第一篇：高中數學聯賽幾何定理

高中數學聯賽幾何定理

梅涅勞斯定理

BFAECD???1。FAECBD

BFAECD?1，逆定理：一直線截△ABC的三邊BC,CA,AB或其延長線于D,E,F若??FAECBD一直線截△ABC的三邊BC,CA,AB或其延長線于D,E,F則

則D,E,F三點共線。

塞瓦定理

BDCEAF??=1。在△ABC內任取一點O,直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則

托勒密定理

ABCD為任意一個圓內接四邊形，則AB?CD?AD?BC?AC?BD。

逆定理：若四邊形ABCD滿足AB?CD?AD?BC?AC?BD，則A、B、C、D四點共圓

西姆松定理

過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。

相關的結果有：

（1）稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點為線段PH的中點，且這點在九點圓上。

（2）兩點的西姆松線的交角等于該兩點的圓周角。

(3）若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點P對應兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關。

（4）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。斯特瓦爾特定理

設已知△ABC及其底邊上B、C兩點間的一點D，則有AB·DC+AC·BD-AD·BC＝BC·DC·BD。22

2三角形旁心

1、旁切圓的圓心叫做三角形的旁心。

2、與三角形的一邊及其他兩邊的延長線都相切的圓叫做三角形的旁切圓。

費馬點

在一個三角形中，到3個頂點距離之和最小的點叫做這個三角形的費馬點。

(1)若三角形ABC的3個內角均小于120°，那么3條距離連線正好平分費馬點所在的周角。所以三角形的費馬點也稱為三角形的等角中心。

(2)若三角形有一內角不小于120度，則此鈍角的頂點就是距離和最小的點。

判定（1）對于任意三角形△ABC，若三角形內或三角形上某一點E,若EA+EB+EC有最小值,則E為費馬點。費馬點的計算

（2）如果三角形有一個內角大于或等于120°，這個內角的頂點就是費馬點；如果3個內角均小于120°，則在三角形內部對3邊張角均為120°的點，是三角形的費馬點。

九點圓：三角形三邊的中點,三高的垂足和三個歐拉點（連結三角形各頂點與垂心所得三線段的中點）九點共圓。通常稱這個圓為九點圓（nine-point circle），歐拉線：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線。

幾何不等式

1托勒密不等式:任意凸四邊形

ABCD四點共圓時取等號。ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當且僅當

2埃爾多斯—莫德爾不等式:設P是ΔABC內任意一點，P到ΔABC三邊BC,CA,AB的距離分別為PD=p,PE=q,PF=r，記PA=x,PB=y,PC=z。則 x+y+z≥2(p+q+r)3外森比克不等式:設△ABC的三邊長為a、b、c,面積為S,則a2+b2+c2≥4S 4歐拉不等式:設△ABC外接圓與內切圓的半徑分別為R、r，則R≥2r,當且僅當△ABC為正三角形時取等號。

圓冪

假設平面上有一點P，有一圓O，其半徑為R，則OP^2-R^2即為P點到圓O的冪；可見圓外的點對圓的冪為正，圓內為負，圓上為0；

根軸

1在平面上任給兩不同心的圓，則對兩圓圓冪相等的點的集合是一條直線，這條線稱為這兩個圓的根軸。

2另一角度也可以稱兩不同心圓的等冪點的軌跡為根軸。

相關定理

1，平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線；

2，若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線；

3，若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內公切線；

4，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三個圓心不共線的圓，它們兩兩的根軸或者互相平行，或者交于一點，這一點叫做它們的根心；

第二篇：高中數學聯賽中常見的幾何定理

梅涅勞斯定理 ：

梅涅勞斯（Menelaus）定理是由古希臘數學家梅涅勞斯首先證明的。他指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么AF/FB×BD/DC×CE/EA=1。證明：

過點A作AG‖BC交DF的延長線于G

AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG

三式相乘得：

AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=

1它的逆定理也成立：若有三點F、D、E分別在的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，則F、D、E三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。

塞瓦定理：

在△ABC內任取一點O，直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=

1證法簡介

（Ⅰ）本題可利用梅涅勞斯定理證明：

∵△ADC被直線BOE所截，∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①

而由△ABD被直線COF所截，∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②

②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

（Ⅱ）也可以利用面積關系證明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點:

設三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據塞瓦定理逆定理，因為(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）

/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點。

可用塞瓦定理證明的其他定理;

三角形三條中線交于一點（重心）:如圖5 D , E分別為BC , AC 中點 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=

1且因為AF=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三條中線交于一點塞瓦定理推論（趙浩杰定理）：

