第一篇：小學(xué)數(shù)學(xué)中遇到的典型的應(yīng)用題

一些不等式應(yīng)用題

關(guān)于不等式應(yīng)用題的一些解法，往往這類題目會(huì)包含2個(gè)變量，但是2個(gè)變量之間有一定的聯(lián)系，我們可以根據(jù)自己目前學(xué)習(xí)的情況，列一元一次不等式或者二元一次不等式組，解出關(guān)于變量的范圍，然后根據(jù)隱含條件確定未知數(shù)的值。比如人、物不能為小數(shù)、分?jǐn)?shù)，需要取正整數(shù)，這樣就求出未知數(shù)的值了。

在實(shí)際意義是一樣的，例如下題，可以設(shè)A型為a間，B型為80--a間，或者A型a間，B型b間，根據(jù)a+b=80把兩個(gè)變量聯(lián)系一起來(lái)，我個(gè)人認(rèn)為要根據(jù)自己在實(shí)際學(xué)習(xí)中和個(gè)人的能力實(shí)際情況而有所區(qū)別。

一、某水產(chǎn)品市場(chǎng)管理部門規(guī)劃建造面積為2400平方米的大棚，大棚內(nèi)設(shè)A種類型和B種類型的店面共80間，每間A種類型的店面的平均面積為28平方米，月租費(fèi)為400元，每間B種類型的店面的平均面積為20平方米，月租費(fèi)為360元，全部店面的建造面積不低于大棚總面積的85%。

（1）試確定A種類型店面的數(shù)量？

（2）該大棚管理部門通過(guò)了解，A種類型店面的出租率為75%，B種類型店面的出租率為90%，為使店面的月租費(fèi)最高，應(yīng)建造A種類型的店面多少間？ 解：設(shè)A種類型店面為a間，B種為80-a間 根據(jù)題意

28a+20（80-a）≥2400×85% 28a+1600-20a≥2040 8a≥440 a≥55

A型店面至少55間 設(shè)月租費(fèi)為y元

y=75%a×400+90%（80-a）×360 =300a+25920-324a =25920-24a 很明顯，a≥55，所以當(dāng)a=55時(shí)，可以獲得最大月租費(fèi)為25920-24x55=24600元

二、水產(chǎn)養(yǎng)殖戶李大爺準(zhǔn)備進(jìn)行大閘蟹與河蝦的混合養(yǎng)殖，他了解到情況：

1、每畝地水面組建為500元。

2、每畝水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤蝦苗；

3、每公斤蟹苗的價(jià)格為75元，其飼養(yǎng)費(fèi)用為525元，當(dāng)年可或1400元收益；

4、每公斤蝦苗的價(jià)格為15元，其飼養(yǎng)費(fèi)用為85元，當(dāng)年可獲160元收益；

問(wèn)題：

1、水產(chǎn)養(yǎng)殖的成本包括水面年租金，苗種費(fèi)用和飼養(yǎng)費(fèi)用，求每畝水面蝦蟹混合養(yǎng)殖的年利潤(rùn)（利潤(rùn)=收益—成本）；

2、李大爺現(xiàn)有資金25000元，他準(zhǔn)備再向銀行貸款不超過(guò)25000元，用于蟹蝦混合養(yǎng)殖，已知銀行貸款的年利率為10％，試問(wèn)李大爺應(yīng)租多少畝水面，并向銀行貸款多少元，可使年利潤(rùn)達(dá)到36600元？ 解：

1、水面年租金=500元

苗種費(fèi)用=75x4+15x20=300+300=600元 飼養(yǎng)費(fèi)=525x4+85x20=2100+1700=3800元 成本=500+600+3800=4900元

收益1400x4+160x20=5600+3200=8800元 利潤(rùn)（每畝的年利潤(rùn)）=8800-4900=3900元

2、設(shè)租a畝水面，貸款為4900a-25000元 那么收益為8800a 成本=4900a≤25000+25000 4900a≤50000

a≤50000/4900≈10.20畝

利潤(rùn)=3900a-（4900a-25000）×10% 3900a-（4900a-25000）×10%=36600 3900a-490a+2500=36600 3410a=34100 所以a=10畝

貸款（4900x10-25000）=49000-25000=24000元

三、某物流公司，要將300噸物資運(yùn)往某地，現(xiàn)有A、B兩種型號(hào)的車可供調(diào)用，已知A型車每輛可裝20噸，B型車每輛可裝15噸，在每輛車不超載的條件下，把300噸物資裝運(yùn)完，問(wèn)：在已確定調(diào)用5輛A型車的前提下至少還需調(diào)用B型車多少輛?

解：設(shè)還需要B型車a輛，由題意得 20×5+15a≥300 15a≥200 a≥40/3 解得a≥13又1/3 ．

由于a是車的數(shù)量，應(yīng)為正整數(shù)，所以x的最小值為14． 答：至少需要14臺(tái)B型車．

四、某城市平均每天產(chǎn)生生活垃圾700噸，全部由甲，乙兩個(gè)垃圾廠處理，已知甲廠每小時(shí)處理垃圾55噸，需費(fèi)用550元；乙廠每小時(shí)處理垃圾45噸，需費(fèi)用495元。如果規(guī)定該城市處理垃圾的費(fèi)用每天不超過(guò)7370元，甲廠每天至少需要處理垃圾多少小時(shí)?

解：設(shè)甲場(chǎng)應(yīng)至少處理垃圾a小時(shí)

550a+（700-55a）÷45×495≤7370 550a+（700-55a）×11≤7370 550a+7700-605a≤7370 330≤55a a≥6

甲場(chǎng)應(yīng)至少處理垃圾6小時(shí)

五、學(xué)校將若干間宿舍分配給七年級(jí)一班的女生住宿，已知該班女生少于35人，若每個(gè)房間住5人，則剩下5人沒(méi)處可住；若每個(gè)房間住8人，則空出一間房，并且還有一間房也不滿。有多少間宿舍，多少名女生？

解：設(shè)有宿舍a間，則女生人數(shù)為5a+5人 根據(jù)題意 a>0(1)0<5a+5<35（2）0<5a+5-[8（a-2）]<8(3)由（2）得-5<5a<30-1

0<5a+5-8a+16<8-21<-3a<-13 13/3

六、某手機(jī)生產(chǎn)廠家根據(jù)其產(chǎn)品在市場(chǎng)上的銷售情況，決定對(duì)原來(lái)以每部2000元出售的一款彩屏手機(jī)進(jìn)行調(diào)價(jià)，并按新單價(jià)的八折優(yōu)惠出售，結(jié)果每部手機(jī)仍可獲得實(shí)際銷售價(jià)的20%的利潤(rùn)（利潤(rùn)=銷售價(jià)—成本價(jià)）.已知該款手機(jī)每部成本價(jià)是原銷售單價(jià)的60%。

（1）求調(diào)整后這款彩屏手機(jī)的新單價(jià)是每部多少元？讓利后的實(shí)際銷售價(jià)是每部多少元？

解：手機(jī)原來(lái)的售價(jià)=2000元/部

每部手機(jī)的成本=2000×60%=1200元 設(shè)每部手機(jī)的新單價(jià)為a元 a×80%-1200=a×80%×20% 0.8a-1200=0.16a 0.64a=1200 a=1875元

讓利后的實(shí)際銷售價(jià)是每部1875×80%=1500元

（2）為使今年按新單價(jià)讓利銷售的利潤(rùn)不低于20萬(wàn)元，今年至少應(yīng)銷售這款彩屏手機(jī)多少部？ 20萬(wàn)元=200000元 設(shè)至少銷售b部

利潤(rùn)=1500×20%=300元 根據(jù)題意

300b≥200000 b≥2000/3≈667部

至少生產(chǎn)這種手機(jī)667部。

七、我市某村計(jì)劃建造A,B兩種型號(hào)的沼氣池共20個(gè)，以解決該村所有農(nóng)戶的燃料問(wèn)題.兩種型號(hào)的沼氣池的占地面積，使用農(nóng)戶數(shù)以及造價(jià)如下表： 型號(hào)

占地面積（平方米/個(gè)）

使用農(nóng)戶數(shù)（戶/個(gè)）

造價(jià)（萬(wàn)元/個(gè)）A

B

已知可供建造的沼氣池占地面積不超過(guò)365平方米，該村共有492戶.（1）.滿足條件的方法有幾種？寫出解答過(guò)程.（2）.通過(guò)計(jì)算判斷哪種建造方案最省錢？ 解:(1)設(shè)建造A型沼氣池 x 個(gè)，則建造B 型沼氣池(20－x)個(gè) 18x+30(20-x)≥492 18x+600-30x≥492 12x≤108 x≤9

15x+20(20-x)≤365

15x+400-20x≤365 5x≥35 x≤7

解得：7≤ x ≤ 9

∵ x為整數(shù) ∴ x = 7，8，9，∴滿足條件的方案有三種．(2)設(shè)建造A型沼氣池 x 個(gè)時(shí)，總費(fèi)用為y萬(wàn)元，則： y = 2x + 3(20－x)= －x+ 60 ∵－1< 0，∴y 隨x 增大而減小，當(dāng)x=9 時(shí)，y的值最小，此時(shí)y= 51(萬(wàn)元)

∴此時(shí)方案為：建造A型沼氣池9個(gè)，建造B型沼氣池11個(gè) 解法②:由(1)知共有三種方案，其費(fèi)用分別為：

方案一: 建造A型沼氣池7個(gè)，建造B型沼氣池13個(gè)，總費(fèi)用為:7×2 + 13×3 = 53(萬(wàn)元)

方案二: 建造A型沼氣池8個(gè)，建造B型沼氣池12個(gè)，總費(fèi)用為:8×2 + 12×3 = 52(萬(wàn)元)

方案三: 建造A型沼氣池9個(gè)，建造B型沼氣池11個(gè)，總費(fèi)用為:9×2 + 11×3 = 51(萬(wàn)元)∴方案三最省錢.八、把一些書分給幾個(gè)學(xué)生,如果每人分3本,那么余8本;如果前面的每個(gè)學(xué)生分5本,那么最后一人就分不到3本.這些書有多少本?學(xué)生有多少個(gè)? 解：設(shè)學(xué)生有a人 根據(jù)題意

3a+8-5(a-1)<3(1)3a+8-5(a-1)>0(2)由（1）

3a+8-5a+5<3 2a>10 a>5 由（2）

3a+8-5a+5>0 2a<13 a<6.5 那么a的取值范圍為5

九、某水產(chǎn)品市場(chǎng)管理部門規(guī)劃建造面積為2400m2的集貿(mào)大棚。大棚內(nèi)設(shè)A種類型和B種類型的店面共80間。每間A種類型的店面的平均面積為28m2月租費(fèi)為400元；每間B種類型的店面的平均面積為20m2月租費(fèi)為360元。全部店面的建造面積不低于大棚總面積的80％，又不能超過(guò)大棚總面積的85％。試確定有幾種建造A,B兩種類型店面的方案。解：設(shè)A種類型店面為a間，B種為80-a間 根據(jù)題意

28a+20（80-a）≥2400×80%(1)28a+20（80-a）≤2400×85%(2)由（1）

28a+1600-20a≥1920 8a≥320 a≥40 由（2）

28a+1600-20a≤2040 8a≤440 a≤55 40≤a≤55

方案：

A

B

……

一共是55-40+1=16種方案

十、某家具店出售桌子和椅子，單價(jià)分別為300元一張和60元一把，該家具店制定了兩種優(yōu)惠方案：（1）買一張桌子贈(zèng)送兩把椅子；（2）按總價(jià)的87.5%付款。某單位需購(gòu)買5張桌子和若干把椅子（不少于10把）。如果已知要購(gòu)買X把椅子，討論該單位購(gòu)買同樣多的椅子時(shí)，選擇哪一種方案更省錢？ 設(shè)需要買x（x≥10）把椅子，需要花費(fèi)的總前數(shù)為y 第一種方案：

y=300x5+60×（x-10）=1500+60x-600=900+60x 第二種方案：

y=（300x5+60x）×87.5%=1312.5+52.5x 若兩種方案花錢數(shù)相等時(shí) 900+60x=1312.5+52.5x 7.5x=412.5 x=55 當(dāng)買55把椅子時(shí)，兩種方案花錢數(shù)相等 大于55把時(shí)，選擇第二種方案 小于55把時(shí)，選擇第一種方案

十一、某飲料廠開(kāi)發(fā)了A、B兩種新型飲料，主要原料均為甲和乙，每瓶飲料中甲、乙的含量如下表所示．現(xiàn)用甲原料和乙原料各2800克進(jìn)行試生產(chǎn)，計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種飲料共100瓶．設(shè)生產(chǎn)A種飲料x(chóng)瓶，解答下列問(wèn)題：

甲

乙 A

20G 40G B

30G 20G（1）有幾種符合題意的生產(chǎn)方案？寫出解答過(guò)程；

（2）如果A種飲料每瓶的成本為2.60元，B種飲料每瓶的成本為2.80元，這兩種飲料成本總額為y元，請(qǐng)寫出y與x之間的關(guān)系式，并說(shuō)明x取何值會(huì)使成本總額最低？

解：（1）設(shè)生產(chǎn)A型飲料需要x瓶，則B型飲料需要100-x瓶 根據(jù)題意

20x+30（100-x）≤2800（1）40x+20（100-x）≤2800（2）由（1）

20x+3000-30x≤2800 10x≥200 x≥20 由（2）

40x+2000-20x≤2800 20x≤800 x≤40

所以x的取值范圍為20≤x≤40 因此方案有

生產(chǎn)

A

B

……

一共是40-20+1=21種方案

（2）y=2.6x+2.8×（100-x）=2.6x+280-2.8x=280-0.2x 此時(shí)y為一次函數(shù)，因?yàn)?0≤x≤40

那么當(dāng)x=40時(shí)，成本最低，此時(shí)成本y=272元

小學(xué)中經(jīng)常遇到的行程問(wèn)題

行程問(wèn)題是小學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到的，解決起來(lái)往往有些困難，因?yàn)檫€沒(méi)有學(xué)習(xí)方程，所以有些題目很不好理解，利用單位1解決問(wèn)題，這里舉一些例子，由淺入深，結(jié)合方程的解法，同學(xué)們自己比較一下。我們先來(lái)了解一下，關(guān)于行程問(wèn)題的公式：

行程問(wèn)題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、行程三者之間的關(guān)系。

基本公式：路程＝速度×?xí)r間；

路程÷時(shí)間＝速度；

路程÷速度＝時(shí)間

關(guān)鍵問(wèn)題：確定行程過(guò)程中的位置

相遇問(wèn)題：速度和×相遇時(shí)間＝相遇路程

相遇路程÷速度和=相遇時(shí)間

相遇路程÷相遇時(shí)間= 速度和

相遇問(wèn)題：（直線）：甲的路程+乙的路程=總路程

相遇問(wèn)題：（環(huán)形）：甲的路程 +乙的路程=環(huán)形周長(zhǎng)

追及問(wèn)題：追及時(shí)間＝路程差÷速度差

速度差＝路程差÷追及時(shí)間

追及時(shí)間×速度差＝路程差

追及問(wèn)題：（直線）：距離差=追者路程-被追者路程=速度差X追擊時(shí)間

追及問(wèn)題：（環(huán)形）：快的路程-慢的路程=曲線的周長(zhǎng)

流水問(wèn)題：順?biāo)谐蹋剑ù伲伲另標(biāo)畷r(shí)間 逆水行程＝（船速－水速）×逆水時(shí)間

順?biāo)俣?船速＋水速 逆水速度＝船速－水速

靜水速度=（順?biāo)俣龋嫠俣龋? 水速：（順?biāo)俣龋嫠俣龋?

流水速度＋流水速度÷2 水速：流水速度－流水速度÷2

關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。

列車過(guò)橋問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。我們由淺入深看一些題目：

一、相遇問(wèn)題

1、一列客車從甲地開(kāi)往乙地，同時(shí)一列貨車從甲地開(kāi)往乙地，當(dāng)貨車行了180千米時(shí)，客車行了全程的七分之四；當(dāng)客車到達(dá)乙地時(shí)，貨車行了全程的八分之七。甲乙兩地相距多少千米？ 解：

把全部路程看作單位1 那么客車到達(dá)終點(diǎn)行了全程，也就是單位1 當(dāng)客車到達(dá)乙地時(shí)，貨車行了全程的八分之七 相同的時(shí)間，路程比就是速度比

由此我們可以知道客車貨車的速度比=1：7/8=8：7 所以客車行的路程是貨車的8/7倍 所以當(dāng)客車行了全程的4/7時(shí)

貨車行了全程的（4/7）/（8/7）=1/2 那么甲乙兩地相距180/（1/2）=360千米

1/2就是180千米的對(duì)應(yīng)分率

分析：此題中運(yùn)用了單位1，用到了比例問(wèn)題，我們要熟練掌握比例，對(duì)于路程、速度和時(shí)間之間的關(guān)系，一定要清楚，在速度或時(shí)間一定時(shí)，路程都和另外一個(gè)量成正比例，當(dāng)路程一定時(shí)，速度和時(shí)間成反比例，這個(gè)是基本常識(shí)。

2、甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開(kāi)出，2小時(shí)相遇。相遇后兩車?yán)^續(xù)前行，當(dāng)甲車到達(dá)B地時(shí)，乙車離A地還有60千米，一直兩車速度比是3:2。求甲乙兩車的速度。

解：將全部路程看作單位1 速度比=路程比=3：2，也就是說(shuō)乙行的路程是甲的2/3 那么甲到達(dá)B地時(shí)，行了全部路程，乙行了1×2/3=2/3 此時(shí)距離終點(diǎn)A還有1-2/3=1/3 那么全程=60/（1/3）=180千米 速度和=180/2=90千米/小時(shí)

甲的速度=90×3/（3+2）=54千米/小時(shí) 乙的速度=90-54=36千米/小時(shí)

3、甲、乙兩車分別同時(shí)從A、B兩成相對(duì)開(kāi)出,甲車從A城開(kāi)往B城,每小時(shí)行全程的10%,乙車從B城開(kāi)往A城，每小時(shí)行8千米，當(dāng)甲車距A城260千米時(shí)，乙車距B地320千米。A、B兩成之間的路程有多少千米？ 解：這個(gè)問(wèn)題可以看作相遇問(wèn)題，因?yàn)槭窍嘞蚨?乙車還要行駛320/8=4小時(shí)

4個(gè)小時(shí)甲車行駛?cè)痰?0%×4=40%=2/5 那么甲車還要行駛?cè)痰?/5，也就是剩下的260千米 AB距離=260/（2/5）=650千米

4、一客車和一貨車同時(shí)從甲乙兩地相對(duì)開(kāi)出,經(jīng)過(guò)3小時(shí)相遇,相遇后仍以原速繼續(xù)行駛，客車行駛2小時(shí)到達(dá)乙地，此時(shí)貨車距離甲地150千米，求甲乙兩地距離？

解：解此題的關(guān)鍵是把甲乙看成一個(gè)整體，問(wèn)題就迎刃而解了。甲乙每小時(shí)行駛?cè)痰?/3 那么2小時(shí)行駛2x1/3=2/3 甲乙相距=150/（1-2/3）=450千米

5、甲乙兩車同時(shí)分別從兩地相對(duì)開(kāi)出，5小時(shí)正好行了全程的2/3，甲乙兩車的速度比是5：3。余下的路程由乙車單獨(dú)走完，還要多少小時(shí)？ 解：將全部路程看作單位1 那么每小時(shí)甲乙行駛?cè)痰模?/3）/5=2/15 乙車的速度=（2/15）×（3/8）=1/20 乙5小時(shí)行駛1/20×5=1/4 還剩下1-1/4=3/4沒(méi)有行駛

那么乙還要（3/4）/（1/20）=15個(gè)小時(shí)到達(dá)終點(diǎn)

分析：此題和上一例題有異曲同工之處，都是把甲乙每小時(shí)行的路程看作一個(gè)整體，然后根據(jù)比例分別求出甲乙的速度（用份數(shù)表示），從而解決問(wèn)題，關(guān)鍵之處就是把甲乙看作一個(gè)整體，這和工作問(wèn)題，甲乙的工作效率和是一個(gè)道理。

6、甲，乙兩輛汽車同時(shí)從東站開(kāi)往西站，甲車每小時(shí)比乙車多行12千米。甲車行駛4.5小時(shí)到達(dá)西站后沒(méi)有停留，立即從原路返回，在距西站31.5千米和乙車相遇。甲車每小時(shí)行多少千米？

解：設(shè)甲車速度為a小時(shí)/千米。則乙的速度為a-12千米/小時(shí) 甲車比乙車多行31.5x2=63千米 用的時(shí)間=63/12=5.25小時(shí) 所以

（a-12）×5.25+31.5=4.5a 0.75a=31.5 a=42千米/小時(shí) 或者

a（5.25-4.5）=31.5 a=42千米/小時(shí)

算術(shù)法：

相遇時(shí)甲比乙多行了31.5×2=63（千米）相遇時(shí)走了 63/12=5.25小時(shí)

走31.5千米的路程用了 5.25-4.5=0.75小時(shí) 甲每小時(shí)行31.5/0.75=42千米

7、從甲地去乙地，如車速比原來(lái)提高1/9，就可比預(yù)定的時(shí)間提前20分鐘趕到，如先按原速行駛72千米，再將車速比原來(lái)提高1/3，就比預(yù)定時(shí)間提前30分鐘趕到。甲，乙兩地相距多少千米？ 解：20分鐘=1/3小時(shí)。30分鐘=1/2小時(shí) 因?yàn)槁烦桃欢ǎ瑫r(shí)間和速度成反比

那么原來(lái)的車速和提高1/9后的車速之比為1：（1+1/9）=9：10 那么時(shí)間比為10：9 將原來(lái)的時(shí)間看作單位1，那么提速1/9后的時(shí)間為1x9/10=9/10 所以原來(lái)需要的時(shí)間為（1/3）/（1-9/10）=10/3小時(shí)

第二次行駛完72千米后，原來(lái)的速度和提高后的速度比為1：（1+1/3）=3：4 那么時(shí)間比為4：3 將行駛完72千米后的時(shí)間看作單位1，那么這一段用的時(shí)間為（1/2）/（1-3/4）=2小時(shí)

那么原來(lái)行駛72千米用的時(shí)間=10/3-2=4/3小時(shí) 原來(lái)的速度=72/（4/3）=54千米/小時(shí) 甲乙兩地相距=54×10/3=180千米

8、清晨4時(shí)，甲車從A地，乙車從B地同時(shí)相對(duì)開(kāi)出，原計(jì)劃在上午10時(shí)相遇，但在6時(shí)30分，乙車因故停在中途C地，甲車?yán)^續(xù)前行350千米在C地與乙車相遇，相遇后，乙車立即以原來(lái)每小時(shí)60千米的速度向A地開(kāi)去。問(wèn)：乙車幾點(diǎn)才能到達(dá)A地？

解：原來(lái)的相遇時(shí)間=10-4=6小時(shí) 乙的速度=60千米/小時(shí)

BC距離=60×2.5=150千米（從凌晨4時(shí)到6時(shí)30分是2.5小時(shí)）原來(lái)相遇時(shí)乙應(yīng)該走的距離=60×6=360千米 甲比原來(lái)奪走360-150-210千米

那么甲行駛6-2.5=3.5小時(shí)應(yīng)該行駛的距離=350-210=140千米 所以甲的速度=140/3.5=40千米/小時(shí) 那么AB距離=（40+60）×6=600千米 AC距離=600-150=450千米 實(shí)際相遇的時(shí)間=450/40=11.25小時(shí)=11小時(shí)15分鐘 那么相遇時(shí)的時(shí)間是15小時(shí)15分

