第一篇：小學典型應用題歸類

小學典型應用題歸類

一、歸一問題1、2兩輛汽車行駛300千米需要汽油240公升.照這樣計算，現有5輛汽車同時運貨到相距800千米的地方，需要多少公升汽油？

2、5臺拖拉機24天耕地12000公畝.要18天耕完54000公畝土地，需要增加同樣拖拉機多少臺？

二、平均數問題

1.某次數學考試，語文、英語兩科平均成績和是96分，語文、數學兩科平均成績和是92分，每科成績各多少分？

2、7個連續偶數的和是1988，求這7個連續偶數中最大的數是幾？。

三、和倍問題

和倍問題：已知兩個數的和及它們之間的倍數關系，求兩個數各是多少的應用題，叫做和倍問題。

解題公式：兩個數的和÷（倍數+1）= 較小的數

較小的數×倍數=較大的數（或和—較小的數=較大的數）。

1、白兔和黑兔一共有32只，白兔的只數是黑兔的3倍，白兔和黑兔各有多少只？

2、一個長方形，周長是30厘米，長是寬的2倍，求這個長方形的面積。

3、在一道沒有余數的除法算式中，被除數與除數的和是280，商是6，被除數和除數各是多少？

4、甲倉庫存糧54噸，乙倉庫存糧70噸，要使甲倉庫的存糧是乙倉庫的3倍，那么必須從乙倉庫內運出多少噸放入甲倉庫？

5、一筐蘋果，一筐梨和一筐葡萄共重40千克，知道蘋果的重量是梨的2倍，梨的重量是葡萄的3倍，算一算，蘋果，梨，葡萄各有多少千克？

6、兄妹兩人共植樹15棵，哥哥植樹的棵數比妹妹的2倍少3棵，兄妹兩人各植樹多少棵？

四、差倍問題

差倍問題：已知兩個數的差，及兩個數的倍數關系，求兩個數各是多少的應用題。

解題公式：兩個數的差÷（倍數－1）= 較小的數

較小的數×倍數=較大的數（或差+較小的數=較大的數）

1、一班的圖書比二班多216本，一班圖書數是二班的3倍，一班、二班各有有圖書多少本？

2、甲乙兩個糧倉，甲倉存糧是乙倉的3倍，甲倉運出100噸后兩倉存糧一樣多。乙倉存糧多少噸？

3、甲、乙兩個數，如果甲數加上320就等于乙數了.如果乙數加上460就等于甲數的3倍，兩個數各是多少？

4、甲、乙兩校教師的人數相等，由于工作需要，從甲校調30人到乙校去，這時乙校教師人

數正好是甲校教師人數的3倍，求甲、乙兩校原有教師各多少人？

五、和差問題

和差問題：已知大小兩個數的和，以及他們的差，求這兩個數各是多少的應用題叫做和差問

題。解題公式：（和＋差）÷2 = 大數大數－差=小數

（和－差）÷2=小數和－小數= 大數

1、用錫和鋁制成500千克的合金，鋁的重量比錫多100千克，錫和鋁各是多少千克？

2、甲、乙兩桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么兩桶油重量相等，問甲、乙兩桶原有多少油？

3、小明每天早晨要在長和寬相差40米的長方形操場上跑步，每天跑5圈，共2000米，問這個操場的面積是多少？

六、年齡問題

年齡問題其實是和倍問題或差倍問題，如下面的1題應是和倍問題，2題應是差倍問題。

1、母女的年齡和是64歲，女兒年齡的3倍比母親大8歲，求母女二人的年齡各是多少歲？

2、爺爺今年72歲，孫子今年12歲，幾年后爺爺的年齡是孫子的5倍？幾年前爺爺的年齡是孫子的13倍？

六、雞兔同籠

解題公式：（總腳數-每只雞的腳數×總頭數）÷（每只兔的腳數-每只雞的腳數）=兔數；總頭數-兔數=雞數。或者是（每只兔腳數×總頭數-總腳數）÷（每只兔腳數-每只雞腳數）=雞數；總頭數-雞數=兔數。

1、有雞兔共49只，腳100只，雞兔各幾只？

2、一百個和尚分一百饅頭，大和尚一人3個，小和尚3人一個，問大小和尚各幾人？

3、一次數學競賽共25道題，規定做對1題給6分，做錯（或做不出）1題倒扣4分。張林得了80分，他做對了多少題？

4、一張桌子32元，一把椅子24元?，F買桌子和椅子共38件，付款1096元。買桌子和椅子各多少件？

5、一千克蘋果1.5元，一千克梨1元，幼兒園共購進蘋果和梨350千克，共付475元。購進蘋果和梨各是多少元？

6、一只蜈蚣有40只步足，一只螳螂有6只腳，現有蜈蚣和螳螂共35只，合計腳822只。蜈蚣和螳螂各多少只？

7、桌子每張4條腿，椅子每把6條腿，有桌椅共42件。桌椅各有多少件？

噸。求這批貨物的總重量？

八、盈虧問題

把若干物體平均分給一定數量的對象，并不是每次都能正好分完。如果物體還有剩余，就叫

盈；如果物體不夠分，少了，叫虧。凡是研究盈和虧這一類算法的應用題就叫盈虧問題。

解題公式：

（1）一次有余（盈），一次不夠（虧），可用公式：（盈+虧）÷（兩次每人分配數的差）=人數。

（2）兩次都有余（盈），可用公式：（大盈-小盈）÷（兩次每人分配數的差）=人數。

（3）兩次都不夠（虧），可用公式：（大虧-小虧）÷（兩次每人分配數的差）=人數。

（4）一次不夠（虧），另一次剛好分完，可用公式：虧÷（兩次每人分配數的差）=人數。

（5）一次有余（盈），另一次剛好分完，可用公式：盈÷（兩次每人分配數的差）=人數。

1、阿姨給幼兒園小朋友分餅干.如果每人分3塊，則多出16塊餅干；如果每人分5塊，那么

就缺4塊餅干.問有多少小朋友，有多少塊餅干？

2、士兵背子彈作行軍訓練，每人背 45 發，多 680 發；若每人背 50 發，則還多 200 發。問：有 士兵多少人？有子彈多少發？

3、學校進行大掃除，分配若干人擦玻璃，如果每人擦5塊，則余12塊；若每人擦6塊，則正好擦完，求擦玻璃的人數及玻璃的塊數？

4、將一批本子發給學生，每人發 10 本，差 90 本；若每人發 8 本，則仍差 8 本。有多少學生和 多少本本子？

5、少先隊員參加綠化植樹，他們準備栽的蘋果樹苗是梨樹苗的2倍.如果每人栽3棵梨樹苗，還余2棵；如果每人栽7棵蘋果樹苗，要少6棵.問有多少少先隊員？他們準備栽多少棵蘋果樹和梨樹？

6、王師傅加工一批零件，如果每天做50個，要比原計劃晚8天完成；如果每天做60個，可以提前5天完成。這批零件共有多少個？

九、行程問題：

行程問題是研究物體運動的，是數學中?？嫉念}型。行程問題主要包括追及問題、相遇問題、流水問題。

基本公式路程=速度×時間；路程÷時間=速度；路程÷速度=時間

相遇問題（甲的路程+ 乙的路程=總路程）

相遇路程÷速度和=相遇時間 相遇路程÷相遇時間= 速度和 相遇時間×速度和=相遇路程追及問題（快的路程—慢的路程=路程差）

追及時間=路程差÷速度差速度差=路程差÷追及時間追及時間×速度差=路程差

流水問題

順水速度=船速+水速逆水速度=船速－水速靜水速度=（順水速度+逆水速度）÷2水速：（順水速度－逆水速度）÷2船速：(順水速度+逆水速度）÷21、甲乙兩車從相距600千米的兩地同時相向而行，已知甲車每小時行42千米，乙車每小時行58千米，兩車相遇時乙車行了多少千米？

2、小明步行去學校，速度是每小時6千米，他離家半小時后，哥哥騎自行車追他，速度是小明的2倍，哥哥多長時間能追上小明？

3、中巴車每小時行60千米，小轎車每小時行84千米，兩車同時從相距60千米的兩地同方向開出，且中巴車在前，求幾小時后小轎車追上中巴車？

4、某船在靜水中的速度是每小時15千米，它從上游甲地開往下游乙地共花去了8小時，水速每小時3千米，問從乙地返回甲地需要多少時間？

十、濃度問題：

1、有濃度為30％的酒精溶液100克，添加多少水后稀釋成濃度為24％的酒精溶液？

2、有濃度為7％的鹽水600克，要使鹽水的濃度加大到10％，需要加鹽多少克？

思路導航：溶劑重理不變。

3、海水中鹽的含量為5％，在40千克海水中，需加多少千克淡水才使海水中鹽的含量為2％？

十一、百分數問題：

1、甲比乙多10%，乙比甲少百分之幾？

2、存款5000元，年利率2.5%，利息稅5%，兩年后連本帶息可以取出多少元？

3、一個長方體木塊的長、寬、高分別是5厘米、4厘米、3厘米，如果用它鋸成一個最大的正方體，體積要比原來減少百分之幾？

十二、比和比例問題：

1、甲乙兩個長方體容器的底面積比是2：3，高的比是2：5，那么兩個長方體容器能裝多少水？

2、張師傅生產一個零件用1/2小時，李師傅生產一個零件用1/3小時，張師傅與李師傅工作效率的比是多少？

十三、工程問題：

1、一項工程甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做30天完成?，F在兩隊合作，在這期間甲休息兩天，乙休息8天（不存在兩隊同時休息）開始到完工共用多少天時間？

2、14．一支細長蠟燭4小時點完，一支粗短蠟燭6小時點完，兩支蠟燭同時點2小時后，剩下的長度正好相等。原來短粗蠟燭是長細蠟燭的幾分之幾？

小學數學常用單位及進率

長度單位換算

1千米=1000米1米=10分米1厘米=10毫米

1分米=10厘米1米=100厘米

面積單位換算

1平方千米=100公頃1公頃=10000平方米

1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米

體(容)積單位換算

1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方分米=1升1立方厘米=1毫升

1立方米=1000升

重量單位換算

1噸=1000 千克1千克=1000克1千克=1公斤人民幣單位換算

1元=10角1角=10分1元=100分

時間單位換算

1世紀=100年1年=12月

大月(31天)有:135781012月

小月(30天)的有:46911月

平年 2月28天,閏年 2月29天

平年全年365天,閏年全年366天

1日=24小時1小時=60分

1分=60秒1小時=3600秒

小學數學幾何形體周長 面積 體積計算公式

1、長方形的周長=（長+寬）×2C=(a+b)×

22、正方形的周長=邊長×4C=4a3、長方形的面積=長×寬S=ab4、正方形的面積=邊長×邊長S=a.a= a5、三角形的面積=底×高÷2S=ah÷26、平行四邊形的面積=底×高S=ah7、梯形的面積=（上底+下底）×高÷2S=（a＋b）h÷28、直徑=半徑×2d=2r半徑=直徑÷2r= d÷29、圓的周長=圓周率×直徑=圓周率×半徑×2c=πd =2πr10、圓的面積=圓周率×半徑×半徑s=πr11、長方體的表面積=（長×寬+長×高＋寬×高）×212、長方體的體積 =長×寬×高V =abh13、正方體的表面積=棱長×棱長×6S =6a14、正方體的體積=棱長×棱長×棱長V=a.a.a= a15、圓柱的側面積=底面圓的周長×高S=ch16、圓柱的表面積=上下底面面積+側面積S=2πr +2πrh17、圓柱的體積=底面積×高V=Sh=πr h18、圓錐的體積=底面積×高÷3V=Sh÷3=πr h÷319、長方體（正方體、圓柱體）的體積=底面積×高V=Sh

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第二篇：小學應用題歸類總結

1、歸一問題 【含義】

在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標準，求出所要求的數量。這類應用題叫做歸一問題?！緮盗筷P系】 總量÷份數＝1份數量

1份數量×所占份數＝所求幾份的數量 另一總量÷（總量÷份數）＝所求份數 【解題思路和方法】

先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數量。例1

買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？ 解

（1）買1支鉛筆多少錢？0.6÷5＝0.12（元）（2）買16支鉛筆需要多少錢？0.12×16＝1.92（元）列成綜合算式0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）答：需要1.92元。例2

3臺拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖拉機6天耕地多少公頃？ 解

（1）1臺拖拉機1天耕地多少公頃？90÷3÷3＝10（公頃）（2）5臺拖拉機6天耕地多少公頃？10×5×6＝300（公頃）列成綜合算式90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公頃）答：5臺拖拉機6天耕地300公頃。例3 5輛汽車4次可以運送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材，需要運幾次？ 解

（1）1輛汽車1次能運多少噸鋼材？100÷5÷4＝5（噸）（2）7輛汽車1次能運多少噸鋼材？5×7＝35（噸）（3）105噸鋼材7輛汽車需要運幾次？105÷35＝3（次）列成綜合算式105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）答：需要運3次。

2、歸總問題 【含義】

解題時，常常先找出“總數量”，然后再根據其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產量、幾小時行的總路程等?！緮盗筷P系】 1份數量×份數＝總量 總量÷1份數量＝份數

總量÷另一份數＝另一每份數量 【解題思路和方法】

先求出總數量，再根據題意得出所求的數量。例1

服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現在可以做多少套？ 解

（1）這批布總共有多少米？3.2×791＝2531.2（米）（2）現在可以做多少套？2531.2÷2.8＝904（套）列成綜合算式3.2×791÷2.8＝904（套）答：現在可以做904套。例2

小華每天讀24頁書，12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完《紅巖》？ 解

（1）《紅巖》這本書總共多少頁？24×12＝288（頁）（2）小明幾天可以讀完《紅巖》？288÷36＝8（天）列成綜合算式24×12÷36＝8（天）答：小明8天可以讀完《紅巖》。例3

食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃50千克，30天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據大家的意見，每天比原計劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？ 解

（1）這批蔬菜共有多少千克？50×30＝1500（千克）（2）這批蔬菜可以吃多少天？1500÷（50＋10）＝25（天）列成綜合算式50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）答：這批蔬菜可以吃25天。

3、和差問題 【含義】

已知兩個數量的和與差，求這兩個數量各是多少，這類應用題叫和差問題?！緮盗筷P系】 大數＝（和＋差）÷2 小數＝（和－差）÷2 【解題思路和方法】

簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目變通后再用公式。例1

甲乙兩班共有學生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？ 解

甲班人數＝（98＋6）÷2＝52（人）乙班人數＝（98－6）÷2＝46（人）答：甲班有52人，乙班有46人。例2

長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。解

長＝（18＋2）÷2＝10（厘米）寬＝（18－2）÷2＝8（厘米）長方形的面積＝10×8＝80（平方厘米）答：長方形的面積為80平方厘米。例3

有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。解

甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大數，丙是小數。由此可知

甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。例4

甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？ 解

“從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐”，這說明甲車是大數，乙車是小數，甲與乙的差是（14×2＋3），甲與乙的和是97，因此甲車筐數＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）乙車筐數＝97－64＝33（筐）

答：甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果33筐。

4、和倍問題 【含義】

已知兩個數的和及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做和倍問題?！緮盗筷P系】

總和÷（幾倍＋1）＝較小的數 總和－較小的數＝較大的數 較小的數×幾倍＝較大的數 【解題思路和方法】

簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例1

果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？ 解（1）杏樹有多少棵？248÷（3＋1）＝62（棵）（2）桃樹有多少棵？62×3＝186（棵）答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。例2

東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數是西庫存糧數的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？ 解

（1）西庫存糧數＝480÷（1.4＋1）＝200（噸）（2）東庫存糧數＝480－200＝280（噸）答：東庫存糧280噸，西庫存糧200噸。例3

甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數是甲站的2倍？ 解

每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當于每天從甲站開往乙站（28－24）輛。把幾天以后甲站的車輛數當作1倍量，這時乙站的車輛數就是2倍量，兩站的車輛總數（52＋32）就相當于（2＋1）倍，那么，幾天以后甲站的車輛數減少為（52＋32）÷（2＋1）＝28（輛）

所求天數為（52－28）÷（28－24）＝6（天）答：6天以后乙站車輛數是甲站的2倍。例4

甲乙丙三數之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數各是多少？ 解 乙丙兩數都與甲數有直接關系，因此把甲數作為1倍量。

因為乙比甲的2倍少4，所以給乙加上4，乙數就變成甲數的2倍； 又因為丙比甲的3倍多6，所以丙數減去6就變為甲數的3倍； 這時（170＋4－6）就相當于（1＋2＋3）倍。那么，甲數＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28 乙數＝28×2－4＝52 丙數＝28×3＋6＝90 答：甲數是28，乙數是52，丙數是90。

5、差倍問題 【含義】

已知兩個數的差及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做差倍問題?！緮盗筷P系】

兩個數的差÷（幾倍－1）＝較小的數 較小的數×幾倍＝較大的數 【解題思路和方法】

簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例1

果園里桃樹的棵數是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？ 解

（1）杏樹有多少棵？124÷（3－1）＝62（棵）（2）桃樹有多少棵？62×3＝186（棵）答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。例2

爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？ 解

（1）兒子年齡＝27÷（4－1）＝9（歲）（2）爸爸年齡＝9×4＝36（歲）

答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。例3

商場改革經營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？ 解

如果把上月盈利作為1倍量，則（30－12）萬元就相當于上月盈利的（2－1）倍，因此

上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（萬元）本月盈利＝18＋30＝48（萬元）

答：上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。例4

糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？ 解

由于每天運出的小麥和玉米的數量相等，所以剩下的數量差等于原來的數量差（138－94）。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相當于（3－1）倍，因此 剩下的小麥數量＝（138－94）÷（3－1）＝22（噸）運出的小麥數量＝94－22＝72（噸）運糧的天數＝72÷9＝8（天）

答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。

6、倍比問題 【含義】

有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數，再用倍比的方法算出要求的數，這類應用題叫做倍比問題?！緮盗筷P系】 總量÷一個數量＝倍數 另一個數量×倍數＝另一總量 【解題思路和方法】

先求出倍數，再用倍比關系求出要求的數。例1

100千克油菜籽可以榨油40千克，現在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？ 解

（1）3700千克是100千克的多少倍？3700÷100＝37（倍）（2）可以榨油多少千克？40×37＝1480（千克）列成綜合算式40×（3700÷100）＝1480（千克）答：可以榨油1480千克。例2

今年植樹節這天，某小學300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？ 解

（1）48000名是300名的多少倍？48000÷300＝160（倍）（2）共植樹多少棵？400×160＝64000（棵）列成綜合算式400×（48000÷300）＝64000（棵）答：全縣48000名師生共植樹64000棵。例3

鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？ 解

（1）800畝是4畝的幾倍？800÷4＝200（倍）（2）800畝收入多少元？11111×200＝2222200（元）（3）16000畝是800畝的幾倍？16000÷800＝20（倍）（4）16000畝收入多少元？2222200×20＝44444000（元）

答：全鄉800畝果園共收入2222200元，全縣16000畝果園共收入44444000元。

7、相遇問題 【含義】

兩個運動的物體同時由兩地出發相向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題。

【數量關系】

相遇時間＝總路程÷（甲速＋乙速）總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時間 【解題思路和方法】

簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。例1

南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經過幾小時兩船相遇？ 解

392÷（28＋21）＝8（小時）答：經過8小時兩船相遇。例2

小李和小劉在周長為400米的環形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發，反向而跑，那么，二人從出發到第二次相遇需多長時間？ 解

“第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。因此總路程為400×2 相遇時間＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）答：二人從出發到第二次相遇需100秒時間。例3

甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。解

“兩人在距中點3千米處相遇”是正確理解本題題意的關鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點3千米，乙距中點3千米，就是說甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，相遇時間＝（3×2）÷（15－13）＝3（小時）兩地距離＝（15＋13）×3＝84（千米）答：兩地距離是84千米。

8、追及問題 【含義】 兩個運動物體在不同地點同時出發（或者在同一地點而不是同時出發，或者在不同地點又不是同時出發）作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內，后面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題?！緮盗筷P系】

