第一篇：高中數學立體幾何模塊公理定理

高中數學立體幾何模塊公理定理匯編

Hzoue/2009-12-12

公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．

A?l，B?l，且A?α，B?α?l?α．（作用：證明直線在平面內）

公理2 過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面．（作用：確定平面）推論 ①直線與直線外一點確定一個平面．

②兩條相交直線確定一個平面．

③兩條平行直線確定一個平面．

公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線． P?α，且P?β?α?β＝l，且P?l．（作用：證明三點/多點共線）

公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行．（平行線的傳遞性）空間等角定理 空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補． 線面平行判定定理平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行． 面面平行判定定理 一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行． 推論 一個平面內兩條相交直線與另一個平面內的兩條直線分別平行，則這兩個平面平行． 線面平行性質定理 一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任意平面與此平面的交線與該直線平行． 面面平行性質定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，則它們的交線平行． 線面垂直判定定理 一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面平行． 三垂線定理 如果平面內一條直線和平面的一條斜線的射影垂直，則它和這條斜線垂直． 逆定理 如果平面內一條直線與平面的一條斜線垂直，則它和這條直線的射影垂直． 射影定理 從平面外一點出發的所有斜線段中，若斜線段長度相等則射影相等，斜線段較長則射影較長，斜線段較短則射影較短． 面面垂直判定定理 一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．

線面垂直性質定理1 如果一條直線垂直于一個平面，則它垂直于平面內的所有直線． 線面垂直性質定理2 垂直于同一個平面的兩條直線平行．

面面垂直性質定理1 兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直． 面面垂直性質定理2 兩個平面垂直，過一個平面內一點與另一個平面垂直的直線在該平面內．

第二篇：高中數學立體幾何部分定理

高中數學立體幾何部分定理

公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有的點都在這個平面內。

公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線。

公理3： 過不在同一條直線上的三個點，有且只有一個平面。推論1: 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面。推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面。

推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面。

公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。

空間兩直線的位置關系：空間兩條直線只有三種位置關系：平行、相交、異面

1、按是否共面可分為兩類：

（1）共面：平行、相交

（2）異面：

異面直線的定義：不同在任何一個平面內的兩條直線或既不平行也不相交。異面直線判定定理：用平面內一點與平面外一點的直線，與平面內不經過該點的直線是異面直線。

兩異面直線所成的角：范圍為(0°，90°)esp.空間向量法 兩異面直線間距離: 公垂線段(有且只有一條)esp.空間向量法

2、若從有無公共點的角度看可分為兩類：

（1）有且僅有一個公共點——相交直線；（2）沒有公共點——平行或異面

直線和平面的位置關系： 直線和平面只有三種位置關系：在平面內、與平面相交、與平面平行

①直線在平面內——有無數個公共點

②直線和平面相交——有且只有一個公共點

直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個平面內的射影所成的銳角。esp.空間向量法(找平面的法向量)

規定：a、直線與平面垂直時，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內，所成的角為0°角

由此得直線和平面所成角的取值范圍為 [0°，90°]

最小角定理: 斜線與平面所成的角是斜線與該平面內任一條直線所成角中的最小角

三垂線定理及逆定理: 如果平面內的一條直線,與這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直

esp.直線和平面垂直

直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個平面 內的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面 互相垂直.直線a叫做平面 的垂線，平面 叫做直線a的垂面。

直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

直線與平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

③直線和平面平行——沒有公共點

直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點，那么我們就說這條直線和這個平面平行。

直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

直線和平面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。

兩個平面的位置關系：

（1）兩個平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點

（2）兩個平面的位置關系：

兩個平面平行-----沒有公共點； 兩個平面相交-----有一條公共直線。a、平行

兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

兩個平面平行的性質定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么交線平行。

b、相交

二面角

（1）半平面：平面內的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中每一個部分叫做半平面。

（2）二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為 [0°，180°]

