多.如果開3個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)，如果開5個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)5分就沒有人排隊(duì).問第一個(gè)觀眾到達(dá)時(shí)間是8點(diǎn)幾分？

解：設(shè)一個(gè)入場(chǎng)口每分鐘能進(jìn)入的觀眾為1個(gè)計(jì)算單位.從9點(diǎn)至9點(diǎn)9分進(jìn)入觀眾是3×9，從9點(diǎn)至9點(diǎn)5分進(jìn)入觀眾是5×5.因?yàn)橛^眾多來了9-5=4（分鐘），所以每分鐘來的觀眾是

（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5.9點(diǎn)前來的觀眾是

5×5-0.5×5=22.5.這些觀眾來到需要

22.5÷0.5=45（分鐘）.答：第一個(gè)觀眾到達(dá)時(shí)間是8點(diǎn)15分.挖一條水渠，甲、乙兩隊(duì)合挖要六天完成。甲隊(duì)先挖三天，乙隊(duì)接著挖一天，可挖這條水渠的3/10，兩隊(duì)單獨(dú)挖各需幾天？

分析: 甲乙合作1天后,甲又做了2天共3/10-1/6=4/30

2÷(3/10-1/6)

=2÷4/30

=15(天)

1÷(1/6-1/15)=10(天)

答:甲單獨(dú)做要15天,乙單獨(dú)做要10天..一件工作，如果甲單獨(dú)做，那么甲按規(guī)定時(shí)間可提前2天完成，乙則要超過規(guī)定時(shí)間3天才完成。現(xiàn)在甲乙二人合作二天后，剩下的乙單獨(dú)做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成。若甲乙二人合作，完成工作需多長時(shí)間？

解設(shè):規(guī)定時(shí)間為X天.(甲單獨(dú)要X-2天,乙單獨(dú)要X+3天,甲一共做了2天,乙一共做了X天)

1/(X-2)×2 + X/(X+3)=1

X=12

規(guī)定要12天完成 1÷[1/(12-2)+1/(12+3)] =1÷(1/6)=6天

答:兩人合作完成要6天.例：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做63天，再由乙做28天完成，甲乙合作需要48天完成。甲先做42天，乙做還要幾天？ 答：設(shè)甲的工效為x,乙的工效為y

63x+28y=1

48x+48y=1

x=1/84

y=1/112

乙還要做（1-42/84）÷（1/112）=56（天）

第二篇：小學(xué)數(shù)學(xué)工程類應(yīng)用題

１、一件工作，單獨(dú)一個(gè)人做，張師傅有8小時(shí)完成，李師傅要12小時(shí)完成。現(xiàn)在兩個(gè)人合做，多少小時(shí)完成？

２、修一條的路，甲隊(duì)單獨(dú)修要20天，乙隊(duì)單獨(dú)修要30天。兩隊(duì)同時(shí)修，要多少天完成？

３、運(yùn)一批貨物，大卡車單獨(dú)運(yùn)20次運(yùn)完，小卡車單獨(dú)運(yùn)要40次運(yùn)完。兩輛卡車同時(shí)運(yùn)，多少次可以運(yùn)?

４、一項(xiàng)工程，A隊(duì)要40天完成，B隊(duì)要60天完成，兩隊(duì)合做20天，完成了全工程的幾分之幾？還剩幾分之幾？

５、從A地到B 地，客車8小時(shí)行完全程，貨車要10小時(shí)行完全程。現(xiàn)在兩車同時(shí)從兩地相向出發(fā)，多少小時(shí)兩車相遇？

６、一件工作，張師傅要8天完成，李師傅3天完成了，兩位師傅合做，多少天可以完成？

7、加工一批零件，黃師傅完成，洪師傅天完成。兩人合作多少天完成？

8、挖一條水渠，甲組要12天挖完，乙組要15天挖完。現(xiàn)在甲組先挖4天，然后兩組合挖，還有多少天完成？

9、一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做要20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做要25天完成。現(xiàn)在兩隊(duì)先合做2天，如果由甲對(duì)單獨(dú)做，還要多少天完成？

10、甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)修一條鐵路，兩隊(duì)合修12天完成，甲隊(duì)單獨(dú)修要20天完成。乙隊(duì)單獨(dú)修要多少天完成？

11、加工一批服裝，甲車間要20天完成，乙車間要30天完成，兩個(gè)車間同時(shí)做多少天可以完成一半？

12、一件工作，甲、乙合做１２天完成，已知甲、乙工作效率的比是１：３。兩人單獨(dú)做各要多少天？

工程問題

1、有一批書，小明9天可裝訂3/4，小麗20天可裝訂5/6。小明和小麗兩個(gè)人合作幾天可以裝完？

2、有一件工程，甲獨(dú)做20天可以完成這件工程的1/9，乙獨(dú)做9天可以完成這件工程的1/10，甲、乙兩人合做，需要幾天可以完成這件工程的一半？

3、師徒兩人共同加工一批零件，2天后已加工總數(shù)的1/3，這批零件如果全部由師傅單獨(dú)加工，需要10天完成，如果全部由徒弟加工需幾天完成？

4、一件工作，甲獨(dú)做10小時(shí)完成，乙獨(dú)做12小時(shí)完成，丙獨(dú)做15小時(shí)完成。三人合做幾小時(shí)可以完成工作的一半的一半？