乙到達(dá)A地需要的時(shí)間=450/60=7.5小時(shí)=7小時(shí)30分

所以乙到達(dá)A地時(shí)間為15小時(shí)15分+7小時(shí)30分=22時(shí)45分

9、AB兩地相距60千米，甲車比乙車先行1小時(shí)從A地出發(fā)開(kāi)往B地，結(jié)果乙車還比甲車早30分到達(dá)B地，甲乙兩車的速度比是2:5，求乙車的速度。

如果甲不比乙車先行1小時(shí)，那么乙車要比甲車早1+30/60=1.5小時(shí)到達(dá)B地 甲乙的速度比=2：5 那么他們用的時(shí)間比為5：2 將甲用的時(shí)間看作單位1 那么乙用的時(shí)間是甲的2/5 甲比乙多用1-2/5=3/5 所以甲行完全程用的時(shí)間為1.5/（3/5）=2.5小時(shí) 乙行完全程用的時(shí)間=2.5-1.5=1小時(shí) 那么乙車的速度=60/1=60千米/小時(shí)

10、小剛很小明同時(shí)從家里出發(fā)相向而行。小剛每分鐘走52米，小明每分鐘走70米，兩人在途中A處相遇。若小剛提前4分鐘出發(fā)，且速度不變，小明每分鐘走90米，則兩人仍在A處相遇。小剛和小明兩人的家相距多少米？

解：

兩次相遇小明走的路程一樣，那么兩次相遇小明的速度比=70：90=7：9 時(shí)間比就是速度比的反比，所以兩次相遇的時(shí)間比為9：7 將第一次相遇的時(shí)間看做單位1 那么第二次相遇小明用的時(shí)間為7/9 第一次比第二次多用的時(shí)間為1-7/9=2/9 那么第一次用的時(shí)間為4/（2/9）=18分鐘

所以小剛和小明的家相距（52+70）×18=2196米

方程：設(shè)第一次相遇時(shí)間為t分 90×[（52t-52x4）/52]=70a t=18分鐘（過(guò)程從略）

所以小剛和小明的家相距（52+70）×18=2196米

11、客貨兩車分別從甲乙兩地同時(shí)相對(duì)開(kāi)出，5小時(shí)后相遇，相遇后兩車仍按原速度前進(jìn)，當(dāng)他們相距196千米時(shí)客車行了全程的三分之二，貨車行了全程的80%，問(wèn)貨車行完全程用多少小時(shí) ？ 解：將全部路程看作單位1 那么相距196千米時(shí)，客車行駛了全程的1×2/3=2/3，距離目的地還有1-2/3=1/3 貨車行駛了全程的1×80%=4/5 那么全程=196/（4/5-1/3）=196/（7/15）=420千米 客車和貨車的速度比=2/3：4/5=5：6 客車和貨車的速度和=420/5=84千米/小時(shí) 貨車的速度=84×6/11=504/11千米/小時(shí)

那么貨車行完全程需要420/（504/11）=55/6小時(shí)=9小時(shí)10分鐘 客貨兩車分別從甲乙兩地相對(duì)開(kāi)出，相遇后兩車?yán)^續(xù)到達(dá)對(duì)方終點(diǎn)后，兩車立即返回，又在途中相遇，兩次相遇的地點(diǎn)相距3000米。已知貨車的速度是客車速度三分之二，求甲乙兩地距離是多少米？（要算式和解題過(guò)程）

解：將全部的路程看作單位1 貨車和客車的速度比=2：3 第一次相遇貨車行了全程的2/5，客車行了全程的3/5 因?yàn)槭?次相遇，所以兩車走的路程一共是3倍甲乙兩地距離，也就是1x3=3 貨車行了整個(gè)過(guò)程的3x2/5=6/5 因此第二次相遇是在距離甲地6/5-1=1/5處 第一次相遇是在距離甲地3/5處 那么兩處相距3/5-1/5=2/5 甲乙兩地距離3000/（2/5）=7500米

12、甲、乙兩輛車同時(shí)分別從兩個(gè)城市相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)過(guò)3小時(shí)，兩車距離中點(diǎn)18千米處相遇，這時(shí)甲車與乙車所行的路程之比是2：3.求甲乙兩車的速度各是多少？

設(shè)甲的速度為2a千米/小時(shí)，乙的速度為3a千米/小時(shí) 總路程=（2a+3a）×3=15a千米 甲行的路程=15a×2/5=6a 15a/2-6a=18 15a-12a=36 3a=36 a=12 甲的速度=12x2=24千米/小時(shí) 乙的速度=12x3=36千米/小時(shí) 或者

將全部路程看作單位1 那么相遇時(shí)甲行了2/5 乙行了1-2/5=3/5 全程=（1/2-2/5）=1/10 全程=18/（1/10）=180千米

甲乙的速度和=180/3=60千米/小時(shí) 甲的速度=60x2/5=24千米/小時(shí)

乙的速度=60-24=36千米/小時(shí)

13、甲乙兩車同時(shí)從AB兩地出發(fā)，相向而行，甲與乙的速度比是4：5。兩車第一次相遇后，甲的速度提高了4分之一，乙的速度提高了3分之一，兩車分別到達(dá)BA兩地后立即返回。這樣，第二次相遇點(diǎn)距第一次相遇點(diǎn)48KM，AB兩地相距多少千米？ 解： 將全部的路程看作單位1 因?yàn)闀r(shí)間一樣，路程比就是速度比

所以相遇時(shí)，甲行了全程的1x4/（5+4）=4/9 乙行了1-4/9=5/9 此時(shí)甲乙提速，速度比由4：5變?yōu)?（1+1/4）：5（1+1/3）=5：10/3=3:4 甲乙再次相遇路程和是兩倍的AB距離，也就是2 此時(shí)第二次相遇，乙行了全程的2x4/（3+4）=8/7 第二次相遇點(diǎn)的距離占全部路程的8/7-4/9=44/63 距離第一次相遇點(diǎn)44/63-4/9=16/63

AB距離=48/（16/63）=189千米

14、甲從A地往B地，乙丙從B地行往A地，三人同時(shí)出發(fā)。甲首先遇乙，15分鐘后又遇丙。甲每份走70m，乙走60m丙走50m。問(wèn)AB兩地距離、解：乙丙的速度差=60-50=10米/分

那么甲乙相遇時(shí)，距離丙的距離=（70+50）×15=1800米 那么甲乙相遇時(shí)用的時(shí)間=1800/10=180分鐘 那么AB距離=（70+60）×180=23400米

15、甲乙兩人同時(shí)從山腳開(kāi)始爬山，到達(dá)山頂后就立即下山，甲乙兩人下山的速度都是各自上山速度的二倍，甲到山頂時(shí)乙距離山頂還有500米，甲回到山腳時(shí)，乙剛好下到半山腰，求從山腳到山頂?shù)穆烦獭＝猓合律剿俣仁巧仙降?倍，那就假設(shè)一下，把下山路也看做上山路，長(zhǎng)度為上山路的1/2 速度都是上山的速度。

那么，原來(lái)上山的路程，占總路程的2/3，下山路程占總路程的1/3

甲返回山腳，乙一共行了全程的： 2/3+1/3×1/2=5/6 乙的速度是甲的5/6

甲到達(dá)山頂，即行了全程的2/3，乙應(yīng)該行了全程的：2/3×5/6=5/9 實(shí)際上乙行了全程的2/3減去500米 所以全程為：500÷（2/3-5/9）=4500米 從山腳到山頂?shù)木嚯x為：4500×2/3=3000米

16、汽車從A地到B地，如果速度比預(yù)定的每小時(shí)慢5千米，到達(dá)時(shí)間將比預(yù)定的多1/8，如果速度比預(yù)定的增加1/3，到達(dá)時(shí)間將比預(yù)定的早1小時(shí)。求A,B兩地間的路程？

解：將原來(lái)的時(shí)間看到單位1 那么每小時(shí)慢5千米，用的時(shí)間是1×（1+1/8）=9/8 那么實(shí)際用的時(shí)間和原來(lái)的時(shí)間之比為9/8：1=9：8 那么原來(lái)速度和實(shí)際速度之比為8：9 那么實(shí)際速度是原來(lái)速度的8/9 那么原來(lái)的速度=5/（1-8/9）=45千米/小時(shí) 第二次速度增加1/3，實(shí)際速度與原來(lái)的速度之比為為（1+1/3）：1=4：3 實(shí)際用的時(shí)間和原來(lái)的時(shí)間之比為3：4 那么實(shí)際用的時(shí)間是原來(lái)的3/4 原來(lái)所用的時(shí)間為1/（1-3/4）=4小時(shí) AB距離=45×4=180千米

簡(jiǎn)析：此題反復(fù)利用路程一定，時(shí)間和速度成反比，這一點(diǎn)在學(xué)習(xí)中要注意。

17、兩輛汽車同時(shí)從東、西兩站相對(duì)開(kāi)出，第一次在離東站45千米的地方相遇，之后兩車?yán)^續(xù)以原來(lái)的速度前進(jìn)，各自到站后都立即返回，又在距離中點(diǎn)東側(cè)9千米處相遇，兩站相距多少千米？ 解：我們拿從東站出來(lái)的車考慮

在整個(gè)相遇過(guò)程中，兩車一共走了3個(gè)全程 第一次相遇時(shí)，從東站出來(lái)的車走了45千米 那么整個(gè)過(guò)程走了45×3=135千米

此時(shí)這輛車走了1.5倍的全程還多9千米 所以全程=（135-9）/（1+1/2）=84千米

將全部路程看作單位1，第二次相遇時(shí)這輛車走了1又1/2還多9千米

18、一只小船順流航行56千米，逆流航行20千米用12小時(shí)；第二次順流航行40千米，逆流航行28千米也用時(shí)12小時(shí)，求水流速度？ 解：

順?biāo)俣?船速+水流速度 逆水速度=船速-水流速度

水流速度=（順?biāo)俣?逆水速度）/2 船速=（順?biāo)俣?逆水速度）/2

設(shè)順流速度為a千米/小時(shí)，逆水速度=b千米/小時(shí) 56/a+20/b=40/a+28/b 16/a=8/b a：b=2：1 a=2b 那么

根據(jù)題意

56/2b+20/b=12 56+40=24b 24b=96 b=4千米/小時(shí)

a=4×2=8千米/小時(shí)

水流速度=（8-4）/2=2千米/小時(shí)

算術(shù)法： 根據(jù)題意

第一次：順流行駛56千米，逆水20千米 第二次：順流行駛40千米，逆水28千米

那么順流行駛16千米和逆水8千米用的時(shí)間一樣，及順?biāo)俣群湍嫠俣戎葹?6：8=2：1 第一次逆水20千米用的時(shí)間相當(dāng)于順?biāo)旭?0×2=40千米的時(shí)間 那么順?biāo)俣?（56+40）/12=8千米/小時(shí) 逆水速度=8/2=4千米/小時(shí)

水流速度=（8-4）/2=2千米/小時(shí)

二、追及問(wèn)題

1、已知甲乙兩船的船速分別是24千米/時(shí)和20千米/時(shí),兩船先后從漢口港開(kāi)出,乙比甲早出1小時(shí)，兩船同時(shí)到達(dá)目的地A，問(wèn)兩地距離？ 解：距離差=20×1=20千米 速度差24-20=4千米/小時(shí) 甲追上乙需要20÷4=5小時(shí) 兩地距離=24×5=120千米

2、某校組織學(xué)生排隊(duì)去春游，步行速度為每秒1米，隊(duì)尾的王老師以每秒2.5米的速度趕到排頭,然后立即返回隊(duì)尾,共用10秒,求隊(duì)伍的長(zhǎng)度是多少米?、解：速度差=2.5-1=1.5米/秒 速度和=1+2.5=3.5米/秒 設(shè)隊(duì)伍長(zhǎng)度為a米 a/1.5+a/3.5=10 5a=3.5x1.5x10 a=10.5米

或者這樣做

第一次追及問(wèn)題，第二次相遇問(wèn)題 速度比=1.5：3.5=3：7 我們知道，路程一樣，速度比=時(shí)間的反比 因此整個(gè)過(guò)程，追及用的時(shí)間=10x7/10=7秒

那么隊(duì)伍長(zhǎng)度=1.5x7=10.5米

3、在一個(gè)圓形跑道上,甲從A點(diǎn),乙從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行,6分鐘后兩人相遇,再過(guò)4分鐘甲到B點(diǎn),又過(guò)8分鐘兩人再次相遇,甲、乙環(huán)形一周各需多少分鐘？ 解：解：

將全部路程看作單位1 第一次相遇后，再一次相遇，行駛的路程是1 那么相遇時(shí)間=4+8=12分鐘 甲乙的速度和=1/12 也就是每分鐘甲乙行駛?cè)痰?/12 6分鐘行駛?cè)痰?/12×6=1/2 也就是說(shuō)AB的距離是1/2 那么6+4=10分鐘甲到達(dá)B，所以甲的速度（1/2）/10=1/20 甲環(huán)形一周需要1/（1/20）=20分鐘 乙的速度=1/12-1/20=1/30 乙行駛?cè)绦枰?/（1/30）=30分鐘

4、甲乙兩人環(huán)湖同向競(jìng)走,環(huán)湖一周是400米,乙每分鐘走80米,甲的速度是乙的一又四分之一倍，問(wèn)甲什么時(shí)候追上乙？ 解：設(shè)甲用a分鐘追上乙（80×5/4-80）×a=400（100-80）×a=400 a=400/20 a=20分 算術(shù)法

速度差=80×（5/4-1）=20米/分 追及時(shí)間=400/20=20分 甲用20分鐘追上乙

5、獵犬發(fā)現(xiàn)距它8米遠(yuǎn)的地方有只奔跑的野兔，立刻追。獵犬跑6步的路程野兔要跑11步，但是兔子跑的4步的時(shí)間獵犬只能奔跑3步。獵犬至少要跑多少米才能追上野兔？

解：將獵犬跑一步的距離看作單位1（或者設(shè)一步的距離為a米）那么野兔跑一步的距離為6/11 根據(jù)題意

兔子跑4步的距離=4×6/11=24/11 獵犬跑3步的距離=1×3=3 那么獵犬和野兔的速度比=3：24/11=33：24=11：8 兔子在相同時(shí)間內(nèi)跑的距離是獵犬的8/11 所以獵犬追上野兔要多跑的距離=8/（1-8/11）=88/3米

6、一只野兔跑出85步獵犬才開(kāi)始追它，兔子跑8步的路程獵犬只需跑3步，獵犬跑4步的時(shí)間野兔能跑9步。問(wèn)獵犬至少要跑多少步才能追上兔子？ 解：將獵犬一步的距離看作單位1（或者設(shè)獵犬一步距離為a）那么兔子一步的距離=3/8（3/8a）

二者的速度速度比=1×4：3/8×9=4：27/8=32：27 兔子在相同時(shí)間內(nèi)跑的距離是獵犬的27/32 那么獵犬需要跑(85×3/8)/（1-27/32）= 204步

7、AC兩站相距10千米,AB兩站相距2千米,甲車從A站,乙車從B站同時(shí)向C站開(kāi)去,當(dāng)甲車到達(dá)C站時(shí)，乙車距C站還有0.5千米，甲車是在離C站多遠(yuǎn)的地方追上乙的？

解：將全部路程看作單位1 那么甲到達(dá)C站時(shí)，行駛10千米 乙行駛10-2-0.5=7.5千米

那么甲乙兩車的速度比=10：7.5=4：3 在相同時(shí)間內(nèi)，乙行駛的距離是甲的3/4 那么甲車行駛2/（1-3/4）=2/（1/4)=8千米

那么甲是在離C站10-8=2千米的地方追上乙的。

三、特殊的追及問(wèn)題

我們?cè)谌粘Ｗ鲱}的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)遇到求幾點(diǎn)幾分時(shí)針和分針?biāo)Q的角度，還有時(shí)針和分針?biāo)啥嗌俣冉菚r(shí)，是幾點(diǎn)幾分。解此類題，似乎與追及問(wèn)題格格不入，但是我們恰恰可以看作是追及問(wèn)題的一個(gè)變形。首先我們對(duì)鐘面熟悉以后，知道鐘面被分作60個(gè)小格，每個(gè)小格所對(duì)的圓心角的度數(shù)=360/60=6度，分針每分鐘走1格，時(shí)針每分鐘走5/60=1/12格，由此我們?cè)诮忸}之前就知道了這些隱含條件，就可以把鐘面看作是環(huán)形跑道，時(shí)針?biāo)俣嚷轴標(biāo)俣瓤欤诮忸}之前，大致畫一個(gè)圖形，就知道大概角度，然后判斷路程差為多少，因?yàn)樗俣炔钗覀円呀?jīng)知道了，是1-1/12=11/12格，將來(lái)我們學(xué)會(huì)了相對(duì)運(yùn)動(dòng)，就可以把時(shí)針看作參照物，分針的速度變?yōu)?1/12格/分，問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單。看下面的例題： 1、7點(diǎn)與8點(diǎn)之間,時(shí)針與分針成30度角的時(shí)刻? 鐘面一共60格，一定要對(duì)鐘面熟悉 每一格對(duì)應(yīng)的度數(shù)360/60=5度

分針每分鐘走1格，時(shí)針每分鐘走5/60=1/12格 此時(shí)我們就把分針和時(shí)針的運(yùn)動(dòng)看作追及問(wèn)題

分針的速度快，是1格/分，時(shí)針的速度慢是1/12格/分 速度差=1-1/12=11/12格/分

此時(shí)如果看作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，時(shí)針靜止，那么分針的速度就是11/12格/分

此題中，7點(diǎn)時(shí)，分針和時(shí)針相差35格，題目要求成30度角及相差30/6=5格時(shí)鐘表的時(shí)間，那就是分針以11/12格/分的速度追趕時(shí)針，相差5格，也就是路程上追上了30格，求的就是分針以11/12格/分走30格的時(shí)間，第二次成30度就是分針超過(guò)時(shí)針5格即分針以11/12格/分的速度走的35+5=40格的時(shí)間 算術(shù)式如下：

第一次成30度時(shí)，時(shí)針和分針的路程差=60×30/360=5格 7點(diǎn)時(shí)時(shí)針和分針的距離是35格

第一次（35-5）/（1-1/12）=30x12/11=360/11分≈32分44秒 第二次（35+5）/（1-1/12）=40x12/11=480/11分≈43分38秒

方程：舉一例

設(shè)a分鐘分針和時(shí)針第一次成30度 分針a分走a格，時(shí)針a分走a/12格 開(kāi)始時(shí)的路程差=35格 那么

a/12+35=a+5 a=360/11分≈32分44秒 第二次成30度的時(shí)候 分針走a格

時(shí)針走a/12格，加上開(kāi)始的路程差=35格 那么此時(shí)時(shí)針的位置是a/12+35格 分針此時(shí)超過(guò)時(shí)針5格 那么

a-5=a/12+35 a=480/11分≈43分38秒

也就是在7點(diǎn)32分44秒和7點(diǎn)43分38秒的時(shí)候分針和時(shí)針成30度

2、張華出去辦事兩個(gè)多小時(shí)，出門時(shí)他看了看鐘，到家時(shí)又看了看鐘，發(fā)現(xiàn)時(shí)針和分針互相換了位置，他離家多長(zhǎng)時(shí)間？

此問(wèn)題關(guān)鍵在于求具體多少分鐘，因?yàn)榭隙ㄊ浅^(guò)2個(gè)小時(shí)

我們把表盤看作一個(gè)環(huán)形路，那么每一格就是距離單位，一圈是60格 分針每分鐘走1格，時(shí)針每分鐘走5/60=1/12格 鐘表按照順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，此題出門時(shí)時(shí)針在分針之后 時(shí)針和分針的路程差不變 整個(gè)過(guò)程分針走的路程是2x60+60-路程差，時(shí)針走的路程是路程差 所以時(shí)針和分針走過(guò)的路程和=3x60=180格 二者的速度和=1+1/12=13/12格/分

那么經(jīng)過(guò)的時(shí)間=180/（13/12）=2160/13分=36/13小時(shí)≈2小時(shí)46分 離家時(shí)間為2小時(shí)46分

或者列方程

我們?cè)O(shè)時(shí)針和分針之間距離為a格（120+60-a）/1=a/（1/12）13a=180 a=180/13格

那么離家時(shí)間=（180/13）/（1/12）=2160/13分=36/13小時(shí)≈2小時(shí)46分

小學(xué)比較典型的工程問(wèn)題

工程問(wèn)題是我們?cè)谛W(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中必不可少的，這里通過(guò)實(shí)踐總結(jié)出了一些工程實(shí)際問(wèn)題和變形的工程問(wèn)題，解此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于設(shè)好單位1，其次要把握住最基本的運(yùn)算公式工程總量=工作效率×工作時(shí)間，萬(wàn)變不離其宗。

1、王師傅加工一批零件，計(jì)劃在六月份每天都能超額完成當(dāng)天任務(wù)的15%，后來(lái)因機(jī)器維修，最后的5天每天只完成當(dāng)天任務(wù)的八成，就這樣，六月份共超額加工660個(gè)零件，王師傅原來(lái)的任務(wù)是每天加工多少個(gè)零件？ 解：首先我們知道6月有30天 將額定每天完成的任務(wù)看作單位1 每天超額15%，一共工作30-5=25（天）

每天超額完成15%，25天共超額 25×15%＝375% 每天完成八成，5天少完成 5×(1-80%)=100% 這個(gè)月共超額完成 375%-100%=275% 660÷275%=240(個(gè)）

2、一堆飼料,3牛和5羊可以吃15天,5牛和6羊可以吃10天,那8牛和11羊可以吃幾天

解：將這堆飼料的總量看作單位1 那么

3牛和5羊可以吃15天，吃的是單位1的量，相當(dāng)于每天吃1/15 5牛和6羊可以吃10天，吃的是單位1的量，相當(dāng)于每天吃1/10 我們此時(shí)把3牛5羊看作一個(gè)整體，5牛6羊看作1個(gè)整體，每天吃飼料的 1/15+1/10=1/6 那么這堆飼料可以供8牛11羊吃1/（1/6）=6天

分析：此題看作是和工程問(wèn)題無(wú)關(guān)，可是當(dāng)我們把3牛和5羊看作1個(gè)整體，5牛和6羊看作1個(gè)整體以后，就相當(dāng)于把題目變?yōu)榧滓彝瓿?項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要15天，乙單獨(dú)做需要10天，甲乙合作需要多少天？是不是這個(gè)意思。如果我們把此題認(rèn)為8牛和11羊吃25天吃的是2倍的飼料，然后除以2，得出12.5天，就不對(duì)了，這一點(diǎn)要在學(xué)習(xí)中注意。

3、甲、乙合作完成一項(xiàng)工作，由于配合得好，甲的工作效率比獨(dú)做時(shí)提高了十分之一，乙的工作效率比獨(dú)做時(shí)提高了五分之一，甲、乙兩人合作4小時(shí)，完成全部工作的五分之二。第二天乙又獨(dú)做了4小時(shí)，還剩下這件工作的三十分之十三沒(méi)完成。這項(xiàng)工作甲獨(dú)做需要幾個(gè)小時(shí)才能完成？

解：乙獨(dú)做4小時(shí)完成全部工程的1-2/5-13/30=3/5-13/30=1/6 乙的工作效率=（1/6）/4==1/24 乙獨(dú)做需要1/（1/24）=24小時(shí)

乙工作效率提高1/5后為（1/24）x（1+1/5）=1/20 甲乙提高后的工作效率和=（2/5）/4=1/10 那么甲提高后的工作效率=1/10-1/20=1/20 甲原來(lái)的工作效率=（1/20）/（1+1/10）=1/22 甲單獨(dú)做需要1/（1/22）=22小時(shí)

