第一篇：高中數(shù)學(xué)相關(guān)定理

2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）復(fù)習(xí)資料2013.5.26

高中數(shù)學(xué)相關(guān)定理、公式及結(jié)論證明

（一）三角函數(shù)部分。

一、兩角和（差）的余弦公式證明。

內(nèi)容：cos(???)?cos?cos??sin?sin?,cos(???)?cos?cos??sin?sin?

證明：

①如圖（1），在單位圓中設(shè)P（cos?,sin?）,Q（cos?,-sin?）

則：OP?OQ?????)?cos(???)?OP?OQ?cos?cos??sin?sin?

?cos(???)?cos?cos??sin?sin?圖（1）

②如圖（2），在單位圓中設(shè)P（cos?,sin?）,Q（cos?,sin?）

則：OP?OQ?????)?cos(???)?OP?OQ?cos?cos??sin?sin?

?cos(???)?cos?cos??sin?sin?圖（2）

二、兩角和（差）的正弦公式證明。

內(nèi)容：sin(???)?sin?cos??cos?sin?,sin(???)?sin?cos??cos?sin?

證明：

sin(???)?cos[?

2?(???)]?cos[(?

2??)??]?cos(?

2??)cos??sin(?

2??)sin?

?sin?cos??cos?sin?

sin(???)?cos[?

2?(???)]?cos[(?

2??)??]?cos(?

2??)cos??sin(?

2??)sin?

?sin?cos??cos?sin?

三、兩角和（差）的正切公式證明。內(nèi)容：tan(???)?

證明： tan??tan?1?tan?tan?，tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?

sin?cos?

tan(???)?

sin(???)cos(???)

?

sin?cos??cos?sin?cos?cos??sin?sin?

?

cos?cos?cos?cos?cos?cos?

??

cos?sin?cos?cos?sin?sin?cos?cos?

?

tan??tan?1?tan?tan?

sin?cos?

tan(???)?

sin(???)cos(???)

?

sin?cos??cos?sin?cos?cos??sin?sin?

?

cos?cos?cos?cos?cos?cos?

??

cos?sin?cos?cos?sin?sin?cos?cos?

?

tan??tan?1?tan?tan?

四、半角公式證明。內(nèi)容：sin

?2??

1?cos?,cos

?

2??

1?cos?,tan

?2

?

1?cos?1?cos?

?

2sin?1?cos?

?

1?cos?2sin?

??cos2??1?2sin?

證明：由二倍角公式? 2

??cos2??2cos??

1?2?cos??1?2sin???2

??用?代替2?，得?，得sin2

?cos??2cos2??1?2?

sin?cos

?cos?,cos

?2

??

?cos?

?2

tan

?2

sin?cos

?2

?2cos?2cos

?2

?2

?2

?2

?

2sin?1?cos?，tan

?2

sin?cos

?2

sin?cos

?2

?2sin?2sin

?2

?2

?2

?2

?

1?cos?2sin?

五、正弦定理證明。

內(nèi)容：在?ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊，則證明：①如圖（3），在Rt?ABC中，sinA?

?

asinAbc,?

bsinB

?

csinC

.ac,sinB?

asinA

?

bsinB

?c，?C?90?,sinC?1.?

asinA

?

bsinB

?

csinC

.圖（3）

②如圖（4），在銳角?ABC中，以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，作AC??y軸于點(diǎn)C?，易知BA和CA在軸上的射影均為BC?

?C?bsinC??

?

2?B)?csinB,bsinB

?

csinC,同理

asinA

?

bsinB

?

asinA

?

bsinB

?

csinC

.圖（4）

③如圖（5），在鈍角?ABC中，以C為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，作AC??y軸于點(diǎn)C?，易知BA和CA在軸上的射影均為CC?

?B?csinB?C?

?

?2)?bsinC,bsinBasinA

??

csinCbsinB,同理?

c

asinA

?

bsinB

?

sinC

.圖（5）

六、余弦定理證明。

?a2?b2?c2?2bccosA

?

2?ABC內(nèi)容：在中，a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊，則?b?a2?c2?2accosB

?222

c?a?b?2abcosC?

證明：如圖（6），在?ABC中，a?a?BC

?(AC?AB)(AC?AB)

??2AC?AB?