5、從甲地到乙地，慢車要行15小時(shí)，快車要行10小時(shí)，慢車從乙地開出5小時(shí)后，快車從甲地開出，再經(jīng)過幾小時(shí)兩車相遇？

6、一件工程，甲乙兩人合作8天可以完成；乙丙兩人合作6天可以完成；丙丁兩人合作12天可以完成。那么甲丁合作幾天可以完成？

7、有一批機(jī)器零件，甲單獨(dú)制作需要八又二分之一天，比乙單獨(dú)制作多用了1/2天，兩人合作4天后，剩下210個(gè)零件，由甲單獨(dú)去做，自始至終甲共制作了多少個(gè)零件？

8、甲、乙二人騎自行車從環(huán)形公路上同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，背向而行。現(xiàn)在已知甲走一圈的時(shí)間是70分鐘，如果在出發(fā)后第45分鐘甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的時(shí)間是多少分鐘？

9、一件工程，乙隊(duì)先獨(dú)做4天，繼而甲、丙兩隊(duì)合作6天，剩下的工程甲隊(duì)又獨(dú)做9天才完成。已知乙隊(duì)完成的是甲隊(duì)完成的1/3，丙隊(duì)完成的是乙隊(duì)完成的2倍。甲、乙、丙三隊(duì)獨(dú)做各需幾天完成？

10、一個(gè)水池有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管，單開甲管，1/6小時(shí)能注滿水池；單開乙管，1/7小時(shí)能注滿水池。如果甲、乙兩管同時(shí)開啟，多少時(shí)間水池還有1/4尚未注水？

11、某村挖一條水渠，若甲乙兩個(gè)隊(duì)各單獨(dú)挖，甲隊(duì)要12天挖完，乙隊(duì)要15天挖完。現(xiàn)在甲、乙兩隊(duì)合挖2天后，丙隊(duì)也來參加，自丙隊(duì)加入后3天便完工。若丙隊(duì)單獨(dú)挖，需幾天完工？

12、一個(gè)蓄水池裝了一根進(jìn)水管和三根放水速度一樣的出水管。單開一根進(jìn)水管20分鐘可注滿空池，單開一根出水管，45分鐘可以放完滿池的水。現(xiàn)有2/3池水，如果四管齊開，多少分鐘后池水還剩下2/5？

第三篇：淺談小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)

淺談小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)

單位：普寧市高埔鎮(zhèn)新圩小學(xué)

姓名：鄭麟古 電話：2713818

淺談小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)用題教學(xué)既是重點(diǎn)，又是難點(diǎn)，歷來是各個(gè)學(xué)校比較重視的課題。大部分學(xué)生一到做應(yīng)用題就覺得頭疼，常常束手無策。由于應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系一般都具有抽象性與隱蔽性的特點(diǎn)，給學(xué)生解題造成一定的困難。針對(duì)這種情況，在提高學(xué)生解答應(yīng)用題的能力方面，我的做法是：

一、培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真審題的習(xí)慣

做應(yīng)用題時(shí)，一些簡單的應(yīng)用題對(duì)于一部分學(xué)生來說，他并不是不會(huì)做，而是不認(rèn)真讀題、審題，出現(xiàn)了一些不該出現(xiàn)的錯(cuò)誤，所以我們平時(shí)一定要讓學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真讀題、審題的習(xí)慣，而且審題必須認(rèn)真仔細(xì)。通過審題來理解題意，掌握題中講的是一件什么事？經(jīng)過怎樣？結(jié)果如何？通過審題弄清題中給了哪些條件？要求的問題是什么？有些學(xué)生不會(huì)做應(yīng)用題，往往緣于不理解題意。一旦理解了題意，其數(shù)量關(guān)系也將明了。因此，從這個(gè)角度上講理解了題意就等于題目做出了一半。