（3）二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。

（4）二面角的面：這兩個半平面叫做二面角的面。

（5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

esp.兩平面垂直

兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。記為 ⊥

兩平面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直

兩個平面垂直的性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。

Attention：

二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法（注意求出的角與所需要求的角之間的等補關系）

多面體

棱柱

棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。

棱柱的性質

（1）側棱都相等，側面是平行四邊形

（2）兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形

（3）過不相鄰的兩條側棱的截面（對角面）是平行四邊形

棱錐

棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐

棱錐的性質：

（1）側棱交于一點。側面都是三角形

（2）平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠棱錐高的比的平方

正棱錐

正棱錐的定義：如果一個棱錐底面是正多邊形，并且頂點在底面內的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。

正棱錐的性質：

（1）各側棱交于一點且相等，各側面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。

（3）多個特殊的直角三角形

esp： a、相鄰兩側棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。

b、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。

Attention：

1、注意建立空間直角坐標系

2、空間向量也可在無坐標系的情況下應用

多面體歐拉公式：V（角）+F（面）-E（棱）=

2正多面體只有五種：正四、六、八、十二、二十面體。

球

attention：

1、球與球面積的區別

2、經度（面面角）與緯度（線面角）

3、球的表面積及體積公式

4、球內兩平行平面間距離的多解性

cool2009-01-29 15:44

兩點確定一直線，兩直線確定一平面。

一條直線a與一個平面o垂直，則該直線與平面o內任何一條直線垂直。

一條直線a與一平面o內兩條相交直線都垂直，則該直線與該平面垂直。若直線a在平面y內，則平面y與平面o垂直。

平面o與平面y相交，相交直線為b，若平面o內衣直線a與直線b垂直，則平面o與平面y垂直。

一條直a與平面o內任何一條直線平行，則直線a與平面o平行。

直線a與平面o以及平面y都垂直，則平面o與平面y平行。

第三篇：高二數學 立體幾何的概念、公理、定理

立體幾何的概念、公理、定理

王 春 老師 編輯 2007-12-20

一．寫出以下公理、定理，并根據圖形寫出它們的條件與結論。

（一）立體幾何三公理

公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有的點都在這個平面內。A∈a，B∈aA∈a，B∈a

公理

2a?bA耷ab=a,A a aìa a

公理3：經過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面。

A、B、C不在同一直線上

T有且只有一個平面α，使A∈α，B∈α，C∈α

推論

1：經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面。

∈a A?a T有且只有一個平面a，使 ìa

推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面。

a∩b＝ATìa 有且只有一個平面a，使ìa

推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面。

a∥b＝AT有且只有一個平面a，使ìa ìa

（二）空間直線

公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。c

a

b a∥Tb∥a//c 等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。

AB//A/B/

?BAC B/A/C/

//AC//ACT

推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等。

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Zishi2007-12-20

異面直線判定定理：用平面內一點與平面外一點的直線，A∈a

P?a l與a異面 aìa

（三）直線和平面

T

直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和 這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

l

ab?

a//b bìa a?a

T

a//a

aìa

直線和平面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。

ab

?

a//aa?bbaìb

?

T

a//b

直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么

baa燙a,ba

a//b a?bOb^a轣cab^b? c^a,c^

T

定理 ：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直這個平面。

a

定理：一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。

α∥βl⊥α

l⊥β

直線與平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

a

b

a^a

b^

b

T

a//b

?

射影定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；（2）相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；（3）垂線段比任何一條斜線段都短。

三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。

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PA^aPA^a

aaìa定理：aì

轣POa逆定理：

AO^a

PO^a

轣AOa

（四）平面與平面

兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

推論：如果一個平面內有兩條相交直線分別平行另一個平面的兩條相交直線，那么這兩個平面平行。

a燙a,baa?b

O

a//b,b//b

定理Ta//b

?

b///推論

a?bO

a燙a,baa/燙b,b/

a//a/,b//b/a?bO

?Ta//b

/

b

/

定理：垂直于同一直線的兩個平面平行。定理：平行于同一平面的兩個平面平行。

a

a^a a^b

T

a//b

a//b

g//b

Ta//g

?