4、一項(xiàng)工程A、B兩人合作6天可以完成。如果A先做3天，B再接著做7天，可以完成，B單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？ AB合作，每天可以完成1/6 A先做3天，B再做7天，可以看做AB合作3天，B再單獨(dú)做7-3=4天 AB合作3天，可以完成：1/6×3=1/2 B單獨(dú)做4天，完成了1-1/2=1/2 B單獨(dú)做，每天完成：1/2÷4=1/8 B單獨(dú)完成，需要：1÷1/8=8天

5、某工程，由甲乙兩隊(duì)承包，2.4天可以完成，需支付1800元，由乙丙兩隊(duì)承包，3又3/4天可以完成，需支付1500元，由甲丙兩隊(duì)承包，2又6/7天可以完成，需支付1600元，在保證一星期內(nèi)完成的前提下，選擇哪個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包費(fèi)用最少？

甲乙工效和：1/(2又5分之2)=5/12 乙丙工效和：1/(3又4分之3）=4/15 甲丙工效和：1/(2又7分之6）=7/20 甲乙丙工效和：(5/12+4/15+7/20)/2=31/60 甲工效：31/60-4/15=1/4 乙工效：31/60-7/20=1/6 丙工效：31/60-5/12=1/10 能在一星期內(nèi)完成的為甲和乙

甲乙每天工程款：1800/（2又5分之2）=750元 乙丙每天工程款：1500/（3又4分之3）=400元 甲丙每天工程款：1600/（2又7分之6）=560元 甲乙丙每天工程款：（750+400+560）/2=855元 甲每天工程款：855-400=455元 乙每天工程款：855-560=295元 甲總費(fèi)用：455×4=1820元 乙總費(fèi)用：295×6=1770元 所以應(yīng)將工程承包給乙。

6、甲、乙二人同時(shí)開(kāi)始加工一批零件，加單獨(dú)做要20小時(shí)，乙單獨(dú)做30小時(shí)。現(xiàn)在兩人合作，工作了15小時(shí)后完成任務(wù)。已知甲休息了4小時(shí)，則乙休息了幾小時(shí)？

總的工作量為單位1 甲的工作效率=1/20 乙的工作效率=1/30 甲乙工作效率和=1/20+1/30=1/12 甲休息4小時(shí)，那么甲工作15-4=11小時(shí)，甲完成1/20×11=11/20 乙完成1-11/20=9/20 完成這些零件乙需要（9/20）/（1/30）=27/2小時(shí)

那么乙休息15-27/2=3/2小時(shí)=1.5小時(shí)

7、一間教室如果讓甲打掃需要10分鐘，乙打掃需要12分鐘。丙打掃需要15分鐘。有同樣的兩間教室A和B。甲在A教室，乙在B教室同時(shí)開(kāi)始打掃，丙先幫助甲打掃，中途又去幫助乙打掃教室，最后兩個(gè)教室同時(shí)打掃完，丙幫助甲打掃了多長(zhǎng)時(shí)間？（中途丙去乙教室的時(shí)間不計(jì)）將工作量看作單位1 甲的工作效率=1/10 乙的工作效率=1/12 丙的工作效率=1/15 甲乙丙合干完成1間教室需要1/（1/10+1/12+1/15）=4分鐘 設(shè)丙幫甲a分鐘

a分鐘甲丙完成（1/10+1/15）a=a/6 那么剩下的1-a/6需要甲獨(dú)自完成 乙a分鐘完成a/12 那么剩下的1-a/12需要乙丙完成

需要的時(shí)間=（1-a/12）/（1/12+1/15）=（1-a/12）/（3/20）根據(jù)題意

（a/6）/（1/10）=（1-a/12）/（3/20）10a/6=20/3-5/9a 30a=120-10a 40a=120 a=3分鐘

丙幫乙3分鐘

算術(shù)法解

兩間教室都是一樣的工作量，那么實(shí)際就是甲乙丙三人共同完成，上面已經(jīng)解出完成1間需要4分鐘，那么完成2間需要4×2=8分鐘，甲8分鐘完成1/10×8=4/5，那么丙需要完成1-4/5=1/5 所以丙幫甲（1/5）/（1/15）=3分鐘 那么丙幫乙8-3=5分鐘

8、裝配自行車3個(gè)工人2小時(shí)裝配車架10個(gè)，4個(gè)工人3小時(shí)裝配車輪21個(gè)。現(xiàn)有工人244人，為使車架和車輪裝配成整車出廠怎安排244名工人最合適？ 解：

裝配車架的工作效率=10/（3×2）=5/3個(gè)/人×小時(shí) 裝配車輪的工作效率=21/（4×3）=7/4個(gè)/人×小時(shí) 設(shè)a個(gè)工人裝配車架，則有244-a人裝配車輪 a×5/3：（244-a）×7/4=1：2 427-7/4a=10a/3 40a/12+21/12a=427 61a/12=427 a=84人

裝配車架84人

裝配車輪244-84=160人

簡(jiǎn)析：我們要知道在實(shí)際生活中，一輛自行車需要一個(gè)車架和二個(gè)車輪，那么車架和車輪比為1：2，可以稱為隱含條件，大家要注意。

9、光明村計(jì)劃修一條公路，有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同承包，甲工程隊(duì)先修完公路的1/2后，乙工程隊(duì)再接著修完余下的公路，共用40天完成。已知乙工程隊(duì)每天比甲工程隊(duì)多修8千米，后20天比前20天多修了120千米。求乙工程隊(duì)共修路多少天？

解：因?yàn)橐业墓ぷ餍矢哂诩祝郧?0天里乙沒(méi)有修 實(shí)際乙工作了120/8=15天

此題問(wèn)題不難，但是關(guān)鍵在于處理前20天內(nèi)是否有乙工作，如果乙在前20天工作，那么工期肯定少于40天，所以借助畫圖會(huì)更好的理解。

10、張師傅計(jì)劃加工一批零件，如果每小時(shí)比計(jì)劃少加工2個(gè)，那么所用的時(shí)間是原來(lái)的3分之4；如果每小時(shí)比計(jì)劃多加工10個(gè)，那么所用的時(shí)間比原來(lái)少1小時(shí)，這批零件共有多少個(gè)？

解：張師傅比計(jì)劃少加工2個(gè)，那么所用的時(shí)間是原來(lái)的3分之4，也就是原計(jì)劃用的時(shí)間和實(shí)際用的時(shí)間之比為1：4/3=3：4 那么原來(lái)的工作效率和實(shí)際的工作效率之比為4：3 實(shí)際工作效率是原來(lái)的3/4 那么原計(jì)劃每小時(shí)加工2/（1-3/4）=8個(gè)

如果每小時(shí)多加工10個(gè)，那么實(shí)際每小時(shí)加工8+10=18個(gè) 原計(jì)劃的工作效率和實(shí)際工作效率之比=8：18=4：9 那么原計(jì)劃與實(shí)際所用時(shí)間之比為9：4 實(shí)際用的時(shí)間是原來(lái)的4/9 那么原計(jì)劃用的時(shí)間=1/（1-4/9）=9/5=1.8小時(shí) 那么這批零件有8×1.8=14.4個(gè)

11、一項(xiàng)工程，乙先獨(dú)做4天，繼而甲、丙合作6天，剩下工程甲又獨(dú)做9天才全部完成。已知乙完成的是甲的三分之一，丙完成的是乙的2倍。如果甲乙丙單獨(dú)做，各需多少天？

甲工作了6+9=15天，乙工作了4天。丙工作了6天

乙完成的是甲的1/3，也就是相當(dāng)于甲工作了15×1/3=5天 丙完成的是乙的2倍，相當(dāng)于甲工作了5×2=10天 所以甲完成全部工作需要15+5+10=30天 甲15天完成全部的1/30×15=1/2 那么乙4天完成全部的1/2×1/3=1/6 乙完成全部需要4/（1/6）=24天 丙6天完成全部的1/6×2=1/3 丙完成全部需要6/（1/3）=18天

12、甲、乙兩人每小時(shí)打印文件的頁(yè)數(shù)比是3:4，兩人同時(shí)和打一份文件，和打一段時(shí)間后，乙因故停打，余下的文件甲單獨(dú)打完。這時(shí)甲、乙各自打印的文件頁(yè)數(shù)之比是11:10。甲單獨(dú)打印的頁(yè)數(shù)和兩人合作時(shí)共打印的頁(yè)數(shù)比是多少？ 解：將全部文件的頁(yè)數(shù)看作單位1 那么結(jié)束后，甲乙打印的頁(yè)數(shù)分別為 甲打印了1×11/（11+10）=11/21 乙打印了1-11/21=10/21 因?yàn)榧滓颐啃r(shí)打印的頁(yè)數(shù)比為3：4 也就是說(shuō)每小時(shí)甲打印的頁(yè)數(shù)是乙打印的3/4 那么乙打印了10/21這段時(shí)間內(nèi)，甲打印了10/21×3/4=5/14 甲單獨(dú)打印的頁(yè)數(shù)=11/21-5/14=22/42-15/42=1/6 甲乙合作打印的頁(yè)數(shù)=1-1/6=5/6 那么甲單獨(dú)打印的頁(yè)數(shù)和甲乙合作共打印的頁(yè)數(shù)之比為1/6：5/6=1：5

13、一項(xiàng)工程,甲、乙兩隊(duì)合作,需12天完成;乙、丙兩隊(duì)合作,需15天合作.現(xiàn)在甲、乙、丙合作4天后,余下的工程再由乙獨(dú)做16天完成.問(wèn)乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天? 解：將全部工程看作單位1 根據(jù)題意

整個(gè)工程甲乙合作4天，乙丙合作4天，乙獨(dú)做16-4=12天 要把整個(gè)過(guò)程拆開(kāi)

所以乙獨(dú)做的部分是1-1/12×4-1/15×4=1-1/3-4/15=2/3-4/15=6/15=2/5 乙單獨(dú)完成需要12/（2/5）=30天

14、例如：一項(xiàng)工程，乙隊(duì)先獨(dú)做6天，然后甲、丙兩隊(duì)合作8天，剩下的工程由甲隊(duì)又單獨(dú)做了12天才完成。已知乙隊(duì)完成的是甲隊(duì)的1/3，丙隊(duì)完成的是乙隊(duì)完成的2倍，如果甲、乙、丙三隊(duì)獨(dú)做，各需要多少天完成？ 解：此處我們把甲完成的工程量看作單位1 那么乙完成1×1/3=1/3 丙完成1/3×2=2/3 全部工程的數(shù)量為1+1/3+2/3=2 甲一共做了8+12=20天 乙一共做了6天 丙一共做了8天 甲的工作效率=1/20 乙的工作效率=（1/3）/6=1/18 丙的工作效率=（2/3）/8=1/12 甲單獨(dú)做需要2/（1/20）=40天 乙單獨(dú)做需要2/（1/18）=36天 丙單獨(dú)做需要2/（1/12）=24天 附：解答應(yīng)用題的一點(diǎn)心得：

1、讀懂題意，把不相關(guān)的語(yǔ)言精簡(jiǎn)掉，現(xiàn)在應(yīng)用題考得不是數(shù)學(xué)，而是語(yǔ)文的閱讀能力，還要有轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力。

2、巧設(shè)未知數(shù)。一道應(yīng)用題中可以把幾個(gè)量都設(shè)為未知數(shù)，但是哪一個(gè)更為簡(jiǎn)便，要仔細(xì)斟酌。例如：甲乙二人速度之比為3：2，在求甲乙的速度時(shí)，我們可以設(shè)甲的速度為a千米/小時(shí)，乙為b千米/小時(shí)，這就是二元一次方程組；或者設(shè)甲的速度為a千米/小時(shí)，則乙為2/3a千米/小時(shí)，這樣雖然是一元一次方程，但是有分?jǐn)?shù)；或者設(shè)甲的速度為3a千米/小時(shí)，乙的速度為2a千米/小時(shí) 可見(jiàn)最后的設(shè)法最好。根據(jù)不同的題目設(shè)出未知數(shù)。

3、根據(jù)等量關(guān)系列出方程

4、解方程。此時(shí)我們可能會(huì)遇到二個(gè)未知數(shù)，而只能列出一個(gè)方程，我們就要看看是不是還有隱含條件，比如人數(shù)、物體的個(gè)數(shù)，都要是正整數(shù)，這就是隱含條件，尤其在不等式方程中要用到。還有就是分式方程要驗(yàn)根

5、寫清單位和答話。這一步往往被忽視，其實(shí)這一步恰恰反映出你是否讀懂了題目，是否知道題目要求的是什么，在考試中是要站分?jǐn)?shù)的。

6、勤加練習(xí)，熟能生巧。觸類旁通，舉一反三。

這是我個(gè)人對(duì)接應(yīng)用題的一點(diǎn)心得，希望對(duì)你有所幫助。一點(diǎn)心得

此問(wèn)題多見(jiàn)于平日練習(xí)之中，比較有代表性，總結(jié)給大家，希望有所幫助，時(shí)間緊迫，難免有紕漏之處，還望批評(píng)指正。

第二篇：小學(xué)數(shù)學(xué)中遇到的典型的工程和行程應(yīng)用題1

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小學(xué)經(jīng)常遇到的行程問(wèn)題

一、相遇問(wèn)題

1、一列客車從甲地開(kāi)往乙地，同時(shí)一列貨車從甲地開(kāi)往乙地，當(dāng)貨車行了180千米時(shí)，客車行了全程的七分

5、甲乙兩車同時(shí)分別從兩地相對(duì)開(kāi)出，5小時(shí)正好行了全程的2/3，甲乙兩車的速度比是5：3。余下的路程由乙車單獨(dú)走完，還要多少小時(shí)？ 之四；當(dāng)客車到達(dá)乙地時(shí)，貨車行了全程的八分之七。

甲乙兩地相距多少千米？

2、甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開(kāi)出，2小時(shí)相遇。相遇后兩車?yán)^續(xù)前行，當(dāng)甲車到達(dá)B地時(shí)，乙車離A地還有60千米，一直兩車速度比是3:2。求甲乙兩車的速度。

3、甲、乙兩車分別同時(shí)從A、B兩成相對(duì)開(kāi)出,甲車從A城開(kāi)往B城,每小時(shí)行全程的10%,乙車從B城開(kāi)往A城，每小時(shí)行8千米，當(dāng)甲車距A城260千米時(shí)，乙車距B地320千米。A、B兩成之間的路程有多少千米？

4、一客車和一貨車同時(shí)從甲乙兩地相對(duì)開(kāi)出,經(jīng)過(guò)3小時(shí)相遇,相遇后仍以原速繼續(xù)行駛，客車行駛2小時(shí)到達(dá)乙地，此時(shí)貨車距離甲地150千米，求甲乙兩地距離？

6、甲，乙兩輛汽車同時(shí)從東站開(kāi)往西站，甲車每小時(shí)比乙車多行12千米。甲車行駛4.5小時(shí)到達(dá)西站后沒(méi)有停留，立即從原路返回，在距西站31.5千米和乙車相遇。

甲車每小時(shí)行多少千米？

7、從甲地去乙地，如車速比原來(lái)提高1/9，就可比預(yù)定的時(shí)間提前20分鐘趕到，如先按原速行駛72千米，再將車速比原來(lái)提高1/3，就比預(yù)定時(shí)間提前30分鐘趕到。甲，乙兩地相距多少千米？

8、清晨4時(shí)，甲車從A地，乙車從B地同時(shí)相對(duì)開(kāi)出，原計(jì)劃在上午10時(shí)相遇，但在6時(shí)30分，乙車因故停

在中途C地，甲車?yán)^續(xù)前行350千米在C地與乙車相遇，相遇后，乙車立即以原來(lái)每小時(shí)60千米的速度向A地開(kāi)去。問(wèn)：乙車幾點(diǎn)才能到達(dá)A地？ 廣平育英培訓(xùn)中心 常老師數(shù)學(xué)課堂

9、AB兩地相距60千米，甲車比乙車先行1小時(shí)從A13、甲乙兩車同時(shí)從AB兩地出發(fā)，相向而行，甲與乙地出發(fā)開(kāi)往B地，結(jié)果乙車還比甲車早30分到達(dá)B地，甲乙兩車的速度比是2:5，求乙車的速度。

10、小剛很小明同時(shí)從家里出發(fā)相向而行。小剛每分鐘走52米，小明每分鐘走70米，兩人在途中A處相遇。若小剛提前4分鐘出發(fā)，且速度不變，小明每分鐘走90米，則兩人仍在A處相遇。小剛和小明兩人的家相距多少米？

解：

11、客貨兩車分別從甲乙兩地同時(shí)相對(duì)開(kāi)出，5小時(shí)后相遇，相遇后兩車仍按原速度前進(jìn)，當(dāng)他們相距196千米時(shí)客車行了全程的三分之二，貨車行了全程的80%，問(wèn)貨車行完全程用多少小時(shí) ？

12、甲、乙兩輛車同時(shí)分別從兩個(gè)城市相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)過(guò)3小時(shí)，兩車距離中點(diǎn)18千米處相遇，這時(shí)甲車與乙車所行的路程之比是2：3.求甲乙兩車的速度各是多少？ 的速度比是4：5。兩車第一次相遇后，甲的速度提高了

4分之一，乙的速度提高了3分之一，兩車分別到達(dá)BA

兩地后立即返回。這樣，第二次相遇點(diǎn)距第一次相遇點(diǎn)48KM，AB兩地相距多少千米？

14、甲從A地往B地，乙丙從B地行往A地，三人同

時(shí)出發(fā)。甲首先遇乙，15分鐘后又遇丙。甲每份走70m，乙走60m丙走50m。問(wèn)AB兩地距離、15、甲乙兩人同時(shí)從山腳開(kāi)始爬山，到達(dá)山頂后就立即下山，甲乙兩人下山的速度都是各自上山速度的二倍，甲到山頂時(shí)乙距離山頂還有500米，甲回到山腳時(shí)，乙剛好下到半山腰，求從山腳到山頂?shù)穆烦獭?/p>

16、汽車從A地到B地，如果速度比預(yù)定的每小時(shí)慢5千米，到達(dá)時(shí)間將比預(yù)定的多1/8，如果速度比預(yù)定的增加1/3，到達(dá)時(shí)間將比預(yù)定的早1小時(shí)。求A,B兩地間的路程？

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17、兩輛汽車同時(shí)從東、西兩站相對(duì)開(kāi)出，第一次在離東站45千米的地方相遇，之后兩車?yán)^續(xù)以原來(lái)的速度前進(jìn)，各自到站后都立即返回，又在距離中點(diǎn)東側(cè)9千米處相遇，兩站相距多少千米？

二、追及問(wèn)題

1、已知甲乙兩船的船速分別是24千米/時(shí)和20千米/時(shí),兩船先后從漢口港開(kāi)出,乙比甲早出1小時(shí)，兩船同時(shí)到達(dá)目的地A，問(wèn)兩地距離？

2、某校組織學(xué)生排隊(duì)去春游，步行速度為每秒1米，隊(duì)尾的王老師以每秒2.5米的速度趕到排頭,然后立即返回隊(duì)尾,共用10秒,求隊(duì)伍的長(zhǎng)度是多少米?、3、在一個(gè)圓形跑道上,甲從A點(diǎn),乙從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行,6分鐘后兩人相遇,再過(guò)4分鐘甲到B點(diǎn),又過(guò)8分鐘兩人再次相遇,甲、乙環(huán)形一周各需多少分鐘？

4、甲乙兩人環(huán)湖同向競(jìng)走,環(huán)湖一周是400米,乙每分鐘走80米,甲的速度是乙的一又四分之一倍，問(wèn)甲什么時(shí)候追上乙？

5、獵犬發(fā)現(xiàn)距它8米遠(yuǎn)的地方優(yōu)質(zhì)本報(bào)的野兔子，立刻追。獵犬包6步的路程野兔要跑11步，但是兔子跑的4步的時(shí)間獵犬只能奔跑3步。獵犬至少要跑多少米才能追上野兔？

6、一只野兔跑出85步獵犬才開(kāi)始追它，兔子跑8步的路程獵犬只需跑3步，獵犬跑4步的時(shí)間野兔能跑9步。問(wèn)獵犬至少要跑多少步才能追上兔子？

三、特殊的追及問(wèn)題

我們?cè)谌粘Ｗ鲱}的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)遇到求幾點(diǎn)幾分時(shí)針和分針?biāo)Q的角度，還有時(shí)針和分針?biāo)啥嗌俣冉菚r(shí)，是幾點(diǎn)幾分。解此類題，似乎與追及問(wèn)題格格不入，但是我們恰恰可以看作是追及問(wèn)題的一個(gè)變形。首先我們對(duì)鐘面熟悉以后，知道鐘面被分作60個(gè)小格，每個(gè)小格所對(duì)的圓心角的度數(shù)=360/60=6度，分針每分鐘走廣平育英培訓(xùn)中心 常老師數(shù)學(xué)課堂

格，時(shí)針每分鐘走5/60=1/12格，由此我們?cè)诮忸}之前就知道了這些隱含條件，就可以把鐘面看作是環(huán)形跑道，時(shí)針?biāo)俣嚷轴標(biāo)俣瓤欤诮忸}之前，大致畫一個(gè)圖形，就知道大概角度，然后判斷路程差為多少，因?yàn)樗俣炔钗覀円呀?jīng)知道了，是1-1/12=11/12格，將來(lái)我們學(xué)會(huì)了相對(duì)運(yùn)動(dòng)，就可以把時(shí)針看作參照物，分針的速度變?yōu)?1/12格/分，問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單。看下面的例題： 1、7點(diǎn)與8點(diǎn)之間,時(shí)針與分針成30度角的時(shí)刻?