二、重視應(yīng)用題數(shù)量關(guān)系的分析

數(shù)量關(guān)系是指應(yīng)用題中已知量與未知量之間的關(guān)系。只有搞清楚數(shù)量關(guān)系才能根據(jù)四則運(yùn)算的意義恰當(dāng)?shù)剡x擇算法，把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)式子，通過計(jì)算進(jìn)行解答。分析數(shù)量關(guān)系是解答應(yīng)用題的關(guān)鍵，是應(yīng)用題教學(xué)過程的中心環(huán)節(jié)。在應(yīng)用題教學(xué)中要特別注意訓(xùn)練學(xué)生分析應(yīng)用題中已知量與未知量，已知量與未知量之間存在的相依關(guān)系，把數(shù)量關(guān)系從應(yīng)用題中抽象出來。如：兩列火車同時(shí)從相距525千米的兩地相對(duì)開出，3小時(shí)后相遇。一列火車每小時(shí)行駛90千米，另一列火車每小時(shí)行使多少千米？這道題存在兩個(gè)數(shù)量關(guān)系：（1）兩地路程÷相遇時(shí)間＝兩列火車速度和；（2）兩列火車速度和－一列火車速度＝另一列火車速度。找出這兩個(gè)數(shù)量關(guān)系，對(duì)號(hào)入座，題目就很容易解答了。

三、加強(qiáng)解題思路訓(xùn)練，提高解題能力

進(jìn)行解題思路訓(xùn)練是學(xué)生學(xué)好應(yīng)用題的重要方法。通過審題，找出已知量和未知量之間的聯(lián)系，使已知量和未知量這對(duì)矛盾得到統(tǒng)一，這種構(gòu)想就叫思路。應(yīng)用題教學(xué)中要以指導(dǎo)思考方法為重點(diǎn)，讓學(xué)生掌握解答應(yīng)用題的基本規(guī)律，形成正確的解題思路。如：福田小學(xué)五年級(jí)學(xué)生分三個(gè)組去工廠做膠袋，第一組

第四篇：淺談小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)

淺談小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)

【內(nèi)容摘要】小學(xué)階段的應(yīng)用題是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用已學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)教育，是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。針對(duì)小學(xué)生的思維特點(diǎn)，結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的知識(shí)結(jié)構(gòu)，對(duì)應(yīng)用題教學(xué)提出一些方法與見解，供廣大教師參考。

【關(guān)鍵詞】簡單應(yīng)用題

復(fù)合應(yīng)用題

歸類訓(xùn)練

發(fā)散思維

小學(xué)數(shù)學(xué)是實(shí)施基礎(chǔ)教育的主要學(xué)科，主要是以培養(yǎng)學(xué)生掌握知識(shí)，形成數(shù)學(xué)技能，發(fā)展數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)教學(xué)。小學(xué)階段的應(yīng)用題，其綜合性、邏輯性、應(yīng)用性之強(qiáng)，形成了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一大難點(diǎn)，也在學(xué)生心中產(chǎn)生了一種“望題色變”的恐懼心理。因此，導(dǎo)致考試中頻頻失分。應(yīng)用題教學(xué)已成為許多教師研究的重點(diǎn)對(duì)象。但現(xiàn)實(shí)中許多教師為此付出了勞動(dòng)卻收不到好的效果。那么，怎樣才能使學(xué)生輕松的掌握好應(yīng)用題呢？現(xiàn)在我簡談幾點(diǎn)自己淺陋的看法。

一、重視對(duì)簡單應(yīng)用題的教學(xué)

小學(xué)應(yīng)用題的知識(shí)結(jié)構(gòu)是多方位的。總體上按簡繁來分有兩種，一種是簡單應(yīng)用題，一種是復(fù)合應(yīng)用題。而簡單應(yīng)用題是復(fù)合應(yīng)用題的組成部分，也是復(fù)合應(yīng)用題的教學(xué)基礎(chǔ)。任何一道復(fù)合應(yīng)用題都是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的簡單應(yīng)用題構(gòu)成的，只是它們隱蔽了題中的問題，沒有形成獨(dú)立的簡單應(yīng)用題。因此，必須抓好簡單應(yīng)用題這個(gè)教學(xué)基礎(chǔ)。抓好簡單應(yīng)用題可以進(jìn)行以下幾方面的訓(xùn)練：

1、從最簡單的應(yīng)用題入手。簡單應(yīng)用題按實(shí)際數(shù)量關(guān)系情況來劃分大體有11種，主要集合為“加、減、乘、除”四類。加強(qiáng)對(duì)這四類基本應(yīng)用題的訓(xùn)練，有利于學(xué)生掌握小學(xué)應(yīng)用題最基本的數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)基本的解題思維形式，為復(fù)合應(yīng)用題奠定基礎(chǔ)。

2、補(bǔ)充條件或問題訓(xùn)練。這種訓(xùn)練可以增強(qiáng)學(xué)生了解條件和問題之間的聯(lián)系，懂得什么條件可以解決什么問題，什么問題需要哪些條件來解答。如：“樹上有30只黑鳥，飛來的灰鳥有多少只？” 這 種訓(xùn)練模式形而有效地增強(qiáng)學(xué)生對(duì)應(yīng)用題結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)對(duì)應(yīng)用題條件和問題搭配的合理性。