追及時間＝追及路程÷（快速－慢速）追及路程＝（快速－慢速）×追及時間 【解題思路和方法】

簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例1

好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？ 解

（1）劣馬先走12天能走多少千米？75×12＝900（千米）（2）好馬幾天追上劣馬？900÷（120－75）＝20（天）列成綜合算式75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）答：好馬20天能追上劣馬。例2

小明和小亮在200米環形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點同時出發，同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解

小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈，即200米，此時小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是（500－200）÷［40×（500÷200）］ ＝300÷100＝3（米）答：小亮的速度是每秒3米。例3

我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？ 解

敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（22－16）小時，這段時間敵人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知 追及時間＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）＝220÷20＝11（小時）

答：解放軍在11小時后可以追上敵人。例4

一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。解

這道題可以由相遇問題轉化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車（16×2）千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間，這個時間為16×2÷（48－40）＝4（小時）所以兩站間的距離為（48＋40）×4＝352（千米）列成綜合算式（48＋40）×［16×2÷（48－40）］ ＝88×4 ＝352（千米）

答：甲乙兩站的距離是352千米。

9、植樹問題 【含義】

按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。【數量關系】

線形植樹棵數＝距離÷棵距＋1 環形植樹棵數＝距離÷棵距 方形植樹棵數＝距離÷棵距－4 三角形植樹棵數＝距離÷棵距－3 面積植樹棵數＝面積÷（棵距×行距）【解題思路和方法】

先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。例1

一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ 解

136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）答：一共要栽69棵垂柳。例2

一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？ 解

400÷4＝100（棵）

答：一共能栽100棵白楊樹。例3 一個正方形的運動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？ 解

220×4÷8－4＝110－4＝106（個）答：一共可以安裝106個照明燈。例4

給一個面積為96平方米的住宅鋪設地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？ 解

96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（塊）答：至少需要400塊地板磚。例5

一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？ 解

（1）橋的一邊有多少個電桿？500÷50＋1＝11（個）（2）橋的兩邊有多少個電桿？11×2＝22（個）（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22×2＝44（盞）答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。

10、年齡問題 【含義】

這類問題是根據題目的內容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數關系隨著年齡的增長在發生變化?！緮盗筷P系】 年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點?！窘忸}思路和方法】

可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。例1

爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？ 解

35÷5＝7（倍）

（35+1）÷（5+1）＝6（倍）答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。例2

母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？ 解

（1）母親比女兒的年齡大多少歲？37－7＝30（歲）

（2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）列成綜合算式（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。例3

甲對乙說：“當我的歲數曾經是你現在的歲數時，你才4歲”。乙對甲說：“當我的歲數將來是你現在的歲數時，你將61歲”。求甲乙現在的歲數各是多少？ 解

這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析： 過去某一年 今年 將來某一年 甲 □歲 △歲 61歲 乙 4歲 □歲 △歲

表中兩個“□”表示同一個數，兩個“△”表示同一個數。

因為兩個人的年齡差總相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差數列，所以，61應該比4大3個年齡差，因此二人年齡差為（61－4）÷3＝19（歲）甲今年的歲數為△＝61－19＝42（歲）乙今年的歲數為□＝42－19＝23（歲）

答：甲今年的歲數是42歲，乙今年的歲數是23歲。

11、行船問題 【含義】

行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差?！緮盗筷P系】

（順水速度＋逆水速度）÷2＝船速（順水速度－逆水速度）÷2＝水速

順水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2 逆水速＝船速×2－順水速＝順水速－水速×2 【解題思路和方法】

大多數情況可以直接利用數量關系的公式。例1

一只船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時？ 解 由條件知，順水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速為每小時15千米，所以，船速為每小時320÷8－15＝25（千米）船的逆水速為25－15＝10（千米）

船逆水行這段路程的時間為320÷10＝32（小時）答：這只船逆水行這段路程需用32小時。例2

甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時；乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間？ 解

由題意得甲船速＋水速＝360÷10＝36 甲船速－水速＝360÷18＝20 可見（36－20）相當于水速的2倍，所以，水速為每小時（36－20）÷2＝8（千米）又因為，乙船速－水速＝360÷15，所以，乙船速為360÷15＋8＝32（千米）乙船順水速為32＋8＝40（千米）所以，乙船順水航行360千米需要 360÷40＝9（小時）

答：乙船返回原地需要9小時。

12、列車問題 【含義】

這是與列車行駛有關的一些問題，解答時要注意列車車身的長度?！緮盗筷P系】

火車過橋：過橋時間＝（車長＋橋長）÷車速 火車追及：追及時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速－乙車速）

火車相遇：相遇時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速＋乙車速）【解題思路和方法】

大多數情況可以直接利用數量關系的公式。例1

一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？ 解

火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。（1）火車3分鐘行多少米？900×3＝2700（米）（2）這列火車長多少米？2700－2400＝300（米）列成綜合算式900×3－2400＝300（米）答：這列火車長300米。例2

一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？ 解

火車過橋所用的時間是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8×125）米，這段路程就是（200米＋橋長），所以，橋長為 8×125－200＝800（米）答：大橋的長度是800米。例3 一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？ 解

從追上到追過，快車比慢車要多行（225＋140）米，而快車比慢車每秒多行（22－17）米，因此，所求的時間為（225＋140）÷（22－17）＝73（秒）答：需要73秒。例4

一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間？ 解

如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當于火車相遇問題。150÷（22＋3）＝6（秒）

答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。

13、時鐘問題 【含義】

就是研究鐘面上時針與分針關系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。【數量關系】

分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為11/12。

通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算?！窘忸}思路和方法】

變通為“追及問題”后可以直接利用公式。例1

從時針指向4點開始，再經過多少分鐘時針正好與分針重合？ 解

鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走5/60＝1/12格。每分鐘分針比時針多走（1－1/12）＝11/12格。4點整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以 分針追上時針的時間為20÷（1－1/12）≈22（分）答：再經過22分鐘時針正好與分針重合。例2

四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？ 解

鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格（包括分針在時針的前或后15格兩種情況）。四點整的時候，分針在時針后（5×4）格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走（5×4－15）格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（5×4＋15）格。再根據1分鐘分針比時針多走（1－1/12）格就可以求出二針成直角的時間。（5×4－15）÷（1－1/12）≈6（分）（5×4＋15）÷（1－1/12）≈38（分）答：4點06分及4點38分時兩針成直角。例3

六點與七點之間什么時候時針與分針重合？ 解

六點整的時候，分針在時針后（5×6）格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。（5×6）÷（1－1/12）≈33（分）答：6點33分的時候分針與時針重合。

14、盈虧問題 【含義】

根據一定的人數，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數或物品數，這類應用題叫做盈虧問題。【數量關系】

一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有： 參加分配總人數＝（盈＋虧）÷分配差 如果兩次都盈或都虧，則有：

參加分配總人數＝（大盈－小盈）÷分配差 參加分配總人數＝（大虧－小虧）÷分配差 【解題思路和方法】

大多數情況可以直接利用數量關系的公式。例1

給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？ 解

按照“參加分配的總人數＝（盈＋虧）÷分配差”的數量關系：（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）（2）有多少個蘋果？3×12＋11＝47（個）答：有小朋友12人，有47個蘋果。例2 修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？ 解

題中原定完成任務的天數，就相當于“參加分配的總人數”，按照“參加分配的總人數＝（大虧－小虧）÷分配差”的數量關系，可以得知 原定完成任務的天數為

（260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）這條路全長為300×（22＋4）＝7800（米）答：這條路全長7800米。例3

學校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？ 解

本題中的車輛數就相當于“參加分配的總人數”，于是就有（1）有多少車？（30－0）÷（45－40）＝6（輛）（2）有多少人？40×6＋30＝270（人）答：有6輛車，有270人。

15、工程問題 【含義】

工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。【數量關系】 解答工程問題的關鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數（它表示單位時間內完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據工作量、工作效率、工作時間三者之間的關系列出算式。工作量＝工作效率×工作時間 工作時間＝工作量÷工作效率

工作時間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）【解題思路和方法】

變通后可以利用上述數量關系的公式。例1

一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現在兩隊合作，需要幾天完成？ 解

題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數量，因此，把此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨做需10天完成，那么每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨做需15天完成，每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（1/10＋1/15）。

由此可以列出算式：1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）答：兩隊合做需要6天完成。例2

一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成。現在兩人合做，完成任務時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？ 解一

設總工作量為1，則甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8，甲比乙每小時多完成（1/6－1/8），二人合做時每小時完成（1/6＋1/8）。因為二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小時，這個時間內，甲比乙多做24個零件，所以（1）每小時甲比乙多做多少零件？ 24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（個）（2）這批零件共有多少個？ 7÷（1/6－1/8）＝168（個）答：這批零件共有168個。解二

上面這道題還可以用另一種方法計算：

兩人合做，完成任務時甲乙的工作量之比為1/6∶1/8＝4∶3 由此可知，甲比乙多完成總工作量的4－3/4＋3＝1/7 所以，這批零件共有24÷1/7＝168（個）例3

一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成。現在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？ 解

必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設總工作量為12、10、和15的某一公倍數，例如最小公倍數60，則甲乙丙三人的工作效率分別是 60÷12＝560÷10＝660÷15＝4 因此余下的工作量由乙丙合做還需要（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小時）答：還需要5小時才能完成。例4

一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當打開4個進水管時，需要5小時才能注滿水池；當打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？ 解

注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內水的流量就是工作效率。

要2小時內將水池注滿，即要使2小時內的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。

我們設每個同樣的進水管每小時注水量為1，則4個進水管5小時注水量為（1×4×5），2個進水管15小時注水量為（1×2×15），從而可知 每小時的排水量為（1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1 即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知 一池水的總工作量為1×4×5－1×5＝15 又因為在2小時內，每個進水管的注水量為1×2，所以，2小時內注滿一池水

至少需要多少個進水管？（15＋1×2）÷（1×2）＝8.5≈9（個）

答：至少需要9個進水管。

16、正反比例問題 【含義】

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。【數量關系】

判斷正比例或反比例關系是解這類應用題的關鍵。許多典型應用題都可以轉化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。【解題思路和方法】

解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數）轉化為比，應用比和比例的性質去解應用題。

正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。例1

修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？ 解

由條件知，公路總長不變。

原已修長度∶總長度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12 現已修長度∶總長度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12 比較以上兩式可知，把總長度當作12份，則300米相當于（4－3）份，從而知公路總長為300÷（4－3）×12＝3600（米）答：這條公路總長3600米。例2

張晗做4道應用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應用題？ 解

做題效率一定，做題數量與做題時間成正比例關系 設91分鐘可以做X應用題則有28∶4＝91∶X 28X＝91×4X＝91×4÷28X＝13 答：91分鐘可以做13道應用題。例3

孫亮看《十萬個為什么》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？ 解

書的頁數一定，每天看的頁數與需要的天數成反比例關系 設X天可以看完，就有24∶36＝X∶15 36X＝24×15X＝10 答：10天就可以看完。

17、按比例分配問題 【含義】

所謂按比例分配，就是把一個數按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數量的份數，另一種是直接給出份數?！緮盗筷P系】

從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少?？偡輸担奖鹊那昂箜椫?【解題思路和方法】

先把各部分量的比轉化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。例1 學校把植樹560棵的任務按人數分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？ 解

總份數為47＋48＋45＝140 一班植樹560×47/140＝188（棵）二班植樹560×48/140＝192（棵）三班植樹560×45/140＝180（棵）

答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。例2

用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少厘米？ 解

3＋4＋5＝1260×3/12＝15（厘米）60×4/12＝20（厘米）60×5/12＝25（厘米）

答：三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。例3

從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數的1/2，二兒子分總數的1/3，三兒子分總數的1/9，并規定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。解

如果用總數乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到 1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2 9＋6＋2＝1717×9/17＝9 17×6/17＝617×2/17＝2 答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。例4

某工廠第一、二、三車間人數之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？ 解

80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）答：三個車間一共820人。

18、百分數問題 【含義】

百分數是表示一個數是另一個數的百分之幾的數。百分數是一種特殊的分數。分數常?？梢酝ǚ?、約分，而百分數則無需；分數既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分數只能表示“率”；分數的分子、分母必須是自然數，而百分數的分子可以是小數；百分數有一個專門的記號“%”。

在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。

【數量關系】

掌握“百分數”、“標準量”“比較量”三者之間的數量關系： 百分數＝比較量÷標準量 標準量＝比較量÷百分數 【解題思路和方法】 一般有三種基本類型：

（1）求一個數是另一個數的百分之幾；（2）已知一個數，求它的百分之幾是多少；（3）已知一個數的百分之幾是多少，求這個數。例1

倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？ 解

（1）用去的占720÷（720＋6480）＝10%（2）剩下的占6480÷（720＋6480）＝90% 答：用去了10%，剩下90%。例2

紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數比女職工少百分之幾？ 解

本題中女職工人數為標準量，男職工比女職工少的人數是比較量所以（525－420）÷525＝0.2＝20% 或者1－420÷525＝0.2＝20% 答：男職工人數比女職工少20%。例3

紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數多百分之幾？ 解

本題中以男職工人數為標準量，女職工比男職工多的人數為比較量，因此（525－420）÷420＝0.25＝25% 或者525÷420－1＝0.25＝25% 答：女職工人數比男職工多25%。例4

紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數的百分之幾？ 解

（1）男職工占420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%（2）女職工占525÷（420＋525）＝0.556＝55.6% 答：男職工占全廠職工總數的44.4%，女職工占55.6%。

19、“牛吃草”問題 【含義】

“牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素?！緮盗筷P系】

草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數 【解題思路和方法】

解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。例1

一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？ 解

草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5天內的草總量要5天吃完的話，得有多少頭牛？設每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：（1）求草每天的生長量

因為，一方面20天內的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天內的草總量又等于原有草量加上20天內的生長量，所以 1×10×20＝原有草量＋20天內生長量 同理1×15×10＝原有草量＋10天內生長量 由此可知（20－10）天內草的生長量為 1×10×20－1×15×10＝50 因此，草每天的生長量為50÷（20－10）＝5（2）求原有草量

原有草量＝10天內總草量－10內生長量＝1×15×10－5×10＝100（3）求5天內草總量

5天內草總量＝原有草量＋5天內生長量＝100＋5×5＝125（4）求多少頭牛5天吃完草

因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。因此5天吃完草需要牛的頭數125÷5＝25（頭）答：需要5頭牛5天可以把草吃完。例2

一只船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內，發現漏洞時已經進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘 水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？ 解

這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數（相當于“牛數”），求時間。設每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：（1）求每小時進水量

因為，3小時內的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時進水量 10小時內的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時進水量 所以，（10－3）小時內的進水量為1×5×10－1×12×3＝14 因此，每小時的進水量為14÷（10－3）＝2（2）求淘水前原有水量

原有水量＝1×12×3－3小時進水量＝36－2×3＝30（3）求17人幾小時淘完

17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時間是 30÷（17－2）＝2（小時）答：17人2小時可以淘完水。

20、雞兔同籠問題 【含義】

這是古典的算術問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。【數量關系】 第一雞兔同籠問題： 假設全都是雞，則有

兔數＝（實際腳數－2×雞兔總數）÷（4－2）假設全都是兔，則有

雞數＝（4×雞兔總數－實際腳數）÷（4－2）第二雞兔同籠問題： 假設全都是雞，則有

兔數＝（2×雞兔總數－雞與兔腳之差）÷（4＋2）假設全都是兔，則有

雞數＝（4×雞兔總數＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）【解題思路和方法】 解答此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然后以兔換雞；如果先假設都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題得到解決。例1

長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數數頭有三十五，腳數共有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞？ 解

假設35只全為兔，則

雞數＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）兔數＝35－23＝12（只）也可以先假設35只全為雞，則

兔數＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）雞數＝35－12＝23（只）答：有雞23只，有兔12只。例2

2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？ 解

此題實際上是改頭換面的“雞兔同籠”問題?！懊慨€菠菜施肥（1÷2）千克”與“每只雞有兩個腳”相對應，“每畝白菜施肥（3÷5）千克”與“每只兔有4只腳”相對應，“16畝”與“雞兔總數”相對應，“9千克”與“雞兔總腳數”相對應。假設16畝全都是菠菜，則有

白菜畝數＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（畝）答：白菜地有10畝。例3 李老師用69元給學校買作業本和日記本共45本，作業本每本3.20元，日記本每本0.70元。問作業本和日記本各買了多少本？ 解

此題可以變通為“雞兔同籠”問題。假設45本全都是日記本，則有 作業本數＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）日記本數＝45－15＝30（本）答：作業本有15本，日記本有30本。例4

（第二雞兔同籠問題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？ 解

假設100只全都是雞，則有

兔數＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）雞數＝100－20＝80（只）答：有雞80只，有兔20只。例5

有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人？ 解

假設全為大和尚，則共吃饃（3×100）個，比實際多吃（3×100－100）個，這是因為把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總數100不變的情況下，以“小”換“大”，一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃（3－1/3）個。因此，共有小和尚

（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）共有大和尚100－75＝25（人）答：共有大和尚25人，有小和尚75人。

21、方陣問題 【含義】

將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據已知條件求總人數或總物數，這類問題就叫做方陣問題?！緮盗筷P系】

（1）方陣每邊人數與四周人數的關系： 四周人數＝（每邊人數－1）×4 每邊人數＝四周人數÷4＋1（2）方陣總人數的求法：

實心方陣：總人數＝每邊人數×每邊人數

空心方陣：總人數＝（外邊人數）?－（內邊人數）? 內邊人數＝外邊人數－層數×2（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則： 總人數＝（每邊人數－層數）×層數×4 【解題思路和方法】

方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據具體情況確定。例1

在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學一共有多少人？ 解

22×22＝484（人）

答：參加體操表演的同學一共有484人。例2

有一個3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數。解

10－（10－3×2）? ＝84（人）答：全方陣84人。例3

有一隊學生，排成一個中空方陣，最外層人數是52人，最內層人數是28人，這隊學生共多少人？ 解

（1）中空方陣外層每邊人數＝52÷4＋1＝14（人）（2）中空方陣內層每邊人數＝28÷4－1＝6（人）（3）中空方陣的總人數＝14×14－6×6＝160（人）答：這隊學生共160人。例4

一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩個方向各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個？ 解

（1）縱橫方向各增加一層所需棋子數＝4＋9＝13（只）

（2）縱橫增加一層后正方形每邊棋子數＝（13＋1）÷2＝7（只）（3）原有棋子數＝7×7－9＝40（只）答：棋子有40只。例5

有一個三角形樹林，頂點上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？ 解

第一種方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）第二種方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）答：這個三角形樹林一共有15棵樹。

21、方陣問題 【含義】

將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據已知條件求總人數或總物數，這類問題就叫做方陣問題?！緮盗筷P系】

（1）方陣每邊人數與四周人數的關系： 四周人數＝（每邊人數－1）×4 每邊人數＝四周人數÷4＋1（2）方陣總人數的求法：

實心方陣：總人數＝每邊人數×每邊人數

空心方陣：總人數＝（外邊人數）?－（內邊人數）? 內邊人數＝外邊人數－層數×2（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則： 總人數＝（每邊人數－層數）×層數×4 【解題思路和方法】

方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據具體情況確定。例1

在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學一共有多少人？ 解

22×22＝484（人）

答：參加體操表演的同學一共有484人。例2

有一個3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數。解

10－（10－3×2）? ＝84（人）答：全方陣84人。例3

有一隊學生，排成一個中空方陣，最外層人數是52人，最內層人數是28人，這隊學生共多少人？ 解

（1）中空方陣外層每邊人數＝52÷4＋1＝14（人）（2）中空方陣內層每邊人數＝28÷4－1＝6（人）（3）中空方陣的總人數＝14×14－6×6＝160（人）答：這隊學生共160人。例4

一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩個方向各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個？ 解

（1）縱橫方向各增加一層所需棋子數＝4＋9＝13（只）

（2）縱橫增加一層后正方形每邊棋子數＝（13＋1）÷2＝7（只）（3）原有棋子數＝7×7－9＝40（只）答：棋子有40只。例5

有一個三角形樹林，頂點上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？ 解

第一種方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）第二種方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）答：這個三角形樹林一共有15棵樹。