2、張華出去辦事兩個(gè)多小時(shí)，出門時(shí)他看了看鐘，到家時(shí)又看了看鐘，發(fā)現(xiàn)時(shí)針和分針互相換了位置，他離家多長(zhǎng)時(shí)間？

小學(xué)比較典型的工程問(wèn)題

工程問(wèn)題是我們?cè)谛W(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中必不可少的，這里通過(guò)實(shí)踐總結(jié)出了一些工程實(shí)際問(wèn)題和變形的工程問(wèn)題，解此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于設(shè)好單位1，其次要把握住最基本的運(yùn)算公式工程總量=工作效率×工作時(shí)間，萬(wàn)變不離其宗。

1、王師傅加工一批零件，計(jì)劃在六月份每天都能超額完成當(dāng)天任務(wù)的15%，后來(lái)因機(jī)器維修，最后的5天每天只完成當(dāng)天任務(wù)的八成，就這樣，六月份共超額加工660個(gè)零件，王師傅原來(lái)的任務(wù)是每天加工多少個(gè)零件？

2、一堆飼料,3牛和5羊可以吃15天,5牛和6羊可以吃10天,那8牛和11羊可以吃幾天

3、甲、乙合作完成一項(xiàng)工作，由于配合得好，甲的工作效率比獨(dú)做時(shí)提高了十分之一，乙的工作效率比獨(dú)做時(shí)提高了五分之一，甲、乙兩人合作4小時(shí)，完成全部工作的五分之二。第二天乙又獨(dú)做了4小時(shí)，還剩下這件工作的三十分之十三沒(méi)完成。這項(xiàng)工作甲獨(dú)做需要幾個(gè)小時(shí)才能完成？

4、一項(xiàng)工程A、B兩人合作6天可以完成。如果A先做3天，B再接著做7天，可以完成，B單獨(dú)完成這項(xiàng)

工程需要多少天？

廣平育英培訓(xùn)中心 常老師數(shù)學(xué)課堂

5、某工程，由甲乙兩隊(duì)承包，2.4天可以完成，需支付1800元，由乙丙兩隊(duì)承包，3又3/4天可以完成，需支付1500元，由甲丙兩隊(duì)承包，2又6/7天可以完成，需支付1600元，在保證一星期內(nèi)完成的前提下，選擇哪個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包費(fèi)用最少？

6、甲、乙二人同時(shí)開(kāi)始加工一批零件，加單獨(dú)做要20小時(shí)，乙單獨(dú)做30小時(shí)。現(xiàn)在兩人合作，工作了15小時(shí)后完成任務(wù)。已知甲休息了4小時(shí)，則乙休息了幾小時(shí)？

7、一間教室如果讓甲打掃需要10分鐘，乙打掃需要12分鐘。丙打掃需要15分鐘。有同樣的兩間教室A和B。甲在A教室，乙在B教室同時(shí)開(kāi)始打掃，丙先幫助甲打掃，中途又去幫助乙打掃教室，最后兩個(gè)教室同時(shí)打掃完，丙幫助甲打掃了多長(zhǎng)時(shí)間？（中途丙去乙教室的時(shí)間不計(jì)）

8、裝配自行車3個(gè)工人2小時(shí)裝配車架10個(gè)，4個(gè)工人3小時(shí)裝配車輪21個(gè)。現(xiàn)有工人244人，為使車架和車輪裝配成整車出廠怎安排244名工人最合適？

9、光明村計(jì)劃修一條公路，有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同承包，甲工程隊(duì)先修完公路的1/2后，乙工程隊(duì)再接著修完余下的公路，共用40天完成。已知乙工程隊(duì)每天比甲工程隊(duì)多修8千米，后20天比前20天多修了120千米。求乙工程隊(duì)共修路多少天？

10、張師傅計(jì)劃加工一批零件，如果每小時(shí)比計(jì)劃少加工2個(gè)，那么所用的時(shí)間是原來(lái)的3分之4；如果每小時(shí)比計(jì)劃多加工10個(gè)，那么所用的時(shí)間比原來(lái)少1小時(shí)，這批零件共有多少個(gè)？

附：解答應(yīng)用題的一點(diǎn)心得：

1、讀懂題意，把不相關(guān)的語(yǔ)言精簡(jiǎn)掉，現(xiàn)在應(yīng)用題考得不是數(shù)學(xué)，而是語(yǔ)文的閱讀能力，還要有轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力。

2、巧設(shè)未知數(shù)。一道應(yīng)用題中可以把幾個(gè)量都設(shè)為未知數(shù)，但是哪一個(gè)更為簡(jiǎn)便，要仔細(xì)斟酌。例如：甲乙二人速度之比為3：2，在求甲乙的速度時(shí)，我們可以設(shè)甲的速度為a千米/小時(shí)，乙為b千米/小時(shí)，這就是二元一次方程組；或者設(shè)甲的速度為a千米/小時(shí)，則乙為2/3a千米/小時(shí)，這樣雖然是一元一次方程，但是有分?jǐn)?shù)；或者設(shè)甲的速度為3a千米/小時(shí)，乙的速度為2a千米/小時(shí)

可見(jiàn)最后的設(shè)法最好。根據(jù)不同的題目設(shè)出未知數(shù)。

3、根據(jù)等量關(guān)系列出方程

4、解方程。此時(shí)我們可能會(huì)遇到二個(gè)未知數(shù)，而只能列出一個(gè)方程，我們就要看看是不是還有隱含條件，比如人數(shù)、物體的個(gè)數(shù)，都要是正整數(shù)，這就是隱含條件，尤其在不等式方程中要用到。還有就是分式方程要驗(yàn)根

5、寫清單位和答話。這一步往往被忽視，其實(shí)這一步恰恰反映出你是否讀懂了題目，是否知道題目要求的是什么，在考試中是要站分?jǐn)?shù)的。

6、勤加練習(xí)，熟能生巧。觸類旁通，舉一反三。

第三篇：小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題

小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題

01歸一問(wèn)題

【含義】

在解題時(shí)，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

總量÷份數(shù)＝1份數(shù)量

1份數(shù)量×所占份數(shù)＝所求幾份的數(shù)量

另一總量÷（總量÷份數(shù)）＝所求份數(shù)

02解題思路和方法

先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。

例1：3頭牛4天吃了24千克的草料，照這樣計(jì)算5頭牛6天吃草

_____

千克。

解:

1.根據(jù)題意先算出1頭牛1天吃草料的質(zhì)量：24÷3÷4=2(千克)。

2.那么5頭牛一天吃2×5=10(千克)的草料。

3.那么6天就能吃10×6=60(千克)草料。

例2：5名同學(xué)8分鐘制作了240張正方形紙片。如果每人每分鐘制作的數(shù)量相同，并且又來(lái)了2位同學(xué)，那么再過(guò)15分鐘他們又能做

_____

張正方形紙片？

解：

1.可以先算出5名同學(xué)1分鐘能制作正方形紙片的數(shù)量，240÷8=30(張)。

2.再算出1名同學(xué)1分鐘制作的數(shù)量，30÷5=6(張)。

3.現(xiàn)在有5+2=7(名)同學(xué)，每人每分鐘做6張，要做15分鐘，那么他們能做7×6×15=630(張)正方形紙片。

例3：某車間用4臺(tái)車床5小時(shí)生產(chǎn)零件600個(gè)，照這樣計(jì)算，增加3臺(tái)同樣的車床后，如果要生產(chǎn)6300個(gè)零件，需要

_____

小時(shí)完成？

解：

1.4臺(tái)車床5小時(shí)生產(chǎn)零件600個(gè)，則每臺(tái)車床每小時(shí)生產(chǎn)零件600÷4÷5=30（個(gè)）。

2.增加3臺(tái)同樣的車床，也就是4+3=7（臺(tái)）車床，7臺(tái)車床每小時(shí)生產(chǎn)零件7×30=210（個(gè)）。

3.如果生產(chǎn)6300個(gè)零件，需要6300÷210=30（小時(shí)）完成。

02歸總問(wèn)題

【含義】

解題時(shí)，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問(wèn)題，叫歸總問(wèn)題。

所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價(jià).幾小時(shí)（幾天）的總工作量.幾公畝地上的總產(chǎn)量.幾小時(shí)走的總路程等。

【數(shù)量關(guān)系】

1份數(shù)量×份數(shù)＝總量

總量÷1份數(shù)量＝份數(shù)總量÷另一份數(shù)＝另一每份數(shù)量

解題思路和方法

先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。

例1:王大伯家的干草夠8只牛吃一個(gè)星期的，照這樣計(jì)算，這些草夠4只牛吃（）天？

解：

1.可以算出這些草夠1只牛吃多少天，用8×7=56(天)。

2.算4只牛能吃多久，用56÷4=14(天)。

例2小青家有個(gè)書架共5層，每層放36本書。現(xiàn)在要空出一層放碟片，把這層書平均放入其它4層中，每層比原來(lái)多放

（）本書。

解：

方法一：

1.根據(jù)題意可以算出書架上有5×36=180(本)書。

2.現(xiàn)在還剩下5-1=4(層)書架。

3.所以每層書架上有180÷4=45(本)書。比原來(lái)多45-36=9(本)書。

方法二：

也可以這樣考慮，就是要把其中一層的36本書平均分到其他4層，所以每層比原來(lái)多放36÷4=9（本）書。

例3一個(gè)長(zhǎng)方形的水槽可容水480噸，水槽裝有一個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)排水管。單開(kāi)進(jìn)水管8小時(shí)可以把空池注滿；單開(kāi)排水管6小時(shí)可以把滿水池排空，兩管齊開(kāi)需要多少小時(shí)把滿池水排空？

解：

1.要求兩管齊開(kāi)需要多少小時(shí)把滿池水排光，關(guān)鍵在于先求出進(jìn)水速度和排水速度，進(jìn)水每小時(shí)480÷8=60（噸）；排水每小時(shí)480÷6=80（噸）。

2.當(dāng)兩管齊開(kāi)，排水速度大于進(jìn)水速度，即每小時(shí)排80-60=20（噸）。

3.再根據(jù)總水量就可以求出排空滿池水所需的時(shí)間。480÷20=24（小時(shí)）。

03和差問(wèn)題

【含義】

已知兩個(gè)數(shù)量的和與差，求這兩個(gè)數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

大數(shù)＝(和＋差)÷2小數(shù)＝(和－差)÷2

解題思路和方法

簡(jiǎn)單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。

例1:兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多18千克，第一筐水果重

_____

千克，第二筐水果重

_____

千克。

解：

因?yàn)榈谝豢鸨鹊诙鹬?/p>

1.根據(jù)大大數(shù)＝(和＋差)÷2的數(shù)量關(guān)系，可以求出第一筐水果重(150+18)÷2=84（千克）。

2.根據(jù)小數(shù)＝(和－差)÷2的數(shù)量關(guān)系，可以求出第二筐水果重(150-18)÷2=66（千克）。

例2:登月行動(dòng)地面控制室的成員由兩組專家組成，兩組共有專家120名，原來(lái)第一組人太多，所以從第一組調(diào)了20人到第二組，這時(shí)第一組和第二組人數(shù)一樣多，那么原來(lái)第二組有（）名專家。

解：

1.原來(lái)從第一組調(diào)了20人到第二組，這時(shí)第一組和第二組人數(shù)一樣多，說(shuō)明原來(lái)第一組比第二組多20+20=40（人）

2.根據(jù)小數(shù)＝(和－差)÷2的數(shù)量關(guān)系，第二組人數(shù)應(yīng)該為(120-40)÷2=40（人）。

例3:某工廠第一.二.三車間共有工人280人，第一車間比第二車間多10人，第二車間比第三車間多15人，三個(gè)車間各有多少人？

解：

1.第一車間比第二車間多10人，第二車間比第三車間多15人；

那么第一車間就比第三車間多25人，因此第三車間的人數(shù)是（280-25-15）÷3=80（人）。

據(jù)此可得出第一.二車間的人數(shù)。

04和倍問(wèn)題

【含義】

已知兩個(gè)數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

總和÷（幾倍＋１）＝較小的數(shù)

總和－較小的數(shù)＝較大的數(shù)

較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)

解題思路和方法

簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例１：甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)共存糧２６４噸，甲倉(cāng)庫(kù)存糧是乙倉(cāng)庫(kù)存糧的１０倍。甲倉(cāng)庫(kù)存糧噸，乙倉(cāng)庫(kù)存糧＿＿＿＿＿噸。

解：

１.根據(jù)“甲倉(cāng)庫(kù)存糧是乙倉(cāng)庫(kù)存糧的１０倍”，把甲倉(cāng)庫(kù)存糧數(shù)看成“大數(shù)”，乙倉(cāng)庫(kù)存糧數(shù)看成“小數(shù)”。

２.根據(jù)和倍公式總和－（幾倍＋１）＝較小的數(shù)，即可求乙倉(cāng)庫(kù)存糧２６４＝（１０＋１）＝２４（噸）。

３.根據(jù)和倍公式較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)，即可求甲倉(cāng)庫(kù)存糧２４×１０＝２４０（噸）。

例２：已知蘋果.梨.桃子的總質(zhì)量為４０千克，蘋果的質(zhì)量是桃子的４倍，梨的質(zhì)量是桃子的３倍，求蘋果.梨.桃子的質(zhì)量。

解：

１.根據(jù)“蘋果的質(zhì)量是桃子的４倍，梨的質(zhì)量是桃子的３倍”；

把桃子看成１倍數(shù)，則蘋果是４倍數(shù)，梨是３倍數(shù)。

２.根據(jù)“蘋果、梨、桃子的總質(zhì)量為４０千克”和和倍公式：

總和＝（幾倍＋１）＝較小的數(shù)

可求出桃子的質(zhì)量，４０＝（４＋３＋１）＝５（千克）

３.根據(jù)桃子質(zhì)量可以求出蘋果和梨的質(zhì)量。

例３：歡歡、樂(lè)樂(lè)和多多一共帶了1４８元去公園。

已知?dú)g歡帶的錢數(shù)比樂(lè)樂(lè)的２倍多１元，多多帶的錢數(shù)比歡歡多２倍，那么多多帶了（）元。

解：

１.在三個(gè)量的和倍問(wèn)題中，我們可以選擇其中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量，然后通過(guò)三個(gè)量之間的和倍關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可。

需要注意，多２倍就是３倍。

２.由題可知，三人里樂(lè)樂(lè)的錢數(shù)最少。

我們可以把樂(lè)樂(lè)看成標(biāo)準(zhǔn)量，那么歡歡就是２份標(biāo)準(zhǔn)量再加１元。

３.多多比歡歡多兩倍，就是２×３＝６份標(biāo)準(zhǔn)量再加１×３＝３（元）。

４.那么他們?nèi)齻€(gè)合起來(lái)就是１＋２＋６＝９

份標(biāo)準(zhǔn)量再加１＋３＝４（元）。

５.所以標(biāo)準(zhǔn)量是

（１４８－４）÷９＝１６（元），即樂(lè)樂(lè)帶了１６元。

６.根據(jù)樂(lè)樂(lè)的錢數(shù)可以求出歡歡帶了

１６×２＋１＝３３（元），所以多多帶了

３３×３＝９９（元）。

05差倍問(wèn)題

【含義】

已知兩個(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少；

這類應(yīng)用題叫做差倍問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

兩個(gè)數(shù)的差÷（幾倍－1）

=較小的數(shù)較小的數(shù)×幾倍

=較大的數(shù)

解題思路和方法

簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1：莉莉的科技書比故事書多16本，科技書是故事書3倍，莉莉有科技書（）本。

A.8

B.12

C.16

D.24

解：

1.解決差倍問(wèn)題，可以畫線段圖解決，也可以直接套用公式解決。

2.把故事書的本數(shù)看作1倍數(shù)，科技書的本數(shù)就是3倍數(shù)，科技書比故事書多16本，所以根據(jù)差倍公式兩個(gè)數(shù)的差÷（幾倍－1）=較小的數(shù)，可以求出故事書有16÷2=8本。

3.根據(jù)差倍公式較小的數(shù)×幾倍=較大的數(shù)，可以求出科技書有8×3=24本。

例2：甲桶油是乙桶油4倍，如果從甲桶倒出15千克給乙桶，兩桶油的重量就相等了，則原來(lái)甲桶有油

____

千克，乙桶有油

____

千克。

解：

1.根據(jù)題意，從甲桶倒出15千克給乙桶，兩桶油的重量就相等了，說(shuō)明原來(lái)甲桶油比乙桶油多15×2=30（千克）。

2.根據(jù)差倍公式兩個(gè)數(shù)的差÷（幾倍-1）=較小的數(shù)，可以求出乙桶有油30÷（4-1）=10（千克）。

3.根據(jù)差倍公式較小的數(shù)×幾倍=較大的數(shù)，可以求出甲桶原有油10×4=40（千克）。

例3：每件成品需要5個(gè)甲零件，2個(gè)乙零件。

開(kāi)始時(shí)，甲零件的數(shù)量是乙零件數(shù)量的2倍，加工了30個(gè)成品之后甲零件和乙零件的數(shù)量一樣多，那么還可以加工

_____

個(gè)成品。

解：

1.加工一個(gè)成品，甲零件比乙零件多用5-2=3（個(gè)），加工30個(gè)成品，甲零件比乙零件多用3×30=90（個(gè)）。

根據(jù)“加工了30個(gè)成品之后甲零件和乙零件的數(shù)量一樣多”說(shuō)明原來(lái)甲零件比乙零件多90個(gè)。

2.把乙原來(lái)的零件數(shù)看成1倍，甲就是這樣的2倍，甲比乙多1倍，對(duì)應(yīng)90個(gè)，求出乙原來(lái)有90÷（2-1）=90（個(gè)）

3.那么甲原來(lái)有90×2=180（個(gè)）零件。

4.每件成品需要5個(gè)甲零件，2個(gè)乙零件，那么加工30個(gè)成品，甲零件用了5×30=150（個(gè)），乙零件用了2×30=60（個(gè)），所以甲零件還剩180-150=30（個(gè)），乙零件還剩90-60=30（個(gè)）。

剩下的甲零件還能做30÷5=6（個(gè)）成品，剩下的乙零件還能做30÷2=15（個(gè)）成品。

因?yàn)槊考善沸枰?乙兩種零件共同完成，所以剩下的零件數(shù)還可以加工6個(gè)成品。

06和倍問(wèn)題

【含義】

已知兩個(gè)或多個(gè)人年齡關(guān)系，求各自年齡或年齡關(guān)系，這類應(yīng)用題叫做和倍問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

大數(shù)＝(和＋差)÷2小數(shù)

＝(和－差)÷2總和÷(幾倍+1)

＝較小的數(shù)

總和-較小的數(shù)＝較大的數(shù)較小的數(shù)×幾倍

＝較大的數(shù)兩個(gè)數(shù)的差÷（幾倍－1）

=較小的數(shù)較小的數(shù)×幾倍

=較大的數(shù)

解題思路和方法

年齡問(wèn)題具有年齡同增同減，年齡差不變的特性。

年齡問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為和差.和倍.差倍問(wèn)題。

簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1：爸爸今年38歲，媽媽今年36歲，當(dāng)爸爸42歲時(shí)，媽媽

_____

歲。

解：

1.本題考查的年齡差不變（簡(jiǎn)單），不管過(guò)了多少年年齡差是不變的。

2.爸爸比媽媽大2歲，根據(jù)不管過(guò)了多少年年齡差是不變的，當(dāng)爸爸42歲時(shí)，媽媽是40歲。

例2：姐姐今年15歲，妹妹今年12歲，當(dāng)她們的年齡和是39歲時(shí)，那時(shí)妹妹

_____

歲。

解：

方法一：

1.利用年齡同增同減的思路。

2.姐妹倆今年的年齡之和是：

15+12=27（歲），年齡之和到達(dá)39歲時(shí)需要的年限是：

（39-27）÷2=6（年）。

3.那是妹妹的年齡是12+6=18（歲）。

方法二：

1.利用年齡差不變的思路。

2.兩姐妹的年齡差為15-12=3（歲），再根據(jù)小數(shù)＝(和－差)÷2的公式，可以求出妹妹的年齡為（39-3）÷2=18（歲）。

例3：爸爸今年50歲，哥哥今年14歲，_____

年前，爸爸的年齡是哥哥的5倍。

解：

1.不管過(guò)了多少年，年齡差是不變的，當(dāng)爸爸的年齡是哥哥的5倍時(shí)，年齡差仍是50-14=36（歲）。

2.問(wèn)什么時(shí)候爸爸的年齡是哥哥的5倍，實(shí)際上年齡差就是哥哥的5-1=4倍。

3.根據(jù)兩個(gè)數(shù)的差÷（幾倍－1）=較小的數(shù)，可以求出哥哥當(dāng)時(shí)的年齡是（50-14）÷4=9（歲）。

4.再根據(jù)題意可求出14-9=5（年）前。

例4：今年姐妹兩人的年齡和是50歲，曾經(jīng)有一年，姐姐的年齡與妹妹今年的年齡相同，且那時(shí)姐姐的年齡恰好是妹妹年齡的2倍。

那么姐姐今年

_____

歲。

解：

1.當(dāng)姐姐的年齡恰好是妹妹年齡的2倍時(shí)，我們?cè)O(shè)那時(shí)妹妹的年齡是1份，那么姐姐的年齡就是2份，那么姐姐與妹妹的年齡差就是1份。

2.因?yàn)槟菚r(shí)姐姐的年齡與妹妹今年的年齡相同，所有妹妹今年的年齡也是2份。

因?yàn)槟挲g差不變，所以今年姐姐的年齡應(yīng)該是2+1=3份。

3.今年姐妹兩人的年齡和是50歲，對(duì)應(yīng)2+3=5份，求出1份是50÷5=10（歲），那么姐姐今年是10×3=30（歲）。

07相遇問(wèn)題

【含義】

兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。

這類應(yīng)用題叫做相遇問(wèn)題。

這類應(yīng)用題叫做相遇問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

相遇時(shí)間＝總路程÷（甲速＋乙速）總路程

＝（甲速＋乙速）×相遇時(shí)間

解題思路和方法

簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖分析可以讓解題事半功倍。

例1：歡歡和樂(lè)樂(lè)在一條馬路的兩端相向而行，歡歡每分鐘行60米，樂(lè)樂(lè)每分鐘行80米，他們同時(shí)出發(fā)5分鐘后相遇。這條馬路長(zhǎng)（）。

解：

根據(jù)公式總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時(shí)間，可以求出這條馬路長(zhǎng)（60＋80）×5

=700（米）。

例2：甲乙兩車分別以不變的速度從AB兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。到達(dá)目的地后立即返回。

已知第一次相遇地點(diǎn)距離A地50千米，第二次相遇地點(diǎn)距離B地60千米，AB兩地相距

_____

千米。

解：

1.本題考查的是二次相遇問(wèn)題，靈活的運(yùn)用畫線段圖的方法來(lái)分析是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵。

2.畫線段圖

3.從圖中可以看出，第一次相遇時(shí)甲行了50千米。甲乙合行了一個(gè)全程的路程。

從第一次相遇后到第二次相遇，甲乙合行了兩個(gè)全程的路程。

由于甲乙速度不變，合行兩個(gè)全程時(shí)，甲能50×2=100(千米)。

4.因此甲一共行了50+100=150(千米)，從圖中看甲所行路程剛好比AB兩地相距路程還多出60千米。

所以AB兩地相距150-60=90(千米)。

例3：歡歡和樂(lè)樂(lè)在相距80米的直跑道上來(lái)回跑步，樂(lè)樂(lè)的速度是每秒3米，歡歡的速度是每秒2米。

如果他們同時(shí)分別從跑道兩端出發(fā)，當(dāng)他們跑了10分鐘時(shí)，在這段時(shí)間里共相遇過(guò)

_____

次。

解：

1.根據(jù)題意，第一次相遇時(shí)，兩人共走了一個(gè)全程，但是從第二次開(kāi)始每相遇一次需要的時(shí)間都是第一次相遇時(shí)間的兩倍。（線段圖參考例2。）

2.根據(jù)“相遇時(shí)間=總路程÷速度和”得到，歡歡和樂(lè)樂(lè)首次相遇需要80÷（3+2）=16（秒）。

3.因?yàn)閺牡谝淮蜗嘤鼋Y(jié)束到第二次相遇，歡歡和樂(lè)樂(lè)要走兩個(gè)全程，所以從第二次開(kāi)始每相遇一次需要的時(shí)間是16秒的2倍，也就是32秒，則經(jīng)過(guò)第一次相遇后，剩下的時(shí)間是600-16=584（秒），還要相遇584÷32=18.25（次），所以在這段時(shí)間里共相遇過(guò)18+1=19（次）。

追及問(wèn)題（含解析）

01追及問(wèn)題

【含義】

兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)（或者在同一地點(diǎn)而不是同時(shí)出發(fā)，或者在不同地點(diǎn)又不是同時(shí)出發(fā)）

作同向運(yùn)動(dòng)，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時(shí)間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。

