第一篇：舉例子能證明幾何定理嗎

舉例子能證明幾何定理嗎

【編者的話】書讀得多而不去思考，你會覺得你知道的很多，書讀得多又思考，你會覺得你不知道的很多.――伏爾泰

各位親愛的同學，假期里你總可以擠出一些屬于自己的閱讀時間，你是否相信自己可以從課外閱讀中獲取自己想要的知識與靈感呢？課外閱讀的范圍相當廣，我們可以依據自己的興趣進行選擇性地閱讀，身心必將受到一次大的洗禮，在增長見識的同時又娛樂身心，何樂而不為？

本期的兩篇文章都是節(jié)選，請你讀一讀，要是在讀過后能寫些讀后感就更好了！

歸納和演繹，是人類認識世界活動中廣泛應用的兩套思維方法.它反映了人們認識事物的兩條思維途徑，前者是從個別到一般的思維運動，后者是從一般到個別的思維運動.哲學認為：歸納和演繹非常重要，但各自也都存在一定的局限性，需要相互補充、相互轉化.在數學家的眼中，歸納和演繹用處也各有不同.拉普拉斯說：在數學這門科學里，我們發(fā)現真理的主要工具是歸納和類比.高斯說：數學中的一些美麗定理具有這樣的特性，它們極易從事實中歸納出來，但證明卻隱藏得極深.陳省身說：數學是一門演繹的學問，從一組公設，經過邏輯的推理，獲得結論.歸納用于發(fā)現，演繹用于推理.這是相當普遍的看法.例證法――用演繹支持歸納

那么，在數學中舉例真的不能證明一般的命題嗎？

中學里學了恒等式.下面的等式

（χ-1）2=χ2-2χ+1

（※）

就是一個恒等式.用χ=l代人，兩邊都得O；χ=2，兩邊都得1；χ=3，兩邊都得4.這樣舉了三個例子之后，能不能肯定（※）是恒等式呢？

恒等式，恒等式，要求χ取所有數值時兩邊都相等.才驗證了三個χ的值，怎么能斷定它一定恒等呢？

其實，這三個實例已經證明了（※）是恒等式.道理是：如果它不是恒等式，它一定是二次或一次方程，這種方程不可能有三個根.現在1，2，3都是“根”，說明它不是方程而是恒等式，在這個具體問題上，演繹推理支持了歸納推理.我們用數學上承認的演繹法證明了歸納法的有效性，一般說來，代數恒等式的檢驗都可以用舉例子的方法.不過，高次的和多元的等式，要用更多的例子罷了.這些事實表明：在數學王國的某些角落里，歸納法可以有效地證明一般性的命題，甚至可以用一個特例證明一般的命題.歸納法的這種力量，是由演繹推理證明的.數學的新成果表明：歸納與演繹是對立的統(tǒng)一.認為歸納推理毫無根據是不充分的，因為在初等幾何范圍內已證明了歸納的有效性；認為演繹推理不能使我們增加新知識也是不確切的，因為演繹推理揭示出事物的內在聯(lián)系，使我們看到現象背后的本質，增加了我們的新知識.歸納與演繹，是人類認識世界的兩個基本方法，它們相互支持，相互補充，使我們越來越接近真理.但是，代數恒等式在數學史上，遠不如初等幾何證明題那樣受人青睞，那樣豐富多彩，那樣魅力無窮.正是在初等幾何領域，演繹推理樹立起了自己的威望，成為人所共知的絕對統(tǒng)治者.歸納法的效力，能不能在這里發(fā)揮作用呢？傳統(tǒng)的看法是否定的.但是，20世紀80年代以來，中國數學家的工作在這里揭開了新的一頁.幾何定理也能用例子證明

用舉例的方法證明幾何定理的研究，屬于幾何定理機器證明這個在近幾十年開始活躍起來的數學領域.用機器證明數學定理，是歷史上一些杰出的數學家與哲學家夢寐以求的事.數學問題大體上有兩類，一類是求解，一類是求證.我們熟悉的求解問題很多：解方程，解應用題，幾何作圖，求最大公因數與最小公倍數，我們熟悉的求證問題，大多是初等幾何證明題，還有證明恒等式，證明不等式.中國古代數學研究的中心問題是求解，把問題分為若干類，分別給出解題的方法.這方法是一系列確定的步驟，誰都可以學會.會一個方法，便能解一類問題.《九章算術》就是這么做的.用一個固定的程序解決一類問題，這就是數學機械化的基本思想.追求數學的機械化方法，是中國古代數學的優(yōu)秀傳統(tǒng)之一.在西方，以希臘幾何學研究為代表的古代數學，所研究的中心問題不是求解而是求證，是從公理出發(fā)用演繹推理方式證明一個一個的定理.而證明定理的方法，則是一題一證，各具巧思，無一確定的法則可循.證明的成功有賴于技巧與靈感.能不能找到一種方法，像解方程那樣，按固定法則證明一批一批的幾何定理呢？

17世紀法國的唯理論哲學家，發(fā)明了解析幾何的數學家笛卡兒，曾有過一個大膽的設想：“一切問題化為數學問題.一切數學問題化為代數問題.一切代數問題化為代數方程求解問題.”