第三篇：典型應用題歸類復習(分數百分數)

典型應用題歸類復習（分數、百分數問題）

一、求分率和百分率(求一個數是另一個數的幾分之幾或百分之幾)。

確定單位“1”是解決這類題的關鍵。由于分率、百分率是兩個同類量相除得到的，所以在相除時，誰是除數，誰就是標準量(單位“1”的量)。例如:甲是乙的，乙就是單位“1”的量；

乙比甲多15%，甲是被比的量，甲就是單位“1”；

今年比去年降低百分之幾，去年是被比的量，去年是單位“1”。

因這單位“1”是隨著分率、百分率產生的，應在有分率、百分率的句子中或問句中去找單位“1”。

二、求一個數的幾分之幾或百分之幾是多少。

這類題的特征是：已知單位“1”的量和分率，求與分率對應的實際數量。關鍵是準確判斷單位“1”的量，找準問題所對應的分率，正確列式：

單位“1”的量×分率(百分率)=分率(百分率)對應的部分量

三、已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數。

這類題的特征是：已知一個實際數量和它相對應的分率，求單位“1”的量。用算術方法解題時，一定要找準數量與分率（百分率）間的對應關系，用除法解答。數量÷相對應的分率（百分率）=單位“1”的量

用方程解題時，一般要設單位“1”的量為未知數X，可用乘法解題思考方法，單位“1”的量×分率(百分率)=分率(百分率)對應的部分量，還可以根據題目中的等量關系來解答。

四、解答分數、百分數乘、除法應用題的方法和技巧： 以上三類題反映的是同一組數量關系，即：

①單位“1”的量×分率(百分率)=分率(百分率)對應的部分量 ②數量÷相對應的分率（百分率）=單位“1”的量； ③分率對應的量÷單位“1”的量=分率 解答這三類題時，要做到：(1)準確確定單位“1”。

(2)找準單位“1”、分率（百分率）、實際數量三者之間的對應關系。

A、若單位“1”的量是已知的，求的是單位“1”的幾分之幾是多少，則用乘法計算； 單位“1”的量×分率＝分率對應的部分量，即乘以誰的分率，得到的就是誰的分量。求誰的分量，就是乘誰的分率。

B、單位“1”的量是未知的，已知單位“1”的幾分之幾和這個幾分之所對應的部分量，則用除法計算；部分量÷分率＝單位“1”的量，即已知量是誰的，就要除以誰的分率。C、求一個量占單位“1”的幾分之幾，則用這個量除以單位“1”的量。通過分析單位“1”的量是“已知”還是“未知”上，來確定是用乘法還是除法。

(3)對于所需用分率沒有直接給出的題目，要由此及彼地進行聯想，找到所需要分率。

年終促銷，王阿姨買的上衣是原價的八折，買的褲子是原價的六折，總共花了150元，平均便宜了25％，上衣原價是多少元？

商店同時賣出兩臺不同型號的洗衣機，每臺都賣了2400元。其中一臺比進價高20％，另一臺比進價低20％，總的來看商店賣出這兩臺洗衣機是賺錢還是賠錢？你是怎樣想的？

第四篇：小學數學應用題歸類小結

小學數學應用題歸類小結

一、簡單應用題（一步）

二、復合應用題

（一）兩步解答的復合應用題（1）加、減復合應用題（2）乘、除復合應用題

（3）乘、加（減）復合應用題（4）除、加（減）復合應用題

（二）三步解答的復合應用題

（三）多步解答的復合應用題

三、典型應用題

（一）求平均數問題

（二）歸一問題

（三）行程問題

（四）其他

簡單應用題

1、求總數

1-7

2、求剩余

8-14

3、求兩數相差多少

15-21

4、求比一個數多幾的數

22-26

5、求比一個數少幾的數

27-31

6、求幾個相同加數的和

32-39

7、把一個數平均分成幾份

40-44

8、求一個數包含幾個另一個數

45-49 9、10求一個數的幾倍

50-52

10、求一個數是另一個數的幾倍

53-55

11、求一倍數

56-58 兩步應用題 加、減復合題

1、求總數、求總數1、2

2、求剩余、求剩余9、10、11

3、求兩數相差多少、求兩數相差多少

4、求比－多、求比－多3、4

5、求比－少、求比－少12、13

6、求總數、求剩余

18--31

7、求總數、求兩數相差多少24、25

8、求總數、求比－多

5--8

9、求總數、求比－少22、23、32、36

10、求剩余、求兩數相差多少14、15、17

11、求剩余、求比－多28、34、35

12、求剩余、求比－少

13、求兩數相差多少、求比－多

14、求兩數相差多少、求比－少

15、求比－多、求比－少26、27、33 '乘、除復合題

1、求幾個相同加數的和、求幾個相同加數的和

1--4

2、等分除法、等分除法

9--10

3、包含除法、包含除法

4、求一個數的幾倍、求一個數的幾倍

5--6

5、求一個數是另一個數的幾倍、求一個數是另一個數的幾倍

6、求一倍數、求一倍數

7、求幾個相同加數的和、等分除法18、19、31、32、8、求幾個相同加數的和、包含除法

20—

24、33

9、求幾個相同加數的和、求一個數的幾倍7、8

10、求幾個相同加數的和、求一倍數26、34

11、求幾個相同加數的和、求一個數是另一個數的幾倍

12、等分除法、包含除法16、17

13、等分除法、求一個數的幾倍

14、等分除法、求一個數是另一個數的幾倍14、15

15、等分除法、求一倍數

16、包含除法、求一個數的幾倍27、35

17、包含除法、求一個數是另一個數的幾倍

18、包含除法、求一倍數

19、求一個數的幾倍、求一個數是另一個數的幾倍

20、求一個數的幾倍、求一倍數29、36

21、求一個數是另一個數的幾倍、求一倍數 '乘加（減）復合題

1、求幾個相同加數的和、求總數

1—4 10--12

2、求幾個相同加數的和、求剩余17、18、27

3、求幾個相同加數的和、求兩數相差多少19、20、21、28

4、求幾個相同加數的和、求比－多7、16

5、求幾個相同加數的和、求比－少22、29

6、求一個數的幾倍、求總數5、6、15

7、求一個數的幾倍、求剩余

8、求一個數的幾倍、求兩數相差多少23、24

9、求一個數的幾倍、求比－多8、9、13、14

10、求一個數的幾倍、求比－少26、30 '除、加（減）復合題

1、等分除法、求總數1、6、7

2、等分除法、求剩余16、17、26、27

3、等分除法、求兩數相差多少18、19、20、28、29

4、等分除法、求比－多2、3、8

5、等分除法、求比－少21、30、31

6、包含除法、求總數9、10

7、包含除法、求剩余22、32

8、包含除法、求兩數相差多少

9、包含除法、求比－多

10、包含除法、求比－少33、34

11、求一個數是另一個數的幾倍、求總數

12、求一個數是另一個數的幾倍、求剩余

13、求一個數是另一個數的幾倍、求兩數相差多少

14、求一個數是另一個數的幾倍、求比－多

15、求一個數是另一個數的幾倍、求比－少

16、求一倍數、求總數4、13

17、求一倍數、求剩余24、37

18、求一倍數、求兩數相差多少

19、求一倍數、求比－多5、14、15 20、求一倍數、求比－少

三步復合應用題

1、三步以上復合應用題

2、典型應用題（求平均數問題）

3、典型應用題（歸一問題）

4、典型應用題（行程問題）

5、典型應用題（其他）

一、簡單應用題（一步）

1、求總數

1-7

1、小明有8支鉛筆，小華有4支筆，兩人一共有幾支鉛筆？

2、小光在地里捉蟲子。上午捉了8條，下午捉了12條，全天捉了多少條？

3、教室前面種了兩行花。第一行15棵，第二行10棵，教室前面種了多少棵花？

4、一年級原有42個同學，又來了3個，現在有多少個同學？

5、從飛機場飛走5架直升飛機，還剩17架。機場原有多少架直升飛機？

6、永紅小學有2排房子，一排有4個教室，另一批有5個教室。永紅小學有幾個教室？

7、張老師，王老師和同學40個人一起去看電影。老師和同學一共去了多少人？

2、求剩余

8-14

8、學校有11個皮球，借走了9個，還剩幾個？

9、橋西小學一年級有42人，男同學有20人，女同學有多少人？

10、一本故事書有37頁，小軍讀了6頁，還有多少頁沒有讀？

11、向陽小學要種65棵樹，第一天種了30棵，還要種幾棵？

3、求兩數相差多少

15-21

15、有12只白兔，7只黑兔，白兔比黑兔多幾只？

16、媽媽買回大米8千克，面條5千克，面條比大米少多少千克？

17、小明和小光量體重，小明的體重是39千克，小光的體重是43千克。小光比小明重多少千克？

18、一件棉襖45元，一條棉褲37元。一件棉襖比一條棉褲貴多少元？

19、小圖書室原有圖書240本，現在有圖書400本。增加了多少本？）

20、四年級同學拾柴210千克，三年級同學拾柴201千克。三年級再拾多少就和四年級同學拾的一樣多？

21、小明今年5歲，姐姐今年8歲，過10年以后，他們兩人相差幾歲？

4、求比一個數多幾的數

22-26

22、黃花有5朵，紅花比黃花多3朵，紅花有幾朵？

23、一個工廠的廠房有12米高，煙囪比廠房高20米。煙囪有多少米高？

24、筐重2千克，筐里的菠菜比筐重28千克。菠菜是多少千克？

25、甲管長8米，乙管比甲管長5米。乙管長多少米？

26、大生摘了28條黃瓜，比小明摘6條，小明摘了多少條？

5、求比一個數少幾的數

27-31

27、學校買紅黑水8瓶，買的蘭黑水比紅黑水少3瓶。買蘭黑水多少瓶？

28、停車場上大汽車比小汔車少5輛，小汽車20輛。大汽車有幾輛？

29、哥哥今年15歲，弟弟比哥哥小6歲。弟弟今年幾歲？

30、小軍的體重是26千克，小方比小軍輕2千克。小方的體重是多少千克？

31、小麗有45張郵票，比小紅多15張。小紅有多少張？

6、求幾個相同加數的和

32-39

32、一輛小汽車有4個輪子，6輛小汽車一共有多少個輪子？

33、蘭蘭家養了5只兔子，一天每只兔子要吃2斤青菜。一共要吃多少斤青菜？

34、一本書，每天讀6頁，一個星期讀完。這本書有幾頁？

35、解放軍叔叔練兵，站成6行，每行8個人。一共是多少人？

36、稱一堆桔子，每次稱5千克，剛好稱6次。這堆梧子是多少？

37、6只羽毛球裝一簡，多少只羽毛球裝7簡？

38、一瓶能裝6杯桔汁，一桶能裝4瓶桔汗。一桶能裝多少杯桔汁？

39、小明種了5棵花，小華、小紅3人都和小明種的同樣多。他們一共種了多少棵花？

7、把一個數平均分成幾份

40-44 40、15只皮球，平均分給3個班。每班分得幾只？

41、有18個同學參加撥河比賽，男同學和女同學的人數，同樣多女同學有多少人？

42、小英5天讀完一本40頁的書，他平均每天讀幾頁？

43、把20張畫片平均佃給小紅和他的4個同學。每個同學分得幾張？

44、小明、小芳、小玲到新華書店去，各人買了同樣的書，一共18本。每人買了多少？

8、求一個數包含幾個另一個數

45-49 45、24個同學做旗子游戲，每班分給3把，夠分給幾個班？

46、學校里有15把掃帚，每班分給3把，夠分給幾個班？

47、一個花瓶插花6朵，24朵花可以插幾個花瓶？

48、少先隊員做了30件玩具，每人做5件，做玩具的有幾人？

49、每2根筷子叫一雙，小剛家請客用16根筷子，請了幾個客人？

9、10求一個數的幾倍

50-52 50、某車間有女工28人，男工人數是女工的4倍。男工有多少人？

51、一個皮球的價錢是2元，一個小足球的價錢是皮球的9倍。一個小足球的價錢是多少元？

52、媽媽分給小明8塊糖，剩下的分給小英。小明得的正好是小英的一半，分給小英幾塊糖？

10、求一個數是另一個數的幾倍

53-55

53、小明今年9歲，爸爸今年45。爸爸的年齡是小玲的幾倍？

54、動物園里有6只大熊貓，2只小熊貓。大熊貓的只數是小熊貓的幾倍？

55、3個同學做紙花。做了24朵紅花，6朵黃花。紅花是黃花的幾倍？

11、求一倍數

56-58

56、飼養小組有母雞12只，恰好是公雞的3倍，公雞有幾只？

57、圖書館買來40本故事書，是科技書的5倍，科技書幾本？

58、一袋核桃的重量是一袋紅棗的2倍。這袋核桃重8千克，這袋核桃重多少千克？ 兩步應用題 加、減復合題

1、求總數、求總數1、2 1.學校里原有7棵梨樹，12棵杏樹，又栽了15棵桃樹?，F在有多少棵果樹？

2．商店有一批毛巾，一月份賣出187條，二月份賣出169條，還剩216條。商店原來一共有毛巾多少條？

2、求剩余、求剩余9、10、11 9.小小圖書室有圖書85本，其中，有連環畫25本，畫報有15本，剩下的是故事書。故事書有多少本？

85－25－15＝45（本）

10.河邊有24只鴨，先游走7只，又游走9只，還剩多少只？

24－7－9＝8（只）11.一筐蘋果，邊筐共重57千克，賣出40千克，還剩15千克?？鹬囟嗌偾Э?？

57－40－15＝2（千克）

21.媽媽給小青買了一雙價值4元的鞋和一雙價值2元的襪子，給了售貨員10元，應找給媽媽多少錢？

10-（4+2）＝4（元）

26.三個同學比賽跳繩。小鋒跳了50下，小海比小鋒多跳了5下，小冬比小海少跳8下。小冬跳了多少下？

50＋5－8＝47（下）

3、求兩數相差多少、求兩數相差多少

4、求比－多、求比－多3、4 3.小紅在期中考試中，語文得了81分，政治比語文多5分，數學比政治又多6分，數學得多少分？ 4.小明今年7歲，比哥哥小五歲，媽媽比哥哥大26歲。媽媽今年幾歲？

5、求比－少、求比－少12、13 12.食堂一月份吃大米45袋，二月份比一月份少吃3袋，三月份比二月份少吃2袋。三月份吃大米多少袋？

45-3-2＝40（袋）

13.爸爸比媽媽大4歲，爺爺比爸爸大30歲。爺爺今年64歲。媽媽今年幾歲？

64-30-4＝30（歲）

6、求總數、求剩余

18—31 18.同學們做了16只紅風車，20只花風車。送給幼兒園18只，還剩多少只？

16+20-18＝18（只）

19.停車場上原有汽車25輛，又開來了7輛，后來開走12輛。停車場上還有汽車多少輛？

25＋7－12＝20（輛）

20.小商店有鹽32袋，昨日賣出11袋，今天賣出14袋，還有多少袋？

32-（11+4）＝7（袋）

27.第一個金魚缸內有金魚85條，比第二個金魚缸內的金魚少28條，第二缸又比第三缸多16條。第三缸有

金魚多少條？

85+28-16＝97（條）

28.洗衣機上月計劃生產洗衣機480臺，結果比原計劃多生產了40臺。已知上半月生產了250臺，下半月生產了多少臺？

480＋40－250＝270（臺）

29.食堂買來60棵白菜，吃了56棵，又買來30棵，現在有多少棵？

60-56+30＝（棵）30.一輛公共汽車上有乘客36人，到新街站下去8人，又上來12人。這是有乘客多少人？

36-8+12＝20（人）

31.工廠印日歷，原計劃第一、第二天各印300本，實際上第一天只印了250本。去掉次品8本，第二天按計劃完成任務。實際上兩天里印好多少本？

250-8+300＝542（本）

7、求總數、求兩數相差多少24、25 24.老師和同學打掃衛生，其中男同學15人，女同學12人，老師7人。同學比老師多幾人？

15+12-7＝20（人）

25.大新和秋生拍皮球。大新第一次拍了38下，第二次拍了27下。秋生第一次拍了42下，第二次再派多少下就跟大新拍的總數同樣多？

38+27-42＝23（下）

8、求總數、求比－多

5—8 5.一些小孩和大人在游泳，其中有男孩20人，女孩10人，大人比小孩多25人。大人有多少人？

6.收購站收購廢鋼鐵。第一天上年收購108千克，下午收購103千克。第二天比第一天多收購46千克，第二天收購多少千克？

7.飼養小組養10只黑兔，養的白兔比黑兔多6只。一共養多少只兔？

10＋10＋6＝26（只）

8.李莊小學今年栽樹96棵，比去年少栽28棵，兩年一共栽樹多少棵？

96＋28＋96＝220（棵）

9、求總數、求比－少22、23、32、36 22.一只羊重30千克，另一只羊重25千克，一頭豬的重量比這兩只羊的總重量輕8千克。這頭豬重多少千克？

30＋25－8＝47（千克）

23.同學們修補圖書，三年級修補了34本，四年級修補了47本，三、四年級比五年級多修補了12本。五年級修不了多少本？

34+27-12＝49（本）

32.校園里有12棵柳樹，楊樹比柳樹少3棵，楊樹和柳樹一共有多少棵？

12＋12－3＝21（棵）

36.一個糧食加工廠第一天碾大米156袋，第二天如果再加工36袋就跟第一天同樣多。兩天一共碾米多袋？

156+（156-36）＝276（袋）

10、求剩余、求兩數相差多少14、15、17

14.人民商場上個月賣出電視機42臺，上半月賣出18臺，下半月比上半月多賣幾臺？

42－18－18＝4（臺）

15.水果點運來梨和蘋果共85筐，其中蘋果是35筐，運來的蘋果比梨少幾筐？

85-35-35＝15（筐）

11、求剩余、求比－多28、34、35

34.圖書室里有故事書145冊，借出85冊后比科技數少20冊。科技書有多少冊？

145-85+20＝80（冊）

35.有一瓶麻油和一瓶菜油，菜油重750克，倒出100克麻油和350克菜油后兩瓶的重量相等。麻油原來有少克？

750-350+100＝500（克）

12、求剩余、求比－少16.金魚缸內有紅金魚85條，取出28條后比花金魚還多16條。花金魚有多少條？

85-28-16＝41（條）

13、求兩數相差多少、求比－多

14、求兩數相差多少、求比－少

15、求比－多、求比－少26、27、33 26.三個同學比賽跳繩。小鋒跳了50下，小海比小鋒多跳了5下，小冬比小海少跳8下。小冬跳了多少下？

50＋5－8＝47（下）

27.第一個金魚缸內有金魚85條，比第二個金魚缸內的金魚少28條，第二缸又比第三缸多16條。第三缸有金魚多少條？

85+28-16＝97（條）

33.小青家養雞35只。養的鴨比雞少20只，養的鵝比鴨多3只，養鵝多少只？

35－20＋3＝18（只）'乘、除復合題

1、求幾個相同加數的和、求幾個相同加數的和

1—4 1.一個書架有5層，每層放150本，4個書架一共放多少本？

150×5×4＝3000（本）

2.百貨商店運來8包尼龍手套，每套100雙。如果每雙售價3元，這些手套一共售多少元？

3×10×8＝240（元）

3.學校舉行廣播操表演，三、四、五、六年級各有4個班，每班選16人參加。參加表演的一共有多少人？

16×3×4＝192（人）

4.某農戶養牛3頭，每頭每天要吃12千克草，一個月（30天）一共吃草多少 千克？

12×3×30＝1080（千克）

2、等分除法、等分除法

9—10 9.奶牛場有5個牛棚，每個牛棚有12頭奶牛，一天喂1200千克飼料，平均每天喂多少飼料？

1200÷5÷12＝20（千克）

10.商店運到124箱肥皂，第一天賣出一半，第二天賣出剩下的一半。商店里還剩幾箱肥皂？

124÷2÷2＝34（箱）

11.電池廠生產了7200節電池，每12節裝一盒，每六盒裝一箱。一共可以裝多少箱？

7200÷12÷6=60（箱）

12.蔬菜商店運來白菜24筐，是蒜苗的3倍，蒜苗是辣椒的4倍。蔬菜商店運來辣椒多少筐？

24÷3÷4＝2（筐）

3、包含除法、包含除法

4、求一個數的幾倍、求一個數的幾倍

5—6 5.人步行每小時4千米，自行車的速度是步行的3倍，摩托車的速度是自行車的4倍。摩托車每小時行多少米？

4×3×4＝48（千米）

6.孫爺爺的年齡是王叔叔的2倍。王叔叔的年齡是李大哥的2倍。李大哥比王叔叔小15歲。孫爺爺今年多少歲？

15×2×2＝16（歲）

5、求一個數是另一個數的幾倍、求一個數是另一個數的幾倍

6、求一倍數、求一倍數

7、求幾個相同加數的和、等分除法18、19、31、32、18.方師傅給食堂運菜。如果用小推車每次運75千克，8次能運完。如果改用平板車運，4次就能運完。平板車每次能運多少千克？