這類應(yīng)用題就叫做追及問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

★

追及時(shí)間＝

追及路程÷（快速－慢速）

★

追及路程＝（快速－慢速）×追及時(shí)間

02解題思路和方法

簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖

分析可以讓解題事半功倍。

例1：某警官發(fā)現(xiàn)前方100米處有一匪徒，匪徒正以每秒2米的速度逃跑。

警官趕緊以每秒3米的速度追，（）秒后警官可以追上這個(gè)匪徒。

解：

1.從警官追開(kāi)始到追上匪徒，這就是一個(gè)追及過(guò)程。

根據(jù)公式：路程差÷速度差=追及時(shí)間。

2.路程差為100米，警官每秒比匪徒多跑3-2=1（米），即速度差為1米/秒。

所以追及的時(shí)間為100÷1=100（秒）。

例2：甲乙二人同時(shí)從400米的環(huán)形跑道的起跑線出發(fā)，甲每秒跑6米，乙每秒跑8米，同向出發(fā)。

那么甲乙二人出發(fā)后（）秒第一次相遇？

解：

1.由題可知，甲乙同時(shí)出發(fā)后，乙領(lǐng)先，甲落后，那么兩人第一次相遇時(shí)，乙從后方追上甲。

所以，乙的路程=甲的路程+一周跑道長(zhǎng)度，即追及路程為400米。

2.由追及時(shí)間=總路程÷速度差可得：經(jīng)過(guò)400÷（8-6）=200（秒）

兩人第一次相遇。

例3：小轎車、面包車和大客車的速度分別為60千米/時(shí).48千米/時(shí)和42千米/時(shí)，小轎車和大客車從甲地.面包車從乙地同時(shí)相向出發(fā)，面包車遇到小轎車后30分鐘又遇到大客車。

那么甲.乙兩地相距多遠(yuǎn)？

解：

1.根據(jù)題意，將較復(fù)雜的綜合問(wèn)題分解為若干個(gè)單一問(wèn)題。

首先是小轎車和面包車的相遇問(wèn)題；

其次是面包車和大客車的相遇問(wèn)題；

然后是小轎車與大客車的追及問(wèn)題。

最后通過(guò)大客車與面包車共行甲.乙兩地的一個(gè)單程，由相遇問(wèn)題可求出甲.乙兩地距離。

2.畫線段圖，圖上半部分是小轎車和面包車相遇時(shí)三車所走的路程。

圖下半部分是第一次相遇30分鐘之后三車所走的路程。

3.由圖可知，當(dāng)面包車與大客車相遇時(shí)，大客車與小轎車的路程差為小轎車與大客車30分鐘所走的路程。

有小轎車與大客車的速度差，有距離，所以可以求出車輛行駛的時(shí)間。

（60+48）×0.5÷（60-42）=3（小時(shí)）。

4.由于大客車與面包車相遇，共行一個(gè)行程，所以AB兩地路程為

（42+48）×3=270（千米）。

01

植樹(shù)問(wèn)題

【含義】

按相等的距離植樹(shù)，在距離.棵距.棵數(shù)這三個(gè)量之間，已知其中的兩個(gè)量，要求第三個(gè)量，這類應(yīng)用題叫做植樹(shù)問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

線形植樹(shù)：

一端植樹(shù)：棵數(shù)＝間隔數(shù)=距離÷棵距

兩端植樹(shù)：

棵數(shù)＝間隔數(shù)+1=距離÷棵距＋1

兩端都不植樹(shù)：

棵數(shù)＝間隔數(shù)-1=距離÷棵距-1

環(huán)形植樹(shù)：

棵數(shù)＝間隔數(shù)=距離÷棵距

正多邊形植樹(shù)：

一周總棵數(shù)=每邊棵數(shù)×邊數(shù)-邊數(shù)

每邊棵樹(shù)=一周總棵數(shù)÷邊數(shù)+1

面積植樹(shù)：

棵數(shù)＝面積÷（棵距×行距）

02解題思路和方法

先弄清楚植樹(shù)問(wèn)題的類型，然后可以利用公式。

例1：植樹(shù)節(jié)到了，少先隊(duì)員要在相距72米的兩幢樓房之間種8棵楊樹(shù)。

如果兩頭都不栽，平均每?jī)煽脴?shù)之間的距離應(yīng)是多少米？

解：

1.本題考察的是植樹(shù)問(wèn)題中的兩端都不栽的情況，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是要理解棵數(shù)比間隔數(shù)少1。

2.因?yàn)榭脭?shù)比間隔數(shù)少1，所以共有8+1=9個(gè)間隔，每個(gè)間隔距離是72÷9=8米。

3.所以每?jī)煽脴?shù)之間的距離是8米。

例2：佳一小學(xué)舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，在操場(chǎng)周圍插上彩旗。

已知操場(chǎng)的周長(zhǎng)是500米，每隔5米插一根紅旗，每?jī)擅婕t旗之間插一面黃旗，那么一共插紅旗多少面，一共插黃旗多少面。

解：

1.本題考查的是植樹(shù)問(wèn)題中封閉圖形間隔問(wèn)題。

本題中只要抓住棵數(shù)＝間隔數(shù)，就能求出插了多少面紅旗和黃旗。

2.棵數(shù)＝間隔數(shù)，一共插紅旗500÷5＝100（面），這一百面紅旗中一共有100個(gè)間隔，所以一共插黃旗100面。

例3：多多從一樓爬樓梯到三樓需要6分鐘，照這樣計(jì)算，從三樓爬到十樓需要多少分鐘？

解：

1.本題考查的是植樹(shù)問(wèn)題中鋸木頭.爬樓梯問(wèn)題的情況。

需要理解爬的樓層.鋸的次數(shù)與層數(shù).段數(shù)之間的關(guān)系。

所在樓層=爬的層數(shù)+1；

木頭段數(shù)=鋸的次數(shù)+1。

2.從一樓爬樓梯到三樓，需要爬2層，需要6分鐘，所以每層需要6÷2=3（分鐘）。

因此從三樓爬到十樓，需要（10-3）×3=21（鐘）。

例4：時(shí)鐘敲3下要2秒鐘，敲6下要多少秒？

解：

1.本題考查的是植樹(shù)問(wèn)題中敲鐘聲問(wèn)題，與鋸木頭爬樓問(wèn)題類似。

本題中只要抓住敲的次數(shù)＝間隔數(shù)+1。

2.時(shí)鐘敲3下，中間有2個(gè)間隔，2個(gè)間隔需要2秒鐘，那么1個(gè)間隔需要1秒鐘。

時(shí)鐘敲6下，中間有5個(gè)間隔，需要5秒。

01行船問(wèn)題

【含義】

行船問(wèn)題也就是與航行有關(guān)的問(wèn)題。

解答這類問(wèn)題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度；

也就是船只在靜水中航行的速度；

水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；

船只逆水航行的速度是船速與水速之差。

【數(shù)量關(guān)系】

（順?biāo)俣龋嫠俣龋?

＝船速（順?biāo)俣龋嫠俣龋?

＝水速順?biāo)伲酱佟?－逆水速

＝逆水速＋水速×2逆水速

＝船速×2－順?biāo)?/p>

＝順?biāo)伲佟?

02解題思路和方法

簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖分析可以讓解題事半功倍。

例1：某船在同一條河中順?biāo)偈敲啃r(shí)20千米，逆水船速是每小時(shí)10千米，這條河的水流速度是每小時(shí)

_____

千米？

解：

順?biāo)?船速+水流速度，逆水船速=船速-水流速度，可以看出，順?biāo)俦饶嫠俣?個(gè)水流速度，因此，水流速度=(20-10)÷2=5(千米/時(shí))。

例2：某條大河水流速度是每小時(shí)5千米，一艘靜水船速是每小時(shí)20千米的貨輪逆水航行5小時(shí)能到達(dá)目的地，這艘貨輪原路返回到出發(fā)地需要多少小時(shí)？

解：

1.逆水速度=靜水船速-水流速度，所以貨輪逆水速度是20-5=15(千米/時(shí))，行駛5小時(shí)共行了15×5=75(千米)。

2.原路返回時(shí)是順?biāo)叫校標(biāo)俣仁庆o水船速+水速，即20+5=25(千米/時(shí))，所以返回用時(shí)75÷25=3(小時(shí))。

例3：小船在兩個(gè)碼頭間航行，順?biāo)?小時(shí)，逆水需5小時(shí)，若一只木筏順?biāo)^(guò)這段距離需

_____

小時(shí)？

解：

1.我們可以假設(shè)一個(gè)路程。

假設(shè)兩個(gè)碼頭之間的距離是200千米，順?biāo)?小時(shí)，則順?biāo)乃俣仁敲啃r(shí)200÷4=50（千米），逆水需5小時(shí)，則逆水的速度是每小時(shí)200÷5=40（千米）。

2.根據(jù)“水速=（順?biāo)旭偹俣?逆水行駛速度）÷2”得到，水流速度是每小時(shí)（50-40）÷2=5（千米）。

3.一只木筏順?biāo)^(guò)的速度就是水流速度，所以木筏順?biāo)^(guò)這段距離需要200÷5=40（小時(shí)）。

01列車問(wèn)題

【含義】

與列車行駛有關(guān)的一些問(wèn)題，解答時(shí)要注意列車車身的長(zhǎng)度。

【數(shù)量關(guān)系】

★

火車過(guò)橋：

過(guò)橋時(shí)間＝（車長(zhǎng)＋橋長(zhǎng)）÷車速

★

火車追及：

追及時(shí)間＝（甲車長(zhǎng)＋乙車長(zhǎng)＋距離）÷（甲車速－乙車速）

★

火車相遇：

相遇時(shí)間＝（甲車長(zhǎng)＋乙車長(zhǎng)＋距離）÷（甲車速＋乙車速）

02解題思路和方法

簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖分析可以讓解題事半功倍。

例1：一列火車全長(zhǎng)126米，全車通過(guò)611米的隧道需要67秒，火車的速度是多少米/秒？

解：

1.本題考查的是火車過(guò)橋的問(wèn)題。

解決本題的關(guān)鍵是知道火車完全經(jīng)過(guò)隧道所走的路程是一個(gè)車身長(zhǎng)＋隧道長(zhǎng)，進(jìn)而求出車速。

2.因此火車的速度為：（126＋611）÷67＝11（米/秒）。

例2：在兩行軌道上有兩列火車相對(duì)開(kāi)來(lái)，一列火車長(zhǎng)208米，每秒行18米，另一列火車每秒行19米，兩列火車從相遇到完全錯(cuò)開(kāi)用了12秒鐘，那么另一列火車長(zhǎng)多少

米？

解：

兩列火車從相遇到完全錯(cuò)開(kāi)，所行路程之和剛好是它們的車身長(zhǎng)度之和。

根據(jù)“路程和=速度和×?xí)r間”

可得，另一列火車長(zhǎng)=（18+19）×12-208=236（米）。

例3：一列火車通過(guò)一座長(zhǎng)90米的橋需要24秒，如果火車的速度加快1倍，它通過(guò)長(zhǎng)為222米的隧道只用了18秒。

原來(lái)火車每秒行多少米？

解：

1.根據(jù)“火車的速度加快1倍，它通過(guò)長(zhǎng)為222米的隧道只用了18秒”可知，如果火車用原來(lái)的速度通過(guò)222米的隧道，則要用18×2=36（秒）。

2.隧道比大橋長(zhǎng)222-90=132（米），火車要多用36-24=12（秒）行駛這一段路程，根據(jù)速度=路程÷時(shí)間，可以求出原來(lái)火車每秒行132÷12=11（米）。

01時(shí)鐘問(wèn)題

【含義】

就是研究鐘面上時(shí)針與分針關(guān)系的問(wèn)題，如兩針重合.兩針垂直.兩針成一線.兩針夾角為60度等，這類問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為行程問(wèn)題中的追及問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

分針的速度是時(shí)針的12倍，二者的速度差為5.5度/分。

通常按追及問(wèn)題來(lái)對(duì)待，也可以按差倍問(wèn)題來(lái)計(jì)算。

02解題思路和方法

將兩針重合，兩針垂直，兩針成一線，兩針夾角60°等為“追及問(wèn)題”后可以直接利用公式。

例1：鐘面上從時(shí)針指向8開(kāi)始，再經(jīng)過(guò)多少分鐘，時(shí)針正好與分針第一次重合?（精確到1分）

解：

1.此類題型可以把鐘面看成一個(gè)環(huán)形跑道。

那么本題就相當(dāng)于行程問(wèn)題中的追及問(wèn)題，即分針與時(shí)針之間的路程差是240°。

2.分針每分鐘比時(shí)針多轉(zhuǎn)6°-0.5°=5.5°，所以240÷5.5≈44（分鐘）。

也就是從8時(shí)開(kāi)始，再經(jīng)過(guò)44分鐘，時(shí)針正好與分針第一次重合。

例2：從早晨6點(diǎn)到傍晚6點(diǎn)，鐘面上時(shí)針和分針一共重合了多少次？

解：

我們可以把鐘面看成一個(gè)環(huán)形跑道，這樣分針和時(shí)針的轉(zhuǎn)動(dòng)就可以轉(zhuǎn)化成追及問(wèn)題。

從早晨6點(diǎn)到傍晚6點(diǎn)，一共經(jīng)過(guò)了12小時(shí)，12個(gè)小時(shí)分針要跑12圈，時(shí)針只能跑1圈，分針比時(shí)針多跑12-1=11（圈），而分針每比時(shí)針多跑1圈，就會(huì)追上時(shí)針一次，也就是和時(shí)針重合1次，所以12小時(shí)內(nèi)兩針一共重合了11次。

例3：一部記錄中國(guó)軍隊(duì)時(shí)代變遷的紀(jì)錄片時(shí)長(zhǎng)有兩個(gè)多小時(shí)。

小明發(fā)現(xiàn)，紀(jì)錄片播放結(jié)束時(shí)，手表上時(shí)針.分針的位置正好與開(kāi)始時(shí)時(shí)針.分針的位置交換了一下。

這部紀(jì)錄片時(shí)長(zhǎng)多少分鐘？（精確到1分）

解：

1.解決本題的關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)到時(shí)針與分針合走的路程是1080°，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成相遇問(wèn)題來(lái)解決。

2.兩個(gè)多小時(shí)，分針與時(shí)針位置正好交換。

所以分針與時(shí)針?biāo)叩穆烦毯驼檬侨Γ簿褪欠轴樅蜁r(shí)針合走360°×3=1080°，而分針和時(shí)針每分鐘的合走6°+0.5°=6.5°，所以合走1080°

需要1080÷6.5≈166（分鐘），即這部紀(jì)錄片時(shí)長(zhǎng)166分鐘。

01

工程問(wèn)題

【含義】

工程問(wèn)題主要研究工作量.工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。

這類問(wèn)題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項(xiàng)工程”.“一塊土地”.“一條水渠”.“一件工作”等。

在解題時(shí)，常常用單位“1”表示工作總量。

【數(shù)量關(guān)系】

工作量＝工作效率×工作時(shí)間工作時(shí)間

＝工作量÷工作效率工作時(shí)間

＝工作總量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

02解題思路和方法

解答工程問(wèn)題的關(guān)鍵是把工作總量看作單位“1”。

這樣，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)（它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾）。

進(jìn)而就可以根據(jù)工作量.工作效率.工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出算式。

例1：一項(xiàng)工程，甲隊(duì)獨(dú)做要12天完成，乙隊(duì)獨(dú)做要15天完成，兩隊(duì)合做4天可以完成這項(xiàng)工程的（）。

解：

1.本題考察的是兩個(gè)人的工程問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是求出甲.乙兩隊(duì)的工作效率之和。

進(jìn)而用工作效率×工作時(shí)間=工作量。

2.甲隊(duì)的工作效率為:1÷12=，乙隊(duì)的工作效率為:1÷15=，兩隊(duì)合做4天，可以完成這項(xiàng)工程的（+）×4=。

例2：一項(xiàng)工程，甲.乙兩隊(duì)合作30天完成。

如果甲隊(duì)單獨(dú)做24天后，乙隊(duì)再加入合做，兩隊(duì)合做12天后，甲隊(duì)因事離去，由乙隊(duì)繼續(xù)做了15天才完成。

這項(xiàng)工程如果由甲隊(duì)單獨(dú)做，需要多少天完成？

解：

1.我們可以將“甲隊(duì)單獨(dú)做24天后，乙隊(duì)再加入合做，兩隊(duì)合做12天后，甲隊(duì)因事離去。

由乙隊(duì)繼續(xù)做了15天才完成”轉(zhuǎn)化為“甲.乙兩隊(duì)合做27天，甲再單獨(dú)做9天”，由此可以求出甲9天的工作量為：，甲每天的工作效率為：，這項(xiàng)工程如果由甲隊(duì)單獨(dú)做，需要。

例3：有一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要6小時(shí)，乙單獨(dú)做需要8小時(shí)，丙單獨(dú)做需要10小時(shí)，上午8時(shí)三人同時(shí)開(kāi)始，中間甲有事離開(kāi)，如果到中午12點(diǎn)工程才完工，則甲上午離開(kāi)的時(shí)間是幾時(shí)幾分？

解：

1.根據(jù)題意，知道了甲乙丙的工作時(shí)間可求出相應(yīng)的工作效率。

甲的工作量是全部工作量減去乙丙的工作量，所以甲的工作時(shí)間也可以求出來(lái)，即甲上午離開(kāi)的時(shí)間也可以求出來(lái)。

2.甲的工作量=1-（+）×4=；

甲的工作效率為：1÷6=

所以甲的工作時(shí)間為：÷=（小時(shí)）

所以甲離開(kāi)的時(shí)間是8時(shí)36分。

01盈虧問(wèn)題

【含義】

根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

一般地說(shuō)，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：

參加分配總量＝（盈＋虧）÷分配差如果兩次都盈或都虧，則有：

參加分配總量＝（大盈－小盈）÷分配差參加分配總量＝（大虧－小虧）÷分配差

02解題思路和方法

大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例1：小明從家到學(xué)校，如果每分鐘走50米，就要遲到3分鐘；

如果每分鐘走70米，則可提前5分鐘到校，小明家到學(xué)校的路程是多少米？

解：

1.分析題意，類比“盈虧問(wèn)題”，我們可以把“遲到3分鐘”，轉(zhuǎn)化為比計(jì)劃路程少行50×3=150（米），把“提前5分鐘”轉(zhuǎn)化為比計(jì)劃路程多行70×5=350（米）

這時(shí)題目被轉(zhuǎn)化成了“一盈一虧”問(wèn)題。

2.根據(jù)公式，求出原計(jì)劃到校的時(shí)間：（350+150）÷（70-50）=25（分鐘）。

3.所以小明家到學(xué)校的路程：50×（25+3）=1400（米），或者70×（25-5）=1400（米）。

例2：若干人擦玻璃窗，其中2人各擦4塊，其余的人各擦5塊，則余12塊；

若每人擦6塊，正好擦完。

擦玻璃窗的共有多少人，玻璃共有多少塊？

解：

1.由題意可知，本題屬于分配不均型的盈虧問(wèn)題，需要將題目條件轉(zhuǎn)化成一般盈虧問(wèn)題。

“其中2人各擦4塊，其余的人各擦5塊，則余12塊”可以轉(zhuǎn)化為“每人擦5塊，則余10塊”。

2.這樣就轉(zhuǎn)化為了雙盈問(wèn)題，擦玻璃的有：

（10-0）÷（6-5）=10人，玻璃共有10×5+10=60塊。

例3：動(dòng)物園飼養(yǎng)員把一堆桃子分給一群猴子。如果每只猴子分10個(gè)桃子，則有兩只猴子沒(méi)有分到；

如果有兩只猴子分8個(gè)桃子，其余猴子分9個(gè)，則還差3個(gè)桃子。

一共有多少只猴子？

解：

1.分析題意，題中有兩種分配方式。

聯(lián)系“盈虧問(wèn)題”，我們可以把“兩只猴子沒(méi)有分到”理解為桃子的數(shù)量少

2×10=20（個(gè)），再把“有兩只猴子分8個(gè)桃子，其余猴子分9個(gè)，則還差3個(gè)桃子”理解為每只猴子分9個(gè)，則還少（9-8）×2+3=5（個(gè)）。

2.這時(shí)把題目看成“雙虧問(wèn)題”，求出猴子的數(shù)量：（20-5）÷（9-8）=15（只）。

01百分?jǐn)?shù)問(wèn)題

【含義】

百分?jǐn)?shù)是表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。

分?jǐn)?shù)常常可以通分.約分，而百分?jǐn)?shù)則無(wú)需；

分?jǐn)?shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分?jǐn)?shù)只顯“率”；

分?jǐn)?shù)的分子.分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；

百分?jǐn)?shù)有一個(gè)專門的記號(hào)“%”。

在實(shí)際中和常用到“百分點(diǎn)”這個(gè)概念，一個(gè)百分點(diǎn)就是1%，兩個(gè)百分點(diǎn)就是2%。

【數(shù)量關(guān)系】

掌握“百分?jǐn)?shù)”.“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系：

百分?jǐn)?shù)＝比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量標(biāo)準(zhǔn)量＝比較量÷百分?jǐn)?shù)

02解題思路和方法

一般有三種基本類型：

（1）求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾；

（2）已知一個(gè)數(shù)，求它的百分之幾是多少；

（3）已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。

例1：在植樹(shù)節(jié)里，某校六年級(jí)學(xué)生在校園內(nèi)種樹(shù)8棵，占全校植樹(shù)數(shù)的20%，則該校在植樹(shù)節(jié)里共植樹(shù)多少棵？

解：

已知六年級(jí)學(xué)生的種樹(shù)棵數(shù)以及所種棵數(shù)占全校植樹(shù)數(shù)的比值，直接用除法運(yùn)算即可。

所以：8÷20%=40（棵）

例2：商店新上架了一批連衣裙，第一天賣出總數(shù)的25%，第二天賣出45件，第三天賣出的是前兩天賣出的總和的三分一，最后剩下20件，則商店原先進(jìn)了多少件連衣裙？

解：

1.把這批連衣裙的總數(shù)看作單位“1”，已知第三天賣出的是前兩天賣出的總和的三分之一，也就是第三天賣出了25%的和45的，由此可以求出與（45+45×+20）對(duì)應(yīng)的分率。

2.根據(jù)已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾或百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)，用除法解答。

（45+45×+20）÷（1-25%-25%×）=120（件）

例3：一堆圍棋子黑白兩種顏色，拿走15枚白棋子后，白子占總數(shù)的40%；再拿走49枚黑棋子后，白子占總數(shù)的75%，則原來(lái)這堆棋子一共有多少枚？

解：

1.本題考察的是百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的相關(guān)知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是當(dāng)一種棋子變化時(shí)，抓住另一種棋子的數(shù)量不變，統(tǒng)一不變量的份數(shù)，進(jìn)而解決問(wèn)題。

2.由條件可知，當(dāng)拿走49枚黑子時(shí)，此時(shí)白子的數(shù)量沒(méi)有變化，那么拿走49枚黑子前，黑子與白子的數(shù)量比為（1-40%）：40%=3：2=9：6，拿走49枚黑子后，黑子與白子的數(shù)量比為（1-75%）：75%=1：3=2：6，所以拿走的49枚黑子相當(dāng)于9-2=7（份），故每一份是49÷7=7（枚）棋子

3.拿走49枚棋子之前，黑子有7×9=63（枚），白子有7×6=42（枚）。

4.再往前推，由“拿走15枚白棋子”可知，黑子的數(shù)量沒(méi)有變化，所以原來(lái)黑子有63枚，白子有42+15=57（枚），那么原來(lái)這堆棋子一共有63+57=120（枚）棋子。

03知識(shí)補(bǔ)充

百分?jǐn)?shù)又叫百分率，百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣泛，常見(jiàn)的百分率有：

★?增長(zhǎng)率＝增長(zhǎng)數(shù)÷原來(lái)基數(shù)×100%

★?合格率＝合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)×100%

★?出勤率＝實(shí)際出勤人數(shù)÷應(yīng)出勤人數(shù)×100%

★?出勤率＝實(shí)際出勤天數(shù)÷應(yīng)出勤天數(shù)×100%

★?缺席率＝缺席人數(shù)÷實(shí)有總?cè)藬?shù)×100%

★?發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù)÷試驗(yàn)種子總數(shù)×100%

★?成活率＝成活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)×100%

★?出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100%

★?出油率＝油的重量÷油料重量×100%

★?廢品率＝廢品數(shù)量÷全部產(chǎn)品數(shù)量×100%

★?命中率＝命中次數(shù)÷總次數(shù)×100%

★?烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%

方陣問(wèn)題

【含義】

將若干人或物依一定條件排成正方形（簡(jiǎn)稱方陣）。

根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問(wèn)題就叫做方陣問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