3、題意不變，改變敘述方式的訓(xùn)練。如：在教學(xué)簡單分?jǐn)?shù)加減法應(yīng)用題時(shí)，我選用了這樣一道題：“有一堆黃土，上午運(yùn)走了2/5噸，下午比上午多運(yùn)走了1/5噸，下午運(yùn)走了多少噸？”然后改述為：“上午比下午少運(yùn)了1/5噸。”這樣比多、比少就清楚地表示出兩個(gè)量之間的聯(lián)系，加深了學(xué)生對(duì)應(yīng)用題中名詞、術(shù)語、概念的理解，提高理解應(yīng)用題的能力。

4、線段圖的訓(xùn)練。用線段圖表示數(shù)量之間的關(guān)系直觀、形象、具體，它是學(xué)生解答應(yīng)用題的好幫手。它可以幫助學(xué)生更好地理解題意，確定計(jì)算方法。在簡單應(yīng)用題中應(yīng)加強(qiáng)這部分的訓(xùn)練，為今后學(xué)習(xí)用線段圖分析復(fù)雜應(yīng)用題打下基礎(chǔ)。

5、自編應(yīng)用題的訓(xùn)練。可分為看圖編題目、看式子編題、交換條件問題編題等。使學(xué)生從不同的角度熟練掌握簡單應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系，提高學(xué)生的思維能力。

二、加強(qiáng)復(fù)合應(yīng)用題的歸類訓(xùn)練

小學(xué)復(fù)合應(yīng)用題是在簡單應(yīng)用題中增添?xiàng)l件或轉(zhuǎn)變問題演變而來的，因此，應(yīng)當(dāng)在簡單應(yīng)用題的基礎(chǔ)上循序漸進(jìn)地對(duì)復(fù)合應(yīng)用題進(jìn)行歸類訓(xùn)練。

1、做好由簡單應(yīng)用題向復(fù)合應(yīng)用題的過渡訓(xùn)練。也就是教學(xué)兩步計(jì)算的應(yīng)用題。為了能使整個(gè)過渡的教學(xué)過程容易些，在教學(xué)一步計(jì)算應(yīng)用題的適當(dāng)機(jī)會(huì)，可以出現(xiàn)多一個(gè)問題的應(yīng)用訓(xùn)練。例如：“百貨商場(chǎng)原有電視 機(jī)有270臺(tái)，又運(yùn)來150臺(tái)，一共有電視機(jī)多少臺(tái)？賣出180臺(tái)后，還剩多少臺(tái)？”這種連續(xù)兩個(gè)問題的應(yīng)用題，去掉一個(gè)問題就變成兩步計(jì)算應(yīng)用題。這樣可以為兩步應(yīng)用題做孕伏，使學(xué)生懂得兩步計(jì)算應(yīng)用題應(yīng)先算什么，后算什么。從而為以后學(xué)習(xí)三步、四步應(yīng)用題打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

2、加強(qiáng)一般復(fù)合應(yīng)用題的解答訓(xùn)練。一般復(fù)合應(yīng)用題的訓(xùn)練方法可以根據(jù)簡單應(yīng)用題的方法進(jìn)行訓(xùn)練，只是所設(shè)計(jì)的題目要有所加深，同時(shí)加強(qiáng)對(duì)分析法和綜合法的聯(lián)合訓(xùn)練，促使學(xué)生靈活地選用解答方法，提高解答應(yīng)用題的能力。

3、加強(qiáng)對(duì)典型復(fù)合應(yīng)用題的教學(xué)。小學(xué)的典型應(yīng)用題必須在一般復(fù)合應(yīng)用題的教學(xué)基礎(chǔ)上進(jìn)行，但典型應(yīng)用題又是某些一般復(fù)合應(yīng)用題的組成部分，所以，加強(qiáng)典型應(yīng)用題訓(xùn)練，又可以擴(kuò)大和加深學(xué)生對(duì)一般復(fù)合應(yīng)用題的理解和應(yīng)用。小學(xué)典型應(yīng)用題主要有：求平均數(shù)應(yīng)用題、歸一應(yīng)用題、行程問題、工程問題、分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題、按比例分配問題等。教師在教學(xué)過程中應(yīng)著重于分類和歸納每種典型應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而有效地幫助學(xué)生掌握它們的解答方法。

三、進(jìn)行發(fā)散思維的訓(xùn)練

發(fā)散思維的訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生舉一反三，觸類旁通，靈活解答應(yīng)用題的重要途徑，有利于學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，形成良好思想品質(zhì)。所以在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)注意利用多種途徑對(duì)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維的訓(xùn)練。

1、“一題多變”訓(xùn)練法。一題多變就是根據(jù)相同的條件提出幾個(gè)不同的問題。如：“樹上有30只黑鳥，40只白鳥。”可以啟發(fā)學(xué)生從不同的角度去思考提出問題：（1）求和或求差，（2）求倍數(shù)關(guān)系，（3）求比等。這樣不僅鍛練了學(xué)生的思維能力，還從不同的角度使學(xué)生理解掌握數(shù)量之間 的聯(lián)系和變化。