?2

?2AC?ABcosA?2

?b?c?2bccosA圖（6）

222

??a?b?c?2bccosA

同理可證：?2 22

??c?a?b?2abcosC

（二）平面向量部分。

一、平面向量基本定理。

內(nèi)容：如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意一向量a，存在唯一一對(duì) 實(shí)數(shù)?1,?2，使得a??1e1??2e2.證明：如圖（7），過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)O，作OA?e1,OB?e2,OC?a，過(guò)點(diǎn)C分別作直 線OA和直線OB的平行線，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N，有且只有一組實(shí)數(shù)，使

得OM??1OA,ON??2OB圖（7）

?OC?OM?ON?OC??1OA??2OB

即a??1e1??2e2.二、共線向量定理。

內(nèi)容：如圖（8），A,B,C為平面內(nèi)的三點(diǎn)，且A,B不重合，點(diǎn)P為平面內(nèi)任一點(diǎn)，若C在直線AB上，則有

PC??PA?(1??)PB

證明：由題意，BC與BA共線，?BC??BA

BC?PC?PB,BA?PA?PB?PC?PB??(PA?PB)

圖（8）

化簡(jiǎn)為：PC??PA?(1??)PB

三、平行向量定理。

內(nèi)容：若兩個(gè)向量（與坐標(biāo)軸不平行）平行，則它們相應(yīng)的坐標(biāo)成比例；若兩個(gè)向量相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)成比例，則兩向量平行。

證明：設(shè)a,b是非零向量，且a?(x1,y1),b?(x2,y2)若a//b，則存在實(shí)數(shù)?使a??b，且由平面向量基本定理可知

x1i?y1j??(x2i?y2j)??x2i??y2j.?x1??x2①，y1??y2②

①?y2?②?x2得：x1y2?x2y1?0

若y1?0,y2?0（即向量a,b不與坐標(biāo)軸平行）則

x1y

1?x2y

2（三）立體幾何部分。

一、三垂線定理及其逆定理。

內(nèi)容：在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

三垂線定理的逆定理：如果平面內(nèi)一條直線和穿過(guò)該平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

證明：已知：如圖（9），直線l與平面?相交與點(diǎn)A，l在?上的射影OA垂直于a,a??

求證：l⊥a

證明：過(guò)P作PO垂直于?

∵PO⊥α∴PO⊥a

又a⊥OA，PO∩OA=O ∴a⊥平面POA

∴a⊥l圖（9）

（四）解析幾何部分。

一、點(diǎn)到直線距離公式證明。

內(nèi)容：已知直線l:Ax?By?C?0,直線外一點(diǎn)M(x0,y0).則其到直線l的距離為d?

Ax

?ByA

?C。

?B

證明：如圖（10），設(shè)直線l:Ax?By?C?0,直線外一點(diǎn)M(x0,y0).直線上一點(diǎn)P(x,y).可得直線的 一個(gè)方向向量為v?(?B,A),設(shè)其法向量為n?(s,t)則v?n??Bs?At?0，可得直線一法向量為n?(A,B),n的單位向量為n0?

?（AA

?B,A

B

?B)圖（10）

由題意，點(diǎn)M到直線的距離為PM在n0上的射影，所以，d???

A(x0?x)?B(y0?y)

A

?B

?

Ax

?By

0

2?(Ax?By)?B

②

A

因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)在直線上，所以C??(Ax?By)①

Ax

?ByA

所以，把①代入②中，得d?

00

?C

?B

（五）數(shù)列部分

一、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式證明。

內(nèi)容：?an?是等差數(shù)列，公差為d，首項(xiàng)為a1，Sn為其n前項(xiàng)和，則Sn?a1n?證明：由題意，Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)?.......?(a1?(n?1)d)① 反過(guò)來(lái)可寫(xiě)為：Sn?an?(an?d)?(an?2d)?.......?(an?(n?1)d)②

①+②得：2Sn?a1?n?a1?n.......?a1?n

???????????

n個(gè)

n(n?1)

d?

n(a1?an)

所以，Sn?

n(a1?an)

③，把a(bǔ)n?a1?(n?1)d代入③中，得Sn?a1n?