（1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系：

四周人數(shù)?＝（每邊人數(shù)－1）×4

每邊人數(shù)?＝四周人數(shù)÷4＋1

（2）方陣總?cè)藬?shù)的求法：

實(shí)心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)

空心方陣：總?cè)藬?shù)＝外每邊的人數(shù)平方－內(nèi)每邊的人

數(shù)平方內(nèi)每邊人數(shù)＝外每邊人數(shù)－層數(shù)×2

（3）若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算，則：

總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×4

解題思路和方法

方陣問(wèn)題有實(shí)心與空心兩種。

實(shí)心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。

例1：佳一學(xué)校參加運(yùn)動(dòng)會(huì)團(tuán)體操比賽的運(yùn)動(dòng)員排成了一個(gè)正方形隊(duì)列。如果要使這個(gè)正方形隊(duì)列減少一行和一列，則要減少23人。

那么參加團(tuán)體操表演的運(yùn)動(dòng)員一共有

多少人？

解：

1.要知道參加表演的運(yùn)動(dòng)員共有多少人，只需要找到最外層每邊有多少人即可。

2.一個(gè)正方形隊(duì)列，減去一行和一列，就是去掉了兩條邊上的人數(shù)，其中頂點(diǎn)上的人數(shù)計(jì)算了兩次，所以減少的人數(shù)=每邊的人數(shù)×2-1。

所以開(kāi)始每邊有（23+1）÷2=12（人），參加表演的有12×12=144（人）。

例2：歡歡用圍棋子圍成一個(gè)三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子16枚，歡歡擺這個(gè)方陣共用了多少枚圍棋子？

解法1：

1.本題考查的空心方陣，根據(jù)四周的枚數(shù)和每邊上的枚數(shù)之間的關(guān)系，算出每一層的棋子數(shù)。

2.方陣每向里一層，每邊的枚數(shù)就減少2枚。

知道最外一層每邊放16枚，就可求出第二層及第三層每邊枚數(shù)，知道各層每邊的枚數(shù)，就可以求出各層的總數(shù)。

最外一層的棋子的枚數(shù)：（16-1）×4=60（枚），第二層棋子的枚數(shù)：（16-2-1）×4=52（枚），第三層棋子的枚數(shù)：（16-2-2-1×4=11×4=44（枚），擺這個(gè)方陣共用了60+52+44=156（枚）棋子。

解法2:

若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算，則：

總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×4。則：

（16-3）×3×4=156(枚)

例3：一個(gè)實(shí)心方陣由81人組成，這個(gè)方陣的最外層有

多少人？

解：

方陣的行數(shù)和列數(shù)相同，9×9=81，所以這是一個(gè)9行9列的方陣。

最外層人數(shù)與一邊人數(shù)的關(guān)系：一邊人數(shù)×4-4=一層人數(shù)。

所以最外層的人數(shù)是9×4-4=32(人)。

例4：明明在一個(gè)用棋子排成的實(shí)心方陣的下面和右面各多排一排棋子，一共用了23個(gè)棋子，這樣排成了一個(gè)新方陣，他又把這個(gè)新方陣改排成一個(gè)4層的空心陣，這個(gè)方陣最外層每邊有

多少個(gè)棋子？

解：

1.根據(jù)題意，排成的這個(gè)新方陣的每邊棋子數(shù)是（23+1）÷2=12（個(gè)）,那么這個(gè)實(shí)心方陣的棋子總數(shù)是12×12=144（個(gè)）。

2.根據(jù)空心方陣中，每相鄰的兩層的棋子數(shù)相差8的關(guān)系，我們可以找出等量關(guān)系，列方程解決。

設(shè)最外層有x個(gè)棋子，則從外到內(nèi)每層的棋子數(shù)分別是（x-8）個(gè).（x-16）個(gè).（x-24）個(gè)。

則：x+

x-8+x-16+x-24=144，x=48

所以這個(gè)方陣最外層每邊有48÷4+1=13（個(gè)）棋子。

01牛吃草問(wèn)題

【含義】

“牛吃草”問(wèn)題是大科學(xué)家牛頓提出的問(wèn)題，也叫“牛頓問(wèn)題”。

這類問(wèn)題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長(zhǎng)這個(gè)因素。

【數(shù)量關(guān)系】

草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量×天數(shù)

02解題思路和方法

解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長(zhǎng)量。

例1：這是一片新鮮的牧場(chǎng)，現(xiàn)有400份草，每天都均勻地生長(zhǎng)6份草。

若一開(kāi)始放26頭奶牛，每頭奶牛每天吃1份草。

這片牧場(chǎng)的草夠奶牛吃多少天？

解：

1.本題考查的是牛吃草的問(wèn)題。

解決本題的關(guān)鍵是要求出每天新增加的草量，在所求的問(wèn)題中，讓幾頭牛專吃新長(zhǎng)出的草，其余的牛吃原有的草。

2.由題目可知：原有的草量+新長(zhǎng)的草量=總的草量。

奶牛除了要吃掉原有的草，也要吃掉新長(zhǎng)的草。

原有的草量是不變的，每天新長(zhǎng)的草量是勻速的，每天都長(zhǎng)6份，每頭奶牛每天吃1份，新長(zhǎng)的草剛好夠6頭奶牛吃的量。

那么剩下的20頭奶牛吃的就是原有的草，每天吃20份，400÷20=20（天），夠吃20天。

例2：一水庫(kù)原有存水量一定，河水每天均勻入庫(kù)。

5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干；6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干。

若要求6天抽干，需要

多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)？

解：

設(shè)每臺(tái)抽水機(jī)每天可抽1份水。

5臺(tái)抽水機(jī)20天抽水：5×20=100（份）

6臺(tái)抽水機(jī)15天抽水：6×15=90（份）

每天入庫(kù)的水量：（100-90）÷（20-15）=2（份）

原有的存水量：100-20×2=60（份）

需抽水機(jī)臺(tái)數(shù)：60÷6+2=12（臺(tái)）

答：要求6天抽干，需要12臺(tái)同樣的抽水機(jī)。

例3：某車站在檢票前若干分鐘就開(kāi)始排隊(duì)，每分鐘來(lái)的旅客人數(shù)一樣多。

從開(kāi)始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時(shí)開(kāi)4個(gè)檢票口需30分鐘，同時(shí)開(kāi)5個(gè)檢票口需20分鐘。

如果同時(shí)打開(kāi)7個(gè)檢票口，那么需

多少分鐘？

解：

1.本題考查的是牛吃草的問(wèn)題，“旅客”相當(dāng)于“草”，檢票口相當(dāng)于“牛”。

2.由題目可知，旅客總數(shù)由兩部分組成：

一部分是開(kāi)始檢票前已經(jīng)排隊(duì)的原有旅客，另一部分是開(kāi)始檢票后新來(lái)的旅客。

設(shè)1個(gè)檢票口1分鐘檢票的人數(shù)為1份。

那么4個(gè)檢票口30分鐘檢票4×30=120（份），5個(gè)檢票口20分鐘檢票5×20=100（份），多花了10分鐘多檢了120-100=20（份）

那么每分鐘新增顧客數(shù)量為：20÷10=2（份）。

那么原有顧客總量為：120-30×2=60（份）。

同時(shí)打開(kāi)7個(gè)檢票口，我們可以讓2個(gè)檢票口專門通過(guò)新來(lái)的顧客，其余的5個(gè)檢票口通過(guò)原來(lái)的顧客，需要60÷5=12（分鐘）。

01雞兔同籠問(wèn)題

【含義】

這是古典的算術(shù)問(wèn)題。已知籠子里雞.兔共有多少只頭和多少只腳，求雞.兔各有多少只的問(wèn)題，叫做第一雞兔同籠問(wèn)題。

已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞.兔各是多少的問(wèn)題叫做第二雞兔同籠問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

第一雞兔同籠問(wèn)題：

??假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)＝（實(shí)際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2）

??假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)－實(shí)際腳數(shù)）÷（4－2）

第二雞兔同籠問(wèn)題：

??假設(shè)全是雞，則有兔數(shù)＝（2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4＋2）

??假設(shè)全是兔，則有雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）

02解題思路和方法

解此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。

如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；

如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。

這類問(wèn)題也叫置換問(wèn)題。

通過(guò)先假設(shè)，再置換，使問(wèn)題得到解決。

例1：雞和兔在一個(gè)籠子里，共有35個(gè)頭，94只腳，那么雞有多少只，兔有多少只？

假設(shè)籠子里全部都是雞，每只雞有2只腳，那么一共應(yīng)該有35×2=70（只）腳，而實(shí)際有94只腳，這多出來(lái)的腳就是把兔子當(dāng)作雞多出來(lái)的，每只兔子比雞多2只腳，一共多了94-70=24（只），則兔子有24÷2=12（只），那么雞有35-12=23（只）。

例2：動(dòng)物園里有鴕鳥(niǎo)和長(zhǎng)頸鹿共70只，其中鴕鳥(niǎo)的腳比長(zhǎng)頸鹿多80只，那么鴕鳥(niǎo)有多少只，長(zhǎng)頸鹿有多少只？

解：

假設(shè)全部都是鴕鳥(niǎo)，則一共有70×2=140（只）腳，此時(shí)長(zhǎng)頸鹿的腳數(shù)是0，鴕鳥(niǎo)腳比長(zhǎng)頸鹿腳多140只，而實(shí)際上鴕鳥(niǎo)的腳比長(zhǎng)頸鹿多80只。

因此鴕鳥(niǎo)腳與長(zhǎng)頸鹿腳的差數(shù)多了140-80=60（只），這是因?yàn)榘哑渲械拈L(zhǎng)頸鹿換成了鴕鳥(niǎo)。

把每一只長(zhǎng)頸鹿換成鴕鳥(niǎo)，鴕鳥(niǎo)的腳數(shù)將增加2只，長(zhǎng)頸鹿的腳數(shù)減少4只，那么鴕鳥(niǎo)腳數(shù)與長(zhǎng)頸鹿腳數(shù)的差就增加了6只，所以換成鴕鳥(niǎo)的長(zhǎng)頸鹿有60÷6=10（只），鴕鳥(niǎo)有70-10=60（只）。

例3：李阿姨的農(nóng)場(chǎng)里養(yǎng)了一批雞和兔，共有144條腿，如果雞數(shù)和兔數(shù)互換，那么共有腿156條。雞和兔一共有多少只？

解：

根據(jù)題意可得：前后雞的總只數(shù)=前后兔的總只數(shù)。

把1只雞和1只兔子看做一組，共有6條腿。

前后雞和兔的總腿數(shù)有144+156=300（條）

所以共有300÷6=50（組），也就是雞和兔的總只數(shù)有50只。

例4：一次數(shù)學(xué)考試，只有20道題。做對(duì)一題加5分，做錯(cuò)一題倒扣3分（不做算錯(cuò)）。

樂(lè)樂(lè)這次考試得了84分，那么樂(lè)樂(lè)做對(duì)了多少道題？

解：

如果20題全部做對(duì)，應(yīng)該得20×5=100（分），而實(shí)際得了84分，少了100-84=16（分）。

做錯(cuò)一題和做對(duì)一題之間，相差5+3=8（分），所以少了的16分，也就是做錯(cuò)了16÷8=2（題）。

一共20題，所以樂(lè)樂(lè)做對(duì)了20-2=18（題）。

01抽屜問(wèn)題

【含義】

在數(shù)學(xué)問(wèn)題中有一類與“存在性”有關(guān)的問(wèn)題，如367個(gè)人中至少有兩個(gè)人是同一天過(guò)生日，這類問(wèn)題在生活中非常常見(jiàn)。

它所依據(jù)的理論，我們稱之為“抽屜原理”。

抽屜原理又名狄利克雷原則，是符合某種條件的對(duì)象存在性問(wèn)題有力工具。

【數(shù)量關(guān)系】

基本的抽屜原則是：

如果把n＋1個(gè)物體（也叫元素）放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中放著2個(gè)或更多的物體（元素）。

抽屜原則可以推廣為：

如果有m個(gè)抽屜，元素的個(gè)數(shù)是抽屜個(gè)數(shù)的k倍多一些，那么至少有一個(gè)抽屜要放（k＋1）個(gè)或更多的元素。

02

解題思路和方法

目前,處理抽屜原理問(wèn)題最基本和常用的方法是運(yùn)用“最不利原則”,構(gòu)造“最不利”“點(diǎn)最背”的情形。

例1：不透明的箱子中有紅.黃.藍(lán).綠四種顏色的球各20個(gè)，一次至少摸出多少個(gè)球才能保證摸出兩個(gè)相同顏色的球？

解：

解決這個(gè)問(wèn)題要考慮最不利的情況，因?yàn)橛?種顏色，想要摸出兩個(gè)相同顏色的球。

那么最不利的情況就是，每種顏色的各摸出一個(gè)，這時(shí)再摸一個(gè)球，一定與前幾個(gè)球有顏色相同的。

因此至少要摸4+1=5(個(gè))球。

例2：袋子中有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，4個(gè)藍(lán)球，5個(gè)綠球，一次至少摸出多少個(gè)球就能保證摸到兩種顏色的球？

解：

解決這個(gè)問(wèn)題要考慮最不利情況，想要摸出兩種顏色的球。

最不利的情況應(yīng)該是將一種顏色的球都拿出來(lái)時(shí)，不論接下來(lái)摸的球是什么顏色都與之前顏色不同。

因?yàn)?種球的個(gè)數(shù)各不相同。

所以最不利的情況應(yīng)該是先將個(gè)數(shù)最多的球都拿出來(lái)，接下來(lái)摸的球都一定與之前顏色不同。

因此至少摸出5+1=6(個(gè))球

例3：一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共5道選擇題，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為：基礎(chǔ)分5分，答對(duì)一題得3分，答錯(cuò)扣1分，不答不得分。

要保證至少有4人得分相同，最少需要多少人參加競(jìng)賽？

解：

1.本題考察的是抽屜原理的相關(guān)知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是要知道得分一共有多少種不同的情況。

進(jìn)而從最壞的情況開(kāi)始考慮解決問(wèn)題。

2.一共有5題，且有5分的基礎(chǔ)分，那么每道題就有1分的基礎(chǔ)分。

也就相當(dāng)于答對(duì)一題得4分，答錯(cuò)不得分，不答得1分。

這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的得分情況有以下幾種：

5題全對(duì)的只有1種情況：得20分；

對(duì)4題的有2種情況：1題答錯(cuò)得16分，1題沒(méi)答得17分；

對(duì)3題的有3種情況：2題全錯(cuò)得12分，只錯(cuò)1題得13分，2題不做得14分；

對(duì)2題的有4種情況：3題全錯(cuò)得8分，只錯(cuò)2題得9分，只錯(cuò)1題得10分；3題全不答得11分；

對(duì)1題的有5種情況：4題全錯(cuò)得4分，只錯(cuò)3題得5分，只錯(cuò)2題得6分，只錯(cuò)1題得7分，4題全不答得8分；

答對(duì)0題有6

種情況：5題全錯(cuò)得0分；錯(cuò)4題得1分，錯(cuò)3題得2分，錯(cuò)2題得3分，錯(cuò)1題得4分，5題全不答得5分。

我們發(fā)現(xiàn)從0分到20分，只有19分.18分.15分這三個(gè)分?jǐn)?shù)沒(méi)有，其它都有。

所以一共有20+1-3=18（種）不同的得分，要保證有四人得分相同。

最少需要18×3+1

=

55（人）參加競(jìng)賽。

01濃度問(wèn)題【含義】

在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到溶液濃度問(wèn)題。

這類問(wèn)題研究的主要是溶劑（水或其它液體）.溶質(zhì).溶液.濃度這幾個(gè)量的關(guān)系。

例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。

溶質(zhì)的量在溶液的量中所占的百分?jǐn)?shù)叫濃度，也叫百分比濃度。

【數(shù)量關(guān)系】

溶液＝溶劑＋溶質(zhì)濃度＝溶質(zhì)÷溶液×100%

02解題思路和方法

找出不變量，簡(jiǎn)單題目直接利用公式，復(fù)雜題目變通后再利用公式。

例1：要將濃度為25％的酒精溶液1020克，配制成濃度為17％的酒精溶液，需加水多少克？

解：

1.根據(jù)題意可知，配制前后酒精溶液的質(zhì)量和濃度發(fā)生了改變，但純酒精的質(zhì)量并沒(méi)有發(fā)生改變。

2.純酒精的質(zhì)量：1020×25%=255（克），占配制后酒精溶液質(zhì)量的17%。

所以配制后酒精溶液的質(zhì)量：255÷17%=1500（克）。

加入的水的質(zhì)量：1500-1020=480（克）。

例2：有濃度為30%的鹽水溶液若干，添加了一定數(shù)量的水后稀釋成濃度為24%的鹽水溶液。

如果再加入同樣多的水，那么鹽水溶液的濃度變?yōu)槎嗌伲?/p>

解：

1.分析題意，假設(shè)濃度為30%的鹽水溶液有100克，則100克溶液中有100×30%=30（克）的鹽，加入水后，鹽占鹽水的24%。

此時(shí)鹽水的質(zhì)量為：30÷24%=125（克），加入的水的質(zhì)量為：125-100=25（克）。

2.再加入相同多的水后，鹽水溶液的濃度為：30÷（125+25）=20%。

例3：兩個(gè)杯中分別裝有濃度為45%與15%的鹽水，倒在一起后混合鹽水的濃度為35%。

若再加入300克濃度為20%的鹽水，則變成濃度為30%的鹽水，則原來(lái)濃度為45%的鹽水有多少克？

解：

1.本題考察的是濃度和配比問(wèn)題的相關(guān)知識(shí)。

解決本題的關(guān)鍵是先求出原溶液與混合后的溶液濃度差的比。

從而求出所需溶液質(zhì)量的比，并解決問(wèn)題。

2.根據(jù)題意可知，濃度為35%的鹽水和濃度為20%的鹽水混合成濃度為30%的鹽水，因?yàn)闈舛葹?5%的鹽水比混合后的濃度多35%-30%=5%，濃度為20%的鹽水比混合后的濃度少30%-20%=10%，5%：10%=1:2，即混合時(shí)，2份濃度為35%的鹽水才能補(bǔ)1份濃度為20%的鹽水。

故濃度為35%的鹽水與濃度為20%的鹽水所需質(zhì)量比為2:1

所以濃度為35%的鹽水一共300÷1×2=600（克）。

3.同理，濃度為45%和15%的鹽水溶液與混合后濃度為35%的鹽水溶液差的比為（45%-35%）:（35%-15%）=1:2，那么濃度為45%和15%的鹽水溶液所需要的質(zhì)量比為2:1，即2份濃度為45%的鹽水才能補(bǔ)上1份濃度為15%的鹽水。

故原來(lái)濃度為45%的鹽水有600÷（1+2）×2=400（克）。

01利潤(rùn)問(wèn)題【含義】

這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)中經(jīng)常遇到的問(wèn)題，包括成本.利潤(rùn).利潤(rùn)率和虧損.虧損率等方面的問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

利潤(rùn)＝售價(jià)－進(jìn)貨價(jià)利潤(rùn)率

＝（售價(jià)－進(jìn)貨價(jià)）÷進(jìn)貨價(jià)×100%售價(jià)

＝進(jìn)貨價(jià)×（1＋利潤(rùn)率）虧損

＝進(jìn)貨價(jià)－售價(jià)虧損率

＝（進(jìn)貨價(jià)－售價(jià)）÷進(jìn)貨價(jià)×100%

02解題思路和方法

簡(jiǎn)單題目直接利用公式，復(fù)雜題目變通后再利用公式。

例1：某服裝店從韓國(guó)代購(gòu)100件羽絨服，每件進(jìn)價(jià)300元，另外還需要付10元/件的代購(gòu)費(fèi)和200元的國(guó)際快遞費(fèi)。

該服裝店要想每件羽絨服獲得75%的利潤(rùn)率，則每件定價(jià)為多少元？

解：

由題意可知，每件羽絨服實(shí)際總成本包括每件羽絨服的進(jìn)價(jià).代購(gòu)費(fèi)和運(yùn)費(fèi)，總成本為300+10+200÷100=312（元），要想每件獲得75%的利潤(rùn)，那么每件定價(jià)應(yīng)該是成本的1+75%=175%，故每件定價(jià)為312×175%=546（元）。

例2：一件上衣打七折后的售價(jià)是140元，老板說(shuō)：“如果這件上衣打?qū)φ劬筒毁嵰膊惶潯薄?/p>

這件上衣成本是多少元？

解：

1.本題關(guān)鍵是理解打折的含義，打幾折后現(xiàn)價(jià)就是原價(jià)的百分之幾十，打?qū)φ劬褪侵脯F(xiàn)價(jià)是原價(jià)的50%。

2.打七折是指現(xiàn)價(jià)是原價(jià)的70%，若把原價(jià)看成單位“1”，它的70%對(duì)應(yīng)的數(shù)量是140元，所以原價(jià)是140÷70%=200（元）。

打?qū)φ凼侵复蛘酆蟮膬r(jià)格是原價(jià)的50%，再用原價(jià)乘50%就是這件上衣的成本價(jià)。

所以這件上衣成本價(jià)：200×50%=100（元）。

第四篇：老教師推薦小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題

小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題

1、歸一問(wèn)題

【含義】在解題時(shí)，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問(wèn)題。【數(shù)量關(guān)系】總量÷份數(shù)=1份數(shù)量

1份數(shù)量×所占份數(shù)=所求幾份的數(shù)量 另一總量÷（總量÷份數(shù)）=所求份數(shù)

【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。

例1 買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？ 解（1）買1支鉛筆多少錢？ 0.6÷5=0.12（元）（2）買16支鉛筆需要多少錢？ 0.12×16=1.92（元）列成綜合算式 0.6÷5×16=0.12×16=1.92（元）答：需要1.92元。

例2 3臺(tái)拖拉機(jī)3天耕地90公頃，照這樣計(jì)算，5臺(tái)拖 拉機(jī)6天耕地多少公頃？

解（1）1臺(tái)拖拉機(jī)1天耕地多少公頃？ 90÷3÷3=10（公頃）（2）5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地多少公頃？ 10×5×6=300（公頃）列成綜合算式90÷3÷3×5×6=10×30=300（公頃）答：5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地300公頃。例3 5輛汽車4次可以運(yùn)送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運(yùn)送105噸鋼材，需要運(yùn)幾次？

解（1）1輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？ 100÷5÷4=5（噸）（2）7輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？ 5×7=35（噸）（3）105噸鋼材7輛汽車需要運(yùn)幾次？ 105÷35=3（次）列成綜合算式105÷（100÷ 5÷4×7）=3（次）答：需要運(yùn)3次。

2、歸總問(wèn)題

【含義】解題時(shí)，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問(wèn)題，叫歸總問(wèn)題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價(jià)、幾小時(shí)（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時(shí)行的總路程等。【數(shù)量關(guān)系】 1份數(shù)量×份數(shù)=總量

總量÷1份數(shù)量=份數(shù)

總量÷另一份數(shù)=另一每份數(shù)量

【解題思路和方法】先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意所求的數(shù)量。例1 服裝廠原來(lái)做一套衣服用布3.2米，改進(jìn)裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來(lái)做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？ 解（1）這批布總共有多少米？ 3.2×791=2531.2（米）（2）現(xiàn)在可以做多少套？ 2531.2÷2.8=904（套）列成綜合算式 3.2×791 ÷2.8=904（套）答：現(xiàn)在可以做904套。例2 小華每天讀24頁(yè)書，12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁(yè)書，幾天可以讀完《紅巖》？