75×8÷4＝150（千克）

19.兩個編草帽小組，第一組每天編45頂，第一組6天編的數量，第二組五天可以完成。第二組平均每天編多少頂？

45×6÷5＝54（頂）

8、求幾個相同加數的和、包含除法

20—

24、33 20.賓館來了一批旅客。每間住4人，需要6間房。如果每間住3人，需要幾間房？

4×6÷3＝8（間）

21.圖書管理員搬運一批圖書，每次搬15本，搬了12次正好搬了這批圖書的一半，剩下的書每次搬20本，還要幾次才能搬完？

15×12÷20＝9（次）

22.一個工廠原來造一臺機器要用144小時，改進技術后，只用96小時。原來造50臺機器的時間，現在可以造多少臺？

144×50÷96＝75（臺）

23.兩個小組制造同樣多的零件，第一組每天制造340個，6天完成，第二組每天制造408個，要幾天完成？

340×6÷408＝5（天）

24.食堂運來60袋面粉，每袋25千克，每天吃50千克，這些面粉可以吃多少天？

25×60÷50＝30（天）

33．玩具廠一天生產240輛坦克，每6輛裝一箱。這個廠一星期要生產這種玩具多少箱？

240÷6×7＝280（箱）

9、求幾個相同加數的和、求一個數的幾倍7、8 7.文具店賣出7盒鋼筆，每盒10支。賣出的鉛筆是鋼筆的6倍，賣出鉛筆多少支？

10×7×6＝420（支）

8.把5籃水果送給幼兒園的小朋友，每籃中有蘋果4只，桔子是蘋果的3倍。送給幼兒園小朋友的桔子是多少只？

4×3×5＝60（只）

10、求幾個相同加數的和、求一倍數26、34 26.三年級有3個班，平均每班有女同學24人，三年級女同學人數恰好是二年級女同學人數的2倍。二年級有女同學多少人？

24×3÷2＝36（人）

34．一支鋼筆的價錢是8元，是一支圓珠筆價錢的4倍。5支這樣的圓珠筆多少錢？

8÷4×5＝10（元）

11、求幾個相同加數的和、求一個數是另一個數的幾倍

12、等分除法、包含除法16、17 16.學校買回48個乒乓球，每六個裝一盒，把這些平均分給四個班，每班可分幾盒？

48÷6÷4＝2（盒）17．學校買來100米布，先剪下8米做了4套校服，照這樣計算，這些布一共可以做多少套校服？

100÷（8÷4）＝75（套）

13、等分除法、求一個數的幾倍

14、等分除法、求一個數是另一個數的幾倍14、15 14.一架飛機4小時飛2800千米，一輛汽車每小時行35千米。飛機的速度的幾倍？

2800÷4÷35＝20 15.拖拉機每天耕地105公畝，牛拉犁5天耕地35公畝。拖拉機一天耕的地是牛拉的幾倍？

105÷（35÷）＝15

15、等分除法、求一倍數

16、包含除法、求一個數的幾倍27、35 27.果園里收蘋果500千克，收的桔子是蘋果的3倍，把這些桔子每50千克裝一袋運往罐頭廠。一共可以裝幾袋？

500×3÷50＝30（袋）

35．慶祝國慶節，學校買了18米紅綢作彩旗，每9分米紅綢可做一面紅旗。另外還買了許多黃旗和綠旗。黃旗和綠旗的總數是紅旗的2倍。買黃旗和綠旗一共多少面？

180÷9×2＝40（面）

17、包含除法、求一個數是另一個數的幾倍

18、包含除法、求一倍數

19、求一個數的幾倍、求一個數是另一個數的幾倍

20、求一個數的幾倍、求一倍數29、36 29.一天，某菜農在菜園里摘西紅柿20千克，摘的黃瓜是西紅柿的2倍，黃瓜是辣椒的5倍。他摘了多少辣椒？

20×2÷5＝8（千克）

36．早晨，許多人在廣場上鍛煉，做健身操的240人，是舞劍人數的6倍，跳舞的人數是舞劍的人數的4倍。跳舞的人數是多少？

240÷6×4＝160（人）

21、求一個數是另一個數的幾倍、求一倍數 '乘加（減）復合題

1、求幾個相同加數的和、求總數

1—4 10—12 1.糧食加工廠加工一批大米。已裝滿48袋，每袋75千克，還有2800千克沒有裝，一共加工多少千克？

75×48＋2800＝6400（千克）

2.五年級一、二、三班每班有學生40人，四班有學生42人，五年級一共有學生多少人？

40×3＋42＝162（人）

3.小鋅家到學校相距50米。一天他上學走了20米，想起忘記帶蠟筆，就返回家拿了再到學校。這次他到學校一共走了多少米路？

20×2+50＝90（米）

4.食堂原來有大米25千克，又買來4袋，每袋75千克，食堂一共有大米多少千克？

25＋75×4＝325（千克）

10.紅星小學有6個班參加乒乓球賽，每班選3個男同學和2個女同學。參加比賽的一共有多少個同學？

（3+2）×6＝30（個）

11.百貨商店上午賣出彩電5臺，下午賣出彩電3臺，每臺售價1500元。這一天買彩電收入多少元？

1500×（3+2）＝12000（元）12.水果店運來梨和蘋果各15箱，每箱梨重30千克，每箱蘋果重25千克。梨和蘋果共運來多少千克？

（30＋25）×15＝825（千克）

2、求幾個相同加數的和、求剩余17、18、27 17.同學栽樹，一共栽4行，每行6棵。其中15棵是杏樹，剩下的是桃樹。栽了多少棵桃樹？

6×4-15＝9（棵）

18.小松買了一本故事書，有42頁。他看了3天，每天都看5頁。還有多少頁沒有看？

42-5×3＝27（頁）

27.一個工人，每天工資收入25元，家庭生活費用支出16元。這個工人一星期可積蓄多少錢？

（25-16）×7＝63（元）

3、求幾個相同加數的和、求兩數相差多少19、20、21、28 19.鉛筆每只4角錢，小冬有1元錢，要買3只，還差多少錢？4×3-10=2（角）20.同學們去看電影，一年級去了6組，每組7人。二年級去了45人，二年級比一年級多去多少人？

45-7×6＝3（人）

21.電影院樓下有座位850個。樓上的座位有9排，每排30個。.樓下的座位比樓上多多少個？

850－30×9＝580（個）

28.媽媽每月給李華零用錢8元，可是李華只用5元。這樣他一年可以節約多少錢？

（8－5）×12＝36（元）

4、求幾個相同加數的和、求比－多7、16 7.文具店運來三箱紅墨水，每箱100瓶。運來的蘭墨水比紅墨水多200瓶，運來蘭墨水多少瓶？

100×

3＋200＝500（瓶）

16.小明計劃每天寫24個字，實際上他每天多寫了六個。這樣小明一星期要寫字多少個？

（24+6）×7＝210（個）

5、求幾個相同加數的和、求比－少22、29

6、求一個數的幾倍、求總數5、6、15 5.一把椅子的價錢是70元，一張桌子的價錢 是一把椅子價錢的2倍。買一張桌子和一把椅子一共要用多少錢？

70×2＋70＝210（元）

6.校園里有楊樹8棵，柳樹是楊樹的4倍。柳樹和楊樹一共有多少棵？ 8×4＋8＝40（棵）

15.一本連環畫看了24頁，還有15頁沒看。一本故事書的頁數是這本連環畫的5倍。這本故事書有多少頁？

（27+15）×5＝210（頁）

7、求一個數的幾倍、求剩余

25.王大伯前年養豬2頭，去年養豬頭數是前年的3倍，到年底賣了4頭，還有幾頭？

2×3-4＝2（頭）

8、求一個數的幾倍、求兩數相差多少23、24 23.今年小青8歲，爸爸的年齡是他的5倍。爸爸比小青大多少歲？

8×5－6＝32（歲）

24.二十年前某農戶每人平均只有100千克糧食，改革開放后，現在每人平均收的糧食是二十年前的6倍。增加了多少千克？

100×6－100＝500（千克）

9、求一個數的幾倍、求比－多8、9、13、14 8.一個牧民養了76只山羊，養的綿羊比山羊的4倍還多16只。這個牧民養了多少只綿羊？

76×4+16＝320（只）

9.同學們種向日葵。三年級種了35棵，四年級種的是三年級的2倍，五年級比四年級多種20棵。五年級種了多少哥？

53×2＋20＝90（棵）

13.一輛汽車每小時行30千米，一列火車每小時比汽車快40千米，一架飛機每小時飛行的速度等于火車的7倍。這架飛機每小時的速度是多少千米？（30＋40）×7＝490（千米）

14.少年宮氣象小組有20人，比美術小組少6人，生物小組的人數是美術小組的2倍。生物小組 有多少人？

（20＋6）×2＝52（人）

10、求一個數的幾倍、求比－少26、30 26.一戶菜農去年收黃瓜520千克。收的西紅柿是黃瓜的3倍，收的茄子比西紅柿少260千克。收茄子多少千克？

520×3－260＝1300（千克）

30.一個制鞋廠生產男鞋1200雙，生產的女鞋比男鞋少340比，生產的童鞋的3倍。生產童鞋多少雙？（1200－340）×3＝2580（雙）'除、加（減）復合題

1、等分除法、求總數1、6、7 1.加工一批機器零件，王師傅工作8小時，每小時加工24個。李師傅工作8小時，共加工184個。兩人一小

時共加工多少個？

24＋184÷8＝47（個）

6.蔬菜公司運來13400千克白菜和9100千克蘿卜。把這些菜平均放在3個冷庫中，每個庫里安放多少千克？

（13400＋9100）÷3＝7500（千克）

7.商場上午出售電子琴12臺，下午出售電子琴8臺。上午和下午共收售忠心耿耿琴款16000元，每臺電子琴多少元？

16000÷（12＋8）＝800（元）

2、等分除法、求剩余16、17、26、27 16.兩個編竹籃小組，在25天內一共騙了1200只竹籃。鞭中一個小組每天編25只，另一個小組每天編多少？

1200÷25－25＝23（只）

17.小龍到奶奶家，如果去來都乘車要用的時間是18分。后改為去時乘車，回來步行，一共用45分。他回來步行用了多少分？

45－18÷2＝36（分）

26.菜園收二筐蔥和一筐茄子，一共重96千克，一筐茄子重42千克，一筐蔥重多少千克？

（96－42）÷2＝27（千克）27.三年級同學要給300棵樹澆水，已經澆了180棵，余下的分4個組來澆，平均每組要澆多少？

（300-180）÷4＝30（棵）

3、等分除法、求兩數相差多少18、19、20、28、29 18.一農戶種了40公畝水稻，收割以前進行估產，每公畝可以稻谷620千克，結果一共收了26000千克，平均每公畝超過估產量多少千克？

26000÷40－620＝30（千克）

19.玩具廠過去3天生產積木1800盒，現在每天生產900盒，現在比過去每天多街道多少盒？

900－1800÷3＝300（盒）

20.手工工具每小時能脫玉米粒20千克，玉米脫粒機8小時能脫炷2000千克，平均每小時比用手工工具多脫粒多少千克？

2000÷8－20＝230（千克）28.小麥地26畝，去年共產小麥1300千克。今年收小麥14560千克，今年比去年每畝增產多少千克？

（14560－13000）÷26＝60（千克）

29.學校購買桌椅，第一次買了120套，第二次買同樣的桌椅145套，第二次比第一次多付2625元。每套桌椅的價錢是多少？

2625÷（145－120）＝105（元）

4、等分除法、求比－多2、3、8 2.商店6天賣出錄音機54臺，每天賣出的收音機比每天賣出的錄音機多6臺。一天賣出收音機多少臺？

54÷6＋6＝15（臺）

3.某電器廠元月和二月共生產洗衣機1200臺，三月份比元、而月份平均產量增加50臺。三月份生產洗衣機少臺？

1200÷2＋50＝650（臺）

8.今年植樹節，學校買來柳樹80棵，買來的楊樹比柳樹多20棵，把楊樹平均分給五年級4個班去栽，每班栽多少棵？

（80+20）÷4＝25（棵）

5、等分除法、求比－少21、30、31

21.機器廠原來造4臺機器要用鋼材6000千克，改進設計后每臺機器可節省鋼材250千克，現在造一臺機器用鋼材多少千克？

6000÷4－250＝1250（千克）

30.一個編席小組，原來計劃48天編席1200床，由于改進了技術，提前8天完成任務。平均每天編多少床？

1200÷（48－8）＝30（床）

6、包含除法、求總數9、10 9.二年級

（一）班有男同學25人，女同學23人，每8人編成一組，全班可編成幾組？

（25+23）÷8＝6（組）

10.食堂運來兩車菜，第一車13筐，第二車14筐。計劃每天吃3筐，這些菜夠吃幾天？

（13+14）÷3＝9（天）

7、包含除法、求剩余22、32 22.李伯伯出差到外地去了56天，途中遇到陰雨天氣共計兩個星期，其余全是晴天。晴天有幾個星期？

56÷7-2＝6（星期）

32.買煤40噸，已經運來10噸，剩下的每次運5噸，要幾天才能運完？

（40－10）÷5＝6（次）

8、包含除法、求兩數相差多少

23.五、六年級同學做廣播操，每排站8人，五年級已站好5排，六年級來了48人排隊。六年級比五年級多幾排？

48÷8-5＝1（排）

9、包含除法、求比－多

10、包含除法、求比－少33、34

33.五年級有男生26人，比女生多2人。女同學練習舞蹈，6個人編成一組，可編成幾組？

（26－2）÷6＝4（組）

34.農機廠制造一種播種機，原來每臺要用鋼材250千克，技術革新后，每臺用的鋼材比原來減少了25千?，F有鋼材18000千克，全部制造播種機，可以制造多少臺？

18000÷（250－25）＝90（臺）

11、求一個數是另一個數的幾倍、求總數

11.甲、乙兩煤礦，甲礦存煤375噸，乙礦存的煤運走184噸后還剩2816噸。乙礦原來存的煤是甲礦的多少倍？

（2816＋184）÷375＝8

12、求一個數是另一個數的幾倍、求剩余

35.停車場上有32輛汽車。里面有在車24輛，其余是小汽車。大汽車是小汽車的幾倍？

24÷（32－24）＝3

13、求一個數是另一個數的幾倍、求兩數相差多少

14、求一個數是另一個數的幾倍、求比－多12.養豬場前年養豬80頭，比去年少20頭，今年發展到200頭。今年養豬的頭數是去年的幾倍？

200÷（80

＋20）＝2

15、求一個數是另一個數的幾倍、求比－少

36.一塊松柏樹林，有松樹90棵，柏樹比松樹少60棵，松樹是柏樹的幾倍？

90÷（90-60）＝3

16、求一倍數、求總數4、13 4.東村運來一批化肥，用卡車運了8000千克，是用大車運的4倍。一共運來化肥多少千克？

8000+8000÷4＝10000（千克）13.實驗小學有男生650人，女生550人，是東風小學學生人數的2倍。東風小學有學生多少人？

（650+550）÷2＝600（人）

17、求一倍數、求剩余24、37 24.哥哥有錢40元，是弟弟的5倍，弟弟買了一本故事書用去了3元。弟弟還有多少錢？

40÷5-3＝5（元）

37.一個車間有男工48人，調走12人后是女工人數的2倍。這個車間有女工多少人？

（48－12）÷2＝18（人）

18、求一倍數、求兩數相差多少25.一臺彩電2400元，是洗衣機的3倍，一只電飯煲價值200元。一臺洗衣機比一只電飯煲貴多少錢？

400÷3-200＝600（元）

19、求一倍數、求比－多5、14、15 5.學校開展植樹活動，五年級植樹的棵數是三年級的2倍，四年級比三年級多6 棵，已知五年級種了24棵，四年級植樹多少棵？

24÷2＋6＝18（棵）14.參觀改革開放二十年展覽會，五六年級去了345人，比四年級的2倍少3人。四年級去了多少人？

（345＋3）÷2＝174（人）

15.同學們栽樹，四年級栽了45棵，比五年級少15棵，五年級栽的樹正好是三年級的2倍。三年級栽樹多少棵？

（45+15）÷2＝30（棵）

20、求一倍數、求比－少

38.一所學校中年級有學生152人，比六年級的2倍還多10人。六年級有多少人？

（152-10）÷2＝71（人）三步復合應用題

1、三步以上復合應用題

2、典型應用題（求平均數問題）

3、典型應用題（歸一問題）

4、典型應用題（行程問題）

5、典型應用題（其他）

（三）多步解答的復合應用題

1.學校舉行作文比賽。三年級有32人參加，四年級參加的人數是三年級的2．5倍，五年級參加的人數比三、四年級參加的總數的1．5倍少35人。五年級有多少人參加？

(32+32×2.5)×1.5-35=133（人）

2.汽車附件廠要生產12900個零件。已經生產了3天，每天生產1500個，剩下的要4天完成，平均每天比以前多生產多少個？

(12900-1500×3)/4-1500=600（個）

3.李村小學師生利用課余時間給牛奶廠割飼草，計劃20天割3噸草。實際每天比原計劃多害割草0．05噸，這樣比原計劃提前幾天完成任務？

20-3/(3/20+0.05)=5（天）

4.一輛汽車給瓷器廠運瓷器100件，運到1件給運費2元，損壞1件不但不給運費，反而賠償廠方8元。結果只得運費170元，他損壞了幾件？

(2×100-170)/(2+8)=3（件）

5.服裝廠加工1000套童裝，原計劃4天完成。現在要求多做120套，同樣要求4天完成。這樣平均每天要比原來多做多少套？

(1000+120)/-1000/4=30（套）或120/4=30（套）

6.修條公路，計劃每天修35米，24天修完，實際比計劃少用4天，實際每天比計劃每天多修多少米？

35×24/(24-4)-35=7（米）7.雙溝村挖一條水渠，計劃每天挖30米，8天完成。結果每天比原計劃多挖10米，可以提前幾天完工？ 8-30×8(30+10)=2（天）

8.某服裝廠接受做800套西服的任務，開始平均每天做40套，做了7天后，剩下的在10天內完成。平均每天比原來多做多少套？

(800-40×7)/10-40=12（套）9.一輛汽車，第一天運貨6噸，第二天運的比第一天的1．2倍少0．2噸，這兩天平均每天運貨多少噸？

(6+6×1.2-0.2)/2=6.5（噸）

10.李英要看一本書共264頁，已經看了4天，平均每天看26頁，余下的每天看32頁，看完這本書共用了多少天？

4+(264-26×4)/32=9（天）

11.東方服裝廠下布料2160米，計劃做1200套兒童服裝。由于采用新技術，每套比計劃節約布料0．3米，問這批布料可以多制做多少套服裝？

2160/(2160/1200-0.3)-1200=200（套）

12.一輛汽車從甲地到乙地用了9個小時，從乙地返回甲地只用了7小時，已知返回時比去時第小時多行10千米，甲乙兩地相距多少千米？

10×7/(9-7)=315（千米）

13.平整一塊土地，原計劃12天完成，實際每天整2．4公畝，結果比原計劃提前2天完成，實際比原計劃每天多平整多少公畝？

2.4-2.4×(12-2)/12=0.4（公畝）

14.甲乙兩地相距400千米，一輛汽車從甲地開往乙地，以每小時45千米的速度行駛了6小時后，要求汽車在2小時內到達乙地，那么汽車平均每小時至少比原來速度加快多少千米？