二、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式證明。

n(n?1)

d?

n(a1?an)

?na1,(q?1)

?n

內(nèi)容：?an?是等比數(shù)列，公比為q，首項(xiàng)為a1，Sn為其n前項(xiàng)和，則Sn=?a1?anq a1(1?q)

?,(q?1)?

1?q1?q?

證明：Sn?a1?a1q?a1q?.......?a1qqS

n

2n?

1①

n

?a1q?a1q

?a1q

?.......?a1q②

n

①—②得：(1?q)Sn?a1?a1q，當(dāng)q?1時(shí)，Sn?

a1?a1q1?q

n

?

a1(1?q)1?q

n

③

把a(bǔ)n?a1q

n?1

代入③中，得Sn?

a1?anq1?q

當(dāng)q?1時(shí)。很明顯Sn?na1

?na1,(q?1)

?n

所以，Sn=?a1?anq a1(1?q)

?,(q?1)?

1?q1?q?

（六）函數(shù)和導(dǎo)數(shù)部分

一、換底公式證明。內(nèi)容：log

N?

loglog

aa

Nb

b

(N,a,b?0;a,b?1)

證明：設(shè)log

a

N?X,log

a

b?Y，則b?a,N?a

YX

?log

b

N?log

a

Y

a

X

?

XY

log

a

a?

XY

?

loglog

aa

Nb

第二篇：高中數(shù)學(xué)立體幾何部分定理

高中數(shù)學(xué)立體幾何部分定理

公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。

公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線。

公理3： 過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論1: 經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。

推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。

公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。

空間兩直線的位置關(guān)系：空間兩條直線只有三種位置關(guān)系：平行、相交、異面

1、按是否共面可分為兩類：

（1）共面：平行、相交

（2）異面：

異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。異面直線判定定理：用平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線。

兩異面直線所成的角：范圍為(0°，90°)esp.空間向量法 兩異面直線間距離: 公垂線段(有且只有一條)esp.空間向量法

2、若從有無(wú)公共點(diǎn)的角度看可分為兩類：

（1）有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)——相交直線；（2）沒(méi)有公共點(diǎn)——平行或異面

直線和平面的位置關(guān)系： 直線和平面只有三種位置關(guān)系：在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行

①直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

②直線和平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角。esp.空間向量法(找平面的法向量)

規(guī)定：a、直線與平面垂直時(shí)，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內(nèi)，所成的角為0°角

由此得直線和平面所成角的取值范圍為 [0°，90°]

最小角定理: 斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角

三垂線定理及逆定理: 如果平面內(nèi)的一條直線,與這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直

esp.直線和平面垂直

直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個(gè)平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線a和平面 互相垂直.直線a叫做平面 的垂線，平面 叫做直線a的垂面。

直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。

直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。

③直線和平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)

直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么我們就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面平行。

直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。

直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。

兩個(gè)平面的位置關(guān)系：

（1）兩個(gè)平面互相平行的定義：空間兩平面沒(méi)有公共點(diǎn)

（2）兩個(gè)平面的位置關(guān)系：

兩個(gè)平面平行-----沒(méi)有公共點(diǎn)； 兩個(gè)平面相交-----有一條公共直線。a、平行

兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。

兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么交線平行。

b、相交

二面角

（1）半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩個(gè)部分，其中每一個(gè)部分叫做半平面。

（2）二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為 [0°，180°]

（3）二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。

（4）二面角的面：這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。

（5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

esp.兩平面垂直

兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。記為 ⊥

兩平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直

兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

Attention：

二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法（注意求出的角與所需要求的角之間的等補(bǔ)關(guān)系）

多面體

棱柱

棱柱的定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每?jī)蓚€(gè)四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。

棱柱的性質(zhì)

（1）側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形

（2）兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形

（3）過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面（對(duì)角面）是平行四邊形

棱錐

棱錐的定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐

棱錐的性質(zhì)：

（1）側(cè)棱交于一點(diǎn)。側(cè)面都是三角形

（2）平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠(yuǎn)棱錐高的比的平方

正棱錐

正棱錐的定義：如果一個(gè)棱錐底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。

正棱錐的性質(zhì)：

（1）各側(cè)棱交于一點(diǎn)且相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。

（3）多個(gè)特殊的直角三角形

esp： a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。

b、四面體中有三對(duì)異面直線，若有兩對(duì)互相垂直，則可得第三對(duì)也互相垂直。且頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。