解（1）《紅巖》這本書總共多少頁(yè)？ 24×12=288（頁(yè)）（3）小明幾天可以讀完《紅巖》？ 288÷36=8（天）列成綜合算式 24×12÷36=8（天）答：小明8天可以讀完《紅巖》。

例3 食堂運(yùn)來(lái)一批蔬菜，原計(jì)劃每天吃50千克，30天慢慢消費(fèi)完這批蔬菜。后來(lái)根據(jù)大家的意見(jiàn)，每天比原計(jì)劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？

解（1）這批蔬菜共有多少千克？ 50×30=1500（千克）（2）這批蔬菜可以吃多少天？ 1500÷（50+10）=25（天）列成綜合算式 50×30÷（50+10）=1500÷60=25（天）答：這批蔬菜可以吃25天。

3、和差問(wèn)題

【含義】已知兩個(gè)數(shù)量的和與差,求這兩個(gè)數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用趣叫和差問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】大數(shù) =（和 + 差）÷ 2 小數(shù) =（和較小的數(shù) = 較大的數(shù)

較小的數(shù) × 幾倍 = 較大的數(shù)

【解題思路和方法】筒單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1 果園里有杏樹(shù)和桃樹(shù)共248棵，桃樹(shù)的棵數(shù)是杏樹(shù)的3倍，求杏樹(shù)、桃樹(shù)各多少棵？

解（1）杏樹(shù)有多少棵？ 248÷（3＋1）= 62（棵）（2）桃樹(shù)有多少棵？ 62 × 3 = 186（棵）答：杏樹(shù)有62棵，桃樹(shù)有186棵。

例2 東西兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)共存糧480噸，東庫(kù)存糧數(shù)是西庫(kù)存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫(kù)各存糧多少噸？ 解（1）西庫(kù)存糧數(shù)= 480 ÷（1.4 + 1）= 200（噸）（2）東庫(kù)存糧數(shù)= 480-200 = 280（噸）答：東庫(kù)存糧280噸，西庫(kù)存糧200噸。

例3 甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開(kāi)往乙站28輛，從乙站開(kāi)往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？ 解 每天從甲站開(kāi)往乙站28輛，從乙站開(kāi)往甲站24輛，相當(dāng)于每天從甲站開(kāi)往乙站（28-24）輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當(dāng)作1倍量，這時(shí)乙站的車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)（52+32）就相當(dāng)于（2+1）倍，那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為（52+32）÷（2+1）= 28（輛）所求天數(shù)為（52-28）÷（28-24）= 6（天）答：6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。

例4 甲乙丙三數(shù)之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三數(shù)各是多少？

解 乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為1 倍量。

因?yàn)橐冶燃椎?倍少4,所以給乙加上4,乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍； 又因?yàn)楸燃椎?倍多6,所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍； 這時(shí)（170+4-6）就相當(dāng)于（1+2+3）倍。那么，甲數(shù)=（170+4-6）÷（1+2+3）=28 乙數(shù)=28×2-4=52 丙數(shù)=28×3+6=90 答：甲數(shù)是28,乙數(shù)是52,丙數(shù)是90。

5、差倍問(wèn)題

【含義】已知兩個(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問(wèn)題。【數(shù)量關(guān)系】?jī)蓚€(gè)數(shù)的差÷（幾倍-1）=較小的數(shù)

較小的數(shù)×幾倍=較大的數(shù)

【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1 果園里桃樹(shù)的棵數(shù)是杏樹(shù)的3倍，而且桃樹(shù)比杏樹(shù)多124棵6求杏樹(shù)、桃樹(shù)各多少棵？

解（1）杏樹(shù)有多少棵？ 124÷（3-1）=62（棵）

（2）桃樹(shù)有多少棵？ 62×3 = 186（棵）答：果園里杏樹(shù)是62棵，桃樹(shù)是186棵。

例2 爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？

解（1）兒子年齡=27÷（4-1）=9（歲）

（2）爸爸年齡=9×4=36（歲）

答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。

例3 商場(chǎng)改革經(jīng)營(yíng)管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬(wàn)元，又知本月盈利比上月盈利多30萬(wàn)元，求這兩個(gè)月盈利各是多少萬(wàn)元？

解 如果把上月盈利作為1倍量，則（30-12）萬(wàn)元就相當(dāng)于上月盈利的（2-1）倍,因此 上月盈利=（30-12）÷（2-1）=18（萬(wàn)元）本月盈利= 18+30=48（萬(wàn)元）

答：上月盈利是18萬(wàn)元，本月盈利是48萬(wàn)元。

例4 糧庫(kù)有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運(yùn)出小麥和玉來(lái)各9噸，問(wèn)幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？

解 由于每天運(yùn)出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來(lái)的數(shù)量差（138-94）。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么,(138-94)就相當(dāng)于（3-1）倍，因此

剰下的小麥數(shù)量=（138-94）÷（3-1）=22（噸）運(yùn)出的小麥數(shù)量= 94-22=72（噸）運(yùn)糧的天數(shù)= 72÷9=8（天）答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。

6、倍比問(wèn)題

【含義】有兩個(gè)已知的同類量，其中一個(gè)量是另一個(gè)量的若干倍，解題時(shí)先求出這個(gè)倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】總量÷一個(gè)數(shù)量=倍數(shù)

另一個(gè)數(shù)量×倍數(shù)=另一總量

【解題思路和方法】先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。

例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？ 解（1）3700千克是100千克的多少倍？ 3700÷100=37（倍）

（2）可以榨油多少千克？ 40×37=1480（千克）列成綜合算式40×（3700÷ 100）=1480（千克）答：可以榨油1480千克。

例2 今年植樹(shù)節(jié)這天，某小學(xué)300名師生共植樹(shù)400棵，照這樣計(jì)算，全縣48000名師生共植樹(shù)多少棵？

解（1）48000名是300名的多少倍？ 48000÷300=160（倍）

（2）共植樹(shù)多少棵？ 400×160=64000（棵）列成綜合算式 400×（48000 ÷ 300）=64000（棵）答：全縣48000名師生共植樹(shù)64000棵。

例3 鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計(jì)算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？

解（1）800畝是4畝的幾倍？ 800÷4=200（倍）

（2）800畝收入多少元？ 11111 ×200=2222200（元）（3）16000 畝是 800 畝的幾倍？ 16000÷800=20（倍）（4）16000 畝收入多少元？ 2222200×20 = 44444000（元）答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元，全縣16000畝果園共收入44444000元。

7、相遇問(wèn)題

【含義】?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】相遇時(shí)間=總路程÷（甲速+乙速）

總路程=（甲速+乙速）×相遇時(shí)間

【解題思路和方法】筒單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。

例1 南京到上海的水路長(zhǎng)392千米，同時(shí)從兩港各開(kāi)出一艘輪船相對(duì)而行，從南京開(kāi)出的船每小時(shí)行28千米，從上海開(kāi)出的船每小時(shí)行21千米，經(jīng)過(guò)幾小時(shí)兩船相遇？ 解 392÷（28+21）=8（小時(shí)）答：經(jīng)過(guò)8小時(shí)兩船相遇。

例2 小李和小劉在周長(zhǎng)為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長(zhǎng)時(shí) 間？ 解 “第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。

因此總路程為400×2 相遇時(shí)間=（400×2）÷（5 + 3）=100（秒）答:二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時(shí)間。

例3 甲乙二人同時(shí)從兩地騎自行車相向而行，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行13千米，兩人在距中點(diǎn)3千米處相 遇，求兩地的距離。解 “兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過(guò)了中點(diǎn)3 千米，乙距中點(diǎn)3千米，就是說(shuō)甲比乙多走的路程是（3×2）千米,因此，相遇時(shí)間=（3×2）÷（15-13）=3（小時(shí)）兩地距離=（15+ 13）×3=84（千米）答：兩地距離是84千米。

8、追及問(wèn)題

【含義】?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)（或者在同一地點(diǎn)而不是同時(shí)出發(fā)，或者在不同地點(diǎn)又不是同時(shí)出發(fā)）作同向運(yùn)動(dòng)，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時(shí)間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問(wèn)題。【數(shù)量關(guān)系】 追及時(shí)間=追及路程÷（快速-慢速）

追及路程=（快速-慢速）×追及時(shí)間

【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通用公式。

例1 好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？

解（1）劣馬先走12天能走多少千米？ 75×12=900（千米）

（2）好馬幾天追上劣馬？ 900÷（120-75）=20（天）列成綜合算式 75×12÷（120-75）=900÷45=20（天）答：好馬20天能追上劣馬。例2 小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了 500米，求小亮的速度是每秒多少米。

解 小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，即200米, 此時(shí)小亮跑了（500-200）米，要知小亮的速度，須知追及時(shí)間，即小明跑500米所用的時(shí)間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用[40×（500 ÷200）]秒,所以小亮的速度是

（500-200）÷[40×（500÷200）]=300÷100=3（米）答：小亮的速度是每秒3米。

例3 我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點(diǎn)開(kāi)始從甲地以每小時(shí)10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點(diǎn)接到命令，以每小時(shí)30千米的速度開(kāi)始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問(wèn)解放軍幾個(gè)小時(shí)可以追上敵 人？

解 敵人逃跑時(shí)間與解放軍追擊時(shí)間的時(shí)差是（22-16）小時(shí)，這段時(shí)間敵人逃跑的路程是[10×（22-16）]千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知

追及時(shí)間=[10×（22-16）+60]÷（30-10）=120÷ 20=6（小時(shí)）答：解放軍在6小時(shí)后可以追上敵人。

例4 一輛客車從甲站開(kāi)往乙站，每小時(shí)行48千米；一輛貨車同時(shí)從乙站開(kāi)往甲站，每小時(shí)行40千米，兩車在距兩站中點(diǎn)16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。解 這道題可以由相遇問(wèn)題轉(zhuǎn)化為追及問(wèn)題來(lái)解決。從題中可知客車落后于貨車（16×2）千米，客車追上貨車的時(shí)間就是前面所說(shuō)的相遇時(shí)間。

這個(gè)時(shí)間為16×2÷（48-40）=4（小時(shí)）

所以兩站間的距離為（48+40）×4 = 352（千米）

列成綜合算式（48+40）× [16×2÷（48-40）]= 88×4=352（千米）答：甲乙兩站的距離是352千米。

例5 兄妹二人同時(shí)由家上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時(shí)發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問(wèn)他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？

解 要求距離，速度已知，所以關(guān)鍵是求出相遇時(shí)間。從題中可知，在相同時(shí)間（從出發(fā)到相遇）內(nèi)哥哥比妹妹多走（180×2）米，這是因?yàn)楦绺绫让妹妹糠昼姸嘧撸?0-60）米，那么，二人從家出走到相遇所用時(shí)間為

180×2÷（90-60）=12（分鐘）家離學(xué)校的距離為90×12-180=900（米）答：家離學(xué)校有900米遠(yuǎn)。

例6 孫亮打算上課前5分鐘到學(xué)校，他以每小時(shí)4千米的速度從家步行去學(xué)校，當(dāng)他走了1千米時(shí)，發(fā)現(xiàn)手表慢了 10分鐘，因此立即跑步前進(jìn)，到學(xué)校恰好準(zhǔn)時(shí)上課。后來(lái)算了一下，如果孫亮從家一開(kāi)始就跑步，可比原來(lái)步行早9分鐘到學(xué)校。求孫亮跑步的速度。解 手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到（10-5）分鐘，后段路程跑步恰準(zhǔn)時(shí)到學(xué)校，說(shuō)明后段路程跑比走少用了（10-5）分鐘。如果從家一開(kāi)始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1 千米，跑步比不行少用[9-（10-5）]分鐘。所以，步行1千米所用時(shí)間為

1÷[9-（10-5）]= 0.25（小時(shí)）=15（分鐘）跑步1千米所用時(shí)間為15-[9-（10-5）] =11（分鐘）跑步速度為每小時(shí)1÷11/60=5.5（千米）答：孫亮跑步速度為每小時(shí)5.5千米。

9、植樹(shù)問(wèn)題

【含義】按相等的距離植樹(shù)，在距離、棵距、棵數(shù)這三個(gè)量之間，已知其中的兩個(gè)量，要求第三個(gè)量，這類應(yīng)用 題叫做植樹(shù)問(wèn)題。【數(shù)量關(guān)系】線形植樹(shù) 棵數(shù)=距鹿÷棵距+1 環(huán)形植樹(shù) 棵數(shù)=距離÷棵距 方形植樹(shù) 棵數(shù)=距離÷棵距-4 三角形植樹(shù) 棵數(shù)=距離÷棵距-3 面積植樹(shù) 棵數(shù)=面積÷（棵距×行距）

【解題思路和方法】先弄清楚植樹(shù)問(wèn)題的類型，然后可以利用公式。

例1 一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ 解 136÷2+1=68+1=69（棵）答：一共要栽69棵垂柳。

例2 一個(gè)圓形池塘周長(zhǎng)為400米，在岸邊每隔4米栽一 棵白楊樹(shù)，一共能栽多少棵白楊樹(shù)？ 解 400÷4=100（棵）答：一共能栽100棵白楊樹(shù)。

例3 —個(gè)正方形的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，每邊長(zhǎng)220米，每隔8米安裝一個(gè)照明燈，一共可以安裝多少個(gè)照明燈？ 解 220×4÷8-4=110-4=106（個(gè)）答：一共可以安裝106個(gè)照明燈。

例4 給一個(gè)面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長(zhǎng)和寬分別是60厘米和40厘米，問(wèn)至少需要多少塊地板磚？ 解 96÷（0.6×0.4）=96÷0.24=400（塊）答：至少需要400塊地板磚。

例5 一座大橋長(zhǎng)500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個(gè)電桿，每個(gè)電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？ 解（1）橋的一邊有多少個(gè)電桿？ 500÷ 50+1 =11（個(gè)）

（2）橋的兩邊有多少個(gè)電桿？ 11×2=22（個(gè)）（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？ 22×2=44（盞）答：橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。

10、年齡問(wèn)題

【含義】這類問(wèn)題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點(diǎn)是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān) 系隨著年齡的增長(zhǎng)在發(fā)生變化。

【數(shù)量關(guān)系】年齡問(wèn)題往往與和差、和倍、差倍問(wèn)題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問(wèn)題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個(gè)特點(diǎn)。

【解題思路和方法】可以利用“差倍問(wèn)題”的解題思路和方法。兩個(gè)數(shù)的差÷（幾倍-1）=較小的數(shù)

例1 爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？ 解 35÷5=7（倍）

（35+1）÷（5+1）=6（倍）

答:今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。例2 母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？

解（1）母親比女兒的年齡大多少歲？ 37-7=30（歲）

（2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？ 30÷（4-1）-7=3（年）列成綜合算式（37-7）÷（4-1）-7 = 3（年）答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。

例3 3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？ 解 今年父子的年齡和應(yīng)該比3年前增加（3×2）歲，今年二人的年齡和為49 + 3×2=55（歲）

把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相當(dāng)于（4+1）倍，因此，今年兒子年齡為55÷（4+1）=11（歲）

今年父親年齡為11×4=44（歲）

答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。

11、行船問(wèn)題

【含義】行船問(wèn)題也就是與航行有關(guān)的問(wèn)題。解答這類問(wèn)題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。【數(shù)量關(guān)系】（順?biāo)俣?逆水速度）÷2 =船速

（順?biāo)俣?逆水速度）÷2 =水速 順?biāo)?船速×2-逆水速=逆水速+水速×2 逆水速=船速×2-順?biāo)?順?biāo)?水速×2 【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1 一只船順?biāo)?20千米需用8小時(shí)，水流速度為每小時(shí)15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時(shí)？

解 由條件知，順?biāo)?船速+水速= 320÷8,而水速為每小時(shí)15千米，所以，船速為每小時(shí)320÷8-15=25（千米）

船的逆水速為25-15=10（千米）船逆水行這段路程的時(shí)間為320÷10 = 32（小時(shí)）答：這只船逆水行這段路程需用32小時(shí)。

例2 甲船逆水行360千米需18小時(shí)，返回原地需10小時(shí)；乙船逆水行同樣一段距離需15小時(shí)，返回原地需多少 時(shí)間？ 解 由題意得 甲船速+水速=360÷10=36 甲船速-水速=360÷18=20 可見(jiàn)，（360-20）相當(dāng)于水速的2倍，所以，水速為每小時(shí)（36-20）÷2=8（千米）又因?yàn)椋掖?水速= 360÷15, 所以，乙船速為360÷15+8 = 32（千米）

乙船順?biāo)贋?2+8=40（千米）

所以，乙船順?biāo)叫?60千米需要360÷40=9（小時(shí)）答：乙船返回原地需要9小時(shí)。

例3 一架飛機(jī)飛行在兩個(gè)城市之間，飛機(jī)的速度是每小時(shí)576千米，風(fēng)速為每小時(shí)24千米，飛機(jī)逆風(fēng)飛行3小時(shí)到達(dá)，順風(fēng)飛回需要幾小時(shí)？

解 這道題可以按照流水問(wèn)題來(lái)解答。

（1）兩城相距多少千米？（576-24）×3 = 1656（千米）（2）順風(fēng)飛回需要多少小時(shí)？1656÷（576+24）=2.76（小時(shí)）列成綜合算式[（576-24）×3]÷（576+24）=2.76（小時(shí)）答：飛機(jī)順風(fēng)飛回需要2.76小時(shí)。

12、列車問(wèn)題

【含義】這是與列車行駛有關(guān)的一些問(wèn)題，解答時(shí)要注意列車車身的長(zhǎng)度。【數(shù)量關(guān)系】

火車過(guò)橋：過(guò)橋時(shí)間=（車長(zhǎng)+橋長(zhǎng)）÷車速

火車追及：追及時(shí)間=（甲車長(zhǎng)+乙車長(zhǎng)+距離）÷（甲車速-乙車速）火車相遇：相遇時(shí)間=（甲車長(zhǎng)+乙車長(zhǎng)+距離）÷（甲車速+乙車速）【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1 一座大橋長(zhǎng)2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過(guò)大橋，從車頭開(kāi)上橋到車尾離開(kāi)橋共需要3分鐘。這列火車長(zhǎng)多少米？ 解 火車3分鐘所行的路程，就是橋長(zhǎng)與火車車身長(zhǎng)度的和。

（1）火車3分鐘行多少米？ 900×3=2700（米）（2）這列火車長(zhǎng)多少米？ 2700-2400=300（米）列成綜合算式900×3-2400 = 300（米）答：這列火車長(zhǎng)300米。

例2 一列長(zhǎng)200米的火車以每秒8米的速度通過(guò)一座大撟，用了2分5秒鐘時(shí)間，求大橋的長(zhǎng)度是多少米？

解 火車過(guò)橋所用的時(shí)間是2分5秒= 125秒，所走的路程是（8×125）米，這段路程就是（200米+橋長(zhǎng)），所以，橋長(zhǎng)為

8×125-200=800（米）

答：大橋的長(zhǎng)度是800米。例3 一列長(zhǎng)225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長(zhǎng)140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過(guò)慢車需要多長(zhǎng)時(shí)間？

解 從追上到追過(guò)，快車比慢車要多行（225+140）米，而快車比慢車每秒多行（22-17）米，因此，所求的時(shí)間為

（225+140）÷（22-17）=73（秒）

答：需要73秒。

第五篇：小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題歸納匯總30種題型

小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題歸納匯總30種題型 歸一問(wèn)題

【含義】在解題時(shí)，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】總量÷份數(shù)＝1份數(shù)量

1份數(shù)量×所占份數(shù)＝所求幾份的數(shù)量 另一總量÷（總量÷份數(shù)）＝所求份數(shù)

【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。

例1

買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？ 解（1）買1支鉛筆多少錢？

0.6÷5＝0.12（元）（2）買16支鉛筆需要多少錢？0.12×16＝1.92（元）列成綜合算式

0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）答：需要1.92元。歸總問(wèn)題

【含義】解題時(shí)，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問(wèn)題，叫歸總問(wèn)題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價(jià)、幾小時(shí)（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時(shí)行的總路程等。

【數(shù)量關(guān)系】

1份數(shù)量×份數(shù)＝總量 總量÷1份數(shù)量＝份數(shù)

總量÷另一份數(shù)＝另一每份數(shù)量

【解題思路和方法】先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。

例1

服裝廠原來(lái)做一套衣服用布3.2米，改進(jìn)裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來(lái)做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？

解（1）這批布總共有多少米？

3.2×791＝2531.2（米）（2）現(xiàn)在可以做多少套？

2531.2÷2.8＝904（套）列成綜合算式

3.2×791÷2.8＝904（套）答：現(xiàn)在可以做904套。和差問(wèn)題

【含義】已知兩個(gè)數(shù)量的和與差，求這兩個(gè)數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】大數(shù)＝（和＋差）÷ 2

小數(shù)＝（和－差）÷ 2

【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。例1

甲乙兩班共有學(xué)生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？ 解甲班人數(shù)＝（98＋6）÷2＝52（人）乙班人數(shù)＝（98－6）÷2＝46（人）答：甲班有52人，乙班有46人。4 和倍問(wèn)題

【含義】已知兩個(gè)數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】總和÷（幾倍＋1）＝較小的數(shù) 總和－較小的數(shù)＝較大的數(shù) 較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)

【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1

果園里有杏樹(shù)和桃樹(shù)共248棵，桃樹(shù)的棵數(shù)是杏樹(shù)的3倍，求杏樹(shù)、桃樹(shù)各多少棵？ 解（1）杏樹(shù)有多少棵？

248÷（3＋1）＝62（棵）（2）桃樹(shù)有多少棵？

62×3＝186（棵）答：杏樹(shù)有62棵，桃樹(shù)有186棵。5 差倍問(wèn)題

【含義】已知兩個(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】?jī)蓚€(gè)數(shù)的差÷（幾倍－1）＝較小的數(shù) 較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)

【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1

果園里桃樹(shù)的棵數(shù)是杏樹(shù)的3倍，而且桃樹(shù)比杏樹(shù)多124棵。求杏樹(shù)、桃樹(shù)各多少棵？

解（1）杏樹(shù)有多少棵？

124÷（3－1）＝62（棵）（2）桃樹(shù)有多少棵？

62×3＝186（棵）答：果園里杏樹(shù)是62棵，桃樹(shù)是186棵。6 倍比問(wèn)題

【含義】有兩個(gè)已知的同類量，其中一個(gè)量是另一個(gè)量的若干倍，解題時(shí)先求出這個(gè)倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】總量÷一個(gè)數(shù)量＝倍數(shù) 另一個(gè)數(shù)量×倍數(shù)＝另一總量

【解題思路和方法】先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。

例1

100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？ 解（1）3700千克是100千克的多少倍？

3700÷100＝37（倍）（2）可以榨油多少千克？

40×37＝1480（千克）列成綜合算式

40×（3700÷100）＝1480（千克）答：可以榨油1480千克。7 相遇問(wèn)題 【含義】?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】相遇時(shí)間＝總路程÷（甲速＋乙速）總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時(shí)間

【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。

例1

南京到上海的水路長(zhǎng)392千米，同時(shí)從兩港各開(kāi)出一艘輪船相對(duì)而行，從南京開(kāi)出的船每小時(shí)行28千米，從上海開(kāi)出的船每小時(shí)行21千米，經(jīng)過(guò)幾小時(shí)兩船相遇？ 解

392÷（28＋21）＝8（小時(shí)）答：經(jīng)過(guò)8小時(shí)兩船相遇。8 追及問(wèn)題

【含義】?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)（或者在同一地點(diǎn)而不是同時(shí)出發(fā)，或者在不同地點(diǎn)又不是同時(shí)出發(fā)）作同向運(yùn)動(dòng)，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時(shí)間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】追及時(shí)間＝追及路程÷（快速－慢速）追及路程＝（快速－慢速）×追及時(shí)間

【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1

好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？ 解（1）劣馬先走12天能走多少千米？

75×12＝900（千米）（2）好馬幾天追上劣馬？

900÷（120－75）＝20（天）列成綜合算式

75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）答：好馬20天能追上劣馬。植樹(shù)問(wèn)題

【含義】按相等的距離植樹(shù)，在距離、棵距、棵數(shù)這三個(gè)量之間，已知其中的兩個(gè)量，要求第三個(gè)量，這類應(yīng)用題叫做植樹(shù)問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】線形植樹(shù)棵數(shù)＝距離÷棵距＋1 環(huán)形植樹(shù)棵數(shù)＝距離÷棵距 方形植樹(shù)棵數(shù)＝距離÷棵距－4 三角形植樹(shù)棵數(shù)＝距離÷棵距－3 面積植樹(shù)棵數(shù)＝面積÷（棵距×行距）

【解題思路和方法】先弄清楚植樹(shù)問(wèn)題的類型，然后可以利用公式。

例1

一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ 解

136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）答：一共要栽69棵垂柳。10 年齡問(wèn)題

【含義】這類問(wèn)題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點(diǎn)是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長(zhǎng)在發(fā)生變化。

【數(shù)量關(guān)系】年齡問(wèn)題往往與和差、和倍、差倍問(wèn)題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問(wèn)題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個(gè)特點(diǎn)。

【解題思路和方法】可以利用“差倍問(wèn)題”的解題思路和方法。

例1

爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？ 解

35÷5＝7（倍）（35+1）÷（5+1）＝6（倍）

答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。11 行船問(wèn)題

【含義】行船問(wèn)題也就是與航行有關(guān)的問(wèn)題。解答這類問(wèn)題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。

【數(shù)量關(guān)系】（順?biāo)俣龋嫠俣龋?＝船速（順?biāo)俣龋嫠俣龋?＝水速

順?biāo)伲酱佟?－逆水速＝逆水速＋水速×2 逆水速＝船速×2－順?biāo)伲巾標(biāo)伲佟?

