第一篇：角平分線定理在幾何證明題中的妙用

http://www.tmdps.cn。

http://www.tmdps.cn，由圖形特征可構造以BM、CN為邊的兩個三角形，并證明這兩個三角形全等。考慮?BAC的平分線與BC邊的垂直平分線相交于點P，于是連接PB、PC，則利用垂直平分線和角平分線的知識即可解決。

證明：因AP是角平分線，PM?AB，PN?AC，故PM=PN 又因PD是BC的垂直平分線，故PB=PC 因PB=PC，PM=PN，故Rt?PBM?Rt?PCN

?BM?CN

點撥：這是一道垂直平分線與角平分線的綜合運用問題。上述解答省去了兩次全等的證明，相信同學們一定能體會到線段的垂直平分線定理與角平分線定理在幾何證明中的重要性。

第二篇：角平分線定理的多種證明方法

三角形內角平分線定理的多種證明方法

已知，如圖，AM為△ABC的角平分線，求證AB／AC=MB／MC

證明：方法一：（面積法）

三角形ABM面積S=(1/2)*AB*AM*sin∠BAM, 三角形ACM面積S=(1/2)*AC*AM*sin∠CAM, 所以三角形ABM面積S：三角形ACM面積S=AB:AC 又三角形ABM和三角形ACM是等高三角形，面積的比等于底的比，即三角形ABM面積S：三角形ACM面積S=BM:CM 所以AB／AC=MB／MC 方法二（相似形）

過C作CN平行于AB交AM的延長線于N 三角形ABM相似三角形NCM, AB/NC=BM/CM, 又可證明∠CAN=∠ANC 所以AC=CN，所以AB／AC=MB／MC 方法三（相似形）

過M作MN平行于AB交AC于N 三角形ABC相似三角形NMC, AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC 又可證明∠CAM=∠AMN 所以AN=MN，所以AB/AC=AN/NC所以AB／AC=MB／MC

方法四（正弦定理）

作三角形的外接圓，AM交圓于D，由正弦定理，得，AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM, AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM 又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180 sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, 所以AB／AC=MB／MC

閱讀下面材料，按要求完成后面作業。

三角形內角平分線性質定理：三角形內角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例。

已知：△ABC中，AD是角平分線（如圖1），求證：=。

分析：要證=，一般只要證BD、DC與AB、AC或BD、AB與DC、AC所在的三角形相似，現在B、D、C在一條直線，△ABD與△ADC不相似，需要考慮用別的方法換比。

在比例式=中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例項，所以考慮過C作CE∥AD交BA的延長線于E，從而得到BD、DC、AB的

第四比例項AE，這樣，證明（1）完成證明過程： 證明：

=，就可轉化證=。

（2）上述證明過程中，用到了哪些定理（寫對兩個即可）答：用了：①____________；②_____________。

（3）在上述分析和你的證明過程中，主要用到了下列三種數學思想的哪一種：①數形結合思想 ②轉化思想 ③分類討論思想 答：____________。（4）用三角形內角平分線定理解答問題：

如圖2，△ABC中，AD是角平分線，AB=5cm，AC=4cm，BD=7cm，求BC之長。

（1）證明：過點C作CE//AD交BA的延長線于點E，則∠E=∠BAD=∠DAC=∠ECA，所以AE=AC，由CE//AD，可得=，∴=。

（2）兩直線平行，同位角相等；等腰三角形的判定；三角形相似的判定的定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似。（3）②；（4）“略”

第三篇：幾何證明定理

幾何證明定理

一.直線與平面平行的(判定)

1.判定定理.平面外一條直線如果平行于平面內的一條直線,那么這條直線與這個平面平行.2.應用:反證法(證明直線不平行于平面)

二.平面與平面平行的(判定)

1.判定定理:一個平面上兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

2.關鍵：判定兩個平面是否有公共點

三.直線與平面平行的(性質)

1.性質：一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一與此平面的交線與該直線平行2.應用：過這條直線做一個平面與已知平面相交，那么交線平行于這條直線

四.平面與平面平行的(性質)

1.性質：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行

2.應用：通過做與兩個平行平面都相交的平面得到交線，實現線線平行

五：直線與平面垂直的(定理)

1.判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直

2.應用：如果一條直線與一個平面垂直，那么這條直線垂直于這個平面內所有的直線(線面垂直→線線垂直)