Attention：

1、注意建立空間直角坐標(biāo)系

2、空間向量也可在無(wú)坐標(biāo)系的情況下應(yīng)用

多面體歐拉公式：V（角）+F（面）-E（棱）=

2正多面體只有五種：正四、六、八、十二、二十面體。

球

attention：

1、球與球面積的區(qū)別

2、經(jīng)度（面面角）與緯度（線面角）

3、球的表面積及體積公式

4、球內(nèi)兩平行平面間距離的多解性

cool2009-01-29 15:44

兩點(diǎn)確定一直線，兩直線確定一平面。

一條直線a與一個(gè)平面o垂直，則該直線與平面o內(nèi)任何一條直線垂直。

一條直線a與一平面o內(nèi)兩條相交直線都垂直，則該直線與該平面垂直。若直線a在平面y內(nèi)，則平面y與平面o垂直。

平面o與平面y相交，相交直線為b，若平面o內(nèi)衣直線a與直線b垂直，則平面o與平面y垂直。

一條直a與平面o內(nèi)任何一條直線平行，則直線a與平面o平行。

直線a與平面o以及平面y都垂直，則平面o與平面y平行。

第三篇：2014年高中數(shù)學(xué)定理匯總

124推論2 經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心

125切線長(zhǎng)定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角

126圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等

127弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角

128推論 如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等

129相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等

130推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)

131切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割

線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)

132推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等

133如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上

134①兩圓外離 d﹥r(jià)+r ②兩圓外切 d=r+r

③兩圓相交 r-r﹤d﹤r+r(r﹥r(jià))

④兩圓內(nèi)切 d=r-r(r﹥r(jià))⑤兩圓內(nèi)含d﹤r-r(r﹥r(jià))

135定理 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

136定理 把圓分成n(n≥3):

?依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形

?經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形137定理 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓

138正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于（n-2）3180°/n

139定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形149正n邊形的面積sn=pnrn/2 p表示正n邊形的周長(zhǎng)

141正三角形面積√3a²/4(a表示邊長(zhǎng))

142如果在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有k個(gè)正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為

360°，因此k3(n-2)180°/n=360°化為（n-2）(k-2)=

4143弧長(zhǎng)計(jì)算公式：l=nπr/180

144扇形面積公式：s扇形=nπr2/360=lr/

2145內(nèi)公切線長(zhǎng)= d-(r-r)外公切線長(zhǎng)= d-(r+r)

146等腰三角形的兩個(gè)底角相等

147等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合148如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等

149三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形

150兩邊的平方的和等于第三邊的三角形是直角三角形

編輯本段數(shù)學(xué)歸納法

（—）第一數(shù)學(xué)歸納法：

一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，有如下步驟：

（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n的第一個(gè)值，k為自然數(shù)）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。

（二）第二數(shù)學(xué)歸納法：

第二數(shù)學(xué)歸納法原理是設(shè)有一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，如果：

（1）當(dāng)n=1回時(shí)，命題成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n≤k時(shí)命題成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立。

那么，命題對(duì)于一切自然數(shù)n來(lái)說(shuō)都成立。

（三）螺旋歸納法：

螺旋歸納法是歸納法的一種變式，其結(jié)構(gòu)如下：

Pi和Qi是兩組命題，如果：

P1成立

Pi成立=>Qi成立

那么Pi,Qi對(duì)所有自然數(shù)i成立

利用第一數(shù)學(xué)歸納法容易證明螺旋歸納法是正確的編輯本段排列，組合2階乘：

n！=132333……3n，（n為不小于0的整數(shù)）

規(guī)定0！=1。

2排列

從n個(gè)不同元素中取m個(gè)元素的所有排列個(gè)數(shù)，A（n，m）= n！/(nsinx

⑤(e^x)' = e^x

⑥(a^x)' =(a^x)* Ina（ln為自然對(duì)數(shù)）

⑦(Inx)' = 1/x（ln為自然對(duì)數(shù) X>0）

⑧(log a x)'=1/(xlna),(a>0且a不等于1)

⑨(sinh(x))'=cosh(x)

⑩(cosh(x))'=sinh(x)

(tanh(x))'=sech^2(x)

(coth(x))'=-csch^2(x)

(sech(x))'=-sech(x)tanh(x)