于是，笛卡兒用坐標方法――解析幾何的方法，把初等幾何問題化成了代數問題.比笛卡兒稍晚一些的德國唯理論哲學家、與牛頓同時創(chuàng)立微積分的數學家萊布尼茨，曾有過“推理機器”的設想，希望用一臺機器代替人的推理活動，他曾設計過計算機，他的努力促進了數理邏輯的研究.20世紀的數學大師希爾伯特，在他的名著《幾何基礎》一書中，也曾提出過一小類幾何命題的機械判定方法.第二次世界大戰(zhàn)以后，電子計算機的出現大大促進了定理機器證明的研究.經過許多出色數學家的辛勤耕耘，這個領域有了蓬勃發(fā)展，但是都不能在計算機上真的用來證明非平凡的幾何定理.一直到杰出的中國數學家吳文俊院士在1977年發(fā)表他的初等幾何機器證明新方法之后，在電子計算機上證明初等幾何定理才成為現實.吳氏方法的基本思想是：先把幾何問題化為代數問題，再把代數問題化為代數恒等式的檢驗問題，代數恒等式的檢驗是機械的，問題的轉化過程也是機械的，整個問題也就機械化了.既然幾何證明問題可以化為代數恒等式的檢驗問題，而在前面義剛剛提到過可以用舉例的方法檢驗代數恒等式，那是不是意味著有可能用舉例的方法來證明幾何定理呢？

吳氏方法鼓舞了這個方向的研究.在吳氏方法的基礎上，洪加威于1986年發(fā)表了一項引起廣泛興趣的研究成果：對于相當廣泛的一類幾何命題，只要檢驗一個實例便能確定這條命題是不是成立.特例的檢驗，能代替演繹推理的證明！

但是，洪加威要的那一個例子，不是隨手拈來的例子，它要滿足一定的條件，才具有一般的代表性，對于非平凡的幾何命題，這例子往往涉及大得驚人的數值計算.為了使洪氏方法在計算機上實現，尚待進一步的努力.在吳氏方法的基礎上，張景中、楊路提出了另一種舉例證明幾何定理的方法.按照這種方法，為了判定一個（等式型）初等幾何命題的真假，只須檢驗若干普通的實例.例子的數目與分布方式可以根據命題的復雜程度用機械的方法確定.順便提一句，舉一些例子證明幾何定理，舉的例子不僅要夠一定的數目，而且要有一定的分布方式，這正是歸納法的倡導者培根所要求的：要廣泛搜集材料，搜集不同類型的材料.它的有效范圍是它從中引申、歸納m的那些事例的范圍，張楊法所要求的這一組例子的分布形式，足以保證概括了命題的論域，代表了廣泛的一般情形.――節(jié)選自張景中、彭翕成所著的《數學哲學》

第二篇：幾何證明定理

幾何證明定理

一.直線與平面平行的(判定)

1.判定定理.平面外一條直線如果平行于平面內的一條直線,那么這條直線與這個平面平行.2.應用:反證法(證明直線不平行于平面)

二.平面與平面平行的(判定)

1.判定定理:一個平面上兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

2.關鍵：判定兩個平面是否有公共點

三.直線與平面平行的(性質)

1.性質：一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一與此平面的交線與該直線平行2.應用：過這條直線做一個平面與已知平面相交，那么交線平行于這條直線

四.平面與平面平行的(性質)

1.性質：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行

2.應用：通過做與兩個平行平面都相交的平面得到交線，實現線線平行

五：直線與平面垂直的(定理)

1.判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直

2.應用：如果一條直線與一個平面垂直，那么這條直線垂直于這個平面內所有的直線(線面垂直→線線垂直)

六.平面與平面的垂直(定理)

1.一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直

(或者做二面角判定)

2.應用:在其中一個平面內找到或做出另一個平面的垂線,即實現線面垂直證面面垂直的轉換

七.平面與平面垂直的(性質)

1.性質一:垂直于同一個平面的兩條垂線平行

2.性質二:如果兩個平面垂直,則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直

3.性質三:如果兩個平面互相垂直,那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面內的直線,在第一個平面內(性質三沒什么用,可以不用記)

以上,是立體幾何的定理和性質整理.是一定要記住的基本！

31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)

35推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

40逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合42定理1關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43定理2如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線

44定理3兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上

45逆定理如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a+b=c

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關系a+b=c，那么這個三角形是直角三角形

48定理四邊形的內角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內角和定理n邊形的內角的和等于(n-2)×180°

51推論任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質定理1平行四邊形的對角相等

53平行四邊形性質定理2平行四邊形的對邊相等

54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質定理3平行四邊形的對角線互相平分

56平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

57平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60矩形性質定理1矩形的四個角都是直角

61矩形性質定理2矩形的對角線相等

62矩形判定定理1有三個角是直角的四邊形是矩形。

第三篇：高中幾何證明定理

高中幾何證明定理

一.直線與平面平行的(判定)