兩個平面平行的性質定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么交線平行。

a//b

a?gaTa//bb?gb

兩個平面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面

互相垂直。

a^aaìb

T

a

a^b

?

兩個平面垂直的性質定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直

線垂直于另一個平面。a^b

a?b CD

轣ABb ABìa

AB^CD

定理：如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內。a^b P?a

尢aaP?a

a^b

Zishi2007-12-20

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二、概念與性質

（一）空間兩直線的位置關系：空間兩條直線只有三種位置關系：平行、相交、異面

1、異面直線的定義：不同在任何一個平面內的兩條直線。

（二）直線和平面的位置關系： 直線和平面只有三種位置關系：在平面內、與平面相交、與平面平行

1、直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點，那么我們就說這條直線和這個平面平行。

2、直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面 的垂線，平面叫做直線a的垂面。

（三）兩個平面的位置關系：平行、相交

1、兩個平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點。

2、兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。

（四）角

1．兩異面直線所成的角：過空間任意一點引兩條直線分別平行

ba

b'a'

（或重合）于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）。范圍為(0°，90°]

2、直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個平面內的射影 所成的銳角。

所成的角為0°角。直線和平面所成角的取值范圍為 [0°，90°]

（2）最小角定理: 斜線與平面所成的角是斜線與該平面內任一條直線所成角中的最小角。

（3）若斜線與平面所成的角為α，其在此平面內的射影與平面內的一 條直線所成的為β，斜線與這條直線所成的角為γ則cosγ＝cosα·cosβ

3、二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為 [0°，180°]

（1）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。（2）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

（五）距離

1、兩點的距離：連結兩點的線段的長度。

B

A?

a（1）規定：a、直線與平面垂直時，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內，2、平行平面間距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離。

3、兩異面直線間距離: 兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度。

4、兩異面直線上兩點的距離：若兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA'的長度為d．在直線a、b上分別取點E、F，設，A'E＝m，AF＝n，則

Zishi2007-12-20

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5、點到平面的距離．從平面外一點引一個平面的垂線，這個點和垂足間的距離。

6、平行直線和平面的距離：直線上任意一點到平面的距離。

（六）棱柱

1、棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。

2、棱柱的性質

（1）側棱都相等，側面是平行四邊形

（2）兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形

（3）過不相鄰的兩條側棱的截面（對角面）是平行四邊形

（七）棱錐

1、棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐

2、棱錐的性質：

（1）側棱交于一點。側面都是三角形

（2）平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠棱錐高的比的平方

3、正棱錐

（1）正棱錐的定義：如果一個棱錐底面是正多邊形，并且頂點在底面內的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。（2）正棱錐的性質：

①各側棱交于一點且相等，各側面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。②多個特殊的直角三角形

4、a、相對棱互相垂直的正三棱錐的頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。b、側棱相等的棱錐的頂點在底面的射影為底面三角形的外心。

c、側面與底面所成的二面角相等的棱錐的頂點在底面的射影為底面三角形的內心。

（八）多面體歐拉公式：V（角）+F（面）-E（棱）=

2（九）正多面體只有五種：正四、六、八、十二、二十面體。

（十）球

1、球面：到定點的距離等于定長的點的軌跡。

2、球體：與定點的距離等于或小于定長的點的集合．

3、經度：某地點的經度就是經過這點的經線和地軸確定的半平面與本初子午線與地軸確定的半平面所成二面角的平面角的度數．

4、緯度：某地的緯度就是經過這點的球半徑和赤道平面所成的角度．

5、兩點的球面距離：球面上兩點之間的最短連線的長度，就是經過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度。

6、定理：球心與小圓的圓心的連線與小圓所在的平面垂直。

437、球的表面積：S球面=4pR8、體積公式：V球=pR9、V圓錐=

Zishi2007-12-20

133

pRV圓柱=pR333

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第四篇：高中數學相關定理

2013年普通高等學校招生統一考試數學（文）復習資料2013.5.26

高中數學相關定理、公式及結論證明

（一）三角函數部分。

一、兩角和（差）的余弦公式證明。

內容：cos(???)?cos?cos??sin?sin?,cos(???)?cos?cos??sin?sin?