(csch(x))'=-csch(x)coth(x)

(arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1)

(arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1)(x>1)

(arctanh(x))'=1/(1+x^2)(|x|<1)

(arccoth(x))'=1/(1-x^2)(|x|>1)

(chx)‘=shx,（ch為雙曲余弦函數(shù)）

（shx）'=chx:（sh為雙曲正弦函數(shù)）

（3）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：

①(u±v)'=u'±v'

②(uv)'=u'v+uv'

③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^

2（4）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)（鏈?zhǔn)椒▌t）：

d f[u（x）]/dx=（d f/du）*（du/dx）。

[∫（上限h（x），下限g（x））f（x）dx]’=f[h（x）]2h'（x）-f[g（x）]2g'（x）洛必達(dá)法則(L'Hospital)：

是在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法。

設(shè)

(1)當(dāng)x→a時(shí)，函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0

(3)當(dāng)x→a時(shí)lim f'(x)/F'(x)存在(或?yàn)闊o(wú)窮大)，那么

x→a時(shí) lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

再設(shè)

(1)當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零

(2)當(dāng)|x|>N時(shí)f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0

(3)當(dāng)x→∞時(shí)lim f'(x)/F'(x)存在(或?yàn)闊o(wú)窮大)，那么

x→∞時(shí) lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意：

①在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足0/0或∞/∞型，否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)。當(dāng)不存在時(shí)（不包括∞情形），就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則失效，應(yīng)從另外途徑求極限。比如利用泰勒公式求解。

②洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。

③洛必達(dá)法則是求未定式極限的有效工具，但是如果僅用洛必達(dá)法則，往往計(jì)算會(huì)十分繁瑣，因此一定要與其他方法相結(jié)合，比如及時(shí)將非零極限的乘積因子分離出來(lái)以簡(jiǎn)化計(jì)算、乘積因子用等價(jià)量替換等。

曲率

K = lim(Δs→0)|Δα/Δs|

當(dāng)曲線y=f(x)存在二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，K=|y''|/(1+ y' ^2)^(3/2);

曲率半徑R=1/K;

不定積分

設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)+C（C為任意常數(shù)）叫做函數(shù)f(x)的不定積分。

記作∫f(x)dx。

其中∫叫做積分號(hào)，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式，C叫做積分常數(shù)，求已知函數(shù)的不定積分的過(guò)程叫做對(duì)這個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分。

由定義可知：

求函數(shù)f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函數(shù)，由原函數(shù)的性質(zhì)可知，只要求出函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，再加上任意的常數(shù)C，就得到函數(shù)f(x)的不定積分。也可以表述成,積分是微分的逆運(yùn)算，即知道了導(dǎo)函數(shù),求原函數(shù)。

2基本公式：

1）∫0dx=c;

∫a dx=ax+c;

2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c;

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4)）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2)dx=arcsinx+c

11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c;

13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c

14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c

15）∫1/√(a^2-x^2)dx=arcsin(x/a)+c;

16)∫sec^2 x dx=tanx+c;

17)∫shx dx=chx+c;

18)∫chx dx=shx+c;

19)∫thx dx=ln(chx)+c;

2分部積分法:

∫u(x)2v'(x)dx=∫u(x)d v(x)=u(x)2v(x)-∫v(x)d u(x)=u(x)2v(x)-∫u'(x)2v(x)dx.一元函數(shù)泰勒公式(Taylor's formula)

泰勒中值定理：若f(x)在開(kāi)區(qū)間（a，b）有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時(shí)，可以展開(kāi)為一個(gè)關(guān)于（x-x0)多項(xiàng)式和一個(gè)余項(xiàng)的和：

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!?(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!?(x-x0)^3+……+f的n階導(dǎo)數(shù)?(x0)/n!?(x-x0)^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x0)^(n+1)為拉格朗日型的余項(xiàng)，這里ξ在x和x0之間。定積分

形式為∫f(x)dx(上限a寫(xiě)在∫上面，下限b寫(xiě)在∫下面)。之所以稱其為定積分，是因?yàn)樗e分后得出的值是確定的，是一個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)函數(shù)。

牛頓-萊布尼茲公式：若F'(x)=f(x)，那么∫f(x)dx(上限a下限b)=F(a)-F(b)