六.平面與平面的垂直(定理)

1.一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直

(或者做二面角判定)

2.應用:在其中一個平面內找到或做出另一個平面的垂線,即實現線面垂直證面面垂直的轉換

七.平面與平面垂直的(性質)

1.性質一:垂直于同一個平面的兩條垂線平行

2.性質二:如果兩個平面垂直,則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直

3.性質三:如果兩個平面互相垂直,那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面內的直線,在第一個平面內(性質三沒什么用,可以不用記)

以上,是立體幾何的定理和性質整理.是一定要記住的基本！

31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)

35推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

40逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合42定理1關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43定理2如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線

44定理3兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上

45逆定理如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a+b=c

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關系a+b=c，那么這個三角形是直角三角形

48定理四邊形的內角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內角和定理n邊形的內角的和等于(n-2)×180°

51推論任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質定理1平行四邊形的對角相等

53平行四邊形性質定理2平行四邊形的對邊相等

54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質定理3平行四邊形的對角線互相平分

56平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

57平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60矩形性質定理1矩形的四個角都是直角

61矩形性質定理2矩形的對角線相等

62矩形判定定理1有三個角是直角的四邊形是矩形。

第四篇：專題十二 幾何題證明解題技巧----角平分線專題

專題十一 幾何證明題解題技巧------角平分線專題

1．角分線，分兩邊，對稱全等要記全。（牢記，角平分線就是一個對稱軸，所以可以將其中的一個△翻轉180度，構造全等。也可以應用角分線定理作垂直）基本圖形

AAA

F EFEFED DD

BF'CBF'CBF'C圖一 圖二圖三例題：

1．已知，CE、AD是△ABC的角平分線，∠B＝60°。求證：AC＝AE＋CD。

A

E

BDC 圖二

2．已知，AB＝2AC，∠1＝∠2，DA＝DB。求證：DC⊥AC。A

2C

BD

圖三

3．已知，四邊形ABCD中，ABCD，∠1＝∠2，∠3＝∠4。求證：BC＝AB＋CD。

D EA

BC

8．已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CD＝BC。求證：∠ADC＋∠B＝180°。

B

9．已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CE⊥AB，AE＝

A12DC圖九1（AB＋AD）。2A求證：∠D＋∠B＝180°。

E

B C圖十

10．已知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：AP平分∠BAC。A

3B2 P 圖十一

2．角平分線＋垂線，角平分線＋平行線，等腰三角形要呈現，線段和差倍分都實現。基本圖形

AA

EGED

DF

12122 B3DCBCBF 圖2-1圖1圖2-2

第五篇：角平分線的性質定理教案

角平分線的性質定理教案

慧光中學：王曉艷

教學目標：（1）掌握角平分線的性質定理；

（2）能夠運用性質定理證明兩條線段相等；

教學重點：角平分線的性質定理及它的應用。教學難點：角平分線定理的應用；

教學方法：引導學生發現、探索、研究問題，歸納結論的方法 教學過程：

一，新課引入：

1．通過復習線段垂直平分線的性質定理引出角平分線上的點具有什么樣的特點？ 操作：（1）畫一個角的平分線；

（2）在這條平分線上任取一點P，畫出P點到角兩邊的距離。

（3）說出這兩段距離的關系并思考如何證明。2．定理的獲得：

A、學生用文字語言敘述出命題的內容，寫出已知，求證并給予證明，得出此命題是真命題，從而得到定理，并寫出相應的符號語言。B、分析此定理的作用:證明兩條線段相等；

應用定理所具備的前提條件是：有角的平分線，有垂直距離。3．定理的應用 二．例題講解：

例1：已知：如圖，點B、C在∠A的兩邊上，且AB=AC，P為∠A內一點，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別是E、F。求證：PE=PF（此題已知中有垂直，缺乏角平分線這個條件）FBPACE