1.判定定理.平面外一條直線如果平行于平面內的一條直線,那么這條直線與這個平面平行.2.應用:反證法(證明直線不平行于平面)

二.平面與平面平行的(判定)

1.判定定理:一個平面上兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

2.關鍵：判定兩個平面是否有公共點

三.直線與平面平行的(性質)

1.性質：一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一與此平面的交線與該直線平行2.應用：過這條直線做一個平面與已知平面相交，那么交線平行于這條直線

四.平面與平面平行的(性質)

1.性質：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行

2.應用：通過做與兩個平行平面都相交的平面得到交線，實現線線平行

五：直線與平面垂直的(定理)

1.判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直

2.應用：如果一條直線與一個平面垂直，那么這條直線垂直于這個平面內所有的直線(線面垂直→線線垂直)

六.平面與平面的垂直(定理)

1.一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直

(或者做二面角判定)

2.應用:在其中一個平面內找到或做出另一個平面的垂線,即實現線面垂直證面面垂直的轉換

七.平面與平面垂直的(性質)

1.性質一:垂直于同一個平面的兩條垂線平行

2.性質二:如果兩個平面垂直,則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直

3.性質三:如果兩個平面互相垂直,那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面內的直線,在第一個平面內(性質三沒什么用,可以不用記)

以上,是立體幾何的定理和性質整理.是一定要記住的基本!。

想要變-態(tài)的這里多的是--

歐拉定理&歐拉線&歐拉公式(不一樣)

九點圓定理

葛爾剛點

費馬定理(費馬點(也叫做費爾馬點))

海倫-公式

共角比例定理

張角定理

帕斯卡定理

曼海姆定理

卡諾定理

芬斯勒-哈德維格不等式(幾何的)

外森匹克不等式(同上)

琴生不等式(同上)

塞瓦定理

梅涅勞斯定理

斯坦納定理

托勒密定理

分角線定理(與角分線定理不同)

斯特瓦爾特定理

切點弦定理

西姆松定理。

第四篇：初一常用幾何證明的定理

初一常用幾何證明的定理總結

平面直角坐標系各個象限內和坐標軸的點的坐標的符號規(guī)律：

（1）x軸將坐標平面分為兩部分，x軸上方的縱坐標為正數；x軸下方的點縱坐標為負數。即第一、二象限及y軸正方向（也稱y軸正半軸）上的點的縱坐標為正數；第三、四象限及y軸負方向（也稱y軸負半軸）上的點的縱坐標為負數。

反之，如果點P（a，b）在x軸上方，則b>0；如果P（a，b）在x軸下方，則b<0。

(2)y軸將坐標平面分成兩部分，y軸左側的點的橫坐標為負數；y軸右側的點的橫坐標為正數。即第二、三象限和x軸的負半軸上的點的橫坐標為負數；第一、四象限和x軸正半軸上的點的橫坐標為正數。

（3）規(guī)定坐標原點的坐標為（0，0）

（4

(5)

第五篇：牛頓幾何三大定理及證明

牛頓三大定理

牛頓定理1：完全四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三點共線。這條直線叫做這個四邊形的牛頓線。

證明：四邊形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中點M,AC中點L,EF中點N。取BE中點P,BC中點R,PN∩CE=Q

R,L,Q共線，QL/LR=EA/AB，M,R,P共線。RM/MP=CD/DE，N,P,Q共線，PN/NQ=BF/FC 三式相乘得:QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC 由梅涅勞斯定理QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1 由梅涅勞斯定理的逆定理知:L,M,N三點共線 故牛頓定理1成立

牛頓定理2圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線。

證明：設四邊形ABCD是⊙I的外切四邊形，E和F分別是它的對角線AC和BD的中點，連接EI只需證它過點F，即只需證△BEI與△DEI面積相等。

顯然，S△BEI=S△BIC+S△CEI-S△BCE，而S△DEI=S△ADE+S△AIE-S△AID。注意兩個式子，由ABCD外切于⊙I，AB+CD=AD+BC，S△BIC+S△AID=1/2*S四邊形ABCD，S△ADE+S△BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四邊形ABCD。即S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE，移項得S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID，由E是AC中點，S△CEI=S△AEI，故S△BIC-S△CEI-S△BCE=S△ADE-S△AIE-S△AID，即S△BEI=△DEI，而F是BD中點，由共邊比例定理EI過點F即EF過點I，故結論成立。證畢。

牛頓定理3圓的外切四邊形的對角線的交點和以切點為頂點的四邊形對角線交點重合。

證明 設四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA與內切圓分別切于點E,F,G,H.首先證明,直線AC,EG,FH交于一點.設EG,FH分別交AC于點I,I'.顯然∠AHI‘=∠BFI ’ 因此易知 AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S(CI'F)=AH*HI'/CF*FI' 故 AI'/CI'=AH/CF.同樣可證:AI/CI=AE/CG又AE=AH,CF=CG.故AI/CI=AH/CF=AI'/CI'.從而I,I'重合.即直線AC,EG,FH交于一點.同理可證:直線BD,EG,FH交于一點.因此直線AC,BD,EG,FH交于一點.