證明：

①如圖（1），在單位圓中設P（cos?,sin?）,Q（cos?,-sin?）

則：OP?OQ?????)?cos(???)?OP?OQ?cos?cos??sin?sin?

?cos(???)?cos?cos??sin?sin?圖（1）

②如圖（2），在單位圓中設P（cos?,sin?）,Q（cos?,sin?）

則：OP?OQ?????)?cos(???)?OP?OQ?cos?cos??sin?sin?

?cos(???)?cos?cos??sin?sin?圖（2）

二、兩角和（差）的正弦公式證明。

內容：sin(???)?sin?cos??cos?sin?,sin(???)?sin?cos??cos?sin?

證明：

sin(???)?cos[?

2?(???)]?cos[(?

2??)??]?cos(?

2??)cos??sin(?

2??)sin?

?sin?cos??cos?sin?

sin(???)?cos[?

2?(???)]?cos[(?

2??)??]?cos(?

2??)cos??sin(?

2??)sin?

?sin?cos??cos?sin?

三、兩角和（差）的正切公式證明。內容：tan(???)?

證明： tan??tan?1?tan?tan?，tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?

sin?cos?

tan(???)?

sin(???)cos(???)

?

sin?cos??cos?sin?cos?cos??sin?sin?

?

cos?cos?cos?cos?cos?cos?

??

cos?sin?cos?cos?sin?sin?cos?cos?

?

tan??tan?1?tan?tan?

sin?cos?

tan(???)?

sin(???)cos(???)

?

sin?cos??cos?sin?cos?cos??sin?sin?

?

cos?cos?cos?cos?cos?cos?

??

cos?sin?cos?cos?sin?sin?cos?cos?

?

tan??tan?1?tan?tan?

四、半角公式證明。內容：sin

?2??

1?cos?,cos

?

2??

1?cos?,tan

?2

?

1?cos?1?cos?

?

2sin?1?cos?

?

1?cos?2sin?

??cos2??1?2sin?

證明：由二倍角公式? 2

??cos2??2cos??

1?2?cos??1?2sin???2

??用?代替2?，得?，得sin2

?cos??2cos2??1?2?

sin?cos

?cos?,cos

?2

??

?cos?

?2

tan

?2

sin?cos

?2

?2cos?2cos

?2

?2

?2

?2

?

2sin?1?cos?，tan

?2

sin?cos

?2

sin?cos

?2

?2sin?2sin

?2

?2

?2

?2

?

1?cos?2sin?

五、正弦定理證明。

內容：在?ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，則證明：①如圖（3），在Rt?ABC中，sinA?

?

asinAbc,?

bsinB

?

csinC

.ac,sinB?

asinA

?

bsinB

?c，?C?90?,sinC?1.?

asinA

?

bsinB

?

csinC

.圖（3）

②如圖（4），在銳角?ABC中，以B為原點，BC所在直線為x軸，建立直角坐標系，作AC??y軸于點C?，易知BA和CA在軸上的射影均為BC?

?C?bsinC??

?

2?B)?csinB,bsinB

?

csinC,同理

asinA

?

bsinB

?

asinA

?

bsinB

?

csinC

.圖（4）

③如圖（5），在鈍角?ABC中，以C為原點，BC所在直線為x軸，建立直角坐標系，作AC??y軸于點C?，易知BA和CA在軸上的射影均為CC?

?B?csinB?C?

?

?2)?bsinC,bsinBasinA

??

csinCbsinB,同理?

c

asinA

?

bsinB

?

sinC

.圖（5）

六、余弦定理證明。

?a2?b2?c2?2bccosA

?