設E是△ABD內任意一點，AE、BE、DE分別交對邊于C、G、F，則(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）則(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K為未知參數）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K為未知參數）

由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=

1所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1（塞瓦定理推論）

托勒密(Ptolemy)定理指出，圓內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。原文：圓內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于 一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。

一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。）

在任意四邊形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD

因為△ABE∽△ACD

所以 BE/CD=AB/AC,即BE〃AC=AB〃CD(1)

而∠BAC=∠DAE，∠ACB=∠ADE

所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED〃AC=BC〃AD(2)

(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB〃CD+AD〃BC

又因為BE+ED≥BD

（僅在四邊形ABCD是某圓的內接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”）所以命題得證

復數證明

用a、b、c、d分別表示四邊形頂點A、B、C、D的復數，則AB、CD、AD、BC、A

C、BD的長度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到復數恒等式：(a ? b)(c ? d)+(a ? d)(b ? c)=(a ? c)(b ? d)，兩邊取模，運用三角不等式得。等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。四點不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、設ABCD是圓內接四邊形。在弦BC上，圓周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。在AC上取一點K，使得∠ABK = ∠CBD； 因為∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。因此△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK〃BD = AB〃CD，且CK〃BD = BC〃DA； 兩式相加，得(AK+CK)〃BD = AB〃CD + BC〃DA； 但AK+CK = AC，因此AC〃BD = AB〃CD + BC〃DA。證畢。

三、托勒密定理：圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)．已知：圓內接四邊形ABCD，求證：AC〃BD＝AB〃CD＋AD〃BC．

證明：如圖1，過C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC〃BP=AD〃BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC〃DP=AB〃CD ②。①＋②得 AC(BP＋DP)=AB〃CD＋AD〃BC．即AC〃BD=AB〃CD＋AD〃BC．

推論

1.任意凸四邊形ABCD，必有AC〃BD≤AB〃CD+AD〃BC，當且僅當ABCD四點共圓時取等號。

2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內接于一圓。

推廣

托勒密不等式：四邊形的任兩組對邊乘積不小于另外一組對邊的乘積，取等號當且僅當共圓或共線。

簡單的證明：復數恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模，得不等式AC〃BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB〃CD+BC〃AD

注意：

1.等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。

2.四點不限于同一平面。

平面幾何里的歐拉定理：

定理內容

設三角形的外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，外心與內心的距離為d，則d^2=R^2-2Rr．

證明：

O、I分別為⊿ABC的外心與內心．

連AI并延長交⊙O于點D，由AI平分ÐBAC，故D為弧BC的中點．連DO并延長交⊙O于E，則DE為與BC垂直的⊙O的直徑．

由圓冪定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA〃ID．（作直線OI與⊙O交于兩點，即可用證明）

但DB=DI（可連BI，證明ÐDBI=ÐDIB得），故只需證2Rr=IA〃DB，即2R∶DB=IA∶r 即可．

而這個比例式可由⊿AFI∽⊿EBD證得．故得R2-d2=2Rr，即證．

第三篇：高中數學聯賽平面幾何定理

①雞爪定理：設△ABC的內心為I，∠A內的旁心為J，AI的延長線交三角形外接圓于K，則KI=KJ=KB=KC。

由內心和旁心的定義可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2 ∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ 同理，∠ICJ=90° ∵∠IBJ+∠ICJ=180°

∴IBJC四點共圓，且IJ為圓的直徑 ∵AK平分∠BAC ∴KB=KC（相等的圓周角所對的弦相等）

又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB ∴KB=KI ∵IBJC四點共圓 且 KB=KI=KC ∴點K是四邊形IBJC的外接圓的圓心（只有圓心滿足與圓周上超過三個以上的點的距離相等）∴KB=KI=KJ=KC 雞爪定理逆定理：設△ABC中∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于K。在AK及延長線上截取KI=KB=KJ，其中I在△ABC的內部，J在△ABC的外部。則I是△ABC的內心，J是△ABC的旁心。證明：利用同一法可輕松證明該定理的逆定理。

取△ABC的內心I'和旁心J’，根據定理有KB=KC=KI'=KJ' 又∵KB=KI=KJ ∴I和I'重合，J和J’重合 即I和J分別是內心和旁心。

②蝴蝶定理：設S為圓內弦AB的中點，過S作弦EF和CD。設CF和DE各相交AB于點M和N，則S是MN的中點。

過O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足為L、T，連接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF 證法1:霍納證法

∴ES/CS=ED/FC 根據垂徑定理得：LD=ED/2，FT=FC/2 ∴ES/CS=EL/CT 又∵∠E=∠C ∴△ESL∽△CST ∴∠SLN=∠STM ∵S是AB的中點所以OS⊥AB ∴∠OSN=∠OLN=90°