牛頓-萊布尼茲公式用文字表述，就是說(shuō)一個(gè)定積分式的值，就是上限在原函數(shù)的值與下限在原函數(shù)的值的差。微分方程凡是表示未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及自變量之間的關(guān)系的方程，就叫做微分方程。

如果在一個(gè)微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含一個(gè)自變量，這個(gè)方程就叫做常微分方程特征根法是解常系數(shù)齊次線性微分方程的一種通用方法。

如 二階常系數(shù)齊次線性微分方程y''+py'+qy=0的通解：

設(shè)特征方程r*r+p*r+q=0兩根為r1，r2。若實(shí)根r1不等于r2

y=C1*e^(r1x)+C2*e^(r2x).若實(shí)根r=r1=r2

y=(C1+C2x)*e^(rx)若有一對(duì)共軛復(fù)根 r1, 2=λ±ib ：

y=e^（λx）2[C12cos（bx）+ C22sin（bx）]

普通分類

兩點(diǎn)成一線，多線成面，多面成體，多體成界，多界成。。圓柱體

v:體積 h:高 s;底面積 r:底面半徑 c:底面周長(zhǎng)

(1)側(cè)面積=底面周長(zhǎng)3高

(2)表面積=側(cè)面積+底面積32

(3)體積=底面積3高

（4）體積=側(cè)面積÷23半徑

植樹(shù)問(wèn)題非封閉線路上的植樹(shù)問(wèn)題主要可分為以下三種情形:

?如果在非封閉線路的兩端都要植樹(shù),那么:

株數(shù)=段數(shù)+1=全長(zhǎng)÷株距－1

全長(zhǎng)=株距3(株數(shù)－1)

株距=全長(zhǎng)÷(株數(shù)－1)

?如果在非封閉線路的一端要植樹(shù),另一端不要植樹(shù),那么:

株數(shù)=段數(shù)=全長(zhǎng)÷株距

全長(zhǎng)=株距3株數(shù)

株距=全長(zhǎng)÷株數(shù)

?如果在非封閉線路的兩端都不要植樹(shù),那么:

株數(shù)=段數(shù)－1=全長(zhǎng)÷株距－1

全長(zhǎng)=株距3(株數(shù)+1)

株距=全長(zhǎng)÷(株數(shù)+1)封閉線路上的植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系如下

株數(shù)=段數(shù)=全長(zhǎng)÷株距

全長(zhǎng)=株距3株數(shù)

株距=全長(zhǎng)÷株數(shù)

盈虧問(wèn)題

(盈+虧)÷兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)

(大盈－小盈)÷兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)(大虧－小虧)÷兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)相遇問(wèn)題

相遇路程=速度和3相遇時(shí)間

相遇時(shí)間=相遇路程÷速度和

速度和=相遇路程÷相遇時(shí)間

追及問(wèn)題

追及距離=速度差3追及時(shí)間

追及時(shí)間=追及距離÷速度差

速度差=追及距離÷追及時(shí)間

流水問(wèn)題

順流速度=靜水速度+水流速度

逆流速度=靜水速度－水流速度

靜水速度=(順流速度+逆流速度)÷2

水流速度=(順流速度－逆流速度)÷2

濃度問(wèn)題

溶質(zhì)的重量+溶劑的重量=溶液的重量

溶質(zhì)的重量÷溶液的重量3100%=濃度

溶液的重量3濃度=溶質(zhì)的重量

溶質(zhì)的重量÷濃度=溶液的重量

利潤(rùn)與折扣問(wèn)題

利潤(rùn)=售出價(jià)－成本

利潤(rùn)率=利潤(rùn)÷成本3100%=(售出價(jià)÷成本－1)3100%漲跌金額=本金3漲跌百分比

折扣=實(shí)際售價(jià)÷原售價(jià)3100%(折扣<1)

利息=本金3利率3時(shí)間

稅后利息=本金3利率3時(shí)間3(1－20%)注：扣稅要扣20%

第四篇：高中數(shù)學(xué)定理

兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A)cot2A=(cot2A-1)/2cota

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

四倍角公式：

sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))

cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)

tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)

五倍角公式：

sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA

cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA

tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)

六倍角公式：

sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))

cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))

tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)

七倍角公式：

sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))

cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))

tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：

sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))

cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)

tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)