【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例1

一只船順?biāo)?20千米需用8小時(shí)，水流速度為每小時(shí)15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時(shí)？

解由條件知，順?biāo)伲酱伲伲?20÷8，而水速為每小時(shí)15千米，所以，船速為每小時(shí)

320÷8－15＝25（千米）

船的逆水速為

25－15＝10（千米）

船逆水行這段路程的時(shí)間為

320÷10＝32（小時(shí)）答：這只船逆水行這段路程需用32小時(shí)。列車問(wèn)題

【含義】這是與列車行駛有關(guān)的一些問(wèn)題，解答時(shí)要注意列車車身的長(zhǎng)度。

【數(shù)量關(guān)系】火車過(guò)橋：過(guò)橋時(shí)間＝（車長(zhǎng)＋橋長(zhǎng)）÷車速 火車追及：追及時(shí)間＝（甲車長(zhǎng)＋乙車長(zhǎng)＋距離）÷（甲車速－乙車速）

火車相遇：相遇時(shí)間＝（甲車長(zhǎng)＋乙車長(zhǎng)＋距離）÷（甲車速＋乙車速）【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例1

一座大橋長(zhǎng)2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過(guò)大橋，從車頭開(kāi)上橋到車尾離開(kāi)橋共需要3分鐘。這列火車長(zhǎng)多少米？

解火車3分鐘所行的路程，就是橋長(zhǎng)與火車車身長(zhǎng)度的和。（1）火車3分鐘行多少米？

900×3＝2700（米）（2）這列火車長(zhǎng)多少米？

2700－2400＝300（米）列成綜合算式

900×3－2400＝300（米）答：這列火車長(zhǎng)300米。時(shí)鐘問(wèn)題

【含義】就是研究鐘面上時(shí)針與分針關(guān)系的問(wèn)題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時(shí)鐘問(wèn)題可與追及問(wèn)題相類比。

【數(shù)量關(guān)系】分針的速度是時(shí)針的12倍，二者的速度差為11/12。

通常按追及問(wèn)題來(lái)對(duì)待，也可以按差倍問(wèn)題來(lái)計(jì)算。

【解題思路和方法】變通為“追及問(wèn)題”后可以直接利用公式。

例1

從時(shí)針指向4點(diǎn)開(kāi)始，再經(jīng)過(guò)多少分鐘時(shí)針正好與分針重合？

解鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時(shí)走60格；時(shí)針每小時(shí)走5格，每分鐘走5/60＝1/12格。每分鐘分針比時(shí)針多走（1－1/12）＝11/12格。4點(diǎn)整，時(shí)針在前，分針在后，兩針相距20格。所以

分針追上時(shí)針的時(shí)間為

20÷（1－1/12）≈ 22（分）答：再經(jīng)過(guò)22分鐘時(shí)針正好與分針重合。14 盈虧問(wèn)題 【含義】根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】一般地說(shuō)，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有： 參加分配總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分配差 如果兩次都盈或都虧，則有：

參加分配總?cè)藬?shù)＝（大盈－小盈）÷分配差 參加分配總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）÷分配差

【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例1

給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個(gè)就余11個(gè)；若每人分4個(gè)就少1個(gè)。問(wèn)有多少小朋友？有多少個(gè)蘋果？

解按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分配差”的數(shù)量關(guān)系：（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）（2）有多少個(gè)蘋果？

3×12＋11＝47（個(gè)）答：有小朋友12人，有47個(gè)蘋果。工程問(wèn)題

【含義】工程問(wèn)題主要研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。這類問(wèn)題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項(xiàng)工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時(shí)，常常用單位“1”表示工作總量。

【數(shù)量關(guān)系】解答工程問(wèn)題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)（它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出算式。工作量＝工作效率×工作時(shí)間 工作時(shí)間＝工作量÷工作效率

工作時(shí)間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

【解題思路和方法】變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。

例1

一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合作，需要幾天完成？

解題中的“一項(xiàng)工程”是工作總量，由于沒(méi)有給出這項(xiàng)工程的具體數(shù)量，因此，把此項(xiàng)工程看作單位“1”。由于甲隊(duì)獨(dú)做需10天完成，那么每天完成這項(xiàng)工程的1/10；乙隊(duì)單獨(dú)做需15天完成，每天完成這項(xiàng)工程的1/15；兩隊(duì)合做，每天可以完成這項(xiàng)工程的（1/10＋1/15）。由此可以列出算式：

1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）答：兩隊(duì)合做需要6天完成。正反比例問(wèn)題

【含義】?jī)煞N相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用。

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用。

【數(shù)量關(guān)系】判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問(wèn)題去解決，而且比較簡(jiǎn)捷。

【解題思路和方法】解決這類問(wèn)題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。

正反比例問(wèn)題與前面講過(guò)的倍比問(wèn)題基本類似。

例1

修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長(zhǎng)是多少米？

解由條件知，公路總長(zhǎng)不變。

原已修長(zhǎng)度∶總長(zhǎng)度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12 現(xiàn)已修長(zhǎng)度∶總長(zhǎng)度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12 比較以上兩式可知，把總長(zhǎng)度當(dāng)作12份，則300米相當(dāng)于（4－3）份，從而知公路總長(zhǎng)為

300÷（4－3）×12＝3600（米）答：這條公路總長(zhǎng)3600米。17 按比例分配問(wèn)題

【含義】所謂按比例分配，就是把一個(gè)數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。

【數(shù)量關(guān)系】從條件看，已知總量和幾個(gè)部分量的比；從問(wèn)題看，求幾個(gè)部分量各是多少。總份數(shù)＝比的前后項(xiàng)之和

【解題思路和方法】先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項(xiàng)相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項(xiàng)分別作分子），再按照求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的計(jì)算方法，分別求出各部分量的值。

例1

學(xué)校把植樹(shù)560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級(jí)三個(gè)班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個(gè)班各植樹(shù)多少棵？ 解總份數(shù)為

47＋48＋45＝140 一班植樹(shù)

560×47/140＝188（棵）二班植樹(shù)

560×48/140＝192（棵）三班植樹(shù)

560×45/140＝180（棵）

答：一、二、三班分別植樹(shù)188棵、192棵、180棵。18 百分?jǐn)?shù)問(wèn)題

【含義】百分?jǐn)?shù)是表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常常可以通分、約分，而百分?jǐn)?shù)則無(wú)需；分?jǐn)?shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分?jǐn)?shù)只能表示“率”；分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個(gè)專門的記號(hào)“%”。

在實(shí)際中和常用到“百分點(diǎn)”這個(gè)概念，一個(gè)百分點(diǎn)就是1%，兩個(gè)百分點(diǎn)就是2%。

【數(shù)量關(guān)系】掌握“百分?jǐn)?shù)”、“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系： 百分?jǐn)?shù)＝比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量 標(biāo)準(zhǔn)量＝比較量÷百分?jǐn)?shù)

【解題思路和方法】一般有三種基本類型：（1）求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾；（2）已知一個(gè)數(shù)，求它的百分之幾是多少；（3）已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。

例1

倉(cāng)庫(kù)里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？

解（1）用去的占

720÷（720＋6480）＝10%（2）剩下的占

6480÷（720＋6480）＝90% 答：用去了10%，剩下90%。19 “牛吃草”問(wèn)題 【含義】“牛吃草”問(wèn)題是大科學(xué)家牛頓提出的問(wèn)題，也叫“牛頓問(wèn)題”。這類問(wèn)題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長(zhǎng)這個(gè)因素。

【數(shù)量關(guān)系】草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量×天數(shù)

【解題思路和方法】解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長(zhǎng)量。

例1

一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問(wèn)多少頭牛5天可以把草吃完？

解草是均勻生長(zhǎng)的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量×天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說(shuō)5 天內(nèi)的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭牛？設(shè)每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：（1）求草每天的生長(zhǎng)量

因?yàn)椋环矫?0天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長(zhǎng)量，所以

1×10×20＝原有草量＋20天內(nèi)生長(zhǎng)量 同理

1×15×10＝原有草量＋10天內(nèi)生長(zhǎng)量 由此可知（20－10）天內(nèi)草的生長(zhǎng)量為

1×10×20－1×15×10＝50 因此，草每天的生長(zhǎng)量為

50÷（20－10）＝5 20 雞兔同籠問(wèn)題

【含義】這是古典的算術(shù)問(wèn)題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問(wèn)題，叫做第一雞兔同籠問(wèn)題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問(wèn)題叫做第二雞兔同籠問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問(wèn)題： 假設(shè)全都是雞，則有

兔數(shù)＝（實(shí)際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2）假設(shè)全都是兔，則有

雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)－實(shí)際腳數(shù)）÷（4－2）第二雞兔同籠問(wèn)題： 假設(shè)全都是雞，則有

兔數(shù)＝（2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4＋2）假設(shè)全都是兔，則有

雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）

【解題思路和方法】解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問(wèn)題也叫置換問(wèn)題。通過(guò)先假設(shè)，再置換，使問(wèn)題得到解決。

例1

長(zhǎng)毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請(qǐng)你仔細(xì)算一算，多少兔子多少雞？ 解假設(shè)35只全為兔，則

雞數(shù)＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）兔數(shù)＝35－23＝12（只）

也可以先假設(shè)35只全為雞，則 兔數(shù)＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）雞數(shù)＝35－12＝23（只）答：有雞23只，有兔12只。21 方陣問(wèn)題

【含義】將若干人或物依一定條件排成正方形（簡(jiǎn)稱方陣），根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問(wèn)題就叫做方陣問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】（1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系： 四周人數(shù)＝（每邊人數(shù)－1）×4 每邊人數(shù)＝四周人數(shù)÷4＋1（2）方陣總?cè)藬?shù)的求法：

實(shí)心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)

空心方陣：總?cè)藬?shù)＝（外邊人數(shù)）?－（內(nèi)邊人數(shù)）? 內(nèi)邊人數(shù)＝外邊人數(shù)－層數(shù)×2（3）若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算，則： 總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×4

【解題思路和方法】方陣問(wèn)題有實(shí)心與空心兩種。實(shí)心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。

例1

在育才小學(xué)的運(yùn)動(dòng)會(huì)上，進(jìn)行體操表演的同學(xué)排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學(xué)一共有多少人？

解

22×22＝484（人）

答：參加體操表演的同學(xué)一共有484人。商品利潤(rùn)問(wèn)題

【含義】這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)中經(jīng)常遇到的問(wèn)題，包括成本、利潤(rùn)、利潤(rùn)率和虧損、虧損率等方面的問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】利潤(rùn)＝售價(jià)－進(jìn)貨價(jià)

利潤(rùn)率＝（售價(jià)－進(jìn)貨價(jià)）÷進(jìn)貨價(jià)×100% 售價(jià)＝進(jìn)貨價(jià)×（1＋利潤(rùn)率）虧損＝進(jìn)貨價(jià)－售價(jià)

虧損率＝（進(jìn)貨價(jià)－售價(jià)）÷進(jìn)貨價(jià)×100%

【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可以直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1

某商品的平均價(jià)格在一月份上調(diào)了10%，到二月份又下調(diào)了10%，這種商品從原價(jià)到二月份的價(jià)格變動(dòng)情況如何？

解設(shè)這種商品的原價(jià)為1，則一月份售價(jià)為（1＋10%），二月份的售價(jià)為（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售價(jià)比原價(jià)下降了

1－（1＋10%）×（1－10%）＝1% 答：二月份比原價(jià)下降了1%。23 存款利率問(wèn)題 【含義】把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個(gè)因素有關(guān)。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)。

【數(shù)量關(guān)系】年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）數(shù)×100% 利息＝本金×存款年（月）數(shù)×年（月）利率 本利和＝本金＋利息

＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）數(shù)］

【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。

例1

李大強(qiáng)存入銀行1200元，月利率0.8%，到期后連本帶利共取出1488元，求存款期多長(zhǎng)。

解因?yàn)榇婵钇趦?nèi)的總利息是（1488－1200）元，所以總利率為（1488－1200）÷1200

又因?yàn)橐阎吕剩源婵钤聰?shù)為（1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）答：李大強(qiáng)的存款期是30月即兩年半。24 溶液濃度問(wèn)題

【含義】在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到溶液濃度問(wèn)題。這類問(wèn)題研究的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質(zhì)、溶液、濃度這幾個(gè)量的關(guān)系。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。溶質(zhì)的量在溶液的量中所占的百分?jǐn)?shù)叫濃度，也叫百分比濃度。

【數(shù)量關(guān)系】溶液＝溶劑＋溶質(zhì) 濃度＝溶質(zhì)÷溶液×100%

【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。

例1

爺爺有16%的糖水50克，（1）要把它稀釋成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它變成30%的糖水，需加糖多少克？

解（1）需要加水多少克？

50×16%÷10%－50＝30（克）（2）需要加糖多少克？

50×（1－16%）÷（1－30%）－50 ＝10（克）答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。25 構(gòu)圖布數(shù)問(wèn)題

【含義】這是一種數(shù)學(xué)游戲，也是現(xiàn)實(shí)生活中常用的數(shù)學(xué)問(wèn)題。所謂“構(gòu)圖”，就是設(shè)計(jì)出一種圖形；所謂“布數(shù)”，就是把一定的數(shù)字填入圖中。“構(gòu)圖布數(shù)”問(wèn)題的關(guān)鍵是要符合所給的條件。

【數(shù)量關(guān)系】根據(jù)不同題目的要求而定。

【解題思路和方法】通常多從三角形、正方形、圓形和五角星等圖形方面考慮。按照題意來(lái)構(gòu)圖布數(shù)，符合題目所給的條件。例1

十棵樹(shù)苗子，要栽五行子，每行四棵子，請(qǐng)你想法子。解符合題目要求的圖形應(yīng)是一個(gè)五角星。

4×5÷2＝10 因?yàn)槲褰切堑?條邊交叉重復(fù)，應(yīng)減去一半。幻方問(wèn)題

【含義】把n×n個(gè)自然數(shù)排在正方形的格子中，使各行、各列以及對(duì)角線上的各數(shù)之和都相等，這樣的圖叫做幻方。最簡(jiǎn)單的幻方是三級(jí)幻方。

【數(shù)量關(guān)系】每行、每列、每條對(duì)角線上各數(shù)的和都相等，這個(gè)“和”叫做“幻和”。三級(jí)幻方的幻和＝45÷3＝15

五級(jí)幻方的幻和＝325÷5＝65

【解題思路和方法】首先要確定每行、每列以及每條對(duì)角線上各數(shù)的和（即幻和），其次是確定正中間方格的數(shù)，然后再確定其它方格中的數(shù)。

例1

把1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個(gè)數(shù)填入九個(gè)方格中，使每行、每列、每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和相等。

解幻和的3倍正好等于這九個(gè)數(shù)的和，所以幻和為（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15 九個(gè)數(shù)在這八條線上反復(fù)出現(xiàn)構(gòu)成幻和時(shí)，每個(gè)數(shù)用到的次數(shù)不全相同，最中心的那個(gè)數(shù)要用到四次（即出現(xiàn)在中行、中列、和兩條對(duì)角線這四條線上），四角的四個(gè)數(shù)各用到三次，其余的四個(gè)數(shù)各用到兩次。看來(lái)，用到四次的“中心數(shù)”地位重要，宜優(yōu)先考慮。

設(shè)“中心數(shù)”為Χ，因?yàn)棣冻霈F(xiàn)在四條線上，而每條線上三個(gè)數(shù)之和等于15，所以（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4 2 7 6 9 5 1 4 3 8 即

45＋3Χ＝60

所以Χ＝5 接著用奇偶分析法尋找其余四個(gè)偶數(shù)的位置，它們 分別在四個(gè)角，再確定其余四個(gè)奇數(shù)的位置，它們分別 在中行、中列，進(jìn)一步嘗試，容易得到正確的結(jié)果。27 抽屜原則問(wèn)題

【含義】把3只蘋果放進(jìn)兩個(gè)抽屜中，會(huì)出現(xiàn)哪些結(jié)果呢？要么把2只蘋果放進(jìn)一個(gè)抽屜，剩下的一個(gè)放進(jìn)另一個(gè)抽屜；要么把3只蘋果都放進(jìn)同一個(gè)抽屜中。這兩種情況可用一句話表示：一定有一個(gè)抽屜中放了2只或2只以上的蘋果。這就是數(shù)學(xué)中的抽屜原則問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】基本的抽屜原則是：如果把n＋1個(gè)物體（也叫元素）放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中放著2個(gè)或更多的物體（元素）。

抽屜原則可以推廣為：如果有m個(gè)抽屜，有k×m＋r（0＜r≤m）個(gè)元素那么至少有一個(gè)抽屜中要放（k＋1）個(gè)或更多的元素。

通俗地說(shuō)，如果元素的個(gè)數(shù)是抽屜個(gè)數(shù)的k倍多一些，那么至少有一個(gè)抽屜要放（k＋1）個(gè)或更多的元素。【解題思路和方法】（1）改造抽屜，指出元素；（2）把元素放入（或取出）抽屜；（3）說(shuō)明理由，得出結(jié)論。

例1 育才小學(xué)有367個(gè)1999年出生的學(xué)生，那么其中至少有幾個(gè)學(xué)生的生日是同 一天的？

解由于1999年是潤(rùn)年，全年共有366天，可以看作366個(gè)“抽屜”，把367個(gè)1999年出生的學(xué)生看作367個(gè)“元素”。367個(gè)“元素”放進(jìn)366個(gè)“抽屜”中，至少有一個(gè)“抽屜”中放有2個(gè)或更多的“元素”。

這說(shuō)明至少有2個(gè)學(xué)生的生日是同一天的。28 公約公倍問(wèn)題

【含義】需要用公約數(shù)、公倍數(shù)來(lái)解答的應(yīng)用題叫做公約數(shù)、公倍數(shù)問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】絕大多數(shù)要用最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)來(lái)解答。

【解題思路和方法】先確定題目中要用最大公約數(shù)或者最小公倍數(shù)，再求出答案。最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的求法，最常用的是“短除法”。

例1

一張硬紙板長(zhǎng)60厘米，寬56厘米，現(xiàn)在需要把它剪成若干個(gè)大小相同的最大的正方形，不許有剩余。問(wèn)正方形的邊長(zhǎng)是多少？ 解硬紙板的長(zhǎng)和寬的最大公約數(shù)就是所求的邊長(zhǎng)。

60和56的最大公約數(shù)是4。答：正方形的邊長(zhǎng)是4厘米。29 最值問(wèn)題

【含義】科學(xué)的發(fā)展觀認(rèn)為，國(guó)民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展既要講求效率，又要節(jié)約能源，要少花錢多辦事，辦好事，以最小的代價(jià)取得最大的效益。這類應(yīng)用題叫做最值問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】一般是求最大值或最小值。

【解題思路和方法】按照題目的要求，求出最大值或最小值。

例1

在火爐上烤餅，餅的兩面都要烤，每烤一面需要3分鐘，爐上只能同時(shí)放兩塊餅，現(xiàn)在需要烤三塊餅，最少需要多少分鐘？

解先將兩塊餅同時(shí)放上烤，3分鐘后都熟了一面，這時(shí)將第一塊餅取出，放入第三塊餅，翻過(guò)第二塊餅。再過(guò)3分鐘取出熟了的第二塊餅，翻過(guò)第三塊餅，又放入第一塊餅烤另一面，再烤3分鐘即可。這樣做，用的時(shí)間最少，為9分鐘。答：最少需要9分鐘。30 列方程問(wèn)題 【含義】把應(yīng)用題中的未知數(shù)用字母Χ代替，根據(jù)等量關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式——方程，通過(guò)解這個(gè)方程而得到應(yīng)用題的答案，這個(gè)過(guò)程，就叫做列方程解應(yīng)用題。

【數(shù)量關(guān)系】方程的等號(hào)兩邊數(shù)量相等。

【解題思路和方法】可以概括為“審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答”六字法。（1）審：認(rèn)真審題，弄清應(yīng)用題中的已知量和未知量各是什么，問(wèn)題中的等量關(guān)系是什么。（2）設(shè)：把應(yīng)用題中的未知數(shù)設(shè)為Χ。

（3）列；根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)和題目中的已知條件，按照等量關(guān)系列出方程。（4）解；求出所列方程的解。

（5）驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的解是否正確，是否符合題意。（6）答：回答題目所問(wèn)，也就是寫出答問(wèn)的話。

同學(xué)們?cè)诹蟹匠探鈶?yīng)用題時(shí)，一般只寫出四項(xiàng)內(nèi)容，即設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、答語(yǔ)。設(shè)未知數(shù)時(shí)要在Χ后面寫上單位名稱，在方程中已知數(shù)和未知數(shù)都不帶單位名稱，求出的Χ值也不帶單位名稱，在答語(yǔ)中要寫出單位名稱。檢驗(yàn)的過(guò)程不必寫出，但必須檢驗(yàn)。

例1

甲乙兩班共90人，甲班比乙班人數(shù)的2倍少30人，求兩班各有多少人？ 解第一種方法：設(shè)乙班有Χ人，則甲班有（90－Χ）人。找等量關(guān)系：甲班人數(shù)＝乙班人數(shù)×2－30人。列方程：

90－Χ＝2Χ－30 解方程得Χ＝40

從而知

90－Χ＝50 第二種方法：設(shè)乙班有Χ人，則甲班有（2Χ－30）人。列方程（2Χ－30）＋Χ＝90 解方程得Χ＝40

從而得知

2Χ－30＝50 答：甲班有50