2?ABC內容：在中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，則?b?a2?c2?2accosB

?222

c?a?b?2abcosC?

證明：如圖（6），在?ABC中，a?a?BC

?(AC?AB)(AC?AB)

??2AC?AB?

?2

?2AC?ABcosA?2

?b?c?2bccosA圖（6）

222

??a?b?c?2bccosA

同理可證：?2 22

??c?a?b?2abcosC

（二）平面向量部分。

一、平面向量基本定理。

內容：如果e1,e2是同一平面內的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任意一向量a，存在唯一一對 實數?1,?2，使得a??1e1??2e2.證明：如圖（7），過平面內一點O，作OA?e1,OB?e2,OC?a，過點C分別作直 線OA和直線OB的平行線，交OA于點M，交OB于點N，有且只有一組實數，使

得OM??1OA,ON??2OB圖（7）

?OC?OM?ON?OC??1OA??2OB

即a??1e1??2e2.二、共線向量定理。

內容：如圖（8），A,B,C為平面內的三點，且A,B不重合，點P為平面內任一點，若C在直線AB上，則有

PC??PA?(1??)PB

證明：由題意，BC與BA共線，?BC??BA

BC?PC?PB,BA?PA?PB?PC?PB??(PA?PB)

圖（8）

化簡為：PC??PA?(1??)PB

三、平行向量定理。

內容：若兩個向量（與坐標軸不平行）平行，則它們相應的坐標成比例；若兩個向量相對應的坐標成比例，則兩向量平行。

證明：設a,b是非零向量，且a?(x1,y1),b?(x2,y2)若a//b，則存在實數?使a??b，且由平面向量基本定理可知

x1i?y1j??(x2i?y2j)??x2i??y2j.?x1??x2①，y1??y2②

①?y2?②?x2得：x1y2?x2y1?0

若y1?0,y2?0（即向量a,b不與坐標軸平行）則

x1y

1?x2y

2（三）立體幾何部分。

一、三垂線定理及其逆定理。

內容：在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

三垂線定理的逆定理：如果平面內一條直線和穿過該平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內的射影。

證明：已知：如圖（9），直線l與平面?相交與點A，l在?上的射影OA垂直于a,a??

求證：l⊥a

證明：過P作PO垂直于?

∵PO⊥α∴PO⊥a

又a⊥OA，PO∩OA=O ∴a⊥平面POA

∴a⊥l圖（9）

（四）解析幾何部分。

一、點到直線距離公式證明。

內容：已知直線l:Ax?By?C?0,直線外一點M(x0,y0).則其到直線l的距離為d?

Ax

?ByA

?C。

?B

證明：如圖（10），設直線l:Ax?By?C?0,直線外一點M(x0,y0).直線上一點P(x,y).可得直線的 一個方向向量為v?(?B,A),設其法向量為n?(s,t)則v?n??Bs?At?0，可得直線一法向量為n?(A,B),n的單位向量為n0?

?（AA

?B,A

B

?B)圖（10）

由題意，點M到直線的距離為PM在n0上的射影，所以，d???

A(x0?x)?B(y0?y)

A

?B

?

Ax

?By

0

2?(Ax?By)?B

②

A

因為點P(x,y)在直線上，所以C??(Ax?By)①

Ax

?ByA

所以，把①代入②中，得d?

00

?C

?B

（五）數列部分

一、等差數列前n項和公式證明。

內容：?an?是等差數列，公差為d，首項為a1，Sn為其n前項和，則Sn?a1n?證明：由題意，Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)?.......?(a1?(n?1)d)① 反過來可寫為：Sn?an?(an?d)?(an?2d)?.......?(an?(n?1)d)②

①+②得：2Sn?a1?n?a1?n.......?a1?n

???????????

n個

n(n?1)

d?

n(a1?an)

所以，Sn?

n(a1?an)

③，把an?a1?(n?1)d代入③中，得Sn?a1n?