∴O，S，N，L四點共圓，（一中同長）同理，O，T，M，S四點共圓

∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON ∴∠SON=∠SOM ∵OS⊥AB ∴MS=NS ③西姆松定理：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線上的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。

證明一：△ABC外接圓上有點P，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，PD⊥AB于D，分別連FE、FD、BP、CP.易證P、B、D、F和P、F、C、E分別共圓，（四點共圓）

在PBDF圓內，∠DBP+∠DFP=180度，在ABPC圓內∠ABP+∠ACP =180度，∴∠DFP=∠ACP ①，在PFCE圓內 ∠PFE=∠PCE②

而∠ACP+∠PCE=180°③ ∴∠DFP+∠PFE=180°④，即D、F、E共線。反之，當D、F、E共線時，由④→②→③→①可見A、B、P、C共圓。④九點圓：三角形三邊的中點，三高的垂足和三個歐拉點(連結三角形各頂點與垂心所得三線段的中點)九點共圓。作圖如下:△ABC的BC邊垂足為D，BC邊中點為L，AC邊垂足為E，AC邊中點為M,AB邊垂足為F，AB邊中點為N, 垂心為H，AH,BH,CH中點分別為P,Q,R(思路：以PL為直徑，其它任意某點，去證P某L為90°)證明:(由中位線)PM∥CH，LM∥AB，又CH⊥AB∴PM⊥LM，又PD⊥LD ∴PMDL共圓。

(由中位線)PR∥AC，LR∥BH，BH⊥AC，所以PR⊥LR ∴PMRDL五點共圓。PE為Rt△AHE斜邊中線 ∴∠PEA=∠PAE 同理∠LEC=∠LCE所以∠PEL=180°—∠ADC ∴∠LEP等于90°

∴PEMRDL六點共圓，PL為直徑，同理PFNQL五點共圓,PL為直徑 ∴PEMRDLQNF九點共圓，PL為直徑，PL中點(設為V)就是圓心 下證 九點圓的圓心在垂心與外心連線的中點

O為外心，OL平行等于AH一半(小定理)所以OL平行等于PH OLPH為平行四邊形，V是PL中點，就是OH中點。

⑤托勒密定理：圓內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。

在任意凸四邊形ABCD中(如右圖)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,連接DE.則△ABE∽△ACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD(1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD, 所以△ABC∽△AED.BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD(2)(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因為BE+ED≥BD(僅在四邊形ABCD是某圓的內接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”)⑥三弦定理：圓上一點A,引出三條弦AB(左)、AC(右)、及中間弦AD,BC與AD交于P，則： ABsin∠CAP +ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。

證明如下;連BD、CD, 由圓的相交弦定理→△ABP∽△CDP→AB/CD=AP/CP→AB·CP=CD·AP→

AB·CP-CD·AP=0→同理→AC·BP-BD·AP=0, 所以有AB(AB·CP-CD·AP)=0, AC(AC·BP-BD·AP)=0,兩式相加→AB·AB·CP + AC·AC·BP=AB·CD·AP +AC·BD·AP=AP(AB·CD+AC·BD)=AP·BC·AD⑴(托氏定理)。

由AC外分∠BAP, 由《分角定理》→(sin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC)·(AB/AP), →

(ABsin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC)·(AB·AB/AP)⑵, 同理有, 由AB外分∠CAP, 由《分角定理》→(ACsin∠BAP/ sin∠BAC)=(BP/BC)·(AC·AC/AP)⑶, 由⑵+⑶→

(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP)/ sin∠BAC=(AB·AB·CP+ AC·AC·BP)/BC·AP,由⑴→

(AB·AB·CP+ AC·AC·BP)/BC·AP=AD, 所以(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP)/ sin∠BAC=AD, 所以,ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。證畢。

第四篇：高中數學聯賽

高中數學聯賽

全國高中數學聯賽（一試）所涉及的知識范圍不超出教育部2000年《全日制普通高級中學數學教學大綱》。

全國高中數學聯賽(加試)在知識方面有所擴展，適當增加一些教學大綱之外的內容，所增加內容是：

1．平面幾何

幾個重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；三角形旁心、費馬點、歐拉線；

幾何不等式；

幾何極值問題；

幾何中的變換：對稱、平移、旋轉；

圓的冪和根軸：

面積方法，復數方法，向量方法，解析幾何方法。

2．代數

周期函數，帶絕對值的函數；

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函數；

遞歸，遞歸數列及其性質，一階、二階線性常系數遞歸數列的通項公式；第二數學歸納法；

均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函數及其應用；

復數及其指數形式、三角形式，歐拉公式，棣莫弗定理，單位根；多項式的除法定理、因式分解定理，多項式的相等，整系數多項式的有理根*，多項式的插值公式*；

n次多項式根的個數，根與系數的關系，實系數多項式虛根成對定理；函數迭代，求n次迭代*，簡單的函數方程*。

3．初等數論

同余，歐幾里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程組，高斯函數[x]，費馬小定理，格點及其性質，無窮遞降法*，歐拉定理*，孫子定理*。