例2：已知：如圖，⊙O與∠MAN的邊AM交于點B、C，與邊AN交于點E、F，圓心O在∠MAN的角平分線AQ上。

求證：BC=EF（此題已知中有角平分線，缺乏垂直這個條件）

M

CQBAEONF

三：課堂小結：

①應用角平分線的性質定理所具備的前提條件是：有角的平分線，有垂直距離;②若圖中有角平分線，可嘗試添加輔助線的方法:向角的兩邊引垂線段.四：鞏固練習

1．已知：如圖，△ABC中，D是BC上一點，BD=CD，∠1=∠2 求證：AB=AC 分析：此題看起來簡單，其實不然。題中雖然有三個條件（∠1= ∠2；BD=CD，AD=AD），但無法證明△ABD ≌△ACD，所以必須添加一些線幫助解題。

A1EBDFC

方

一、延長AD到AE，使DE=AD，再連接CD。（此方

法前面已經重點講過，這里不再考慮）

方

二、過點D分別作DE⊥AB于點E，DF⊥AB于點F，①利用全等證明

②利用面積相等證明

2．練習的拓展： 已知：如圖，D是BC上一點，AB=3㎝，AC=2㎝

求：① S⊿ABD ：S⊿ADC

② BD ：CD

ABDC

五．課后小結

1、本節課所學習的重要定理是什么？

2、定理的作用是什么？應用該定理必須具備什么樣的前提條件？

3、若圖中有角平分線常采用添加輔助線的方法是什么？

4、基本圖形拓展：此圖中根據已知條件還可以得到那些結論？若連接AP，EF還可以得到哪些結論？

慧光中學：王曉艷

教師的成長在于不斷地總結教學經驗和進行教學反思，下面是我對這一節課的得失分析：

一、教材分析

本節課是九年制義務教育課程標準實驗教科書八年級上冊11.3角平分線的性質的第一課時。角平分線是初中數中重要的概念，它有著十分重要的性質，通過本節的學習，可以豐富和加深學生對已學圖形的認識，同時為學習其它圖形知識打好基礎.二、學生情況

八年級學生有一定的自學、探索能力，求知欲強。借助于課件的優勢，能使腦、手充分動起來，學生間相互探討，積極性也被充分調動起來。教法和法學

通過創設情境、動手實踐，激發學生的學習興趣，促進學生積極思考，尋找解決問題的途徑和方法。

在教師的指導下，采用學生自己動手探索的學習方式，讓學生思考問題，獲取知識，掌握方法，借此培養學生動手動腦、動口的能力，使學生真正成為學習的主體。

三、教學過程設計

首先，本節課我本著學生為主，突出重點的意圖，結合課件使之得到充分的詮釋。如在角平分線的畫法總結中，我讓學生自己動手，通過對比平分角的儀器的原理進行作圖，并留給學生足夠的時間進行證明。為了解決角平分線的性質這一難點，我通過具體實踐操作、猜想證明、語言轉換讓學生感受知識的連貫性。

其次，我在講解過程中突出了對中考知識的點撥，并且讓學生感受生活中的實例，體現了數學與生活的聯系；滲透美學價值。<<角平分線的性質>>教學反思

再次，從教學流程來說：情境創設---實踐操作---交流探究---練習與小結---拓展提高，這樣的教學環節激發了學生的學習興趣，將想與做有機地結合起來，使學生在想與做中感受和體驗，主動獲取數學知識。像采用這種由易到難的手法，符合學生的思維發展，一氣呵成，突破了本節課的重點和難點。

四、本節課的不足

本節課在授課開始，我沒有把平分角的學具的建模思想充分傳達給學生，只是利用它起到了一個引課的作用，并且沒有在尺規作圖后將平分角的學具與角平分線的畫法的關系兩相對照。

在授課過程中，我對學生的能力有些低估，表現在整個教學過程中始終大包大攬，沒有放手讓學生自主合作，在教學中總是以我在講為主，沒有培養學生的能力。

對課堂所用時間把握不夠準確，由于在開始的尺規作圖中浪費了一部分時間，以至于在后面所準備的習題沒有時間去練習，給人感覺這節課不夠完整。再就是課堂上安排的內容

《角平分線的性質》說課稿

慧光初級中學 王曉艷

我說課的題目是《角的平分線的性質》。下面，我從教材分析、教法與學法、教學過程、設計說明四個方面對我的教學設計加以說明．

一、教材分析

（一）地位和作用：

本節課選自新人教版教材《數學》八年級上冊第二章第三節，本節課的教學內容包括探索并證明角平分線性質定理的逆定理，會用角平分線性質定理的逆定理解決問題。是在七年級學習了角平分線的概念和前面剛學完證明直角三角形全等的基礎上進行教學的．角平分線的性質和判定為證明線段或角相等開辟了新的途徑，簡化了證明過程，同時也是全等三角形知識的延續，又為后面的學習奠定基礎．因此，本節內容在數學知識體系中起到了承上啟下的作用．同時教材的安排由淺入深、由易到難、知識結構合理，符合學生的心理特點和認知規律．