二、等比數列前n項和公式證明。

n(n?1)

d?

n(a1?an)

?na1,(q?1)

?n

內容：?an?是等比數列，公比為q，首項為a1，Sn為其n前項和，則Sn=?a1?anq a1(1?q)

?,(q?1)?

1?q1?q?

證明：Sn?a1?a1q?a1q?.......?a1qqS

n

2n?

1①

n

?a1q?a1q

?a1q

?.......?a1q②

n

①—②得：(1?q)Sn?a1?a1q，當q?1時，Sn?

a1?a1q1?q

n

?

a1(1?q)1?q

n

③

把an?a1q

n?1

代入③中，得Sn?

a1?anq1?q

當q?1時。很明顯Sn?na1

?na1,(q?1)

?n

所以，Sn=?a1?anq a1(1?q)

?,(q?1)?

1?q1?q?

（六）函數和導數部分

一、換底公式證明。內容：log

N?

loglog

aa

Nb

b

(N,a,b?0;a,b?1)

證明：設log

a

N?X,log

a

b?Y，則b?a,N?a

YX

?log

b

N?log

a

Y

a

X

?

XY

log

a

a?

XY

?

loglog

aa

Nb

第五篇：萬全高中數學2---1立體幾何基本定理與公式

萬全高中數學基本公式

知識要點

1.經過不在同一條直線上的三點確定一個面.2.兩個平面可將平面分成部分.3.過三條互相平行的直線可以確定.4.三個平面最多可把空間分成部分.空間直線.1.空間直線位置分三種：相交、平行、異面.相交直線—共面有且有一個公共點；平行直線—共面沒有公共點；異面直線—不同在任一平面內

2.異面直線判定定理：過平面外一點與平面內一點的直線和平面內不經過該點的直線是異面直線.（不在任何一個平面內的兩條直線）

3.平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.4.等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等（如下圖）.（二面角的取值范圍???0?,180??）（直線與直線所成角???0?,90??）

121（斜線與平面成角???0?,90??）

2（直線與平面所成角???0?,90??）

方向相同方向不相同（向量與向量所成角??[0?,180?])

推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.5.兩異面直線的距離：公垂線的長度.一、直線與平面平行、直線與平面垂直.1.空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內.2.直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.（“線線平行，線面平行”）

3.直線和平面平行性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”）

4.直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和一個平

P面垂直，過一點有且只有一個平面和一條直線垂直.? 若PA⊥?，a⊥AO，得a⊥PO（三垂線定理），O

A得不出?⊥PO.因為a⊥PO，但PO不垂直OA.? 三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個平面.（“線線垂直，線面垂直”）

直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.推論：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.5.⑴垂線段和斜線段長定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，①射影．．

相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線

1段射影較長；③垂線段比任何一條斜線段短.⑵射影定理推論：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內的射影在這個角的平分線上

一、平面平行與平面垂直.1.空間兩個平面的位置關系：相交、平行.2.平面平行判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.（“線面平行，面面平行”）

推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行.[注]：一平面間的任一直線平行于另一平面.3.兩個平面平行的性質定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行，線線平行”）

4.兩個平面垂直性質判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.兩個平面垂直性質判定二：如果一個平面與一條直線垂直，那么經過這條直線的平面垂直于這個平面.（“線面垂直，面面垂直”）

注：如果兩個二面角的平面對應平面互相垂直，則兩個二面角沒有什么關系.5.兩個平面垂直性質定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面.P推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.?