2、“一題多解”訓(xùn)練法，一題多解是學(xué)生思維反映能力強(qiáng)弱的體現(xiàn)，也是打破學(xué)生思維慣性的方法。如：“農(nóng)具廠原來制造1臺(tái)農(nóng)具用鋼0.36噸，技術(shù)革新后，制造一臺(tái)農(nóng)具可節(jié)約用鋼0.04噸，原來制造240臺(tái)農(nóng)具的鋼材現(xiàn)在可多做多少臺(tái)？”大部分同學(xué)列式為240×0.36÷(0.36－0.04)－240，而一些思維靈活的學(xué)生則列式為：240×0.04÷(0.36－0.04)，對(duì)比兩種方法第二種更靈活，簡單，快捷，而學(xué)習(xí)應(yīng)用題更需要這種能力。所以，在平時(shí)的應(yīng)用題教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分發(fā)揮他們思維的靈活性，肯定他們的獨(dú)特解法，鼓勵(lì)他們從多個(gè)角度去靈活思考問題，尋求最佳的解答方法。

3、“同題擴(kuò)件”訓(xùn)練法，就是已知同一問題，擴(kuò)散已知條件，例如：“一個(gè)平行四邊形，底是8分米，是高的2倍，求它的面積。”這樣讓學(xué)生知道一道題中，解決問題的直接條件不足時(shí)，應(yīng)從已知條件中尋找解決問題的間接條件，從而解答問題。

通過發(fā)散思維的培養(yǎng)，使學(xué)生更準(zhǔn)確更快捷地分析應(yīng)用題，大大提高了解題的準(zhǔn)確性，培養(yǎng)了他們思考、分析和計(jì)算能力。

總而言之，小學(xué)應(yīng)用題教學(xué)是學(xué)生鞏固和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力的一個(gè)重要手段。在教學(xué)的過程中，教師應(yīng)著重于對(duì)應(yīng)用題整體結(jié)構(gòu)，教學(xué)方法的研究，針對(duì)學(xué)生的實(shí)際，精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立動(dòng)手、動(dòng)腦、討論和實(shí)踐的能力，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維活動(dòng)的積極性，多層次地培養(yǎng)學(xué)生，從而達(dá)到事半功倍的效果。

第五篇：淺析應(yīng)用題教學(xué)中相遇問題和工程問題

淺析應(yīng)用題教學(xué)中相遇問題和工程問題

摘 要：應(yīng)用題教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容之一，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在的小學(xué)應(yīng)用題教學(xué)當(dāng)中存在著很多的問題，影響學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，也給數(shù)學(xué)老師造成了很大的困擾。本文通過對(duì)復(fù)合應(yīng)用題中相遇問題、工程問題的淺析，希望對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)有所幫助，使小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)取得更好的成績。關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué) 應(yīng)用題 相遇問題 工程問題 淺析

數(shù)學(xué)應(yīng)用題是來源于日常生活和生產(chǎn)實(shí)際中具有一定數(shù)量關(guān)系，用文字或語言（包括圖畫或表格）表述出實(shí)際問題。它包括著某項(xiàng)問題和解決問題的已知條件兩部分。只有已知條件充分，才能得出一個(gè)確定的答案。如果已知條件不足，就不能得出一個(gè)確定的答案。小學(xué)應(yīng)用題教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的組成部分，是小學(xué)數(shù)學(xué)考試的重點(diǎn)之一，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一大難點(diǎn)。從老師到學(xué)生都認(rèn)為應(yīng)用題教學(xué)是一個(gè)比較棘手的問題。因此，解決好應(yīng)用題教學(xué)是搞好小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)關(guān)鍵。下面就學(xué)生在學(xué)習(xí)當(dāng)中出現(xiàn)問題比較多的相遇問題、工程問題復(fù)合應(yīng)用題，在教學(xué)過程中所發(fā)現(xiàn)的一些問題進(jìn)行總結(jié)探討。通過小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)把學(xué)生課堂上學(xué)到的知識(shí)與具體生活實(shí)踐聯(lián)系起來，用課本上學(xué)到的知識(shí)解決實(shí)際問題。

小學(xué)應(yīng)用題按結(jié)構(gòu)可分為：簡單應(yīng)用題就是經(jīng)過一步計(jì)算就能得到答案的應(yīng)用題。復(fù)合應(yīng)用題就是兩步或者兩步以上計(jì)算才能得到答案的應(yīng)用題。簡單應(yīng)用題一般可以分為以下幾種：求總數(shù)、求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù)、求剩余、求兩數(shù)相差多少、求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少、把一個(gè)數(shù)平均分成若干份，求每份是多少、求一個(gè)數(shù)量是另一個(gè)數(shù)量的幾倍等等。簡單應(yīng)用題求解比較容易，學(xué)生基本上都能解答的很好，存在的問題也不多。而復(fù)合應(yīng)用題解題比較復(fù)雜，教學(xué)中存在的問題也比較多。復(fù)合應(yīng)用題一般包括行程問題、工程問題、流水問題、歸總問題、盈虧問題、還原問題、年齡問題等等。復(fù)合應(yīng)用題學(xué)生出現(xiàn)問題比較多，在這里我們僅對(duì)復(fù)合應(yīng)用題中比較具有代表性的行程問題中的相遇問題、工程問題在教學(xué)中常出現(xiàn)的問題進(jìn)行探討。