（二）教學目標

1、知識目標：（1）探索并證明角平分線性質定理的逆定理.（2）會用角平分線性質定理的逆定理解決問題了解尺規作圖的原理及角的平分線的性質.2、基本技能

讓學生通過自主探索，運用邏輯推理的方法證明關于角平分線的判定，并體會感性認識與理性認識之間的聯系與區別。

3、數學思想方法：從特殊到一般

4、基本活動經驗：體驗從操作、測量、猜想、驗證的過程，獲得驗證幾何命題正確性的一般過程的活動經驗

設計意圖：

通過讓學生經歷動手操作，合作交流，自主探究等過程，培養學生用數學知識解決問題的能力和數學建模能力了解角的平分線的性質在生產，生活中的應用培養學生探究問題的興趣，增強解決問題的信心，獲得解決問題的成功體驗，激發學生應用數學的熱情.（三）教學重難點

進入八年級的學生觀察、操作、猜想能力較強，但歸納、運用數學意識的思想比較薄弱，思維的廣闊性、敏捷性、靈活性比較欠缺，需要在課堂教學中進一步加強引導．根據學生的認知特點和接受水平，我把本節課的教學重點定為：掌握角平分線的尺規作圖，理解角的平分線的性質并能初步運用，難點是：（1）對角平分線性質定理中點到角兩邊的距離的正確理解；（2）對于性質定理的運用（學生習慣找三角形全等的方法解決問題而不注重利用剛學過的定理來解決，結果相當于對定理的重復證明）

教學難點突破方法：

（1）利用多媒體動態顯示角平分線性質的本質內容，在學生腦海中加深印象，從而對性質定理正確使用；（2）通過對比教學讓學生選擇簡單的方法解決問題；（3）通過多媒體創設具有啟發性的問題情境，使學生在積極的思維狀態中進行學習．

二、教法和學法

本節課我堅持“教與學、知識與能力的辯證統一”和“使每個學生都得到充分發展”的原則，采用引導式探索發現法、主動式探究法、講授教學法，引導學生自主學習、合作學習和探究學習，指導學生“動手操作，合作交流，自主探究”．鼓勵學生多思、多說、多練，堅持師生間的多向交流，努力做到教法、學法的最優組合．

教學輔助手段：根據本節課的實際教學需要，我選擇多媒體PPT課件，幾何畫板軟件教學，將有關教學內容用動態的方式展示出來，讓學生能夠進行直觀地觀察，并留下清晰的印象，從而發現變化之中的不變．這樣，吸引了學生的注意力，激發了學生學習數學的興趣，有利于學生對知識點的理解和掌握．

四、教學過程

（一）創設情景 引出課題

出示生活中的數學問題：

問題1 如圖，要在S 區建一個廣告牌P，使它到兩條高速公路的距離相等，離兩條公路交叉處500 m，請你幫忙設計一下，這個廣告牌P 應建于何處（在圖上 標出它的位置，比例尺為1：20 000）？

［設計意圖］利用多媒體渲染氣氛，激發情感．

教師利用多媒體展示，引領學生進入實際問題情景中，利用信息技術既生動展示問題，同時又通過圖片讓學生身臨其境般感受生活。學生動手畫圖，猜測并說出觀察到的結論．李薇同學很快就回答：“在兩條路夾角的平分線上，因為由昨天我們學習的角平線的性質定知道到角兩邊路離相等的點在角的平分線上。”其余同學對這一回答也表示了認可。此是教師提問：角平分線的性質的題設是已知角平分線，結論是有到角兩邊距離相等，而此題是要求角兩邊距離相等，那這個點在這個角的平分線上嗎？這二者有區別嗎？”學生晃然明白過來這二者是有區別的，此時教師引導學生分析：“只要后者是正確的，那李薇同學的回答也就可行了，這便是今天我們要研究的內容”由此引入本節新課。．