4．組合問題

圓排列，有重復元素的排列與組合，組合恒等式；

組合計數，組合幾何；

抽屜原理；

容斥原理；

極端原理；

圖論問題；

集合的劃分；

覆蓋；

平面凸集、凸包及應用*。

有*號的內容加試中暫不考，但在冬令營中可能考。

注：上述大綱在2006年第十四次普及工作會上討論通過

第五篇：高中數學聯賽平面幾何重點——梅涅勞斯定理

梅涅勞斯定理

梅涅勞斯定理證明

梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡稱梅氏定理）是由古希臘數學家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長 線交于F、D、E點，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。或：設X、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1。證明定理

證明一

過點A作AG∥BC交DF的延長線于G,則AF/FB=AG/BD , CE/EA=DC/AG。

三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1 證明二

過點C作CP∥DF交AB于P，則BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=

1它的逆定理也成立：若有三點F、D、E分別在△ABC的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，則F、D、E三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。

梅涅勞斯(Menelaus)定理

證明三

過ABC三點向三邊引垂線AA'BB'CC'，所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA'

所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=

1證明四

λ

連接BF。（AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA)=（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF）=（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF）=1此外，用定比分點定義該定理可使其容易理解和記憶：在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點，又分比是=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是L、M、N三點共線的充要條件是λμν=1。第一角元形式的梅涅勞斯定理

如圖：若E，F，D三點共線，則

(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1即圖中的藍角正弦值之積等于紅角正弦值之積

該形式的梅涅勞斯定理也很實用

第二角元形式的梅涅勞斯定理

在平面上任取一點O，且EDF共線，則

（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不與點A、B、C重合)

記憶

ABC為三個頂點，DEF為三個分點

(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=

1（頂到分/分到頂）*（頂到分/分到頂）*（頂到分/分到頂）=1

空間感好的人可以這么記：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1

數學意義

使用梅涅勞斯定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還是可以用來解決三點共線、三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學以及射影幾何學中的一項基本定理，具有重要的作用。梅涅勞斯定理的對偶定理是塞瓦定理。實際應用

為了說明問題，并給大家一個深刻印象，我們假定圖中的A、B、C、D、E、F是六個旅游景點，各景點之間有公路相連。我們乘直升機飛到這些景點的上空，然后選擇其中的任意一個景點降落。我們換乘汽車沿公路去每一個景點游玩，最后回到出發點，直升機就停在那里等待我們回去。

我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“游歷”了所有的景點。只“路過”而不停留觀賞的景點，不能算是“游歷”。

例如直升機降落在A點，我們從A點出發，“游歷”了其它五個字母所代表的景點后，最終還要回到出發點A。

另外還有一個要求，就是同一直線上的三個景點，必須連續游過之后，才能變更到其它直線上的景點。

從A點出發的旅游方案共有四種，下面逐一說明：

方案 ① ——從A經過B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后經過B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后從E經過C（不停留）回到出發點A。

按照這個方案，可以寫出關系式：

（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。

現在，您知道應該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧。

從A點出發的旅游方案還有：

方案 ② ——可以簡記為：A→B→F→D→E→C→A，由此可寫出以下公式：（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。從A出發還可以向“C”方向走，于是有：

方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可寫出公式：

（AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。從A出發還有最后一個方案：方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此寫出公式：

（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。

我們的直升機還可以選擇在B、C、D、E、F任一點降落，因此就有了圖中的另外一些公式。

值得注意的是，有些公式中包含了四項因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項。當直升機降落在B點時，就會有四項因式。而在C點和F點，既會有三項的公式，也會有四項的公式。公式為四項時，有的景點會游覽了兩次。

不知道梅涅勞斯當年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個典型的公式給我們看看。

還可以從逆時針來看，從第一個頂點到逆時針的第一個交點比上到下一個頂點的距離，以此類推，可得到三個比例，它們的乘積為1.現在是否可以說，我們對梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。那些復雜的相除相乘的關系式，不會再寫錯或是記不住吧。