(400-45×6)/2-45=20（千米）15．一輛小汽車和一輛卡車，同時從Ａ地開往相距300千米的Ｂ地，當小汽車到達Ｂ地時，卡車距Ｂ地還有45．6千米。已知小汽車每小時行62． 5千米，求卡車比小汽車慢多少千米？

62.5-(300-45.6)/(300/62.5)=9.5（千米）

16.一輛小汽車和一輛摩托車同時從甲城開往相距374．4千米的乙城，當摩托車到達乙城時，小汽車離乙城還有49．92千米。小汽車第小時行62． 4千米，摩托車比小汽車每小時快多少千米？

374.4/[(374.4-49.92)/62.4]-62.4=9.6（千米）

17.一個綠化隊接受了為一塊場地鋪草坪的任務，在責任制以前每天只鋪25平方米，實行責任制后，每天比原來多鋪5平方米。因此鋪鋪這塊場地的草坪可以提前4天完成任務，這塊場地有多少平方米？

(25+5)×(25×4/5)=600（平方米）

18.副食店上午賣出雞蛋12箱，下午賣出9箱，每箱雞蛋重量相等。每千克雞蛋售價3．8元，下午比上午少賣570元，下午賣出雞蛋多少千克？

570/(12-9)/3.8×9=450（克）

9.某工廠計劃全年生產相機480架，實際提前3個月完成全年計劃的1．2倍。照這樣計劃，這個廠全年可生產相機多少架？

480×1.2/(12-3)×12=768（架）

20.包裝一批機器零件，小木箱每箱裝30個，大木箱比小木箱多裝20個。用大木箱裝比用小木箱裝可少用4個木箱。問這批機器零件共有多少個？

30×[(30+20)×4/20]=300（個）

21.軍民合修一條312千米長的公路，原計劃48天完成，實際提前8天完成，每天比原計劃多修多少米？ 312/(48-8)-312/8=1.3（千米）

22.某中學買5個籃球和11個足球，共付306．3元。已知每個足球的售價是15．3元，每個籃球比每個足球貴多少元？

(306.3-15.3×11)/5-15.3=12.3（元）

23.某廠制造一臺機床用鋼材1．2噸，比原來節約鋼材240千克，原來制造50臺機床所用的鋼材，現在可以多制造多少臺機床？

(1.2+0.24)×90/1.2-90=18（臺）

24.自行車廠計劃每月生產自行車1040輛，實際8個月的產量比全年的計劃產量還多960輛。實際每月比計劃每月增產多少輛？

(1040×12+960)/8-1040=640（輛）

25.百貨商店第一天賣出書包56個，第二天賣出同樣的書包120個。第二天比第一天多收入576元，兩天賣出的書包共收入多少元？

576/(120-56)×(120+56)=1584（元）

26.兩個筑路隊要鋪一段長95．3千米的鐵路枕木。一隊每天鋪5．4千米，二隊每天鋪6．1千米。一隊先工作7天，余下的兩隊合鋪，還需要多少天完成 ？

(95.3-5.4×7)/(5.4+6.1)=5（天）

27.興華廠生產一批白糖，計劃每天生產175．5噸，21天可以完成任務，實際每天比原計劃多生產70．2噸，實際比原計劃提前幾天完成？

21-175.5×21/(175.5+70.2)=6（天）

28.有18個人合影照相，價格是3張6元，另外加洗每張0．5元，每人需要一張各付多少錢？

[6+0.5×(18-3)]/18=0.75（元）

29.用10只大船和15只小船運重128噸的貨物一批，每只小船比大船少載重1．9噸，求每只大小船各載重多少噸？

(128-1.9×10)/(10+15)=4.36（噸）......小船

4.36+1.9=6.26（噸）..................大船

30.五、六年級共有學生220人，選出相同的人數參加合唱隊，結果五年級有40人沒選上，六年級60人沒選上。五六年級各有學生多少人？

(220-40-60)/2+40=95（人）......五年級

220-95=125（人）...............六年級

31.筑路工人上午工作4小時，下午用同樣的速度工作2．5小時。上午比下午多筑路300米，這一天他們共

筑路多少米？

300/(4-2.5)×(4+2.5)=1300（米）

32.發電廠有煤420噸，計劃燒30天。用新技術后，可以多澆5天。平均每天比原計劃節約煤多少噸？

420/30-410/(30+5)=2（噸）

33.兩隊合挖一條第1680米的水渠，甲隊每天挖80米，乙隊每天挖的比甲隊的2倍少30米，多少天可以把這條水渠挖好？

1680/[80+(80×2-30)]=8（天）

35.某港口原計劃全年裝運貨物600萬噸，實際第一個月就比計劃我裝運了10萬噸，照這樣計算可提前幾個月完成全年的任務

12-600/(600/12+10)=2（月）

36.王師傅計劃生產735只零件。已經做了5天，平均每天生產75只，剩下的每天生產90只，完成這批任務共用多少天？

5+(735-75×5)/90=9（天）

37.鋼廠上星期平均每天煉鋼180噸。前3天平均每天煉鋼170噸，后4天平均每天煉鋼多少噸？

(180×7-170×3)/4=187.5（噸）

38.某工地用汽車運水泥，第一天運來水泥27噸，第二次9車平均每車運4．2噸，運來的水泥用了5天以后還剩4．80噸，平均每天用水泥多少噸？(27+4.2×9-4.8)/5=12（噸）

39.一個農機廠有煤39噸，已經燒了16天，平均每天燒煤1．2噸，剩下的煤再燒18天，每天必須節約煤多少噸？1.2-(39-1.2×16)/18=0.1（噸）

40.虹光電視廠用50天生產了1500臺彩電，實際每天產量比原計劃每天產量的2倍少20臺，生產這批彩電比原計劃提前多少天？

50-1500/(30×2-20)=12.5（天）

41.一個修路隊原計劃60天修路1800米，實際修的比原計劃每天修的2倍少20米。修完這要路比原計劃提前幾天？

60-1800/(1800/60×2-20)=15（天）

42.某農場要播小麥1440畝，原計劃用2部播種機每部每天播種80畝。實際播種時又增加了一部同樣的播種機，這樣可以比原計劃提早幾天完成？

1440/(1440/(80×3)=3（天）

43.李師傅要加工264個精密零件，已經做了4天，平均每天加工26個，其余每天多加工6個，加工完這批零件一共了多少天？

4+(264-26×4)/(26+6)=9（天）44.勝利中學體育隊有93人，其中籃球隊員12人，比排球隊員少3人，田徑隊員的人數是排球隊員人數的2．4倍，其余是足球隊員，問足球隊員有多少人？

93-12-(12+3)×(1+2.4)=30（人）

45.園林工人要給600棵果樹剪枝，原計劃12天完成，實際比原計劃每天剪的棵數的1．5倍還多5棵，實際比原計劃提前幾天完成任務？

12-600/(600/12×1.5+5)=4.5（天）

46.兩個工程隊計劃修一條2463米長的公路。先由第一工程隊修12天，平均每天修106．5米，剩下的由第二工程隊修，第二工程隊比第一工程隊平均每天多修12米，第二工程隊還要多少天才能修完？

(2463-106.5×12)/(106.5+12)=10（天）

47.某工人計劃48個小時加工零件960個。改進技術后，用原來一半的時間完成了計劃還多做了72個。改進技術后，每小時比計劃多做多少個？

(960+72)/(48/2)-960/48=23（個）

48.一本書稿576頁，計劃18天抄完。實際每天比原計劃多抄4頁，實際抄完這本書稿比計劃少用多少天？

(576/18)-[576/(18+4)]=6（天）

49.育才小學中高年級共有10個班，平均每班有學生42人。高年級4個班，平均每班45人，中年級平均每班多少人？

(42×10-45×4)/(10-4)=40（人）

50.小明看一本故事書，看了4天還剩下377頁沒看，以后每天多看3頁，13天恰好看完。這本故事書有多少頁？

377+(377-3×13)/13×4=481（頁）

51.劉欣從家到車站步行需60分鐘，騎自行車需要15分鐘。一天劉欣騎自行車到車站，在離家10分鐘的地方，車子被朋友借走，只能繼續步行到車站。劉欣這天從家到車站多用了幾分鐘？

10+60/15(15-10)-15=15（分）

52.手表廠在六月份的前7天生產了2100只手表，以后每天多生產50只，六月份一共可以生產多少只手表？

2100+(2100/7+50)×(30-7)=10150（只）

53.甲乙兩個電工要完成371米長的架線任務。上午11點由甲開始架線，到下午2點乙也參加工作。又經過2．5小時才完成任務。甲每小時架線42米，乙每小時架線多少米？

[371-42×(14-11+2.5)]/2.5=56（米）

54.一塊長方形的操場，原來長50米，寬30米。擴建后長和寬分別增加了8米，操場擴建后面積增加了多少平方米？

(50+8)×(30+8)-50×30=704（平方米）55.修一條路，原計劃每天修40米，20天可以修完。如果要提前4天修完，每天的工作效率要提高百分之幾？

[40×20/(20-4)-40]/40=0.25 56.小明語文、數學、英語三科平均90分，已知數學比平均分多8分，語文比平分少6分，英語多少分？

90×3-(90+8)-(90-6)=88（分）

57.甲乙兩地相距200千米。通訊員騎摩托車從甲地出發，他如果用每小時50千米的速度開車，可以在規定的時間內到達乙地。但在開始的1．5小時中每小時只走了40千米，問剩下的路程應用怎樣的速度才能按時到達？

(200-40×1.5)/(200/50-1.5)=56（千米）

58.光華機械廠要加工2400個零件，開始平均每天加工75個，5天后改進了技術，工作效率提高到原來的2倍，加工這批零件實際用了多少天？

(2400-75×5)/(75×2)+5=18.5（天）

59.加工一批零件，第一天完成250個，第二天比第一天的2倍少20個，規定每個零件加工費0．8元，不合格者不給加工費。兩天共得加工費576元，其中不合格的有多少個？

(250+250×2-20)-576/0.8=10（個）

60.一個邊長是600米的正方形蘋果園，蘋果樹行距6米，株距5米，去年共收蘋果42000噸，如果蘋果每千克價1．2元，平均每棵蘋果樹的收入是多少元？

(1.2×4200000)[600×600/(6×5)]=420（元）

61.李珍在假期讀一本小說，原計劃每天早晨讀10頁，中午讀8頁，用15天讀完。實際她每天晚上又讀了9頁，這樣她提前幾天讀完？

15-(10+8)×15/(10+8+9)=5（天）

62.小明看一本書，前3天看了66頁，后5天平均每天多看8頁，正好看完，小明看這本書，平均每天看多少頁？

[(66/3=8)×5+66]/(3+5)=27（頁）

63.甲池有水112立方米，乙池有水120立方米，每小時從甲地流出9立方米到乙池，問幾小時后乙池的水是甲池的3倍？

[(112+120)/(3+1)×3]/9=6（小時）

64.某工人要在4天內完成384個零件的生產任務，開始以每天生產48個的工作速度完成了這批零件的四分之一，以后每天生產多少個零件才能按時完成任務？

(384-384/4)/(6-384/4/48)=72（個）

65.一輛汽車以每小時36千米的速度從甲地去乙地，行了1．5小時，離中點還有15千米。這時行車速度增加到了42千米，還需幾小時到達乙地？

[(36×1.5=15)×2-36×1.5]/4.2=2（小時）

66.某工廠前3天生產機器180臺，后4天比前3天每天多生產7臺，平均每天生產機器多少臺？

[180+(180/3=7)×4]/(3=4)=64（臺）

67.修一條1200米長的公路，甲隊平均每天修56米，乙隊平均每天修44米，兩隊同時修了6天以后，都提高了工效，甲隊平均每天可多修12米，乙隊平均每天可多修8米，這樣再修幾天可以完成任務？