一、相遇問題

兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問題。相遇問題的基本關(guān)系是：相遇時(shí)間=相隔距離÷速度和；相隔距離=速度和×相遇時(shí)間；甲速=相隔距離÷相遇時(shí)間－乙速。下面我們通過具體的例子分析相遇問題：

例1：兩地相距500米，小紅和小明同時(shí)從兩地相向而行，小紅每分鐘行60米，小明每分鐘行65米，幾分鐘相遇？

解決相遇問題首先我們應(yīng)該審好題目：

1、審題。① 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多數(shù)學(xué)專業(yè)的名詞、術(shù)語，小學(xué)生還是頭一次聽到，頭一次接觸，學(xué)習(xí)過程中對(duì)這些名詞、術(shù)語的認(rèn)識(shí)理解還要有一個(gè)適應(yīng)的過程。如例1中的相向而行、相距、相遇各指的是什么意思，相向而行指的就是兩個(gè)物體面對(duì)面走來，相距指的是兩物體之間相隔的路程，相遇指的是兩物體一起走完了整個(gè)路程，我們這里的路程都是直線。②審題就是要審清題目的情節(jié)內(nèi)容和數(shù)量關(guān)系，通過對(duì)文字描述的理解，能清楚地知道題目講的是什么事、事情的經(jīng)過如何、提出的條件和問題是什么等。③為了使題目的條件、問題及數(shù)量關(guān)系在頭腦中建立起完整的表象，或者還可以畫一些示意圖幫助理解題目。為正確解題創(chuàng)造良好的前提條件。讀懂題目，弄清題目中顯露、隱含的條件，理清題目中距離、速度、時(shí)間之間的關(guān)系。

題目分析：“兩地相距500米”在這里指的就是路程是500米。已知小紅、小明的速度分別是60米、65米，問他們幾分鐘相遇也就是問他們幾分鐘能走完500米，我們可以畫示意圖來分析題目：

通過示意圖我們可以更清楚的了解題目的數(shù)量關(guān)系和變化過程，我們根據(jù)，相遇時(shí)間=相隔距離÷速度和 500÷（60+65）=4（分鐘）從而求出相遇時(shí)間是4分鐘，算式當(dāng)中的括號(hào)一定不能少，它表示的是速度和，少了括號(hào)就沒有意義了。而對(duì)于上面的例題我們還可以改變條件來求其它的量如： 小紅和小明同時(shí)從兩地相向而行，小紅每分鐘行60米，小明每分鐘行65米，4分鐘后兩人相遇，求兩地相距多少米？

題目分析：已知小紅、小明每分鐘分別行60米、65米，4分鐘后兩人相遇，也就是說4分鐘他們走完了全程，即兩地距離。解法一:我們可以分別計(jì)算出小紅、小明4分鐘各自走的路程，然后把他們各自走的路程加起來，就得到兩地的距離。可列算式：60×4+65×4=500（米）。

解法二：先計(jì)算小紅、小明的速度和，也就是一分鐘走的路程，然后用速度和乘以4分鐘，也就是4分鐘走的路程，就是兩地的距離。我們根據(jù)：相隔距離=速度和×相遇時(shí)間，可列算式：（60+65）×4=500（米）。兩種解題方法都可以計(jì)算出兩地距離，我們通過比較可以看出來第二種方法明顯優(yōu)于第一種方法。

通過以上具體的例子我們分析了相遇問題的一般題目類型。即是對(duì)相遇時(shí)間=相隔距離÷速度和；相隔距離=速度和×相遇時(shí)間公式的理解和應(yīng)用，下面我們?cè)倭信e一個(gè)例題，進(jìn)一步鞏固和加深我們對(duì)相遇問題的理解。

例2：甲乙兩人同時(shí)從相距3300米的兩地出發(fā)，相向而行，甲每分鐘走50米，30分鐘后兩人相遇，問甲每分鐘走多少米？

題目分析：已知甲乙兩地相距3300米，甲每分鐘走50米，30分鐘后，甲乙走完了全程。解法一：我們可以先計(jì)算出甲30分鐘走的路程，50×30=1500（米），然后用總路程減去甲走的路程，就是乙走的路程，3300-1500=1800（米），最后再用乙的路程除以相遇時(shí)間就得到了乙的速度，1800÷30=60（米）。