九倍角公式：

sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))

cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))

tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)

十倍角公式：

sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^

4))

cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))

tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)

·：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化積

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB-cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB

某些數(shù)列前n項(xiàng)和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圓半徑

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角

乘法與因式分 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

第五篇：高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽幾何定理

高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽幾何定理

梅涅勞斯定理

BFAECD???1。FAECBD

BFAECD?1，逆定理：一直線截△ABC的三邊BC,CA,AB或其延長(zhǎng)線于D,E,F若??FAECBD一直線截△ABC的三邊BC,CA,AB或其延長(zhǎng)線于D,E,F則

則D,E,F三點(diǎn)共線。

塞瓦定理

BDCEAF??=1。在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O,直線AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，則

托勒密定理

ABCD為任意一個(gè)圓內(nèi)接四邊形，則AB?CD?AD?BC?AC?BD。

逆定理：若四邊形ABCD滿足AB?CD?AD?BC?AC?BD，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓

西姆松定理

過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。

相關(guān)的結(jié)果有：

（1）稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點(diǎn)為線段PH的中點(diǎn)，且這點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。

（2）兩點(diǎn)的西姆松線的交角等于該兩點(diǎn)的圓周角。

(3）若兩個(gè)三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點(diǎn)P對(duì)應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無(wú)關(guān)。

（4）從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。斯特瓦爾特定理

設(shè)已知△ABC及其底邊上B、C兩點(diǎn)間的一點(diǎn)D，則有AB·DC+AC·BD-AD·BC＝BC·DC·BD。22

2三角形旁心

1、旁切圓的圓心叫做三角形的旁心。

2、與三角形的一邊及其他兩邊的延長(zhǎng)線都相切的圓叫做三角形的旁切圓。

費(fèi)馬點(diǎn)

在一個(gè)三角形中，到3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。

(1)若三角形ABC的3個(gè)內(nèi)角均小于120°，那么3條距離連線正好平分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角。所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也稱為三角形的等角中心。

(2)若三角形有一內(nèi)角不小于120度，則此鈍角的頂點(diǎn)就是距離和最小的點(diǎn)。

判定（1）對(duì)于任意三角形△ABC，若三角形內(nèi)或三角形上某一點(diǎn)E,若EA+EB+EC有最小值,則E為費(fèi)馬點(diǎn)。費(fèi)馬點(diǎn)的計(jì)算

（2）如果三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°，這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)；如果3個(gè)內(nèi)角均小于120°，則在三角形內(nèi)部對(duì)3邊張角均為120°的點(diǎn)，是三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。

九點(diǎn)圓：三角形三邊的中點(diǎn),三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)（連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線段的中點(diǎn)）九點(diǎn)共圓。通常稱這個(gè)圓為九點(diǎn)圓（nine-point circle），歐拉線：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線。

幾何不等式

1托勒密不等式:任意凸四邊形

ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當(dāng)且僅當(dāng)

2埃爾多斯—莫德?tīng)柌坏仁?設(shè)P是ΔABC內(nèi)任意一點(diǎn)，P到ΔABC三邊BC,CA,AB的距離分別為PD=p,PE=q,PF=r，記PA=x,PB=y,PC=z。則 x+y+z≥2(p+q+r)3外森比克不等式:設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c,面積為S,則a2+b2+c2≥4S 4歐拉不等式:設(shè)△ABC外接圓與內(nèi)切圓的半徑分別為R、r，則R≥2r,當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)取等號(hào)。

圓冪

假設(shè)平面上有一點(diǎn)P，有一圓O，其半徑為R，則OP^2-R^2即為P點(diǎn)到圓O的冪；可見(jiàn)圓外的點(diǎn)對(duì)圓的冪為正，圓內(nèi)為負(fù)，圓上為0；

根軸

1在平面上任給兩不同心的圓，則對(duì)兩圓圓冪相等的點(diǎn)的集合是一條直線，這條線稱為這兩個(gè)圓的根軸。

2另一角度也可以稱兩不同心圓的等冪點(diǎn)的軌跡為根軸。

相關(guān)定理

1，平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線；

2，若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線；

3，若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內(nèi)公切線；

4，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三個(gè)圓心不共線的圓，它們兩兩的根軸或者互相平行，或者交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做它們的根心；