[1200-(56=44)×6]/[(56+12)+(44+8)]=64（臺）

68.三年級植樹400棵，四年級比三年級的2倍少78棵，五年級比三、四年級的和的一半多390棵。三個年級共植樹多少棵？

400+(400×2-78)+[(400×3-78)/2+398]=2073（棵）

69.新華書店發售甲、乙兩種書共30960本，甲種書有98包，乙種書有74包，如果每包書的本數相同，甲種書每本價3元，乙種書每本價2元，這些書共值多少元？

3×[30960/(98+74)]×98+2×[30960/(98+74)]×74=7956（元）

70.甲、乙兩位工人師傅共同做一批機器零件，20天完成了任務。已知甲每天比乙多做3個，而已在中途請假5天，于是，乙所完成零件數恰好是甲的一半。求這批零件的總數。

(1)乙工作了多少天？20-5=15（天）

(2)甲完成自己工作量的一半用了幾天？20/2=10（天）

(3)甲工作10天比乙10天多做零件多少個？3×10=30(個）

(4)乙一天的工作量是多少個？30/(15-10)=6(個）

(5)甲一天的工作量是多少個？這批零件總數是多少？6+3=9（個）

(6)這批零件總數是多少個？9×20+6×15=270（個）

71.一本書有三篇文章，第一篇文章的頁數是第二篇的2倍，而第一篇文章的頁數是第三篇的4倍。又知第三篇文章比第二篇少9頁。求這本書共有多少頁？

(1)第二篇文章的頁數是第三篇的幾倍？

(2)第三篇文章的頁數有多少？9/(2-1)=9（頁）

(3)第二篇文章的頁數有多少？ 9×2=18（頁）

(4)第一篇文章的頁數有多少？9×4=36（頁）

(5)這本書的總頁數是多少？9+18+36=63（頁）（此題列綜合算式太繁－－計14步）

72哥哥和弟弟各有圖書若干本，如果哥哥給弟弟10本，則兩人本數相等； 如果弟弟 給哥哥10本，則哥哥的書是弟弟的兩倍。哥哥和弟弟各有圖書多少本？

(1)哥哥不給弟弟10，哥哥比弟弟多幾本？10×2=20（本）2)弟弟給哥哥10本后哥哥比弟弟又增多幾本？10×2=20（本）

(3)弟弟給哥哥10本后哥 哥比弟弟共我幾本？20+20=40（本）

(4)弟弟給哥哥10本后弟10剩下幾本？40/(2-1)=40（本）

(5)弟弟原有幾本？40+10=50（本）

(6)哥哥有向本？50+10×2=70（本）關于孩子數學學習（9）（版權所有：張仲華教授）

三、典型應用題

（一）求平均數問

1.一輛汽車從甲地到乙用了3小時，第一小時行45千米，第二小時行了50千米，第三小時行了46千米。這輛汽車平均每小時行多少千米？

(45+50+46)/3=47（千米）

2.氣象小組在一天的2點、8點、14點、20點測得的溫度分別是攝氏13度、16度、25度、18度。算出這一天的平均溫度。

(13+16+25+18)/4=18（攝氐度）

3.東風機器廠，今年五月份，上半月產值是125．2萬元，比下半月產值少70萬元，這個廠五月份平均每天產值是多少萬元？

（125.2+125.2+70)/31=10.3（萬元）

4.小華在一次考試中，語文得94分，比數學少3分，常識比語文少6，三科平均多少分？

[94+(94+3)+(94-6)]/3=93（分）

5.姐妹兩人平均體重43．5千克，如果加時母親的體重，三人平均47．5千克，求母親的體重多少千克？

47.5×3-43.5×2=55.5（千克）

6.李華在考試時，語文、數學、思想品德和自然常識四科的平均分數是88分。其中語文89分，數學94分，思想品德86分，求自然常識的成績是多少分？

88×4-(89+94+86)=83（分）

7.五年級兩個班參加植樹，一班37人，共植樹132棵；二班35人，共植樹120棵。五年級平均每人植樹多少棵？

(132+120)/(37+35)=3.5（棵）

8.甲、乙兩地3570米，王磊同學去時走了40分鐘，回來時多走了5分鐘，王磊同學平均每分鐘走多少米？

3570×2/(40+40+5)=84（米）

9.實驗小學六

（一）班和六

（二）班的平均人數是45人，六

（二）班和六

（三）班的平均人數是44人，六

（一）班和六

（三）的平均人數是43人，求三個班各有多少人？

(1)三個班共有多少人？(45×2+44×2+43×2)/2=132（人）

(2)六

（一）班有多少人？132-44×2=44（人）

(3)六

（二）班有多少人？132-43×2=46（人）

(4)六

（三）班有多少人？132-45×2=42（人）

10.甲、乙、丙三個數，甲、乙的平均數是30，乙、丙的平均數是36，甲、丙的平均數是33。問這三個數的平均數是多少？

(30×2+36×2+33×2)/2/3=33 11.5個人輪流騎兩輛自行車，走了15千米。平均每人騎多少千米？15×2/5=6（千米）

12.一個工程隊鋪一段回來水管道。前3天每天鋪150米，后2天每天鋪200米，正好鋪完。這個工程隊平均每天鋪多少米？

(150×3+200×2)/(3+2)=170（米）

13.一輛汽車從甲地開往乙地，前3小時的平均速度是每小時40千米，余下的90千米，再用2小時走完，這輛汽車從甲地到乙地平均每小時行多少千米？

(40×3+90)/(3+2)=45（千米）

14.某食堂四月份的前25天平均每天用米150千克，后5天人少了，全月平均每天用米145．6千克。后5天平均每天用米多少千克？

(145.6×30-150×25)/5=123.6（千克）

15.一只輪船從甲港出發順水每小時航行24千米，3小時到達乙港。這只輪船返回時逆水航行，4小時回到甲港。這只輪船往返一次平均每小時行多少千米？

24×3×2.(3+4)=20.57（千米）

16.甲、乙、丙三個學生各拿出同樣多的錢合買同樣規格的練習本。買來之后，甲和乙都比丙多要6本，因此，甲、乙分別給丙人民幣0．54元。求每本練習本的價格是多少？

0.54×2/(6×2/3)=0.27（元）關于孩子數學學習（10）（版權所有：張仲華教授）

（二）歸一問題

1.小明到商店買了2本練習本，用去1．6元。如果要買同樣的5本練習本，需要多少元？

1.6/2×5=4（元）

2.火車4小時行368千米。照這樣算，從北京到廣州2300千米，火車需行多少小時？

2300/(368/4)=25（小時）

3.5噸菜籽榨菜油2噸，8噸菜籽可榨菜油多少噸？2/5×8=3.2（噸）

4.為一段8．4千米長的鐵路鋪設枕木，已知平均3米的距離用枕木5根，鋪設這段鐵路要多少根枕木？

8400/(3/5)=14000（根）

5.一輛汽車3小時行120千為，照這樣速度，再行駛2小時，一共可以行駛多少千米？

120/3×(3+2)=200（千米）

6.運送化肥275噸，前3天運了165噸，照這樣計算，其余的要幾天才能運完？

(275-165)/(165/3)=2（天）

7.一輛汽車從北京去天津，2．5小時行了75千米，距離天津還有45千米。照這樣計算到天津一共要用多少小時？

45/(75/2.5)+2.5=4（小時）

8.某洗衣機車間去年計劃生產洗衣機2400臺，結果10個月就完成了任務。照這樣的速度，去年的實際產量比原計劃增產多少臺？

2400/10×12-2400=480（臺）

9.水利工地用同樣型號的卡車8輛運石頭，每天可運1280噸。照這樣計算，每天運176噸，需要增加同樣的卡車多少輛？

176/(128/8)-8=3（輛）

10.蘋果園要運送5000千克蘋果，用250個筐。如果每筐多裝5千克，可以節省多少個筐？

250-5000/(5000/250=5)=50（個）

11.3臺面粉機4小時可以加工面粉2460千克?，F有5臺同樣的面粉機，6小時可以加工面粉多少千克？

2460/3/4×5×6=6150（千克）

12.3名工人5天加工零件7500只，照這樣計算，7名工人加工3500只同樣的零件需要幾天完成？

3500/(7500/3/5×7)=1（天）13.3臺磨面機8小時磨面粉57．6噸，如果要20小時磨面粉240噸，需同樣的磨面機多少臺？

240/(57.6/3/8×20)=5（臺）

14.9輛同型號的卡車5趟能運來360噸砂土?，F在某工地急需砂土480噸，要4趟運完，求需要增加同樣的卡車多少輛？

(480/4)/(360/5/9)-9=6（輛）

15.某村計劃在8天內修一條長320米的堤壩，16人3天修了96米，照這樣計算，要按計劃完成需再增加幾個人？

320/(96/16/3×8)-16=4（人）

16.服裝廠原計劃16人在5天里做160套少先隊服，剛要開始生產又增加了任務。在工作效率不變的情況下，需要20人9天才能完成，問增加的任務是多少套？

160/16/5×20×9-160=200（套）

17.一地方需要1080袋水泥，用3輛載重量相同的汽車運了4次正好運了一半，余下的再增加一輛同樣型號的汽車來運，還要幾次運完？

1080/2/(1080/2/3/4)/(3+1)=3（次）

18.某工程隊修公路，54人12天修公路1944米。如果人數增加18人，天數縮小到原來的一半，可修公路多少米？

1944/12/5×(54+18)×(12/2)=1296（米）關于孩子數學學習（11）（版權所有：張仲華教授）

（三）行程問題

1.兩個城市相距500千米，一列客車和一列貨車同時從兩個城市相對開出，客車平均速度是每小時55千米，貨車平均速度是每小時45千米。兩車開出后幾小時相遇？

500/(55+45)=5（小時）

2.兩輛汽車同時從甲乙兩地相對開出，一輛汽車每小時行56千米，另一輛汽車每小時行63千米，經4小時相遇。甲乙兩地相距多少千米？

(56+63)×4=476（千米）

3.客車與貨車分別從相距275千米的兩站同時相向開出，2．5小時在途中相遇。已知客車每小時行60千米，貨車每小時行多少千米？

276/2.5-60=50（千米）

4.兩輛汽車同時從相距465千米的兩地相對開出，4．5小時后兩車還相距120千米。一輛汽車每小時行37千米，另一輛汽車每小時行多少千米？

(465-120)/4.5=39.7（千米）

5.丙列火車同時從甲乙兩城相對開出。一列火車每小時行60千米，另一列火車每小時行80千米。4小時后還相距210千米，求兩城距離。

(60+80)×4+210=770（千米）

6.甲乙兩隊合挖一條水渠，甲隊從東往西挖，乙隊從西往東挖，甲隊每天挖75米，比乙隊每天多挖2．5米。兩隊合作8天后還差52米這條水渠全長多少米？

(75=75-2.5)×8+52=1232（米）

7.甲乙兩地相距484千米，一輛汽車從甲地開往乙地，1．5小時后，一輛摩托車從乙地開往甲地，4小時與

迎面開來的汽車相遇。已知汽車每小時行40千米，求摩托車每小時行多少千米？

(484-40×1.5)/4-40=66（千米）

8.甲鎮與乙鎮相距138千米，張王二人騎自行車分別從兩鎮同時出發相向而行。張每小時行13千米，王每小時行12千米，王在行時中因修車耽誤1小時，然后繼續行進。求從出發到相遇經過幾小時？

(138-13)/(13+12)+1=6（小時）

9.甲乙兩城相距240千米。客車從甲城開往乙城，每小時行50千米，貨車從乙城開往甲城，每小時行30千米。兩車同時出發，2小時后還相距多少千米？

240-(50+30)×2=80（千米）

10.甲、乙二人從相距31．2千米的兩村相對起來，甲每小時行4千米，乙每小時行4．8千米。兩人相遇時乙行14．4千米，甲比乙先出發幾小時？

(31.2-14.4)/4-14.4/4.8=1.2（小時）

11.上海到北京有1035千米，甲列火車先從上海向北京開出，2．5小時行了185千米，這時乙列火車從北京向上海開出，7小時后兩列火車相遇。求乙列火車每小時行多少千米？

(1035-185)/;7-185/2.5=88（千米）

12.師徒二人共同加工800個零件，師傅每小時加工30個，比徒弟多加工10個，問完成任務時，師傅比徒弟多加工多少個？

10×[800/(30+30-10)]=160（個）

13.兩個修路隊從山的兩邊開一條長1314米的山洞。一隊每天開8．8米，二隊每天開8．6米。一隊先工作了3天，剩下的由兩個隊一同開。開通這條山洞前后一共用多少天？

(1314-8.8×3)/(8.8+8.6)+3=77（天）

14.一輛汽車從甲地開往乙地，每分鐘行525米，預計40分鐘可達。但行到一半路程時，機器發生故障，用5分鐘修理完畢，如果仍在預計時間內到達，行駛余下的路程，每分鐘要比原來速度快多少米？

525×40/2(40/2-5)-525=175（米）

15.一輛汽車從甲城經過乙城開往丙城，共走了36小時。從甲城到乙城每小時走32千米，從乙城到丙城每小時走27千米。已知甲乙兩城之間的距離是64 0千米。全部路程共有多少千米？

640=27×(36-640/32)=1072（千米）

16.甲、乙二人同時從兩地乘車相向而行。甲每小時行20千米，乙每小時行18千米，兩人相遇時距中點3千米。問全路程有多少千米？

(20+18)×[3×2/(20-18)]=114（千米）

17.有一列長260米的火車，以每小時9千米的速度通過610米的大橋需要幾分鐘？

(610+210)/(9000/60)=5.8（分）

18.甲乙兩輛自行車在61千米長的環城公路上的同一地點反向而行，甲車比乙車早出發半小時，甲出發3小時后兩車相遇。已知甲車每小時行12千米，乙車每小時行多少千米？

(61-12×0.5)/(3-0.5)-12=10（千米）

19.一輛快車和一輛慢車，同時從甲乙兩地出發，相向而行，經過5小時相遇。相遇后快車繼續行駛了3小時到達乙地。已知慢車每小時行48千米，求甲乙兩地相距多少千米？

(48+48×5/3)×5=640（千米）

20.龜、兔2000賽跑，龜每分鐘跑25米，兔每分鐘跑320米。兔自以為比龜跑得快，就在途中睡了一覺，結果龜比兔提前1．25分鐘到達終點。求兔在途中睡了多少分鐘？

2000/25-2000/320+1.25=75（分）

21.甲乙二人同時從東村到西村，甲騎自行車到西村后立即返回在距西村760米的地方與乙相遇。已知乙走了8分鐘，每分鐘走60米，甲騎自行車每分鐘行多少米？

(760×2+60×8)/8=250（米）關于孩子數學學習（12）（版權所有：張仲華教授）

（四）其他

1.水果店運來5筐蘋果和5筐梨。一共重225千克，已知每筐蘋果比每筐梨重5千克。每筐蘋果和線筐梨各重多少千克？

(1)一筐蘋果和一筐梨重多少千克？225/5=45（千克）

(2)一筐蘋果重多少千克？(45+5)/2=25（千克）(2)一筐梨重多少千克？(45-5)/2=20（千克）

2.甲乙兩個工程隊共有工人82人，如果從乙隊調8人到甲隊，兩隊人數正好相等。甲乙兩隊各有多少人？

(1)乙隊比甲隊多幾人？8×2=16（人）

(2)乙隊有多少人？(82+16)/2=49（人）

(3)甲隊有多少人？(82-16)/2=33（人）

3.小朋友做紅、黃、白三種花共27朵，其中黃花是白花的2倍，紅花是黃花的3倍，問三種花各有多少朵？

(1)白花有向朵？27/(1+2+2×3)=3（朵）

(2)黃花有幾朵？3×2=6（朵）

(3)紅花有幾朵？6×3=18（朵）

4.一個車間共有男女工人83人，其中男工人數比女工人數的3倍還多3人。男女工各有多少人？

(1)女工有多少人？(83-3)/(1+3)=20（人）

(2)男式有多少人？20×3+3=63（人）

5.已知爸爸比兒子大30歲，爸爸今年的年齡正好是兒子年齡的7倍。求爸爸和兒子今年各是多少歲？

(1)兒子今年幾歲？30/(7-1)=5（歲）

(2)爸爸今年幾歲？5×7=42（歲）

6.甲桶裝油是乙桶裝油的4倍，如果從甲桶取出18千克倒入乙桶，那么兩桶油的斤數就相等。兩桶油原來各有多少千克？

(1)乙桶原來裝油。(18×2)/(4-1)=12（千克）

(2)甲桶原來裝油。12×4=48（千克）7.俺院養有雞，加上7，乘以7，減支7，除以7，結果等于7。請你算一算，俺院養了多少只雞？(7×7+7)/7-7=1（只）

8.某線路原有杉木電線桿71根，桿與桿之間的間隔為25米。今把原線路的杉木桿全部換成水泥桿。此時桿

與桿之間的間隔是多少米？

(1)這條線路有多長？25×(71-1)=1750（米）

(2)水泥桿的間隔是多少米？1750/(51-1)=35（米）

9.某城市有一條公共汽車路，由起點到終點共長16500米，平均500米設一個車站。在這條路的中間應該設多少個車站？

(1)這條路應分成幾段？16500/500=33（段）

(2)這條路兩旁應設站多少個？(33-1)×2=64（個）

10.把一包水果糖分給一群小孩，每人5顆，還剩16顆，若每人7顆則差12顆。這群小孩有多少人？這包水果糖有多少顆？

(1)小孩有多少人？(16+12)/(7-5)=14（人）

(2)水果糖有多少顆？5×14+16=86（顆）

11.今年祖父60歲，孫子12歲。幾年后祖父的年齡是孫子年齡的3倍？

(66-12)/(3-1)-12=12 12.一只輪船，它在平靜的湖水中每小時行14千米，現把它駛入河中，這河水流的速率每小時2千米。這只輪船向上行駛4小時有行駛多少千米？ 如果順水向下行駛5小時呢？

(1)逆水向上5小時行(14-2)×5=60（千米）

(2)順水向下5小時行(14+2)×5=80（千米）

13.今有雞兔同籠，上有35頭，下有94只。問雞兔各有多少？(1)籠中有雞多少？(4×35-94)/(4-2)=23（只）

(2)籠中有兔多少？35-23=12（只）

14.松鼠采松籽，晴天每天采40個，雨天每天采25個。它一連采了好幾天，共采集280個，平均每天采集28個。這幾天中有幾個晴天？

(1)這只松鼠采來幾天？280/28=10（天）

(2)有幾個晴天？(280-25×10)/(40-25)=2（天）

第五篇：小學數學典型應用題

小學數學典型應用題

01歸一問題

【含義】

在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標準，求出所要求的數量。這類應用題叫做歸一問題。

【數量關系】

總量÷份數＝1份數量

1份數量×所占份數＝所求幾份的數量

另一總量÷（總量÷份數）＝所求份數

02解題思路和方法

先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數量。

例1：3頭牛4天吃了24千克的草料，照這樣計算5頭牛6天吃草

_____

千克。

解:

1.根據題意先算出1頭牛1天吃草料的質量：24÷3÷4=2(千克)。

2.那么5頭牛一天吃2×5=10(千克)的草料。

3.那么6天就能吃10×6=60(千克)草料。

例2：5名同學8分鐘制作了240張正方形紙片。如果每人每分鐘制作的數量相同，并且又來了2位同學，那么再過15分鐘他們又能做

_____

張正方形紙片？

解：

1.可以先算出5名同學1分鐘能制作正方形紙片的數量，240÷8=30(張)。

2.再算出1名同學1分鐘制作的數量，30÷5=6(張)。

3.現在有5+2=7(名)同學，每人每分鐘做6張，要做15分鐘，那么他們能做7×6×15=630(張)正方形紙片。

例3：某車間用4臺車床5小時生產零件600個，照這樣計算，增加3臺同樣的車床后，如果要生產6300個零件，需要

_____

小時完成？

解：

1.4臺車床5小時生產零件600個，則每臺車床每小時生產零件600÷4÷5=30（個）。

2.增加3臺同樣的車床，也就是4+3=7（臺）車床，7臺車床每小時生產零件7×30=210（個）。

3.如果生產6300個零件，需要6300÷210=30（小時）完成。

02歸總問題

【含義】

解題時，常常先找出“總數量”，然后再根據其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。

所謂“總數量”是指貨物的總價.幾小時（幾天）的總工作量.幾公畝地上的總產量.幾小時走的總路程等。

【數量關系】

1份數量×份數＝總量

總量÷1份數量＝份數總量÷另一份數＝另一每份數量

解題思路和方法

先求出總數量，再根據題意得出所求的數量。

例1:王大伯家的干草夠8只牛吃一個星期的，照這樣計算，這些草夠4只牛吃（）天？

解：

1.可以算出這些草夠1只牛吃多少天，用8×7=56(天)。

2.算4只牛能吃多久，用56÷4=14(天)。

例2小青家有個書架共5層，每層放36本書?，F在要空出一層放碟片，把這層書平均放入其它4層中，每層比原來多放

（）本書。

解：

方法一：

1.根據題意可以算出書架上有5×36=180(本)書。

2.現在還剩下5-1=4(層)書架。

3.所以每層書架上有180÷4=45(本)書。比原來多45-36=9(本)書。

方法二：

也可以這樣考慮，就是要把其中一層的36本書平均分到其他4層，所以每層比原來多放36÷4=9（本）書。

例3一個長方形的水槽可容水480噸，水槽裝有一個進水管和一個排水管。單開進水管8小時可以把空池注滿；單開排水管6小時可以把滿水池排空，兩管齊開需要多少小時把滿池水排空？

解：

1.要求兩管齊開需要多少小時把滿池水排光，關鍵在于先求出進水速度和排水速度，進水每小時480÷8=60（噸）；排水每小時480÷6=80（噸）。

2.當兩管齊開，排水速度大于進水速度，即每小時排80-60=20（噸）。

3.再根據總水量就可以求出排空滿池水所需的時間。480÷20=24（小時）。

03和差問題

【含義】

已知兩個數量的和與差，求這兩個數量各是多少，這類應用題叫和差問題。

【數量關系】

大數＝(和＋差)÷2小數＝(和－差)÷2

解題思路和方法

簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目變通后再用公式。

例1:兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多18千克，第一筐水果重

_____

千克，第二筐水果重

_____

千克。

解：

因為第一筐比第二筐重

1.根據大大數＝(和＋差)÷2的數量關系，可以求出第一筐水果重(150+18)÷2=84（千克）。

2.根據小數＝(和－差)÷2的數量關系，可以求出第二筐水果重(150-18)÷2=66（千克）。

例2:登月行動地面控制室的成員由兩組專家組成，兩組共有專家120名，原來第一組人太多，所以從第一組調了20人到第二組，這時第一組和第二組人數一樣多，那么原來第二組有（）名專家。

解：

1.原來從第一組調了20人到第二組，這時第一組和第二組人數一樣多，說明原來第一組比第二組多20+20=40（人）

2.根據小數＝(和－差)÷2的數量關系，第二組人數應該為(120-40)÷2=40（人）。

例3:某工廠第一.二.三車間共有工人280人，第一車間比第二車間多10人，第二車間比第三車間多15人，三個車間各有多少人？

解：

1.第一車間比第二車間多10人，第二車間比第三車間多15人；

那么第一車間就比第三車間多25人，因此第三車間的人數是（280-25-15）÷3=80（人）。

據此可得出第一.二車間的人數。

04和倍問題

【含義】

已知兩個數的和及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做和倍問題。

【數量關系】

總和÷（幾倍＋１）＝較小的數

總和－較小的數＝較大的數

較小的數×幾倍＝較大的數

解題思路和方法

簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例１：甲、乙兩倉庫共存糧２６４噸，甲倉庫存糧是乙倉庫存糧的１０倍。甲倉庫存糧噸，乙倉庫存糧＿＿＿＿＿噸。

解：

１.根據“甲倉庫存糧是乙倉庫存糧的１０倍”，把甲倉庫存糧數看成“大數”，乙倉庫存糧數看成“小數”。

２.根據和倍公式總和－（幾倍＋１）＝較小的數，即可求乙倉庫存糧２６４＝（１０＋１）＝２４（噸）。

３.根據和倍公式較小的數×幾倍＝較大的數，即可求甲倉庫存糧２４×１０＝２４０（噸）。

例２：已知蘋果.梨.桃子的總質量為４０千克，蘋果的質量是桃子的４倍，梨的質量是桃子的３倍，求蘋果.梨.桃子的質量。

解：

１.根據“蘋果的質量是桃子的４倍，梨的質量是桃子的３倍”；

把桃子看成１倍數，則蘋果是４倍數，梨是３倍數。

２.根據“蘋果、梨、桃子的總質量為４０千克”和和倍公式：

總和＝（幾倍＋１）＝較小的數

可求出桃子的質量，４０＝（４＋３＋１）＝５（千克）

３.根據桃子質量可以求出蘋果和梨的質量。

例３：歡歡、樂樂和多多一共帶了1４８元去公園。

已知歡歡帶的錢數比樂樂的２倍多１元，多多帶的錢數比歡歡多２倍，那么多多帶了（）元。

解：

１.在三個量的和倍問題中，我們可以選擇其中一個標準量，然后通過三個量之間的和倍關系進行計算即可。

需要注意，多２倍就是３倍。

２.由題可知，三人里樂樂的錢數最少。

我們可以把樂樂看成標準量，那么歡歡就是２份標準量再加１元。

３.多多比歡歡多兩倍，就是２×３＝６份標準量再加１×３＝３（元）。

４.那么他們三個合起來就是１＋２＋６＝９

份標準量再加１＋３＝４（元）。

５.所以標準量是

（１４８－４）÷９＝１６（元），即樂樂帶了１６元。

６.根據樂樂的錢數可以求出歡歡帶了

１６×２＋１＝３３（元），所以多多帶了

３３×３＝９９（元）。

05差倍問題

【含義】

已知兩個數的差及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少；

這類應用題叫做差倍問題。

【數量關系】

兩個數的差÷（幾倍－1）

=較小的數較小的數×幾倍

=較大的數

解題思路和方法

簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例1：莉莉的科技書比故事書多16本，科技書是故事書3倍，莉莉有科技書（）本。

A.8

B.12

C.16

D.24

解：

1.解決差倍問題，可以畫線段圖解決，也可以直接套用公式解決。

2.把故事書的本數看作1倍數，科技書的本數就是3倍數，科技書比故事書多16本，所以根據差倍公式兩個數的差÷（幾倍－1）=較小的數，可以求出故事書有16÷2=8本。

3.根據差倍公式較小的數×幾倍=較大的數，可以求出科技書有8×3=24本。

例2：甲桶油是乙桶油4倍，如果從甲桶倒出15千克給乙桶，兩桶油的重量就相等了，則原來甲桶有油

____

千克，乙桶有油

____

千克。

解：

1.根據題意，從甲桶倒出15千克給乙桶，兩桶油的重量就相等了，說明原來甲桶油比乙桶油多15×2=30（千克）。

2.根據差倍公式兩個數的差÷（幾倍-1）=較小的數，可以求出乙桶有油30÷（4-1）=10（千克）。

3.根據差倍公式較小的數×幾倍=較大的數，可以求出甲桶原有油10×4=40（千克）。

例3：每件成品需要5個甲零件，2個乙零件。

開始時，甲零件的數量是乙零件數量的2倍，加工了30個成品之后甲零件和乙零件的數量一樣多，那么還可以加工

_____

個成品。

解：

1.加工一個成品，甲零件比乙零件多用5-2=3（個），加工30個成品，甲零件比乙零件多用3×30=90（個）。

根據“加工了30個成品之后甲零件和乙零件的數量一樣多”說明原來甲零件比乙零件多90個。

2.把乙原來的零件數看成1倍，甲就是這樣的2倍，甲比乙多1倍，對應90個，求出乙原來有90÷（2-1）=90（個）

3.那么甲原來有90×2=180（個）零件。

4.每件成品需要5個甲零件，2個乙零件，那么加工30個成品，甲零件用了5×30=150（個），乙零件用了2×30=60（個），所以甲零件還剩180-150=30（個），乙零件還剩90-60=30（個）。