解法二：已知甲乙兩地相距3300米，30分鐘后兩人相遇，我們可以用總路程除以相遇時(shí)間得到甲乙的速度和，3300÷30=110（米）再用速度和減去甲的速度就得到乙的速度，110-50=60（米）。兩種方法比較，第二種方法優(yōu)于第一種方法。通過例1和例2的分析，我們已經(jīng)了解了一般的相遇問題。解決應(yīng)用題最關(guān)鍵的就是審題，審好題目后接下來我們就是解題：

2、解題。復(fù)合應(yīng)用題的重點(diǎn)是使學(xué)生弄清題目中的數(shù)量關(guān)系。我們可以根據(jù)題目的含義把題目適當(dāng)?shù)胤譃閹讉€(gè)層次來理解，或者直接把題目分解成幾個(gè)最簡單、最基本的簡單應(yīng)用題，通過解答簡單應(yīng)用題來理解題意。理解了每個(gè)基本應(yīng)用題之后，我們?cè)侔凑找欢ǖ捻樞蚝鸵?guī)律把各個(gè)基本應(yīng)用題組合起來，得到原來的題目。這樣，學(xué)生就能理解題目的層次結(jié)構(gòu)，進(jìn)而列出數(shù)學(xué)關(guān)系式。

3、答案。小學(xué)應(yīng)用題寫答案是把我們所列的數(shù)學(xué)算式，中得出的數(shù)字，還原到實(shí)際問題中賦予數(shù)字一定的意義，也使得應(yīng)用題的答題更加完整。

解決相遇問題最關(guān)鍵是審題，審題首先是讀題，讀懂題目是解題的基礎(chǔ)。讀懂題目在講什么事情，已知條件是什么，需要我們求的是什么，然后理清楚題目中的數(shù)量關(guān)系。簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。列數(shù)量關(guān)系式時(shí)一定要看清楚條件，誰的速度對(duì)應(yīng)誰的時(shí)間，誰的時(shí)間對(duì)應(yīng)誰的路程，誰的速度對(duì)應(yīng)誰的路程，切記不可不分青紅皂白的胡亂搭配。計(jì)算時(shí)注意不要出錯(cuò)，最后得出結(jié)果，寫上答案，使應(yīng)用題答題結(jié)構(gòu)更完整。

二、工程問題

研究工作效率、工作時(shí)間和工作總量之間相互關(guān)系的一種應(yīng)用題。根據(jù)題目中工作量是否已知，可以分為整數(shù)應(yīng)用題和分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，工作量是已知的具體的數(shù)時(shí)，為整數(shù)應(yīng)用題，我們可以按照公式進(jìn)行很好的解答。但這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項(xiàng)工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時(shí)，常常用單位“1”表示工作總，即為分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。

1、審題。①就是認(rèn)真讀題，初步了解題意。然后就是仔細(xì)推敲字、詞、句，準(zhǔn)確理解題意。讓學(xué)生明白工作量指的是所要完成的任務(wù)，工作效率指的是單位時(shí)間內(nèi)完成的工作量。②對(duì)應(yīng)用題中工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵句要反復(fù)推敲，理解它的真實(shí)含義。理清題目中的數(shù)量關(guān)系，為正確解題鋪平道路。③解答工作量未知的工程問題關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)，它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾，進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系：工作量＝工作效率×工作時(shí)間

工作時(shí)間＝工作量÷工作效率 工作效率＝總工作量÷工作時(shí)間，根據(jù)三者的數(shù)量關(guān)系列出相應(yīng)的算式。下面我們通過具體的例子對(duì)工程問題進(jìn)行分析：

例3： 建筑工地需要1200噸水泥，用甲車隊(duì)運(yùn)需要15天，用乙車隊(duì)運(yùn)需要10天。兩隊(duì)合運(yùn)需要多少天? 題目分析：已知總工作量是具體的數(shù)量1200噸，還給出了甲、乙兩隊(duì)完成總工作量的具體時(shí)間。我們先根據(jù)“工作量÷工作時(shí)間=工作效率”，分別求出甲、乙兩隊(duì)的工作效率，甲車隊(duì)每天運(yùn)的噸數(shù)：(甲車隊(duì)工作效率)1200÷15=80(噸)，乙車隊(duì)每天運(yùn)的噸數(shù)：(乙車隊(duì)工作效率)1200÷10=120(噸)。再根據(jù)兩隊(duì)工作效率的和及總工作量，利用公式“工作量÷工作效率=工作時(shí)間”，求出兩隊(duì)合運(yùn)需用多少天。兩個(gè)車隊(duì)一天共運(yùn)的噸數(shù)：80+120=200(噸)兩個(gè)車隊(duì)合運(yùn)需用的天數(shù)：1200÷ 200=6(天)。在對(duì)例3理解的基礎(chǔ)上，我們還可以對(duì)例3進(jìn)行改編，變成求工作量的題目： 一建筑工地需要一批水泥，要甲乙兩個(gè)車隊(duì)運(yùn)輸，甲車隊(duì)每天運(yùn)80噸，乙車隊(duì)每天運(yùn)120噸，6天可以運(yùn)完，問建筑工地需要多少噸水泥？