五、棱錐、棱柱.1.棱柱.O⑴①直棱柱側面積：S?Ch（C為底面周長，h是高）

②斜棱住側面積：S?C1l（C1是斜棱柱直截面周長，l是斜棱柱的側棱長）

⑵{四棱柱}?{平行六面體}?{直平行六面體}?{長方體}?{正四棱柱}?{正方體}.{直四棱柱}?{平行六面體}={直平行六面體}.⑶棱柱具有的性質：

①棱柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側棱都相等；直棱柱的各個側面都是矩形；正棱．．．．．．．．柱的各個側面都是全等的矩形.．．．．．

②棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應邊互相平行的全等多邊形.．．

③過棱柱不相鄰的兩條側棱的截面都是平行四邊形.（直棱柱定義）：棱柱有一條側棱和底面垂直.⑷平行六面體：

定理一：平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分.．．．．．．．．．．．．．

[注]：四棱柱的對角線不一定相交于一點.定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和.[注]：①一個棱錐可以四各面都為直角三角形.②一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐；所以V棱柱?Sh?3V棱柱.正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點在底面的射影為底面的中心.[注]：i.正四棱錐的各個側面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）

ii.正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正△側棱與底棱不一定相等

iii.正棱錐定義的推論：若一個棱錐的各個側面都是全等的等腰三角形（即側棱相

等）；底面為正多邊形.正棱錐的側面積：S?1Ch'（底面周長為C，斜高為h'）

2⑵棱錐具有的性質：

①正棱錐各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它

叫做正棱錐的斜高）.②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側棱、側

棱在底面內的射影也組成一個直角三角形.3.球：⑴球的截面是一個圓面.4①球的表面積公式：S?4?R2.②球的體積公式：V??R3.31②圓錐體積：V??r2h（r為半徑，h為高）3

1③錐形體積：V?Sh（S為底面積，h為高）3

六.空間向量.1（1）共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.（2）共線向量定理：對空間任意兩個向量a,b(b?0)，a ∥b的充要條件是存在實數?（具

有唯一性），使a??b.（3）共面向量：若向量a使之平行于平面?或a在?內，則a與?的關系是平行，記作a∥?.（4）①共面向量定理：如果兩個向量a,b不共線，則向量P與向量a,b共面的充要條件是存

在實數對x、y使P?xa?yb.②空間任一點、B、C，則OP?xOA?yOB?zOC(x?y?z?1)是PABC四．．．O．和不共線三點．．．．．．A．．．．．點共面的充要條件.（簡證：OP?(1?y?z)OA?yOB?zOC?AP?yAB?zAC?P、A、B、C四點共面）

注： 是證明四點共面的常用方法.2.空間向量基本定理：如果三個向量，那么對空間任一向量P，存在一個唯一．．．．a,b,c不共面．．．的有序實數組x、y、z，使p?xa?yb?zc.推論：設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P, 都存在唯一的有序實數組x、y、z使 ?x?y?z(這里隱含x+y+z≠1).注：設四面體ABCD的三條棱，AB?b,AC?c,AD?d,其

B

1中Q是△BCD的重心，則向量?(??)用?

?3D

3.（1）空間向量的坐標：空間直角坐標系的x軸是橫軸（對應為橫坐標），y軸是縱軸（對應為縱軸），z軸是豎軸（對應為豎坐標）.①令a=(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)，則

??(a1?b1,a2?b2,a3?b3)?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)a?b?a1b1?a2b2?a3b3a∥b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)?

??a12?a22?a32a1a2a3??a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0

b1b2b3（?a?a??)

???a1b1?a2b2?a3b3?a?b cos?a,b???222222|a|?|b|a1?a2?a3?1?b2?b3

②空間兩點的距離公式：d?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2.（2）法向量：若向量所在直線垂直于平面?，則稱這個向量垂直于平面?，記作??，如果??那么向量叫做平面?的法向量.（3）用向量的常用方法：

①利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設n是平面?的法向量，AB是平面?的一條射線，其中A??，則點B到平面?②利用法向量求二面角的平面角定理：設n1,n2分別是二面角??l??中平面?,?的法向量，則1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大小（1,n2方向相同，1,n2反方，則為其夾角）.③證直線和平面平行定理：已知直線a??平面?，A?B?a,C?D??，且CDE三點不共線，則a∥?的充要條件是存在有序實數對???使AB??CD??CE.（常設AB??CD??CE求解?,?若?,?存在即證畢，若?,?不存在，則直線AB與平面相交）.