[設計理由］依據新課程理念，教師要創造性地使用教材，作為本課的第一個引例，從學生的生活出發，激發學生的學習興趣，培養學生運用數學知識，解決實際問題的意識，復習了角平分線的性質，為后續的學習作好知識上的儲備．

（二）、主體探究，體驗過程

問題2交叉角的平分線的性質中的已知和結論，你能得到什么結論，這個新結論正確嗎？讓學生分組討論、交流，再利用幾何畫板軟件驗證結論，并用文字語言闡述得到的性質．（角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。）

追問1你能證明這個結論的正確性嗎？

結合圖形寫出已知，求證，分析后寫出證明過程．證明后，教師強調經過證明正確的命題可作為定理．教師歸納，強調定理的條件和作用．同時強調文字命題的證明步驟．

［設計意圖］經歷實踐→猜想→證明→歸納的過程，培養學生的動手操作能力和觀察能力，符合學生的認知規律，尤其是對于結論的驗證，信息技術在此體現其不可替代性，從而更利于學生的直觀體驗上升到理性思維．

追問2 這個結論與角的平分線的性質在應用上有什么不同？

這個結論可以判定角的平分線，而角的平分線的性。

質可用來證明線段相等．

（三）鞏固練習，應用性質。讓學生運用本節所學知識分步來解決課前所提問題。讓學生體會生活中蘊含數學知識，數學知識又能解決生活中的問題，感受數學的價值，讓人人學到有用的數學。

在教學的實際過程中，重視學生的親身體驗、自主探究、過程感悟。在教學中，給學生一段時間去體悟，給他們一個空間去創造，給他們一個舞臺去表演；讓他們動腦去思考，用眼睛去觀察，用耳朵去聆聽，用自己的嘴去描述，用自己的手去操作。這種探究超越知識范疇而擴展到情感、價值觀領域，使課堂成為學生生命成長的樂園。為了讓學生做到學以致用，在判定證明完后，我讓學生回頭來解決問題1，對于問題1的解決作了如下分解：在問題1中，在S 區建一個廣告牌P，使它到兩條公路的距離相等．

（1）這個廣告牌P 應建于何處？這樣的廣告牌可建多少個？

（2）若這個廣告牌P 離兩條公路交叉處500 m（在圖上標出它的位置，比例尺為1：20 000），這個廣告牌應建于何處？

（3）如圖，要在S 區建一個廣告牌P，使它到兩 條公路和一條鐵路的距離都相等．這個廣告牌P 應建在何處？

這樣有梯次的設問為學生最終解決問題1作了很好的分解，學生獨立解決這道路問題也就變得很簡單了。同時在分解問題（3）時，有學生說作三角的平分線找交點，有學生反駁說作兩條就可以了因為第三條角平分也一定過這個交點。此時老師及時提問任意三角形的兩內角平分線的交點在第三個角的平分線上嗎？那么我們來作下面的探究。（教師出示問題2：如圖，點P是△ABC的兩條角平分線BM，CN 的交點，點P 在∠BAC的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關系？ 這樣提出問題連慣性強，讓學生的思維始終處于活躍和不斷對知識的渴求探索中。

（四）歸納小結，充實結構

1、這節課你有哪些收獲，還有什么困惑？

2、通過本節課你了解了哪些思考問題的方法？

教師讓學生暢談本節課的收獲與體會．學生歸納、梳理交流本節課所獲得的知識技能與情感體驗．

［設計意圖］通過引導學生自主歸納，調動學生的主動參與意識，鍛煉學生歸納概括與表達能力．

五、布置作業

作業，必做題：教材習題12.3第3、7題； 選做題：課時通上選做部分題。

［設計意圖］設置必做題的目的是鞏固本節課應知應會的內容，面向全體學生，人人必須完成．選做題要求學生根據個人的實際情況盡力完成，使學有余力的學生得到提高，達到“不同的人得到不同的發展”的目的．

本節課設計了四個環節，環環相扣，三個整合點，層層深入，將信息技術與教學進行有機整合，充分調動學生的自主探究與合作交流，教師注意適時的點拔引導，學生的主體地位和教師的主導作用得以充分體現，切實能夠達到發展思維、提升能力的根本目的，能夠較好地實現教學目標，也使課標理念能夠很好地得到落實。