剩下的甲零件還能做30÷5=6（個）成品，剩下的乙零件還能做30÷2=15（個）成品。

因為每件成品需要甲.乙兩種零件共同完成，所以剩下的零件數還可以加工6個成品。

06和倍問題

【含義】

已知兩個或多個人年齡關系，求各自年齡或年齡關系，這類應用題叫做和倍問題。

【數量關系】

大數＝(和＋差)÷2小數

＝(和－差)÷2總和÷(幾倍+1)

＝較小的數

總和-較小的數＝較大的數較小的數×幾倍

＝較大的數兩個數的差÷（幾倍－1）

=較小的數較小的數×幾倍

=較大的數

解題思路和方法

年齡問題具有年齡同增同減，年齡差不變的特性。

年齡問題都可以轉化為和差.和倍.差倍問題。

簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例1：爸爸今年38歲，媽媽今年36歲，當爸爸42歲時，媽媽

_____

歲。

解：

1.本題考查的年齡差不變（簡單），不管過了多少年年齡差是不變的。

2.爸爸比媽媽大2歲，根據不管過了多少年年齡差是不變的，當爸爸42歲時，媽媽是40歲。

例2：姐姐今年15歲，妹妹今年12歲，當她們的年齡和是39歲時，那時妹妹

_____

歲。

解：

方法一：

1.利用年齡同增同減的思路。

2.姐妹倆今年的年齡之和是：

15+12=27（歲），年齡之和到達39歲時需要的年限是：

（39-27）÷2=6（年）。

3.那是妹妹的年齡是12+6=18（歲）。

方法二：

1.利用年齡差不變的思路。

2.兩姐妹的年齡差為15-12=3（歲），再根據小數＝(和－差)÷2的公式，可以求出妹妹的年齡為（39-3）÷2=18（歲）。

例3：爸爸今年50歲，哥哥今年14歲，_____

年前，爸爸的年齡是哥哥的5倍。

解：

1.不管過了多少年，年齡差是不變的，當爸爸的年齡是哥哥的5倍時，年齡差仍是50-14=36（歲）。

2.問什么時候爸爸的年齡是哥哥的5倍，實際上年齡差就是哥哥的5-1=4倍。

3.根據兩個數的差÷（幾倍－1）=較小的數，可以求出哥哥當時的年齡是（50-14）÷4=9（歲）。

4.再根據題意可求出14-9=5（年）前。

例4：今年姐妹兩人的年齡和是50歲，曾經有一年，姐姐的年齡與妹妹今年的年齡相同，且那時姐姐的年齡恰好是妹妹年齡的2倍。

那么姐姐今年

_____

歲。

解：

1.當姐姐的年齡恰好是妹妹年齡的2倍時，我們設那時妹妹的年齡是1份，那么姐姐的年齡就是2份，那么姐姐與妹妹的年齡差就是1份。

2.因為那時姐姐的年齡與妹妹今年的年齡相同，所有妹妹今年的年齡也是2份。

因為年齡差不變，所以今年姐姐的年齡應該是2+1=3份。

3.今年姐妹兩人的年齡和是50歲，對應2+3=5份，求出1份是50÷5=10（歲），那么姐姐今年是10×3=30（歲）。

07相遇問題

【含義】

兩個運動的物體同時由兩地出發相向而行，在途中相遇。

這類應用題叫做相遇問題。

這類應用題叫做相遇問題。

【數量關系】

相遇時間＝總路程÷（甲速＋乙速）總路程

＝（甲速＋乙速）×相遇時間

解題思路和方法

簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖分析可以讓解題事半功倍。

例1：歡歡和樂樂在一條馬路的兩端相向而行，歡歡每分鐘行60米，樂樂每分鐘行80米，他們同時出發5分鐘后相遇。這條馬路長（）。

解：

根據公式總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時間，可以求出這條馬路長（60＋80）×5

=700（米）。

例2：甲乙兩車分別以不變的速度從AB兩地同時出發，相向而行。到達目的地后立即返回。

已知第一次相遇地點距離A地50千米，第二次相遇地點距離B地60千米，AB兩地相距

_____

千米。

解：

1.本題考查的是二次相遇問題，靈活的運用畫線段圖的方法來分析是解決這類問題的關鍵。

2.畫線段圖

3.從圖中可以看出，第一次相遇時甲行了50千米。甲乙合行了一個全程的路程。

從第一次相遇后到第二次相遇，甲乙合行了兩個全程的路程。

由于甲乙速度不變，合行兩個全程時，甲能50×2=100(千米)。

4.因此甲一共行了50+100=150(千米)，從圖中看甲所行路程剛好比AB兩地相距路程還多出60千米。

所以AB兩地相距150-60=90(千米)。

例3：歡歡和樂樂在相距80米的直跑道上來回跑步，樂樂的速度是每秒3米，歡歡的速度是每秒2米。

如果他們同時分別從跑道兩端出發，當他們跑了10分鐘時，在這段時間里共相遇過

_____

次。

解：

1.根據題意，第一次相遇時，兩人共走了一個全程，但是從第二次開始每相遇一次需要的時間都是第一次相遇時間的兩倍。（線段圖參考例2。）

2.根據“相遇時間=總路程÷速度和”得到，歡歡和樂樂首次相遇需要80÷（3+2）=16（秒）。

3.因為從第一次相遇結束到第二次相遇，歡歡和樂樂要走兩個全程，所以從第二次開始每相遇一次需要的時間是16秒的2倍，也就是32秒，則經過第一次相遇后，剩下的時間是600-16=584（秒），還要相遇584÷32=18.25（次），所以在這段時間里共相遇過18+1=19（次）。

追及問題（含解析）

01追及問題

【含義】

兩個運動物體在不同地點同時出發（或者在同一地點而不是同時出發，或者在不同地點又不是同時出發）

作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內，后面的追上前面的物體。

這類應用題就叫做追及問題。

【數量關系】

★

追及時間＝

追及路程÷（快速－慢速）

★

追及路程＝（快速－慢速）×追及時間

02解題思路和方法

簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖

分析可以讓解題事半功倍。

例1：某警官發現前方100米處有一匪徒，匪徒正以每秒2米的速度逃跑。

警官趕緊以每秒3米的速度追，（）秒后警官可以追上這個匪徒。

解：

1.從警官追開始到追上匪徒，這就是一個追及過程。

根據公式：路程差÷速度差=追及時間。

2.路程差為100米，警官每秒比匪徒多跑3-2=1（米），即速度差為1米/秒。

所以追及的時間為100÷1=100（秒）。

例2：甲乙二人同時從400米的環形跑道的起跑線出發，甲每秒跑6米，乙每秒跑8米，同向出發。

那么甲乙二人出發后（）秒第一次相遇？

解：

1.由題可知，甲乙同時出發后，乙領先，甲落后，那么兩人第一次相遇時，乙從后方追上甲。

所以，乙的路程=甲的路程+一周跑道長度，即追及路程為400米。

2.由追及時間=總路程÷速度差可得：經過400÷（8-6）=200（秒）

兩人第一次相遇。

例3：小轎車、面包車和大客車的速度分別為60千米/時.48千米/時和42千米/時，小轎車和大客車從甲地.面包車從乙地同時相向出發，面包車遇到小轎車后30分鐘又遇到大客車。

那么甲.乙兩地相距多遠？

解：

1.根據題意，將較復雜的綜合問題分解為若干個單一問題。

首先是小轎車和面包車的相遇問題；

其次是面包車和大客車的相遇問題；

然后是小轎車與大客車的追及問題。

最后通過大客車與面包車共行甲.乙兩地的一個單程，由相遇問題可求出甲.乙兩地距離。

2.畫線段圖，圖上半部分是小轎車和面包車相遇時三車所走的路程。

圖下半部分是第一次相遇30分鐘之后三車所走的路程。

3.由圖可知，當面包車與大客車相遇時，大客車與小轎車的路程差為小轎車與大客車30分鐘所走的路程。

有小轎車與大客車的速度差，有距離，所以可以求出車輛行駛的時間。

（60+48）×0.5÷（60-42）=3（小時）。

4.由于大客車與面包車相遇，共行一個行程，所以AB兩地路程為

（42+48）×3=270（千米）。

01

植樹問題

【含義】

按相等的距離植樹，在距離.棵距.棵數這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。

【數量關系】

線形植樹：

一端植樹：棵數＝間隔數=距離÷棵距

兩端植樹：

棵數＝間隔數+1=距離÷棵距＋1

兩端都不植樹：

棵數＝間隔數-1=距離÷棵距-1

環形植樹：

棵數＝間隔數=距離÷棵距

正多邊形植樹：

一周總棵數=每邊棵數×邊數-邊數

每邊棵樹=一周總棵數÷邊數+1

面積植樹：

棵數＝面積÷（棵距×行距）

02解題思路和方法

先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。

例1：植樹節到了，少先隊員要在相距72米的兩幢樓房之間種8棵楊樹。

如果兩頭都不栽，平均每兩棵樹之間的距離應是多少米？

解：

1.本題考察的是植樹問題中的兩端都不栽的情況，解決此類問題的關鍵是要理解棵數比間隔數少1。

2.因為棵數比間隔數少1，所以共有8+1=9個間隔，每個間隔距離是72÷9=8米。

3.所以每兩棵樹之間的距離是8米。

例2：佳一小學舉行運動會，在操場周圍插上彩旗。

已知操場的周長是500米，每隔5米插一根紅旗，每兩面紅旗之間插一面黃旗，那么一共插紅旗多少面，一共插黃旗多少面。

解：

1.本題考查的是植樹問題中封閉圖形間隔問題。

本題中只要抓住棵數＝間隔數，就能求出插了多少面紅旗和黃旗。

2.棵數＝間隔數，一共插紅旗500÷5＝100（面），這一百面紅旗中一共有100個間隔，所以一共插黃旗100面。

例3：多多從一樓爬樓梯到三樓需要6分鐘，照這樣計算，從三樓爬到十樓需要多少分鐘？

解：

1.本題考查的是植樹問題中鋸木頭.爬樓梯問題的情況。

需要理解爬的樓層.鋸的次數與層數.段數之間的關系。

所在樓層=爬的層數+1；

木頭段數=鋸的次數+1。

2.從一樓爬樓梯到三樓，需要爬2層，需要6分鐘，所以每層需要6÷2=3（分鐘）。

因此從三樓爬到十樓，需要（10-3）×3=21（鐘）。

例4：時鐘敲3下要2秒鐘，敲6下要多少秒？

解：

1.本題考查的是植樹問題中敲鐘聲問題，與鋸木頭爬樓問題類似。

本題中只要抓住敲的次數＝間隔數+1。

2.時鐘敲3下，中間有2個間隔，2個間隔需要2秒鐘，那么1個間隔需要1秒鐘。

時鐘敲6下，中間有5個間隔，需要5秒。

01行船問題

【含義】

行船問題也就是與航行有關的問題。

解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度；

也就是船只在靜水中航行的速度；

水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和；

船只逆水航行的速度是船速與水速之差。

【數量關系】

（順水速度＋逆水速度）÷2

＝船速（順水速度－逆水速度）÷2

＝水速順水速＝船速×2－逆水速

＝逆水速＋水速×2逆水速

＝船速×2－順水速

＝順水速－水速×2

02解題思路和方法

簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖分析可以讓解題事半功倍。

例1：某船在同一條河中順水船速是每小時20千米，逆水船速是每小時10千米，這條河的水流速度是每小時

_____

千米？

解：

順水船速=船速+水流速度，逆水船速=船速-水流速度，可以看出，順水船速比逆水船速多2個水流速度，因此，水流速度=(20-10)÷2=5(千米/時)。

例2：某條大河水流速度是每小時5千米，一艘靜水船速是每小時20千米的貨輪逆水航行5小時能到達目的地，這艘貨輪原路返回到出發地需要多少小時？

解：

1.逆水速度=靜水船速-水流速度，所以貨輪逆水速度是20-5=15(千米/時)，行駛5小時共行了15×5=75(千米)。

2.原路返回時是順水航行，順水速度是靜水船速+水速，即20+5=25(千米/時)，所以返回用時75÷25=3(小時)。

例3：小船在兩個碼頭間航行，順水需4小時，逆水需5小時，若一只木筏順水漂過這段距離需

_____

小時？

解：

1.我們可以假設一個路程。

假設兩個碼頭之間的距離是200千米，順水需4小時，則順水的速度是每小時200÷4=50（千米），逆水需5小時，則逆水的速度是每小時200÷5=40（千米）。

2.根據“水速=（順水行駛速度-逆水行駛速度）÷2”得到，水流速度是每小時（50-40）÷2=5（千米）。

3.一只木筏順水漂過的速度就是水流速度，所以木筏順水漂過這段距離需要200÷5=40（小時）。

01列車問題

【含義】

與列車行駛有關的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。

【數量關系】

★

火車過橋：

過橋時間＝（車長＋橋長）÷車速

★

火車追及：

追及時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速－乙車速）

★

火車相遇：

相遇時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速＋乙車速）

02解題思路和方法

簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖分析可以讓解題事半功倍。

例1：一列火車全長126米，全車通過611米的隧道需要67秒，火車的速度是多少米/秒？

解：

1.本題考查的是火車過橋的問題。

解決本題的關鍵是知道火車完全經過隧道所走的路程是一個車身長＋隧道長，進而求出車速。

2.因此火車的速度為：（126＋611）÷67＝11（米/秒）。

例2：在兩行軌道上有兩列火車相對開來，一列火車長208米，每秒行18米，另一列火車每秒行19米，兩列火車從相遇到完全錯開用了12秒鐘，那么另一列火車長多少

米？

解：

兩列火車從相遇到完全錯開，所行路程之和剛好是它們的車身長度之和。

根據“路程和=速度和×時間”

可得，另一列火車長=（18+19）×12-208=236（米）。

例3：一列火車通過一座長90米的橋需要24秒，如果火車的速度加快1倍，它通過長為222米的隧道只用了18秒。

原來火車每秒行多少米？

解：

1.根據“火車的速度加快1倍，它通過長為222米的隧道只用了18秒”可知，如果火車用原來的速度通過222米的隧道，則要用18×2=36（秒）。

2.隧道比大橋長222-90=132（米），火車要多用36-24=12（秒）行駛這一段路程，根據速度=路程÷時間，可以求出原來火車每秒行132÷12=11（米）。

01時鐘問題

【含義】

就是研究鐘面上時針與分針關系的問題，如兩針重合.兩針垂直.兩針成一線.兩針夾角為60度等，這類問題可轉化為行程問題中的追及問題。

【數量關系】

分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為5.5度/分。

通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。

02解題思路和方法

將兩針重合，兩針垂直，兩針成一線，兩針夾角60°等為“追及問題”后可以直接利用公式。

例1：鐘面上從時針指向8開始，再經過多少分鐘，時針正好與分針第一次重合?（精確到1分）

解：

1.此類題型可以把鐘面看成一個環形跑道。

那么本題就相當于行程問題中的追及問題，即分針與時針之間的路程差是240°。

2.分針每分鐘比時針多轉6°-0.5°=5.5°，所以240÷5.5≈44（分鐘）。

也就是從8時開始，再經過44分鐘，時針正好與分針第一次重合。

例2：從早晨6點到傍晚6點，鐘面上時針和分針一共重合了多少次？

解：

我們可以把鐘面看成一個環形跑道，這樣分針和時針的轉動就可以轉化成追及問題。

從早晨6點到傍晚6點，一共經過了12小時，12個小時分針要跑12圈，時針只能跑1圈，分針比時針多跑12-1=11（圈），而分針每比時針多跑1圈，就會追上時針一次，也就是和時針重合1次，所以12小時內兩針一共重合了11次。

例3：一部記錄中國軍隊時代變遷的紀錄片時長有兩個多小時。

小明發現，紀錄片播放結束時，手表上時針.分針的位置正好與開始時時針.分針的位置交換了一下。

這部紀錄片時長多少分鐘？（精確到1分）

解：

1.解決本題的關鍵是認識到時針與分針合走的路程是1080°，進而轉化成相遇問題來解決。

2.兩個多小時，分針與時針位置正好交換。

所以分針與時針所走的路程和正好是三圈，也就是分針和時針合走360°×3=1080°，而分針和時針每分鐘的合走6°+0.5°=6.5°，所以合走1080°

需要1080÷6.5≈166（分鐘），即這部紀錄片時長166分鐘。

01

工程問題

【含義】

工程問題主要研究工作量.工作效率和工作時間三者之間的關系。

這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數量，只提出“一項工程”.“一塊土地”.“一條水渠”.“一件工作”等。

在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。

【數量關系】

工作量＝工作效率×工作時間工作時間

＝工作量÷工作效率工作時間

＝工作總量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

02解題思路和方法

解答工程問題的關鍵是把工作總量看作單位“1”。

這樣，工作效率就是工作時間的倒數（它表示單位時間內完成工作總量的幾分之幾）。

進而就可以根據工作量.工作效率.工作時間三者之間的關系列出算式。

例1：一項工程，甲隊獨做要12天完成，乙隊獨做要15天完成，兩隊合做4天可以完成這項工程的（）。

解：

1.本題考察的是兩個人的工程問題，解決本題的關鍵是求出甲.乙兩隊的工作效率之和。

進而用工作效率×工作時間=工作量。

2.甲隊的工作效率為:1÷12=，乙隊的工作效率為:1÷15=，兩隊合做4天，可以完成這項工程的（+）×4=。

例2：一項工程，甲.乙兩隊合作30天完成。

如果甲隊單獨做24天后，乙隊再加入合做，兩隊合做12天后，甲隊因事離去，由乙隊繼續做了15天才完成。

這項工程如果由甲隊單獨做，需要多少天完成？

解：

1.我們可以將“甲隊單獨做24天后，乙隊再加入合做，兩隊合做12天后，甲隊因事離去。

由乙隊繼續做了15天才完成”轉化為“甲.乙兩隊合做27天，甲再單獨做9天”，由此可以求出甲9天的工作量為：，甲每天的工作效率為：，這項工程如果由甲隊單獨做，需要。

例3：有一項工程，甲單獨做需要6小時，乙單獨做需要8小時，丙單獨做需要10小時，上午8時三人同時開始，中間甲有事離開，如果到中午12點工程才完工，則甲上午離開的時間是幾時幾分？