題目分析：已知甲車隊(duì)每天運(yùn)80噸，乙車隊(duì)每天運(yùn)120噸，6天可以運(yùn)完，解法一：我們可以分別求甲、乙兩車隊(duì)6天的工作量，甲6天的工作量：80×6=480（噸）乙6天的工作量120×6=720（噸），然后再把甲、乙兩車隊(duì)6天的工作量相加，480+720=1200（噸）就是所要求的總工作量。

解法二：我們可以先求甲乙兩車隊(duì)一天的工作效率80+120=200（噸），再求甲乙6天的工作總量200×6=1200(噸).通過比較解法二優(yōu)于解法一。

例4：一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合作，需要幾天完成？

題目分析 ： 題中的“一項(xiàng)工程”是工作總量，由于沒有給出這項(xiàng)工程的具體數(shù)量，因此，把此項(xiàng)工程看作單位“1”。由于甲隊(duì)獨(dú)做需10天完成，那么每天完成這項(xiàng)工程的1/10；乙隊(duì)單獨(dú)做需15天完成，每天完成這項(xiàng)工程的1/15；兩隊(duì)合做，每天可以完成這項(xiàng)工程的（1/10＋1/15）。由此可以列出算式：

1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）

例5： 生產(chǎn)350個(gè)零件，李師傅14小時(shí)可以完成。如果李師傅和他的徒弟小王合作，則10小時(shí)可以完成。如果小王單獨(dú)做這批零件，需多少小時(shí)? 題目分析：題中工作總量是具體的數(shù)量，李師傅完成工作總量的時(shí)間也是具體的。李師傅1小時(shí)可完成：350÷14=25(個(gè))。由“如果李師傅和他的徒弟小王合作，則10小時(shí)可以完成”可知，李師傅和徒弟小王每小時(shí)完成：350÷10=35(個(gè))小王單獨(dú)工作一小時(shí)可完成：35-25=10(個(gè))小王單獨(dú)做這批零件需要：350÷10=35(小時(shí))。通過以上例題的分析我們已經(jīng)了解了一般工程問題的審題過程，下面進(jìn)行解題：

2、解題。對(duì)于題目中沒有明確說出工作總量的工程應(yīng)用題。即把工作總量看成“1”，利用分?jǐn)?shù)來解答工作總量、工作時(shí)間和工作效率之間相互關(guān)系的應(yīng)用題。它的解題思路與整數(shù)應(yīng)用題基本相同，仍然是工作總量除以工作效率等于工作時(shí)間。只是題中沒有給出具體的工作總量，解答時(shí)要把工作總量作為單位“1”，用單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之一來表示工作效率。在解題時(shí)要注意三種量的對(duì)應(yīng)關(guān)系。即求誰的工作時(shí)間，就要找到與它對(duì)應(yīng)的工作總量和與它對(duì)應(yīng)的工作效率。根據(jù)題意，然后列出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，得出結(jié)果。

3、答案。工程問題應(yīng)用題寫答案是把我們所列的數(shù)學(xué)算式中得出的結(jié)果，還原到工程問題中賦予結(jié)果實(shí)際意義，使數(shù)學(xué)和實(shí)際生產(chǎn)、生活聯(lián)系起來。把數(shù)學(xué)應(yīng)用到生活中去。工程問題應(yīng)用題一般都是圍繞尋找工作效率的問題進(jìn)行，解決工程問題最關(guān)鍵的就是掌握基本數(shù)量關(guān)系工作總量=工作效率×工作世時(shí)間，抓住這一關(guān)系，并能靈活的應(yīng)用。以工作效率為突破口，工作效率是解答工程問題的要點(diǎn)。抓住完成工作的幾個(gè)過程或幾種變化，工程問題中常出現(xiàn)單獨(dú)做，幾人合作或輪流做，分析是一定要對(duì)應(yīng)工作的工作量、工作時(shí)間來確定單獨(dú)做或合作的工作效率，注意題目中隱蔽條件的發(fā)掘和利用。此外還應(yīng)注意，求誰的工作時(shí)間，就要找到與它對(duì)應(yīng)的工作總量和與它對(duì)應(yīng)的工作效率。對(duì)應(yīng)關(guān)系一定要找對(duì)，不能對(duì)應(yīng)錯(cuò)誤。根據(jù)量與里量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列出相應(yīng)的算式，然后進(jìn)行解答，最終得出要求的結(jié)果。

以上便是我對(duì)行程問題中的相遇問題和工程問題復(fù)合應(yīng)用題教學(xué)問題的初步探討，希望可以對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)有所幫助，使得小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)取得更好的成績。

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