解：

1.根據題意，知道了甲乙丙的工作時間可求出相應的工作效率。

甲的工作量是全部工作量減去乙丙的工作量，所以甲的工作時間也可以求出來，即甲上午離開的時間也可以求出來。

2.甲的工作量=1-（+）×4=；

甲的工作效率為：1÷6=

所以甲的工作時間為：÷=（小時）

所以甲離開的時間是8時36分。

01盈虧問題

【含義】

根據一定的人數，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數或物品數，這類應用題叫做盈虧問題。

【數量關系】

一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：

參加分配總量＝（盈＋虧）÷分配差如果兩次都盈或都虧，則有：

參加分配總量＝（大盈－小盈）÷分配差參加分配總量＝（大虧－小虧）÷分配差

02解題思路和方法

大多數情況可以直接利用數量關系的公式。

例1：小明從家到學校，如果每分鐘走50米，就要遲到3分鐘；

如果每分鐘走70米，則可提前5分鐘到校，小明家到學校的路程是多少米？

解：

1.分析題意，類比“盈虧問題”，我們可以把“遲到3分鐘”，轉化為比計劃路程少行50×3=150（米），把“提前5分鐘”轉化為比計劃路程多行70×5=350（米）

這時題目被轉化成了“一盈一虧”問題。

2.根據公式，求出原計劃到校的時間：（350+150）÷（70-50）=25（分鐘）。

3.所以小明家到學校的路程：50×（25+3）=1400（米），或者70×（25-5）=1400（米）。

例2：若干人擦玻璃窗，其中2人各擦4塊，其余的人各擦5塊，則余12塊；

若每人擦6塊，正好擦完。

擦玻璃窗的共有多少人，玻璃共有多少塊？

解：

1.由題意可知，本題屬于分配不均型的盈虧問題，需要將題目條件轉化成一般盈虧問題。

“其中2人各擦4塊，其余的人各擦5塊，則余12塊”可以轉化為“每人擦5塊，則余10塊”。

2.這樣就轉化為了雙盈問題，擦玻璃的有：

（10-0）÷（6-5）=10人，玻璃共有10×5+10=60塊。

例3：動物園飼養員把一堆桃子分給一群猴子。如果每只猴子分10個桃子，則有兩只猴子沒有分到；

如果有兩只猴子分8個桃子，其余猴子分9個，則還差3個桃子。

一共有多少只猴子？

解：

1.分析題意，題中有兩種分配方式。

聯系“盈虧問題”，我們可以把“兩只猴子沒有分到”理解為桃子的數量少

2×10=20（個），再把“有兩只猴子分8個桃子，其余猴子分9個，則還差3個桃子”理解為每只猴子分9個，則還少（9-8）×2+3=5（個）。

2.這時把題目看成“雙虧問題”，求出猴子的數量：（20-5）÷（9-8）=15（只）。

01百分數問題

【含義】

百分數是表示一個數是另一個數的百分之幾的數。百分數是一種特殊的分數。

分數常?？梢酝ǚ?約分，而百分數則無需；

分數既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分數只顯“率”；

分數的分子.分母必須是自然數，而百分數的分子可以是小數；

百分數有一個專門的記號“%”。

在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。

【數量關系】

掌握“百分數”.“標準量”“比較量”三者之間的數量關系：

百分數＝比較量÷標準量標準量＝比較量÷百分數

02解題思路和方法

一般有三種基本類型：

（1）求一個數是另一個數的百分之幾；

（2）已知一個數，求它的百分之幾是多少；

（3）已知一個數的百分之幾是多少，求這個數。

例1：在植樹節里，某校六年級學生在校園內種樹8棵，占全校植樹數的20%，則該校在植樹節里共植樹多少棵？

解：

已知六年級學生的種樹棵數以及所種棵數占全校植樹數的比值，直接用除法運算即可。

所以：8÷20%=40（棵）

例2：商店新上架了一批連衣裙，第一天賣出總數的25%，第二天賣出45件，第三天賣出的是前兩天賣出的總和的三分一，最后剩下20件，則商店原先進了多少件連衣裙？

解：

1.把這批連衣裙的總數看作單位“1”，已知第三天賣出的是前兩天賣出的總和的三分之一，也就是第三天賣出了25%的和45的，由此可以求出與（45+45×+20）對應的分率。

2.根據已知一個數的幾分之幾或百分之幾是多少，求這個數，用除法解答。

（45+45×+20）÷（1-25%-25%×）=120（件）

例3：一堆圍棋子黑白兩種顏色，拿走15枚白棋子后，白子占總數的40%；再拿走49枚黑棋子后，白子占總數的75%，則原來這堆棋子一共有多少枚？

解：

1.本題考察的是百分數應用題的相關知識，解決本題的關鍵是當一種棋子變化時，抓住另一種棋子的數量不變，統一不變量的份數，進而解決問題。

2.由條件可知，當拿走49枚黑子時，此時白子的數量沒有變化，那么拿走49枚黑子前，黑子與白子的數量比為（1-40%）：40%=3：2=9：6，拿走49枚黑子后，黑子與白子的數量比為（1-75%）：75%=1：3=2：6，所以拿走的49枚黑子相當于9-2=7（份），故每一份是49÷7=7（枚）棋子

3.拿走49枚棋子之前，黑子有7×9=63（枚），白子有7×6=42（枚）。

4.再往前推，由“拿走15枚白棋子”可知，黑子的數量沒有變化，所以原來黑子有63枚，白子有42+15=57（枚），那么原來這堆棋子一共有63+57=120（枚）棋子。

03知識補充

百分數又叫百分率，百分率在工農業生產中應用很廣泛，常見的百分率有：

★?增長率＝增長數÷原來基數×100%

★?合格率＝合格產品數÷產品總數×100%

★?出勤率＝實際出勤人數÷應出勤人數×100%

★?出勤率＝實際出勤天數÷應出勤天數×100%

★?缺席率＝缺席人數÷實有總人數×100%

★?發芽率＝發芽種子數÷試驗種子總數×100%

★?成活率＝成活棵數÷種植總棵數×100%

★?出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100%

★?出油率＝油的重量÷油料重量×100%

★?廢品率＝廢品數量÷全部產品數量×100%

★?命中率＝命中次數÷總次數×100%

★?烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%

方陣問題

【含義】

將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣）。

根據已知條件求總人數或總物數，這類問題就叫做方陣問題。

【數量關系】

（1）方陣每邊人數與四周人數的關系：

四周人數?＝（每邊人數－1）×4

每邊人數?＝四周人數÷4＋1

（2）方陣總人數的求法：

實心方陣：總人數＝每邊人數×每邊人數

空心方陣：總人數＝外每邊的人數平方－內每邊的人

數平方內每邊人數＝外每邊人數－層數×2

（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：

總人數＝（每邊人數－層數）×層數×4

解題思路和方法

方陣問題有實心與空心兩種。

實心方陣的求法是以每邊的數自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據具體情況確定。

例1：佳一學校參加運動會團體操比賽的運動員排成了一個正方形隊列。如果要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少23人。

那么參加團體操表演的運動員一共有

多少人？

解：

1.要知道參加表演的運動員共有多少人，只需要找到最外層每邊有多少人即可。

2.一個正方形隊列，減去一行和一列，就是去掉了兩條邊上的人數，其中頂點上的人數計算了兩次，所以減少的人數=每邊的人數×2-1。

所以開始每邊有（23+1）÷2=12（人），參加表演的有12×12=144（人）。

例2：歡歡用圍棋子圍成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子16枚，歡歡擺這個方陣共用了多少枚圍棋子？

解法1：

1.本題考查的空心方陣，根據四周的枚數和每邊上的枚數之間的關系，算出每一層的棋子數。

2.方陣每向里一層，每邊的枚數就減少2枚。

知道最外一層每邊放16枚，就可求出第二層及第三層每邊枚數，知道各層每邊的枚數，就可以求出各層的總數。

最外一層的棋子的枚數：（16-1）×4=60（枚），第二層棋子的枚數：（16-2-1）×4=52（枚），第三層棋子的枚數：（16-2-2-1×4=11×4=44（枚），擺這個方陣共用了60+52+44=156（枚）棋子。

解法2:

若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：

總人數＝（每邊人數－層數）×層數×4。則：

（16-3）×3×4=156(枚)

例3：一個實心方陣由81人組成，這個方陣的最外層有

多少人？

解：

方陣的行數和列數相同，9×9=81，所以這是一個9行9列的方陣。

最外層人數與一邊人數的關系：一邊人數×4-4=一層人數。

所以最外層的人數是9×4-4=32(人)。

例4：明明在一個用棋子排成的實心方陣的下面和右面各多排一排棋子，一共用了23個棋子，這樣排成了一個新方陣，他又把這個新方陣改排成一個4層的空心陣，這個方陣最外層每邊有

多少個棋子？

解：

1.根據題意，排成的這個新方陣的每邊棋子數是（23+1）÷2=12（個）,那么這個實心方陣的棋子總數是12×12=144（個）。

2.根據空心方陣中，每相鄰的兩層的棋子數相差8的關系，我們可以找出等量關系，列方程解決。

設最外層有x個棋子，則從外到內每層的棋子數分別是（x-8）個.（x-16）個.（x-24）個。

則：x+

x-8+x-16+x-24=144，x=48

所以這個方陣最外層每邊有48÷4+1=13（個）棋子。

01牛吃草問題

【含義】

“牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。

這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。

【數量關系】

草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數

02解題思路和方法

解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。

例1：這是一片新鮮的牧場，現有400份草，每天都均勻地生長6份草。

若一開始放26頭奶牛，每頭奶牛每天吃1份草。

這片牧場的草夠奶牛吃多少天？

解：

1.本題考查的是牛吃草的問題。

解決本題的關鍵是要求出每天新增加的草量，在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長出的草，其余的牛吃原有的草。

2.由題目可知：原有的草量+新長的草量=總的草量。

奶牛除了要吃掉原有的草，也要吃掉新長的草。

原有的草量是不變的，每天新長的草量是勻速的，每天都長6份，每頭奶牛每天吃1份，新長的草剛好夠6頭奶牛吃的量。

那么剩下的20頭奶牛吃的就是原有的草，每天吃20份，400÷20=20（天），夠吃20天。

例2：一水庫原有存水量一定，河水每天均勻入庫。

5臺抽水機連續20天可抽干；6臺同樣的抽水機連續15天可抽干。

若要求6天抽干，需要

多少臺同樣的抽水機？

解：

設每臺抽水機每天可抽1份水。

5臺抽水機20天抽水：5×20=100（份）

6臺抽水機15天抽水：6×15=90（份）

每天入庫的水量：（100-90）÷（20-15）=2（份）

原有的存水量：100-20×2=60（份）

需抽水機臺數：60÷6+2=12（臺）

答：要求6天抽干，需要12臺同樣的抽水機。

例3：某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數一樣多。

從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘。

如果同時打開7個檢票口，那么需

多少分鐘？

解：

1.本題考查的是牛吃草的問題，“旅客”相當于“草”，檢票口相當于“?！?。

2.由題目可知，旅客總數由兩部分組成：

一部分是開始檢票前已經排隊的原有旅客，另一部分是開始檢票后新來的旅客。

設1個檢票口1分鐘檢票的人數為1份。

那么4個檢票口30分鐘檢票4×30=120（份），5個檢票口20分鐘檢票5×20=100（份），多花了10分鐘多檢了120-100=20（份）

那么每分鐘新增顧客數量為：20÷10=2（份）。

那么原有顧客總量為：120-30×2=60（份）。

同時打開7個檢票口，我們可以讓2個檢票口專門通過新來的顧客，其余的5個檢票口通過原來的顧客，需要60÷5=12（分鐘）。

01雞兔同籠問題

【含義】

這是古典的算術問題。已知籠子里雞.兔共有多少只頭和多少只腳，求雞.兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。

已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞.兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。

【數量關系】

第一雞兔同籠問題：

??假設全都是雞，則有兔數＝（實際腳數－2×雞兔總數）÷（4－2）

??假設全都是兔，則有雞數＝（4×雞兔總數－實際腳數）÷（4－2）

第二雞兔同籠問題：

??假設全是雞，則有兔數＝（2×雞兔總數－雞與兔腳之差）÷（4＋2）

??假設全是兔，則有雞數＝（4×雞兔總數＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）

02解題思路和方法

解此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。

如果先假設都是雞，然后以兔換雞；

如果先假設都是兔，然后以雞換兔。

這類問題也叫置換問題。

通過先假設，再置換，使問題得到解決。

例1：雞和兔在一個籠子里，共有35個頭，94只腳，那么雞有多少只，兔有多少只？

假設籠子里全部都是雞，每只雞有2只腳，那么一共應該有35×2=70（只）腳，而實際有94只腳，這多出來的腳就是把兔子當作雞多出來的，每只兔子比雞多2只腳，一共多了94-70=24（只），則兔子有24÷2=12（只），那么雞有35-12=23（只）。

例2：動物園里有鴕鳥和長頸鹿共70只，其中鴕鳥的腳比長頸鹿多80只，那么鴕鳥有多少只，長頸鹿有多少只？

解：

假設全部都是鴕鳥，則一共有70×2=140（只）腳，此時長頸鹿的腳數是0，鴕鳥腳比長頸鹿腳多140只，而實際上鴕鳥的腳比長頸鹿多80只。

因此鴕鳥腳與長頸鹿腳的差數多了140-80=60（只），這是因為把其中的長頸鹿換成了鴕鳥。

把每一只長頸鹿換成鴕鳥，鴕鳥的腳數將增加2只，長頸鹿的腳數減少4只，那么鴕鳥腳數與長頸鹿腳數的差就增加了6只，所以換成鴕鳥的長頸鹿有60÷6=10（只），鴕鳥有70-10=60（只）。

例3：李阿姨的農場里養了一批雞和兔，共有144條腿，如果雞數和兔數互換，那么共有腿156條。雞和兔一共有多少只？

解：

根據題意可得：前后雞的總只數=前后兔的總只數。

把1只雞和1只兔子看做一組，共有6條腿。

前后雞和兔的總腿數有144+156=300（條）

所以共有300÷6=50（組），也就是雞和兔的總只數有50只。

例4：一次數學考試，只有20道題。做對一題加5分，做錯一題倒扣3分（不做算錯）。

樂樂這次考試得了84分，那么樂樂做對了多少道題？

解：

如果20題全部做對，應該得20×5=100（分），而實際得了84分，少了100-84=16（分）。

做錯一題和做對一題之間，相差5+3=8（分），所以少了的16分，也就是做錯了16÷8=2（題）。

一共20題，所以樂樂做對了20-2=18（題）。

01抽屜問題

【含義】

在數學問題中有一類與“存在性”有關的問題，如367個人中至少有兩個人是同一天過生日，這類問題在生活中非常常見。

它所依據的理論，我們稱之為“抽屜原理”。

抽屜原理又名狄利克雷原則，是符合某種條件的對象存在性問題有力工具。

【數量關系】

基本的抽屜原則是：

如果把n＋1個物體（也叫元素）放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中放著2個或更多的物體（元素）。

抽屜原則可以推廣為：

如果有m個抽屜，元素的個數是抽屜個數的k倍多一些，那么至少有一個抽屜要放（k＋1）個或更多的元素。

02

解題思路和方法

目前,處理抽屜原理問題最基本和常用的方法是運用“最不利原則”,構造“最不利”“點最背”的情形。

例1：不透明的箱子中有紅.黃.藍.綠四種顏色的球各20個，一次至少摸出多少個球才能保證摸出兩個相同顏色的球？

解：

解決這個問題要考慮最不利的情況，因為有4種顏色，想要摸出兩個相同顏色的球。

那么最不利的情況就是，每種顏色的各摸出一個，這時再摸一個球，一定與前幾個球有顏色相同的。

因此至少要摸4+1=5(個)球。

例2：袋子中有2個紅球，3個黃球，4個藍球，5個綠球，一次至少摸出多少個球就能保證摸到兩種顏色的球？

解：

解決這個問題要考慮最不利情況，想要摸出兩種顏色的球。

最不利的情況應該是將一種顏色的球都拿出來時，不論接下來摸的球是什么顏色都與之前顏色不同。

因為4種球的個數各不相同。

所以最不利的情況應該是先將個數最多的球都拿出來，接下來摸的球都一定與之前顏色不同。

因此至少摸出5+1=6(個)球

例3：一次數學競賽共5道選擇題，評分標準為：基礎分5分，答對一題得3分，答錯扣1分，不答不得分。

要保證至少有4人得分相同，最少需要多少人參加競賽？

解：

1.本題考察的是抽屜原理的相關知識，解決本題的關鍵是要知道得分一共有多少種不同的情況。

進而從最壞的情況開始考慮解決問題。

2.一共有5題，且有5分的基礎分，那么每道題就有1分的基礎分。

也就相當于答對一題得4分，答錯不得分，不答得1分。

這次數學競賽的得分情況有以下幾種：

5題全對的只有1種情況：得20分；

對4題的有2種情況：1題答錯得16分，1題沒答得17分；

對3題的有3種情況：2題全錯得12分，只錯1題得13分，2題不做得14分；

對2題的有4種情況：3題全錯得8分，只錯2題得9分，只錯1題得10分；3題全不答得11分；

對1題的有5種情況：4題全錯得4分，只錯3題得5分，只錯2題得6分，只錯1題得7分，4題全不答得8分；

答對0題有6

種情況：5題全錯得0分；錯4題得1分，錯3題得2分，錯2題得3分，錯1題得4分，5題全不答得5分。

我們發現從0分到20分，只有19分.18分.15分這三個分數沒有，其它都有。

所以一共有20+1-3=18（種）不同的得分，要保證有四人得分相同。

最少需要18×3+1

=

55（人）參加競賽。

01濃度問題【含義】

在生產和生活中，我們經常會遇到溶液濃度問題。

這類問題研究的主要是溶劑（水或其它液體）.溶質.溶液.濃度這幾個量的關系。

例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質，溶解后的混合物叫溶液。

溶質的量在溶液的量中所占的百分數叫濃度，也叫百分比濃度。

【數量關系】

溶液＝溶劑＋溶質濃度＝溶質÷溶液×100%

02解題思路和方法

找出不變量，簡單題目直接利用公式，復雜題目變通后再利用公式。

例1：要將濃度為25％的酒精溶液1020克，配制成濃度為17％的酒精溶液，需加水多少克？

解：

1.根據題意可知，配制前后酒精溶液的質量和濃度發生了改變，但純酒精的質量并沒有發生改變。

2.純酒精的質量：1020×25%=255（克），占配制后酒精溶液質量的17%。

所以配制后酒精溶液的質量：255÷17%=1500（克）。

加入的水的質量：1500-1020=480（克）。

例2：有濃度為30%的鹽水溶液若干，添加了一定數量的水后稀釋成濃度為24%的鹽水溶液。

如果再加入同樣多的水，那么鹽水溶液的濃度變為多少？

解：

1.分析題意，假設濃度為30%的鹽水溶液有100克，則100克溶液中有100×30%=30（克）的鹽，加入水后，鹽占鹽水的24%。

此時鹽水的質量為：30÷24%=125（克），加入的水的質量為：125-100=25（克）。

2.再加入相同多的水后，鹽水溶液的濃度為：30÷（125+25）=20%。

例3：兩個杯中分別裝有濃度為45%與15%的鹽水，倒在一起后混合鹽水的濃度為35%。

若再加入300克濃度為20%的鹽水，則變成濃度為30%的鹽水，則原來濃度為45%的鹽水有多少克？

解：

1.本題考察的是濃度和配比問題的相關知識。

解決本題的關鍵是先求出原溶液與混合后的溶液濃度差的比。

從而求出所需溶液質量的比，并解決問題。

2.根據題意可知，濃度為35%的鹽水和濃度為20%的鹽水混合成濃度為30%的鹽水，因為濃度為35%的鹽水比混合后的濃度多35%-30%=5%，濃度為20%的鹽水比混合后的濃度少30%-20%=10%，5%：10%=1:2，即混合時，2份濃度為35%的鹽水才能補1份濃度為20%的鹽水。

故濃度為35%的鹽水與濃度為20%的鹽水所需質量比為2:1

所以濃度為35%的鹽水一共300÷1×2=600（克）。

3.同理，濃度為45%和15%的鹽水溶液與混合后濃度為35%的鹽水溶液差的比為（45%-35%）:（35%-15%）=1:2，那么濃度為45%和15%的鹽水溶液所需要的質量比為2:1，即2份濃度為45%的鹽水才能補上1份濃度為15%的鹽水。

故原來濃度為45%的鹽水有600÷（1+2）×2=400（克）。

01利潤問題【含義】

這是一種在生產經營中經常遇到的問題，包括成本.利潤.利潤率和虧損.虧損率等方面的問題。

【數量關系】

利潤＝售價－進貨價利潤率

＝（售價－進貨價）÷進貨價×100%售價

＝進貨價×（1＋利潤率）虧損

＝進貨價－售價虧損率

＝（進貨價－售價）÷進貨價×100%

02解題思路和方法

簡單題目直接利用公式，復雜題目變通后再利用公式。

例1：某服裝店從韓國代購100件羽絨服，每件進價300元，另外還需要付10元/件的代購費和200元的國際快遞費。

該服裝店要想每件羽絨服獲得75%的利潤率，則每件定價為多少元？

解：

由題意可知，每件羽絨服實際總成本包括每件羽絨服的進價.代購費和運費，總成本為300+10+200÷100=312（元），要想每件獲得75%的利潤，那么每件定價應該是成本的1+75%=175%，故每件定價為312×175%=546（元）。

例2：一件上衣打七折后的售價是140元，老板說：“如果這件上衣打對折就不賺也不虧”。

這件上衣成本是多少元？

解：

1.本題關鍵是理解打折的含義，打幾折后現價就是原價的百分之幾十，打對折就是指現價是原價的50%。

2.打七折是指現價是原價的70%，若把原價看成單位“1”，它的70%對應的數量是140元，所以原價是140÷70%=200（元）。

打對折是指打折后的價格是原價的50%，再用原價乘50%就是這件上衣的成本價。

所以這件上衣成本價：200×50%=100（元）。